3.1 代数式的值 知识点讲练-2024-2025学年人教版（2024）数学七年级上册

►第三章　代数式 3.1 代数式 代数式的值 内容索引·常考题型 内容 常考题型 重点01 代数式的定义和书写规范 选择题、填空题 重点02 列代数式 选择题、填空题 重点03 反比例关系 选择题、填空题 难点 求代数式的值 选择题、填空题、解答题 易错点 与代数式有关的规律探究问题 选择题、填空题、解答题 ■重点01 代数式的定义和书写规范 攻克重点 1．代数式的定义：用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫作代数式．单独的一个数或字母也是代数式，如2，-3.1，m都是代数式． 2．代数式的书写要求： （1）数字与字母或字母与字母相乘：乘号通常省略不写或写成“·”，而且数字要写在字母的前面，如5×a可以写成5·a或5a，但数字与数字相乘时仍用“×”； （2）数字因数是1或–1：“1”省略不写，如1×ab写成ab，–1×ab写成–ab； （3）数字因数是带分数：将带分数化成假分数，如； （4）式子中出现除法：写成分数的形式，如； （5）代数式是和或差的形式且后面有单位：把式子用括号括起来，如（a-b）千克． 3．理解代数式的意义：关键在于明白每个符号代表的意义以及整个式子所表示的数量关系．用字母表示数后，同一个代数式可以表示不同的实际问题中的数量关系． 例如对代数式“0.6a”的解释可以有： （1）一件商品原价为a元，若按原价的6折出售，这件商品现在的售价是0.6a元； （2）练习本每本0.6元，某人买了a本，共付款0.6a元； （3）货车以akm/h的平均速度行驶0.6h的路程为0.6a km； （4）三角形的底边长为1.2，高是a，三角形的面积是0.6a． 【典例1】　（2023秋•湘潭期末）下列代数式中，书写规范的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据代数式的书写要求判断即可 【解答】解：．应该写为，故错误，不符合题意； ．应该写为，故错误，不符合题意误； ．书写正确，故正确，符合题意； ．应该写为，故错误，不符合题意． 故选：． 【典例2】　（2023秋•南明区期末）贵阳某中学七年级（6）班张老师在黑板上写了一个代数式，关于这个代数式的意义，下列说法正确的是　　 A．表示3与的和 B．表示3与的商 C．表示单价为3元的钢笔买了支的总价 D．表示3与的差 【答案】 【分析】根据题意写出相应的代数式，然后即可判断是否符合题意． 【解答】解：、3与的和可以表示为，故本选项的说法不符合题意； 、3与的商表示为，故本选项的说法不符合题意； 、单价为3元的钢笔买了支的总价表示为，故本选项的说法符合题意； 、3与的差表示为：，故本选项的说法不符合题意； 故选：． 【典例3】　（2023秋•雨花区校级月考）下列式子是代数式的有　　 ①； ②； ③12； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】 【分析】根据代数式的定义．代数式是由数和字母组成，表示加、减、乘、除、乘方、开方等运算的式子，或含有字母的数学表达式，注意不能含有、、、、、、等符号．据此解答即可． 【解答】解：④；⑥；⑧；因为这些式子含有不等号或等号，所以不是代数式． ①；②；③12；⑤；⑦都是代数式，代数式有5个． 故选：． 方法技巧 判断一个式子是不是代数式： （1）看它是否用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子； （2）代数式中不能含有“=”“≠”“＞”“＜”“≤”“≥”等关系符号． ■重点02 列代数式 攻克重点 1．列代数式：在解决一些数学问题与实际问题时，需要先把问题中的数量关系用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，也就是列代数式． 2．列代数式的步骤： （1）分析条件，找出数量关系． ①数学术语：抓住关键性词语，如“大”“小”“多”“少”“和”“差”“积”“商”“倍”等，用数学符号表示． ②实际问题中常用的关系式： Ⅰ购买、分配类问题： 费用=单位费用×数量；总量=单位量×数量； 总费用=甲的单位费用×甲的数量+乙的单位费用×乙的数量； 总数量=甲的数量+乙的数量． Ⅱ打折销售问题： 售价=标价（原价）×折扣（如打八折，折扣就是80%）； 利润=售价-进价（成本价）；利润率=×100%． Ⅲ工程问题：总工作量=工作效率×工作时间．总工作量未定时，可设总工作量为单位1． Ⅳ行程问题：路程=速度×时间． Ⅴ航行问题： 顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度-水流速度． Ⅵ增长率问题： 增长率=×100%； Ⅶ利息问题：利息=本金×利率×时间． （2）用含有数、字母和运算符号的式子表示数量关系． 【典例1】　（2024春•赣榆区期末）一个正方形的边长为，若边长减少2，则这个正方形的面积减少了　　 A． B． C．4 D． 【答案】 【分析】分别求出原正方形的面积和边长减少后正方形的面积，再相减即可． 【解答】解：原正方形的面积为：， 边长减少后正方形面积为：， 这个正方形的面积减少了． 故选：． 【典例2】　（2024春•平南县期末）下列四个式子中，不能表示如图中阴影部分面积的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】阴影部分面积一定，直接选出与其他三个选项中答案不同的答案即可． 【解答】解：．； ．； ．； ．； 综上所述：只有选项答案不同， 故选：． 【典例3】　（2024•包河区一模）某公司今年2月份的利润为万元，3月份比2月份减少，4月份比3月份增加了，则该公司4月份的利润为　　（单位：万元） A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用减少率的意义表示出3月份的利润，然后利用增长率的意义表示出4月份的利润． 【解答】解：由题意得：3月份的利润为万元， 4月份的利润为万元， 故选：． 方法技巧 用字母表示数或数量关系： （1）字母可以表示一个数也可以表示一个复杂的式子．在同一个式子中，相同的字母表示的数要相同，不同的字母表示的数可以相同，也可以不同． （2）同一个问题中，不同的数量必须用不同的字母表示． （3）用字母表示数时，字母的取值有时会受式子本身或实际情况限制．例如：若x表示人数，则x只能取非负整数（自然数），因为人数不能为负数、分数（或小数）． （4）用字母表示几个数的和、差，并且后面有单位时，要把式子用括号括起来． ■重点03 反比例关系 攻克重点 1．反比例关系的定义：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系． 2．反比例关系的表示方法：如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积（k是一个确定的值，且k≠0），反比例关系k可以用xy=k或y=来表示，其中k叫作比例系数． 3．两个量的变化规律：一个量随着另一个量的增大而减小． 【典例1】　（2023•连江县校级开学）下面每题中两种量成反比例关系的是　　 ①圆锥的体积一定，它的底面积和高 ②加工零件的总时间一定，加工一个零件的时间和加工零件的总个数 ③圆的周长一定，圆周率和这个圆的直径 ④咬合的齿轮，每个齿轮的齿数和转动的圈数 A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】 【分析】根据反比例函数定义进行分析即可． 【解答】解：①圆锥的体积圆锥的底面积高，圆锥的体积一定，圆锥的底面积和高成反比例关系； ②加工零件的总时间一定，加工一个零件的时间和加工零件的总个数成反比例关系； ③圆的周长一定，圆周率和这个圆的直径是一个定值，不是反比例关系； ④总齿数一定，咬合的齿轮，每个齿轮的齿数和转动的圈数成反比例关系； 所以两种量成反比例关系的是①②④． 故选：． 【典例2】　（2024•陇县开学）全班人数一定，出勤人数和出勤率　　 A．成正比例关系 B．成反比例关系 C．不成比例 D．无法确定 【答案】 【分析】根据正比例的定义即可得到结论． 【解答】解：出勤人数出勤率全班人数一定， 出勤人数和出勤率成正比例， 故选：． 【典例3】　（2024春•望奎县期末）下面说法正确的有______个．　　 ①正方形的面积和它的边长的平方成正比例关系． ②圆的面积与它的直径成反比例关系． ③三角形的面积一定，它的底和高成反比例关系． A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】 【分析】根据正比例函数的定义、反比例函数的定义分别判断即可． 【解答】解：①设正方形的边长为，面积为，则，即正方形的面积和它的边长的平方成正比例关系，正确； ②设圆的直径为，面积为，则，即圆的面积与它的直径不成反比例关系，原说法错误； ③设三角形的底为，高为，面积为，则，所以，当三角形的面积一定时，它的底和高成反比例关系，正确； 故正确的有①③， 故选：． 方法技巧 正比例关系与反比例关系的区别： 正比例关系：两个相关联的量x，y的比值一定，这两个量就叫作正比例的量，它们之间的关系叫作正比例关系．即（k是一个确定的值，且k≠0）． 反比例关系：两个相关联的量x，y的乘积一定，这两个量就叫作反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系．即xy=k（k是一个确定的值，且k≠0）． ■难点 求代数式的值 突破难点 1．代数式的值：一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值．当字母取不同的数值时，代数式的值一般也不同． 2．代入法求代数式的值的步骤： （1）代：用数值代替代数式中的字母（字母取负值时，切记加括号）； （2）算：按照代数式指明的运算顺序计算出结果； （3）验：检查运算过程及结果是否正确． 【典例1】　（2023秋•成都期末）实数满足，则　　． 【答案】2024． 【分析】先求得，然后整体代入求解即可． 【解答】解：， ， ， ， 故答案为：2024． 【典例2】　（2023秋•兰州期末）如图是某一长方形闲置空地，宽为米，长为米．为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径米的扇形花圃（阴影部分），然后在花圃内种花，中间修一条长米，宽米的小路，剩余部分种草． （1）小路的面积为 　　平方米；种花的面积为 　　平方米；（结果保留 （2）请计算该长方形场地上种草的面积；（结果保留 （3）当，时，请计算该长方形场地上种草的面积．取3.14，结果精确到 【答案】（1），； （2）； （3）27平方米． 【分析】（1）利用长方形和扇形面积公式求解； （2）根据种草的面积是整个长方形的面积减去小路面积和扇形花圃面积即可； （3）由此利用已知数据求出种草的面积即可． 【解答】解：（1）依题意得小路的面积为平方米，种花的面积为平方米， 故答案为：，； （2）该长方形场地上种草的面积为： 平方米， 故长方形场地上种草的面积为平方米； （3）当，时，平方米． 答：该长方形场地上种草的面积为27平方米． 【典例3】　（2023秋•唐河县期末）小语家新买了一套商品房，其建筑平面图如图所示，其中（单位：米）． （1）这套住房的建筑总面积是 　　平方米；（用含、的式子表示） （2）当，时，求出小语家这套住房的具体面积． （3）地面装修要铺设地砖或地板，小语家对各个房间的装修都提出了具体要求，明确了选用材料的品牌以及规格、品质要求．现有两家公司按照要求拿出了装修方案，两个方案中选用的材料品牌、规格、品质完全一致，但报价不同；甲公司：客厅地面每平方米240元，书房和卧室地面每平方米220元，厨房地面每平方180元，卫生间地面每平方米150元；乙公司：全屋地面每平方米210元；请你帮助小红家测算一下选择哪家公司比较合算，请说明理由． 【答案】（1）；（2）90；（3）乙公司比较合算． 【分析】（1）根据图形，可以用代数式表示这套住房的建筑总面积； （2）将，代入（1）中的代数式即可求得小红家这套住房的具体面积； （3）根据住房的面积每平方米的单价计算出甲公司和乙公司的钱数，即可得到结论． 【解答】解：（1）由题意可得：这套住房的建筑总面积是： 平方米， 即这套住房的建筑总面积是平方米． 故答案为：； （2）当，时， （平方米）． 答：小红家这套住房的具体面积为90平方米； （3）选择乙公司比较合算．理由如下： 甲公司的总费用： （元， 乙公司的总费用： （元， （元， ，， ， ， 所以选择乙公司比较合算． 方法技巧 1．整体代入法求代数式的值： 在求式子的值时，若没有直接给出相关字母的值或无法通过已知条件直接求出式子的值，可将式子进行适当变形，利用整体代入的方法求值．通过整体代入，实现降次、归零、约分的目的，可以快速求得其值． 2．根据程序运算求代数式的值： 程序性问题的本质是按照程序列代数式，因此，解决此类问题时，可以先列出代数式，再代入求值，检验结果是否符合要求，如果不符合，把求得的代数式的值再代入代数式求值，直到结果符合要求为止． ■易错点 与代数式有关的规律探究问题 直击易错点 1．探究数字规律问题的基本步骤： （1）标序号：题目通常按照一定的顺序给出一系列数，标序号可以把这些数与对应序号建立联系； （2）找结构：从运算入手，如从加减结构、乘除结构、乘方结构等角度寻求尝试做一些计算，猜想变化规律，用代数式表示； （3）验证：把前面的几个数分别代入到猜想的结论中进行验证． 2．探究图形规律的方法： （1）观形法：观察图形，确定基础图形，发现相邻图形的变与不变，寻找规律； （2）审数法：从计数方法上分别求出题目给出的几个图形中目标图形的数量，将图形规律转化为数的规律进行探究． 【典例1】　（2023秋•常州期末）如图，正方形的边长均是，以图①、②、③呈现的规律类推，图中所有圆的周长的和是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先从图中找出每个图中圆的面积，从中找出规律，再计算周长和． 【解答】解：根据图形发现： 第一个图中，圆的周长为； 第二个图中，所有圆的周长之和是； 以此类推，则第3个图中所有圆的周长之和为 所以图中所有圆的周长的和是：． 故选：． 【典例2】　（2024春•金水区期末）观察下列各式：，，， （1）个位数字是5的两位数平方后，末尾的两个数有什么规律？ （2）如果一个两位数的个位数字为5，十位数字为且为整数），请你借助代数式解释（1）中的规律． （3）如果把三位数595看成十位数字为“59”个位数字为“5”的“两位数”，请利用发现的规律计算，要求写清计算过程及结果． 【答案】（1）个位数字是5的两位数平方后，末尾的两个数是25； （2）； （3）354025． 【分析】（1）通过实例计算结果归纳出个位数字是5的两位数平方后，末尾的两个数的规律； （2）先根据题意列出算式，再进行计算、推理； （3）运用前面所发现的计算规律进行求解． 【解答】解：（1）， ， ， ， 可得个位数字是5的两位数平方后，末尾的两个数是25； （2）如果一个两位数的个位数字为5，十位数字为且为整数）， 则 ， 即； （3）由（2）题结果可得， ． 【典例3】　（2024•安徽一模）如图，用5个实心圆圈，5个圆圈相间组成一个圆环，然后把这样的圆环从左到右按下列规律组成圆环串；相邻两圆环有一公共圆圈，公共圆圈从左到右以实心圆圈和空心圆圈相间排列． 圆环串中圆环的个数 1 2 4 5 6 实心圆圈和空心圆圈的总个数 10 19 　　 　　 　　 （1）把表格补充完整： （2）设圆环串由个圆环组成，请你直接写出组成这圆环所需实心圆圈和空心圆圈的总个数 　　个（用含的代数式表示）； （3）如果圆环串由这样的圆环18个组成，那么实心圆圈和空心圆圈的总数有多少个？有多少个空心圆圈？ 【答案】（1）表格补充完整见解析；（2）；（3）实心圆圈和空心圆圈的总数有个，空心圆圈有81个． 【分析】（1）利用每增加一个圆环，实心圆圈和空心圆圈的总个数就多出9个，由此规律得出答案即可； （2）利用每增加一个圆环，实心圆圈和空心圆圈的总个数就多出9个，由此规律得出答案即可； （3）因为围成偶数个圆环需要的实心圆圈比空心圆圈多1个，由（2）得出的规律，直接算出总数，进而即可求出空心圆圈数． 【解答】解：（1）表格补充完整如下： 圆环串中圆环的个数 1 2 4 5 6 实心圆圈和空心圆圈的总个数 10 19 37 46 55 （2）每增加一个圆环，实心圆圈和空心圆圈的总个数就多出9个， 当圆环串由个圆环组成，组成圆环所需实心圆圈和空心圆圈的总个数为个， 故答案为：； （3）当时，实心圆圈和空心圆圈的总数有个， 围成偶数个圆环需要的实心圆圈比空心圆圈多1个， 空心圆圈有个． 方法技巧 探究循环规律的题目，必须把握三点： （1）找出循环的周期； （2）分析出周期内循环的各个数据； （3）计算出要求的结果与周期内的哪个数据相对应． 第3页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $$