专题13 线段中的常见的四种数学思想方法-2024-2025学年七年级数学上册提优专题训练及试卷测试(人教版）

专题13 线段中的常见的四种数学思想方法（解析版） 专题解读: 本专题共30题，试题挑选的是各地区最新的期中期末试题，题型针对性高，覆盖面广，试题有深度，可加强学生对线段中四种常见数学方法的理解。 类型一 整体思想 1．（2024秋•西城区校级期中）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN＝10，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点M1、N1；第二次操作：分别取线段AM1和AN1的中点M2，N2；第三次操作：分别取线段AM2和AN2的中点M3，N3；⃯⃯连续这样操作15次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和M1N1+M2N2+…+M15N15＝　　． 【分析】根据中点的定义进行计算即可》 【解答】解：∵AM和AN的中点M1、N1，即AM1AM，AN1AN， ∴M1N1＝AM1﹣AN1（AM﹣AN）MN， 同理可得，M2N2M1N1MN， M3N3M2N2MN， M4N4M3N3MN， … M15N15M14N14MN， ∴M1N1+M2N2+…+M15N15 ＝（）MN ＝（1）MN ＝（1）×10 10 ． 【点评】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义是正确解答的关键． 2．（2023秋•惠城区校级期末）如图，C、D是线段AB上两点，M、N分别是线段AD、BC的中点，下列结论：①若AD＝BM，则AB＝3BD；②若AC＝BD，则AM＝BN；③AC﹣BD＝2（MC﹣DN）；④2MN＝AB﹣CN．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【分析】根据线段中点的定义与线段的和差结合图形逐一进行分析即可． 【解答】解：如图，∵M、N分别是线段AD、BC的中点， ∴，， ∵AD＝BM， ∴AD＝MD+BD， ∴， ∴AD＝2BD， ∴AD+BD＝2BD+BD＝3BD，即AB＝3BD，故①符合题意； ∵AC＝BD， ∴AD＝BC， ∴， ∴AM＝BN，故②符合题意； ∵AC﹣BD＝AD﹣CD﹣BD＝AD﹣（CD+BD）＝AD﹣BC， ∴AC﹣BD＝2MD﹣2CN＝2（MC+CD﹣CD﹣DN）＝2（MC﹣DN）， 故③符合题意； ∵2MN＝2MC+2CN，MC＝MD﹣CD， ∴2MN＝2（MD﹣CD）+2CN＝2（MD+CN﹣CD）， ∵，， ∴ ＝AD﹣CD+BC﹣CD ＝AC+BD ＝AB﹣CD， 故④不符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查了线段的和差运算，能够利用中点的性质及线段的和差关系求解一些线段之间的关系是解本题的关键． 3．（2022秋•讷河市期末）如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点． （1）若AC＝9cm，CB＝6cm，求线段MN的长； （2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB＝a cm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？请直接写出你的答案． （3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC＝b cm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由． 【分析】（1）由中点的性质得MCAC、CNBC，根据MN＝MC+CNACBC（AC+BC）可得答案； （2）与（1）同理； （3）根据中点的性质得MCAC、CNBC，结合图形依据MN＝MC﹣CNACBC（AC﹣BC）可得答案． 【解答】解：（1）∵M、N分别是AC、BC的中点， ∴MCAC、CNBC， ∵AC＝9cm，CB＝6cm， ∴MN＝MC+CNACBC（AC+BC）（9+6）＝7.5cm； （2）∵M、N分别是AC、BC的中点， ∴MCAC、CNBC， ∵AC+CB＝a cm， ∴MN＝MC+CN（AC+CB）a（cm）； （3）MNb， 如图， ∵M、N分别是AC、BC的中点， ∴MCAC、CNBC， ∵AC﹣BC＝b cm， ∴MN＝MC﹣CNACBC（AC﹣BC）b． 【点评】本题主要考查两点间的距离，掌握线段的中点的性质、线段的和差运算是解题的关键． 4．（2023秋•高新区校级期中）（1）如图，已知线段AB、CD，线段AB在线段CD上（点C、A在点B的左侧，点D在点C的右侧）． ①若线段AB＝6，CD＝14，M、N分别为AC、BD的中点，求MN的长． ②若线段AB＝m，CD＝n，M、N分别为AC、BD的中点，则线段MN＝　（m+n）　（用含m，n的代数式表示）． （2）若线段CD在线段AB的延长线上（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），M、N分别为AC、BD的中点，②中的结论是否成立？请画出图形，直接写出结论（用含m，n的代数式表示）． 【分析】（1）①利用CD﹣AB求出AC+BD的值，利用中点平分线段，得到，再利用，即可得解；②利用中点平分线段，得到，进而得到，再利用MN＝AM+AB+BN，即可得证； （2）点N在点C的右侧，点N在点C的左侧，两种情况分类讨论，求解即可． 【解答】解：（1）①∵AB＝6，CD＝14， ∴AC+BD＝CD﹣AB＝8， ∵M、N分别为AC、BD的中点， ∴， ∴； ②∵M、N分别为AC、BD的中点， ∴，， ∵AC+BD＝CD﹣AB， ∴， ∴； （2）成立； ∵M、N分别为AC、BD的中点， ∴，， ①点N在点C的右侧时，如图： 或 MN＝MC+CN ＝MC+BN﹣BC ； ②点N在点C的左侧时，如图： 或 MN＝AD﹣AM﹣DN ； 故结论成立． 【点评】本题考查线段之间的和与差．正确的识图，理清线段之间的和，差，倍数关系，是解题的关键．注意分类讨论． 5．（2023秋•福州期末）如图，线段AB＝24，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点．设点P的运动时间为x秒． （1）若x＝5时，求BM的长； （2）当P在线段AB上运动时，2BM﹣PB是定值吗？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； （3）当P在射线AB上运动时，N为BP的中点，求MN的长度． 【分析】（1）根据已知易得：AP＝10，然后根据线段的中点定义可得AM＝5，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答； （2）根据线段的中点定义可得：AP＝2MP，然后利用线段的和差关系以及等量代换可得2BM﹣PB＝AB，即可解答； （3）分两种情况：当P在线段AB上运动时；当P在线段AB的延长线上运动时；然后分别进行计算即可解答． 【解答】解：（1）当x＝5时，AP＝2×5＝10， ∵M为AP的中点， ∴AMAP＝5， ∵AB＝24， ∴BM＝AB﹣AM＝24﹣5＝19， ∴BM的长为19； （2）当P在线段AB上运动时，2BM﹣PB是定值， 理由：∵M为AP的中点， ∴AP＝2MP， ∴2BM﹣PB ＝2（MP+PB）﹣PB ＝2MP+2PB﹣PB ＝2MP+PB ＝AP+PB ＝AB ＝24， ∴当P在线段AB上运动时，2BM﹣PB＝24； （3）分两种情况： 当P在线段AB上运动时，如图： ∵M为AP的中点，N为BP的中点 ∴MPAP，NPBP， ∵AB＝24， ∴MN＝MP+NPAPBP（AP+BP）AB＝12； 当P在线段AB的延长线上运动时，如图： ∵M为AP的中点，N为BP的中点 ∴MPAP，NPBP， ∵AB＝24， ∴MN＝MP﹣NPAPBP（AP﹣BP）AB＝12； 综上所述：MN的长度为12． 【点评】本题考查了两点间的距离，分两种情况讨论是解题的关键． 6．（2023秋•鹤城区校级期中）【背景知识】数轴上A、B两点在对应的数为a，b，则A、B两点之间的距离定义为：AB＝|b﹣a|． 【问题情境】已知点A、B、O在数轴上表示的数分别为﹣4、10和0，点M、N分别从O、B出发，同时向左匀速运动，点M的速度是每秒1个单位长度，点N的速度是每秒3个单位长度，设运动的时间为t秒（t＞0）． （1）填空： ①OA＝　4　，OB＝　10　； ②用含t的式子表示：AM＝　|t﹣4|　；AN＝　|14﹣3t|　； （2）当t为何值时，恰好有AN＝2AM； （3）如图，直线l上有A，B两点，AB＝18cm，点O是线段AB上的一点，OA＝2OB．若动点P，Q分别从A，B同时出发，向右运动，点P的速度为3cm/s，点Q的速度为2cm/s，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动．设运动时间为t（s），求当t为何值时，2OP﹣OQ＝6（cm）？ 【分析】（1）①根据数轴上两点间的距离的定义即可求解；②找到点M、N表示的数即可求解； （2）根据AN＝2AM即可建立方程求解； （3）先确定点A、B表示的数，接着确定P，Q两点表示的数，即可表示出OP，OQ，进而可求解． 【解答】解：（1）①∵点A、B、O在数轴上表示的数分别为﹣4、10和0， ∴OA＝|﹣4﹣0|＝4，OB＝|10﹣0|＝10， 故答案为：4，10； ②由题意得：点M表示的数为：﹣t，点N 表示的数为：10﹣3t， ∴AM＝|﹣t﹣（﹣4）|＝|t﹣4|；AN＝|﹣4﹣（10﹣3t）|＝|14﹣3t|， 故答案为：|t﹣4|；|14﹣3t|， （2）∵AN＝2AM， ∴|14﹣3t|＝2×|t﹣4|， 解得：t＝6或； （3）∵AB＝18cm，OA＝2OB， ∴OA＝12cm，OB＝6cm， ∴点A表示的数为：﹣12，点B表示的数为：6， ∵P，Q分别从A，B同时出发，向右运动，点P的速度为3cm/s，点Q的速度为2cm/s， ∴P点表示的数为：﹣12+3t，Q点表示的数为：6+2t， 则OP＝|﹣12+3t|，OQ＝6+2t， ∵2OP﹣OQ＝6， ∴2×|﹣12+3t|﹣（6+2t）＝6， 解得：t或t＝9． 【点评】本题以数轴上两点间的距离为背景，考查了动点问题．确定点表示的数，从而确定线段的长度是解题关键． 类型二 方程思想 7．（2023秋•郏县期末）如图1，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段长度是另外一条长度的2倍，则称点C是线段AB的“好点”．如图2，已知AB＝16cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设运动的时间为t（s），当t＝　8或　s时，Q为线段AB的“好点”． 【分析】根据“好点“的定义，分三种情况分别进行计算：①点Q是AB中点；②AQ＝2BQ；③BQ＝2AQ． 【解答】解：∵动点P运动速度快， ∴动点P先到达终点， ∴动点P到达终点需要16÷2＝8（s），当到达8秒时，运动停止． ①当点Q是AB中点时，AB＝2AQ＝2BQ， 此时，AQ＝BQAB＝8， ∴t＝8； ②当AQ＝2BQ时， BQAB， ∴t； ③当BQ＝2AQ时， BQAB， 此时t8，不合题意，舍去； 综上所述，t＝8s或s． 故答案为：8或． 【点评】本题考查了中点的定义，体现了分类讨论的数学思想，恰当地分类是解题的关键． 8．（2020秋•汉阳区期末）如图1，点C在线段AB上，BC＝2AC．P，Q两点同时从点C，B出发，分别以1cm/s，2cm/s的速度沿直线AB向左运动，当点P达点A时，两点立即停止运动． （1）的值是 　　． （2）取PQ中点M，CQ的中点N．求的值． 【分析】（1）由线段的和差关系，以及QB＝2PC，BC＝2AC，即可求解； （2）根据线段中点的定义可得MNQB，即可得解． 【解答】解：（1）AP＝AC﹣PC，CQ＝CB﹣QB， ∵BC＝2AC，P、Q速度分别为1cm/s、2cm/s， ∴QB＝2PC， ∴CQ＝2AC﹣2PC＝2AP， ∴； 故答案为：； （2）MN＝MQ﹣NQPQCQ（PQ﹣CQ）PC， ∵PCQB， ∴MNQBQB， ∴． 【点评】本题考查线段的和差问题，熟练掌握线段中点的定义是解决本题的关键． 类型三 分类讨论思想 9．（2022秋•永川区期末）如图，已知A、B、C是数轴上三点，点C表示的数为6，BC＝4，AB＝12． （1）写出数轴上点A、B表示的数； （2）动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为AP的中点，点N在线段CQ上，且CNCQ，设运动时间为t（t＞0）秒． ①求数轴上点M、N表示的数（用含t的式子表示）； ②t为何值时，原点O恰为线段PQ的中点． 【分析】（1）根据点C所表示的数，以及BC、AB的长度，即可写出点A、B表示的数； （2）①根据题意画出图形，表示出AP＝6t，CQ＝3t，再根据线段的中点定义可得AM＝3t，根据线段之间的和差关系进而可得到点M表示的数；根据CNCQ可得CN＝t，根据线段的和差关系可得到点N表示的数； ②此题有两种情况：当点P在点O的左侧，点Q在点O的右侧时；当P在点O的右侧，点Q在点O的左侧时，分别画出图形进行计算即可． 【解答】解：（1）∵C表示的数为6，BC＝4， ∴OB＝6﹣4＝2， ∴B点表示2． ∵AB＝12， ∴AO＝12﹣2＝10， ∴A点表示﹣10； （2）①由题意得：AP＝6t，CQ＝3t，如图1所示： ∵M为AP中点， ∴AMAP＝3t， ∴在数轴上点M表示的数是﹣10+3t， ∵点N在CQ上，CNCQ， ∴CN＝t， ∴在数轴上点N表示的数是6﹣t； ②如图2所示：由题意得，AP＝6t，CQ＝3t，分两种情况： i）当点P在点O的左侧，点Q在点O的右侧时，OP＝10﹣6t，OQ＝6﹣3t， ∵O为PQ的中点， ∴OP＝OQ， ∴10﹣6t＝6﹣3t， 解得：t， 当t秒时，O为PQ的中点； ii）当P在点O的右侧，点Q在点O的左侧时，OP＝6t﹣10，OQ＝3t﹣6， ∵O为PQ的中点， ∴OP＝OQ， ∴6t﹣10＝3t﹣6， 解得：t， 此时AP＝8＜10， ∴t不合题意舍去， 综上所述：当t秒时，O为PQ的中点． 【点评】此题主要考查了数轴，以及线段的计算，解决问题的关键是根据题意正确画出图形，要考虑全面各种情况，不要漏解． 10．（2023秋•汉台区月考）【问题背景】如图1，点C在线段AB上，图中共有3条线段：AB、AC、和BC．若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段AB的“二倍点”． （1）【探索新知】一条线段的中点 　是　这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”） （2）【深入研究】如图2，点A表示数﹣10，点B表示数20，点C在线段AB上，O表示原点．若点M从点B出发，以每秒3cm的速度向点A运动，当点M到达点A时停止运动，设运动的时间为t秒（0≤t≤10）． ①求t为何值时，点M是线段AB的“二倍点”； ②点M开始运动的同时，点N从点A的位置开始，以每秒2cm的速度向点B运动，并与点M同时停止．请求出点M是线段AN的“二倍点”时t的值． 【分析】（1）可直接根据“二倍点”的定义进行判断； （2）①用含t的代数式分别表示出线段AM、BM、AB，然后根据“二倍点”定义分类讨论的出结果； ②用含t的代数式分别表示出线段AN、MN、AM，然后根据“二倍点”定义分类讨论的出结果． 【解答】解：（1）因为线段的中点将线段分为相等的两部分， 该线段等于2倍的中点一侧的线段长， 符合“二倍点”的定义， 所以一条线段的中点是这条线段的“二倍点”； 故答案为：是； （2）①由题意得：AB＝30，AM＝30﹣3t，BM＝3t， 当AM＝2BM时，30﹣3t＝6t，解得，； 当2AM＝BM时，60﹣6t＝3t，解得，； 当AM＝BM时，30﹣3t＝3t，解得，t＝5； 答：当或5或时，点M是线段AB的“二倍点”； ②由题意得AN＝2t，AM＝30﹣3t，NM＝5t﹣30， 当AN＝2NM时，2t＝10t﹣60，解得，； 当2AM＝NM时，60﹣6t＝5t﹣30，解得，； 当AM＝2NM时，30﹣3t＝10t﹣60，解得，． 答：当或或时，点M是线段AN的“二倍点”． 【点评】本题考查的知识点是一元一次方程的应用以及两点间的距离．找到等量关系是关键． 11．（2023秋•全椒县期末）如图，C是线段AB上一点，AC＝5cm，点M从点A出发，沿AB以3cm/s的速度匀速向点B运动．点N从点C出发，沿CB以1cm/s的速度匀速向点B运动，两点同时出发，结果点M比点N先到3s．设点M出发时间为t（s）． （1）求线段AB的长； （2）是否存在某个时刻，点C恰好是线段MN的中点？如果存在，请求出t的值．若不存在，请说明理由； （3）求点M与点N重合时（未到达点B），t的值； （4）直接写出点M与点N相距2cm时，t的值． 【分析】（1）设AB的长为x cm，则BC＝（x﹣5）cm，根据时间＝路程÷速度结合点P比点Q先到3s，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）点C恰好是线段MN的中点得出等式，即可得出结论； （3）根据路程＝速度×时间结合点M与点N重合得出等式，即可得出结论； （4）分别利用点P追上点N前和追上后分别相距2cm分别得出答案． 【解答】解：（1）设AB＝x cm，根据题意可得： （x﹣5）3， 解得：x＝12， 答：AB的长为12cm； （2）由题意可得：5﹣3t＝t， 解得：t， 故t的值是； （3）由题意可得：3t＝t+5， 解得：t， 故点M与点N重合时（未到达点B），t的值为； （4）当点M追上点N前相距2cm， 由题意可得：3t+2＝t+5， 解得：t， 当追上后相距2cm， 由题意可得：3t﹣2＝t+5， 解得：t， 当点M到达终点，点N距离点P2cm，此时t＝5， 综上所述：t或t或5． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用、两点间的距离，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． 