专题02 直线与圆（考点清单，16个考点清单+16类题型解读）（期末复习知识清单）高二数学上学期人教B版

专题02 直线与圆（16个考点清单+16类题型解读） 知识点01：直线倾斜角的定义 以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. （1）当直线与轴平行或者重合时，我们规定它的倾斜角为；所以倾斜角的取值范围为：； 特别地，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为. （2）所有直线都有唯一确定的倾斜角，倾斜角表示的是直线的倾斜程度. 知识点02：直线的斜率 1、我们把一条直线的倾斜角（） 的正切值叫做这条直线的斜率. 斜率通常用字母表示，即 2、斜率与倾斜角的联系 倾斜角 （范围） 斜率 （范围） 不存在 3、直线斜率的坐标公式 如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式： 知识点03：两条直线平行 对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有. 对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是： ①两条直线的斜率都存在； ②与不重合． (2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则. (3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是： 或，斜率都不存在. 知识点04：两条直线垂直 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果它们的斜率之积等于，那么它们互相垂直，即. 对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②且. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直． (3)判定两条直线垂直的一般结论为： 或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零． 知识点05：直线的方程 1、直线的点斜式方程 已知条件（使用前提） 直线过点和斜率（已知一点+斜率） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程） 1.点斜式方程中的点只要是这条直线上的点,哪一个都可以. 2.当直线与轴平行或重合时,方程可简写为.特别地,轴的方程是;当直线与轴平行或重合时,不能应用点斜式方程.此时可将方程写成.特别地,轴的方程是. 2、直线的斜截式方程 已知条件（使用前提） 直线的斜率为且在轴上的纵截距为（已知斜率+纵截距） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程） 1.直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况. 2.截距是一个实数,它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标,可以为正数、负数和0.当直线过原点时,它在轴上的截距和在轴上的截距都为0. 3.由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在轴上的截距,如直线的斜率,在轴上的截距为. 3、直线的两点式方程 已知条件（使用前提） 直线上的两点，（，）（已知两点） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在且不为0； 当直线没有斜率()或斜率为时，不能用两点式求出它的方程 1.当过两点,的直线斜率不存在()或斜率为0()时,不能用两点式方程表示. 2.在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应关系,即,是同一个点的坐标,是另一个点的坐标. 4、直线的截距式方程 已知条件（使用前提） 直线在轴上的截距为，在轴上的截距为 图示 点斜式方程形式 适用条件 ， 直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况,由直线的截距式方程可以直接读出直线在轴和轴上的截距,所以截距式在解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题时非常方便. 5、直线的一般式方程 定义:关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一次方程(其中 ,不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式. 说明： 1．、不全为零才能表示一条直线，若、全为零则不能表示一条直线. 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． 2．在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程. 3.解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式. 知识点06：直线系方程 1、平行直线系方程 把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线平行的直线系方程都可表示为 (其中为参数且≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定的值. 2、垂直直线系方程 一般地，与直线垂直的直线系方程都可表示为(其中为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定的值. 知识点07：两条直线的交点坐标 直线：（）和：（）的公共点的坐标与方程组的解一一对应. 与相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 与平行方程组无解； 与重合方程组有无数个解. 知识点08：距离公式 1、两点间的距离 平面上任意两点，间的距离公式为 特别地，原点与任一点的距离. 2、点到直线的距离 平面上任意一点到直线：的距离. 3、两条平行线间的距离 一般地，两条平行直线：（）和：（）间的距离. 知识点09：圆 1、圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为, 半径为, 为圆上任意一点， 可用集合表示为： 2、圆的标准方程 我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 3、点与圆的位置关系 判断点与：位置关系的方法: （1）几何法（优先推荐） 设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 （2）代数法 将点带入：方程内 ①点在外 ②点在上 ③点在内 4、圆上的点到定点的最大、最小距离 设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记; ①若点在外，则; ②若点在上，则; ③若点在内，则; 5、圆的一般方程 对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③. 6、圆的一般方程与圆的标准方程的特点 圆的标准方程 圆的一般方程 方程 （） 圆心 半径 7、在圆的一般方程中，判断点与圆的位置关系 已知点和圆的一般式方程：（）， 则点与圆的位置关系： ①点在外 ②点在上 ③点在内 知识点10：直线与圆的位置关系 1、直线与圆的三种位置关系 直线与圆 的位置关 系的图象 直线与圆的 位置关系 相交 相切 相离 2、判断直线与圆的位置关系的两种方法 2.1几何法（优先推荐） 图象 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相交。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相切。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相离。 2.2代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 ①直线与圆相交 ②直线与圆相切 ③直线与圆相离 知识点11：直线与圆相交 记直线被圆截得的弦长为的常用方法 1、几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： 2、代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式： 知识点12：直线与圆相切 1、圆的切线条数 ①过圆外一点，可以作圆的两条切线 ②过圆上一点，可以作圆的一条切线 ③过圆内一点，不能作圆的切线 2、过一点的圆的切线方程（） ①点在圆上 步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则 步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点） ②点在圆外 记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出 （注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为） 3、切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 知识点13：圆上点到直线的最大（小）距离 设圆心到直线的距离为，圆的半径为 ①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； 知识点14：圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系 (1)圆与圆相交，有两个公共点； (2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点； (3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点. 