专题07 概率（期末复习课件）高一数学上学期北师大版

高一数学上学期·期末复习大串讲 专题07 概率 北师大版（2019） 01 02 03 目 录 押题预测 题型剖析 考点透视 7大常考点：知识梳理 13个题型典例剖析+技巧点拨 精选17道期末真题对应考点练 考点透视 01 PART 考点透视 考点1.随机试验及样本空间 考点透视 考点1.随机试验及样本空间 考点透视 考点2.事件的分类 考点透视 考点3.事件的关系和运算 考点透视 考点3.事件的关系和运算 考点透视 考点3.事件的关系和运算 考点透视 考点3.事件的关系和运算 考点透视 考点3.事件的关系和运算 考点透视 考点4.　随机事件的概率 考点透视 考点5.事件的概率 古典概型的定义 考点透视 考点6.古典概型的概率公式 考点透视 考点7.概率的基本性质 考点透视 考点7.概率的基本性质 题型剖析 02 PART 题型剖析 题型1. 概率的意义 题型剖析 题型2.由频率估计随机事件的概率 题型剖析 题型2.由频率估计随机事件的概率 题型剖析 题型3.样本空间 题型剖析 题型3.样本空间 题型剖析 题型3.样本空间 题型剖析 题型3.样本空间 题型剖析 题型3.样本空间 题型剖析 题型4.事件类型的判断 题型剖析 题型5.事件与事件的表示 题型剖析 题型5.事件与事件的表示 题型剖析 题型6.事件关系的判断 题型剖析 题型6.事件关系的判断 题型剖析 题型7.事件的运算 题型剖析 题型7.事件的运算 题型剖析 题型8.古典概型的判断 题型剖析 题型9.古典概型的概率计算 题型剖析 题型9.古典概型的概率计算 题型剖析 题型9.古典概型的概率计算 题型剖析 题型10.较复杂的古典概型的概率计算 题型剖析 题型10.较复杂的古典概型的概率计算 题型剖析 题型10.较复杂的古典概型的概率计算 题型剖析 题型11.互斥事件、对立事件的概率 题型剖析 题型11.互斥事件、对立事件的概率 题型剖析 题型12. 互斥事件与对立事件概率的综合问题 题型剖析 题型13. 相互独立事件的判断 题型剖析 题型13. 相互独立事件的判断 题型剖析 题型13. 相互独立事件的判断 押题预测 03 PART E 知识点 1．随机试验 (1)定义 把对__________的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母__________表示． 随机现象 明确可知 可能 基本结果 ω 样本点 Ω (2)随机试验的特点 ①试验可以在相同条件下__________进行； ②试验的所有可能结果是__________的，并且不止一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果． 2．有限样本空间 把随机试验E的每个__________的__________称为样本点，用__________表示，全体__________的集合称为试验E的样本空间，用__________表示． 如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω 1，ω2，…，ωn}为有限样本空间． 重复 一个 所有 任何 知识点 　 1．随机事件 将样本空间Ω的__________称为随机事件，简称事件，并把只包含__________样本点的事件称为基本事件，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生． 2．必然事件 Ω作为自身的子集，包含了__________的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，称Ω为必然事件． 3．不可能事件 空集∅不包含_______样本点，在每次试验中都不会发生，称∅为不可能事件． 子集 ⊇ ⊆ 知识点　 1．包含关系 定义 一般地，若事件A发生，则事件B__________，我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) 含义 A发生导致B发生 符号表示 B__________A(或A__________B) 一定发生 A＝B 图形表示 特殊情形 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B__________，记作__________ 相等 A∪B A＋B 2.并事件(和事件) 定义 一般地，事件A与事件B_____________发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) 含义 A与B至少一个发生 符号表示 __________ (或__________) 图形表示 至少有一个 A∩B AB 3.交事件(积事件) 定义 一般地，事件A与事件B__________发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) 含义 A与B同时发生 符号表示 __________ (或__________) 图形表示 同时 A∩B A∩B＝∅ A∩B＝∅ 4.互斥(互不相容) 定义 一般地，如果事件A与事件B______________，也就是说__________是一个不可能事件，即__________，则称事件A与事件B互斥(或互不相容) 含义 A与B不能同时发生 符号表示 __________ 图形表示 不能同时发生 1 可能性的大小 概率 对于一个随机事件A，我们通常用一个数P(A)(____≤P(A)≤____)来表示该事件发生的____________，这个数称为随机事件A的________． 0 P(A) 有限 相等 知识点　 事件的概率 对随机事件发生可能性大小的__________称为事件的概率，事件A的概率用__________表示． 2．古典概型的定义 (1)有限性：样本空间的样本点只有__________个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性__________． 