12．（2022秋•镇平县期末）如图，点C是线段AB的中点．点D在线段CB上，且DB＝2.5cm，AD＝8.5cm． （1）线段CD的长度为 　3cm　． （2）若点E在射线CA上，且AE＝3cm，请求出线段CE的长度． （3）动点M从点A出发以每秒2个单位长度的速度向点B方向运动，同时，点N从点B出发以每秒1个单位长度的速度向点A方向运动，假设t秒时点M与点N相遇，则t＝　　；假设第m秒时，点M与点N之间的距离为2cm，则m＝　3或　． 【分析】（1）由DB＝2.5cm，AD＝8.5cm，求得AB＝11cm，则AC＝BC＝5.5cm，所以CD＝BC﹣DB＝3cm，于是得到问题的答案； （2）分两种情况，一是点E在线段CA上，CE＝AC﹣AE＝2.5cm；二是点E在线段CA的延长线上，则CE＝AC+AE＝8.5cm； （3）当点M与点N相遇时，则2t+t＝11；点M与点N之间的距离为2cm分两中情况，一是点M与点N在相遇前相距2cm，则2m+m+2＝11；二是点M与点N在相遇后相距2cm，则2m+m﹣2＝11，解方程求出相应的t值和m值即可． 【解答】解：（1）∵DB＝2.5cm，AD＝8.5cm， ∴AB＝2.5+8.5＝11（cm）， ∵点C是线段AB的中点， ∴AC＝BCAB11＝5.5（cm）， ∴CD＝BC﹣DB＝5.5﹣2.5＝3（cm）， 故答案为：3cm． （2）当点E在线段CA上时，则CE＝AC﹣AE＝5.5﹣3＝2.5（cm）； 当点E在线段CA的延长线上时，则CE＝AC+AE＝5.5+3＝8.5（cm）； 综上所述，线段CE的长度为2.5cm或8.5cm． （3）当点M与点N相遇时，则AM+BN＝AB＝11， ∴2t+t＝11， 解得t； 当点M与点N在相遇前相距2cm时，则AM+BN+2＝11， ∴2m+m+2＝11， 解得m＝3； 当点M与点N在相遇后相距2cm时，则AM+BN﹣2＝11， ∴2m+m﹣2＝11， 解得m， 故答案为：，3或． 【点评】此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题、有关线段的和、差、中点及动点问题的求解等知识与方法，正确地用代数式表示点M与点N运动的距离的和是解题的关键． 13．如图1，已知点A，B在数轴上，M是线段AB上一点，多项式m﹣m3+3m2的次数为a，项数为b，当m＝2时，此多项式的值为c． （1）分别求出a，b，c的值； （2）如图1，数轴上的点A，M，B表示的数分别是a﹣2，b+1，c+5，试比较2AM和BM的大小； （3）在（2）的条件下，如图2，点C在线段AM上，点D在线段BM上，若点C，D分别从M，B出发以1cm/s，3cm/s（一个单位长度表示1cm）的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示． ①当点C，D运动了2s时，求AC+MD的值． ②设点C，D的运动时间为t s．当AD﹣BD＝CD时，求t的值． 【分析】（1）根据多项式m﹣m3+3m2的次数为a，项数为b，当m＝2时，此多项式的值为c，可得a的值为3，b的值为3，c的值为6； （2）由数轴上的点A，M，B表示的数分别是a﹣2，b+1，c+5，知A表示的数为1，M表示的数是4，B表示的数是11，即得AM＝3，BM＝7，可得答案； （3）①当点C，D运动了2s时，C表示的数是4﹣2×1＝2，D表示的数是11﹣2×3＝5，故AC+MD＝2； ②点C，D的运动时间为t s，C表示的数是4﹣t，D表示的数是11﹣3t，由AD﹣BD＝CD可得10﹣3t﹣3t＝﹣2t+7，可解得t的值． 【解答】解：（1）∵多项式m﹣m3+3m2的次数为a，项数为b，当m＝2时，此多项式的值为c， ∴a＝3，b＝3，c＝2﹣23+3×22＝6， ∴a的值为3，b的值为3，c的值为6； （2）∵数轴上的点A，M，B表示的数分别是a﹣2，b+1，c+5， ∴A表示的数为1，M表示的数是4，B表示的数是11， ∴AM＝3，BM＝7， ∴2AM＜BM； （3）①当点C，D运动了2s时，C表示的数是4﹣2×1＝2，D表示的数是11﹣2×3＝5， ∴AC＝2﹣1＝1，MD＝5﹣4＝1， ∴AC+MD＝1+1＝2； ②点C，D的运动时间为t s，C表示的数是4﹣t，D表示的数是11﹣3t， ∴AD＝11﹣3t﹣1＝10﹣3t，BD＝11﹣（11﹣3t）＝3t，CD＝11﹣3t﹣（4﹣t）＝﹣2t+7， ∵AD﹣BD＝CD， ∴10﹣3t﹣3t＝﹣2t+7， 解得t， ∴当AD﹣BD＝CD时，t的值为． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是能用含t的式子表示点运动后所表示的数． 14．（2022秋•朝阳区校级期末）如图①，点C在线段AB上，图中共有3条线段：AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段AB的“巧点”． （1）①一条线段的中点 　是　这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”） ②若线段AB＝m，C是线段AB的“巧点”，则BC＝　m，m，m　．（用含m的代数式表示出所有可能的结果） （2）如图②，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣40，点B所表示的数为20．动点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿AB向终点B匀速移动．点Q从点B出发，以每秒3cm的速度沿BA向终点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时运动停止，若设移动的时间为t秒，求当t为何值时，点Q恰好是线段AP的“巧点”． 【分析】（1）若点C是线段AB的中点时，满足AB＝2AC＝2BC，所以线段的中点是这条线段的“巧点”； （2）当点C是线段AB的“巧点”时，应该分AC＝2BC、AC＝2BC、AB＝2AC＝2BC三种情况分类思考，列出方程即可求出AC的长； （3）点Q恰好是线段AP的“巧点”时，应该分AQ＝2PQ、AP＝2AQ、AQ＝2PQ这三种情况来考虑即可． 【解答】解：（1）如图1 若点C是AB中点时，有AB＝2AC＝2BC成立，满足“巧点”定义， 所以所以线段的中点是这条线段的“巧点”， 故答案为：是； （2）当点C是线段AB的“巧点”时，AB＝m 可能有BC＝2AC、AC＝2BC、AB＝2AC＝2BC三种情况，于是 ①BC＝2AC时，BCABm， ②AC＝2BC时，BCABm， ③AB＝2AC＝2BC时，BCABm， 故答案为：m，m，m； （3）如图2 由题意知，AB＝60cm，当P到达B点时，Q恰好到达AB的中点， ∴PQ≤AQ，于是当点Q恰好是线段AP的“巧点”时，可分AQ＝2PQ或AP＝2AQ或AQ＝2AP三种情况分类讨论， ①AP＝2PQ时，即AQ＝2（AP﹣AQ），得方程60﹣3t＝2[2t﹣（60﹣3t）]，解得t； ②AP＝2AQ时，得方程2t＝2（60﹣3t），解得t＝15； ③PQ＝2AQ时，2t﹣（60﹣3t）＝2（60﹣3t），解得t． ∴当t或15时，点Q恰好是线段AP的“巧点”． 故答案为：或或15． 【点评】本题考查动点问题，一元一次方程的应用，抓住题目中“2倍点”的定义，分类讨论各种可能出现的情况是解题的关键． 15．如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB，AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“和谐点”． （1）线段的中点 　是　这条线段的“和谐点”（填“是”或“不是”）； （2）如图②，若CD＝12cm，点N是线段CD的和谐点，则CN＝ 　12或8或16　cm； （3）如图③，已知AB＝15cm，动点P从点A出发，以1cm/s速度沿AB向点B匀速移动，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t s，请直接写出t为何值时，A，P，Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的和谐点． 【分析】（1）根据“和谐点”的定义即可求解； （2）当点N是线段CD的“和谐点”时，应该分：①点N为中点；②点N为CD的三等分点，且点N靠近点C；③点N为CD的三等分点，且点N靠近点D；三种情况分类思考，列出方程讨论即可求解； （3）A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“和谐点”，应该分：①点A为P、Q的奇点；②点P为A、Q的奇点；③点Q为A、P的奇点；三种情况分类思考，列出方程讨论即可求解． 【解答】解：（1）当点M是线段AB的中点时，满足AB＝2AM＝2BM， 所以线段的中点是这条线段的“和谐点”． 故答案为：是； （2）当点N是线段CD的奇点时，分三种情况： ①点N为中点时，CN24＝12cm； ②点N为CD的三等分点，且点N靠近点C时，CN24＝8cm； ③点N为CD的三等分点，且点N靠近点D时，CN24＝16cm， 故CN＝12cm或8cm或16cm． 