专题05 导数及其应用（考点串讲，考点聚焦+题型突破+方法技巧+押题猜想）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（苏教版2019）

高二数学上学期·期末复习大串讲 专题05 导数及其应用 苏教版（2019） 01 02 04 03 题型剖析 考点透视 押题预测 思维导图+知识梳理 常用结论+技巧点拨 精选6道期末真题对应考点练 十五大题型典例剖析+变式训练 方法技巧 目 录 01 考点透视 思维导图+知识梳理 思维导图 知识梳理 1.函数的平均变化率 f(x0+Δx) Δx 知识梳理 2.函数y=f(x)在x=x0处的导数 可导 3.函数f(x)的导函数 从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到,当x=x0时,f'(x0)是一个唯一确定的数.这样,当x变化时,y=f '(x)就是x的函数,我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y',即 知识梳理 4.基本初等函数的导数公式 (1)若f(x)=c(c为常数),则f '(x)=0; (2)若f(x)=xa(a∈Q,且a≠0),则f '(x)=axa-1; (3)若f(x)=sin x,则f '(x)=cos x; (4)若f(x)=cos x,则f '(x)=-sin x; (5)若f(x)=ax(a>0,且a≠1),则f '(x)=axln a; 特别地,若f(x)=ex,则f '(x)=ex; 知识梳理 5.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]'=　　　　　　　　　;  (2)[f(x)·g(x)]'=　　　　　　　　;  f'(x)±g'(x) f'(x)g(x)+f(x)g'(x) 6.复合函数的导数 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=　　　　　　　,即y对x的导数等于　　　　　的导数与　　　　　的导数的乘积.  y'u·u'x y对u u对x 知识梳理 7.函数的单调性与导数的关系 (1)已知函数f(x)在某个区间内可导, ①如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间上　　　　　　 　　;  ②如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间上　　　　　　　　;  ③如果f'(x)=0,那么函数y=f(x)在这个区间上是常数函数. (2)可导函数f(x)在[a,b]上单调递增,则有f'(x)≥0在[a,b]上恒成立. (3)可导函数f(x)在[a,b]上单调递减,则有f'(x)≤0在[a,b]上恒成立. (4)若函数y=f(x)在区间(a,b)上具有单调性,则f'(x)在该区间上不变号. 单调递增 单调递减 知识梳理 8.函数的极值 (1)函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f ′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧 ，右侧 ，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值. (2)函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f ′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧 ，右侧 ，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值. f ′(x)<0 f ′(x)>0 f ′(x)>0 f ′(x)<0 知识梳理 (3)极小值点、极大值点统称为　　　，极小值和极大值统称为　　. 9.函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条　　　　的曲线，那么它必有最大值和最小值. (2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的　　； ②将函数y＝f(x)的各极值与　　　　　　　　　　　　比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 极值点 极值 连续不断 极值 端点处的函数值f(a)，f(b) 02 常用结论+技巧点拨 方法技巧 常用结论+技巧点拨 1.可导函数f(x)在(a,b)上单调递增(减)的充要条件是∀x∈(a,b), 都有f '(x)≥0(f '(x)≤0)且f '(x)在(a,b)的任何子区间上都不恒为零. 2.对于可导函数f(x),f '(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件. 3.若f(x)的图象连续不断,则f(x)在[a,b]上有最大值与最小值;若f(x)在[a,b]上具有单调性,则f(x)的最大值与最小值在区间端点处取得;若f(x)在区间(a,b)上只有一个极大(小)值点,则极大(小)值点也是f(x)的最大(小)值点. 03 题型剖析 十五大题型典例剖析+变式训练 【例1】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】，，， 解得． 故选：C 题型一：导数的概念及导数的运算 典型例题 【变式1-1】（2024·高二·江苏南京·期末）若，则（   ） A． B．6 C．3 D． 