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． 度量(数值) eq \f(n（A）,n（Ω）) 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率 P(A)＝__________＝__________ 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． eq \f(k,n) 1 0 P(A)＋P(B) 知识点　 一般地，概率有如下性质： 性质1：对任意的事件A，都有P(A)__________． 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝__________，P(∅)＝__________． 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝______________． ≥0 1－P(B) ≤ P(A)＋P(B)－P(A∩B) 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝__________，P(A)＝__________． 性质5：如果A⊆B，那么P(A)__________ P(B). 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝____________________． 1－P(A) 【例题1】解释下列概率的含义． (1)某厂生产产品的合格率为0.9； (2)一次抽奖活动中，中奖的概率为0.2. 解析：　(1)“某厂生产产品的合格率为0.9”，说明该厂产品合格的可能性为90%，也就是说100件该厂的产品中大约有90件是合格的． (2)“中奖的概率为0.2”说明参加抽奖的人中有20%的人可能中奖，也就是说，若有100人参加抽奖，大约有20人中奖. 　 【例题2】有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下： [11.5，15.5)2　　 [15.5，19.5)4　　 [19.5，23.5)9 [23.5，27.5)18　　 [27.5，31.5)11 [31.5，35.5)12 [35.5，39.5)7 [39.5，43.5] 3 根据样本的频率分布，估计数据落在[31.5，43.5]内的概率约是(　　) A． eq \f(1,6)　　　　　　　　　　　 B． eq \f(1,3) C． eq \f(1,2) D． eq \f(2,3) 解析： 由已知，样本容量为66，而落在[31.5，43.5]内的样本数为12＋7＋3＝22，故所求概率约为 eq \f(22,66)＝ eq \f(1,3). 答案： B 　 【例题3】将一枚骰子拋掷两次． (1)写出试验的样本空间； (2)用集合表示事件E＝“向上的点数之和大于8”． 解析：　方法一(列举法)： (1)用(x，y)表示试验的结果，其中x表示第1 次拋掷后向上的点数，y表示第2 次拋掷后向上的点数，则样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}． (2)E＝{(3，6)，(4，5)(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}． 方法二(列表法)： 两次拋掷后向上的点数的和，如下表所示： (1)由图，知样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}． (2)事件E包含10个样本点(阴影区)，故E＝{(3，6)，(4，5)(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}． 方法三(树状图法)： 把一枚骰子拋掷两次的所有可能结果用树状图表示，如下图所示： (1)由图，知样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}． (2)事件E包含10个样本点(已用“√”标记出)， 故E＝{(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}． 　 【例题4】指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件． (1)中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军； (2)出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯； (3)若x∈R，则x2＋1≥1； (4)拋掷一枚质地均匀的骰子两次，朝上面的数字之和小于2 . 解析：　由题意知(1)(2)中事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件．(3)中事件一定会发生，是必然事件．由于骰子朝上面的数字最小是1 ，两次朝上面的数字之和最小是2，不可能小于2，所以(4)中事件不可能发生，是不可能事件． 　 【例题5】同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y，结果为(x，y). (1)写出这个试验的样本空间； (2)求这个试验包含的样本点的总数； (3)用集合表示下列事件： ①M＝“x＋y＝5”；②N＝“x＜3，且y＞1”；③T＝“xy＝4”． 解析：　(1)Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}． (2)样本点总数为16. (3)①“x＋y＝5”包含以下4个样本点：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1). 