专题09 轴对称、角平分线、线段的垂直平分线（6大基础题+5大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（人教版）

专题09 轴对称、角平分线、线段的垂直平分线 轴对称图形的识别 1.（24-25八年级上·云南曲靖·期末）下列图形中为轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2.（24-25八年级上·全国·期末）下列图案中，不是轴对称图形的是（  ） A． B． C． D． 3.（24-25七年级上·全国·期末）青花瓷是我国四大名瓷之首，又称白地青花瓷，简称青花，代表着中国人纯粹、淡泊、通透、富有水墨意味的东方审美．下图中是四个青花瓷图案，其中不是轴对称图形的是（     ） A．B． C． D． 4.（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）王老师给全班同学留了一个特色寒假作业，画一张有关兔子的图画，以下四个图形是开学后收上来的图画中的一部分，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 根据成轴对称图形的特征进行判断或求解 1.（24-25七年级上·全国·期末）如图，与关于直线对称，P为上任一点（P不与共线），下列结论中错误的是（　　） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．与的面积相等 D．直线的交点不一定在上 2.（23-24八年级上·四川南充·期末）如图，与关于直线l对称，连接，，，其中分别交，于点D，，下列结论：①；②；③直线l垂直平分；④直线与的交点不一定在直线l上．其中正确的是（ ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 3.（23-24七年级下·山西晋中·期末）如图是一款运输机的平面示意图，它是一个轴对称图形，直线是其对称轴．下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平分 D．垂直平分 4.（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，是内部一点，关于，的对称点分别是点，点，连结分别与，交于点，点，连结，，下列结论： ①是等边三角形；    ②； ③的周长等于线段的长；    ④； 正确的个数为： A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 坐标与图形变化求点的坐标 1．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是 ． 2．（23-24八年级上·江西赣州·期末）若点与点关于轴对称，则点的坐标是 ． 3．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如果点和点关于y轴对称，那么的值是 ． 4．（23-24八年级上·山东青岛·期末）若点与点关于y轴对称，则 ． 5．（23-24八年级上·四川达州·期末）已知：点与点关于y轴对称，则 ． 利用角平分线的性质求解填空题 1．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，为的角平分线，，垂足为，，垂足为，若，，，则的面积为 ．    2．（23-24八年级上·重庆渝北·期末）如图，在四边形中，平分，，，垂足为点E，的面积为38，的面积为50，则的面积为 ． 3．（23-24八年级上·青海果洛·期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则点到边的距离为 ． 4．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，，，平分，于，若，，则的周长为 ． 5．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，点是外角平分线上的一点，连接、，若，则 度．    6．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，已知：四边形中，对角线平分，，，并且，那么的度数为 利用线段的垂直平分线的性质求解填空题 1．（24-25八年级上·全国·期末）如图，的边的垂直平分线交于点D，连接，若，，则 ． 2．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点D、E，连接，若，，则的长为 ． 3．（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）如图，的周长为，分别以A、B为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧交于点D、E，直线与边交于点F，与边交于点G，连接，的周长为，则的长为 ．    4．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图，，，点C在的垂直平分线上，，则 ． 5．（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，，点在的垂直平分线上，将沿翻折后，使点落在点处，线段与相交于点，则 ． 6．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，分别是的垂直平分线，垂足分别为，且，，，则 ． 含30°的直角三角形性质的应用 1.（23-24八年级上·广东广州·期末）如图，在中，，线段的垂直平分线分别交、于点D、E、连接、若，则的长为 ． 2.（23-24八年级下·贵州贵阳·期末）如图，在中，垂直平分，交于点E，，则的值为 cm． 3.（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，在中，垂直平分，垂足为点，交于点，连接，若，则的长为 ． 4.（24-25八年级上·甘肃定西·期末）在中，，，，为的中点，为上一动点，连接，，则的最小值是 ． 利用角平分线的性质求解的解答题 1.（23-24七年级下·山东威海·期末）如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：； (2)如图2，其余条件不变，若______． (3)如图3，其余条件不变，若，判断的数量关系，并说明理由． 2.（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）已知：点是平分线上一点，点在射线上，作，交直线于点，作于点． (1)观察猜想：如图，当时，写出和的数量关系，并说明理由． (2)探究证明：如图，当时，写出，和之间的等量关系，并说明理由． (3)拓展延伸：如图，当，点在射线的反向延长线上时，请直接写出线段、和之间的数量关系． 利用垂直平分线的性质求解的解答题 1.（23-24八年级下·甘肃张掖·期末）如图，在中，点是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为，交于点．连接． (1)若的周长为，的周长为，求的长； (2)若，，求的度数． 2.（23-24八年级上·湖南郴州·期末）如图所示：线段的垂直平分线交于点D，交于点E． (1)若，的周长是18，求的长； (2)若的周长为18，，，求的长． 3.（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，于点，平分交于点，交于点，点是线段上一点，且满足，连接交于点O．    (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)求证：； (3)若，，求的长． 垂直平分线与角平分线的综合问题 1.（23-24八年级上·山东滨州·期末）在中，是的平分线，是线段的垂直平分线． (1)求的大小； (2)求证：． 2.（23-24八年级上·江苏盐城·期中）已知：如图，角平分线与的垂直平分线交于点D，，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 3.（23-24八年级下·四川巴中·期末）如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 4.（23-24八年级上·江西赣州·期末）如图，在中，是高，，是角平分线，交于点，，．    (1)______°； (2)若，，求的面积； (3)作图：在线段上求作一点，使得最小（保留作图痕迹）． 5.（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中， 是边上的高，为的角平分线，且，是的中线，延长到点，使得，连接，交于点，交于点，交于点． (1)试说明：； (2)若，试说明：． 垂直平分线与角平分线判定和性质综合问题 1．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）已知：如图，在中，，D是上一点，于E，且． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 2．（22-23七年级上·陕西咸阳·期末）如图，平分，于点，于点，连接． (1)试说明； (2)与相等吗？请说明理由； (3)是否垂直平分，请说明理由． 3．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）如图，． (1)求证：； (2)若，试判断与的数量及位置关系并证明； (3)求的度数（用含的式子表示）． 4．（23-24七年级下·山东济宁·期末）如图，于E，于F，若．    (1)求证：平分； (2)已知，求的长． 5．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图，已知△ABC． (1)请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图：①作的中线；② 延 长至E， 使 ，连接 （保留作图痕迹，不写作法）．线段 和 线 段 的数量关系和位置关系是 ； (2)当 时，如图1所示，若是的中线，试探究与 的数量关系，并说明理由； (3)当 时，如图2所示，若是的中线，，，， ，连 接，请直接写出的长． 坐标与图形变化--轴对称 1．（23-24八年级上·全国·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． (1)在平面直角坐标系中画出，则的面积是 ； (2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 ； (3)已知P为x轴正半轴上一点，若的面积为1，求点P的坐标． 2．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，的顶点坐标是，． (1)作关于y轴对称的图形； (2)写出顶点坐标； (3)如果与全等，则请直接写出点D坐标． 3．（23-24八年级下·河北承德·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． (1)在平面直角坐标系中画出，则的面积是 ； (2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 ；在平面直角坐标系中，作出与关于y轴对称的； (3)已知P为x轴上一点，若 的面积为1，求点P的坐标．直接写出点P的坐标．   4．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是、、 (1)将向上平移个单位长度得到，请画出 (2)请画出与关于轴对称的 (3)点的坐标为 ，点的坐标为 (4)若是内一点，按照（1）（2）操作后点的坐标为 ，点的坐标为 ． 5．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)画出关于轴对称的； (2)画出向下平移个单位长度得到的； (3)在的内部有一点，其坐标为，请直接写出点经过以上变换后的对应点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 轴对称、角平分线、线段的垂直平分线 轴对称图形的识别 1.（24-25八年级上·云南曲靖·期末）下列图形中为轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2.（24-25八年级上·全国·期末）下列图案中，不是轴对称图形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形的一部分，沿着一条直线对折后两部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：选项A、C、D均能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形， 选项B不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形． 故选B． 3.（24-25七年级上·全国·期末）青花瓷是我国四大名瓷之首，又称白地青花瓷，简称青花，代表着中国人纯粹、淡泊、通透、富有水墨意味的东方审美．下图中是四个青花瓷图案，其中不是轴对称图形的是（     ） A．B． C． D． 【答案】C 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题主要考查了轴对称图形的相关知识，掌握轴对称图形的性质是解题的关键； 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形． 