图象 位置关系 图象 位置关系 外 离 外 切 相 交 内 切 内 含 2、圆与圆的位置关系的判定 2.1几何法 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为. ①当时，两圆相交； ②当时，两圆外切； ③当时，两圆外离； ④当时，两圆内切； ⑤当时，两圆内含. 2.2代数法 设: : 联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其 ①与设设相交 ②与设设相切（内切或外切） ③与设设相离（内含或外离） 知识点15：圆与圆的公共弦 1、圆与圆的公共弦 圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦. 2、公共弦所在直线的方程 设: : 联立作差得到：即为两圆共线方程 3、公共弦长的求法 代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 知识点16：圆与圆的公切线 1、公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 2、公切线的方程 核心技巧：利用圆心到切线的距离求解 题型一：直线的倾斜角与斜率 1 题型二：求斜率的值或者取值范围 3 题型三：直线的方程 5 题型四：直线中平行、垂直的应用 7 题型五：直线过定点问题 9 题型六：直线中的三角形面积问题 11 题型七：直线中的对称问题 13 题型八：直线中的最值问题 15 题型九：圆的方程 17 题型十：点与圆的位置关系及其应用 19 题型十一：直线与圆的位置关系及其应用 21 题型十二：弦长问题及其应用 23 题型十三：直线与圆相切及其应用 25 题型十四：圆与圆的位置关系及其应用 27 题型十五：公共弦与公切线问题 29 题型十六：直线与圆、圆与圆中的最值、范围问题 29 【题型一：直线的倾斜角与斜率】 一、单选题 1．（23-24高二下·河南驻马店·期末）直线的倾斜角是（     ） A．0 B． C．π D．不存在 【答案】B 【分析】由给定直线的位置求出倾斜角即得. 【详解】直线垂直于x轴，所以直线的倾斜角是. 故选：B 2．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知直线l过点且一个方向向量为，则l在y轴上的截距为（    ） A． B．1 C． D．5 【答案】A 【分析】设l在y轴上的截距为，根据斜率公式列式求解即可. 【详解】因为直线l一个方向向量为，可知直线l的斜率， 设l在y轴上的截距为，即直线l过点， 则，解得. 故选：A. 3．（23-24高二下·江苏盐城·期末）过两点、的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜率公式计算可得. 【详解】因为过两点、的直线的倾斜角为， 所以，即，解得. 故选：D 4．（23-24高二上·湖北武汉·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线倾斜角的定义结合余弦、正切函数的图象和性质求解即可. 【详解】因为直线的斜率，即， 又， 所以， 故选：D 5．（23-24高二上·江苏泰州·期末）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致.如图，一座斜拉桥共有10对拉索，在索塔两侧对称排列，已知拉索上端相邻两个锚的间距均为4m，拉索下端相邻两个锚的间距、均为16m，最短拉索满足，，若建立如图所示的平面直角坐标系，则最长拉索所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，计算即可得答案. 【详解】， ， 故， 则， 故选：D. 【题型二：求斜率的值或者取值范围】 一、单选题 1．（23-24高二上·山东威海·期末）已知点，，若直线与线段有公共点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图像，求斜率范围即可. 【详解】    若与线段有公共点，分析必过，且，，则. 故选：B 2．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知△ABC的顶点，点P在线段BC上运动，若直线AP的斜率k存在，则k的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据斜率的计算公式求解即可. 【详解】因为，，故或． 故选：A． 3．（22-23高二上·江苏连云港·期末）经过点作直线，且直线与连接点，的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 画出坐标系，连接，，，结合斜率变化可知，，联立斜率与倾斜角关系即可求解. 【详解】由题知，直线的倾斜角为，则， ，， 且直线与连接点，的线段总有公共点， 如下图所示， 则，即， . 故选：B 【题型三：直线的方程】 一、单选题 1．（23-24高二上·安徽·期末）已知直线l的倾斜角为，且在y轴上的截距为，则l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出斜截式方程，再化为一般式． 【详解】直线l的倾斜角为，则l的斜率， 所以l的方程为，即． 故选：A 2．（23-24高二上·福建漳州·期末）已知直线过点，且直线的倾斜角为直线的倾斜角的2倍，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得直线的倾斜角为，得到的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为，其中， 由直线，可得斜率为，即，可得， 根据题意，可得直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 因为直线经过点，可得直线的方程为，即. 故选：D 3．（23-24高二上·贵州毕节·期末）若直线的斜率小于0，那么该直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据直线过定点、且斜率小于0可得答案. 【详解】直线过定点， 且斜率， 故该直线不经过第三象限. 故选：C. 二、填空题 4．（23-24高二上·甘肃兰州·期末）已知经过点的直线l的一个法向量为，则直线l的方程为 ． 【答案】 【分析】先利用法向量求出直线的斜率，利用点斜式可得方程. 【详解】因为直线l的一个法向量为，所以直线l的一个方向向量可以是， 所以直线l的斜率为； 因为直线l经过点，所以其方程为， 整理可得. 故答案为： 5．（23-24高二上·江西萍乡·期末）已知过点的直线在轴上的截距是其在轴上截距的3倍，则满足条件的一条直线的方程为 ． 【答案】（答案不唯一：或） 【分析】分截距是否为0分类讨论即可求解. 【详解】由题意若过点的直线在坐标轴上的截距均为0，则显然满足题意，即， 否则设满足题意的直线方程为，将代入得，即也满足题意. 故答案为：（答案不唯一：或）. 【题型四：直线中平行、垂直的应用】 一、单选题 1．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知直线与直线平行，则实数（    ） A． B．1 C．或1 D． 【答案】C 【分析】由直线平行的充要条件列式运算即可求解. 【详解】已知直线与直线平行， 则当且仅当，解得或. 故选：C. 2．（23-24高二下·上海杨浦·期末）“”是“直线与直线互相垂直”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【分析】由两直线互相垂直可得，求解可得结论. 【详解】由直线与直线互相垂直， 可得，解得或， 所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件. 故选：A. 二、填空题 3．（23-24高二上·江苏南京·期末）求过两条直线和的交点，且与垂直的直线方程 ． 【答案】 【分析】先求出直线和的交点，再设直线，代入交点求解即可． 【详解】由得， 设直线为，代入解得， 故方程为， 故答案为：． 4．（23-24高二上·福建福州·期末）若直线：与直线：垂直，则实数的值为 ． 【答案】或 【分析】根据直线垂直列方程，化简求得的值. 【详解】由于两直线垂直， 所以， 解得或. 故答案为：或 5．（23-24高二下·四川泸州·期末）直线与直线平行，则 【答案】2 【分析】两直线斜率存在时，由两直线平行，可得斜率相等，进而可求解. 【详解】由，可得，所以直线的斜率为， 所以的斜率存在，且为 由两直线平行，可得，解得或， 经检验，，两直线重合，符合题意. 故答案为：2. 【题型五：直线过定点问题】 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏南京·期末）方程所表示的直线（    ） A．恒过点 B．恒过点 C．恒过点和点 D．恒过点和点 【答案】A 【分析】将方程化为，令的系数等于0，即可得到答案. 【详解】，， 令，解得， 即方程所表示的直线恒过定点． 故选：． 2．（22-23高二下·陕西汉中·期末）当点到直线的距离取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简直线为，得到直线经过定点，结合直线与该直线垂直时，点到该直线的距离取得最大值，列出方程，即可求解. 【详解】将直线转化为， 联立方程组，解得，所以直线经过定点， 当直线与该直线垂直时，点到该直线的距离取得最大值， 此时，解得. 故选：C. 二、多选题 3．（23-24高二上·福建福州·期末）已知点，，直线：与线段有交点，则可以为（    ） A．6 B．2 C．1 D．-1 【答案】ABC 【分析】求得直线恒过定点，求得斜率，结合图象可求得的范围，进而可得结果. 【详解】由直线：，可得， 故过定点，斜率为， 所以而的斜率不存在， 结合图形可知：，即. 故选：ABC. 【题型六：直线中的三角形面积问题】 一、单选题 1．（23-24高二上·辽宁辽阳·期末）直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线方程得出与坐标轴交点坐标，即可求出结果. 【详解】由题知， 直线与轴交于点，与轴交于点， 所以围成的三角形的面积为． 故选：C 2．（23-24高二上·广东佛山·期中）过点的直线可表示为，若直线与两坐标轴围成三角形的面积为6，则这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】先求得横截距和纵截距，然后根据三角形的面积列方程，解方程求得正确答案. 【详解】可化为①， 要使与两坐标轴能围成三角形，则且， 由①令得；令得， 依题意， ，所以或, 所以或， 设，则或， 则或 解得或， 即或， 即或， 所以这样的直线有条. 故选：D 二、填空题 3．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）纵截距为4，与两坐标轴围成的三角形面积为10的直线的一般式方程为 ． 【答案】或． 【分析】先设直线的截距式，结合已知条件求出直线方程后，化为一般式即可． 【详解】由题意可设直线方程为， 则，即， 所以直线方程为或， 所以直线的一般式方程或． 故答案为：或． 【题型七：直线中的对称问题】 一、单选题 1．（23-24高二上·全国·期末）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 【答案】C 【分析】根据两直线关于点对称，利用中点坐标公式即可求直线上的对称点，且该点在直线上. 【详解】由题设关于对称的点为，若该点必在上， ∴，解得，即一定在直线上. 故选：C. 2．（23-24高二上·重庆·期末）的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，分析的几何意义，结合两点间的距离公式即可求解. 【详解】由题意知， ， 设， 则的几何意义为的值， 如图，作点关于x轴的对称点，连接， 与x轴的交点即为所求点P，此时取得最小值，为. 而， 即的最小值为， 所以的最小值为. 故选：D 二、填空题 3．（23-24高二上·湖北荆门·期末）一条光线从射出与x轴相交于点，经x轴反射，交y轴于R，则光线从P到R所走的路程为 ． 【答案】 【分析】先求出关于x轴的对称点，再求出直线的方程，即可得点的坐标，即可得解. 【详解】关于x轴的对称点， 光线从射出与x轴相交于点， 则反射光线所在的直线经过点，Q， 则反射光线所在直线的方程为，化简得，得， 所以则光线从P到R所走的路程为． 故答案为：. 4．（22-23高二上·北京大兴·期末）直线关于y轴对称的直线的方程为 ． 【答案】 【分析】设所求直线上任一点为 ，可得关于轴的对称点，然后代入即得. 【详解】设所求直线上任一点为 ，则关于轴的对称点为， 将代入直线得，， 即直线关于y轴对称的直线的方程为. 故答案为：. 5．（22-23高二上·安徽六安·期末）线从出发，先后经，两直线反射后，仍返回到点．则光线从点出发回到点所走的路程为 ． 【答案】 【分析】利用入射光线与反射光线的性质，结合对称可求答案. 【详解】显然关于直线的对称点，如图，由反射光线性质知, 设关于直线的对称点，，解得； 由反射光线性质知 所以△各边即为光线所走的路线，其周长等于线段的长度， . 故答案为：. 【题型八：直线中的最值问题】 一、单选题 1．（23-24高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）设直线l：，点，，P为l上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得点关于直线l的对称点的坐标，则即为的最小值. 【详解】设点关于直线l的对称点为， 则有，解之得，则， 则的最小值为 故选：B 2．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】根据两点距离公式，结合直线方程即可求解. 【详解】， 表示平面上点与点，的距离和， 连接，与轴交于，此时直线方程为， 令，则 的最小值为，此时 故选：C． 3．（23-24高二上·北京丰台·期末）已知点在由直线，和所围成的区域内（含边界）运动，点在轴上运动.设点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意画出图形，再确定出使的位置.然后求出值即可 【详解】由直线，和围成,如图所示， 点在内（含边界）运动，   在轴上运动，作点关于轴的对称点，则， 的最小值为到直线的距离，即. 故选：B. 【题型九：圆的方程】 一、单选题 1．（23-24高二上·安徽六安·期末）圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设圆心再根据点在圆上求得，再应用圆的标准方程写出圆的方程即可. 【详解】因为圆心在轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为， 则圆的方程为，又点在圆上， 所以，解得， 所以所求圆的方程为． 故选：A 2．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知圆过点，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得圆心，半径，即可得圆的标准方程. 【详解】由在圆上，故圆心在直线上， 由在圆上，故圆心在直线上， 即圆心，半径， 故方程为. 故选：A. 3．（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果. 【详解】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点． 故选：D． 4．（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知曲线，则“”是“曲线是圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据圆的定义列出不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 若曲线是圆，所以，所以或， 所以“”是“曲线是圆”的充分不必要条件. 故选：A. 5．（23-24高二下·河南开封·期末）在圆上任意取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹方程是（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设的坐标为，则点的坐标为，利用坐标代换法求出轨迹方程即可. 【详解】设点的坐标为，点的坐标为， 依题意点在圆上，可得， 所以点的轨迹方程为. 故选：D. 6．（23-24高二上·广东东莞·期末）东莞鸿福路大桥是一座系杆拱桥，其圆拱结构可近似看作圆的一部分，经查询资料知该拱桥（如下图）的跨度AB约为126米，拱高OP约为9米，该拱桥每隔约7米用一根吊杆连接圆拱与系杆，则与OP相距35米的吊杆MN的高度约为（    ）（参考数据：） A．7.3米 B．6.3米 C．5.3米 D．4.3米 【答案】B 【分析】以O为原点,以AB所在直线为x轴,以OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系.设圆心坐标为，利用待定系数法求出圆的方程，将代入即可求得. 【详解】以O为原点,以AB所在直线为x轴,以OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系. 设圆心坐标为，则， 可设圆拱所在圆的方程为, 由题意可得：， 解得：， 所以所求圆的方程为， 将代入圆方程,得: , 因为，所以. 故选：B. 【题型十：点与圆的位置关系及其应用】 一、单选题 1．（23-24高二上·广西·期末）已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出两直线的交点坐标，利用该交点到圆心的距离小于半径列式，解不等式可得结果. 【详解】由，得，则两直线与的交点为， 依题意得，解得. 故选：B. 2．（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将圆的一般化为标准方程，再结合点在圆外，得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】由题意得，圆的标准方程为， 故，， 又点在圆外，所以， ，或， 所以m的取值范围为． 故选：D. 3．（23-24高二上·云南大理·期末）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系为（    ） A．无法确定 B．相离 C．相切 D．相交 【答案】D 【分析】易知直线过定点且该点在圆内，即可知直线与圆的位置关系为相交. 【详解】将直线整理变形可得， 令，解得， 即直线恒过定点， 显然，即定点在圆内， 可知直线与圆一定相交. 故选：D 4．