所以M＝{(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}； ②“x＜3，且y＞1”包含以下6个样本点：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4). 所以N＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)}； ③“xy＝4”包含以下3个样本点：(1，4)，(2，2)，(4，1). 所以T＝{(1，4)，(2，2)，(4，1)}． 　 【例题6】（1）一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是(　　) A．两次都中靶　　　　　 B．至少有一次中靶 C．两次都不中靶 D．只有一次中靶 (2)一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是(　　) A．恰有一次击中 B．三次都没击中 C．三次都击中 D．至多击中一次 解析：　(1)事件“至多有一次中靶”包含“只有一次中靶”和“两次都不中靶”，因此不会与其同时发生的事件是“两次都中靶”． (2)根据题意，一个人连续射击三次，事件“至少击中两次”包括“击中两次”和“击中三次”两个事件，其对立事件为“一次都没有击中和击中一次”，即“至多击中一次”． 答案：　(1)A　(2)D 　 【例题7】在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题： (1)请举出符合包含关系、相等关系的事件； (2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件． 解析：　(1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1⊆D3，C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3. 同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5. 且易知事件C1与事件D1相等， 即C1＝D1. (2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}， 所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6). 同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5. 答案：　①②④ 　 【例题8】下列试验是古典概型的是________． ①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中可能性大小相等； ②同时掷两颗骰子，点数和为6的概率； ③近三天中有一天降雨的概率； ④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率． 解析：　①②④是古典概型，因为符合古典概型的特征．③不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响． 　 【例题9】甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女． (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率； (2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一所学校的概率． 解析：　(1)甲校2名男教师分别用A，B表示，1名女教师用C表示；乙校1名男教师用D表示，2名女教师分别用E，F表示． 从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种，且每种结果发生的可能性是相等的． 从中选出2名教师性别相同的结果有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共4种， 所以选出的2名教师性别相同的概率为P＝ eq \f(4,9). (2)从甲校和乙校报名的6名教师中任选2名的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种，且每种结果发生的可能性是相等的． 从中选出2名教师来自同一所学校的结果有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共6种，所以选出的2名教师来自同一所学校的概率为P＝ eq \f(6,15)＝ eq \f(2,5). 　 【例题10】某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下： ①若xy≤3，则奖励玩具一个； ②若xy≥8，则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶． 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀． 小亮准备参加此项活动． (1)求小亮获得玩具的概率； (2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由． 解析：　用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应． 因为S中元素的个数是4×4＝16， 所以基本事件总数n＝16. (1)记“xy≤3”为事件A， 则事件A包含的基本事件共5个，即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1). 所以P(A)＝ eq \f(5,16)，即小亮获得玩具的概率为 eq \f(5,16). (2)记“xy≥8”为事件B，“3<xy<8”为事件C. 