【详解】解：A．是轴对称图形，故本选项不符合题意； B．是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．不是轴对称图形，故本选项符合题意； D．是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 4.（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）王老师给全班同学留了一个特色寒假作业，画一张有关兔子的图画，以下四个图形是开学后收上来的图画中的一部分，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，理解定义：“将图形沿某一条直线对折，直线两边的图形能完全重合的图形是轴对称图形．”是解题的关键． 【详解】解：A、不符合轴对称图形定义，故此项不符合题意； B、不符合轴对称图形定义，故此项不符合题意； C、符合轴对称图形定义，故此项符合题意； D、不符合轴对称图形定义，故此项不符合题意； 故选：C． 根据成轴对称图形的特征进行判断或求解 1.（24-25七年级上·全国·期末）如图，与关于直线对称，P为上任一点（P不与共线），下列结论中错误的是（　　） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．与的面积相等 D．直线的交点不一定在上 【答案】D 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】该题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质． 根据轴对称的性质解答即可； 【详解】解：∵与关于直线对称，P为上任意一点， ∴是等腰三角形，垂直平分，这两个三角形的面积相等，A、B、C选项正确； 直线关于直线对称，因此交点一定在上．D错误； 故选：D． 2.（23-24八年级上·四川南充·期末）如图，与关于直线l对称，连接，，，其中分别交，于点D，，下列结论：①；②；③直线l垂直平分；④直线与的交点不一定在直线l上．其中正确的是（ ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键． 根据轴对称的性质对各结论进行逐一分析即可． 【详解】解：和关于直线对称， ∴，故①正确， 和关于直线对称，点D与点关于直线对称的对称点， ∴，故②正确； 和关于直线对称， 线段、、被直线垂直平分， 直线垂直平分，故③正确； 和关于直线对称， 线段、所在直线的交点一定在直线上，故④错误， ∴正确的有①②③， 故选：A． 3.（23-24七年级下·山西晋中·期末）如图是一款运输机的平面示意图，它是一个轴对称图形，直线是其对称轴．下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平分 D．垂直平分 【答案】D 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质：①关于某条直线对称的两个图形是全等形；②如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上．据此分析即可． 【详解】解：如图是一个轴对称图形，直线是其对称轴， A． ∵与是一组对应边， ∴，故此选项不符合题意； B．∵与是一组对应角， ∴，故此选项不符合题意； C．∵与是一组对应角， ∴平分，故此选项不符合题意； D．∵直线是对称轴， ∴垂直平分，故此选项符合题意． 故选：D． 4.（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，是内部一点，关于，的对称点分别是点，点，连结分别与，交于点，点，连结，，下列结论： ①是等边三角形；    ②； ③的周长等于线段的长；    ④； 正确的个数为： A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解、三角形的外角的定义及性质、等边对等角 【分析】此题考查了轴对称的性质，以及线段垂直平分线的性质，利用了转化的思想，熟练掌握线段垂直平分线性质是解本题的关键．由题意得从而得出可判断②，由且的大小没有确定，可得出的大小没有确定，可判断①，由对称性可得为线段的垂直平分线，为线段的垂直平分线，从而得出从而得出的周长，可判断③，由题意得，可得，从而得出，即得出所以，再求解即可判断④． 【详解】解：关于，的对称点分别是点，点， 故②正确， ，的大小没有确定， 的大小没有确定， 不一定是等边三角形， 故①错误， 关于，的对称点分别是点，点， 为线段的垂直平分线，为线段的垂直平分线， 的周长， 故③正确， 如图，设与交于点E，与交于点F， 由题意得， ， ， ， ， ， ， 故④正确， 故选：C． 坐标与图形变化求点的坐标 1．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查关于坐标轴对称的点的坐标，根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是． 故答案为：． 2．（23-24八年级上·江西赣州·期末）若点与点关于轴对称，则点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查轴对称与坐标变化，涉及平面直角坐标系中对称点的坐标特征，熟记关于轴对称的点的坐标特征是解题的关键．根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变即可得答案． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴点的坐标是． 故答案为： 3．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如果点和点关于y轴对称，那么的值是 ． 【答案】5 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于y轴对称的点横坐标为互为相反数，纵坐标相同进行求解即可． 【详解】解：∵和点关于y轴对称， ∴， ∴， 故答案为：5． 4．（23-24八年级上·山东青岛·期末）若点与点关于y轴对称，则 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查坐标与轴对称，根据关于y轴对称的点的特点：横坐标互为相反数，纵坐标相同，求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 5．（23-24八年级上·四川达州·期末）已知：点与点关于y轴对称，则 ． 【答案】1 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标特征、有理数的乘方等，根据题意求出m、n的值是解本题的关键．