精品解析：云南省2024年春学期期末普通高中学业水平合格性考试数学试卷

云南省2024年春季学期期末普通高中学业水平合格性考试 数 学 试 卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：100分） 【注意事项】 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．请在答题卡指定位置按规定要求作答，答在试卷上一律无效． 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么． 如果事件A、B相互独立，那么． 球的表面积公式：，体积公式：，其中R表示球的半径． 柱体的体积公式：，其中S表示柱体的底面面积，h表示柱体的高． 锥体的体积公式：，其中S表示锥体的底面面积，h表示锥体的高． 第Ⅰ卷（选择题 共66分） 一、选择题（本大题共22个小题，每小题3分，共66分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应的位置上填涂） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的交集运算性质计算即可. 【详解】因为集合，，则. 故选：D 2. 函数的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的知识求得正确答案. 【详解】由于，所以， 所以的最大值为，此时. 故选：C 3. 某中学开展劳动实习，学生学习编织球体工艺品．若这种球体的半径为10cm，则这种球体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用球体的表面积公式可求得结果. 【详解】由题意，这种球体的表面积为. 故选：D. 4. 已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的几何意义求解即可. 【详解】复数在复平面内对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 5. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两角差的余弦公式可求解. 【详解】. 故选：A. 6. 已知平面向量，，则（ ） A. B. C. 1 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量数量积的坐标表示求解即可. 【详解】∵，，∴． 故选：C 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式化简求解即可. 【详解】. 故选：A. 8. 已知a、b、c都是实数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质以及特殊值法逐项对选项进行分析即可. 【详解】因为， 对于A，根据不等式的性质知，故A正确； 对于B，当时，；当时，；当时，，故B错误； 对于C，当时，，所以；当时，，所以，故C错误； 对于D，若，则，故D错误. 故选：A. 9. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量加法的三角形法则可得结果. 【详解】根据向量加法的三角形法则,得到. 故选：C. 10. 下列函数中，在上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据常见函数的单调性分析判断即可. 【详解】对于A，函数在上单调递增，在上单调递减； 对于B，函数在上单调递增； 对于C，函数在，上单调递增， 在，上单调递减； 对于D，函数在，上单调递减， 在，上单调递增. 故选：B. 11. 如图，在正方体中，直线与直线BD（ ） A. 异面 B. 平行 C. 相交且垂直 D. 相交但不垂直 【答案】A 【解析】 【分析】法一：根据异面直线的概念判断即可.法二：利用反证法可证明直线与直线异面. 【详解】法一：由图形可知，直线与直线不同在任何一个平面，这两条直线为异面直线. 法二：（反证法）假设直线与直线不异面，则直线与直线共面， 设直线与直线确定的平面，又不共线，所以确定平面， 所以平面与平面重合，从而可得平面，与平面矛盾， 所以直线与直线异面. 故选：A. 12. （ ） A. 5 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】由换底公式进行求解. 【详解】. 故选：C. 13. 甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）和方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 8.5 9 9.5 9.9 0.25 1 0.65 0.09 根据表中数据，若从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，则应该选（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数和方差的意义分析求解. 【详解】从数据来看丁的平均成绩最高，方差最小， 因此丁成绩好且发挥稳定，应选择丁. 故选：D. 14. 若，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由，解得， 则x的取值范围为. 故选：A. 15. 已知i为虚数单位，复数，则（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的模的计算公式求解即可. 【详解】复数，则. 故选：C. 16. 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理解三角形. 【详解】中，由正弦定理，得. 故选：B 17. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的真数大于零列不等式求解即可. 【详解】由得， 所以函数的定义域为. 故选：D. 18. 函数在上的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用指数函数的单调性，即可求解. 【详解】因为在定义域上单调递增，所以函数在上的最小值为， 故选：B. 19. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性求解即可. 【详解】因为在上单调递增，所以， 而，所以， 因为在单调递增，所以， 所以. 故选：B. 20. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数的关系求解即可. 【详解】因为，，故， 则. 故选：D 21. 某公司10名员工参加岗位技能比赛，获奖情况如下： 等级 一等奖 二等奖 三等奖 人数（单位：人） 3 6 1 现从这10名员工中任选1名员工参加经验交流活动．若每位员工被选到的概率相等，则选到获一等奖员工的概率为（ ） A. 0.1 B. 0.3 C. 0.5 D. 0.6 【答案】B 【解析】 【分析】根据古典概率的知识求得正确答案. 【详解】根据古典概型的知识可知，所求概率为. 故选：B 22. 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，，，则（ ） A. B. C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理可求解. 【详解】因为在中，，，， 所以由余弦定理可得：， 所以. 故选：D. 【点睛】方法点睛：三角形中知道两边及夹角的余弦值求第三边直接利用余弦定理求解. 第Ⅱ卷（非选择题 共34分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分．请把答案写在答题卡相应的位置上） 23. 已知函数是奇函数．若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案. 【详解】依题意，是奇函数， 所以. 故答案为： 24. 某地区的高中学校分为A、B两类，A类高中学校共有学生6000人，B类高中学校共有学生2000人．现按A、B两类进行分层，用分层随机抽样的方法，从该地区的高中学校抽取学生40人进行调查研究．设抽到该地区A类高中学校学生x人，则__________． 【答案】30 【解析】 【分析】由分层抽样中各层样本数的确定方法求解即可. 【详解】由题意，. 故答案为：30. 25. 若，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据基本不等式可求最小值. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 26. 若函数的最小正周期为，则常数__________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用三角函数的周期公式求解即可. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以，解得. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知余弦型函数求周期问题，直接利用周期公式求解. 三、解答题（本大题共3个小题，第27小题5分，第28小题6分，第29小题7分，共18分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请把答案写在答题卡相应的位置上） 27. 甲、乙两人独立地参加本次普通高中化学学业水平合格性考试，他们的考试成绩互不影响．甲的化学成绩得满分的概率为，乙的化学成绩得满分的概率为． （1）求甲、乙两人的化学成绩都得满分的概率； （2）求甲、乙两人至少有一人的化学成绩没有得满分的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件同时发生的概率公式求解即可； （2）利用对立事件的概率公式直接求解即可. 【小问1详解】 由题意，甲、乙两人的化学成绩都得满分的概率为. 【小问2详解】 由题意，甲、乙两人至少有一人的化学成绩没有得满分的概率为. 28. 如图，在直三棱柱中，D是线段BC的中点，且． （1）求证：平面； （2）若，是边长为2的正三角形，求三棱锥的体积． 【答案】（1） 在直三棱柱中，平面， 因为平面，所以， 又D是线段BC的中点，且，所以， 因为，平面, 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）结合题设易得，，进而结合线面垂直的判定定理求证即可； （2）利用等体积法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，平面， 因为是边长为2的正三角形， 所以，则， 则， 所以三棱锥的体积为. 29. 已知b、c是常数，函数，，．函数的零点是、2． （1）求b、c的值； （2）函数是否有零点？若有，请求出的所有零点；若没有，请说明理由． 【答案】（1） （2）函数有零点，为. 【解析】 【分析】（1）由题意可得和2为方程的根，进而结合韦达定理求解即可； （2）结合题意可得，令，因式分解可得，进而解方程即可求解. 【小问1详解】 由，因为函数的零点是和2， 所以和2为方程的根，则，解得. 【小问2详解】 由（1）知，，所以， 令，即，即，即， 解得或或或， 即函数的零点为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省2024年春季学期期末普通高中学业水平合格性考试 数 学 试 卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：100分） 【注意事项】 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．请在答题卡指定位置按规定要求作答，答在试卷上一律无效． 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么． 如果事件A、B相互独立，那么． 球的表面积公式：，体积公式：，其中R表示球的半径． 柱体的体积公式：，其中S表示柱体的底面面积，h表示柱体的高． 锥体的体积公式：，其中S表示锥体的底面面积，h表示锥体的高． 第Ⅰ卷（选择题 共66分） 一、选择题（本大题共22个小题，每小题3分，共66分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应的位置上填涂） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 某中学开展劳动实习，学生学习编织球体工艺品．若这种球体的半径为10cm，则这种球体的表面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. （ ） A. B. C. D. 6. 已知平面向量，，则（ ） A. B. C. 1 D. 5 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知a、b、c都是实数，若，则（ ） A. B. C. D. 9. （ ） A. B. C. D. 10. 下列函数中，在上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在正方体中，直线与直线BD（ ） A. 异面 B. 平行 C. 相交且垂直 D. 相交但不垂直 12. （ ） A. 5 B. 2 C. 1 D. 0 13. 甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）和方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 8.5 9 9.5 9.9 0.25 1 0.65 0.09 根据表中数据，若从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，则应该选（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 14. 若，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 15. 已知i为虚数单位，复数，则（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 16. 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，，，则（ ） A. B. C. D. 17. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 18. 函数在上的最小值为（ ） A. B. C. D. 19. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 20. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 21. 某公司10名员工参加岗位技能比赛，获奖情况如下： 等级 一等奖 二等奖 三等奖 人数（单位：人） 3 6 1 现从这10名员工中任选1名员工参加经验交流活动．若每位员工被选到的概率相等，则选到获一等奖员工的概率为（ ） A. 0.1 B. 0.3 C. 0.5 D. 0.6 22. 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，，，则（ ） A. B. C. 4 D. 3 第Ⅱ卷（非选择题 共34分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分．请把答案写在答题卡相应的位置上） 23. 已知函数是奇函数．若，则__________． 24. 某地区的高中学校分为A、B两类，A类高中学校共有学生6000人，B类高中学校共有学生2000人．现按A、B两类进行分层，用分层随机抽样的方法，从该地区的高中学校抽取学生40人进行调查研究．设抽到该地区A类高中学校学生x人，则__________． 25. 若，则的最小值为__________． 26. 若函数的最小正周期为，则常数__________． 三、解答题（本大题共3个小题，第27小题5分，第28小题6分，第29小题7分，共18分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请把答案写在答题卡相应的位置上） 27. 甲、乙两人独立地参加本次普通高中化学学业水平合格性考试，他们的考试成绩互不影响．甲的化学成绩得满分的概率为，乙的化学成绩得满分的概率为． （1）求甲、乙两人的化学成绩都得满分的概率； （2）求甲、乙两人至少有一人的化学成绩没有得满分的概率． 28. 如图，在直三棱柱中，D是线段BC的中点，且． （1）求证：平面； （2）若，是边长为2的正三角形，求三棱锥的体积． 29. 已知b、c是常数，函数，，．函数的零点是、2． （1）求b、c的值； （2）函数是否有零点？若有，请求出的所有零点；若没有，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $