专题02全等三角形（考点串讲，4个常考点+4种模型+5个易错+押题预测）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（人教版）

八年级数学上学期·期末复习大串讲 专题02 全等三角形 人教版 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 四大常考点：知识梳理 四大题型典例剖析 五大易错易混经典例题 精选5道期末真题对应考点练 目 录 考点透视 考点1　全等三角形的性质 1. 如图，已知△ ABC ≌△ DBE ，∠ EBC ＝40°，若 AB ⊥ DE 于点 F ，则∠ A 的度数为(　D　) A. 35° B. 40° C. 45° D. 50° D 2. [2024上海期末]如图所示，已知△ ABD ≌△ CFD ， AD ⊥ BC 于点 D ，延长 CF 交 AB 于点 E . (1)求证： CE ⊥ AB ； (1)证明：∵ AD ⊥ BC ， ∴∠ CDF ＝90°，∵△ ABD ≌△ CFD ， ∴∠ BAD ＝∠ DCF . 又∵∠ AFE ＝∠ CFD ， ∴∠ AEF ＝∠ CDF ＝90°，∴ CE ⊥ AB . (2)解：∵△ ABD ≌△ CFD ，∴ BD ＝ DF ， AD ＝ DC . 又∵ BC ＝7， DC ＝ AD ＝5，∴ BD ＝ BC － CD ＝2， ∴ AF ＝ AD － DF ＝ AD － BD ＝5－2＝3. 考点2　全等三角形的判定 3. 【新考法·操作探究】[2024石家庄期末]在△ ABC 中，∠ B ＝∠ C ＝50°，将 △ ABC 按下列方式沿虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是(　D　) D A B C D 4. [2023重庆开州区月考]如图，已知 AB ⊥ BC ， AD ⊥ DE ， AB ＝ AD ， AE ＝ AC ， AE ， BC 交于点 F ， AC ， DE 交于点 G . (1)求证：∠ BAE ＝∠ DAC ； (1)证明：∵ AB ⊥ BC ， AD ⊥ DE ， ∴∠ B ＝∠ D ＝90°. 在Rt△ ABC 和Rt△ ADE 中， ∴Rt△ ABC ≌Rt△ ADE (HL)，∴∠ BAC ＝∠ DAE ， ∴∠ BAC －∠ EAC ＝∠ DAE －∠ EAC ， 即∠ BAE ＝∠ DAC . 4. [2023重庆开州区月考]如图，已知 AB ⊥ BC ， AD ⊥ DE ， AB ＝ AD ， AE ＝ AC ， AE ， BC 交于点 F ， AC ， DE 交于点 G . (2)若 AC ＝7， AF ＝4，求 CG 的长. (2)解：在△ ABF 和△ ADG 中， ∴△ ABF ≌△ ADG (ASA)，∴ AF ＝ AG ＝4. ∵ AC ＝7，∴ CG ＝ AC － AG ＝7－4＝3. 考点3　全等三角形性质与判定的综合应用 5. 【新考法·结论辨析】[2024邢台期末]如图， PA ＝ PB ，在证明∠ A ＝∠ B 时，需要添加辅助线，下面有甲、乙两种辅助线的作法： 甲：作底边 AB 的中线 PC ； 乙：作 PC 平分∠ APB 交 AB 于点 C . 则(　A　) A A. 甲、乙两种作法都正确 B. 甲正确，乙不正确 C. 甲不正确，乙正确 D. 甲、乙两种作法都不正确 6. [2024遵义期末]如图，点 E ， A ， B ， F 在同一条直线上，已知∠ CAE ＝∠ DBF ， AC ＝ BD . 求证： (1) BC ＝ AD ； 证明：(1)∵∠ CAE ＝∠ DBF ， ∠ CAB ＋∠ CAE ＝180°，∠ DBF ＋∠ DBA ＝180°， ∴∠ CAB ＝∠ DBA . 在△ CAB 和△ DBA 中， ∴△ CAB ≌△ DBA (SAS)，∴ BC ＝ AD . 6. [2024遵义期末]如图，点 E ， A ， B ， F 在同一条直线上，已知∠ CAE ＝ ∠ DBF ， AC ＝ BD . 求证： (2)∠ CAD ＝∠ DBC . 证明：(2)∵△ CAB ≌△ DBA ， ∴∠ ABC ＝∠ BAD . 又∵∠ CAB ＝∠ DBA ，∴∠ CAB － ∠ BAD ＝∠ DBA －∠ ABC ，即∠ CAD ＝∠ DBC . 考点4　角的平分线的性质与判定的综合应用 7. [2024沧州期末]如图，在△ ABC 中， CD 平分∠ ACB ， DE ⊥ BC 于点 E ， ＝21， DE ＝3， BC ＝9，则 AC 的长是(　C　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 C 8. 