专题10 等腰（等边）三角形（5大基础题+4大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（人教版）

专题10 等腰（等边）三角形 利用等腰（等边）三角形的性质求角 1．（23-24七年级下·广东清远·期末）如图，在中，，现将它们折叠，使点C与点B重合 ，为折痕，则 ． 2．（22-23八年级上·四川绵阳·期末）如图，已知点在内部，，，关于对称得到，，则的度数为 ． 3．（24-25八年级上·全国·期末）如图， 于点D，D为的中点，连接的平分线交于点O，连接，若，则 4．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，平分，F为上一点，且．若，则的度数是    5．（23-24八年级上·江西赣州·期末）在中，，将一块足够大的直角三角尺按如图所示放置，顶点P在线段上滑动，三角尺的直角边始终经过点C，并且与的夹角，斜边交于点D．在点P的滑动过程中，若是等腰三角形，则夹角α的大小是 ．    利用等腰（等边）三角形的性质求线段长 1．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，，，于点E，若，的周长为10，则的长为 ． 2．（22-23八年级下·贵州六盘水·期末）如图，已知等边三角形的边长为3，过边上一点P作于点为延长线上一点，取，连接，交于点M，则的长为 ． 3．（22-23八年级上·天津·期末）如图，已知是等边三角形，点为的中点，于点，作，交于点，若，则 4．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）如图所示，已知，点D在上，连接并延长交于点F．且过点E作，垂足为点G．当的大小发生变化，其它条件不变时，若，则 ． 5．（22-23八年级上·重庆合川·期末）如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 ． 等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系 1．（23-24七年级下·全国·期末）等腰三角形的两边分别长和，则它的周长是 ． 2．（23-24七年级下·河南周口·期末）若等腰三角形的两边长分别为5和，则其周长为 ． 3．（23-24七年级下·山东聊城·期末）若方程组的解恰为等腰的两边长，则的周长为 ． 4．（23-24八年级上·云南红河·期末）在等腰三角形中，顶点A，B，C所对的边分别用a，b，c表示，已知a，b满足，则的周长为 ． 5．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）（1）等腰三角形的两边长分别为、，其周长为 ； （2）若等腰三角形的两条边长分别为和，则它的周长为 ． 等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论 1．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）等腰三角形的两个内角的度数之比是，则它顶角的度数为 ． 2．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）等腰三角形有一个角度数为，则这个等腰三角形的底角的度数为 ． 3．（23-24八年级上·安徽芜湖·期末）若等腰三角形其中两个内角的和为，则此等腰三角形的顶角度数为 ． 4．（23-24七年级下·江西景德镇·期末）如图，，平分，如果射线上的点满足是等腰三角形，的度数为 ． 5．（23-24八年级上·江西赣州·期末）如图，在中，，，，是边BC上的动点，连接AP．当是等腰三角形时， 度． 等腰三角形与高线、中线结合的分类讨论思想 1．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）在中，为钝角，，如果经过其中一个顶点作一条直线能把分成两个等腰三角形，那么的度数为 ． 2．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知等腰，，过点B的一条直线把这个三角形分成两个等腰三角形，则 ． 3．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）等腰三角形周长为，一中线将周长分成的两部分差为，则这个三角形三边长为 ． 4．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）等腰三角形中，高与一腰所夹的锐角是，则等腰三角形底角的度数为 ． 5．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为，则该等腰三角形的腰长为 cm． 等腰三角形性质和判定的综合问题 1．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）如图，在中，的平分线交于D，过C作交于II，交于N． (1)求证：为等腰三角形； (2)求证：． 2．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，连接． (1)判断的形状，并说明理由； (2)过点作，垂足为点，若的周长是10，求的长． 3．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）如图，在中，，点D为的中点，连接的垂直平分线EF交于点E，交于点O，交于点F，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的度数． 4．（23-24八年级上·江西赣州·期末）如图，在中，，，D是边上一点（点D与A，B不重合），连接，过点C作，且，连接交于点F，连接BE．    (1)求证：； (2)当时．判断的形状，并说明理由． 5．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在 中， ，，点 在线段 上运动 不与 ， 重合，连接，作 ，与交于点． (1)当 时， ；当点 从 向 运动时，逐渐变 (填大或小)． (2)当 时， 与 是否全等？ 请说明理由． (3)在点 的运动过程中， 的形状可以是等腰三角形吗？ 若可以，请直接写出 的度数；若不可以，请说明理由． 等边三角形性质和判定的综合问题 1．（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，在中，，是边上的中线，作的垂直平分线交于，交于． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求线段的长． 2．（23-24七年级上·山东威海·期末）如图，在中，，，，垂足为点G，，，的两边分别交，于点E，F． (1)连接，判断的形状，并证明你的结论； (2)求证：． 3．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，已知点是上一点，、都是等边三角形，连接交于点，连接交于点． (1)求证： (2)连接，判断的形状，并说明理由． 4．（23-24八年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，和的平分线交于点，且，连接并延长交于点，以为边向左右两侧作等边和等边，分别与，交于点，连接． (1)求的度数． (2)请判断形状，并说明理由． (3)若，，，求的值（用含的代数式表示）． 5．（22-23七年级下·上海奉贤·期末）已知在中，，，点是平面内一点，连接、、，． (1)如图1，点在的内部． ①当，求的度数； ②当平分，判断的形状，并说明理由； (2)如果直线与直线相交于点，如果是以为腰的等腰三角形，求的度数（直接写出答案）． 等腰（等边）三角形中的动点问题 1．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，在等边三角形中，点在直线上，，点是直线上一动点，以线段为一边在其右侧作等边三角形，连接、． (1)如图①，当点在点右侧时，的度数是______； (2)如图②，当点在点左侧时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，说明理由；若不成立，写出你认为正确的结论，并说明理由； (3)若条件中的等边三角形改为等腰三角形（如图③），，，且，其它条件不变，在点运动的过程中，当时，请直接写出的度数． 2．（23-24七年级下·山东威海·期末）【问题情境】 在等边中，射线平分，交于点O，点E是上一动点，，，连接，CF． 【探究发现】 （1）如图Ⅰ，若点E在线段上． ①求证：； ②直接写出与间的数量关系： ； （2）如图Ⅱ，若点E在射线上，（1）中与间的数量关系是否成立？若成立，说明理由；若不成立，写出新的数量关系，并进行证明； 【拓广延伸】 （3）如图Ⅲ，点E，D在射线上，，，连接，求的度数． 3．（23-24七年级下·广东深圳·期末）综合与实践课上，李老师以“发现−探究−拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是李老师的课堂主题展示： （1）如图，在等腰中，，点D为线段上的一动点（点D不与A，B重合），以为边作等腰，，，连接．解答下列问题： 【观察发现】 ①如图11−1，当时，线段，的数量关系为 ， °； 【类比探究】 ②如图11−2，当时，试探究线段与的位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图11−3，四边形中，，，连接，若，则四边形的面积为多少？（直接写出结果）． 与等腰（等边）三角形有关的新定义型问题 1．（23-24七年级下·山西运城·期末）阅读与思考 阅读下列材料，并解决相应的问题． 定义：如图1，线段把等腰三角形分成与，如果与均为等腰三角形，那么线段叫做的完美分割线． (1)如图1，在中，，，为的完美分割线，则______，______． (2)如图2，在中，，为的完美分割线，，求的度数． (3)如图3，在等腰三角形纸片中，，是它的一条完美分割线，，将沿折叠，使点落在点处，交于点，请直接写出图中所有以为边的等腰三角形． 2．（23-24八年级上·湖北鄂州·期末）问题情境： 定义：如果两个等腰三角形的顶角互补，顶角的顶点又是同一个点，而且这两个等腰三角形的腰也分别相等，则称这两个三角形互为“顶补等腰三角形”． 特例证明： （1）如图1，若与互为“顶补等腰三角形”．，于，于，求证：； 拓展运用： （2）如图2，在四边形中，，，，，在四边形的内部是否存在点，使得与互为“顶补等腰三角形”？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 3．（23-24八年级上·广东中山·期末）定义: 如图1， 若 P 是内部一点， 且， 则称点P为的勃罗卡点， 同时称为的勃罗卡角． (1)如图2， P为等边内部一点． 其中，， 请判断点P是不是等边的勃罗卡点，并说明理由； (2)如图3，P为等边的勃罗卡点，求等边的勃罗卡角的度数； (3)如图4，在（2）的条件下，作点 P 关于 的对称点 ，连接与 相交于点 O，连接，，记的勃罗卡点为 M，的勃罗卡点为N， 求证: 为等边三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 等腰（等边）三角形 利用等腰（等边）三角形的性质求角 1．（23-24七年级下·广东清远·期末）如图，在中，，现将它们折叠，使点C与点B重合 ，为折痕，则 ． 【答案】/度 【知识点】等边对等角、折叠问题 【分析】此题考查了折叠的性质和等边对等角等知识，根据折叠得到，再由等边对等角即可得到． 【详解】解：由折叠可知，， ∵， ∴， 故答案为：， 2．（22-23八年级上·四川绵阳·期末）如图，已知点在内部，，，关于对称得到，，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、等边对等角、等边三角形的判定和性质、折叠问题 【分析】连接、，证明是等边三角形，得出，，再证明是等边三角形，得出，从而得到，证明，得出，结合即可得解． 【详解】解：如图：连接、， ， ∵关于对称得到， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 3．（24-25八年级上·全国·期末）如图， 于点D，D为的中点，连接的平分线交于点O，连接，若，则 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定、等边对等角 【分析】本题考查了三角形的外角性质以及垂直平分线的判定与性质，等边对等角，以及角平分线的定义，先由三角形的外角性质得，因为，D为的中点，所以是的垂直平分线，则，因为是的角平分线，则是的角平分线，即可作答． 【详解】解：，， ∴， ∵，D为的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，平分，F为上一点，且．