故答案为：12或8或16； （3）∵AB＝24cm， ∴t秒后，AP＝2t cm，AQ＝（24﹣3t）cm（0≤t≤8）， ①由题意可知，点A不可能为P、Q的奇点，此情况排除； ②点P为A、Q的奇点，有三种情况： 当点P为中点时，APAQ， 即2t（24﹣3t）， 解得t； 当点P为AQ的三等分点，且点P靠近点A时，APAQ， 即2t（24﹣3t）， 解得t； 当点P为AQ的三等分点，且点P靠近点Q时，APAQ， 即2t（24﹣3t）， 解得t＝4； ③点Q为A、P的奇点，有三种情况： 当点Q为中点时，APAQ， 即24﹣3t2t， 解得t＝6； 当点Q为AP的三等分点，且点P靠近点A时，APAQ， 即24﹣3t2t， 解得t； 当点Q为AP的三等分点，且点P靠近点Q时，APAQ， 即24﹣3t2t， 解得t． 综上所述，t为或或4或6或或时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的和谐点． 【点评】本题属于新定义题，主要是考查了一元一次方程的应用，本题讨论情况较多，从侧面考查了数学中比较重要的分类讨论思想，根据题意，能够正确地进行分类讨论，把每一种情况列举完全，是解决该题的关键． 16．（2021秋•滨江区期末）某操作车间有一段直线型向左移动的传输带，A，B两位操作工人站于传输带同侧且相距16米，操作组长F也站在该侧，且到A，B距离相等，传输带上有一个8米长的工具筐CE． （1）如图1，当CE位于A，B之间时，F发现工具筐的C端离自己只有1米，则工具筐C端离A 　7　米，工具筐E端离B 　1　米． （2）工具筐C端从B点开始随传输带向左移动直至工具筐E端到达A点为止，这期间工具筐E端到B的距离BE和工具筐E端到F的距离EF存在怎样的数量关系，并用等式表示．（你可以在图2中先画一画，再找找规律） 【分析】（1）根据线段的和差可得答案； （2）分三种情况：当点C在线段BF上时或当点C在线段AF上时或当点C在线段BA的延长线上时，正确画出图形即可得到结论． 【解答】解：（1）由题意得，AB＝16m， ∵F到A，B距离相等， ∴AF＝BF＝8m， ∵CE＝8米，CF＝1m， ∴EF＝8﹣1＝7m，BE＝8﹣7＝1m． 故答案为：7，1； （2）①当点C在线段BF上时，如图， 设BC＝x，则BE＝8﹣x，EF＝16﹣x， ∴EF﹣BE＝（16﹣x）﹣（8﹣x）＝8； ②当点C在线段AF上时，如图， 设BC＝x，则BE＝x﹣8，EF＝16﹣x， ∴EF+BE＝（16﹣x）+（x﹣8）＝8； ③当点C在线段BA的延长线上时，如图， 设BC＝x，则BE＝x﹣8，EF＝x﹣16， ∴BE﹣EF＝（x﹣8）﹣（x﹣16）＝8； 综上，EF﹣BE＝8或EF+BE＝8或BE﹣EF＝8． 【点评】本题考查两点间的距离，熟练掌握线段的和差是解题关键． 17．（2021秋•双流区期末）如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段：AB＝m，CD＝n，且m，n满足|m﹣4|+（n﹣8）2＝0，点M，N分别为AB，CD中点． （1）求线段AB，CD的长； （2）线段AB以每秒4个单位长度向右运动，线段CD以每秒1个单位长度也向右运动．若运动6秒后，MN＝4，求此时线段BC的长； （3）若BC＝24，将线段CD固定不动，线段AB以每秒4个单位速度向右运动，在线段AB向右运动的某一个时间段t内，始终有MN+AD为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内． 【分析】（1）根据非负数的性质即可得到结论； （2）若6秒后，M’在点N’左边时，若6秒后，M’在点N’右边时，根据题意列方程即可得到结论； （3）根据题意分类讨论于是得到结果． 【解答】解：（1）∵|m﹣4|+（n﹣8）2＝0， ∴m﹣4＝0，n﹣8＝0， ∴m＝4，n＝8， ∴AB＝4，CD＝8； （2）设B点表示的数是x，C点表示的数是y， ∵点M，N分别为AB，CD中点， ∴M点表示的数是x﹣2，N点表示的数是y+4， 运动后M点表示的数是x﹣2+24＝x+22，N点表示的数是y+4+6＝y+10， ∵MN＝4， ∴|x+22﹣y﹣10|＝4， ∴x﹣y＝﹣8或x﹣y＝﹣16， ∴BC＝|x+24﹣（y+6）|＝|x﹣y+18| ∴BC＝10或2； 点M运动到点C或点D处，此时BC＝2或10． （3）运动t秒后 MN＝|30﹣4t|，AD＝|36﹣4t|， 当0≤t＜7.5时，MN+AD＝66﹣8t， 当7.5≤t≤9时，MN+AD＝6， 当t≥9时，MN+AD＝8t﹣66， ∴当7.5≤t≤9时，MN+AD为定值． 【点评】本题主要考查了非负数的性质以及数轴和两点间的距离等知识，解答本题的关键是掌握两点间的距离公式，解答第三问注意分类讨论思想，此题难度不大． 18．（2023秋•碑林区校级月考）如图，数轴上线段AB＝2（单位长度），CD＝4（单位长度），点A在数轴上表示的数是﹣12，点C在数轴上表示的数是14． （1）若点P是数轴上一动点，当动点P到点A的距离与到点D的距离之和等于34时，则点P对应的数是 　﹣14或20　； （2）若点M从点A出发向右运动，速度为2个单位长度/秒，点N从点D出发向左运动，速度为4个单位长度/秒，点P从原点出发，速度为3个单位长度/秒．点M，N和P三点同时运动，点P先向右运动，遇到点N立即掉头向左运动，遇到点M再立即掉头向右运动，如此往返，当M，N两点相距12个单位长度时，点P立即停止运动，此时点P移动的路程为 　9　个单位长度； （3）若线段AB以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动．点P是线段AB＝2上一点，当B点运动到线段CD上时，是否存在关系式，若存在，求线段PD的长；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据点P的位置进行分类讨论即可． （2）设运动时间为t，根据M，N两点间的距离为12个单位长度即可解决问题． （3）根据题意建立方程，并进行分类讨论即可解决问题． 【解答】解：（1）设点P对应的数为x， 当P在A、D两点之间时，PA+PD＝30，不存在满足条件的P点， 当点P在点A的左侧时，﹣12﹣x+（18﹣x）＝34，解得x＝﹣14； 当点P在点A的右侧时，x﹣（﹣12）+（x﹣18）＝34，解得x＝20． 故答案为：﹣14或20． （2）设运动t秒时，M，N两点相距12个单位长度， 此时点M所对应的数为：﹣12+2t， 点N所对应的数为：18﹣4t． 当点M和点N相遇前， 则18﹣4t﹣（﹣12+2t）＝12， 解得t＝3， 又因为点P的速度为3单位每秒， 所以点P移动的路程为：3×3＝9个单位长度． 当点M和点N相遇后， 因为点N速度比点P速度快， 所以此种情况不存在． 故答案为：9． （3）设运动的时间为a秒， 因为点B运动到线段CD上， 则3a+a＝14﹣（﹣10）， 解得a＝6， 3a+a＝18﹣（﹣10）， 解得a＝7， 所以6≤a≤7． 设点P所对应的数为m， 由点P是线段AB上一点得， ﹣12≤m≤﹣10． 则BD＝18﹣（﹣10）﹣3a﹣a＝28﹣4a， AP＝m﹣（﹣12）＝m+12， PC＝14﹣a﹣（m+3a）＝﹣m﹣4a+14或m+3a﹣（14﹣a）＝m+4a﹣14． 当PC＝﹣m﹣4a+14时， ， 整理得m+4a＝12， 又因为PD＝18﹣a﹣（m+3a）＝18﹣（m+4a）， 所以PD＝18﹣12＝6． 当PC＝m+4a﹣14时， 同理可求得m+4a， 又因为PD＝18﹣（m+4a）， 所以PD＝18． 故线段PD的长为：6或． 【点评】本题考查数轴，正确的表示出数轴上线段的长，并建立方程是解题的关键． 19．如图，点C在线段AB上，AC＝6cm，CB＝4cm，点M以1cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点N以2cm/s的速度从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点M运动到点C时，点M，N都停止运动，设点M运动的时间为t s． （1）当t＝1s时，求MN的长； （2）当t为何值时，点C为线段MN的中点？ （3）若点P是线段CN的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，直接写出PM的长度；如果在整个运动过程中PM的长都在变化，请说明理由． 【分析】（1）当t＝1时，AM＝1cm，CN＝2cm，MN＝7cm； （2）由题意，得：AM＝t cm，MC＝（6﹣t）cm，根据点M运动到点C时，点M、N都停止运动，可得0≤t≤6，分三种情况：①当0≤t≤2时，点N从C向B运动，可求得t＝2；②当2＜t≤4时，点N从B向C运动，求出t＝2不合题意；③当4＜t≤6时，点N从C向B运动，可求得t； （3）存在某个时间段，使PM的长度保持不变，与（2）一样分三种情况分别探究即可． 