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知直线，圆，其中若点在圆外，则直线与圆的位置关系是（      ）. A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【答案】A 【分析】求出圆心到直线的距离的表达式，再由在圆外，求出，与的关系，进而求出 与的关系，判断出直线与圆的位置关系． 【详解】因为点在圆外，所以可得， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交． 故选：A． 5．（23-24高二上·安徽芜湖·期末）“陶辛水韵”于1999年被评为芜湖市新十景之一，每年入夏后，千亩水面莲叶接天，荷花映日，吸引远道游客纷至沓来，坐上游船穿过一座座圆拱桥，可以直达“香湖岛”赏荷．圆拱的水面跨度20米，拱高约5米．现有一船，水面以上高3米，欲通过圆拱桥，船宽最长约为（    ） A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，根据已知条件求出圆的方程为.代入，得出，即可得出答案. 【详解】 如图，拱形桥， 以所在的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，如图建立平面直角坐标系， 则，，，圆心在轴上，设为， 则有，即， 整理可得，解得， 所以，圆心为，半径为， 所以，圆的方程为. 设，则有，解得. 所以，要使小船通过圆拱桥，船宽最长为. 因为，所以. 故选：B. 【题型十一：直线与圆的位置关系及其应用】 一、单选题 1．（23-24高二下·福建福州·期末）若圆被直线平分，则（    ） A．-2 B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线经过圆心进行求解． 【详解】由题意得圆心在直线上，则，解得. 故选：D. 2．（22-23高二下·山东菏泽·期末）已知圆，直线，则圆C上到直线l的距离等于的点的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先确定圆的圆心坐标与半径, 再求出圆心到直线 的距离, 从而可得结论. 【详解】由题意, 圆心坐标为 , 半径为 , 圆心到直线 的距离为 , 圆 与直线 相交, 且圆 上与直线 的距离等于的点共有 3 个. 故选: C. 3．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知点，直线过点且与线段AB相交，则与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相交或相切 D．相切或相离 【答案】D 【分析】求得直线，的斜率，进而可求直线的方程，依据直线与圆的位置关系可得结论． 【详解】直线的斜率为，， 直线经过点且与线段相交， 直线的斜率的范围为,,， 直线的方程为，即， 由圆，可得圆心，，可知圆心在直线的右侧， 且圆心的直线的方程的距离为， 直线的方程为，即， 由圆，可得圆心，， 圆心的直线的方程的距离为， 故直线与圆相切或相离． 故选：D． 4．（23-24高二下·云南红河·期末）已知直线l：与圆C：有公共点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线与圆恒有公共点，由求解. 【详解】圆C：，知， 圆心到直线的距离为：， 解得：. 故选：A 5．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知直线，圆，其中若点在圆外，则直线与圆的位置关系是（      ）. A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【答案】A 【分析】求出圆心到直线的距离的表达式，再由在圆外，求出，与的关系，进而求出 与的关系，判断出直线与圆的位置关系． 【详解】因为点在圆外，所以可得， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交． 故选：A． 6．（23-24高二下·北京东城·期末）已知直线被圆截得的弦长为整数，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】首先求得，又，而直径是4，所以分进行讨论即可求解. 【详解】圆的圆心、半径分别为， 圆心到直线的距离为， 设直线被圆截得的弦长为， 由于直线被圆所截得的弦长不超过直径长度，故分以下情形讨论： 当时，，解得， 当时，，化简得，解得， 当时，，化简得，该方程无解， 当时，，化简得，该方程无解， 而直线是斜率为且过定点的直线，直线由唯一决定， 综上所述，满足条件的直线共有3条. 故选：C. 【题型十二：弦长问题及其应用】 一、单选题 1．（23-24高二上·湖南长沙·期末）直线，圆．则直线被圆所截得的弦长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，可得直线过圆心,从而可求解. 【详解】圆的标准方程为,直线过圆心, 所以直线被圆所截得的弦长等于直径长度4. 故选:B． 2．（23-24高二下·安徽安庆·期末）已知圆心为的圆与x轴交于A、B两点，，则该圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出圆的方程，令，得，得到两根之和，两根之积，根据弦长公式得到方程，求出，得到圆的方程. 【详解】由题意，可设圆的方程为， 令，得， 设，则，， ， 解得， ∴圆的方程是，即. 故选：C 3．（23-24高二上·江西吉安·期末）一条经过点的直线与圆：交于，两点，若，则的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】当直线的斜率不存在时，不合要求，设直线的方程为，由点到直线距离公式和垂径定理得到方程，求出或，得到直线方程. 【详解】由题意知，，设圆的半径为，则， 当直线的斜率不存在时，即直线方程为，此时圆心到直线距离为， 此时，舍去， 设直线的方程为，即， 点到直线的距离， 又， 故，解得或， 代入得或． 故选：D 4．（23-24高二上·山东威海·期末）已知直线与圆交于A，B两点，且，则实数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】由题意将圆的方程化为标准方程，结合点到直线的距离公式以及弦长公式即可列方程求解. 【详解】由题意圆即圆的圆心、半径分别为， 圆心到直线的距离为， 所以，解得. 故选：D. 5．（23-24高二下·四川凉山·期末）直线与圆交于两点，使得恰好为正三角形，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据题意求圆心到直线的距离，结合正三角形的性质分析求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离， 若恰好为正三角形，则. 故选：C. 6．（23-24高二下·甘肃·期末）已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（    ） A．32 B． C．16 D． 【答案】D 【分析】分析可知，计算出，即可求得四边形的面积. 【详解】由，则圆心坐标是，半径是3．因为圆心到点的距离为， 所以点在圆内，最长弦为圆的直径， 由垂径定理，得最短弦和最长弦（即圆的直径）垂直， 故最短弦的长为，最长弦即直径， 所以四边形的面积为． 故选：D 【题型十三：直线与圆相切及其应用】 一、单选题 1．（22-23高二上·福建福州·期末）过点作圆：的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，从而判断点在圆上，再求出，即可得到切线的斜率，最后利用点斜式计算可得. 【详解】圆：，即，圆心为，半径， 又，所以点在圆上，且， 所以切线的斜率，所以切线方程为，即. 故选：C 2．（23-24高二上·天津·期末）过点且与圆相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由题意分直线斜率是否存在再结合直线与圆相切的条件进行分类讨论即可求解. 【详解】圆， 即圆的圆心坐标，半径分别为， 显然过点且斜率不存在的直线为，与圆相切，满足题意； 设然过点且斜率存在的直线为，与圆相切， 所以，所以解得， 所以满足题意的直线方程为或. 故选：D. 3．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）由点向圆引的切线长是（    ） A．3 B． C． D．5 【答案】A 【分析】将圆的方程化为标准形式，求出点到圆心的距离，结合勾股定理即可得解. 【详解】圆即圆的圆心半径分别为， 点到圆心的距离为， 所以点向圆引的切线长是. 故选：A. 二、填空题 4．（23-24高二上·天津宁河·期末）若直线与圆相切，则实数的值为 . 【答案】3 【分析】写出圆的标准方程确定圆心和半径，根据直线与圆相切，结合点线距离公式列方程求参数. 【详解】由可化为且， 所以圆心为，半径为， 由直线与圆相切，则，可得. 故答案为：3 5．（23-24高二上·江苏盐城·期末）过点作圆的切线，切点为A、B，则过切点A，B的直线方程为 ． 【答案】 【分析】写出以为直径的圆的一般方程，与圆的方程相减，消去，即得所求直线方程. 【详解】如图： 圆的圆心坐标为，且A、B在以PC为直径的圆上， 由圆的直径式方程，得以为直径的圆的方程. （直径式方程应用直径对应圆周角为直角，利用向量垂直坐标表示得到）， 所求直线方程为. 故答案为： 6．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知点在圆上运动，则的最小值是 . 【答案】 【分析】确定圆心和圆的半径，再根据的几何意义数形结合即可得到的最小值的情况进而求解即可. 