若，则的度数是    【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角、三线合一 【分析】先根据等边对等角得到，再由三线合一定理得到，则由三角形内角和定理得到，再由等边对等角得到，据此根据三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵． ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质和三线合一定理，熟知等边对等角是解题的关键． 5．（23-24八年级上·江西赣州·期末）在中，，将一块足够大的直角三角尺按如图所示放置，顶点P在线段上滑动，三角尺的直角边始终经过点C，并且与的夹角，斜边交于点D．在点P的滑动过程中，若是等腰三角形，则夹角α的大小是 ．    【答案】或或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．分三种情况考虑：当，分别求出夹角的大小即可． 【详解】解：∵是等腰三角形，， ①当时， ∴，即， ∴； ②当时，是等腰三角形， ∴，即， ∴； ③当时，是等腰三角形， ∴， ∴， 即， ∴， 此时点P与点B重合，点D和A重合， 综合所述：当是等腰三角形时，或或． 故答案为：或或． 利用等腰（等边）三角形的性质求线段长 1．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，，，于点E，若，的周长为10，则的长为 ． 【答案】3 【知识点】三线合一 【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．根据已知可得，从而可得，然后利用等腰三角形三线合一性质计算解答． 【详解】解：，且的周长为10， ， ， ， ， ， ， ，， ． 故答案为：3． 2．（22-23八年级下·贵州六盘水·期末）如图，已知等边三角形的边长为3，过边上一点P作于点为延长线上一点，取，连接，交于点M，则的长为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质和等边三角形的性质，根据题意作P作交于点F，证是等边三角形，再证明，利用全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】过P作交于点F． ∵是等边三角形， ∴． 又∵， ∴． ∴是等边三角形． ∴． 又∵， ∴． 在和中，， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 3．（22-23八年级上·天津·期末）如图，已知是等边三角形，点为的中点，于点，作，交于点，若，则 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质、平行线的性质、等边三角形的判定和性质，利用含角的直角三角形的性质求出的长，根据平行线的性质以及等边三角形的判定和性质求出的长即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵点为的中点，， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）如图所示，已知，点D在上，连接并延长交于点F．且过点E作，垂足为点G．当的大小发生变化，其它条件不变时，若，则 ． 【答案】24 【知识点】全等三角形的性质、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等．根据全等三角形的性质，可得，从而得到，再由，可得，从而得到，继而得到，可得到，再由直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：24 5．（22-23八年级上·重庆合川·期末）如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 ． 【答案】2.4 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，延长至，使，连接，可证明，则，，根据，得，可证出，即得出，然后利用线段的和差即可解决问题． 【详解】解：如图，延长至，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：2.4． 等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系 1．（23-24七年级下·全国·期末）等腰三角形的两边分别长和，则它的周长是 ． 【答案】 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形三边关系，根据等腰三角形定义及三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的定义和三角形三边关系． 【详解】当三边的长为，，， ∵， ∴不能构成三角形； 当三边的长为，，， ∵， ∴能构成三角形， ∴周长为， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·河南周口·期末）若等腰三角形的两边长分别为5和，则其周长为 ． 【答案】 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】此题考查了等腰三角形的性质与三角形三边关系，注意分类讨论思想的应用是解题的关键．由等腰三角形两边长分别为5和，分别从等腰三角形的腰长为5和去分析即可求得答案，注意分析能否组成三角形． 【详解】解：①若等腰三角形的腰长为5，底边长为， ∵， ∴不能组成三角形； ②若等腰三角形的腰长为，底边长为5， ∵， ∴能组成三角形， ∴它的周长是：， 综上所述，它的周长是， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·山东聊城·期末）若方程组的解恰为等腰的两边长，则的周长为 ． 【答案】12 【知识点】加减消元法、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形及解二元一次方程组，三角形三边关系，难度一般，关键是掌握分类讨论的思想解题． 先解二元一次方程组，然后讨论腰长的大小，再根据三角形三边关系即可得出答案． 【详解】解：解方程组，得： ， ∴等腰三角形的两边长为2，5． 若腰长为2，底边长为5． ∵， ∴不能构成三角形． 若腰长为5，底边长为2，则三角形的周长为． 所以这个等腰三角形的周长为12． 故答案为：12． 4．