专题04 数列（考点串讲，考点聚焦+题型突破+方法技巧+押题猜想）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点大串讲（苏教版2019）

高二数学上学期·期末复习大串讲 专题04 数列 苏教版（2019） 01 02 04 03 题型剖析 考点透视 押题预测 思维导图+知识梳理 常用结论+技巧点拨 精选6道期末真题对应考点练 八大题型典例剖析+变式训练 方法技巧 目 录 01 考点透视 思维导图+知识梳理 思维导图 知识梳理 1.等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差都等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 表示，定义表达式为_______________________ . (2)等差中项 若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝ . 2 同一个常数 d an－an－1＝d(常数)(n≥2， n∈N*) 知识梳理 2.等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝ . (2)前n项和公式：Sn＝ 或Sn＝ . 3.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋ (n，m∈N*). (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 . (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为 的等差数列. a1＋(n－1)d (n－m)d ak＋al＝am＋an md 知识梳理 (4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列. (5)S2n－1＝(2n－1)an. (6)等差数列{an}的前n项和为Sn， 为等差数列. 知识梳理 4.等比数列的有关概念 (1)定义：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的比都等于 (不为零)，那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做 等比数列的 ，通常用字母q表示，定义的表达式为 (n∈N*，q为非零常数). (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么 叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab. 2 同一个常数 公比 G 知识梳理 5.等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝ . (2)前n项和公式： Sn＝___________________________ 6.等比数列的性质 (1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(m，n∈N*). a1qn－1 知识梳理 (2)对任意的正整数m，n，p，q，若m＋n＝p＋q＝2k，则 ＝ . (3)若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列(m为偶数且q＝－1除外). (4)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为 . am·an qk 02 常用结论+技巧点拨 方法技巧 常用结论+技巧点拨 1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p. 2.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值. 3.等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列. 4.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).这里公差d＝2A. 5.等比数列{an}的通项公式可以写成an＝cqn，这里c≠0，q≠0. 6.等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0). 03 题型剖析 八大题型典例剖析+变式训练 【例1】（2024·高二·青海·期末）已知等差数列的前项和为，且，则 ． 【答案】 【解析】由题意得，得． 故答案为： 题型一：等差数列与等比数列的基本运算 典型例题 【变式1-1】（2024·高二·海南海口·期末）已知等差数列的首项，前项和为，若，则公差 ． 【答案】 【解析】由题意可知， 所以． 故答案为： 题型一：等差数列与等比数列的基本运算 典型例题 【变式1-2】（2024·高二·甘肃定西·期末）已知等比数列的首项，其前项和为，若，则 ． 【答案】2或8 【解析】因为，所以，， 当时，； 当时，，即，故． 综上，或8． 故答案为：2或8． 