【详解】由得， 故圆的圆心为，半径为1，当时，， 当时，， 如图可知，故此时的最小值是直线斜率的最大值的倒数， 令，即，则圆心到该直线的距离满足， 两边平方整理得，解得，故此时的最小值是， 又，故的最小值为. 故答案为：. 【题型十四：圆与圆的位置关系及其应用】 一、单选题 1．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为（   ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】B 【分析】将圆的方程化为标准方程，得各自的半径，圆心，结合圆心距满足的条件即可判断. 【详解】由题意圆：即圆：的圆心，半径分别为， 圆：即圆：的圆心，半径分别为， 所以两圆的圆心距满足， 所以两圆的位置关系为相交. 故选：B. 2．（23-24高二上·广东·期末）若圆与圆恰有两个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两圆的位置关系列不等式求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径. 因为恰有两个公共点,所以两圆相交，所以， 解得或，即的取值范围是. 故选：A 3．（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圆：（，）与圆：，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．外离 D．与m的取值有关 【答案】C 【分析】求出两圆心距离，判断其与两圆半径和的大小即可得答案. 【详解】圆：， 即，圆心，半径， 圆：， 即，圆心，半径， 所以当时， 所以圆与圆的位置关系是外离. 故选：C. 4．（23-24高二上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，已知圆，圆.若圆心在轴上的圆同时平分圆和圆的圆周，则圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题知圆C与圆的公共弦是圆的直径，圆C与圆的公共弦是圆的直径，进而设圆C的圆心为，半径为得，再结合距离公式解方程即可得答案. 【详解】圆C平分圆C1等价于圆C与圆的公共弦是圆的直径． 同理圆C与圆的公共弦是圆的直径 设圆C的圆心为，半径为，则， 所以，即，解得 所以圆C的方程为． 故选：A 5．（23-24高二上·山东烟台·期末）若动圆与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到到的距离与到直线的距离相等，再利用抛物线的定义即可得解. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 设动圆圆心的坐标为，半径为，则， 又动圆与直线相切，即到直线的距离为， 所以到直线的距离为， 所以到的距离与到直线的距离相等， 所以的轨迹为抛物线，其焦点为， 所以动圆圆心的轨迹方程为. 故选：D． 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是将问题转化为到定点与定直线的距离相等，从而得解. 【题型十五：公共弦与公切线问题】 一、单选题 1．（23-24高二上·天津和平·期末）已知圆：和圆：，则圆与圆的公共弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接将两圆方程作差即可得公共弦方程. 【详解】由题意圆：和圆：， 将两式作差得，圆与圆的公共弦所在的直线方程为，整理得. 故选：B. 2．（23-24高二上·河北保定·期末）圆：与圆：的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】判断两圆的位置关系，即可判断出答案. 【详解】由题意知圆：的圆心为，半径为1， 圆：的圆心为，半径为2， 则，所以圆与圆外离， 则它们有4条公切线， 故选：D 3．（23-24高二上·山东济宁·期末）圆与圆的公共弦的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定两圆相交，再将两圆做差可得公共弦所在直线方程，然后利用垂径定理求弦长. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 则圆心距离为，故两圆相交， 则两圆的公共弦所在直线方程为，即， 所以公共弦的长度为. 故选：D. 4．（23-24高二上·四川成都·期末）平面直角坐标系内，与点的距离为且与圆相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】根据给定条件，判断以点为圆心，为半径的圆与已知圆的位置关系即可得解. 【详解】根据题意可知与点的距离为的直线始终与以点为圆心，为半径的圆相切， 而此直线又与圆相切，因此该直线是圆与圆的公切线， 又两圆圆心距离等于两圆半径和， 所以两圆外切，它们有3条公切线，即所求切线条数为3， 故选：C 二、填空题 5．（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知，，若与有四条公切线，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据公切线的条数可得两圆的位置关系，即可根据圆心距与半径的关系求解. 【详解】由于与有四条公切线，所以两圆为外离关系， 由于，，, 所以,故，解得， 故答案为： 6．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知直线l同时与圆和圆相切，请写出两条直线l的方程 和 ． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】根据直线与圆相切的性质，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】由，设圆心为，半径为， 由，设圆心为，半径为1， 设直线l不存在斜率，此时方程设为：， 因为直线l同时与圆和圆相切， 所以有，此时直线l的方程为， 当直线l存在斜率，此时方程设为：， 因为直线l同时与圆和圆相切， 所以或， 所以此时切线方程为，或，即 ，或， 故答案为： ； 【题型十六：直线与圆、圆与圆中的最值、范围问题】 一、单选题 1．（23-24高二上·福建福州·期末）直线过定点Q，若为圆上任意一点，则的最大值为（    ） A．1 B．3 C．4 D．2 【答案】B 【分析】求出直线定点坐标、圆心坐标、半径，再由点与圆的圆心之间的距离加半径求解 【详解】由，得， 所以直线过定点， 由，知圆心坐标，半径为2， 所以到圆心的距离为，则在圆内， 则的最大值为， 故选：B 2．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知直线恒过定点A，直线恒过定点B，且直线与交于点P，则点P到点的距离的最大值为（    ） A．4 B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】首先求点的坐标，并判断两条直线的位置关系，则点P到点的距离的最大值等于点P到圆心的距离与半径之和即点P到线段AB中点距离与半径之和 【详解】设 由直线，可得 由直线，可得， 因为直线与直线满足， 所以， 所以点P在以AB为直径的圆上，所以点P到点的距离的最大值等于点P到圆心的距离与半径之和即点P到线段AB中点距离与半径之和， 由，，得AB中点为，半径为1， 所以点P到点的距离的最大值为， 故选：A    3．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知O为坐标原点，P是直线上一动点，Q是圆上一动点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先画出图形，找出点关于直线的对称点，结合三角形三边关系即可求解. 【详解】如图所示： 设点与点关于直线对称， 则，解得，即， 所以， 其中分别为圆的圆心和半径， 等号成立当且仅当分别与重合，其中分别为线段与直线和圆的交点， 综上所述，的最小值为. 故选：C. 4．（23-24高二下·河南南阳·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点是圆上任一点，点，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题目阿波罗尼斯圆的条件不妨取，使得，从而将所求转化为，根据题意，所表示的圆与圆相同可解得点坐标，再利用三角形两边之和大于第三边得到 (当且仅当在线段上时取等)即可得解. 【详解】设，不妨取，使得， 则， 整理得， 此方程与相同， 所以有，解得， 所以， 所以，当且仅当在线段上时，取等号. 因为，所以在圆内； ，所以在圆外； 所以线段与圆必有交点（记为）， 当重合时，，为其最小值， 故选：C. 【点睛】关键点睛：解决本题时，关键是利用阿波罗尼斯圆将变为，再由当在线段上时，求出最小值. 二、填空题 5．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知直线，圆，则圆上任意一点到直线的距离的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】 根据题意求出圆心到直线距离再减去半径即可得出圆上一点到直线距离的最小值. 【详解】由圆可知圆心，半径； 所以圆心到直线的距离为， 即可得圆上任意一点到直线的距离的最小值为. 故答案为： 6．（23-24高二上·河南开封·期末）已知圆，若直线与圆C相交于两个不同的点A，B，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据题意可知直线过定点，且点在圆内，根据圆的性质结合垂径定理求弦长的最小值. 