（23-24八年级上·云南红河·期末）在等腰三角形中，顶点A，B，C所对的边分别用a，b，c表示，已知a，b满足，则的周长为 ． 【答案】10或11 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了三边关系、等腰三角形的定义，算术平方根、绝对值的非负性，先根据算术平方根、绝对值的非负性得出a，b的值，再结合三边关系，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∵a，b为等腰三角形的两边， ∴当腰是3时，则，此时的周长为； ∴当腰是4时，则，此时的周长为； 综上所述，的周长为10或11． 故答案为：10或11． 5．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）（1）等腰三角形的两边长分别为、，其周长为 ； （2）若等腰三角形的两条边长分别为和，则它的周长为 ． 【答案】 32 13或14 【知识点】构成三角形的条件、等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质，分两种情况：①当腰长为时，②当腰长为时，解答出即可． （2）根据等腰三角形的性质，分为当腰长为时，腰长为时，解答出即可． 【详解】解：（1）由题意知，应分两种情况： 当腰长为时，三角形三边长为，不能构成三角形； 当腰长为时，三角形三边长为6，13，13，能构成三角形，周长． 故答案为：32． （2）∵三角形是等腰三角形，两条边长分别为和， ∴三角形三边可以是、或、， ∴三角形的周长为或， 故答案为：13或14． 等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论 1．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）等腰三角形的两个内角的度数之比是，则它顶角的度数为 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】此题考查了等腰三角形的定义，三角形的内角和，设等腰三角形两个内角度数分别为，根据三角形的内角和分两种情况列方程求解即可，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键 【详解】解：设等腰三角形两个内角度数分别为， 当顶角度数为时，可得， 解得， ∴顶角的度数为； 当顶角度数为时，可得， 解得 ∴顶角度数为 故答案为或 2．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）等腰三角形有一个角度数为，则这个等腰三角形的底角的度数为 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理；由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分的角是顶角和底角两种情况讨论． 【详解】解：分两种情况： ①当的角为等腰三角形的顶角时， 底角的度数； ②当的角为等腰三角形的底角时，其底角为， 故它的底角度数是或． 故答案为：或． 3．（23-24八年级上·安徽芜湖·期末）若等腰三角形其中两个内角的和为，则此等腰三角形的顶角度数为 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键；由题意可分当这两个内角都为底角时和这两个内角为该等腰三角形的一个顶角和一个底角时，然后分类求解即可． 【详解】解：由题意可分：①当这两个内角都为底角时，则该等腰三角形的顶角为； ②当这两个内角为该等腰三角形的一个顶角和一个底角时，则该等腰三角形的底角为，所以该等腰三角形的顶角为； 故答案为：或． 4．（23-24七年级下·江西景德镇·期末）如图，，平分，如果射线上的点满足是等腰三角形，的度数为 ． 【答案】或或 【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，用了分类讨论思想． 求出，根据等腰得出三种情况，，，，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 分三种情况：①当时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图， ∵， ∴， ∴； ③当时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上，的度数为：或或， 故答案为：或或． 5．（23-24八年级上·江西赣州·期末）如图，在中，，，，是边BC上的动点，连接AP．当是等腰三角形时， 度． 【答案】60或105或150 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和以及三角形的外角性质：分和三种情况讨论，根据等腰三角形的性质进行运算解题即可． 【详解】解：当时， 则； 当时，， 则； 当时，， 则； 故答案为：60或105或150 等腰三角形与高线、中线结合的分类讨论思想 1．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）在中，为钝角，，如果经过其中一个顶点作一条直线能把分成两个等腰三角形，那么的度数为 ． 【答案】或或 【知识点】加减消元法、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、解二元一次方程组，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理分多种情况求解即可． 【详解】解：①过顶点C作一条直线把分成两个等腰三角形，假设以点A为顶点的等腰三角形为，如下图， ∴， ∴， 若是等腰三角形，顶点为M， ∴， ∴， 故假设成立； ②过顶点C作一条直线把分成两个等腰三角形，假设以点C为顶点的等腰三角形为，如图， ∴， ∴， ∵， 若为等腰三角形，顶点为M， ∴， ∴， 故假设成立； ③过顶点C作一条直线把分成两个等腰三角形，假设以点M为顶点的等腰三角形为，如图， ∴， ∴， ∵， 若为等腰三角形，顶点为M， ∴， ∴， 故假设不成立； ④过顶点A作一条直线把分成两个等腰三角形，等腰三角形为只能以点C为顶点，如图， 设，， 则， ∴， 若为等腰三角形，顶点为M， ∴， 解得， 故假设成立； ⑤由题得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 若过顶点B作直线交于点M，等腰三角形为以点C为顶角，如图， ∵，故矛盾； 综上所述，的度数为：或或， 故答案为：或或． 