【答案】B 【解析】由题意可知，， 故选：B 题型一：导数的概念及导数的运算 典型例题 【变式1-2】（2024·高二·内蒙古赤峰·期末）某物体运动的位移随时间变化的函数是，已知时刻该物体的瞬时速度为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为时刻该物体的瞬时速度为， 所以． 故选：C 题型一：导数的概念及导数的运算 典型例题 【例2】（2024·高二·河南开封·期末）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由， 则， 所以函数在点处的切线斜率， 则切线方程为， 即切线方程为， 故选：D． 题型二：切线问题 典型例题 【变式2-1】（2024·高二·四川成都·期中）直线过点且与曲线相切，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，设切点为，切线的倾斜角为， 则且，故， 故，故， 故选：B 题型二：切线问题 典型例题 【变式2-2】（2024·高二·江苏苏州·期中）设对于曲线上任一点处的切线，总存在曲线上一点处的切线，使得，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，则的切线斜率为， 由，则的切线斜率为， 而两曲线上总存在切线、有，即， 而，即，故， 所以，解得． 故选：B 题型二：切线问题 典型例题 【例3】（2024·高二·福建莆田·期末）函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由求导得，， 则当时，，即函数在上单调递增； 当时，，即函数在上单调递减， 故函数的单调递增区间为． 故选：D． 题型三：单调区间（不含参数） 典型例题 【变式3-1】（2024·高二·广东广州·期末）已知函数，则单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的定义域为且， 令，解得，所以单调递增区间是． 故选：B 题型三：单调区间（不含参数） 典型例题 【变式3-2】（2024·高二·陕西西安·期末）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数定义域是， 由已知，由得， ∴减区间为， 故选：A． 题型三：单调区间（不含参数） 典型例题 【例4】（2024·高二·吉林·期末）已知函数． （1）若曲线在点处的切线方程为，求和的值； （2）讨论的单调性． 【解析】（1）因为，所以． 由， 得曲线在点处的切线方程为， 即，则，解得， （2）． 若，则当时，，当时，． 若，则当时，， 当时，．若，则在上恒成立． 若，则当时，，当时，． 综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在和上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 当时，在和上单调递增，在上单调递减． 题型四：含参数分类讨论的单调性 典型例题 【变式4-1】（2024·高二·四川乐山·期末）已知函数． （1）若，求函数在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性． 【解析】（1）当时，，求导得， 则，而， 所以所求切线方程为，即 （2）函数的定义域为R，求导得， 当时，由，得，由，得或， 函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得，由，得或， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数的递减区间为，递增区间为； 当时，函数的递增区间为； 当时，函数的递减区间为，递增区间为． 题型四：含参数分类讨论的单调性 典型例题 【变式4-2】（2024·高二·江西南昌·期末）已知函数 ．记 为 的导函数． （1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程； （2）讨论 的单调性． 【解析】（1）当时，，则， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即； （2），则， 设，则， 令，得， 当即时，，， 此时在上单调递增； 当即时，，．，． 此时在上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． 题型四：含参数分类讨论的单调性 典型例题 【例5】（2024·高二·浙江宁波·期中）若函数在区间上有单调递增区间，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】，由题意在上有解， 即在上有解， 根据对勾函数的性质可知，在上单调递增，所以在时取最大值， 故，故实数的取值范围是． 故答案为： 题型五：已知函数的单调性求参数 典型例题 【变式5-1】（2024·高二·陕西西安·期末）若函数在上不单调，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为函数在上不单调， 所以在上有零点， 即方程在上有根，即方程在上有根， 又函数定义域为， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． 故答案为：． 