【解答】解：（1）当t＝1时，AM＝1cm，CN＝2cm， ∴MC＝AC﹣AM＝6﹣1＝5（cm）， ∴MN＝MC+CN＝5+2＝7（cm）； （2）由题意，得：AM＝t cm，MC＝（6﹣t）cm， ∵点M运动到点C时，点M、N都停止运动， ∴0≤t≤6， ①当0≤t≤2时，点N从C向B运动，CN＝2t cm， ∵点C为线段MN的中点， ∴MC＝CN，即6﹣t＝2t， 解得：t＝2； ②当2＜t≤4时，点N从B向C运动，BN＝（2t﹣4）cm，CN＝4﹣（2t﹣4）＝（8﹣2t）cm， ∵点C为线段MN的中点， ∴MC＝CN，即6﹣t＝8﹣2t， 解得：t＝2（舍去）； ③当4＜t≤6时，点N从C向B运动，CN＝（2t﹣8）cm， ∵点C为线段MN的中点， ∴MC＝CN，即6﹣t＝2t﹣8， 解得：t； 综上所述，当t＝2或时，点C为线段MN的中点. （3）如图2，①当0≤t≤2时，点N从C向B运动，CN＝2t cm， ∵点P是线段CN的中点， ∴CPCN＝t cm， ∴PM＝MC+CP＝6﹣t+t＝6cm，此时，PM的长度保持不变； ②当2＜t＜4时，点N从B向C运动，CN＝（8﹣2t）cm， ∵点P是线段CN的中点， ∴CPCN（8﹣2t）＝（4﹣t） cm， ∴PM＝MC+CP＝6﹣t+（4﹣t）＝（10﹣2t）cm，此时，PM的长度变化； ③当4≤t≤6时，点N从C向B运动，CN＝（2t﹣8）cm， ∵点P是线段CN的中点， ∴CPCN（2t﹣8）＝（t﹣4）cm， ∴PM＝MC+CP＝6﹣t+（t﹣4）＝2cm，此时，PM的长度保持不变； 综上所述，当0≤t≤2或4≤t≤6时，使PM的长度保持不变；PM的长度分别为6cm或2cm． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，两点之间距离的概念，中点定义，线段和差计算等，运用分类讨论思想是解题的关键． 20．（2020秋•襄都区期末）如图，点C在线段AB上，AC＝6cm，CB＝4cm，点M以1cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点N以2cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点M运动到点C时，点M、N都停止运动，设点M运动的时间为ts． （1）当t＝1时，求MN的长； （2）当t为何值时，点C为线段MN的中点？ （3）若点P是线段CN的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由． 【分析】（1）当t＝1时，AM＝1cm，CN＝2cm，MN＝7cm； （2）由题意，得：AM＝t cm，MC＝（6﹣t）cm，根据点M运动到点C时，点M、N都停止运动，可得0≤t≤6，分三种情况：①当0≤t≤2时，点N从C向B运动，可求得t＝2；②当2＜t≤4时，点N从B向C运动，求出t＝2不合题意；③当4＜t≤6时，点N从C向B运动，可求得t； （3）存在某个时间段，使PM的长度保持不变，与（2）一样分三种情况分别探究即可． 【解答】解：（1）当t＝1时，AM＝1cm，CN＝2cm， ∴MC＝AC﹣AM＝6﹣1＝5（cm）， ∴MN＝MC+CN＝5+2＝7（cm）； （2）由题意，得：AM＝t cm，MC＝（6﹣t）cm， ∵点M运动到点C时，点M、N都停止运动， ∴0≤t≤6， ①当0≤t≤2时，点N从C向B运动，CN＝2t cm， ∵点C为线段MN的中点， ∴MC＝CN，即6﹣t＝2t， 解得：t＝2； ②当2＜t≤4时，点N从B向C运动，BN＝（2t﹣4）cm，CN＝4﹣（2t﹣4）＝（8﹣2t）cm， ∵点C为线段MN的中点， ∴MC＝CN，即6﹣t＝8﹣2t， 解得：t＝2（舍去）； ③当4＜t≤6时，点N从C向B运动，CN＝（2t﹣8）cm， ∵点C为线段MN的中点， ∴MC＝CN，即6﹣t＝2t﹣8， 解得：t； 综上所述，当t＝2或时，点C为线段MN的中点. （3）如图2，①当0≤t≤2时，点N从C向B运动，CN＝2t cm， ∵点P是线段CN的中点， ∴CPCN＝t cm， ∴PM＝MC+CP＝6﹣t+t＝6cm，此时，PM的长度保持不变； ②当2＜t＜4时，点N从B向C运动，CN＝（8﹣2t）cm， ∵点P是线段CN的中点， ∴CPCN（8﹣2t）＝（4﹣t） cm， ∴PM＝MC+CP＝6﹣t+（4﹣t）＝（10﹣2t）cm，此时，PM的长度变化； ③当4≤t≤6时，点N从C向B运动，CN＝（2t﹣8）cm， ∵点P是线段CN的中点， ∴CPCN（2t﹣8）＝（t﹣4）cm， ∴PM＝MC+CP＝6﹣t+（t﹣4）＝2cm，此时，PM的长度保持不变； 综上所述，当0≤t≤2或4≤t≤6时，使PM的长度保持不变；PM的长度分别为6cm或2cm． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，两点之间距离的概念，中点定义，线段和差计算等，运用分类讨论思想是解题的关键． 21．（2022秋•绥阳县期末）如图，将一条长为7cm的卷尺铺平后折叠，使得卷尺自身的一部分重合，然后在重合部分（阴影处）沿与卷尺边垂直的方向剪一刀，此时卷尺分为了三段，若这三段长度由短到长的比为1：4：5，其中没有完全盖住的部分最长，则折痕对应的刻度可能是 　2.1或3.15　cm． 【分析】先根据三段长度的比求出各段的长度，从而可求出剪断处对应的刻度，设折痕对应的刻度是x cm，从尺子的左端点到折痕处的长度为：（x+1）cm，再根据另两段的长度建立方程，解方程即可得． 【解答】解：由题意，最长段那部分的长度为， 另两段的长度分别为和， 因为没完全盖住的部分最长， 所以剪断处对应的刻度为， 设折痕对应的刻度是x cm， 则或， 解得x＝2.1或x＝3.15， 故答案为：2.1或3.15． 【点评】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确求出剪断处对应的刻度是解题关键． 22．已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧．若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动． ①如图1，当E为BC中点时，求AD的长； ②点F（异于A，B，C点）在线段AB上，AF＝3AD，CE+EF＝3，求AD的长． 【分析】①根据AC＝2BC，AB＝18，可求得BC＝6，AC＝12，根据中点定义求出BE，由线段的和差即可得到AD的长； ②点F（异于A，B，C点）在线段AB上，AF＝3AD，CE+EF＝3，确定点F是BC的中点，即可求AD的长． 【解答】解：①AC＝2BC，AB＝18， ∴BC＝6，AC＝12， 如图1， ∵E为BC中点， ∴CE＝BE＝3， ∵DE＝8， ∴BD＝DE+BE＝8+3＝11， ∴AD＝AB﹣DB＝18﹣11＝7； ②Ⅰ、当点E在点F的左侧，如图2， 或 ∵CE+EF＝3，BC＝6， ∴点F是BC的中点， ∴CF＝BF＝3， ∴AF＝AB﹣BF＝18﹣3＝15， ∴ADAF＝5； ∵CE+EF＝3，故图2（b）这种情况求不出； Ⅱ、如图3，当点E在点F的右侧， 或 ∵AC＝12，CE+EF＝CF＝3， ∴AF＝AC﹣CF＝9， ∴AF＝3AD＝9， ∴AD＝3． ∵CE+EF＝3，故图3（b）这种情况求不出； 综上所述：AD的长为3或5． 【点评】本题考查了两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键． 类型四 数形结合思想 23．（2023秋•临江市期末）如图，有一根木棒MN放置在数轴上，它的两端M，N分别落在点A，B处．将木棒在数轴上水平移动，当MN的中点移动到点B时，点N所对应的数为18.4；当MN的右三等分点移动到点A时，点M所对应的数为5.4．木棒MN的长度为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】设木棒MN长为x，利用已知条件列出方程解答即可． 【解答】解：设木棒MN长为x，根据题意得： ． 解得：x＝6． ∴木棒MN的长度为6． 故选B． 【点评】本题主要考查了数轴，利用已知条件列出方程是解题的关键． 24．（2022秋•曹县期末）如图，把一根细线绳对折成两条重合的线段AB，点A为对折点，点P在线段AB上，且AP：BP＝3：4． （1）若细线绳的长度是126厘米，求图中线段AP的长． （2）从点P处把细线绳剪断后展开，细线绳变成三段，若三段中最长的一段为72厘米，求原来细线绳的长． 【分析】（1）根据线段的倍分关系即可得到结论； （2）利用AP：BP＝3：4可设AP＝3x，BP＝4x，因为点A为对折点，则剪断后的三段绳子中分别为6x，4x，4x，接着利用6x＝72求出x，然后计算16x得到绳子的原长． 【解答】解：（1）∵AB126＝63，AP：BP＝3：4， ∴AP＝27cm； （2）∵AP：BP＝3：4， ∴设AP＝3x，BP＝4x， 因为点A为对折点，则剪断后的三段绳子中分别为6x cm，4x cm，4x cm， ∴6x＝72，解得x＝12， ∴绳子的原长＝6x+4x+4x＝14x＝168（cm）， ∴绳子的原长为168cm． 【点评】本题考查了两点间的距离，根据题意找到等量关系是解题的关键． 25．