题型一：等差数列与等比数列的基本运算 典型例题 【变式1-3】（2024·高二·福建福州·期末）在等比数列中，，，则 【答案】4 【解析】在等比数列中，奇数项都是同号的，则， 由，得， 故答案为：4 题型一：等差数列与等比数列的基本运算 典型例题 【例2】（2024·高二·西藏拉萨·期末）在等差数列中，，则 ． 【答案】40 【解析】由题意有，得． 故答案为：． 题型二：等差、等比数列的性质及应用 典型例题 【变式2-1】（2024·高二·河南焦作·期末）记等差数列的前项和为，若，则 ． 【答案】 【解析】因为，又， 所以，所以． 故答案为： 题型二：等差、等比数列的性质及应用 典型例题 【变式2-2】（2024·高二·陕西渭南·期末）已知等比数列的前项和为，且，，则的值为 ． 【答案】 【解析】由数列为等比数列， 当时，，则，此方程无解， 当时，， 所以，化简可得， 所以； 题型二：等差、等比数列的性质及应用 典型例题 【例3】（2024·高二·河南漯河·期末）已知数列满足：，． （1）若，求证：为等差数列． （2）求数列的前项和． 【解析】（1）因为，所以， 即，，又， 所以是以为首项，为公差的等差数列； （2）由（1）可得，则， 所以， 所以 ． 题型三：证明等差、等比数列 典型例题 【变式3-1】（2024·高二·云南昆明·期末）已知数列满足，． （1）求证：是等差数列，并求的通项公式； （2）记，求． 【解析】（1）因为， ，即， 数列是首项， 公差的等差数列， 故， （2）因为， =． 题型三：证明等差、等比数列 典型例题 【变式3-2】（2024·高二·安徽阜阳·期末）已知数列的首项，且． （1）证明：数列是等比数列． （2）求满足的最大整数． 【解析】（1）证明：由，两边取倒数，并整理得， 则，因为，所以数列是等比数列． （2）由（1）得， 则， 显然为单调递增数列，则满足条件的最大整数为99． 题型三：证明等差、等比数列 典型例题 【例4】（2024·高二·重庆渝中·期中）若数列的前项和公式为，则的通项公式为 ． 【答案】 【解析】当时：； 当时：； 经检验，不满足上式， 综上所述：． 故答案为：． 题型四：数列的通项公式 典型例题 【变式4-1】（2024·高二·山东·期中）在数列中， ，则的通项公式为 ． 【答案】； 【解析】， 故， 所以 ． 故答案为： 题型四：数列的通项公式 典型例题 【变式4-2】（2024·高二·上海·期中）若数列满足，且（其中，），则的通项公式是 ． 【答案】 【解析】在数列中，，当时，， 则 ，满足上式， 所以的通项公式是． 故答案为： 题型四：数列的通项公式 典型例题 【变式4-3】（2024·高二·海南海口·期中）已知数列的前项和为且满足，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【解析】当时，， 化简得，， 利用累乘法得 ， 显然满足上式， 所以 题型四：数列的通项公式 典型例题 【例5】（2024·高二·内蒙古赤峰·期末）在数列中，． （1）求证：是等比数列； （2）若，求的前项和． 【解析】（1）．则 是以1为首项2为公比的等比数列． （2）由（1）可得，， ，∴， 设的前项和 令①， ②， ①②得， ， ∵， ． 题型五：数列求和 典型例题 【变式5-1】（2024·高二·贵州安顺·期末）若数列是等差数列，且满足，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前99项和． 【解析】（1）等差数列中，，则公差， 因此， 所以数列的通项公式为． （2）由（1）知，， 所以． 题型五：数列求和 典型例题 【变式5-2】（2024·高二·福建福州·期末）设为数列的前项和，已知，． （1）求证：是等差数列； （2）求数列的前项和． 【解析】（1）当时，，则， 因为①， 所以时，②， 由①－②得，时，，即， 因为，所以，即， 故是以1为首项，1为公差的等差数列； （2）由（1），得， 所以， ． 题型五：数列求和 典型例题 【例6】（2024·高二·四川眉山·期末）已知满足对一切正整数n均有且恒成立，则实数的范围为 ． 【答案】 【解析】因为对一切正整数n均有且恒成立， 所以，化简得到， 的最小值为3． 所以， 故答案为：． 题型六：数列中的范围与最值问题 典型例题 【变式6-1】（2024·高二·云南曲靖·期末）已知数列满足，，且．若是数列的前项积，求的最大值为 ． 【答案】 【解析】由和知， 故有 ，可知数列为等比数列， 公比为，首项为， 故通项为：， 于是， 因，为增函数， 故当或时，取得最大值，为． 题型六：数列中的范围与最值问题 典型例题 【变式6-2】（2024·高二·北京顺义·期末）已知各项均为正数的等比数列，，，则 ；前项积的最小值为 ． 【答案】 8 【解析】设等比数列的公比为， 由题意可得：，解得， 可得，所以； 令，解得， 所以的最小值为． 题型六：数列中的范围与最值问题 典型例题 【例7】（2024·高二·山东临沂·期末）中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁”，即1遂为1520岁．某疗养中心恰有57人，他们的年龄（都为正整数）依次相差一岁，并且他们的年龄之和恰好为三遂，则最年轻者的年龄为（    ） A．52 B．54 C．58 D．60 【答案】A 【解析】将他们的年龄从小到大依次排列为， 所以，，解得． 故选：A． 