5.4 平抛运动（教材详解：思维导图+5知识点+9题型+课后巩固）-2024～2025学年高一下学期物理知识详解与题型练习（人教版（2019）必修第二册）

5.4 抛体运动的规律 【目标导航】 2 【思维导图】 2 【教材详解】 2 知识点1：平抛运动的规律 2 题型01：平抛运动速度的计算 3 知识点2：平抛运动的位移与轨迹 5 题型02：平抛运动位移的计算 6 题型03：平抛运动的变式 7 题型04：平抛运动的追击相遇问题 9 知识点3：平抛运动的连个推论 11 题型05：速度反向延迟线的特点 12 题型06：速度偏转角与位移偏转角的特点 12 知识点4：一般的抛体运动 15 题型07：斜抛运动 19 知识点5：类平抛运动 21 题型08：类平抛运动 21 题型09：曲面结合的平抛运动 21 【课后巩固】 27 课堂目标 关键词 1. 会用运动的合成与分解的方法分析平抛运动； 2. 理解平抛运动的规律,会计算平抛运动的速度及位移； 3. 学会应用平抛运动的知识解决和解释自然、生活和生产中的例子； 4. 能分析研究一般的抛体运动。 1. 平抛运动、轨迹方程 2. 射程、射高 3. 平抛运动推论 4. 斜抛运动、类平抛运动 知识点1：平抛运动的规律 平抛运动无法直接应用直线运动规律分析。“一分为二、化曲为直”是解决曲线问题的一个重要方法。以抛出点为原点，水平方向（初速度v0方向）为x轴，坚直向下为y轴，建立平面直角坐标系。 1. 水平分速度 物体做初速度为v0的平抛运动，由于所受重力的方向是竖直向下的，物体在水平方向的分速度保持不变，故整个运动过程中始终有。 2. 竖直分速度 平抛运动在竖直方向的加速度为重力加速度 g，则物体在竖直方向的分速度 3. t时刻的速度 如图所示，t时刻的速度与此时刻的两个分速度、，的关系为，可知平抛运动的速度越来越大。速度的方向与水平方向的夹角0满足，随着物体的下落，θ角越来越大，但总是小于 90°。即物体运动的方向越来越接近竖直向下的方向，但不会竖直向下。 4. 速度的变化特点 平抛运动的水平分速度恒定，竖直分速度按的规律变化，则任意相等的时间间隔内速度的变化都相同，且，方向竖直向下，如图所示，将图甲v中各速度矢量的始端移到同一点就得到图乙所示情形。 题型01：平抛运动速度的计算 【典例1】（2025高三·全国·专题练习）将小球从如图所示的阶梯状平台上以一定的水平初速度水平抛出，所有台阶的高度和宽度均为1.0m，取，要使小球抛出后落到第三级台阶上，则可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】小球抛出后越过第二台阶，根据平抛运动的特点水平方向做匀速运动，竖直方向做自由落体运动知， 小球抛出后不会越过第三台阶，根据平抛运动的特点水平方向做匀速运动，竖直方向做自由落体运动知 ， 解得 故选B。 【变式1-1】（24-25高一下·全国·）如图所示，窗子上、下沿间的高度，墙的厚度，某人在离墙壁距离、距窗子上沿处的P点，将可视为质点的小物件以速度v水平抛出，小物件直接穿过窗口并落在水平地面上，取，不计空气阻力，则v的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若小物件恰好经窗口上沿，则有， 解得 若小物件恰好经窗口下沿，则有， 解得 所以 故选C。 【变式1-2】（24-25高三上·江苏徐州·阶段练习）如图所示，一水平长方形区域ABCD、长L1 = 4L，宽L2 = 3L，EF为区域的中线，EF处的网高h1 = 0.5L。在A点正上方的P点可以沿水平方向发射速度不同的小球，P点高h2 = 2.5L。已知重力加速度大小为g，不计空气阻力。求： (1)小球从P点到第一落点的时间t； (2)小球的第一落点在BCEF区域内的最小发射速度v1； (3)小球的第一落点在BCEF区域内的最大发射速度v2。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小球在竖直方向做自由落体运动，则，解得 （2）小球的第一落点在BCEF区域内，且发射速度最小，有 ， 联立解得 （3）当小球的第一落点在C点时，发射速度最大，则 ， 所以 知识点2：平抛运动的位移与轨迹 平抛运动的水平位移：……① 竖直方向只受重力且初速度为零，做自由落体运动，……② 联立①和②得，，由数学知识可知，平抛运动的轨迹是一条抛物线。 