（2023秋•黄岛区校级期末）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件GeoGebra做了n次取线段中点实验：如图，设线段OP0＝1．第1次，取OP0的中点P1；第2次，取P0P1的中点P2；第3次，取P1P2的中点P3，第4次，取P2P3的中点P4；… （1）请完成下列表格数据． 次数 Pi﹣1Pi 线段OPi的长 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 … … … （2）小明对线段OP4的表达式进行了如下化简： 因为， 所以． 两式相加，得． 所以． 请你参考小明的化简方法，化简OP5的表达式． （3）类比猜想：Pn﹣1Pn＝　　，OPn＝　　，随着取中点次数n的不断增大，OPn的长最终接近的值是 　　． 【分析】（1）根据表中的规律可求出P4P5，根据OP5＝OP4﹣P4P5可得出答案； （2）参照小明对线段OP4的表达式的化简可得OP5的表达式； （3）根据类比猜想可得答案． 【解答】解：（1），； 故答案为：，； （2）因为， 所以． 两式相加，得． 所以； （3），，随着取中点次数n的不断增大OPn的长最终接近的值是． 故答案为：，，． 【点评】本题考查规律型：图形的变化类，找到规律并会表现出来是解题关键． 26．（2022秋•太和县期末）在数学综合实践活动课上，小轩同学借助于两根小木棒m、n研究数学问题：如图，他把两根木棒放在数轴上，木棒的端点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、3、8，已知|a+5|+（b+1）2＝0． （1）求a和b的值； （2）若小轩把木棒m沿x轴正方向移动，m的速度为4个单位/s，设平移时间为t（s），在平移过程中原点O恰好是木棒m的中点，求t的值； （3）若小轩把木棒n与m同时沿x轴正方向移动，m的速度为4个单位/s，n的速度为3个单位s，设平移时间为t（s）．在平移过程中，当木棒m、n重叠部分的长为3个单位长度时，求t的值． 【分析】（1）根据绝对值的非负性进行求解即可； （2）根据原点是中点，列式计算即可； （3）分m在n后面和前面，两种情况分类讨论求解即可． 【解答】解：（1）∵|a+5|+（b+1）2＝0， ∴a+5＝0，b+1＝0， ∴a＝﹣5，b＝﹣1； （2）由题意得：木棒m未移动时，木棒m的中点所表示的数为：（a+b）÷2＝（﹣5﹣1）÷2＝﹣3． ∴当平移过程中原点O恰好是木棒m的中点时， 小棒移动了3个单位长度， ∴． （3）设t秒重叠3个单位长度， m在n后面时，小棒未移动时：BC＝3﹣（﹣1）＝4，4t＝3t+4+3，t＝7， m在n前面时，小棒未移动时：AD＝8﹣（﹣5）＝13，4t＝3t+13﹣3，t＝10， 综上t＝7s或10s． 【点评】本题考查绝对值的非负性，数轴上两点间的距离，线段的中点，以及一元一次方程的应用．熟练掌握绝对值的非负性，数轴上两点间的距离以及中点公式，是解题的关键． 27．（2023秋•武江区校级期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：数轴上A点、B点表示的数为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，若a＞b，则可简化为AB＝a﹣b；线段AB的中点M表示为． 【问题情境】已知数轴上有A，B两点，分别表示的数为﹣10，8，点A以每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒2个单位向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）． 【综合运用】 （1）运动开始前，A，B两点的距离为 　18　；线段AB的中点M表示的是 　﹣1　； （2）点A运动t秒后所在位置的点表示的数为 　﹣10+3t　；点B运动t秒后所在位置的点表示的数为 　8﹣2t　；（用含t的代数式表示） （3）它们按上述方式运动，A，B两点经过多少秒会相距6个单位长度？ （4）若A，B按上述方式继续运动下去，线段AB的中点M能否与原点重合？若能，求出运动时间，并直接写出中点M的运动方向和运动速度；若不能，请说明理由．（当A，B两点重合，则中点M也与A，B两点重合） 【分析】（1）根据A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，若a＞b，则可简化为AB＝a﹣b及线段AB的中点M表示的数为即可求解； （2）点A运动t秒后所在位置的点表示的数＝运动开始前A点表示的数+点A运动的路程，点B运动t秒后所在位置的点表示的数＝运动开始前B点表示的数﹣点B运动的路程； （3）当A、B两点相向而行相距6个单位长度时，设运动时间为t s，列方程求出t的值即可； 当A、B两点相相遇后背向而驰，求出相遇后的时间加上背向而驰相距6个单位长度时的时间即可； （4）设A，B按上述方式继续运动t秒线段AB的中点M能与原点重合，根据线段AB的中点表示的数为0列出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）运动开始前，A、B两点的距离为8﹣（﹣10）＝18；线段AB的中点M所表示的数为1． 故答案为：18，﹣1； （2）点A运动t s后所在位置的点表示的数为﹣10+3t；点B运动t s后所在位置的点表示的数为8﹣2t． 故答案为：﹣10+3t，8﹣2t； （3）A、B两点相向而行相距6个单位长度时，设运动时间为t s， ∵点A以每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒2个单位向左匀速运动，A、B两点的距离为8﹣（﹣10）＝18， ∴18﹣3t﹣2t＝6， 解得t（s）； 设它们按上述方式运动，A、B两点经过x s会相遇，根据题意得﹣10+3x＝8﹣2x， 解得 x， 设A、B两点相相遇后背向而驰相距6个单位长度时，运动时间为ys， 则3y+2y＝6， 解得y， ∴（s）， 综上所述，A，B两点经过秒或秒后会相距6个单位长度； （4）能． 由题意得，0， 解得 t＝2， 答：经过2秒A，B两点的中点M会与原点重合．M点的运动方向向右，运动速度为每秒个单位长度． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 28．（2019秋•孟村县期末）七（1）班的学习小组学习“线段中点”内容时得到一个很有意思的结论，请跟随他们一起思考． （1）发现： 如图1，线段AB＝12，点C，E，F在线段AB上，当点E，F是线段AC和线段BC的中点时，线段EF的长为　6　；若点C在线段AB的延长线上，其他条件不变（请在图2中按题目要求将图补充完整），得到的线段EF与线段AB之间的数量关系为　AB　． （2）应用： 如图3，现有长为40米的拔河比赛专用绳AB左右两端各有一段（AC和BD）磨损了，磨损后的麻绳不再符合比赛要求，已知磨损的麻绳总长度不足20米．只利用麻绳AB和一把剪刀（剪刀只用于剪断麻绳）就可以得到一条长20米的拔河比赛专用绳EF，学习小组应用“线段中点”的结论很快做出了符合要求的专用绳EF，请你尝试着“复原”他们的想法： ①在图中标出点E点F的位置，并简述画图方法； ②请说明①题中所标示E，F点的理由． 【分析】（1）根据线段的和差定义，线段的中点的定义解决问题即可． （2）①如图3中，在CD上取得M，使得AC＝CM，F为BM的中点，点E与C重合． ②根据线段的和差定义，线段的中点的定义解决问题即可． 【解答】解：（1）如图1中， ∵ECAC，CFBC， ∴EF＝EC+CF（AC+BC）AB＝6． 如图2中， ∵ECAC，CFBC， ∴EF＝EC﹣CF（AC﹣BC）AB． 故答案为6，AB． （2）①如图3中，在CD上取得M，使得AC＝CM，F为BM的中点，点E与C重合． ②∵F为BM的中点， ∴MF＝FB， ∵AB＝AC+CM+MF+FM，CM＝AC， ∴AB＝2CM+2MF＝2（CM+MF）＝2EF， ∵AB＝40m， ∴EF＝20m， ∵AC+BD＜20m， ∵点E与C重合，EF＝20m， ∴CF＝20m， ∴点F落在线段CD上． 【点评】本题属于作图设计，线段的和差定义，线段的中点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 线段中的常见的四种数学思想方法（原卷版） 专题解读: 本专题共30题，试题挑选的是各地区最新的期中期末试题，题型针对性高，覆盖面广，试题有深度，可加强学生对线段中四种常见数学方法的理解。 类型一 整体思想 1．（2024秋•西城区校级期中）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN＝10，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点M1、N1；第二次操作：分别取线段AM1和AN1的中点M2，N2；第三次操作：分别取线段AM2和AN2的中点M3，N3；⃯⃯连续这样操作15次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和M1N1+M2N2+…+M15N15＝　 ． 2．