专题03 圆锥曲线（考点清单，19个考点清单+14类题型解读）（期末复习知识清单）高二数学上学期人教B版

专题03 圆锥曲线（19个考点清单+14个题型解读） 知识点01：椭圆的定义 1、椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数， 这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距. 说明： 若，的轨迹为线段； 若，的轨迹无图形 2、定义的集合语言表述 集合. 知识点02：椭圆的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 特别说明： 1、两种椭圆，（）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也不同. 2、给出椭圆方程(，,),判断该方程所表示的椭圆的焦点位置的方法是:椭圆的焦点在轴上⇔标准方程中项的分母较大;椭圆的焦点在轴上⇔标准方程中项的分母较大,这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法.可简记作:焦点位置看大小,焦点跟着大的跑. 知识点03：椭圆的简单几何性质 1、椭圆的简单几何性质一 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 （） （） 范围 ， ， 顶点 ，， ， 轴长 短轴长＝，长轴长＝ 焦点 焦距 对称性 对称轴：轴、轴　对称中心：原点 离心率 ， 2、椭圆的简单几何性质二 离心率：椭圆焦距与长轴长之比：. （） 当越接近1时，越接近，椭圆越扁； 当越接近0时，越接近0，椭圆越接近圆； 当且仅当时，图形为圆，方程为 【常用结论】 1、与椭圆共焦点的椭圆方程可设为： 2、有相同离心率：（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上） 3、椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）： （1）； （2），，； （3）,，； 知识点04：双曲线的定义 1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2、集合语言表达式 双曲线就是下列点的集合:. 3、说明 若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小. (1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支; (2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支. 知识点05：双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 两种双曲线 ， （）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同. 知识点06：双曲线的简单几何性质 标准方程 （） （） 图形 性质 范围 或 或 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 ， , 渐近线 离心率 ，， a，b，c间的关系 知识点07：等轴双曲线 （，）当时称双曲线为等轴双曲线 ①； ②离心率； ③两渐近线互相垂直，分别为； ④等轴双曲线的方程，； 知识点08：双曲线与渐近线的关系 1、若双曲线方程为渐近线方程： 2、若双曲线方程为（，）渐近线方程： 3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为， 4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在轴上） 知识点09：抛物线的定义 1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 2、抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离). 知识点10：抛物线的标准方程 设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： 方程 （） （） （） （） 图形 焦点 准线 说明： 1、要注意弄清抛物线四种形式的标准方程的特征及其对应抛物线的形状(焦点位置、开口方向等).抛物线的标准方程中,有一个一次项和一个二次项,二次项的系数为1,一次项的系数为;若一次项的字母是,则焦点就在轴上,若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向右),若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向左);若一次项的字母是,则焦点就在轴上,若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向上),若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向下). 2、焦点的非零坐标是标准方程下一次项系数的 . 3、准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称. 4、（1）通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于，通径是过焦点最短的弦. （2）抛物线（）上一点到焦点的距离，也称为抛物线的焦半径. 知识点11：抛物线的简单几何性质 标准方程 （） （） （） （） 图形 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径长 说明：抛物线的焦半径公式如下： （1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则； （2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则； （3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则； （4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则. 知识点12：直线和曲线联立（以椭圆和抛物线为例） 1、椭圆与直线相交于两点，设， ， 椭圆与过定点的直线相交于两点，设为，如此消去，保留，构造的方程如下：， 注意： ①如果直线没有过椭圆内部一定点，是不能直接说明直线与椭圆有两个交点的，一般都需要摆出，满足此条件，才可以得到韦达定理的关系． ②焦点在轴上的椭圆与直线的关系，双曲线与直线的关系和上述形式类似，不在赘述． 2、抛物线与直线相交于两点，设， 联立可得，时， 特殊地，当直线过焦点的时候，即，，因为为通径的时候也满足该式，根据此时A、B坐标来记忆． 抛物线与直线相交于两点，设， 联立可得，时， 注意：在直线与抛物线的问题中，设直线的时候选择形式多思考分析，往往可以降低计算量．开口向上选择正设；开口向右，选择反设；注意不可完全生搬硬套，具体情况具体分析． 知识点13：根的判别式和韦达定理 与联立，两边同时乘上即可得到，为了方便叙述，将上式简记为．该式可以看成一个关于的一元二次方程，判别式为可简单记． 同理和联立，为了方便叙述，将上式简记为，，可简记． 与C相离；与C相切；与C相交． 注意：（1）由韦达定理写出，，注意隐含条件． （2）求解时要注意题干所有的隐含条件，要符合所有的题意． （3）如果是焦点在y轴上的椭圆，只需要把，互换位置即可． （4）直线和双曲线联立结果类似，焦点在x轴的双曲线，只要把换成即可； 焦点在y轴的双曲线，把换成即可，换成即可． （5）注意二次曲线方程和二次曲线方程往往不能通过联立消元，利用判断根的关系，因为此情况下往往会有增根，根据题干的隐含条件可以舍去增根（一般为交点横纵坐标的范围限制），所以在遇到两条二次曲线交点问题的时候，使用画图的方式分析，或者解方程组，真正算出具体坐标． 知识点14：点差法： 设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得； ； 将两式相减，可得；； 最后整理得： 同理，双曲线用点差法，式子可以整理成： 设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得；； 将两式相减，可得；整理得： 知识点15：弦长公式 （最常用公式，使用频率最高） 知识点16：三角形面积问题 直线方程： 知识点17：焦点三角形的面积 直线过焦点的面积为 注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数 知识点18：平行四边形的面积 直线为，直线为 注意：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数. 知识点19：探索圆锥曲线的定点、定值问题 1、定值问题 ①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； ②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值。 解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元得出定值。 2、定点问题 定点问题是比较常见出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量． ①引进参数.一般是点的坐标、直线的斜率、直线的夹角等. ②列出关系式.根据题设条件，表示出对应的动态直线或曲线方程. ③探究直线过定点.一般化成点斜式或者直线系方程 题型一：椭圆、双曲线的定义 11 题型二：椭圆、双曲线的标准方程 12 题型三：椭圆、双曲线中的焦点三角形 13 题型四：椭圆、双曲线中的轨迹问题 14 题型五：椭圆、双曲线的离心率 15 题型六：双曲线的渐近线 16 题型七：抛物线的定义 17 题型八：抛物线的标准方程 18 题型九：抛物线中的距离最值问题 19 题型十：抛物线中的轨迹问题 20 题型十一：直线与圆锥曲线的位置关系 21 题型十二：弦长及三角形、四边形面积问题 22 题型十三：中点弦问题 24 题型十四：定值、定点问题 25 【题型一：椭圆、双曲线的定义】 一、单选题 1．（24-25高二上·广东·期中）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（   ） A．9 B．1 C．1或9 D．11或9 2．（24-25高二上·广西·期中）已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点.若，则（   ） A．1 B．6 C．7 D．4 3．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）方程表示的曲线为（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不表示任何图形 4．（24-25高二上·全国·课后作业）双曲线的左、右焦点分别是，点在双曲线上，且，则（    ） A．18 B．2 C．6或14 D．2或18 5．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为右支上一点，为坐标原点，为线段的中点，为线段上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·河南·期中）设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，，则的最小值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．4 【题型二：椭圆、双曲线的标准方程】 一、解答题 1．（23-24高二下·全国·随堂练习）求符合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过点，焦点坐标分别为，； (2)经过，两点； (3)与椭圆有相同的焦点，且经过点 2．（23-24高二下·全国·课堂例题）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)与椭圆有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为． (2)过点，且焦点在坐标轴上． 3．（24-25高二上·江苏连云港·期中）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)与椭圆有公共焦点，且过点； (2)焦点在y轴上，焦距为8，渐近线斜率为； (3)经过点，且一条渐近线的方程为． 【题型三：椭圆、双曲线中的焦点三角形】 一、单选题 1．（23-24高二上·吉林·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点是椭圆上一点（与点、不共线），则的周长为（   ） A．20 B．18 C．16 D．14 2．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点， ，则的面积为（     ） A．8 B．6 C． D． 3．（24-25高二上·山东·期中）已知分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于4，则（   ） A． B．2 C． D．4 4．（24-25高二上·安徽黄山·期中）点是椭圆上一点，点分别是椭圆的左、右焦点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C：的左右焦点为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，则的周长为（    ） A．12 B．14 C．10 D．8 6．（24-25高二上·福建泉州·期中）设点P为椭圆1上一点，，分别为C的左、右焦点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·河南驻马店·二模）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上但不在坐标轴上，且是等腰三角形，其中一个内角的余弦值为，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 8．（24-25高二上·陕西汉中·期中）已知过椭圆中心的直线交椭圆于两点，是椭圆的一个焦点，则的周长的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【题型四：椭圆、双曲线中的轨迹问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·四川绵阳·期中）在中，，则顶点A的轨迹方程（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·云南·阶段练习）设两点的坐标分别为，，直线与相交于点，且它们的斜率之积为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·福建莆田·期中）已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·河北保定·阶段练习）已知曲线：，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2024高三·全国·专题练习）已知点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·重庆江北·期中）已知圆和，若动圆与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【题型五：椭圆、双曲线的离心率】 一、单选题 1．