【详解】因为直线，即， 可知直线过定点， 又因为圆的圆心，半径， 且， 即点在圆内，可知直线与圆相交， 由圆的性质可知：当且仅当时，取到最小值. 故答案为：. 7．（23-24高二上·安徽黄山·期末）已知直线，当直线l被圆截得的弦长最短时，实数m的值为 . 【答案】2 【分析】分析题意找到直线必过的定点，并判断直线与圆的半径垂直，利用点线距离相等建立方程，求解即可. 【详解】易知圆心为，，而l可化为， 故l必过，易得在圆内，即直线l与圆相交， 若直线l被圆截得的弦长最短， 则与圆的半径必定垂直，设圆心到l的距离为， 则，故，解得. 故答案为：2. 8．（23-24高二下·四川泸州·期末）人脸识别在现今生活中应用非常广泛，主要是测量面部五官之间的距离，称为“曼哈顿距离”．其定义如下：设， ，则A，B两点间的曼哈顿距离.已知，若点满足，点N在圆上运动，则的最大值为 【答案】 【分析】根据题意，作出点的轨迹，将问题转化为点到圆的距离问题，从而得解. 【详解】由题意得，圆，圆心，半径， 设点，则， 故点的轨迹为如下所示的正方形，其中，， 则，， 则，即的最大值为. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 直线与圆（16个考点清单+16类题型解读） 知识点01：直线倾斜角的定义 以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. （1）当直线与轴平行或者重合时，我们规定它的倾斜角为；所以倾斜角的取值范围为：； 特别地，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为. （2）所有直线都有唯一确定的倾斜角，倾斜角表示的是直线的倾斜程度. 知识点02：直线的斜率 1、我们把一条直线的倾斜角（） 的正切值叫做这条直线的斜率. 斜率通常用字母表示，即 2、斜率与倾斜角的联系 倾斜角 （范围） 斜率 （范围） 不存在 3、直线斜率的坐标公式 如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式： 知识点03：两条直线平行 对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有. 对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是： ①两条直线的斜率都存在； ②与不重合． (2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则. (3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是： 或，斜率都不存在. 知识点04：两条直线垂直 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果它们的斜率之积等于，那么它们互相垂直，即. 对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②且. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直． (3)判定两条直线垂直的一般结论为： 或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零． 知识点05：直线的方程 1、直线的点斜式方程 已知条件（使用前提） 直线过点和斜率（已知一点+斜率） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程） 1.点斜式方程中的点只要是这条直线上的点,哪一个都可以. 2.当直线与轴平行或重合时,方程可简写为.特别地,轴的方程是;当直线与轴平行或重合时,不能应用点斜式方程.此时可将方程写成.特别地,轴的方程是. 2、直线的斜截式方程 已知条件（使用前提） 直线的斜率为且在轴上的纵截距为（已知斜率+纵截距） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程） 1.直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况. 2.截距是一个实数,它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标,可以为正数、负数和0.当直线过原点时,它在轴上的截距和在轴上的截距都为0. 3.由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在轴上的截距,如直线的斜率,在轴上的截距为. 3、直线的两点式方程 已知条件（使用前提） 直线上的两点，（，）（已知两点） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在且不为0； 当直线没有斜率()或斜率为时，不能用两点式求出它的方程 1.当过两点,的直线斜率不存在()或斜率为0()时,不能用两点式方程表示. 2.在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应关系,即,是同一个点的坐标,是另一个点的坐标. 4、直线的截距式方程 已知条件（使用前提） 直线在轴上的截距为，在轴上的截距为 图示 点斜式方程形式 适用条件 ， 直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况,由直线的截距式方程可以直接读出直线在轴和轴上的截距,所以截距式在解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题时非常方便. 5、直线的一般式方程 定义:关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一次方程(其中 ,不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式. 说明： 1．、不全为零才能表示一条直线，若、全为零则不能表示一条直线. 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． 2．在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程. 3.解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式. 知识点06：直线系方程 1、平行直线系方程 把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线平行的直线系方程都可表示为 (其中为参数且≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定的值. 2、垂直直线系方程 一般地，与直线垂直的直线系方程都可表示为(其中为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定的值. 知识点07：两条直线的交点坐标 直线：（）和：（）的公共点的坐标与方程组的解一一对应. 与相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 与平行方程组无解； 与重合方程组有无数个解. 知识点08：距离公式 1、两点间的距离 平面上任意两点，间的距离公式为 特别地，原点与任一点的距离. 2、点到直线的距离 平面上任意一点到直线：的距离. 3、两条平行线间的距离 一般地，两条平行直线：（）和：（）间的距离. 知识点09：圆 1、圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为, 半径为, 为圆上任意一点， 可用集合表示为： 2、圆的标准方程 我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 3、点与圆的位置关系 判断点与：位置关系的方法: （1）几何法（优先推荐） 设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 （2）代数法 将点带入：方程内 ①点在外 ②点在上 ③点在内 4、圆上的点到定点的最大、最小距离 设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记; ①若点在外，则; ②若点在上，则; ③若点在内，则; 5、圆的一般方程 对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③. 6、圆的一般方程与圆的标准方程的特点 圆的标准方程 圆的一般方程 方程 （） 圆心 半径 7、在圆的一般方程中，判断点与圆的位置关系 已知点和圆的一般式方程：（）， 则点与圆的位置关系： ①点在外 ②点在上 ③点在内 知识点10：直线与圆的位置关系 1、直线与圆的三种位置关系 直线与圆 的位置关 系的图象 直线与圆的 位置关系 相交 相切 相离 2、判断直线与圆的位置关系的两种方法 2.1几何法（优先推荐） 图象 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相交。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相切。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相离。 