题型五：已知函数的单调性求参数 典型例题 【变式5-2】（2024·高二·山西长治·期末）若函数（且）在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由函数（且）在区间上单调递增， 得在区间上恒成立， 又在区间上恒正，只需满足在区间上恒成立即可， 令， 若，则，则一次函数在区间上单调递减，不可能恒正； 若，则，则一次函数在区间单调递增， 所以只需，即，解得， 题型五：已知函数的单调性求参数 典型例题 【例6】（2024·高二·贵州安顺·期末）函数的所有极值之和为 ． 【答案】4 【解析】函数的定义域为，求导得， 由，得或，由，得或， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 于是当时，取得极大值， 当时，取得极小值， 所以函数的所有极值之和为． 故答案为：4 题型六：求函数的极值 典型例题 【变式6-1】（2024·高二·山东菏泽·期末）函数的极小值为 ． 【答案】 【解析】函数的定义域为， 又， 所以当或时，当或时， 所以在，上单调递增，在，上单调递减， 所以在处取得极小值，即极小值为． 故答案为： 题型六：求函数的极值 典型例题 【变式6-2】（2024·高二·安徽合肥·期末）已知，函数有两个不同极值点，则 ． 【答案】4． 【解析】由，可得， 令，即，解得， 所以． 故答案为：． 题型六：求函数的极值 典型例题 【例7】（2024·高二·福建龙岩·期中）函数既有极大值，又有极小值，则整数a的最大值为 ． 【答案】 【解析】定义域为R，， 当时，恒成立， 故在R上单调递增，故不存在极值，不合要求， 故，且至少有两个变号零点， 令，则需有两个不等正根， 令， 需满足，解得， 综上，，故整数a的最大值为． 故答案为： 题型七：根据极值或极值点求参数 典型例题 【变式7-1】（2024·高二·河北石家庄·期末）函数在处有极值10，则实数 ． 【答案】 【解析】由求导得，， 依题意，①，②， 联立① ，② ，解得：或． 当，时，， ，函数为增函数，显然不符合题意，故舍去； 当，时，， ，当时，，此时为减函数， 当时，，此时为增函数，故在处有极小值为，符合题意． 题型七：根据极值或极值点求参数 典型例题 【变式7-2】（2024·高二·陕西西安·期末）已知函数在时取得极大值4，则 ． 【答案】 【解析】由题意可知， 因为函数在时取得极大值4，所以， 解之得， 检验，此时，令或， 令， 即在上单调递增，在上单调递减，即满足题意， 故． 题型七：根据极值或极值点求参数 典型例题 【例8】（2024·高二·广东·期末）当时，函数的最小值为 ． 【答案】 【解析】由题意可知，， 令，有或（舍）， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得最小值． 故答案为： 题型八：求函数的最值 典型例题 【变式8-1】（2024·高二·北京延庆·期末）已知函数，则在区间上的最大值为 ． 【答案】 【解析】， 当或时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以在区间上的最大值为． 故答案为：． 题型八：求函数的最值 典型例题 【变式8-2】（2024·高二·福建龙岩·期末）已知函数，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】因为，则， 设，则， 所以在单调递增，又， 所以时，，即，则单调递减， 所以时，，即，则单调递增， 所以． 故答案为： 题型八：求函数的最值 典型例题 【例9】（2024·高二·浙江·期中）已知函数在内有最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的定义域为， ， 令可得或（舍）， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，即最小值， 又因为函数在内有最小值，故，解得， 所以的取值范围是．故选：B 题型九：根据最值求参数 典型例题 【变式9-1】（2024·高二·河南郑州·期末）函数在区间上有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】求导， 令，得． 易知函数在单调递增，在单调递减， 且，， 由图象知 故选：D． 题型九：根据最值求参数 典型例题 【变式9-2】（2024·高二·河北唐山·期末）已知函数在上的最大值为4，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，令，得或， 在和上，所以在和单调递增， 在上，所以在单调递减， 令求得，或， 又因在上的最大值为4，故舍弃， 又在上单调递减，所以在上， 在单调递增，所以当时，， 所以a的取值范围为， 故选：D 题型九：根据最值求参数 典型例题 【例10】（2024·高二·吉林·期末）某莲藕种植塘每年的固定成本是3万元，每年最大规模的种植量是15万斤，每种植1斤莲藕，成本增加1元，销售额（单位：万元）与莲藕种植量（单位：万斤）满足，要使销售利润最大，每年需种植莲藕（    ） A．12万斤 B．10万斤 C．8万斤 D．6万斤 【答案】A 【解析】设销售利润为， 则， 所以， 令得，令得， 可知在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，销售利润最大． 故选：A 题型十：利用导数解决实际应用问题 典型例题 【变式10-1】（2024·高二·云南昭通·期中）某产品的销售收入（万元）是产量（千台）的函数，且函数解析式为，生产成本（万元）是产量（千台）的函数，且函数解析式为，要使利润最大，则该产品应生产（    ） A．6千台 B．7千台 C．8千台 D．