根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数、纵坐标相等可得m、n的值，代入进行计算即可得答案． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴，， ∴． 故答案为：1． 利用角平分线的性质求解填空题 1．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，为的角平分线，，垂足为，，垂足为，若，，，则的面积为 ．    【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线的性质可得的长，然后根据三角形面积公式可得答案．解题的关键是掌握：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【详解】解：∵为的角平分线，，， ， ∴， ∵，， ∴ ， ∴的面积为． 故答案为：． 2．（23-24八年级上·重庆渝北·期末）如图，在四边形中，平分，，，垂足为点E，的面积为38，的面积为50，则的面积为 ． 【答案】6 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形全等的判定与性质． 过点D作交的延长线于点F，由角平分线的性质得出，利用“”证明和，再根据题意得出方程，解方程即可得出的面积． 【详解】解：如图，过点D作交的延长线于点F， ∵平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴ ， ∴ 设， ∴， 解得：， ∴的面积为6． 故答案为：6 3．（23-24八年级上·青海果洛·期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则点到边的距离为 ． 【答案】3 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了角平分线的作图与性质，解题关键是理解角平分线作图方法和熟记角平分线性质． 根据作图可知是的角平分线，根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：由作图可知，是的角平分线， 过作于，则（角平分线上的点到角两边的距离相等）， ∵， ∴， ∴点到边的距离等于， 故答案为：3． 4．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，，，平分，于，若，，则的周长为 ． 【答案】/ 【知识点】角平分线的性质定理、等边对等角 【分析】本题考查角平分线的性质、等腰直角三角，熟练掌握角平分线、等腰直角三角的性质在实际问题中的应用，等量代换是解题关键，先根据角平分线性质定理证明，再根据等要直角三角形的性质求出，根据直角三角形两锐角互余求出，进一步推，从而求出的周长． 【详解】解：平分，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 5．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，点是外角平分线上的一点，连接、，若，则 度．    【答案】 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质．过点D作于点E，作于点G，先根据角平分线的性质得到，然后得到，得到，然后根据等边对等角得到的度数即可解题． 【详解】解：如图，过点D作于点E，作于点G， ∵点是平分线上的一点， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，已知：四边形中，对角线平分，，，并且，那么的度数为 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】延长和，过点作于点，过点作于点，根据是的平分线可得出，故，过点作于点，可得出，，进而得出为的平分线，得出，再根据即可得出结论．本题考查了角平分线的性质，以及三角形的全等和三角形的内角和定理，注意知识点的综合运用． 【详解】解：延长和，过点作于点，过点作于点， 是的平分线 在与中， ， ， ， 又 ， 为的平分线， 过点作于点， 在与中， ， ， ， ． 在与中， ， 为的平分线 ， 在中， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 利用线段的垂直平分线的性质求解填空题 1．（24-25八年级上·全国·期末）如图，的边的垂直平分线交于点D，连接，若，，则 ． 【答案】7 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等是解题的关键． 根据的边的垂直平分线交于点D，得出，再由求解即可． 【详解】解：∵的边的垂直平分线交于点D，，， ∴， ∴， 故答案为：7． 2．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点D、E，连接，若，，则的长为 ． 【答案】5 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质， 根据垂直平分线的性质可得出，根据线段的和差关系可得出，即可得出． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：5． 3．（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）如图，的周长为，分别以A、B为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧交于点D、E，直线与边交于点F，与边交于点G，连接，的周长为，则的长为 ．    【答案】/厘米 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了作图基本作图、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质即可求解． 【详解】解：由画图可知： 是的垂直平分线， ，， 的周长为，即， ， 的周长为，即， ， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图，，，点C在的垂直平分线上，，则 ． 【答案】11 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，由，，点C在的垂直平分线上，由垂直平分线的性质得，即可得到结论．利用线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解答此题的关键． 【详解】解：∵，， 即垂直平分， ∴； 又∵点C在的垂直平分线上， ∴， ∴， 故答案为：11． 5．（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，，点在的垂直平分线上，将沿翻折后，使点落在点处，线段与相交于点，则 ． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、折叠问题 【分析】本题主要考查了折叠的性质、线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理等知识点，熟记折叠的性质是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质求出，根据三角形外角性质求出，根据折叠的性质求出，根据平角定义求出，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵点D在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∵将沿翻折后，使点落在点处， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 6．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，分别是的垂直平分线，垂足分别为，且，，，则 ． 【答案】 【知识点】全等三角形综合问题、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查垂直平分线性质，全等三角形判定和性质等．根据题意连接，利用垂直平分线性质得，再证明，继而得到后计算即可． 【详解】解：连接， ， ∵分别是的垂直平分线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 故答案为：． 含30°的直角三角形性质的应用 1.（23-24八年级上·广东广州·期末）如图，在中，，线段的垂直平分线分别交、于点D、E、连接、若，则的长为 ． 【答案】4 【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了垂直平分线的性质与直角三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键，根据垂直平分线的性质可得到，进而得到，再根据直角三角形的性质可得，从推出的长． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵在中， ， ∴， ∴． 故答案为：4． 2.（23-24八年级下·贵州贵阳·期末）如图，在中，垂直平分，交于点E，，则的值为 cm． 【答案】3 【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形30度角的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，求出，由此得到，利用直角三角形的性质求出的值 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ 故答案为3 3.（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，在中，垂直平分，垂足为点，交于点，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】等边对等角、直角三角形的两个锐角互余、含30度角的直角三角形、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，由，可得，由线段垂直平分线的性质可得，进而得，即得，最后根据角所对的直角边等于斜边的一半即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4.（24-25八年级上·甘肃定西·期末）在中，，，，为的中点，为上一动点，连接，，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】垂线段最短、轴对称中的光线反射问题、三线合一、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查了轴对称中的光线反射问题（最短路线问题），直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，三线合一，三角形的面积公式，等式的性质，线段垂直平分线的性质，垂线段最短等知识点，熟练掌握用做对称的方法解决最短路线问题是解题的关键． 作关于的对称点，连接，，，由，可得，，根据轴对称的性质可得，是的垂直平分线，进而可得，于是证得是等边三角形，则，由三线合一可得，进而利用三角形的面积公式可得，由垂直平分线的性质可得，于是可得，根据垂线段最短可知，于是可得答案． 【详解】解：如图，作关于的对称点，连接，，， ，， ，， 是关于的对称点， 根据轴对称的性质可知，，是的垂直平分线， ， ， 是等边三角形， ， 为的中点， ， ，且， ， 是的垂直平分线， ， ， 垂线段最短， ， 即：， 的最小值是， 故答案为：． 利用角平分线的性质求解的解答题 1.（23-24七年级下·山东威海·期末）如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：； (2)如图2，其余条件不变，若______． (3)如图3，其余条件不变，若，判断的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)60 (3)，见解析 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、角平分线的性质定理、全等三角形综合问题 【分析】（1）过点C作于点E，交延长线于点F，角平分线的性质，得到，证明，即可得证； （2）延长交于点E，证明，得到，证明，进而求出，即可得出结果； （3）过点C作交延长线于点E，于点F，先证明，得到，再证明，得到，根据线段的和差关系，以及含30度角的直角三角形的性质，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，过点C作于点E，交延长线于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，延长交于点E， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：60； （3）解：，理由如下： 如图，过点C作交延长线于点E，于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键． 2.（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）已知：点是平分线上一点，点在射线上，作，交直线于点，作于点． (1)观察猜想：如图，当时，写出和的数量关系，并说明理由． (2)探究证明：如图，当时，写出，和之间的等量关系，并说明理由． (3)拓展延伸：如图，当，点在射线的反向延长线上时，请直接写出线段、和之间的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL）、垂线的定义理解、角平分线的性质定理 【分析】（1）过点作于点，由点在的角平分线上，且于，M，得，，进而证明（），即可得证明； （2）过点作于点，同（），可证，得，证，得，从而即可得解； （3）过点作于点，同（），可证，，又证，得，从而即可得解． 【详解】（1）解：．理由： 过点作于点， ∵点在的角平分线上，且于，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴． （2）解：结论：，理由如下： 如图，过点作于点， 同（），可证，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：，理由如下： 如图，过点作于点， 同（），可证，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，垂线定义，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质定理及全等三角形的判定及性质是解题的关键， 利用垂直平分线的性质求解的解答题 1.（23-24八年级下·甘肃张掖·期末）如图，在中，点是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为，交于点．连接． (1)若的周长为，的周长为，求的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】全等三角形综合问题、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，掌握全等三角形的性质和判定是解本题的关键． （1）先证明，，结合的周长为，的周长为，可得，从而可得答案； （2）先求解，证明，再利用三角形全等的性质可得答案； 【详解】（1）解：是线段的垂直平分线， ，， 的周长为，的周长为， ，， ， ； （2），， ， 在和中， ， ， ， ． 2.（23-24八年级上·湖南郴州·期末）如图所示：线段的垂直平分线交于点D，交于点E． (1)若，的周长是18，求的长； (2)若的周长为18，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】此题考查了垂直平分线的性质， （1）首先根据垂直平分线的性质得到，然后结合题意得到，求出，进而求解即可； （2）根据的周长为18，得到，然后由垂直平分求出，进而求解即可． 【详解】（1）∵垂直平分 ∴ ∵的周长是18， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）∵的周长为18， ∴ ∵， ∴，即 ∵垂直平分 ∴ ∴ ∴ ∵垂直平分 ∴． 3.（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，于点，平分交于点，交于点，点是线段上一点，且满足，连接交于点O．    (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 (3)10 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、线段垂直平分线的性质、同位角相等两直线平行、三角形内角和定理的应用 【分析】本题是四边形的综合题，考查了平行线的判定，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形面积的计算，角平分线的性质，正确地识别图形是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理，得到，根据平行线的判定定理得到结论； （2）根据角平分线的性质得到，根据全等三角形的判定定理得到； （3）由（2）知，，根据线段垂直平分线的性质得到CG⊥BE，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：， 理由：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （3）解：由（2）知，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的长为10． 垂直平分线与角平分线的综合问题 1.（23-24八年级上·山东滨州·期末）在中，是的平分线，是线段的垂直平分线． (1)求的大小； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质． （1）由角平分线的意义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，可得，再由互余关系即可求得结果； （2）由角平分线的性质定理得，在中，由含角直角三角形的性质即可证明． 【详解】（1）解：， ， ， 平分， ， 是垂直平分线， ， ， ， 的度数为； （2）证明：在中，， ， 平分，，， ， ， ． 2.（23-24八年级上·江苏盐城·期中）已知：如图，角平分线与的垂直平分线交于点D，，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理 【分析】（1）连接，先由垂直平分线的性质得出，再由角平分线的性质得出，然后由证得，即可得出结论； （2）由证得，得出，则，推出，即可得出结果． 本题考查了垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接， ∵D在的垂直平分线上， ∴， ∵，，平分， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 3.（23-24八年级下·四川巴中·期末）如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质： （1）连接、，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据、的长度表示出、，然后解方程即可． 【详解】（1）证明：连接、， 点在的垂直平分线上， ， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ； （2）解：在和中， ， ， ， ，， ， 即， 解得． 4.（23-24八年级上·江西赣州·期末）如图，在中，是高，，是角平分线，交于点，，．    (1)______°； (2)若，，求的面积； (3)作图：在线段上求作一点，使得最小（保留作图痕迹）． 【答案】(1)； (2)的面积； (3)见解析图． 