如图，在△ ABC 中， AD 平分∠ BAC ，若 AB ＝10， AC ＝7，则 ∶ ＝(　B　) A. 100∶49 B. 10∶7 C. 49∶100 D. 7∶10 B 9. [2023泸州三模]如图，已知 BD 为∠ ABC 的平分线， AB ＝ BC ，点 P 在 BD 上， PM ⊥ AD 于点 M ， PN ⊥ CD 于点 N . 求证： PM ＝ PN . 证明：∵ BD 为∠ ABC 的平分线， ∴∠ ABD ＝∠ CBD . 在△ ABD 和△ CBD 中， 　 ∴△ ABD ≌△ CBD (SAS)， ∴∠ ADB ＝∠ CDB ， 即 DP 为∠ ADC 的平分线. ∵点 P 在 BD 上， PM ⊥ AD ， PN ⊥ CD ，∴ PM ＝ PN . 专题强化　巧作辅助线构造全等三角形 题型剖析 强化角度2 截长补短构造全等 易混易错 1. [2024汕头期末]在一次数学活动课中，王老师布置了“用角尺平分一个任意角”的学习任务.某位同学的做法是：如图，在∠ AOB 的边 OA ， OB 上分别取 OM ＝ ON ，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与 M ， N 重合，得到∠ AOB 的平分线 OP . 在该做法中用到的三角形全等的判定方法是(　A　) A A. SSS B. SAS C. ASA D. HL 押题预测 2. [2024沧州期末]如图，在△ ABC 中， CD 平分∠ ACB ， DE ⊥ BC 于点 E ， ＝21， DE ＝3， BC ＝9，则 AC 的长是(　C　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 C 3. [2024北京丰台区期末]如图， PC ⊥ OA 于点 C ， PD ⊥ OB 于点 D ，且 PC ＝ PD ，如果∠ AOP ＝20°，那么 ∠ CPD 的度数是 ⁠. 140°　 4. [2024遵义期末]如图，点 E ， A ， B ， F 在同一条直线上，已知∠ CAE ＝ ∠ DBF ， AC ＝ BD . 求证： (1) BC ＝ AD ； 证明：(1)∵∠ CAE ＝∠ DBF ， ∠ CAB ＋∠ CAE ＝180°，∠ DBF ＋∠ DBA ＝180°， ∴∠ CAB ＝∠ DBA . 在△ CAB 和△ DBA 中， ∴△ CAB ≌△ DBA (SAS)，∴ BC ＝ AD . 4. [2024遵义期末]如图，点 E ， A ， B ， F 在同一条直线上，已知∠ CAE ＝ ∠ DBF ， AC ＝ BD . 求证： (2)∠ CAD ＝∠ DBC . 证明：(2)∵△ CAB ≌△ DBA ， ∴∠ ABC ＝∠ BAD . 又∵∠ CAB ＝∠ DBA ，∴∠ CAB －∠ BAD ＝∠ DBA －∠ ABC ，即∠ CAD ＝∠ DBC . 5. [2024上海期末]如图所示，已知△ ABD ≌△ CFD ， AD ⊥ BC 于点 D ，延长 CF 交 AB 于点 E . (1)求证： CE ⊥ AB ； (1)证明：∵ AD ⊥ BC ， ∴∠ CDF ＝90°，∵△ ABD ≌△ CFD ， ∴∠ BAD ＝∠ DCF . 又∵∠ AFE ＝∠ CFD ， ∴∠ AEF ＝∠ CDF ＝90°，∴ CE ⊥ AB . 5.[2024上海期末]如图所示，已知△ ABD ≌△ CFD ， AD ⊥ BC 于点 D ， 延长 CF 交 AB 于点 E . (2)已知 BC ＝7， AD ＝5，求 AF 的长. (2)解：∵△ ABD ≌△ CFD ，∴ BD ＝ DF ， AD ＝ DC . 又∵ BC ＝7， DC ＝ AD ＝5，∴ BD ＝ BC － CD ＝2， ∴ AF ＝ AD － DF ＝ AD － BD ＝5－2＝3. 强化角度1 延长垂线段构造全等 1．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：∠2＝∠1＋∠C. 证明：延长AD交BC于点F.∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE.∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠BDF＝90°. 在△ABD和△FBD中， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(∠ABD＝∠FBD,BD＝DB,∠ADB＝∠BDF))，∴△ABD≌△FBD(ASA)． ∴∠2＝∠DFB.又∵∠DFB＝∠1＋∠C，∴∠2＝∠1＋∠C. 2．已知：∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD， 垂足为E.