题型七：数列的实际应用 典型例题 【变式7-1】（2024·高二·安徽黄山·期末）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”，其大意是：有一个人要去某关口，路程为里，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程是前一天的一半，走了六天到达该关口，则此人第三天走的路程为（    ） A．48里 B．45里 C．43里 D．40里 【答案】A 【解析】设第六天走的路程为里，则第五天走的路程为里， 依此往前推，第一天走的路程为里， 结合题意可得：， 解得， 则第三天走的路程为里．故选：A． 题型七：数列的实际应用 典型例题 【变式7-2】（2024·高二·河北邯郸·期末）一个弹性小球从10米高处自由落到地面后弹起到原来的一半高度，再自由落到地面后又弹起到上一次的一半高度，如此反复进行下去，则小球第五次落地时经过的路程为（    ） A．29．375米 B．19．375米 C．38．75米 D．28．75米 【答案】D 【解析】前五次落地经过的路程分别为10米、10米、5米、2．5米、1．25米，其和为28．75米， 故选：D 题型七：数列的实际应用 典型例题 【例8】（2024·高二·上海·期末）用数学归纳法证“”的过程中，当到时，左边所增加的项为 ． 【答案】 【解析】由 当到时，左边增加了两项，减少了一项， 即左边所增加的项为． 故答案为：． 题型八：数学归纳法 典型例题 【变式8-1】（2024·高二·江苏连云港·期中）用数学归纳法证“（）”的过程中，当到时，左边所增加的项为 ． 【答案】 【解析】当时，等式为， 当时，等式为， 因此，从“”变到“”时， 左边应增加的项是 ． 题型八：数学归纳法 典型例题 【变式8-2】（2024·高二·上海普陀·期末）在数列中，为正整数． （1）若数列为常数列，求的通项； （2）若，用数学归纳法证明：． 【解析】（1）， ，又数列为常数列， ，解得或（舍去） 的通项公式为． （2）当时，，成立； 假设时成立，即， 当时，（为锐角）， 即时，成立， 综上，对任意，都有． 题型八：数学归纳法 典型例题 04 押题预测 精选6道期末真题对应考点练 1.（多选题）（23-24高二下·陕西西安·期末）已知是等差数列，是等比数列，下列说法正确的是（    ） A．是等比数列 B．是等差数列 C．若，则为递减数列 D．若，则为递增数列 【答案】AC 【解析】是等差数列，设公差为；是等比数列，设公比为， A选项，设，则为常数，所以是等比数列，A正确； B选项，设，当满足是等比数列， 此时，，不是等差数列，B错误； C选项，时，即，得，则为递减数列，C正确； D选项，当满足是等比数列，且，，，此时不是单调数列，D错误. 故选：AC. 2.（多选题）（23-24高二下·云南·期末）已知等差数列的公差为，前项和为，若，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．当时，取得最小值 D．当时，满足的最大整数的值为25 【答案】ABD 【解析】因为， 所以， 即，所以，故A正确． 因为，，成等差数列， 所以，而，则，故B正确． 因为，由得， 即，所以，所以对称轴为：， 所以当时，开口向上，当，取得最小值， 当时，开口向下，当，取得最大值，故C错误． 因为，数列单调递增，所以，， 则，，又因为， 所以当时，满足的最大整数的值为25，D正确． 故选：ABD 3.（多选题）（23-24高二上·江苏南京·期末）设等比数列的公比为，前项积为，且满足条件，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．的值是中最大的 D．使成立的最大自然数等于4044 【答案】AD 【解析】，，， 同号，且或， 若，则不同号； 若，则，不满足要求； 故可得，，故A正确； ，且，可得，故B错； ，又，且最大，故C错； ，且为等比数列， 由等比数列的性质可得，， 使成立的最大自然数等于4044，故D正确. 故选：AD. 4.（多选题）（23-24高二下·贵州六盘水·期末）已知等差数列的公差，其前n项和为，则下列说法正确的是（    ） A．是等差数列 B．若，则有最大值 C．，，成等差数列 D．若，，则 【答案】ABD 【解析】，，故A正确； 若，则，最大；若，，最大； 若，则，则存在，，，故最大，故B正确； 对数列：1，2，3，…，取，，，，故C错误； 不妨设，则， 即，∴， 而，故，D正确． 故选:ABD． 5.（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题．现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第层货物的个数为，则数列的前12项和 . 【答案】 【解析】由题意可知， ， ， ， …… ， 所以， ， ，， 当时，上式也成立， 故，， 所以数列， . 6.（23-24高二上·江苏南京·期末）已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，设，数列的前项的和为，则 ． 【答案】3035 【解析】设等差数列的公差为， 因为，成等比数列，则，即， 整理得，由，解得， 所以，则， 所以， 故答案为：3035． na1＋d ＝q ap·aq＝a (5)若或则等比数列{an}递增. 若或则等比数列{an}递减. $$