2.2代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 ①直线与圆相交 ②直线与圆相切 ③直线与圆相离 知识点11：直线与圆相交 记直线被圆截得的弦长为的常用方法 1、几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： 2、代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式： 知识点12：直线与圆相切 1、圆的切线条数 ①过圆外一点，可以作圆的两条切线 ②过圆上一点，可以作圆的一条切线 ③过圆内一点，不能作圆的切线 2、过一点的圆的切线方程（） ①点在圆上 步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则 步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点） ②点在圆外 记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出 （注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为） 3、切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 知识点13：圆上点到直线的最大（小）距离 设圆心到直线的距离为，圆的半径为 ①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； ③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：； 知识点14：圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系 (1)圆与圆相交，有两个公共点； (2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点； (3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点. 图象 位置关系 图象 位置关系 外 离 外 切 相 交 内 切 内 含 2、圆与圆的位置关系的判定 2.1几何法 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为. ①当时，两圆相交； ②当时，两圆外切； ③当时，两圆外离； ④当时，两圆内切； ⑤当时，两圆内含. 2.2代数法 设: : 联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其 ①与设设相交 ②与设设相切（内切或外切） ③与设设相离（内含或外离） 知识点15：圆与圆的公共弦 1、圆与圆的公共弦 圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦. 2、公共弦所在直线的方程 设: : 联立作差得到：即为两圆共线方程 3、公共弦长的求法 代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 知识点16：圆与圆的公切线 1、公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 2、公切线的方程 核心技巧：利用圆心到切线的距离求解 题型一：直线的倾斜角与斜率 14 题型二：求斜率的值或者取值范围 16 题型三：直线的方程 18 题型四：直线中平行、垂直的应用 20 题型五：直线过定点问题 22 题型六：直线中的三角形面积问题 23 题型七：直线中的对称问题 25 题型八：直线中的最值问题 27 题型九：圆的方程 29 题型十：点与圆的位置关系及其应用 32 题型十一：直线与圆的位置关系及其应用 35 题型十二：弦长问题及其应用 38 题型十三：直线与圆相切及其应用 41 题型十四：圆与圆的位置关系及其应用 44 题型十五：公共弦与公切线问题 47 题型十六：直线与圆、圆与圆中的最值、范围问题 50 【题型一：直线的倾斜角与斜率】 一、单选题 1．（23-24高二下·河南驻马店·期末）直线的倾斜角是（     ） A．0 B． C．π D．不存在 2．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知直线l过点且一个方向向量为，则l在y轴上的截距为（    ） A． B．1 C． D．5 3．（23-24高二下·江苏盐城·期末）过两点、的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．或 B． C． D． 4．（23-24高二上·湖北武汉·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·江苏泰州·期末）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致.如图，一座斜拉桥共有10对拉索，在索塔两侧对称排列，已知拉索上端相邻两个锚的间距均为4m，拉索下端相邻两个锚的间距、均为16m，最短拉索满足，，若建立如图所示的平面直角坐标系，则最长拉索所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【题型二：求斜率的值或者取值范围】 一、单选题 1．（23-24高二上·山东威海·期末）已知点，，若直线与线段有公共点，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知△ABC的顶点，点P在线段BC上运动，若直线AP的斜率k存在，则k的取值范围为（　　） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·江苏连云港·期末）经过点作直线，且直线与连接点，的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型三：直线的方程】 一、单选题 1．（23-24高二上·安徽·期末）已知直线l的倾斜角为，且在y轴上的截距为，则l的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·福建漳州·期末）已知直线过点，且直线的倾斜角为直线的倾斜角的2倍，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·贵州毕节·期末）若直线的斜率小于0，那么该直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二、填空题 4．（23-24高二上·甘肃兰州·期末）已知经过点的直线l的一个法向量为，则直线l的方程为 ． 5．（23-24高二上·江西萍乡·期末）已知过点的直线在轴上的截距是其在轴上截距的3倍，则满足条件的一条直线的方程为 ． 【题型四：直线中平行、垂直的应用】 一、单选题 1．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知直线与直线平行，则实数（    ） A． B．1 C．或1 D． 2．（23-24高二下·上海杨浦·期末）“”是“直线与直线互相垂直”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 二、填空题 3．（23-24高二上·江苏南京·期末）求过两条直线和的交点，且与垂直的直线方程 ． 4．（23-24高二上·福建福州·期末）若直线：与直线：垂直，则实数的值为 ． 5．（23-24高二下·四川泸州·期末）直线与直线平行，则 【题型五：直线过定点问题】 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏南京·期末）方程所表示的直线（    ） A．恒过点 B．恒过点 C．恒过点和点 D．恒过点和点 2．（22-23高二下·陕西汉中·期末）当点到直线的距离取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高二上·福建福州·期末）已知点，，直线：与线段有交点，则可以为（    ） A．6 B．2 C．1 D．-1 【题型六：直线中的三角形面积问题】 一、单选题 1．（23-24高二上·辽宁辽阳·期末）直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·广东佛山·期中）过点的直线可表示为，若直线与两坐标轴围成三角形的面积为6，则这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 二、填空题 3．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）纵截距为4，与两坐标轴围成的三角形面积为10的直线的一般式方程为 ． 【题型七：直线中的对称问题】 一、单选题 1．（23-24高二上·全国·期末）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 2．（23-24高二上·重庆·期末）的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（23-24高二上·湖北荆门·期末）一条光线从射出与x轴相交于点，经x轴反射，交y轴于R，则光线从P到R所走的路程为 ． 4．（22-23高二上·北京大兴·期末）直线关于y轴对称的直线的方程为 ． 5．（22-23高二上·安徽六安·期末）线从出发，先后经，两直线反射后，仍返回到点．则光线从点出发回到点所走的路程为 ． 【题型八：直线中的最值问题】 一、单选题 1．（23-24高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）设直线l：，点，，P为l上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（    ） A． B．3 C． D．4 3．（23-24高二上·北京丰台·期末）已知点在由直线，和所围成的区域内（含边界）运动，点在轴上运动.设点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型九：圆的方程】 一、单选题 1．