【知识点】线段垂直平分线的性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（）根据角平分线的定义得出和，进而利用三角形内角和定理解答即可； （）根据三角形外角性质和等腰三角形的三线合一解答即可； （）连接，交于点即可； 此题考查了三角形的角平分线，三角形的高，等腰三角形的性质和轴对称性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点的的应用． 【详解】（1）∵，， ∴ ∵，是角平分线， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴, ∵是高， ∴， ∴， ∴的面积； （3）如图，连接，交于点，连接，    由（）得， ∵， ∴垂直平分， ∴， 则， ∴点即为所求． 5.（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中， 是边上的高，为的角平分线，且，是的中线，延长到点，使得，连接，交于点，交于点，交于点． (1)试说明：； (2)若，试说明：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、两直线平行内错角相等、线段垂直平分线的性质 【分析】（）证明得到，进而由即可求证； （）证明得到，进而由平行线的性质得到，即可由三角形内角和定理得到，即可求证； 本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，垂直的定义，从图形中找到全等三角形是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是的中线， ∴， ∵ ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴ （2）证明：∵ 是边上的高， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 垂直平分线与角平分线判定和性质综合问题 1．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）已知：如图，在中，，D是上一点，于E，且． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角平分线的判定与定义、三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线的判定定理是解答的关键． （1）根据到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上可证得结论； （2）先根据三角形的内角和定理求得，再根据角平分线的性质可求解． 【详解】（1）证明：，，， 点在的平分线上， 平分； （2）解：，， ， 平分， ． 2．（22-23七年级上·陕西咸阳·期末）如图，平分，于点，于点，连接． (1)试说明； (2)与相等吗？请说明理由； (3)是否垂直平分，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3)垂直平分，理由见解析 【知识点】全等三角形综合问题、线段垂直平分线的判定 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，线段垂直平分线的判定： （1）利用证明，即可证明结论； （2）设交于H，证明得到，再利用平角的定义即可证明结论； （3）根据全等三角形的性质得到，再由线段垂直平分线的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 设交于H， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：垂直平分，理由如下：、 ∵， ∴， ∴点O和点E都在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 3．（23-24八年级上·湖北荆门·期末）如图，． (1)求证：； (2)若，试判断与的数量及位置关系并证明； (3)求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)且，证明见解析 (3) 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识，正确掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由得到，又由，即可证明； （2）将直线与的交点记为点O，由（1）可知，则，由，以及三角形内角和定理得到，即可得到结论； （3）证明平分，由（2）可知，则，即可得到结论． 【详解】（1）∵ ∴， ∴， 在和中 ∴ （2）且，证明如下： 将直线与的交点记为点O， 由（1）可知， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）过A分别做，垂足分别为点M，点N， 由（1）知， ∴， 故 ∴ ∴平分 由（2）可知 ∴ ∴ 4．（23-24七年级下·山东济宁·期末）如图，于E，于F，若．    (1)求证：平分； (2)已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，角平分线的判定： （1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出，根据角平分线的判定定理，即可求证； （2）根据得出，再由线段的和差关系求出答案，即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴平分； （2）解：在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴． 5．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图，已知△ABC． (1)请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图：①作的中线；② 延 长至E， 使 ，连接 （保留作图痕迹，不写作法）．线段 和 线 段 的数量关系和位置关系是 ； (2)当 时，如图1所示，若是的中线，试探究与 的数量关系，并说明理由； (3)当 时，如图2所示，若是的中线，，，， ，连 接，请直接写出的长． 【答案】(1)①作图见解析②作图见解析；，， (2)， (3)8 【知识点】全等三角形综合问题、线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定、作垂线(尺规作图) 【分析】（1）①作线段的垂直平分线,与交于点，连接，即为所求，②由，，，得到，，，即可求解， （2）延 长至E， 使 ，由，，，得到，，，结合，得到，进而得到，，代入，即可求解， （3）延长到点，使得，由，，，得到，，，结合，得到，由，，根据垂直平分线的性质，得到， 本题考查了，全等三角形的性质与判定，垂直平分线的性质与判定，三角形的中线，解题的关键是：连接辅助线，构造全等三角形． 