（24-25高二上·山东·期中）若双曲线（，）的右焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知、分别为椭圆的左右顶点，为椭圆上异于、的一点，若直线、的斜率之积为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·辽宁·期中）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为在第一象限上的一点.若为直角三角形，，则的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 5．（24-25高二上·湖南·期中）已知，分别为双曲线的左、右焦点，为第一象限内一点，且满足，，线段与双曲线交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·四川宜宾·期中）已知为椭圆的两个焦点，过原点O的直线交椭圆于A ，B 两点，且，， 则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·江苏常州·期中）设双曲线的右焦点为F，双曲线C上的两点A、B关于原点对称，且满足，，则双曲线C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，，都在椭圆上，若，，且，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型六：双曲线的渐近线】 一、单选题 1．（23-24高二下·浙江·阶段练习）过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏连云港·期中）若双曲线经过点，两条渐近线方程是，该双曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·浙江台州·期中）已知双曲线的左右焦点分别为，且，当点到渐近线的距离为时，该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·山西晋城·期中）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，以为直径的圆和的渐近线在第一象限交于点，若与另一条渐近线平行，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为双曲线上一点，若P与恰好关于C的一条渐近线对称，且，则的面积为（    ） A．2 B． C． D．4 6．（24-25高二上·广西·期中）若双曲线的渐近线与已知圆相切，则（  ） A． B． C． D． 【题型七：抛物线的定义】 一、单选题 1．（24-25高二上·重庆·期中）已知为抛物线上一点，F为抛物线的焦点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）已知抛物线的焦点为，点在上.若到直线的距离为8，则=（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 3．（24-25高二上·江西抚州·期中）若抛物线上的一点A到焦点的距离为2，则点A的纵坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点满足，，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 5．（2024·北京海淀·三模）已知抛物线的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若，则的面积为（    ） A．8 B． C． D． 6．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知点P在抛物线M：上，过点P作圆C：的切线，若切线长为，则点P到M的准线的距离为（    ） A．5 B． C．6 D． 【题型八：抛物线的标准方程】 一、单选题 1．（23-24高二上·广西梧州·期中）准线方程为的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）若点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，点在C上，且，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高三下·湖北·开学考试）已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点关于其准线的对称点为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·吉林四平·期中）已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·江西·阶段练习）图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，水面下降后，水面宽度为（   ） A． B． C． D． 【题型九：抛物线中的距离最值问题】 一、单选题 1．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知点P在抛物线上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·湖南·期中）已知抛物线的焦点为点，P是C上一个动点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 3．（24-25高二上·江苏南京·期中）抛物线的准线为l，M为上的动点，则点到与到直线的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·河北石家庄·期中）如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·广东·开学考试）设点为圆上的一动点，点为抛物线上的一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知抛物线C：上一点，点，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【题型十：抛物线中的轨迹问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，动点到直线的距离比它到定点的距离小2，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知直线和圆，若圆M与直线l相切，与圆C相外切，圆M的圆心M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线，定点为抛物线上任意一点，点在线段上，且有．当点在抛物线上运动时，点的轨迹方程是 ． 5．（24-25高二上·全国·课前预习）设，点在轴上，点在轴上，且，，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为 ． 【题型十一：直线与圆锥曲线的位置关系】 一、解答题 1．（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知椭圆：的焦距为4，且经过点. (1)求椭圆M的标准方程； (2)若直线与椭圆M相切，且直线与直线：平行，求直线的斜截式方程. 2．（24-25高二上·上海·期中）已知双曲线过点且它的两条渐近线方程为与. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线右支交于不同两点，求k的取值范围． 3．（22-23高二上·江西赣州·期中）已知抛物线，点在抛物线上且到焦点的距离为2. (1)求抛物线的方程，并求其准线方程； (2)已知，直线与抛物线交于两点，记直线，的斜率分别为，，求的值. 4．（22-23高三上·上海浦东新·阶段练习）已知双曲线的方程为，离心率为2，右顶点为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过的直线与双曲线的一支交于、两点，求的取值范围. 5．（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点. (1)求拋物线的标准方程； (2)若抛物线的焦点在轴上且与直线交于、两点（、两点异于原点），以为直径的圆经过原点，求的值. 6．（24-25高二上·北京顺义·期中）在直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，过点且斜率为k的直线l与C交于不同的两点A，B. (1)求轨迹C的方程； (2)求斜率k的取值范围； (3)当时，求A，B两点坐标. 【题型十二：弦长及三角形、四边形面积问题】 一、解答题 1．（24-25高二上·广西南宁·期中）已知点是平面直角坐标系中异于原点的一个动点，过点且与轴垂直的直线与直线交于点，且向量与向量垂直. (1)求点的轨迹方程； (2)设位于第一象限，以OC为直径的圆与轴相交于点，且，求的值. 2．（24-25高二上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，已知两点的坐标分别为，，直线相交于点，且它们的斜率之积是. (1)求动点的轨迹方程； (2)若点的轨迹与直线相交于两个不同的点，线段的中点为.若直线的斜率为 ，求线段的长. 3．（24-25高二上·河南·期中）已知抛物线与圆相交于、两点，且. (1)求抛物线的方程; (2)若直线与相交于、两点，是的焦点，求的周长. 4．（24-25高二上·广东·阶段练习）已知双曲线，直线与交于两点． (1)若的方程为，求； (2)若，且，求的斜率． 5．（24-25高二上·天津河北·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，左顶点为，上顶点为，且，动直线与椭圆交于，两点；当直线过焦点且与轴垂直时，. (1)求椭圆的方程； (2)若直线过点，当面积为时，求直线的斜率. 6．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线一个焦点到渐近线的距离为，且离心率为2． (1)求双曲线的标准方程； (2)设分别是双曲线左、右两支上的动点，为双曲线的左顶点，若直线的斜率分别为，且，求直线的方程． 【题型十三：中点弦问题】 一、解答题 1．（24-25高二上·吉林·期中）已知椭圆的焦距为12，长半轴长为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 2．（24-25高二上·陕西·期中）已知点，，动点满足直线与的斜率之积为2.记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)若，是曲线上两点，试判断点能否成为线段的中点，如果可以，求出直线的方程；如果不可以，请说明理由. 3．（23-24高二上·江苏淮安·期中）已知抛物线，直线交抛物线于两点，中点为．    (1)求抛物线的标准方程； (2)记抛物线上一点，直线斜率为，直线斜率为，求． 4．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，离心率为． (1)求椭圆和抛物线的方程； (2)过点作斜率为的直线交椭圆于，两点，为弦的中点，求直线的斜率． 5．（23-24高二下·浙江·期中）如图，抛物线是抛物线内一点，过点作两条斜率存在且互相垂直的动直线，设与抛物线相交于点与抛物线相交于点，，当恰好为线段的中点时，．    (1)求抛物线的方程； (2)求的最小值． 6．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知双曲线，其中一条渐近线的倾斜角为，点，坐标原点 (1)求的值； (2)直线经过点，与的两条渐近线分别交于点.若的面积为，求直线的方程； (3)如图，直线交双曲线的右支于不同两点，，若，求实数的取值范围. 【题型十四：定值、定点问题】 一、解答题 1．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知抛物线的准线与轴的交点为． (1)求抛物线的方程； (2)若经过点的直线与抛物线相切，求直线的方程； (3)若过点的直线与抛物线交于两点，证明：为定值． 2．（24-25高二上·河北·期中）已知点，，中恰有两个点在抛物线上， (1)求的标准方程； (2)若点，在上，且，证明：直线过定点． 3．（24-25高二上·四川攀枝花·期中）已知点，，动点满足，动点的轨迹为记为. (1)求轨迹的方程. (2)若为上一点，且点到轴的距离，求内切圆的半径的取值范围. (3)若直线与交于，两点，，分别为的左、右顶点，设直线的斜率为，直线的斜率为，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 4．（24-25高二上·山西·期中）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，虚轴长为2. (1)求双曲线C的方程； (2)直线与双曲线C的左支交于A，B两点，点D与点A关于x轴对称. (i)求m的取值范围； (ii)求证：直线过定点. 5．（24-25高二上·广东广州·期中）已知椭圆的焦点为，，左、右顶点分别为，点为椭圆上异于的动点，的周长为. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线交直线于点，连接交椭圆于点，直线，的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ii）设直线，证明：直线过定点. 6．（24-25高二上·吉林·阶段练习）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率. (1)求双曲线C的方程； (2)记双曲线C的右顶点为，过点作直线，与C的左支分别交于两点，且，为垂足. （i）证明：直线恒过定点，并求出点坐标； （ii）判断是否存在定点，使得为定值，若存在说明理由并求出点坐标. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 遇到过轴上定点或斜率已知的情况可以设，这种情况下直线一般在题设中都存在斜率 遇到过轴上定点的情况可以设，这种情况下直线一般在题设中有可能不存在斜率，但斜率一般不会为0，这样设一方面可以避免分类讨论，另一方面可以减少一些计算量 1正设法 6．（2020•辽宁模拟）已知椭圆的长轴长为6，且椭圆与圆的公共弦长为． （1）求椭圆的方程； （2）过点作斜率为的直线与椭圆交于两点，，试判断在轴上是否存在点，使得为以为底边的等腰三角形，若存在，求出点的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由题意可得，由题意可得公共弦长为直径，求得，进而得到所求椭圆方程； （2）直线的解析式设为，设，，，，的中点为，，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和两直线垂直的条件：斜率之积为，化简整理，结合基本不等式即可得到存在和的横坐标的范围． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，所以， 由椭圆与圆的公共弦长为，恰为圆的直径， 可得椭圆经过点，所以， 解得，所以椭圆的方程为； （Ⅱ）直线的解析式设为，设，，，，的中点为，． 假设存在点，使得为以为底边的等腰三角形，则． 联立和，得，故， 所以，，因为，所以， 即，所以， 当时，，所以． 综上所述，在轴上存在满足题目条件的点，且点的横坐标的取值范围为． 7．（2018•凉山州模拟）已知、分别是椭圆的左、右焦点． （1）若是第一象限内该椭圆上的一点，，求点的坐标； （2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围． 