求证：BD＝2CE. 证明：延长CE、BA交于点F.∵CE⊥BD于E，∠BAC＝90°， ∴∠ABD＝∠ACF.又AB＝AC，∠BAD＝∠CAF＝90°，∴△ABD≌△ACF，∴BD＝CF.∵BD平分∠ABC， ∴∠CBE＝∠FBE.又∵BE＝BE，∴△BCE≌△BFE， ∴CE＝EF，∴CE＝eq \f(1,2)BD，∴BD＝2CE. 3．如图，在五边形ABEFD中，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°， AB＝AD，BE＋DF＝EF，求∠EAF的度数． 解：延长EB到点H，使得BH＝DF.∵∠ABE＝90°， ∠D＝90°，∴∠D＝∠ABH＝90°.∴△ABH≌△ADF. ∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，∠HAF＝∠BAD＝90°，∵BE＋DF＝EF，∴BE＋BH＝EF，即HE＝EF.∴△AHE≌△AEF.∴∠EAH＝∠EAF.∴∠EAF＝eq \f(1,2)∠HAF＝45°. 4．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠D＝60°，AB＝BC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且∠EBF＝60°，求证：AE＝EF＋CF. 证明：在AE上截取AM＝CF.∵∠A＝∠BCF＝90°，AB＝BC，∴△ABM≌△CBF，∴BM＝BF，∠ABM＝∠CBF，∵∠D＝60°，∴∠ABC＝∠MBF＝120°，∵∠EBF＝60°，∴∠MBE＝∠EBF＝60°，又有BE＝BE，∴△BME≌△BFE，∴EF＝EM，∴AE＝EF＋CF. 强化角度3 作垂线构造全等 5．在△ABC中，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F. (1)若∠ACB是直角，如图①，请你判断FE与FD之间的数量关系(不需证明)； (2)若∠ACB是锐角，如图②，请问你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 解：(1)FE＝FD； (2)如图， 作FK⊥AC于K，∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∠B＝60°，∴FG＝FH＝FK，在四边形BGFH中，∠GFH＝360°－60°－90°×2＝120°，∴∠FAC＋∠FCA＝eq \f(1,2)(180°－60°)＝60°，∴∠EFD＝∠AFC＝120°，∴∠EFG＝∠DFH，∴△EFG≌△DFH(ASA)，∴FE＝FD. 6．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF. 求证：∠ADC＝∠BDF. 证明：过点B作BG⊥BC交CF的延长线于点G.∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠ACF＝90°.∵CE⊥AD，∴∠1＋∠ACF＝90°.∴∠1＝∠2.∴△ACD≌△CBG(ASA)，∴∠ADC＝∠G，CD＝BG.∵D为BC的中点，∴CD＝BD.∴BD＝BG.又∵∠DBG＝90°，∠DBF＝45°，∴∠GBF＝45°.∴∠DBF＝∠GBF.∴△BDF≌△BGF(SAS)．∴∠BDF＝∠G，∴∠ADC＝∠BDF. 强化角度4 倍长中线构造全等 7．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是 ； A．SSS　 B．SAS C．AAS　 D．HL (2)求得AD的取值范围是 ． A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7 【方法感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中； 【问题解决】 (3)如图②，已知CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C＝∠BAE. (1)B； (2)C； (3)证明：延长AE到点F，使EF＝AE，连接DF.∵AE是△ABD中线，∴BE＝DE，又∵∠AEB＝∠FED，∴△ABE≌△FDE，∴AB＝DF，∠BAE＝∠DFE，∠B＝∠EDF，∵CD＝AB，∴CD＝DF，∵∠ADC＝∠B＋∠BAD，∴∠ADC＝∠EDF＋∠BAD，∵∠BDA＝∠BAD，∴∠ADC＝∠EDF＋∠BDA＝∠ADF，∵AD＝AD，∴△ADC≌△ADF，∴∠C＝∠DFE，∴∠C＝∠BAE. $$