9千台 【答案】A 【解析】根据题意，设利润为万元，则，所以， 令，解得（舍去）或， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数取得极大值，也为最大值， 所以应生产6千台该产品时，利润最大． 故选：A． 题型十：利用导数解决实际应用问题 典型例题 【变式10-2】（2024·高二·天津和平·期末）将一个边长为12的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个容积为的无盖方盒． （1）求的解析式； （2）求无盖方盒的容积的最大值及此时小正方形边长的值． 【解析】（1）依题意，无盖方盒的底面正方形边长为，高为，显然， 所以方盒的容积． （2）由（1）知，， 求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此当时，， 所以无盖方盒的容积的最大值为128，此时． 题型十：利用导数解决实际应用问题 典型例题 【例11】（2024·高二·广东东莞·期末）已知函数的图象在点处的切线方程是 ． （1）求实数的值； （2）若，求证：． 【解析】（1）由题， 所以由导数几何意义以及切线方程得， ． （2）由（1）， 因为，故当时恒成立； 令，则在上恒成立，且当且仅当时， 所以在上单调递增， 所以，所以当时即恒成立， 所以当时，， 综上得：若，． 题型十一：证明不等式 典型例题 【变式11-1】（2024·高二·云南玉溪·期末）已知． （1）求在点处的切线方程； （2）记的最大值为，求证：． 【解析】（1），，， 所以在点处的切线方程为． （2）证明：当时，；当时，， 所以求的最大值为只需讨论时，， 令，， 当时，，在上单调递减， ，，故，使得． 即． 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 所以． 由于，，所以． 题型十一：证明不等式 典型例题 【变式11-2】（2024·高二·广东茂名·期末）已知函数，． （1）若在点处的切线的斜率为1，求的极值； （2）若，证明：当时，． 【解析】（1）， 若在点处的切线的斜率为1，则，解得， 所以，， 令，解得， 当时，，所以单调递减， 当时，，所以单调递增， 所以在有极小值，，无极大值； （2）若，则， 令，所以， 令，则， 当时，，所以单调递减，所以， 即，所以在上单调递增， 所以， 可得，即． 题型十一：证明不等式 典型例题 【例12】（2024·高二·河南信阳·期末）已知函数（为自然对数的底数）． （1）判断是否存在零点，若存在求出其零点，若不存在，说明理由； （2）若恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）函数的定义域为，， 由，得，由，得， 所以，在上递减，在上递增， 所以，当时，取极小值，． 因为只有一个极小值点，也是最小值点，且， 所以，不存在零点． （2），即． 令 构造函数， 由，得，由，得， 所以在上递减，在上递增， 所以，当时，取极小值，． 则．故的取值范围为． 题型十二：恒成立与能成立问题 典型例题 【变式12-1】（2024·高二·河北·期末）已知函数． （1）讨论的导函数的单调性； （2）若对任意恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）由题可知． 设，则． ①当时，在上恒成立， 所以在上单调递增． ②当时，令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，是上的增函数， 当时，在上是减函数，在上是增函数． （2）①当时，在上单调递增，， 则在上单调递增，故成立； ②当时，，所以在上单调递增，， 则单调递增，故成立； ③当时，当时，在上单调递减， 又，所以在上单调递减，则不成立． 综上，的取值范围为． 题型十二：恒成立与能成立问题 典型例题 【变式12-2】（2024·高二·天津·期中）设函数． （1）若，求在处的切线方程 （2）若，，求的取值范围 【解析】（1）若，则， 可得， 即切点坐标为，斜率， 所以切线方程为，即． （2）若，，即，， 原题意等价于， 构建，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则， 可得，所以的取值范围为． 题型十二：恒成立与能成立问题 典型例题 【例13】（2024·高二·河南洛阳·期中）已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）讨论函数在区间内的零点的个数． 【解析】（1）当时，， 令，得或；令，得或；令，得或； 则函数的单调递增区间为和，单调递减区间为． （2）由，得 设函数， 讨论函数在区间内的零点个数等价于研究函数与直线在区间内的交点的个数， 由知， 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增． 当时，在区间内取最小值． 又，且当时，， 综上，当时，函数与直线在区间内无交点，函数在区间内无零点； 当或时，函数与直线在区间内有一个交点，函数在区间内有一个零点， 当时，函数函数与直线在区间内有2个交点． 题型十三：零点问题 典型例题 【变式13-1】（2024·高二·北京海淀·期末）已知函数． （1）判断在上的单调性，并证明； （2）求在上的零点个数． 【解析】（1）在上单调递增，证明如下： 因为， 所以， 又因为，从而， 所以， 所以在上单调递增． （2）由（1）知：， 因为， 令，得． 与在区间上的情况如下： 因为，， 所以由零点存在定理及单调性可知，在上恰有一个零点． 题型十三：零点问题 典型例题 【例14】（2024·高二·河南郑州·期中）已知函数． （1）当，时，求证恒成立； （2）当时，，求整数的最大值． 