（23-24高二上·安徽六安·期末）圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知圆过点，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知曲线，则“”是“曲线是圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（23-24高二下·河南开封·期末）在圆上任意取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹方程是（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·广东东莞·期末）东莞鸿福路大桥是一座系杆拱桥，其圆拱结构可近似看作圆的一部分，经查询资料知该拱桥（如下图）的跨度AB约为126米，拱高OP约为9米，该拱桥每隔约7米用一根吊杆连接圆拱与系杆，则与OP相距35米的吊杆MN的高度约为（    ）（参考数据：） A．7.3米 B．6.3米 C．5.3米 D．4.3米 【题型十：点与圆的位置关系及其应用】 一、单选题 1．（23-24高二上·广西·期末）已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·云南大理·期末）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系为（    ） A．无法确定 B．相离 C．相切 D．相交 4．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知直线，圆，其中若点在圆外，则直线与圆的位置关系是（      ）. A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 5．（23-24高二上·安徽芜湖·期末）“陶辛水韵”于1999年被评为芜湖市新十景之一，每年入夏后，千亩水面莲叶接天，荷花映日，吸引远道游客纷至沓来，坐上游船穿过一座座圆拱桥，可以直达“香湖岛”赏荷．圆拱的水面跨度20米，拱高约5米．现有一船，水面以上高3米，欲通过圆拱桥，船宽最长约为（    ） A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 【题型十一：直线与圆的位置关系及其应用】 一、单选题 1．（23-24高二下·福建福州·期末）若圆被直线平分，则（    ） A．-2 B． C． D． 2．（22-23高二下·山东菏泽·期末）已知圆，直线，则圆C上到直线l的距离等于的点的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知点，直线过点且与线段AB相交，则与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相交或相切 D．相切或相离 4．（23-24高二下·云南红河·期末）已知直线l：与圆C：有公共点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知直线，圆，其中若点在圆外，则直线与圆的位置关系是（      ）. A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 6．（23-24高二下·北京东城·期末）已知直线被圆截得的弦长为整数，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【题型十二：弦长问题及其应用】 一、单选题 1．（23-24高二上·湖南长沙·期末）直线，圆．则直线被圆所截得的弦长为（    ） A．2 B．4 C． D． 2．（23-24高二下·安徽安庆·期末）已知圆心为的圆与x轴交于A、B两点，，则该圆的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江西吉安·期末）一条经过点的直线与圆：交于，两点，若，则的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．（23-24高二上·山东威海·期末）已知直线与圆交于A，B两点，且，则实数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．（23-24高二下·四川凉山·期末）直线与圆交于两点，使得恰好为正三角形，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 6．（23-24高二下·甘肃·期末）已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（    ） A．32 B． C．16 D． 【题型十三：直线与圆相切及其应用】 一、单选题 1．（22-23高二上·福建福州·期末）过点作圆：的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·天津·期末）过点且与圆相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 3．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）由点向圆引的切线长是（    ） A．3 B． C． D．5 二、填空题 4．（23-24高二上·天津宁河·期末）若直线与圆相切，则实数的值为 . 5．（23-24高二上·江苏盐城·期末）过点作圆的切线，切点为A、B，则过切点A，B的直线方程为 ． 6．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知点在圆上运动，则的最小值是 . 【题型十四：圆与圆的位置关系及其应用】 一、单选题 1．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为（   ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 2．（23-24高二上·广东·期末）若圆与圆恰有两个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圆：（，）与圆：，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．外离 D．与m的取值有关 4．（23-24高二上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，已知圆，圆.若圆心在轴上的圆同时平分圆和圆的圆周，则圆的方程是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·山东烟台·期末）若动圆与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【题型十五：公共弦与公切线问题】 一、单选题 1．（23-24高二上·天津和平·期末）已知圆：和圆：，则圆与圆的公共弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河北保定·期末）圆：与圆：的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24高二上·山东济宁·期末）圆与圆的公共弦的长度为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·四川成都·期末）平面直角坐标系内，与点的距离为且与圆相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 二、填空题 5．（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知，，若与有四条公切线，则的取值范围为 . 6．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知直线l同时与圆和圆相切，请写出两条直线l的方程 和 ． 【题型十六：直线与圆、圆与圆中的最值、范围问题】 一、单选题 1．（23-24高二上·福建福州·期末）直线过定点Q，若为圆上任意一点，则的最大值为（    ） A．1 B．3 C．4 D．2 2．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知直线恒过定点A，直线恒过定点B，且直线与交于点P，则点P到点的距离的最大值为（    ） A．4 B． C．3 D．2 3．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知O为坐标原点，P是直线上一动点，Q是圆上一动点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·河南南阳·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点是圆上任一点，点，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 二、填空题 5．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知直线，圆，则圆上任意一点到直线的距离的最小值为 ． 6．（23-24高二上·河南开封·期末）已知圆，若直线与圆C相交于两个不同的点A，B，则的最小值是 ． 7．（23-24高二上·安徽黄山·期末）已知直线，当直线l被圆截得的弦长最短时，实数m的值为 . 8．（23-24高二下·四川泸州·期末）人脸识别在现今生活中应用非常广泛，主要是测量面部五官之间的距离，称为“曼哈顿距离”．其定义如下：设， ，则A，B两点间的曼哈顿距离.已知，若点满足，点N在圆上运动，则的最大值为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$