2．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知等腰，，过点B的一条直线把这个三角形分成两个等腰三角形，则 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用，解决问题的关键是分类思想的运用．先作图以及分类讨论，利用等腰三角形的性质进行求解即可 【详解】解：如图， ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴． 如图， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴7∠A=180°， ∴， 故答案为：或． 3．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）等腰三角形周长为，一中线将周长分成的两部分差为，则这个三角形三边长为 ． 【答案】8，8，5或6，6，9 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、根据三角形中线求长度、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，中线的性质，一元一次方程的实际应用．根据等腰三角形的性质可知，该中线为腰上的中线，则推出腰长和底边长差为，设这个等腰三角形腰长为，则底边长为，列出方程求解即可． 【详解】解：设这个等腰三角形腰长为，则底边长为， 或， 解得：或， ∴或， ∴这个三角形三边长为8，8，5或6，6，9． 故答案为：8，8，5或6，6，9． 4．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）等腰三角形中，高与一腰所夹的锐角是，则等腰三角形底角的度数为 ． 【答案】或或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了三角形的内角和、等腰三角形的定义，分类讨论：为锐角三角形时，①当是等腰底边上的高时，②当是等腰腰上的高时，当等腰为钝角三角形时，则顶角为钝角，此时高只能是腰上的高，利用三角形的内角和及等腰三角形的性质即可求解，熟练掌握基础知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：依题意有以下两种情况： （1）为锐角三角形时， 此时又有两种情况： ①当是等腰底边上的高时，如图1所示： 为等腰三角形底边上的高， ， ， ∵高与一腰所夹的锐角是， ， ； ②当是等腰腰上的高时，如图2所示： 为等腰三角形腰上的高， ， ， ∵高与一腰所夹的锐角是， ， ， ， ． （2）当等腰为钝角三角形时，则顶角为钝角，此时高只能是腰上的高，如图3所示： 为等腰三角形腰上的高， ， ， ∵高与一腰所夹的锐角是， ， ， ， ， ． 综上所述：等腰三角形底角的度数为或或． 故答案为：或或． 5．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为，则该等腰三角形的腰长为 cm． 【答案】3或 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，等腰三角形的定义．本题分两种情况讨论：是腰长时，是底边时，再作答即可． 【详解】解：是腰长时，底边为， ∵， ∴、、能组成三角形； 是底边时，腰长为， ∵， ∴、、能够组成三角形； 综上所述，它的腰长为或． 故答案为：3或． 等腰三角形性质和判定的综合问题 1．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）如图，在中，的平分线交于D，过C作交于II，交于N． (1)求证：为等腰三角形； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）由平分交于，可得；由交于可得；两者结合由三角形内角和定理可得，即可得，从而得到是等腰三角形； （2）连接，先证，得到，，从而可得，由此即可得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵平分， ∴， 又∵在和中， ， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）证明：， 理由如下：如图：连接， ∵和中： ， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵中，， ∴， ∴， ∴． 2．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，连接． (1)判断的形状，并说明理由； (2)过点作，垂足为点，若的周长是10，求的长． 【答案】(1)等腰三角形，理由见解析 (2) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质得，所以，根据三角形外角的性质得，再根据，所以，即可得出结论； （2）根据等于三角形三线合一的性质得，所以，所以． 【详解】（1）为等腰三角形， 理由：的垂直平分线交于点， ， ， ， ， ， ， 为等腰三角形； （2）， ， 的周长是10， ， ． 3．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）如图，在中，，点D为的中点，连接的垂直平分线EF交于点E，交于点O，交于点F，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质等知识点，灵活运用中垂线的性质和等腰三角形的性质成为解题的关键． （1）根据中垂线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，进而说明是的中垂线可得，进而得到即可证明结论； （2）先根据等腰三角形的性质及角的和差可得，再根据中垂线的性质以及三角形的内角和可得；再根据等腰三角形的性质可得，最后根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】（1）证明：∵是的中垂线， ∴， ∵，D为中点， ∴（三线合一）， ∴是的中垂线， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：∵，D为中点， ∴（三线合一）， ∴， ∵是的中垂线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（23-24八年级上·江西赣州·期末）如图，在中，，，D是边上一点（点D与A，B不重合），连接，过点C作，且，连接交于点F，连接BE．    (1)求证：； (2)当时．判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)为等腰三角形． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质． （1）由题意可求得，从而利用证明； （2）由可知：，推出，利用三角形内角和定理可求得，据此可推出为等腰三角形． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 即， 在与中， ， ∴； （2）解：为等腰三角形，理由如下： ∵，， ∴， 同理：， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即为等腰三角形． 5．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在 中， ，，点 在线段 上运动 不与 ， 重合，连接，作 ，与交于点． (1)当 时， ；当点 从 向 运动时，逐渐变 (填大或小)． (2)当 时， 与 是否全等？ 请说明理由． (3)在点 的运动过程中， 的形状可以是等腰三角形吗？ 若可以，请直接写出 的度数；若不可以，请说明理由． 【答案】(1)，大 (2)当时，．理由见解析 (3)或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等三角形的性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定及全等三角形的判定，三角形内角和定理的应用 ； （1）首先利用三角形内角和为可算出；再利用邻补角的性质和三角形内角和定理可得的度数； （2）当时，利用，，求出，再利用，即可得出． （3）分类讨论：由（2）可知，所以与不可能相等，于是可考虑和两种情况． 【详解】（1）解：，，， ； 当点从向运动时，逐渐变大， 故答案为： ，大； （2）当时，，理由如下： 理由：， ， 又， ， ， 又， 在和中， ， ； （3）当的度数为或时，的形状是等腰三角形，理由如下： 当时， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； 当的度数为时， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． 综上所述，当的度数为或时，是等腰三角形． 等边三角形性质和判定的综合问题 1．（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，在中，，是边上的中线，作的垂直平分线交于，交于． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【知识点】等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形、线段垂直平分线的性质 【分析】此题考查了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定、含角的直角三角形的性质等知识，证明是等边三角形是解题的关键． （1）证明，即可得到结论； （2）根据等边三角形的性质和含角的直角三角形的性质进行解答即可． 【详解】（1）证明：， ， 是边上的中线， ，， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形； （2）解：是等边三角形， ， ， ， ， ， ． 2．（23-24七年级上·山东威海·期末）如图，在中，，，，垂足为点G，，，的两边分别交，于点E，F． (1)连接，判断的形状，并证明你的结论； (2)求证：． 【答案】(1)是等边三角形，见解析 (2)见解析 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据三线合一证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）根据等边三角形的判定方法进行判断即可； （2）证明，得出即可． 【详解】（1）解：是等边三角形． 证明：∵，， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴是等边三角形． （2）解：∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，已知点是上一点，、都是等边三角形，连接交于点，连接交于点． (1)求证： (2)连接，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质以及等边三角形的判定和性质， （1）由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，证明，即可得证； （2）由（1）可得，继而得到，证明，得，根据等边三角形的判定即可得出结论； 掌握全等三角形的判定和性质及等边三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵与为等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ∴； ∴； （2）解：为等边三角形， 理由：∵，， ∴， ∵，即， 在和中， ∴ ∴， ∵， ∴是等边三角形． 4．（23-24八年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，和的平分线交于点，且，连接并延长交于点，以为边向左右两侧作等边和等边，分别与，交于点，连接． (1)求的度数． (2)请判断形状，并说明理由． (3)若，，，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)是等边三角形，证明见解析 (3) 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、全等三角形综合问题、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）由角平分线定义结合已知条件得到，利用三角形内角和定理即可得到答案； （2）利用角平分线的判定与性质得到为的平分线，再由等边三角形性质，利用两个三角形全等判定得到，利用全等性质及等边三角形的判定即可得到答案； （3）根据含的直角三角形性质，得到、，利用，由三角形面积公式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵和的平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：是等边三角形． 