【解析】（1）当，时，记，则， 因为在上单调递增，且，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，所以恒成立． （2）当时，，即， 因为，所以只需， 令，， 令，， 在上是增函数， ，，根据零点存在定理，，使得， 即，即， 当时，，即，单调递减， 当时，，即，单调递增， 所以，故； 又在上单调递增，，所以， 又，所以．所以整数的最大值是． 题型十四：双变量问题 典型例题 【变式14-1】（2024·高二·重庆·期末）设为自然对数的底数，已知函数． （1）当函数图象的切线经过原点时，求切线的方程； （2）当实数满足且，求的最大值． 【解析】（1），设函数的图象上一点为， 则该点处的切线为， 即切线为， 解得或此时或切线的方程为或； （2）设，则，再设，则， 由得在上单调递增，同理得在上单调递减， 即在上单调递增，在上单调递减， 容易得到当时，，当时，， 时，的最大值为，即， 由，得，而， 必存在，使得，且当时，， 当时，，即在上单减，在上单增， 题型十四：双变量问题 典型例题 【变式14-1】（2024·高二·重庆·期末）设为自然对数的底数，已知函数． （1）当函数图象的切线经过原点时，求切线的方程； （2）当实数满足且，求的最大值． 而， 当时，， 当时，，即，当且仅当时等号成立， ，故当时，， 即当时，当且仅当时等号成立， ， 当且仅当时等号成立，的最大值为8． 题型十四：双变量问题 典型例题 【例15】（2024·高二·重庆·期中）已知是定义在上的可导函数，满足，且对任意的，都有，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 考虑构造函数，则， 所以函数在上单调递增， 不等式，可化为， 所以， 所以， 所以， 所以不等式的解集为， 故答案为：． 题型十五：利用构造函数解决不等式问题 典型例题 【变式15-1】（2024·高二·江苏南京·期末）已知定义在上的函数的导函数，若，且，则不等式的解集是 ． 【答案】 【解析】设，则， 因为，所以，所以在上单调递减； 不等式等价于，即， 因为，所以， 所以，即，解得． 故答案为： 题型十五：利用构造函数解决不等式问题 典型例题 【变式15-2】（2024·高二·吉林·期末）已知函数的定义域为，其导函数是．若恒成立，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】由题意可知，令，则， 所以在定义域内单调递增． 因为， 所以关于的不等式可化为， 即． 因为，所以， 即不等式的解集为． 故答案为：． 题型十五：利用构造函数解决不等式问题 典型例题 04 押题预测 精选6道期末真题对应考点练 1.（多选题）（2024·高二·青海·期末）若函数在上单调递减，则a的取值可以是（   ） A．0.39 B． C．0.42 D． 【答案】BCD 【解析】. 当，时，，所以对恒成立， 设， 则且， 则解得. 故选：BCD． 2.（2024·高二·天津滨海新·期末）已知，直线与曲线相切，则的最小值是 ． 【答案】25 【解析】根据题意，设直线与曲线的切点为， 因为，直线的斜率为， 所以，，， 所以， 因为， 所以，当且仅当时等号成立. 所以的最小值是25. 故答案为：25. 3.（2024·高二·四川德阳·期末），，都有，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【解析】不妨，由题意分式 转化为， 则，即，故函数单调递增， 又因为，解得， ，单调递增，所以. 故答案为： . 4.（2024·高二·山东威海·期末）若函数有两个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】函数的定义域是， 令，得， 令， 令， 令解得， 所以在区间上单调递增， 在区间上单调递减， ，， 当时，， 所以，所以， 所以当时，，即，单调递增； 当时，，即，单调递减. ，当时，，， 所以，要使有两个解，则需. 5.（2024·高二·广西玉林·期末）已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 不等式在上恒成立， 所以在恒成立即可， 在恒成立即可， 令，则即可， 所以的对称轴为：， 所以在的最大值为：， 所以，故实数的取值范围是. 故答案为： 6.（2024·高二·甘肃临夏·期末）函数存在唯一的极值点，则实数t的最大值为 ． 【答案】 【解析】因为，， 所以， 依题意可得存在唯一的变号正实根， 即存在唯一的变号正实根， 当时，方程只有唯一变号正实根，符合题意， 当，方程，即没有除之外的正实根， 令，则， 所以当时，，即在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，所以，则实数t的最大值为. 对于函数y=f(x),设自变量x从x0变化到x0+Δx,相应地,函数值y就从f(x0)变化到　　　　.这时,x的变化量为　　　　,y的变化量为Δy=f(x0+Δx)-f(x0).我们把比值,即叫做函数y=f(x)从x0到x0+Δx的平均变化率.  (1)定义:如果当Δx→0时,平均变化率无限趋近于一个确定的值,即有极限,则称y=f(x)在x=x0处　　　　,并把这个确定的值叫做y=f(x)在x=x0处的导数(也称为瞬时变化率),记作f'(x0)或y', 即f'(x0)=.  (2)几何意义:f'(x0)是在曲线y=f(x)上点(x0,f(x0))处的切线的斜率. f'(x)=y'=. (6)若f(x)=logax(a>0,且a≠1),则f'(x)=; 特别地,若f(x)=ln x,则f'(x)=. (3)'=(g(x)≠0). $$