【分析】（1）求得椭圆的，，，可得左右焦点，设，，，运用向量的数量积的坐标表示，解方程可得的坐标； （2）显然不满足题意，可设的方程为，设，，，，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，由为锐角，即为，运用数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求的范围． 【解答】解：（1）椭圆方程为，知，，，可得，， 设，，，则， 又，联立，解得，即为； （2）显然不满足题意，可设的方程为， 设，，，，联立， 由△，得．，． 又为锐角，即为，即，， 又， 可得．又，即为，解得． 8．（2018•怀化三模）如图，椭圆的离心率为，点为椭圆上的一点． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）若斜率为的直线过点，且与椭圆交于，两点，为椭圆的下顶点，求证：对于任意的，直线，的斜率之积为定值． 【分析】（Ⅰ）运用离心率公式和点满足椭圆方程，解得，，进而得到椭圆方程； （Ⅱ）设直线，代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，以及点在直线上满足直线方程，化简整理，即可得到定值． 【解答】解：（Ⅰ），，①， 又椭圆过点，②由①②解得，， 所以椭圆的标准方程为； （Ⅱ）证明：设直线，联立得：， 设，，，，则有，． 易知，故 为定值． 9．（2017•山西二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆有两个不同交点、时，能在直线上找到一点，在椭圆上找到一点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由． 【分析】（Ⅰ）方法一、运用椭圆的定义，可得，由，，的关系，可得，进而得到椭圆方程； 方法二、运用在椭圆上，代入椭圆方程，结合，，的关系，解方程可得，，进而得到椭圆方程； （Ⅱ）设直线的方程为，设，，，，，，，，的中点为，，联立椭圆方程，运用判别式大于0及韦达定理和中点坐标公式，由向量相等可得四边形为平行四边形，为线段的中点，则为线段的中点，求得的范围，即可判断． 【解答】解：（Ⅰ）方法一：设椭圆的焦距为，则， 因为在椭圆上，所以， 因此，，故椭圆的方程为； 方法二：设椭圆的焦距为，则，因为在椭圆上， 所以，，，解得，，故椭圆的方程为； （Ⅱ）设直线的方程为， 设，，，，，，，，的中点为，， 由消去，得，所以，且△ 故 且，由，知四边形为平行四边形， 而为线段的中点，因此为线段的中点，所以，可得， 又，可得，因此点不在椭圆上，故不存在满足题意的直线． 10．（2016春•眉山校级期中）已知椭圆，过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为 （1）求椭圆的方程； （2）斜率大于零的直线过与椭圆交于，，，两点，且，求直线的方程． 【分析】（1）运用两点的斜率公式，可得，求得直线的方程，运用点到直线的距离公式，可得，进而得到，可得椭圆方程； （2）设直线的方程为，代入椭圆方程，消去，可得的二次方程，运用韦达定理，结合条件，解方程可得，进而得到所求直线的方程． 【解答】解：（1）过点，的直线倾斜角为， 可得，即有直线的方程为， 原点到该直线的距离为，可得，解得，， 则椭圆方程为； （2）设直线的方程为，代入椭圆方程，可得 ，△恒成立， 由，，，， 可得，，又， 即有，， 可得， 解得舍去）． 则直线的方程为． 11．（2016•连云港模拟）在平面直角坐标系中，点在椭圆上，若点，，且． （1）求椭圆的离心率； （2）设椭圆的焦距为4，，是椭圆上不同的两点．线段的垂直平分线为直线，且直线不与轴重合． ①若点，直线过点，求直线的方程； ②若直线过点，且与轴的交点为．求点横坐标的取值范围． 【分析】（1）设，由向量共线的坐标表示，可得的坐标，代入椭圆方程，可得，的关系，再由离心率公式计算即可得到所求值； （2）①由题意可得，，，可得椭圆方程，设直线的方程为，代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，再由两直线垂直的条件：斜率之积为，解方程可得，进而得到所求直线方程； ②设直线的方程为，代入椭圆方程可得，运用韦达定理和中点坐标公式，再由两直线垂直的条件，求得，再由中点在椭圆内，可得的范围，再由直线的方程可得的横坐标的范围． 【解答】解：（1）设，由， 可得，，可得，，即，， 即有，即为，，则； （2）①由题意可得，，， 即有椭圆方程为，设直线的方程为， 代入椭圆方程可得， ，的中点为，， 由题意可得直线的斜率为， 解得或，即有直线的方程为或； ②设直线的方程为， 代入椭圆方程可得，，可得， 即有的中点为，，由题意可得直线的斜率为， 化简可得，中点坐标即为，， 由中点在椭圆内，可得，解得， 由直线的方程为，可得的横坐标为，可得范围是，，． 12．（2016•苏州二模）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左，右焦点分别是，，右顶点、上顶点分别为，，原点到直线的距离等于 （1）若椭圆的离心率等于，求椭圆的方程； （2）若过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，且在第二象限，直线交轴于点试判断以为直径的圆与点的位置关系，并说明理由 【分析】（1）求得，的坐标，可得的方程，运用点到直线的距离公式和离心率公式，解方程可得，，进而得到椭圆方程； （2）点在以为直径的圆上由题意可得直线与椭圆相切且的斜率存在，设直线的方程为：，代入椭圆方程，运用判别式为0，解得的值，可得，，从而可得直线的方程，求得的坐标，可得向量，的坐标，求出数量积为0，即可得到结论． 【解答】解：（1）由题意得点，， 直线的方程为，即由题设，得， 化简，得①，由，即为，即② 由①②，解得，可得椭圆的方程为； （2）点在以为直径的圆上 由题设，直线与椭圆相切且的斜率存在，设直线的方程为：， 由，得， 则△，化简，得，所以， 由点在第二象限，可得，把代入方程，得， 解得，从而，所以，从而直线的方程为：， 令，得，所以点从而，， 从而 ， 又，，所以点在以为直径的圆上 13．（2019•天津）设椭圆的左焦点为，左顶点为，上顶点为．已知为原点）． （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且．求椭圆的方程． 【分析】（Ⅰ）由题意可得，再由离心率公式可得所求值； （Ⅱ）求得，，可得椭圆方程为，设直线的方程为，联立椭圆方程求得的坐标，以及直线的斜率，由两条直线平行的条件和直线与圆相切的条件，解方程可得，即可得到所求椭圆方程． 【解答】解：（Ⅰ），即为，可得； （Ⅱ），，即，， 可得椭圆方程为，设直线的方程为， 代入椭圆方程可得，解得或， 代入直线方程可得或（舍去），可得， 圆心在直线上，且，可设，可得，解得， 即有，可得圆的半径为2，由直线和圆相切的条件为， 可得，解得，可得，，可得椭圆方程为． 14．（2016•陕县校级模拟）已知椭圆的中心在坐标原点，且抛物线的焦点是椭圆一个焦点，以椭圆的长轴两个端点及短轴的一个端点为顶点的三角形面积为6． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，又点，，求面积最大时对应的直线的方程． 【分析】（Ⅰ）由抛物线方程求得焦点坐标，求得，由三角形的面积公式可知，根据椭圆的性质，，即可求得和的值，求得椭圆方程； （Ⅱ）求得直线方程，并将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理求得求得及，由弦长公式求得，根据点到直线的距离公式，求得，根据三角形的面公式及基本不等式的性质即可求得的值，求得直线方程． 【解答】解：（Ⅰ）设椭圆， 由抛物线的焦点是椭圆的一个焦点得：， 由椭圆的性质可知：， ，，即，，即， ，，椭圆 （Ⅱ）设，，，，， 与，联立得：， △，可知：， 由韦达定理可知：，， ， 到的距离， 当即时，最大，对应的直线的方程为 日期：2020/11/20 11:28:09；用户：张伍；邮箱：zhb157@126.com；学号：19915 二反设法 3．（2020•江西模拟）已知离心率为的椭圆的左顶点为，左焦点为，及点，且，，成等比数列． （1）求椭圆的方程． （2）斜率不为0的动直线过点且与椭圆相交于、两点，记，线段上的点满足，试求为坐标原点）面积的取值范围． 【分析】（1）由题可列方程组，解得，，又，解得，进而可得椭圆的方程． （2）设直线的方程为，，联立椭圆的方程得：，，，再分析原点到直线的距离，表示的面积，化简再求出答案． 【解答】设直线的方程为，，代入椭圆的方程得： ，， ，原点到直线的距离， 所以的面积， 因为，所以，． 8．（2016秋•台州期末）已知椭圆． （1）若椭圆的两个焦点与一个短轴顶点构成边长为2的正三角形，求椭圆的标准方程； （2）过右焦点的直线与椭圆交于、两点，过点作的垂线，交直线于点，若的最小值为，试求椭圆率心率的取值范围． 【分析】（1）由已知可得：，，，解得，即可． （2）设直线的方程，，，坐标，．联立，化为：．．．即可求得椭圆率心率的取值范围 【解答】解：（1）由已知可得：，，，解得，，． 椭圆的标准方程为． （2）设直线的方程为：，，，，． ．联立，化为：． ，， ． ．令，， 上式在时恒成立，椭圆率心率的取值范围为 9．（2017•浙江模拟）已知椭圆，点，分别是椭圆的右焦点与上顶点，为坐标原点，记的周长与面积分别为和． （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）如图，过点的直线交椭圆于，两点，过点作的垂线，交直线于点，当取最小值时，求的最小值． 【分析】（Ⅰ），当且仅当时，的最小值； （Ⅱ）由（Ⅰ）得当且仅当时，的最小值为．此时椭圆方程可化为 依题意可得过点的直线的斜率不能为0，故设直线的方程为．可得．设直线，令得 ，． 【解答】解：（Ⅰ）的周长．的面积． ， 当且仅当时，的最小值为． （Ⅱ）由（Ⅰ）得当且仅当时，的最小值为． 此时椭圆方程可化为 依题意可得过点的直线的斜率不能为0，故设直线的方程为． 联立，整理得：． ， ． 当时，垂直横轴，与横轴重合，此时，， ． 当时，设直线，令得 综上所述：当且仅当时，取最小值为． 10．（2018秋•城厢区校级月考）已知椭圆的离心率为，过其右焦点作与轴垂直的直线与该椭圆交于、两点，与抛物线交于、两点，且． （1）求椭圆的方程； （2）设，过点作与轴不重合的直线交椭圆于、两点，连接、分别交直线于、两点．试问直线、的斜率之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由． 【分析】（1）由已知条件推导出，由此能求出椭圆的方程． （2）设直线的方程为，联立，得，设，，，，由此利用三点共线、韦达定理，结合已知条件能求出直线，的斜率之积为定值． 【解答】（13分）解：（1）直线过右焦点且与轴垂直， ． 又椭圆的离心率为，且， ， 解得，，故椭圆的方程为． （2）由题意知直线的斜率不为零，设直线的方程为， 联立，消去得 设，，，， 则 ，，三点共线，，即 同理可得， 而 故直线，的斜率之积为定值． 13．（2018秋•市中区校级月考）已知椭圆的上顶点为点，右焦点为．延长交椭圆于点，且满足． （1）试求椭圆的标准方程； （2）过点作与轴不重合的直线和椭圆交于，两点，设椭圆的左顶点为点，且直线，分别与直线交于，两点，记直线，的斜率分别为，，则与之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，试说明理由． 【分析】（1）椭圆的上顶点为，右焦点，点的坐标为．利用，推出，，代入椭圆方程，结合焦点坐标求解，，得到椭圆方程． （2）设，，，，设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用，，三点共线，求出，的坐标分别为，，然后求解斜率，化简即可． 【解答】解：（1）椭圆的上顶点为，右焦点，点的坐标为． ，可得，又，， 代入可得， 又，解得，，即椭圆的标准方程为． （2）设，，，，，，． 由题意可设直线的方程为， 联立消去，得， 根据，，三点共线，可得， ．同理可得， ，的坐标分别为，， 与之积为定值，且该定值是． 16．（2020秋•香坊区校级月考）设椭圆左焦点为，过点的直线与椭圆交于，两点，直线的倾斜角为，且． （1）求椭圆的离心率； （2）若，求椭圆的方程． 【分析】（1）由题意设直线的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，由向量的关系求出，的坐标的关系，代入两根之和及两根之积中可得，，之间的关系，再由椭圆性质可得离心率的值； （2）由（1）求出弦长，由题意可得，的值，进而求出椭圆的方程． 【解答】解：（1）由题意设直线的方程为：，设，，，，设在轴上方，即，可得，，，， 又因为，所以可得，，所以， 联立直线与椭圆的方程，整理可得：， ，，将，代入可得，， 所以可得，整理可得：而， 所以可得，（舍或，所以可得离心率； （2）由（1）可得，所以，， 所以弦长， 解得：，所以，所以椭圆的方程为：． 18．（2016•浙江）如图，设抛物线的焦点为，抛物线上的点到轴的距离等于， （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若直线交抛物线于另一点，过与轴平行的直线和过与垂直的直线交于点，与轴交于点，求的横坐标的取值范围． 【分析】（Ⅰ）利用抛物线的性质和已知条件求出抛物线方程，进一步求得值； （Ⅱ）设出直线的方程，与抛物线联立，求出的坐标，求出直线，的斜率，从而求出直线的方程，根据、、三点共线，可求出的横坐标的表达式，从而求出的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，抛物线上点到焦点的距离等于到直线的距离， 由抛物线定义得，，即； （Ⅱ）由（Ⅰ）得，抛物线方程为，，可设，，，， 不垂直轴，设直线， 联立，得．，， 又直线的斜率为，故直线的斜率为， 从而得，直线， 则，设，由、、三点共线，得， 于是，得或．经检验，或满足题意． 点的横坐标的取值范围为，，． 19．（2017秋•七里河区校级期末）已知抛物线的焦点为，抛物线上的点到轴的距离等于． （1）求的值； （2）是否存在正数，对于过点且与抛物线有两个交点、的任一直线，都有？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用抛物线的定义，求出，然后求解平曲线方程； （2）设过点，的直线与曲线的交点为，，，．设的方程为，由，得，利用判别式以及韦达定理，通过，对任意实数得到，求解即可． 【解答（1）抛物线上的点到轴的距离等于，由定义抛物线可知． （2）设过点，的直线与曲线的交点为，，，． 设的方程为，由，得， △，于是① 又，，，， ．② 又，于是不等式②等价于， 即．③ 由①式，不等式③等价于．④ 对任意实数，的最小值为0，所以不等式④对于一切成立等价于， 即． 由此可知，存在正数，对于过点且与曲线有两个交点，的任一直线，都有，且的取值范围是，． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 $$ 专题03 圆锥曲线（19个考点清单+14个题型解读） 知识点01：椭圆的定义 1、椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数， 这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距. 说明： 若，的轨迹为线段； 若，的轨迹无图形 2、定义的集合语言表述 集合. 知识点02：椭圆的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 特别说明： 1、两种椭圆，（）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也不同. 2、给出椭圆方程(，,),判断该方程所表示的椭圆的焦点位置的方法是:椭圆的焦点在轴上⇔标准方程中项的分母较大;椭圆的焦点在轴上⇔标准方程中项的分母较大,这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法.可简记作:焦点位置看大小,焦点跟着大的跑. 知识点03：椭圆的简单几何性质 1、椭圆的简单几何性质一 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 （） （） 范围 ， ， 顶点 ，， ， 轴长 短轴长＝，长轴长＝ 焦点 焦距 对称性 对称轴：轴、轴　对称中心：原点 离心率 ， 2、椭圆的简单几何性质二 离心率：椭圆焦距与长轴长之比：. （） 当越接近1时，越接近，椭圆越扁； 当越接近0时，越接近0，椭圆越接近圆； 当且仅当时，图形为圆，方程为 【常用结论】 1、与椭圆共焦点的椭圆方程可设为： 2、有相同离心率：（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上） 3、椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）： （1）； （2），，； （3）,，； 知识点04：双曲线的定义 1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2、集合语言表达式 双曲线就是下列点的集合:. 3、说明 若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小. (1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支; (2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支. 知识点05：双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 两种双曲线 ， （）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同. 知识点06：双曲线的简单几何性质 标准方程 （） （） 图形 性质 范围 或 或 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 ， , 渐近线 离心率 ，， a，b，c间的关系 知识点07：等轴双曲线 （，）当时称双曲线为等轴双曲线 ①； ②离心率； ③两渐近线互相垂直，分别为； ④等轴双曲线的方程，； 知识点08：双曲线与渐近线的关系 1、若双曲线方程为渐近线方程： 2、若双曲线方程为（，）渐近线方程： 3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为， 4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在轴上） 知识点09：抛物线的定义 1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 2、抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离). 知识点10：抛物线的标准方程 设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： 方程 （） （） （） （） 图形 焦点 准线 说明： 1、要注意弄清抛物线四种形式的标准方程的特征及其对应抛物线的形状(焦点位置、开口方向等).抛物线的标准方程中,有一个一次项和一个二次项,二次项的系数为1,一次项的系数为;若一次项的字母是,则焦点就在轴上,若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向右),若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向左);若一次项的字母是,则焦点就在轴上,若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向上),若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向下). 2、焦点的非零坐标是标准方程下一次项系数的 . 3、准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称. 4、（1）通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于，通径是过焦点最短的弦. （2）抛物线（）上一点到焦点的距离，也称为抛物线的焦半径. 知识点11：抛物线的简单几何性质 标准方程 （） （） （） （） 图形 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径长 说明：抛物线的焦半径公式如下： （1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则； （2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则； （3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则； （4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则. 知识点12：直线和曲线联立（以椭圆和抛物线为例） 1、椭圆与直线相交于两点，设， ， 椭圆与过定点的直线相交于两点，设为，如此消去，保留，构造的方程如下：， 注意： ①如果直线没有过椭圆内部一定点，是不能直接说明直线与椭圆有两个交点的，一般都需要摆出，满足此条件，才可以得到韦达定理的关系． ②焦点在轴上的椭圆与直线的关系，双曲线与直线的关系和上述形式类似，不在赘述． 2、抛物线与直线相交于两点，设， 联立可得，时， 特殊地，当直线过焦点的时候，即，，因为为通径的时候也满足该式，根据此时A、B坐标来记忆． 抛物线与直线相交于两点，设， 联立可得，时， 注意：在直线与抛物线的问题中，设直线的时候选择形式多思考分析，往往可以降低计算量．开口向上选择正设；开口向右，选择反设；注意不可完全生搬硬套，具体情况具体分析． 知识点13：根的判别式和韦达定理 与联立，两边同时乘上即可得到，为了方便叙述，将上式简记为．该式可以看成一个关于的一元二次方程，判别式为可简单记． 同理和联立，为了方便叙述，将上式简记为，，可简记． 与C相离；与C相切；与C相交． 注意：（1）由韦达定理写出，，注意隐含条件． （2）求解时要注意题干所有的隐含条件，要符合所有的题意． （3）如果是焦点在y轴上的椭圆，只需要把，互换位置即可． （4）直线和双曲线联立结果类似，焦点在x轴的双曲线，只要把换成即可； 焦点在y轴的双曲线，把换成即可，换成即可． （5）注意二次曲线方程和二次曲线方程往往不能通过联立消元，利用判断根的关系，因为此情况下往往会有增根，根据题干的隐含条件可以舍去增根（一般为交点横纵坐标的范围限制），所以在遇到两条二次曲线交点问题的时候，使用画图的方式分析，或者解方程组，真正算出具体坐标． 知识点14：点差法： 设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得； ； 将两式相减，可得；； 最后整理得： 同理，双曲线用点差法，式子可以整理成： 设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得；； 将两式相减，可得；整理得： 知识点15：弦长公式 （最常用公式，使用频率最高） 知识点16：三角形面积问题 直线方程： 知识点17：焦点三角形的面积 直线过焦点的面积为 注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数 知识点18：平行四边形的面积 直线为，直线为 注意：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数. 知识点19：探索圆锥曲线的定点、定值问题 1、定值问题 ①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； ②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值。 解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元得出定值。 2、定点问题 定点问题是比较常见出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量． ①引进参数.一般是点的坐标、直线的斜率、直线的夹角等. ②列出关系式.根据题设条件，表示出对应的动态直线或曲线方程. ③探究直线过定点.一般化成点斜式或者直线系方程 题型一：椭圆、双曲线的定义 11 题型二：椭圆、双曲线的标准方程 14 题型三：椭圆、双曲线中的焦点三角形 17 题型四：椭圆、双曲线中的轨迹问题 22 题型五：椭圆、双曲线的离心率 25 题型六：双曲线的渐近线 32 题型七：抛物线的定义 35 题型八：抛物线的标准方程 38 题型九：抛物线中的距离最值问题 41 题型十：抛物线中的轨迹问题 45 题型十一：直线与圆锥曲线的位置关系 47 题型十二：弦长及三角形、四边形面积问题 53 题型十三：中点弦问题 61 题型十四：定值、定点问题 69 【题型一：椭圆、双曲线的定义】 一、单选题 1．（24-25高二上·广东·期中）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（   ） A．9 B．1 C．1或9 D．11或9 【答案】A 【分析】根据双曲线定义可求得，再根据或或即可得解. 【详解】根据双曲线定义可得，又， 所以或， 又，， 而或， 所以. 故选：A. 2．（24-25高二上·广西·期中）已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点.若，则（   ） A．1 B．6 C．7 D．4 【答案】D 【分析】应用椭圆的定义可直接得到正确结果. 【详解】解：因为椭圆，所以椭圆长轴长为， 由椭圆定义知，所以. 故选：D 3．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）方程表示的曲线为（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不表示任何图形 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴方程可表示平面内点到点与点的距离之和为的图形， 此时， ∴方程表示的轨迹是线段， 故选：C． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）双曲线的左、右焦点分别是，点在双曲线上，且，则（    ） A．18 B．2 C．6或14 D．2或18 【答案】B 【分析】应用双曲线的定义，结合已知，计算得出且符合到焦点距离范围. 【详解】由题知点在双曲线右支上，根据双曲线的定义得， 因为，所以，即， 又因为，所以满足题意. 故选：B. 5．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为右支上一点，为坐标原点，为线段的中点，为线段上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的标准方程，结合双曲线的定义，可得问题答案. 【详解】如图：    因为为右支上一点，所以. 因为为坐标原点，为线段的中点，所以，， 则. 故选：C 6．（24-25高二上·河南·期中）设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，，则的最小值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．4 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义式，将转化为，结合图形分析判断得出的最小值，即得的最小值. 【详解】 如图，连接,因，则， 由图知，当三点共线，且点在之间时，的值最小， 最小值为,此时，的最小值为. 故选：B. 【题型二：椭圆、双曲线的标准方程】 一、解答题 1．（23-24高二下·全国·随堂练习）求符合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过点，焦点坐标分别为，； (2)经过，两点； (3)与椭圆有相同的焦点，且经过点 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据焦点位置设出椭圆方程，把点的坐标代入椭圆方程求解即可； （2）设出椭圆方程，将两点代入椭圆方程，列式计算即可求解． （3）求出椭圆的焦点坐标，利用待定系数法求得的值，即得答案． 【详解】（1）由题知：焦点在轴，且， 设椭圆标准方程为，则， 由椭圆过点知，解得或（舍去）． 所以椭圆的标准方程为． （2）椭圆经过，两点， 设所求椭圆的方程为， 把点、代入得，解得， 所以所求椭圆的方程为． （3）椭圆的焦点坐标为， 则所求椭圆的焦点坐标也为， 设其方程为，则， 又椭圆经过点，故，联立， 解得， 故椭圆方程为． 2．（23-24高二下·全国·课堂例题）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)与椭圆有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为． (2)过点，且焦点在坐标轴上． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求椭圆的焦点坐标，设双曲线方程，结合题意列式求解即可； （2）结合题意，利用待定系数法即可求取双曲线的标准方程． 【详解】（1）椭圆的两个焦点为、， 故该双曲线的焦点在轴上，可设双曲线的标准方程为， 令，即有，解得， 故有，解得， 故双曲线的标准方程为． （2）设双曲线的方程为，． 因为点，在双曲线上， 则，解得， 所以双曲线的标准方程为． 3．（24-25高二上·江苏连云港·期中）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)与椭圆有公共焦点，且过点； (2)焦点在y轴上，焦距为8，渐近线斜率为； (3)经过点，且一条渐近线的方程为． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）依题意设所求双曲线为，代入点的坐标，求出，即可得解； （2）根据题意可得，， 解方程从而得到双曲线的方程； （3）设所求双曲线方程为，将点的坐标代入即可得到双曲线的方程. 【详解】（1）∵椭圆的焦点（0，±3）， ∴由题意设所求双曲线为， ∵双曲线过点， ∴，整理得， 解得或（舍去）， ∴所求双曲线方程为． （2）设双曲线的标准方程为（a，b＞0）， 则渐近线为，            ∵焦距为8，渐近线斜率为， ∴，， 又，所以，， ∴双曲线的标准方程为， （3）因为双曲线的一条渐近线的方程为， 所以设双曲线方程为，又双曲线过点， 所以，解得， 所以双曲线方程为． 【题型三：椭圆、双曲线中的焦点三角形】 一、单选题 1．（23-24高二上·吉林·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点是椭圆上一点（与点、不共线），则的周长为（   ） A．20 B．18 C．16 D．14 【答案】C 【分析】根据椭圆定义求解出焦点三角形的周长. 【详解】因为椭圆方程为，所以， 所以，所以， 故选：C. 2．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点， ，则的面积为（     ） A．8 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】由双曲线的定义及计算出，，可知为直角三角形，然后计算面积即可. 【详解】因为双曲线 ，所以，，所以， 为双曲线上一点，，所以为双曲线上右支上一点， 由双曲线的定义得：，， 所以，所以，，， 所以，所以， 故， 故选：B 3．（24-25高二上·山东·期中）已知分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于4，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】先由的面积得，再由勾股定理结合双曲线的定义以及即可求解. 【详解】由题得，所以， 因为，所以， 则，所以即， 又，所以即. 故选：B. 4．（24-25高二上·安徽黄山·期中）点是椭圆上一点，点分别是椭圆的左、右焦点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知，记， ，， 中，由余弦定理得，又， ， . 故选：B. 5．（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C：的左右焦点为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，则的周长为（    ） A．12 B．14 C．10 D．8 【答案】A 【分析】由双曲线的定义求解即可； 【详解】 由题意可得， 的周长为， 由双曲线定定义可得， 又 所以， 所以的周长为12， 故选：A 6．（24-25高二上·福建泉州·期中）设点P为椭圆1上一点，，分别为C的左、右焦点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据椭圆定义结合余弦定理可得，进而可得面积. 【详解】由椭圆方程可知：， 设， 则， 在中，由余弦定理可得， 即，可得， 所以的面积为. 故选：C. 7．（2024·河南驻马店·二模）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上但不在坐标轴上，且是等腰三角形，其中一个内角的余弦值为，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】，设，由是等腰三角形，利用余弦定理求出，可求的值. 【详解】依题意得，设， 不妨设点在第一象限，若，有， 故或， 解得或，又9，所以. 若，有，同理可得. 此时，，不符合点在第一象限， 所以. 故选：B. 8．（24-25高二上·陕西汉中·期中）已知过椭圆中心的直线交椭圆于两点，是椭圆的一个焦点，则的周长的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义求出，再由，即可求解. 【详解】由椭圆的对称性可知，两点关于原点对称，设椭圆的另一个交点为， 则四边形为平行四边形，由椭圆的定义可知：， 又，所以， 又直线过原点，所以， 所以的周长的最小值为：. 故选：D    【题型四：椭圆、双曲线中的轨迹问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·四川绵阳·期中）在中，，则顶点A的轨迹方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义可知顶点A的轨迹是以为焦点的椭圆（不包括轴上的点），即可得方程. 【详解】因为， 可知顶点A的轨迹是以为焦点的椭圆（不包括轴上的点）， 则， 所以顶点A的轨迹方程. 故选：A. 2．（24-25高三上·云南·阶段练习）设两点的坐标分别为，，直线与相交于点，且它们的斜率之积为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用给定条件直接求解动点的轨迹方程即可. 【详解】设点，则的斜率为，的斜率为， 故， 所以，故D正确. 故选：D 3．（24-25高二上·福建莆田·期中）已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两圆外切的判定方法列出方程，推出，即得动圆圆心的轨迹和轨迹方程. 【详解】设动圆的半径为，因动圆同时与圆及圆相外切， 则，， 则， 故动圆圆心的轨迹是以为两焦点的双曲线的左支. 又因，解得，故其轨迹方程为. 故选：D. 4．（24-25高三上·河北保定·阶段练习）已知曲线：，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，由题意可得，代入曲线中即可得. 【详解】设，则有，设， 则，由，则有， 即，故有，即.    故选：B. 5．（2024高三·全国·专题练习）已知点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中为定值，故先化简再分析满足的距离关系即可. 【详解】设，因为， 故，即. 故点的轨迹是以为焦点的双曲线的下支， 且，故. 所以点的轨迹方程为. 故选：B. 6．（24-25高二上·重庆江北·期中）已知圆和，若动圆与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的位置关系及椭圆的定义可判断轨迹为椭圆，即可得出轨迹方程. 【详解】圆心、半径分别为， 由可知圆内含于圆内， 设动圆半径为，由题意， 两式相加可得， 故点的轨迹为以为焦点的椭圆，其中， 所以，所以椭圆方程为． 故选：A. 【题型五：椭圆、双曲线的离心率】 一、单选题 1．（24-25高二上·山东·期中）若双曲线（，）的右焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点到直线的距离公式求出焦点到渐近线的距离，再根据双曲线之间的关系即可求离心率. 【详解】根据对称性，双曲线的焦点到两条渐近线的距离相等， 其中一条渐近线的方程为，即， 右焦点到的距离等于， 所以，所以， 即，则，所以， 故选：B. 2．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆定义和勾股定理即可求解. 【详解】如图 依题意，，，， 则，， 由椭圆定义可得，， 所以离心率. 故选：D. 3．（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知、分别为椭圆的左右顶点，为椭圆上异于、的一点，若直线、的斜率之积为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用斜率的坐标公式，结合点在椭圆上求出，进而求出离心率. 【详解】依题意，，设点，则，即， 依题意，，因此， 所以椭圆的离心率. 故选：A 4．（24-25高二上·辽宁·期中）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为在第一象限上的一点.若为直角三角形，，则的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据双曲线定义可得，即可根据勾股定理，结合分类讨论求解. 【详解】由题意可得，由双曲线定义可得， 故， 若,则,即，化简可得，则， 若,则,即，化简可得，不符合题意舍去， 故选：C 5．（24-25高二上·湖南·期中）已知，分别为双曲线的左、右焦点，为第一象限内一点，且满足，，线段与双曲线交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，，，利用余弦定理列式求解即可. 【详解】由题意可知：，，且，    在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 即，可得， 所以双曲线的离心率为. 故选：C. 6．（24-25高二上·四川宜宾·期中）已知为椭圆的两个焦点，过原点O的直线交椭圆于A ，B 两点，且，， 则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由椭圆的对称性可得，，结合椭圆的定义和勾股定理求得答案. 【详解】如图，由，， 所以，， 所以是直角三角形，又，则，， ， 所以，即，即， 所以. 故选：B.    7．（24-25高二上·江苏常州·期中）设双曲线的右焦点为F，双曲线C上的两点A、B关于原点对称，且满足，，则双曲线C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性结合，得到四边形为矩形，设，，在直角中，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到，再根据，得到的范围，从而利用对勾函数的值域得到的范围，进而由即可得解. 【详解】如图所示： 设双曲线的左焦点，由双曲线的对称性可知，四边形为平行四边形， 又，则，所以平行四边形为矩形，故， 设，，则， 在中，，， 所以，则， 所以， 令，得， 又由，得， 因为对勾函数在上单调递增，所以， 所以 ，即， 则，故， 所以， 所以椭圆离心率的取值范围是. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用椭圆的对称性证得四边形为矩形，再利用椭圆的定义与勾股定理，结合条件得到关于的齐次不等式，从而得解. 8．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，，都在椭圆上，若，，且，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线，直线代入椭圆方程，消元后得一元二次方程，计算出两根和与积，再由题设条件，求出，和，代入中，利用韦达定理代入，化简即得， ，由的齐次不等式，即可求得离心率的取值范围. 【详解】 如图，由，可知三点共线，三点共线. 设，，，直线，直线, 由消去，可得， 则，同理可得. 由代入坐标可得：，即得 同理由可得，，由，可得， 同理，，故 （*） 又点在椭圆上，则有，则（*）式可化成： ，解得，故得， 故的离心率的取值范围为. 故选：B. 【点睛】方法点睛：本题主要考查椭圆离心率范围的求解.属于难题. 求椭圆离心率（或范围）的方法有三： （1）根据已知条件列方程组，解出的值，直接利用离心率公式求解即可； （2）根据已知条件得到一个关于（或）的齐次方程（或不等式），然后转化为关于离心率的方程（或不等式）求解； （3）因为离心率是比值，故有时也可以利用特殊值法，例如令，求出相应的值，进而求出离心率 【题型六：双曲线的渐近线】 一、单选题 1．（23-24高二下·浙江·阶段练习）过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据渐近线相同可设所求为，将点代入求得即可得解. 【详解】因为所求双曲线与双曲线有相同的渐近线，所以设其方程为， 又点在双曲线上，所以，解得， 则双曲线方程为. 故选：B． 2．（24-25高二上·江苏连云港·期中）若双曲线经过点，两条渐近线方程是，该双曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可设双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程，求出，即可得出双曲线的标准方程. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为，设该双曲线的方程为， 将点的坐标代入双曲线的方程可得， 即双曲线的方程为，化为标准式方程为. 故选：A. 3．（24-25高二上·浙江台州·期中）已知双曲线的左右焦点分别为，且，当点到渐近线的距离为时，该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线写出渐近线和焦点坐标，利用点到线距离公式列方程可得，再由双曲线参数关系及离心率公式求结果. 【详解】由题设可得双曲线渐近线为，且， 所以，即，又，所以， 所以. 故选：D 4．（24-25高二上·山西晋城·期中）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，以为直径的圆和的渐近线在第一象限交于点，若与另一条渐近线平行，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形的几何关系以及双曲线的对称性求解. 【详解】由题意，, 又为的中点，所以在△中，． 如图所示，设与平行的渐近线交于点，即，, 由双曲线的对称性可知，所以，所以． 因此为等边三角形，即， 可得直线的斜率为，则的渐近线方程为． 故选：. 5．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为双曲线上一点，若P与恰好关于C的一条渐近线对称，且，则的面积为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】连接交双曲线的渐近线于点，结合已知探讨的性质，进而求出面积. 【详解】连接交双曲线的渐近线于点，则（为原点）， 而分别为的中点，则，，且， 由双曲线的一条渐近线为，得，则， 所以的面积为. 故选：D    6．（24-25高二上·广西·期中）若双曲线的渐近线与已知圆相切，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解出双曲线的渐近线方程，进而用点到直线距离解出即可. 【详解】双曲线的渐近线为，即， 不妨取，圆，即， 所以圆心为，半径， 依题意圆心到渐近线的距离， 解得或（舍去）. 所以. 故选：A. 【题型七：抛物线的定义】 一、单选题 1．（24-25高二上·重庆·期中）已知为抛物线上一点，F为抛物线的焦点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据抛物线定义求. 【详解】由题设，抛物线准线为，结合题设及抛物线定义，则有. 故选：C 2．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）已知抛物线的焦点为，点在上.若到直线的距离为8，则=（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】利用抛物线的定义求解即可. 【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为， 点在上，由到直线的距离为8· 所以到准线的距离为7， 由抛物线的定义可知：到准线的距离等于到焦点的距离， 所以， 故选：A. 3．（24-25高二上·江西抚州·期中）若抛物线上的一点A到焦点的距离为2，则点A的纵坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将抛物线方程标准化，可得其准线方程 ，运用抛物线的定义转化求解即可. 【详解】将标准化为，所以抛物线的准线方程为， 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于点到准线的距离. 如图所示， 所以，解得. 故选：C. 4．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点满足，，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据抛物线定义及焦点与准线距离列方程求参数即可. 【详解】 过分别向轴和准线做垂线,垂足分别为， 根据抛物线定义，有， 所以. 故选：A 5．（2024·北京海淀·三模）已知抛物线的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若，则的面积为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】确定抛物线的焦点和准线，根据得到，计算面积得到答案. 【详解】 因为抛物线的焦点为，准线方程为， 所以，故， 不妨设在第一象限，故， 所以. 故选：C. 6．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知点P在抛物线M：上，过点P作圆C：的切线，若切线长为，则点P到M的准线的距离为（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】根据点P的位置以及切线长可解得点横坐标为5，再由焦半径公式可得结果. 【详解】设点，由圆的方程可知圆心，半径； 又切线长为，可得， 即，解得，可得； 再由抛物线定义可得点P到M的准线的距离为. 故选：C 【题型八：抛物线的标准方程】 一、单选题 1．（23-24高二上·广西梧州·期中）准线方程为的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可设抛物线的标准方程为，从而可得，求解即可. 【详解】由抛物线的准线方程为，可知抛物线是焦点在轴负半轴上的抛物线， 设其方程为，则其准线方程为，得. 该抛物线的标准方程是. 故选：D. 2．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）若点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义即可求解. 【详解】由于点到点的距离比它到直线的距离小1，故点到点的距离比它到直线的距离相等， 故点是在以为焦点，以为准线的抛物线上， 故轨迹为， 故选：A 3．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，点在C上，且，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线定义及可得，进而将点代入抛物线方程即可求得，进而求解C的方程. 【详解】由抛物线的定义，可知，又，， 则，即， 由点在C上，得，结合，解得. 所以C的方程为. 故选：B. 4．（23-24高三下·湖北·开学考试）已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点关于其准线的对称点为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设抛物线的方程为，设焦点关于准线的对称点为，求得，得到，进而得抛物线的方程. 【详解】由题意，设抛物线的方程为， 可得焦点坐标，准线方程为， 设焦点关于准线的对称点为，可得，解得， 因为点关于其准线的对称点为，可得，解得， 所以抛物线的方程为. 故选：A. 5．（24-25高二上·吉林四平·期中）已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出椭圆的焦点坐标，写出抛物线的焦点坐标，列出等量关系，求出，即可得抛物线的标准方程. 【详解】对于椭圆，，，则， 椭圆的焦点坐标为和， 抛物线的焦点的坐标为， 因为抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合， 所以，解得，所以抛物线的标准方程为. 故选：B. 6．（24-25高二上·江西·阶段练习）图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，水面下降后，水面宽度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立直角坐标系，直线交抛物线于两点，抛物线方程为，代入抛物线，解得答案. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则点.设抛物线的方程为， 由点可得，解得，所以. 当时，，所以水面宽度为. 故选：C. 【题型九：抛物线中的距离最值问题】 一、单选题 1．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知点P在抛物线上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点P的坐标为，则，求其最小值即可. 【详解】设点P的坐标为，则， 且， 又因为，所以当时，有最小值. 所以的最小值为. 故选：D 2．（24-25高二上·湖南·期中）已知抛物线的焦点为点，P是C上一个动点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】利用抛物线的定义可求的最小值. 【详解】 由题意得，准线为，点A在抛物线C的内部， 过点A作AB垂直于准线，垂足为B，过点P作PD垂直于准线，垂足为D， 则有， 当且仅当，P为AB与抛物线的交点时，等号成立， 所以的最小值为 故选：C. 3．（24-25高二上·江苏南京·期中）抛物线的准线为l，M为上的动点，则点到与到直线的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义将问题转化为焦点到直线的距离即可求解. 【详解】 如图，抛物线的焦点为, 根据抛物线的定义可知，点到的距离等于, 所以点到与到直线的距离之和即为与到直线的距离之和， 由图可知，与到直线的距离之和的最小值为焦点到直线的距离， 所以即为所求， 故选: D. 4．（24-25高二上·河北石家庄·期中）如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作准线的垂线，垂足为，则的周长为，求出后可得所求的范围. 【详解】 过点作准线的垂线，垂足为， 则的周长为， 由可得， 故，故的周长的取值范围为， 故选：D. 5．（24-25高三上·广东·开学考试）设点为圆上的一动点，点为抛物线上的一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，可得，利用两点之间的距离公式可得，结合二次函数的单调性即可判断出结论． 【详解】如下图，设， 则，，当且仅当时取等号，此时， ，因此， 故选：B． 6．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知抛物线C：上一点，点，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】利用抛物线定义将 转化为 ，数形结合根据线段和的几何意义求得 的最小值, 即可求得答案. 【详解】在抛物线 中， , ∴, 又 , 故 在抛物线 的外部, ∴, ∵抛物线 的焦点为 , 准线方程为 , ∴， ， ∵, 当三点共线（ 在之间）时， 取到最小值 , ∴ 的最小值为 , 故选: C 【题型十：抛物线中的轨迹问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，动点到直线的距离比它到定点的距离小2，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义即可求解. 【详解】由题意知动点到直线的距离与它到定点的距离相等， 由抛物线的定义知，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以，点的轨迹方程为. 故选：B. 2．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据，整理即可得解. 【详解】设，则，整理得， 所以动点的轨迹方程是. 故选：A. 3．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知直线和圆，若圆M与直线l相切，与圆C相外切，圆M的圆心M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设M的坐标，利用直线与圆、圆与圆的位置关系结合抛物线的定义计算即可. 【详解】设，圆M的半径为r，易知则由题意可知， 即圆心M到定直线的距离比到定点的距离少1， 则圆心M到定直线的距离与到定点的距离相等， 所以M的轨迹为抛物线，以为准线，即. 故选：B 二、填空题 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线，定点为抛物线上任意一点，点在线段上，且有．当点在抛物线上运动时，点的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】设点，点，由已知，可得，，代入抛物线方程，即可得到答案. 【详解】设点，点， 因为点在线段上，且有， 则①，②， 点在抛物线上， ， 将①②代入此方程，得， 化简得． 故答案为：． 5．（24-25高二上·全国·课前预习）设，点在轴上，点在轴上，且，，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设，，，根据可得，根据可得，代入即可得结果. 【详解】设，，， 则，，， 因为， 则， 又因为，则，即， 可得，即． 故点的轨迹方程是． 故答案为：. 【题型十一：直线与圆锥曲线的位置关系】 一、解答题 1．（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知椭圆：的焦距为4，且经过点. (1)求椭圆M的标准方程； (2)若直线与椭圆M相切，且直线与直线：平行，求直线的斜截式方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由焦距、所过点求椭圆参数，即可得方程； （2）由平行关系设直线方程：，联立椭圆方程得，利用相切关系有求参数，即可得直线方程. 【详解】（1）由题意得，得， 所以椭圆的标准方程为. （2）设与平行的：， 由，得， 由，得，则：. 2．（24-25高二上·上海·期中）已知双曲线过点且它的两条渐近线方程为与. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线右支交于不同两点，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用共渐近线双曲线系的方程可求双曲线的方程； （2）联系直线方程和双曲线方程后利用判别式和韦达定理可求参数的取值范围. 【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程为与, 故设双曲线方程为：， 因为双曲线过，故即，故双曲线方程为：. （2）由可得， 因为直线与双曲线右支交于不同两点， 所以，故. 3．（22-23高二上·江西赣州·期中）已知抛物线，点在抛物线上且到焦点的距离为2. (1)求抛物线的方程，并求其准线方程； (2)已知，直线与抛物线交于两点，记直线，的斜率分别为，，求的值. 【答案】(1)抛物线的方程为，准线方程为 (2) 【分析】（1）由点在抛物线上且到焦点的距离为2，联立方程组解出即可；（2）设，，联立方程消元，韦达定理，用斜率公式写出，代入化简即可. 【详解】（1）由题意得，解得. 从而得到抛物线的方程为， 准线方程为； （2）设，， 由 得， ∴，， ， ∴   所以的值为. 4．（22-23高三上·上海浦东新·阶段练习）已知双曲线的方程为，离心率为2，右顶点为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过的直线与双曲线的一支交于、两点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 (1)根据题意建立的方程组即可求解; (2)利用韦达定理确定的取值范围，再建立之间的等量关系即可求解. 【详解】（1）由离心率又,所以， 又右顶点为，所以，所以， 故双曲线的标准方程为. （2）设直线的方程为，设， 则由得， 因为直线与双曲线一支交于、两点， 所以 ，解得， 因此 ， 因为，所以， 所以，所以， 故. 5．（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点. (1)求拋物线的标准方程； (2)若抛物线的焦点在轴上且与直线交于、两点（、两点异于原点），以为直径的圆经过原点，求的值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据抛物线过定点，分情况确定抛物线方程； （2）联立直线与抛物线，结合韦达定理与圆过原点可得参数值. 【详解】（1）当抛物线焦点在轴上时，设抛物线方程为， 过点，即，解得， 即此时抛物线方程为； 当抛物线焦点在轴上时，设抛物线方程为， 过点，即，解得， 即此时抛物线方程为； （2） 由（1）得当抛物线焦点在轴上时，抛物线方程为， 设，， 联立直线与抛物线，得， 则，解得， 且，，， 又以为直径的圆经过原点， 即，， 解得. 【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系； (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 6．（24-25高二上·北京顺义·期中）在直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，过点且斜率为k的直线l与C交于不同的两点A，B. (1)求轨迹C的方程； (2)求斜率k的取值范围； (3)当时，求A，B两点坐标. 【答案】(1)； (2)或； (3)或. 【分析】（1）根据椭圆定义得到点P的轨迹为以为焦点的椭圆，求出，得到轨迹方程； （2）l的方程为，联立椭圆方程，由根的判别式得到不等式，求出k的取值范围； （3）时，，联立，求出交点坐标，得到答案. 【详解】（1）设，则， 所以点P的轨迹为以为焦点的椭圆， 其中，故， 故轨迹C的方程为； （2）过点且斜率为k的直线l的方程为， 联立与得，， ，解得或， 故斜率k的取值范围是或； （3）时，，联立得， ，解得或， 当时，，当时，， 故或. 【题型十二：弦长及三角形、四边形面积问题】 一、解答题 1．（24-25高二上·广西南宁·期中）已知点是平面直角坐标系中异于原点的一个动点，过点且与轴垂直的直线与直线交于点，且向量与向量垂直. (1)求点的轨迹方程； (2)设位于第一象限，以OC为直径的圆与轴相交于点，且，求的值. 【答案】(1)且； (2). 【分析】（1）利用及向量数量积的坐标表示求轨迹方程； （2）根据题设有轴，即，且求出坐标，进而求. 【详解】（1）由题意，设，则， 由，即且. （2）由题意，易知，即轴， 又，则，故， 又位于第一象限，则， 所以，故， 则.    2．（24-25高二上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，已知两点的坐标分别为，，直线相交于点，且它们的斜率之积是. (1)求动点的轨迹方程； (2)若点的轨迹与直线相交于两个不同的点，线段的中点为.若直线的斜率为 ，求线段的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据题意建立等式求解即可； （2）先利用点差法求得，然后联立方程组求弦长即可. 【详解】（1）设 得 （2）设，得， 所以有 得 由题可知 两式求差化简得 即 因为 所以 所以直线的方程为 联立解得或 所以 3．（24-25高二上·河南·期中）已知抛物线与圆相交于、两点，且. (1)求抛物线的方程; (2)若直线与相交于、两点，是的焦点，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对称性，设，将点的坐标代入圆的方程，求出的值，即可得出抛物线的方程； （2）设、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式以及抛物线的焦半径公式可求得的周长. 【详解】（1）因为，根据圆与抛物线的对称性，不妨设， 因为点在圆上，所以， 解得（负值舍去），所以的方程是. （2）由消去并整理得， 设、，则， 由韦达定理可得，， 所以， ， 所以的周长为.    4．（24-25高二上·广东·阶段练习）已知双曲线，直线与交于两点． (1)若的方程为，求； (2)若，且，求的斜率． 【答案】(1) (2)斜率为1 【分析】（1）联立直线与双曲线得交点坐标关系，根据相交弦长公式求解即可得结论； （2）根据弦中点问题利用点差法得直线斜率，并检验直线与双曲线是否存在两个交点即可得结论. 