理由如下：过作，如图所示： ∵和的平分线交于点， ， ∴为的平分线， ∴， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （3）解：∵，， ∴， ∴， 同理，可得，， ． 【点睛】本题考查三角形综合，涉及角平分线的定义、三角形内角和定理、等边三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、含的直角三角形性质等知识，熟练掌握相关判定与性质，灵活运用是解决问题的关键． 5．（22-23七年级下·上海奉贤·期末）已知在中，，，点是平面内一点，连接、、，． (1)如图1，点在的内部． ①当，求的度数； ②当平分，判断的形状，并说明理由； (2)如果直线与直线相交于点，如果是以为腰的等腰三角形，求的度数（直接写出答案）． 【答案】(1)①②为等边三角形，理由见解析 (2)的度数为或，理由见解析 【知识点】等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的判定等知识，解题的关键是掌握等腰三角形的性质． （1）①根据，得，进而得，再根据题意得，进而得； ②根据平分，设，则，根据得，根据得，则，，再根据三角形内角和定理得，则，进而得，由此可判定的形状； （2）分两种情况讨论如下：①当直线与线段交于点时，，设，则，，再根据得，再根据三角形内角和定理得，则，②当直线与的延长线交于点时，设，则，再求出，得，根据得，再根据三角形内角和定理得，则，综上所述即可得出的度数． 【详解】（1）解：①在中，，， ， ， 又， ， ，， ， 在中，，， ； ②为等边三角形，理由如下： 如图1所示： 平分， 设，则， 在中，， ， 在中，， ， 在中，，， ， ，， 在中，， ， ， ，，， 为等边三角形； （2）的度数为或，理由如下： 直线与直线相交于点，且是以为腰的等腰三角形， 有以下两种情况： ①当直线与线段交于点时，如图所示： 设， 是以为腰的等腰三角形，即， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 即； ②当直线与的延长线交于点时，如图所示： 设， ， ， 是以为腰的等腰三角形，即， ， ， 在中，， ， ， ， ， ； 综上所述，的度数为或． 等腰（等边）三角形中的动点问题 1．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，在等边三角形中，点在直线上，，点是直线上一动点，以线段为一边在其右侧作等边三角形，连接、． (1)如图①，当点在点右侧时，的度数是______； (2)如图②，当点在点左侧时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，说明理由；若不成立，写出你认为正确的结论，并说明理由； (3)若条件中的等边三角形改为等腰三角形（如图③），，，且，其它条件不变，在点运动的过程中，当时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3) 【知识点】两直线平行同旁内角互补、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角、等边三角形的性质 【分析】（1）利用等边三角形性质可证明，从而得到，结合垂线性质即可得出结果； （2）利用等边三角形性质可证明，从而得到，结合垂线性质即可得出结果； （3）利用等腰三角形性质可证明，得到，结合垂线性质以及平行线性质即可得出，从而得出结果． 【详解】（1）解：为等边三角形， ， 为等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ； （2）为等边三角形， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 当点P在点B左侧时，（1）中的结论仍然成立； （3）为等腰三角形，，且， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线性质，垂线性质，熟练掌握相关性质定理是解题关键． 2．（23-24七年级下·山东威海·期末）【问题情境】 在等边中，射线平分，交于点O，点E是上一动点，，，连接，CF． 【探究发现】 （1）如图Ⅰ，若点E在线段上． ①求证：； ②直接写出与间的数量关系： ； （2）如图Ⅱ，若点E在射线上，（1）中与间的数量关系是否成立？若成立，说明理由；若不成立，写出新的数量关系，并进行证明； 【拓广延伸】 （3）如图Ⅲ，点E，D在射线上，，，连接，求的度数． 【答案】（1）①见解析；②；（2）成立，理由见解析；（3） 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质 【分析】（1）①根据证明即可． ②由等边三角形的性质和角平分线的定义可得，由全等三角形的性质可得，进而可得，由此可得． （2）若点E在射线上，（1）中与间的数量关系仍然成立，证法同第（1）小题． （3）先根据证明，则可得，又由，得，由可得，进而可得，． 【详解】解：（1）①是等边三角形， ，． 又∵， 即． 又， ． ②是等边三角形， ∴， ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ 即 ∴． 故答案为： （2）成立，理由如下： 是等边三角形， ，． 又∵， 即． 又， ． 平分， ． ． ． （3）在和中 ，， ∴． ． ，， ． ， ． ． ， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 3．（23-24七年级下·广东深圳·期末）综合与实践课上，李老师以“发现−探究−拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是李老师的课堂主题展示： （1）如图，在等腰中，，点D为线段上的一动点（点D不与A，B重合），以为边作等腰，，，连接．解答下列问题： 【观察发现】 ①如图11−1，当时，线段，的数量关系为 ， °； 【类比探究】 ②如图11−2，当时，试探究线段与的位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图11−3，四边形中，，，连接，若，则四边形的面积为多少？