则事件B包含的基本事件共6个， 即(2，4)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)， 所以P(B)＝ eq \f(6,16)＝ eq \f(3,8). 事件C包含的基本事件共5个， 即(1，4)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，1)， 所以P(C)＝ eq \f(5,16)，因为 eq \f(3,8)> eq \f(5,16)， 所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率． 【例题11】(1)抛掷一个骰子，观察出现的点，设事件A为“出现1点”，B为“出现2点”．已知P(A)＝P(B)＝ eq \f(1,6)，求出现1点或2点的概率． (2)盒子里装有6只红球，4只白球，从中任取3只球．设事件A表示“3只球中有1只红球，2只白球”，事件B表示“3只球中有2只红球，1只白球”．已知P(A)＝ eq \f(3,10)，P(B)＝ eq \f(1,2)，求这3只球中既有红球又有白球的概率． 解析：　(1)设事件C为“出现1点或2点”，因为事件A，B是互斥事件，由C＝A∪B可得P(C)＝P(A)＋P(B)＝ eq \f(1,6)＋ eq \f(1,6)＝ eq \f(1,3)，所以出现1点或出现2点的概率是 eq \f(1,3). (2)因为A，B是互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝ eq \f(3,10)＋ eq \f(1,2)＝ eq \f(4,5)，所以这3只球中既有红球又有白球的概率是 eq \f(4,5). 【例题12】如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么抽取到红心(事件A)的概率是 eq \f(1,4)，取到方块(事件B)的概率是 eq \f(1,4)，求取到黑色牌(事件D)的概率． 解析：　记“取出的是红色牌”为事件C，则C＝A∪B，且A与B不会同时发生，所以事件A与事件B互斥． 根据概率的加法公式，得P(C)＝P(A)＋P(B)＝ eq \f(1,2). 又因为事件C与事件D互斥，且C∪D为必然事件， 因此事件C与事件D是对立事件， 所以P(D)＝1－P(C)＝ eq \f(1,2). 【例题13】下列每对事件中，哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件？ (1)1 000张有奖销售的奖券中某张奖券是一等奖与该张奖券是二等奖； (2)甲，乙两人同时购买同一期的双色球彩票各一张，甲中奖与乙中奖； (3)甲组3名男生、2名女生，乙组2名男生、3名女生，现从甲，乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”； (4)容器内盛有5个白球和3个黄球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”． 解析：　(1)一张奖券不可能既是一等奖又是二等奖，即这两个事件不可能同时发生，故它们是互斥事件． (2)由双色球的中奖规则可知，甲是否中奖对乙是否中奖没有影响，反之亦然，故它们是相互独立事件． (3)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生对“从乙组中选出1名女生”这一事件是否发生没有影响，反之亦然，所以它们是相互独立事件． (4)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为 eq \f(5,8)，若前一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为 eq \f(4,7)；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为 eq \f(5,7).可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件，也不是互斥事件． 1．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20，0.30，0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为(　　) A．0.40　　　　　　 B．0.30 C．0.60 D．0.90 A　[依题意，射中8环及以上的概率为0.20＋0.30＋0.10＝0.60，故不够8环的概率为1－0.60＝0.40.故选A.] 2.下列事件： ①任取一个整数，被2整除； ②小明同学在某次数学测试中成绩不低于120分； ③甲、乙两人进行竞技比赛，甲的实力远胜于乙，在一次比赛中甲获胜； ④当圆的半径变为原来的2倍时，圆的面积是原来的4倍．其中随机事件的个数是(　　) A．1　　　　　 B．3 C．0 D．4 B　[①②③均是可能发生也可能不发生的事件，为随机事件，④是一定发生的事件，为必然事件，故选B.] 3．为了丰富高一学生的课外生活，某校要组建数学、计算机、航空模型3个兴趣小组，小明要选报其中的2 个，则样本点有(　　) A．1个　　　　　　　 B．2个 C．3个 D．4个 C　[样本点有(数学，计算机)，(数学，航空模型)，(计算机，航空模型)，共3个．] 4．从数字1，2，3，4中任取两个数，则这两个数中其中一个数为另一个数的整数倍的概率为(　　) A． eq \f(1,4)　　　　　　　　 B． eq \f(1,2) C． eq \f(1,3) D． eq \f(2,3) D　[基本事件为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)共6个，其中符合条件的基本事件为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，4)共4个，所求概率为P＝ eq \f(4,6)＝ eq \f(2,3).