【详解】（1）解：①作图如下，即为所求， ②作图如下： ∵，，， ∴， ∴，， ∴， （2）解：延 长至E， 使 ，连接， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， （3）解：延长到点，使得， ∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴． 坐标与图形变化--轴对称 1．（23-24八年级上·全国·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． (1)在平面直角坐标系中画出，则的面积是 ； (2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 ； (3)已知P为x轴正半轴上一点，若的面积为1，求点P的坐标． 【答案】(1)4 (2) (3)或 【知识点】坐标与图形、写出直角坐标系中点的坐标、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查的是坐标系内描点，网格三角形的面积计算，坐标与图形，轴对称的性质． 现在坐标系内描点，在顺次连接即可得到三角形，再利用长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可； 根据关于y轴对称的点的坐标关系，横坐标互为相反数，纵坐标不变可得到答案． 由p为x轴正半轴上一点，的面积为1，可得，从而得到答案． 【详解】（1）解：∵、、， 如图所示： 、、， ∴三角形面积为． 故答案为：4． （2）解：点D与点关于y轴对称，则点D的坐标为， 故答案为：． （3）解：∵p为x轴上一点，的面积为1，即， ∴， ∴， ∵，点p的横坐标为：． 故点p坐标为：或． 2．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，的顶点坐标是，． (1)作关于y轴对称的图形； (2)写出顶点坐标； (3)如果与全等，则请直接写出点D坐标． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)或或 【知识点】坐标与图形、全等三角形综合问题、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，全等三角形的判定： （1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同得到A、B、C对应点的坐标，描出，再顺次连接即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）根据全等三角形的判定定理结合网格的特点求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵与关于y轴对称，，， ∴，． （3）解：如图所示，点即为所求． 3．（23-24八年级下·河北承德·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． (1)在平面直角坐标系中画出，则的面积是 ； (2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为 ；在平面直角坐标系中，作出与关于y轴对称的； (3)已知P为x轴上一点，若 的面积为1，求点P的坐标．直接写出点P的坐标．   【答案】(1)4 (2)，图见解析 (3)或 【知识点】坐标与图形、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称、利用网格求三角形面积 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中根据点的坐标描点，关于y轴对称点的性质，三角形的面积公式，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据点A，B，C的坐标描点再连线即可；利用割补法求三角形的面积即可． （2）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得点D的坐标；根据轴对称的性质作图即可． （3）设点P的坐标为，根据题意可列方程为1，求出m的值，即可得出答案． 【详解】（1）如图，即为所求． 的面积是． 故答案为：4． （2）∵点D与点C关于y轴对称， ∴点D的坐标为． 如图，即为所求． 故答案为：． （3）设点P的坐标为， ∵的面积为1， ∴， 解得或0， ∴点P的坐标为或． 4．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是、、 (1)将向上平移个单位长度得到，请画出 (2)请画出与关于轴对称的 (3)点的坐标为 ，点的坐标为 (4)若是内一点，按照（1）（2）操作后点的坐标为 ，点的坐标为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)， (4)， 【知识点】平移(作图)、由平移方式确定点的坐标、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用轴对称的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）利用所画图象得出对应点坐标； （4）利用（1）、（2）中的坐标变换规律确定点及的坐标．． 【详解】（1）解如图所示：，即为所求； （2）解：如图所示：，即为所求； （3）解：，， 故答案为：， （4）解：是内一点，按照（1）操作后点的坐标为，按照（2）操作后点的坐标为． 故答案为：， 5．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)画出关于轴对称的； (2)画出向下平移个单位长度得到的； (3)在的内部有一点，其坐标为，请直接写出点经过以上变换后的对应点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】平移(作图)、已知图形的平移，求点的坐标、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查的是画轴对称图，平移作图，坐标与图形． （1）根据关于轴对称的两点的坐标特征分别找出点、、关于轴对称的对应点，顺次连接即可； （2）分别找出点、、向下平移后的对应点，顺次连接即可； （3）先得出点关于轴对称的对应点坐标，再根据“左减右加，上加下减”的平移规律得出的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：如图，即为所求： （3）解：点坐标为， 点关于轴对称的点的坐标为， 点向下平移个单位长度的点的坐标为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$