（直接写出结果）． 【答案】（1）①，90； ②，理由见解析；（2）32 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）①先证明，再利用证明，由全等三角的性质可得出，，由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得出，再根据角的和差关系即可得出．②同①，由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得出，用证明，用全等三角形的性质可得出，即可得出，根据内错角相等，两直线平行得出． （2）过A作交延长线于G，先证明，再根据角的和差关系得出，利用证明，由全等的性质得出，，根据得出，计算即可． 【详解】解：（1）①∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴ ∴， 故答案为：，90． ②，理由如下： ∵， ∴ 即， ∵ ∴， 在和中， ∴， ∴ ∴ ∴， （2）如图，过A作交延长线于G， ∵， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ 即 在和中， ∴ ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，以及平行线的判定，掌握全等三角形的判定以及性质是解题的关键． 与等腰（等边）三角形有关的新定义型问题 1．（23-24七年级下·山西运城·期末）阅读与思考 阅读下列材料，并解决相应的问题． 定义：如图1，线段把等腰三角形分成与，如果与均为等腰三角形，那么线段叫做的完美分割线． (1)如图1，在中，，，为的完美分割线，则______，______． (2)如图2，在中，，为的完美分割线，，求的度数． (3)如图3，在等腰三角形纸片中，，是它的一条完美分割线，，将沿折叠，使点落在点处，交于点，请直接写出图中所有以为边的等腰三角形． 【答案】(1)36，72； (2)； (3)或或或． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边对等角得出，再由三角形内角和定理即可得出的度数，由题意得出为等腰三角形，即可得解； （2）由等边对等角得出，由题意得出和均为等腰三角形，从而得出，，再由三角形外角的定义及性质结合三角形内角和定理计算即可得出答案； （3）由（2）可得：，根据题意得出、是等腰三角形，从而得到，由三角形外角的定义及性质得出，由折叠的性质可得：为等腰三角形，，再由三角形内角和定理得出，即可得解． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∴； ∵为的完美分割线， ∴为等腰三角形， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵为的完美分割线，， ∴和均为等腰三角形． ∴，， ∴，． ∴． ∵． ∴． ∴． ∴． （3）解：由（2）可得：， ∵是它的一条完美分割线，， ∴、是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：为等腰三角形，， ∴， ∴为等腰三角形， ∴以为边的等腰三角形为或或或． 2．（23-24八年级上·湖北鄂州·期末）问题情境： 定义：如果两个等腰三角形的顶角互补，顶角的顶点又是同一个点，而且这两个等腰三角形的腰也分别相等，则称这两个三角形互为“顶补等腰三角形”． 特例证明： （1）如图1，若与互为“顶补等腰三角形”．，于，于，求证：； 拓展运用： （2）如图2，在四边形中，，，，，在四边形的内部是否存在点，使得与互为“顶补等腰三角形”？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）存在，证明见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查等腰三角形性质，全等三角形判定及性质，三角形内角和定理． （1）利用题意得，再判定即可得到本题； （2）连接，取的中点，连接，，证明和，再利用三角形内角和即可得到本题答案． 【详解】解：（1）证明：将图中角进行命名： ， 与互为“顶补等腰三角形”， ，， ， 又，， ，，， ， 又， ， 在和中， ， ； （2）存在． 证明：连接，取的中点，连接，， ， ，， ， ， 是的中点， ，． ， 又，，， ， ， ， 与互为“顶补等腰三角形”． 3．（23-24八年级上·广东中山·期末）定义: 如图1， 若 P 是内部一点， 且， 则称点P为的勃罗卡点， 同时称为的勃罗卡角． (1)如图2， P为等边内部一点． 其中，， 请判断点P是不是等边的勃罗卡点，并说明理由； (2)如图3，P为等边的勃罗卡点，求等边的勃罗卡角的度数； (3)如图4，在（2）的条件下，作点 P 关于 的对称点 ，连接与 相交于点 O，连接，，记的勃罗卡点为 M，的勃罗卡点为N， 求证: 为等边三角形． 【答案】(1)点P不是等边的勃罗卡点，理由见解析 (2)等边的勃罗卡角的度数为 (3)见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）利用等边对等角得出，再利用等边三角形性质，中垂线的性质得出即可得出结论点P不是等边的勃罗卡点； （2）利用点P为等边的勃罗卡点，求出，证明，即可求出等边的勃罗卡角的度数； （3）先证明为等腰三角形，再证出， 为等边三角形，在内部作交于点N，连接，可证得点N为的勃罗卡点，且，同理可证点M为的勃罗卡点，且，进而得出最后结论． 【详解】（1）解：点P不是等边的勃罗卡点，理由如下： ， ， ， 为等边三角形， ，， ， 是的中垂线， 平分， ， ， 点P不是等边的勃罗卡点； （2）点P为等边的勃罗卡点， ， ， 即， ， 同理可得， 在与中， ， ， ， ， ， ， 等边的勃罗卡角的度数为； （3）证明：点P，关于对称， 为的中垂线， ， 为等腰三角形， ， 由（2）可知， ， ， 为等边三角形，同理可得为等边三角形， 如图，在内部作交于点N，连接， 为的中垂线， ， ， ， ， ， 点N为的勃罗卡点，且， 在内部作交于点M， 同理可证点M为的勃罗卡点，且， ， ， 为等边三角形． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中垂线的判定与性质，对于题目中给出的勃罗卡点定义的理解与运用是解答本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$