（2023秋•惠城区校级期末）如图，C、D是线段AB上两点，M、N分别是线段AD、BC的中点，下列结论：①若AD＝BM，则AB＝3BD；②若AC＝BD，则AM＝BN；③AC﹣BD＝2（MC﹣DN）；④2MN＝AB﹣CN．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 3．（2022秋•讷河市期末）如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点． （1）若AC＝9cm，CB＝6cm，求线段MN的长； （2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB＝a cm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？请直接写出你的答案． （3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC＝b cm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由． 4．（2023秋•高新区校级期中）（1）如图，已知线段AB、CD，线段AB在线段CD上（点C、A在点B的左侧，点D在点C的右侧）． ①若线段AB＝6，CD＝14，M、N分别为AC、BD的中点，求MN的长． ②若线段AB＝m，CD＝n，M、N分别为AC、BD的中点，则线段MN＝　 　（用含m，n的代数式表示）． （2）若线段CD在线段AB的延长线上（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），M、N分别为AC、BD的中点，②中的结论是否成立？请画出图形，直接写出结论（用含m，n的代数式表示）． 5．（2023秋•福州期末）如图，线段AB＝24，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点．设点P的运动时间为x秒． （1）若x＝5时，求BM的长； （2）当P在线段AB上运动时，2BM﹣PB是定值吗？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； （3）当P在射线AB上运动时，N为BP的中点，求MN的长度． 6．（2023秋•鹤城区校级期中）【背景知识】数轴上A、B两点在对应的数为a，b，则A、B两点之间的距离定义为：AB＝|b﹣a|． 【问题情境】已知点A、B、O在数轴上表示的数分别为﹣4、10和0，点M、N分别从O、B出发，同时向左匀速运动，点M的速度是每秒1个单位长度，点N的速度是每秒3个单位长度，设运动的时间为t秒（t＞0）． （1）填空：①OA＝ 　，OB＝　 　； ②用含t的式子表示：AM＝　 　；AN＝ 　； （2）当t为何值时，恰好有AN＝2AM； （3）如图，直线l上有A，B两点，AB＝18cm，点O是线段AB上的一点，OA＝2OB．若动点P，Q分别从A，B同时出发，向右运动，点P的速度为3cm/s，点Q的速度为2cm/s，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动．设运动时间为t（s），求当t为何值时，2OP﹣OQ＝6（cm）？ 类型二 方程思想 7．（2023秋•郏县期末）如图1，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段长度是另外一条长度的2倍，则称点C是线段AB的“好点”．如图2，已知AB＝16cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设运动的时间为t（s），当t＝　 　s时，Q为线段AB的“好点”． 8．（2020秋•汉阳区期末）如图1，点C在线段AB上，BC＝2AC．P，Q两点同时从点C，B出发，分别以1cm/s，2cm/s的速度沿直线AB向左运动，当点P达点A时，两点立即停止运动． （1）的值是 　　． （2）取PQ中点M，CQ的中点N．求的值． 类型三 分类讨论思想 9．（2022秋•永川区期末）如图，已知A、B、C是数轴上三点，点C表示的数为6，BC＝4，AB＝12． （1）写出数轴上点A、B表示的数； （2）动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为AP的中点，点N在线段CQ上，且CNCQ，设运动时间为t（t＞0）秒． ①求数轴上点M、N表示的数（用含t的式子表示）； ②t为何值时，原点O恰为线段PQ的中点． 10．（2023秋•汉台区月考）【问题背景】如图1，点C在线段AB上，图中共有3条线段：AB、AC、和BC．若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段AB的“二倍点”． （1）【探索新知】一条线段的中点 　 　这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”） （2）【深入研究】如图2，点A表示数﹣10，点B表示数20，点C在线段AB上，O表示原点．若点M从点B出发，以每秒3cm的速度向点A运动，当点M到达点A时停止运动，设运动的时间为t秒（0≤t≤10）． ①求t为何值时，点M是线段AB的“二倍点”； ②点M开始运动的同时，点N从点A的位置开始，以每秒2cm的速度向点B运动，并与点M同时停止．请求出点M是线段AN的“二倍点”时t的值． 11．（2023秋•全椒县期末）如图，C是线段AB上一点，AC＝5cm，点M从点A出发，沿AB以3cm/s的速度匀速向点B运动．点N从点C出发，沿CB以1cm/s的速度匀速向点B运动，两点同时出发，结果点M比点N先到3s．设点M出发时间为t（s）． （1）求线段AB的长； （2）是否存在某个时刻，点C恰好是线段MN的中点？如果存在，请求出t的值．若不存在，请说明理由； （3）求点M与点N重合时（未到达点B），t的值； （4）直接写出点M与点N相距2cm时，t的值． 12．（2022秋•镇平县期末）如图，点C是线段AB的中点．点D在线段CB上，且DB＝2.5cm，AD＝8.5cm． （1）线段CD的长度为 　 ． （2）若点E在射线CA上，且AE＝3cm，请求出线段CE的长度． （3）动点M从点A出发以每秒2个单位长度的速度向点B方向运动，同时，点N从点B出发以每秒1个单位长度的速度向点A方向运动，假设t秒时点M与点N相遇，则t＝　　；假设第m秒时，点M与点N之间的距离为2cm，则m＝　 ． 13．如图1，已知点A，B在数轴上，M是线段AB上一点，多项式m﹣m3+3m2的次数为a，项数为b，当m＝2时，此多项式的值为c． （1）分别求出a，b，c的值； （2）如图1，数轴上的点A，M，B表示的数分别是a﹣2，b+1，c+5，试比较2AM和BM的大小； （3）在（2）的条件下，如图2，点C在线段AM上，点D在线段BM上，若点C，D分别从M，B出发以1cm/s，3cm/s（一个单位长度表示1cm）的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示． ①当点C，D运动了2s时，求AC+MD的值． ②设点C，D的运动时间为t s．当AD﹣BD＝CD时，求t的值． 14．（2022秋•朝阳区校级期末）如图①，点C在线段AB上，图中共有3条线段：AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段AB的“巧点”． （1）①一条线段的中点 　 　这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”） ②若线段AB＝m，C是线段AB的“巧点”，则BC＝　 　．（用含m的代数式表示出所有可能的结果） （2）如图②，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣40，点B所表示的数为20．动点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿AB向终点B匀速移动．点Q从点B出发，以每秒3cm的速度沿BA向终点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时运动停止，若设移动的时间为t秒，求当t为何值时，点Q恰好是线段AP的“巧点”． 15．如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB，AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“和谐点”． （1）线段的中点 　 　这条线段的“和谐点”（填“是”或“不是”）； （2）如图②，若CD＝12cm，点N是线段CD的和谐点，则CN＝ 　 　cm； （3）如图③，已知AB＝15cm，动点P从点A出发，以1cm/s速度沿AB向点B匀速移动，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t s，请直接写出t为何值时，A，P，Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的和谐点． 