【详解】（1）设，；    联立得，， 则，， 故； （2）若，则为线段的中点，故，，    而 两式相减可得，， 故，得， 则直线的斜率为1，此时直线方程为，即， 所以，则， 所以存在直线，使得直线的斜率为1. 5．（24-25高二上·天津河北·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，左顶点为，上顶点为，且，动直线与椭圆交于，两点；当直线过焦点且与轴垂直时，. (1)求椭圆的方程； (2)若直线过点，当面积为时，求直线的斜率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用椭圆顶点以及垂直关系可得，再由通径长可得，代入可得椭圆的方程； （2）设直线的方程为并于椭圆方程联立，由弦长公式以及点到直线距离公式得出面积表达式可得结果. 【详解】（1）由椭圆顶点性质以及可得； 当直线过焦点且与轴垂直时，其方程为， 代入可求得，所以， 解得； 所以椭圆的方程为. （2）由（1）可知， 设直线的方程为，，如下图所示： 联立，消去并整理可得， 由韦达定理可得； 因此， 直线的方程化为，可得点到直线的距离为； 所以的面积为， 又面积为，可得，解得； 所以直线的斜率. 6．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线一个焦点到渐近线的距离为，且离心率为2． (1)求双曲线的标准方程； (2)设分别是双曲线左、右两支上的动点，为双曲线的左顶点，若直线的斜率分别为，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）首先得到渐近线方程，由点到直线的距离公式求出，再由离心率公式求出，即可得解； （2）首先判断直线的倾斜角不为零，设直线的方程为，，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由斜率的关系求出，由弦长公式求出，即可得解. 【详解】（1）由题知双曲线的渐近线方程为， 不妨设，则焦点到渐近线的距离， 的离心率为， 故双曲线的标准方程为． （2）由（1）可得， 当直线的倾斜角为零时，由，得直线的方程为， 代入双曲线方程可得，不妨令，， 则，不符合题意，则直线的倾斜角不为零， 设直线的方程为，，， 联立，消去整理得， ，，， ． ，， ，， ， ， ， 即， ， ， 或． 当时，，不符合题意，． ，， ， 解得，故直线的方程为． 综上，直线的方程为或．    【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 【题型十三：中点弦问题】 一、解答题 1．（24-25高二上·吉林·期中）已知椭圆的焦距为12，长半轴长为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意，根据椭圆的几何性质求得，即得椭圆方程； （2）设，利用点差法化简，得，代入弦的中点坐标，求出直线斜率，即得其方程. 【详解】（1）由题意可知 则，所以椭圆的方程为. （2）    由题意直线l的斜率存在，如图，设，则 两式相减得，整理可得. 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 2．（24-25高二上·陕西·期中）已知点，，动点满足直线与的斜率之积为2.记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)若，是曲线上两点，试判断点能否成为线段的中点，如果可以，求出直线的方程；如果不可以，请说明理由. 【答案】(1)（且） (2)不可以，理由见解析 【分析】（1）由斜率公式化简即可得解； （2）设在曲线上，且中点为，分是否相等两种情况讨论即可，注意用点差法求得斜率后，还应该检验是否和顶点重合，由此即可得解. 【详解】（1）由题意，显然且， 所以的方程为（且）； （2）设在曲线上（），且中点为， 则（且）， 所以， 所以直线为即，， 联立，整理得，，解得或，但这与且矛盾， 故不符合题意； 设在曲线上（），且中点为， 但根据双曲线的对称性可知，中点应该为，这与中点为，矛盾； 综上所述，不存在满足题意的直线的方程. 3．（23-24高二上·江苏淮安·期中）已知抛物线，直线交抛物线于两点，中点为．    (1)求抛物线的标准方程； (2)记抛物线上一点，直线斜率为，直线斜率为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点作差再结合中点坐标和斜率值即可得到答案. （2）设点计算出，，则得到，再将直线与抛物线联立得到韦达定理式再整体代入即可. 【详解】（1）设，则有， ①②得③ 均在直线上，， 又中点为，则有， 代入③有抛物线的标准方程为. （2）由题意知，设， 同理有， ④ 联立直线与抛物线，易得， 则有，代入④式有. 4．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，离心率为． (1)求椭圆和抛物线的方程； (2)过点作斜率为的直线交椭圆于，两点，为弦的中点，求直线的斜率． 【答案】(1)椭圆的方程为；抛物线的方程为 (2) 【分析】（1）根据椭圆方程和离心率可得，即可得椭圆方程，根据焦点可得抛物线方程； （2）设的坐标，利用点差法即可得斜率. 【详解】（1）由椭圆方程可知：， 因为，解得， 又因为，所以椭圆的方程为； 可知椭圆的焦点为，则抛物线的焦点为， 可得，即 所以抛物线的方程为. （2）显然点在椭圆内，可知直线与椭圆必相交， 如图所示： 设，中点为， 则，，， 因为两点在椭圆上， 可得，两式相减可得， 整理可得， 即，可得， 所以直线的斜率为. 5．（23-24高二下·浙江·期中）如图，抛物线是抛物线内一点，过点作两条斜率存在且互相垂直的动直线，设与抛物线相交于点与抛物线相交于点，，当恰好为线段的中点时，．    (1)求抛物线的方程； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设直线，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，依题意可得，再由弦长公式得到方程，解得即可； （2）根据数量积的运算律得到，又，同理可得，再由基本不等式计算可得. 【详解】（1）解法一：设直线， 联立，得， 所以． 又因为是的中点，所以， 又 ， 代入化简得，解得． 故抛物线的方程为． 解法二：设直线的倾斜角为，再设、的坐标都为， 代入抛物线方程得， 化简得． 则，， 因为是的中点，所以，即． 又因为， 将代入化简得， 即，所以抛物线的方程为． （2）解法一： ， 由（1）可得，， 因为 ， 同理， 所以， 当且仅当时，等号成立，即所求最小值为． ， 而， 所以CD的倾斜角为或，同理可求得， 即， 当且仅当或时，等号成立，即所求最小值为． 6．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知双曲线，其中一条渐近线的倾斜角为，点，坐标原点 (1)求的值； (2)直线经过点，与的两条渐近线分别交于点.若的面积为，求直线的方程； (3)如图，直线交双曲线的右支于不同两点，，若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据倾斜角计算出斜率，由此可求的值； （2）联立直线与渐近线方程，得到的坐标并表示出，由求得结果； （3）设出以及的中点的坐标，通过点差法得到的坐标与的关系，结合在双曲线的右支内部以及在直线上求解出的范围. 【详解】（1）因为渐近线的倾斜角为，所以， 所以. （2）由题意可知直线的斜率存在，设，由（1）可知渐近线方程为， 联立，可得，不妨取，所以， 同理可得，所以， 所以，解得， 所以. （3）设，的中点为， 由题意可知的斜率绝对值大于渐近线斜率的绝对值，所以， 联立，可得，所以， 又因为，所以，即， 又因为，所以，所以，所以， 联立，可得，所以， 将代入双曲线方程中，可得，因为在双曲线的右支内部，所以， 又因为，所以，所以， 即. 【题型十四：定值、定点问题】 一、解答题 1．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知抛物线的准线与轴的交点为． (1)求抛物线的方程； (2)若经过点的直线与抛物线相切，求直线的方程； (3)若过点的直线与抛物线交于两点，证明：为定值． 【答案】(1)； (2)或； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据题设有，即可得抛物线方程； （2）讨论斜率存在性，并设联立抛物线，利用求参数，即可得直线方程； （3）令为，，联立抛物线并应用韦达定理化简，即可证. 【详解】（1）由题设知， 则； （2）由题意，直线的斜率不存在时，与抛物线只有一个交点，但不相切， 令，联立抛物线得， 所以，则或， 所以直线为或. （3）由题意，斜率一定存在，令为，， 联立抛物线得，则，， 而，， 所以. 2．（24-25高二上·河北·期中）已知点，，中恰有两个点在抛物线上， (1)求的标准方程； (2)若点，在上，且，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见详解. 【分析】（1）将点坐标代入抛物线方程，取相同的值，得到标准方程； （2）设直线方程，联立方程组化简为一元二次方程，由韦达定理求得参数的值，得到直线的定点. 【详解】（1）将代入抛物线方程，解得， 将代入抛物线方程，解得， 将代入抛物线方程，解得， 根据题意可知， ∴的标准方程为 （2）∵，∴， ∴设直线， 则联立方程组得，即， ∴，∴， ∴， ∴直线过动点. 3．（24-25高二上·四川攀枝花·期中）已知点，，动点满足，动点的轨迹为记为. (1)求轨迹的方程. (2)若为上一点，且点到轴的距离，求内切圆的半径的取值范围. (3)若直线与交于，两点，，分别为的左、右顶点，设直线的斜率为，直线的斜率为，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)是定值， 【分析】（1）因为，所以利用椭圆的定义可得的方程； （2）表示出的周长和面积，进而求出内切圆的半径； （3）方法一：联立与椭圆方程，利用韦达定理得到两根之和，两根之积，故，故，计算出即可； 方法二：联立与椭圆方程，利用韦达定理得到两根之和，两根之积，故，计算出即可. 【详解】（1）因为， 所以是以为焦点，且长轴长为6的椭圆. 设的方程为，则，可得，又， 所以，所以曲线的方程为：. （2）的周长， 的面积， 所以内切圆的半径， 故内切圆的半径的取值范围为. （3） 方法一：联立，得， 设，，易知，且，. 则，， 所以. 由，，得， 所以. 所以为定值，且定值为. 方法二：联立，得， 设，，易知，且，. 则，，因为， . 所以，故为定值，且定值为. 4．（24-25高二上·山西·期中）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，虚轴长为2. (1)求双曲线C的方程； (2)直线与双曲线C的左支交于A，B两点，点D与点A关于x轴对称. (i)求m的取值范围； (ii)求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)(i)；(ii)证明见解析 【分析】(1)根据双曲线渐近线方程和虚轴长，列方程组解出，，可得双曲线方程； (2) (i)联立直线和双曲线方程，根据题意，，计算可得m的取值范围； (ii)假设定点的坐标为，所以，，因为，再利用向量坐标的乘法运算即可得到定点. 【详解】（1）由已知得解得，，所以双曲线的方程为； （2）(i)设，，则，联立， 消去得， 则，，， 可得. 所以的取值范围为：； (ii)由(i)得，， 由对称性可知BD过的定点在轴上，设定点的坐标为， 由，， 所以 ， 可得， 所以直线BD过定点. 5．（24-25高二上·广东广州·期中）已知椭圆的焦点为，，左、右顶点分别为，点为椭圆上异于的动点，的周长为. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线交直线于点，连接交椭圆于点，直线，的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ii）设直线，证明：直线过定点. 【答案】(1)椭圆的方程为 (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的焦点坐标及的周长，可得的值，从而可求解椭圆方程； （2）（i）先利用点的坐标表示出两条直线的斜率，再结合椭圆的方程，代入化简即可；（ii）联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理与（i）中斜率乘积为定值，化简求得定点坐标，即可证得结论． 【详解】（1）依题意可设椭圆，且， 又的周长为，即， 所以， 所以椭圆的方程为． （2）证明：（i）设,，,，， 由（1）可知，， 所以，， 因为，即，所以， 所以， 又，所以， 所以； （ii）因为直线的方程为，,，,， 联立，得， 所以，， 由（i）可知，，即， 所以， 即， 化简得，解得或（舍去）， 所以直线的方程为， 所以直线经过轴上的定点，定点坐标为． 6．（24-25高二上·吉林·阶段练习）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率. (1)求双曲线C的方程； (2)记双曲线C的右顶点为，过点作直线，与C的左支分别交于两点，且，为垂足. （i）证明：直线恒过定点，并求出点坐标； （ii）判断是否存在定点，使得为定值，若存在说明理由并求出点坐标. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析，；（ii）存在，，理由见解析 【分析】（1）利用待定系数法结合双曲线的几何性质即可求得双曲线C的方程： （2）（i）设直线方程为，与双曲线方程联立方程组，利用韦达定理，并结合条件进行运算，即可证明直线过定点； （ii）由，此时存在以为斜边的直角三角形，从而可知存在定点为中点满足，从而可求出点坐标 【详解】（1）由题意，双曲线的中心为坐标原点， 左焦点为，离心率为， 可得，解得， 所以双曲线方程. （2）证明：（i）由（1）知，当直线斜率存在时，设直线方程为， 联立方程组，整理得， ，即， 设，由韦达定理可得. 因为，所以，可得， 即， 即， 整理得， 即， 即， 可得，解得， 将代入直线， 此时直线过定点，不合题意； 将代入直线， 此时直线过定点， 当直线的斜率不存在时，不妨设直线方程为， 因为，所以为等腰直角三角形， 此时点坐标为， 所以（舍）或， 此时过定点， 综上可知，直线恒过定点 （ii）因为，此时存在以为斜边的直角三角形， 所以存在定点为中点满足，此时. 【点睛】关键点点睛：第二小问中通过分析直线与双曲线的交点，求解直线MN的特性及其与双曲线的交点M、N的坐标关系，进而确定直线MN是否通过一个定点P，并探索是否存在一个定点Q，使得从点D到Q的距离为一个固定值。本题主要考查双曲线的性质和直线与双曲线的综合问题，属于较难题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 遇到过轴上定点或斜率已知的情况可以设，这种情况下直线一般在题设中都存在斜率 遇到过轴上定点的情况可以设，这种情况下直线一般在题设中有可能不存在斜率，但斜率一般不会为0，这样设一方面可以避免分类讨论，另一方面可以减少一些计算量 1正设法 6．（2020•辽宁模拟）已知椭圆的长轴长为6，且椭圆与圆的公共弦长为． （1）求椭圆的方程； （2）过点作斜率为的直线与椭圆交于两点，，试判断在轴上是否存在点，使得为以为底边的等腰三角形，若存在，求出点的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由题意可得，由题意可得公共弦长为直径，求得，进而得到所求椭圆方程； （2）直线的解析式设为，设，，，，的中点为，，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和两直线垂直的条件：斜率之积为，化简整理，结合基本不等式即可得到存在和的横坐标的范围． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，所以， 由椭圆与圆的公共弦长为，恰为圆的直径， 可得椭圆经过点，所以， 解得，所以椭圆的方程为； （Ⅱ）直线的解析式设为，设，，，，的中点为，． 假设存在点，使得为以为底边的等腰三角形，则． 联立和，得，故， 所以，，因为，所以， 即，所以， 当时，，所以． 综上所述，在轴上存在满足题目条件的点，且点的横坐标的取值范围为． 7．（2018•凉山州模拟）已知、分别是椭圆的左、右焦点． （1）若是第一象限内该椭圆上的一点，，求点的坐标； （2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围． 【分析】（1）求得椭圆的，，，可得左右焦点，设，，，运用向量的数量积的坐标表示，解方程可得的坐标； （2）显然不满足题意，可设的方程为，设，，，，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，由为锐角，即为，运用数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求的范围． 【解答】解：（1）椭圆方程为，知，，，可得，， 设，，，则， 又，联立，解得，即为； （2）显然不满足题意，可设的方程为， 设，，，，联立， 由△，得．，． 又为锐角，即为，即，， 又， 可得．又，即为，解得． 8．（2018•怀化三模）如图，椭圆的离心率为，点为椭圆上的一点． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）若斜率为的直线过点，且与椭圆交于，两点，为椭圆的下顶点，求证：对于任意的，直线，的斜率之积为定值． 【分析】（Ⅰ）运用离心率公式和点满足椭圆方程，解得，，进而得到椭圆方程； （Ⅱ）设直线，代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，以及点在直线上满足直线方程，化简整理，即可得到定值． 【解答】解：（Ⅰ），，①， 又椭圆过点，②由①②解得，， 所以椭圆的标准方程为； （Ⅱ）证明：设直线，联立得：， 设，，，，则有，． 易知，故 为定值． 9．（2017•山西二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆有两个不同交点、时，能在直线上找到一点，在椭圆上找到一点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由． 【分析】（Ⅰ）方法一、运用椭圆的定义，可得，由，，的关系，可得，进而得到椭圆方程； 方法二、运用在椭圆上，代入椭圆方程，结合，，的关系，解方程可得，，进而得到椭圆方程； （Ⅱ）设直线的方程为，设，，，，，，，，的中点为，，联立椭圆方程，运用判别式大于0及韦达定理和中点坐标公式，由向量相等可得四边形为平行四边形，为线段的中点，则为线段的中点，求得的范围，即可判断． 【解答】解：（Ⅰ）方法一：设椭圆的焦距为，则， 因为在椭圆上，所以， 因此，，故椭圆的方程为； 方法二：设椭圆的焦距为，则，因为在椭圆上， 所以，，，解得，，故椭圆的方程为； （Ⅱ）设直线的方程为， 设，，，，，，，，的中点为，， 由消去，得，所以，且△ 故 且，由，知四边形为平行四边形， 而为线段的中点，因此为线段的中点，所以，可得， 又，可得，因此点不在椭圆上，故不存在满足题意的直线． 10．（2016春•眉山校级期中）已知椭圆，过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为 （1）求椭圆的方程； （2）斜率大于零的直线过与椭圆交于，，，两点，且，求直线的方程． 【分析】（1）运用两点的斜率公式，可得，求得直线的方程，运用点到直线的距离公式，可得，进而得到，可得椭圆方程； （2）设直线的方程为，代入椭圆方程，消去，可得的二次方程，运用韦达定理，结合条件，解方程可得，进而得到所求直线的方程． 【解答】解：（1）过点，的直线倾斜角为， 可得，即有直线的方程为， 原点到该直线的距离为，可得，解得，， 则椭圆方程为； （2）设直线的方程为，代入椭圆方程，可得 ，△恒成立， 由，，，， 可得，，又， 即有，， 可得， 解得舍去）． 则直线的方程为． 11．（2016•连云港模拟）在平面直角坐标系中，点在椭圆上，若点，，且． （1）求椭圆的离心率； （2）设椭圆的焦距为4，，是椭圆上不同的两点．线段的垂直平分线为直线，且直线不与轴重合． ①若点，直线过点，求直线的方程； ②若直线过点，且与轴的交点为．求点横坐标的取值范围． 【分析】（1）设，由向量共线的坐标表示，可得的坐标，代入椭圆方程，可得，的关系，再由离心率公式计算即可得到所求值； （2）①由题意可得，，，可得椭圆方程，设直线的方程为，代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，再由两直线垂直的条件：斜率之积为，解方程可得，进而得到所求直线方程； ②设直线的方程为，代入椭圆方程可得，运用韦达定理和中点坐标公式，再由两直线垂直的条件，求得，再由中点在椭圆内，可得的范围，再由直线的方程可得的横坐标的范围． 【解答】解：（1）设，由， 可得，，可得，，即，， 即有，即为，，则； （2）①由题意可得，，， 即有椭圆方程为，设直线的方程为， 代入椭圆方程可得， ，的中点为，， 由题意可得直线的斜率为， 解得或，即有直线的方程为或； ②设直线的方程为， 代入椭圆方程可得，，可得， 即有的中点为，，由题意可得直线的斜率为， 化简可得，中点坐标即为，， 由中点在椭圆内，可得，解得， 由直线的方程为，可得的横坐标为，可得范围是，，． 12．（2016•苏州二模）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左，右焦点分别是，，右顶点、上顶点分别为，，原点到直线的距离等于 （1）若椭圆的离心率等于，求椭圆的方程； （2）若过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，且在第二象限，直线交轴于点试判断以为直径的圆与点的位置关系，并说明理由 【分析】（1）求得，的坐标，可得的方程，运用点到直线的距离公式和离心率公式，解方程可得，，进而得到椭圆方程； （2）点在以为直径的圆上由题意可得直线与椭圆相切且的斜率存在，设直线的方程为：，代入椭圆方程，运用判别式为0，解得的值，可得，，从而可得直线的方程，求得的坐标，可得向量，的坐标，求出数量积为0，即可得到结论． 【解答】解：（1）由题意得点，， 直线的方程为，即由题设，得， 化简，得①，由，即为，即② 由①②，解得，可得椭圆的方程为； （2）点在以为直径的圆上 由题设，直线与椭圆相切且的斜率存在，设直线的方程为：， 由，得， 则△，化简，得，所以， 由点在第二象限，可得，把代入方程，得， 解得，从而，所以，从而直线的方程为：， 令，得，所以点从而，， 从而 ， 又，，所以点在以为直径的圆上 13．（2019•天津）设椭圆的左焦点为，左顶点为，上顶点为．已知为原点）． （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且．求椭圆的方程． 【分析】（Ⅰ）由题意可得，再由离心率公式可得所求值； （Ⅱ）求得，，可得椭圆方程为，设直线的方程为，联立椭圆方程求得的坐标，以及直线的斜率，由两条直线平行的条件和直线与圆相切的条件，解方程可得，即可得到所求椭圆方程． 【解答】解：（Ⅰ），即为，可得； （Ⅱ），，即，， 可得椭圆方程为，设直线的方程为， 代入椭圆方程可得，解得或， 代入直线方程可得或（舍去），可得， 圆心在直线上，且，可设，可得，解得， 即有，可得圆的半径为2，由直线和圆相切的条件为， 可得，解得，可得，，可得椭圆方程为． 14．（2016•陕县校级模拟）已知椭圆的中心在坐标原点，且抛物线的焦点是椭圆一个焦点，以椭圆的长轴两个端点及短轴的一个端点为顶点的三角形面积为6． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，又点，，求面积最大时对应的直线的方程． 【分析】（Ⅰ）由抛物线方程求得焦点坐标，求得，由三角形的面积公式可知，根据椭圆的性质，，即可求得和的值，求得椭圆方程； （Ⅱ）求得直线方程，并将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理求得求得及，由弦长公式求得，根据点到直线的距离公式，求得，根据三角形的面公式及基本不等式的性质即可求得的值，求得直线方程． 【解答】解：（Ⅰ）设椭圆， 由抛物线的焦点是椭圆的一个焦点得：， 由椭圆的性质可知：， ，，即，，即， ，，椭圆 （Ⅱ）设，，，，， 与，联立得：， △，可知：， 由韦达定理可知：，， ， 到的距离， 当即时，最大，对应的直线的方程为 日期：2020/11/20 11:28:09；用户：张伍；邮箱：zhb157@126.com；学号：19915 二反设法 3．（2020•江西模拟）已知离心率为的椭圆的左顶点为，左焦点为，及点，且，，成等比数列． （1）求椭圆的方程． （2）斜率不为0的动直线过点且与椭圆相交于、两点，记，线段上的点满足，试求为坐标原点）面积的取值范围． 【分析】（1）由题可列方程组，解得，，又，解得，进而可得椭圆的方程． （2）设直线的方程为，，联立椭圆的方程得：，，，再分析原点到直线的距离，表示的面积，化简再求出答案． 【解答】设直线的方程为，，代入椭圆的方程得： ，， ，原点到直线的距离， 所以的面积， 因为，所以，． 8．（2016秋•台州期末）已知椭圆． （1）若椭圆的两个焦点与一个短轴顶点构成边长为2的正三角形，求椭圆的标准方程； （2）过右焦点的直线与椭圆交于、两点，过点作的垂线，交直线于点，若的最小值为，试求椭圆率心率的取值范围． 【分析】（1）由已知可得：，，，解得，即可． （2）设直线的方程，，，坐标，．联立，化为：．．．即可求得椭圆率心率的取值范围 【解答】解：（1）由已知可得：，，，解得，，． 椭圆的标准方程为． （2）设直线的方程为：，，，，． ．联立，化为：． ，， ． ．令，， 上式在时恒成立，椭圆率心率的取值范围为 9．（2017•浙江模拟）已知椭圆，点，分别是椭圆的右焦点与上顶点，为坐标原点，记的周长与面积分别为和． （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）如图，过点的直线交椭圆于，两点，过点作的垂线，交直线于点，当取最小值时，求的最小值． 【分析】（Ⅰ），当且仅当时，的最小值； （Ⅱ）由（Ⅰ）得当且仅当时，的最小值为．此时椭圆方程可化为 依题意可得过点的直线的斜率不能为0，故设直线的方程为．可得．设直线，令得 ，． 【解答】解：（Ⅰ）的周长．的面积． ， 当且仅当时，的最小值为． （Ⅱ）由（Ⅰ）得当且仅当时，的最小值为． 此时椭圆方程可化为 依题意可得过点的直线的斜率不能为0，故设直线的方程为． 联立，整理得：． ， ． 当时，垂直横轴，与横轴重合，此时，， ． 当时，设直线，令得 综上所述：当且仅当时，取最小值为． 10．（2018秋•城厢区校级月考）已知椭圆的离心率为，过其右焦点作与轴垂直的直线与该椭圆交于、两点，与抛物线交于、两点，且． （1）求椭圆的方程； （2）设，过点作与轴不重合的直线交椭圆于、两点，连接、分别交直线于、两点．试问直线、的斜率之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由． 【分析】（1）由已知条件推导出，由此能求出椭圆的方程． （2）设直线的方程为，联立，得，设，，，，由此利用三点共线、韦达定理，结合已知条件能求出直线，的斜率之积为定值． 【解答】（13分）解：（1）直线过右焦点且与轴垂直， ． 又椭圆的离心率为，且， ， 解得，，故椭圆的方程为． （2）由题意知直线的斜率不为零，设直线的方程为， 联立，消去得 设，，，， 则 ，，三点共线，，即 同理可得， 而 故直线，的斜率之积为定值． 13．（2018秋•市中区校级月考）已知椭圆的上顶点为点，右焦点为．延长交椭圆于点，且满足． （1）试求椭圆的标准方程； （2）过点作与轴不重合的直线和椭圆交于，两点，设椭圆的左顶点为点，且直线，分别与直线交于，两点，记直线，的斜率分别为，，则与之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，试说明理由． 【分析】（1）椭圆的上顶点为，右焦点，点的坐标为．利用，推出，，代入椭圆方程，结合焦点坐标求解，，得到椭圆方程． （2）设，，，，设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用，，三点共线，求出，的坐标分别为，，然后求解斜率，化简即可． 【解答】解：（1）椭圆的上顶点为，右焦点，点的坐标为． ，可得，又，， 代入可得， 又，解得，，即椭圆的标准方程为． （2）设，，，，，，． 由题意可设直线的方程为， 联立消去，得， 根据，，三点共线，可得， ．同理可得， ，的坐标分别为，， 与之积为定值，且该定值是． 16．（2020秋•香坊区校级月考）设椭圆左焦点为，过点的直线与椭圆交于，两点，直线的倾斜角为，且． （1）求椭圆的离心率； （2）若，求椭圆的方程． 【分析】（1）由题意设直线的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，由向量的关系求出，的坐标的关系，代入两根之和及两根之积中可得，，之间的关系，再由椭圆性质可得离心率的值； （2）由（1）求出弦长，由题意可得，的值，进而求出椭圆的方程． 【解答】解：（1）由题意设直线的方程为：，设，，，，设在轴上方，即，可得，，，， 又因为，所以可得，，所以， 联立直线与椭圆的方程，整理可得：， ，，将，代入可得，， 所以可得，整理可得：而， 所以可得，（舍或，所以可得离心率； （2）由（1）可得，所以，， 所以弦长， 解得：，所以，所以椭圆的方程为：． 18．（2016•浙江）如图，设抛物线的焦点为，抛物线上的点到轴的距离等于， （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若直线交抛物线于另一点，过与轴平行的直线和过与垂直的直线交于点，与轴交于点，求的横坐标的取值范围． 【分析】（Ⅰ）利用抛物线的性质和已知条件求出抛物线方程，进一步求得值； （Ⅱ）设出直线的方程，与抛物线联立，求出的坐标，求出直线，的斜率，从而求出直线的方程，根据、、三点共线，可求出的横坐标的表达式，从而求出的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，抛物线上点到焦点的距离等于到直线的距离， 由抛物线定义得，，即； （Ⅱ）由（Ⅰ）得，抛物线方程为，，可设，，，， 不垂直轴，设直线， 联立，得．，， 又直线的斜率为，故直线的斜率为， 从而得，直线， 则，设，由、、三点共线，得， 于是，得或．经检验，或满足题意． 点的横坐标的取值范围为，，． 19．（2017秋•七里河区校级期末）已知抛物线的焦点为，抛物线上的点到轴的距离等于． （1）求的值； （2）是否存在正数，对于过点且与抛物线有两个交点、的任一直线，都有？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用抛物线的定义，求出，然后求解平曲线方程； （2）设过点，的直线与曲线的交点为，，，．设的方程为，由，得，利用判别式以及韦达定理，通过，对任意实数得到，求解即可． 【解答（1）抛物线上的点到轴的距离等于，由定义抛物线可知． （2）设过点，的直线与曲线的交点为，，，． 设的方程为，由，得， △，于是① 又，，，， ．② 又，于是不等式②等价于， 即．③ 由①式，不等式③等价于．④ 对任意实数，的最小值为0，所以不等式④对于一切成立等价于， 即． 由此可知，存在正数，对于过点且与曲线有两个交点，的任一直线，都有，且的取值范围是，． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 $$