故选D.] 5．国际羽联规定，标准羽毛球的质量应在[4.74，5.50]内(单位：克).现从一批羽毛球产品中任取一个，已知其质量小于4.74的概率为0.1，质量大于5.50的概率为0.2，则其质量符合规定标准的概率是(　　) A．0.3 B．0.7 C．0.8 D．0.9 B　[因为事件“羽毛球的质量在[4.74，5.50]内”(质量符合规定标准)的对立事件为“质量小于4.74或质量大于5.50”，而“质量小于4.74”和“质量大于5.50”互斥，所以由互斥事件概率公式和对立事件概率公式可得质量符合规定标准的概率为1－(0.1＋0.2)＝0.7.] 6．甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B(　　) A．相互独立但不互斥 B．互斥但不相互独立 C．相互独立且互斥 D．既不相互独立也不互斥 A　[对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与事件B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与事件B可能同时发生，所以事件A与事件B不是互斥事件．] 7．甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为 eq \f(2,3)和 eq \f(3,4)，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为(　　) A． eq \f(3,4)　　　　　　　 B． eq \f(2,3) C． eq \f(5,7) D． eq \f(5,12) D　[根据题意，恰有一人获得一等奖即甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，则所求概率是 eq \f(2,3)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))＋ eq \f(3,4)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝ eq \f(5,12)，故选D.] 8.有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向，事件“甲向南”与事件“乙向南”是(　　) A．互斥但非对立事件 B．对立事件 C．非互斥事件 D．以上都不对 A　[由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件．] 9．掷一枚正方体骰子一次，设事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是(　　) A．互斥但不相互独立 B．相互独立但不互斥 C．互斥且相互独立 D．既不相互独立也不互斥 B　[事件A＝{2，4，6}，事件B＝{3，6}，事件AB＝{6}，样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}． 所以P(A)＝ eq \f(3,6)＝ eq \f(1,2)，P(B)＝ eq \f(2,6)＝ eq \f(1,3)，P(AB)＝ eq \f(1,6)＝ eq \f(1,2)× eq \f(1,3)， 即P(AB)＝P(A)P(B)，因此，事件A与B相互独立．当“出现6点”时，事件A，B同时发生，所以A，B不是互斥事件．] 10．打靶时甲每打10次，可中靶8次；乙每打10次，可中靶7次．若两人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是(　　) A． eq \f(3,5) B． eq \f(3,4) C． eq \f(12,25) D． eq \f(14,25) D　[由题意知甲中靶的概率为 eq \f(4,5)，乙中靶的概率为 eq \f(7,10)，两人打靶相互独立，同时中靶的概率P＝ eq \f(4,5)× eq \f(7,10)＝ eq \f(14,25).故选D.] 答案：　(1)Ω＝{胜，平，负}　(2)Ω＝{0，1，2，3，4} 11．写出下列试验的样本空间： (1)甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果(包括平局)：________； (2)从含有6 件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数：______． 解析：　(1)对于甲队来说，有胜、平、负三种结果， (2)从含有6件次品的50件产品中任取4 件，其次品的件数可能为0，1，2，3，4，不可能再有其他结果． 答案：　 eq \f(11,12) 12．甲、乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为 eq \f(3,4)，乙同学一次投篮命中的概率为 eq \f(2,3)，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲、乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是________． 解析：　两个都不命中的概率为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝ eq \f(1,12)， 故至少有一人命中的概率是 eq \f(11,12)，故答案为： eq \f(11,12). 答案：　 eq \f(2,5) 13．从字母a，b，c，d，e中任取两个不同的字母，则取到字母a的概率为________. 解析：　总的取法有：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de共10种，其中含有a的有ab，ac，ad，ae共4种，故所求概率为＝ eq \f(4,10)＝ eq \f(2,5). 14.甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为 eq \f(2,5)， eq \f(3,4)， eq \f(1,3)，且各自能否被选中互不影响． (1)求3人同时被选中的概率； (2)求3人中至少有1人被选中的概率； (3)求3人均未被选中的概率． 解析：　设甲、乙、丙能被选中的事件分别为A，B，C，则P(A)＝ eq \f(2,5)，P(B)＝ eq \f(3,4)，P(C)＝ eq \f(1,3). (1)3人同时被选中的概率 P1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝ eq \f(2,5)× eq \f(3,4)× eq \f(1,3)＝ eq \f(1,10). (2)3人中有2人被选中的概率 P2＝P(AB eq \x\to(C)∪A eq \x\to(B)C∪ eq \x\to(A)BC) ＝P(AB eq \x\to(C))＋P(A eq \x\to(B)C)＋P( eq \x\to(A)BC) ＝ eq \f(2,5)× eq \f(3,4)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋ eq \f(2,5)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))× eq \f(1,3)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))× eq \f(3,4)× eq \f(1,3)＝ eq \f(23,60). 3人中只有1人被选中的概率 P3＝P(AB—,C—,)∪ eq \x\to(A)B eq \x\to(C)∪A—,B—,C)＝P(AB—,C—,)C＋P(A—,BC—,)＋P(A—,B—,C)＝ eq \f(2,5)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))× eq \f(3,4)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))× eq \f(1,3)＝ eq \f(5,12). 故3人中至少有1人被选中的概率为 P1＋P2＋P3＝ eq \f(1,10)＋ eq \f(23,60)＋ eq \f(5,12)＝ eq \f(9,10). (3)法一：三人均未被选中的概率 P＝P(A—,B—,C—,)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝ eq \f(1,10). 法二：由(2)知， 三人至少有1人被选中的概率为 eq \f(9,10)， ∴三人均未被选中的概率：P＝1－ eq \f(9,10)＝ eq \f(1,10). 15.计算机考试分理论考试与实际操作两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书．甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为 eq \f(4,5)， eq \f(3,4)， eq \f(2,3)，在实际操作考试中“合格”的概率依次为 eq \f(1,2)， eq \f(2,3)， eq \f(5,6)，所有考试是否合格相互之间没有影响． (1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？ (2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率． 解析：　(1)记“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，则 P(A)＝ eq \f(4,5)× eq \f(1,2)＝ eq \f(2,5)， P(B)＝ eq \f(3,4)× eq \f(2,3)＝ eq \f(1,2)， P(C)＝ eq \f(2,3)× eq \f(5,6)＝ eq \f(5,9). 因为P(C)>P(B)>P(A)，所以丙获得合格证书的可能性最大． (2)设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D， 由题易知三人是否获得合格证书相互独立，则 P(D)＝P(AB eq \x\to(C))＋P(A eq \x\to(B)C)＋P( eq \x\to(A)BC) ＝ eq \f(2,5)× eq \f(1,2)× eq \f(4,9)＋ eq \f(2,5)× eq \f(1,2)× eq \f(5,9)＋ eq \f(3,5)× eq \f(1,2)× eq \f(5,9)＝ eq \f(11,30). 17.某射击运动员在一次射击比赛中，每次射击比赛成绩均计整数环且不超过10环，其中射击一次命中各环数概率如表： 命中环数 6及以下 7 8 9 10 概率 0.10 0.12 0.18 0.28 0.32 求该射击运动员射击一次． (1)命中9环或10环的概率； (2)命中不足7环的概率． 解析：　记“射击一次命中k环”的事件为Ak(k∈N，k≤10)，则事件Ak彼此互斥． (1)记“射击一次命中9环或10环”为事件A，则当A9或A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件的概率公式，得P(A)＝P(A9)＋P(A10).因此命中9环或10环的概率为0.60. (2)方法一：由于事件“射击一次命中不足7环”是“射击一次至少命中7环”的对立事件，故所求的概率为P＝1－(0.12＋0.18＋0.28＋0.32)＝0.10，因此命中不足7环的概率为0.10. 方法二：由题意可知“命中环数不足7环”即“命中环数为6环及以下”，故P＝0.10. $$