16．（2021秋•滨江区期末）某操作车间有一段直线型向左移动的传输带，A，B两位操作工人站于传输带同侧且相距16米，操作组长F也站在该侧，且到A，B距离相等，传输带上有一个8米长的工具筐CE． （1）如图1，当CE位于A，B之间时，F发现工具筐的C端离自己只有1米，则工具筐C端离A 　 　米，工具筐E端离B 　米． （2）工具筐C端从B点开始随传输带向左移动直至工具筐E端到达A点为止，这期间工具筐E端到B的距离BE和工具筐E端到F的距离EF存在怎样的数量关系，并用等式表示．（你可以在图2中先画一画，再找找规律） 17．（2021秋•双流区期末）如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段：AB＝m，CD＝n，且m，n满足|m﹣4|+（n﹣8）2＝0，点M，N分别为AB，CD中点． （1）求线段AB，CD的长； （2）线段AB以每秒4个单位长度向右运动，线段CD以每秒1个单位长度也向右运动．若运动6秒后，MN＝4，求此时线段BC的长； （3）若BC＝24，将线段CD固定不动，线段AB以每秒4个单位速度向右运动，在线段AB向右运动的某一个时间段t内，始终有MN+AD为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内． 18．（2023秋•碑林区校级月考）如图，数轴上线段AB＝2（单位长度），CD＝4（单位长度），点A在数轴上表示的数是﹣12，点C在数轴上表示的数是14． （1）若点P是数轴上一动点，当动点P到点A的距离与到点D的距离之和等于34时，则点P对应的数是 　 　； （2）若点M从点A出发向右运动，速度为2个单位长度/秒，点N从点D出发向左运动，速度为4个单位长度/秒，点P从原点出发，速度为3个单位长度/秒．点M，N和P三点同时运动，点P先向右运动，遇到点N立即掉头向左运动，遇到点M再立即掉头向右运动，如此往返，当M，N两点相距12个单位长度时，点P立即停止运动，此时点P移动的路程为 　 　个单位长度； （3）若线段AB以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动．点P是线段AB＝2上一点，当B点运动到线段CD上时，是否存在关系式，若存在，求线段PD的长；若不存在，请说明理由． 19．如图，点C在线段AB上，AC＝6cm，CB＝4cm，点M以1cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点N以2cm/s的速度从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点M运动到点C时，点M，N都停止运动，设点M运动的时间为t s． （1）当t＝1s时，求MN的长； （2）当t为何值时，点C为线段MN的中点？ （3）若点P是线段CN的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，直接写出PM的长度；如果在整个运动过程中PM的长都在变化，请说明理由． 20．（2020秋•襄都区期末）如图，点C在线段AB上，AC＝6cm，CB＝4cm，点M以1cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点N以2cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点M运动到点C时，点M、N都停止运动，设点M运动的时间为ts． （1）当t＝1时，求MN的长； （2）当t为何值时，点C为线段MN的中点？ （3）若点P是线段CN的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由． 21．（2022秋•绥阳县期末）如图，将一条长为7cm的卷尺铺平后折叠，使得卷尺自身的一部分重合，然后在重合部分（阴影处）沿与卷尺边垂直的方向剪一刀，此时卷尺分为了三段，若这三段长度由短到长的比为1：4：5，其中没有完全盖住的部分最长，则折痕对应的刻度可能是 　 　cm． 22．已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧．若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动． ①如图1，当E为BC中点时，求AD的长； ②点F（异于A，B，C点）在线段AB上，AF＝3AD，CE+EF＝3，求AD的长． 类型四 数形结合思想 23．（2023秋•临江市期末）如图，有一根木棒MN放置在数轴上，它的两端M，N分别落在点A，B处．将木棒在数轴上水平移动，当MN的中点移动到点B时，点N所对应的数为18.4；当MN的右三等分点移动到点A时，点M所对应的数为5.4．木棒MN的长度为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 24．（2022秋•曹县期末）如图，把一根细线绳对折成两条重合的线段AB，点A为对折点，点P在线段AB上，且AP：BP＝3：4． （1）若细线绳的长度是126厘米，求图中线段AP的长． （2）从点P处把细线绳剪断后展开，细线绳变成三段，若三段中最长的一段为72厘米，求原来细线绳的长． 25．（2023秋•黄岛区校级期末）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件GeoGebra做了n次取线段中点实验：如图，设线段OP0＝1．第1次，取OP0的中点P1；第2次，取P0P1的中点P2；第3次，取P1P2的中点P3，第4次，取P2P3的中点P4；… （1）请完成下列表格数据． 次数 Pi﹣1Pi 线段OPi的长 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 … … … （2）小明对线段OP4的表达式进行了如下化简： 因为， 所以． 两式相加，得． 所以． 请你参考小明的化简方法，化简OP5的表达式． （3）类比猜想：Pn﹣1Pn＝　 ，OPn＝　 ，随着取中点次数n的不断增大，OPn的长最终接近的值是 　　． 26．（2022秋•太和县期末）在数学综合实践活动课上，小轩同学借助于两根小木棒m、n研究数学问题：如图，他把两根木棒放在数轴上，木棒的端点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、3、8，已知|a+5|+（b+1）2＝0． （1）求a和b的值； （2）若小轩把木棒m沿x轴正方向移动，m的速度为4个单位/s，设平移时间为t（s），在平移过程中原点O恰好是木棒m的中点，求t的值； （3）若小轩把木棒n与m同时沿x轴正方向移动，m的速度为4个单位/s，n的速度为3个单位s，设平移时间为t（s）．在平移过程中，当木棒m、n重叠部分的长为3个单位长度时，求t的值． 27．（2023秋•武江区校级期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：数轴上A点、B点表示的数为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，若a＞b，则可简化为AB＝a﹣b；线段AB的中点M表示为． 【问题情境】已知数轴上有A，B两点，分别表示的数为﹣10，8，点A以每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒2个单位向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）． 【综合运用】 （1）运动开始前，A，B两点的距离为 　 ；线段AB的中点M表示的是 　； （2）点A运动t秒后所在位置的点表示的数为 　 　；点B运动t秒后所在位置的点表示的数为 　 　；（用含t的代数式表示） （3）它们按上述方式运动，A，B两点经过多少秒会相距6个单位长度？ （4）若A，B按上述方式继续运动下去，线段AB的中点M能否与原点重合？若能，求出运动时间，并直接写出中点M的运动方向和运动速度；若不能，请说明理由．（当A，B两点重合，则中点M也与A，B两点重合） 28．（2024秋•孟村县期末）七（1）班的学习小组学习“线段中点”内容时得到一个很有意思的结论，请跟随他们一起思考． （1）发现： 如图1，线段AB＝12，点C，E，F在线段AB上，当点E，F是线段AC和线段BC的中点时，线段EF的长为 　；若点C在线段AB的延长线上，其他条件不变（请在图2中按题目要求将图补充完整），得到的线段EF与线段AB之间的数量关系为　 　． （2）应用： 如图3，现有长为40米的拔河比赛专用绳AB左右两端各有一段（AC和BD）磨损了，磨损后的麻绳不再符合比赛要求，已知磨损的麻绳总长度不足20米．只利用麻绳AB和一把剪刀（剪刀只用于剪断麻绳）就可以得到一条长20米的拔河比赛专用绳EF，学习小组应用“线段中点”的结论很快做出了符合要求的专用绳EF，请你尝试着“复原”他们的想法： ①在图中标出点E点F的位置，并简述画图方法； ②请说明①题中所标示E，F点的理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$