【点拨】 （1）平抛运动在空中的飞行时间 由竖直方向上的自由落体运动，可以得到时间 可见，平抛运动在空中的飞行时间由抛出点到落地点的竖直距离和该地的重力加速度决定，与抛出时的初速度大小无关。 （2）水平射程 由平抛运动的轨迹方程，可以写出其水平射程 可见，在g一定的情况下，平抛运动的射程与初速度成正比，与抛出点高度的平方根成正比，即抛出的速度越大、抛出点到落地点的高度越大时，射程也越大。 （3）落地速度大小：，由此可见，其落地的速度有初速度和高度h有关。 题型02：平抛运动位移的计算 【典例2】（江苏省淮安市高中校协作体2024-2025学年高二上学期期中联考（合格考）物理试卷）2021年3月1日起，最新刑法修正案生效，“高空抛物”正式入刑。2月28日，我市审理了自2021年高空抛物罪入刑以来的第一起高空抛物案件。假设将一个质量为的小球从距离地面的高度以的初速度沿水平方向抛出，空气阻力不计。则关于小球的情况下列说法正确的是（　　） A．小球空中运动时间为5s B．小球落地时速度方向竖直向下 C．小球在空中运动是匀变速运动 D．小球落地时的水平位移为 【答案】C 【详解】AD．根据平抛运动规律有，，解得s，m，故AD错误； B．小球有水平方向不变的速度，落地时速度方向不会竖直向下，故B错误； C．小球在空中运动时，只受重力作用，是匀变速运动，故C正确； 故选C。 【变式2-1】（24-25高三上·山东济宁·期中）小球从台阶上以一定的初速度水平抛出，0.3 s后恰好落到第3级台阶的边缘，已知每级台阶的宽度和高度均为L = 15 cm，则小球抛出时的高度h为（　　） A．h = 15 cm B．h = 25 cm C．h = 35 cm D．h = 45 cm 【答案】A 【详解】由题意，小球做平抛运动，在抛出t = 0.3 s后恰好落到第3级台阶的边缘，竖直方向上有 代入数据，解得 故选A。 【变式2-2】（24-25高二上·全国·阶段练习）“套圈”是夜市中非常受欢迎的游戏。如图所示，某次游戏中父子俩把圈在同一竖直线上同时水平抛出，恰好套中同一玩具。若圈离手后的运动可视为平抛运动，下列说法正确的是（　　） A．父亲的圈先落入碗中 B．两人掷出的圈同时落入碗中 C．父亲掷出圈的速度大于儿子掷出圈的速度 D．儿子掷出圈的速度大于父亲掷出圈的速度 【答案】D 【详解】AB．由平抛运动的规律可知，在竖直方向做自由落体运动，根据 父亲抛出的圈下落高度大，所以时间长，所以父子俩同时把圈水平抛出，所以儿子掷出圈先落地，故AB错误； CD. ．在水平方向做匀速运动，则有 由于父亲抛出的圈时间长，儿子掷出圈的速度大于父亲掷出圈的速度，故C错误；D正确。 故选D。 题型03：平抛运动的变式 【典例3】（23-24高一下·广东珠海·阶段练习）消防车的供水系统主要由水泵、输水管道和水枪组成，如图所示，某次消防演练时消防水枪离地高度H=3m，建筑物上的着火点A离地高度h=1.2m，水从水枪枪口中水平射出后，恰好击中着火点A，此时水的速度与水平方向的夹角θ=37°。不计空气阻力，取重力加速度大小g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求： (1)水从水枪枪口运动到着火点A的时间t； (2)水落到着火点A前瞬间竖直方向速度大小vy； (3)水枪枪口与着火点A的水平距离x。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）水从水枪枪口运动到着火点A的过程中做平抛运动，竖直方向上有 解得 （2）落到着火点A前瞬间竖直方向上的分速度大小，解得 （3）根据，解得 水枪枪口与着火点A的水平距离为，解得 【变式3-1】（24-25高一下·全国·单元测试）如图所示，乒乓球的发球器安装在水平桌面上，竖直转轴的端距桌面的高度为h，发射器部分长度也为h。打开开关后，可将乒乓球从A点以初速度水平发射出去，其中，g为重力加速度。设发射出的所有乒乓球都能落到桌面上，乒乓球自身尺寸及空气阻力不计。若使该发球器绕转轴在90°角的范围内来回缓慢水平转动，持续发射足够长时间后，求乒乓球第一次与桌面相碰区域的面积S。 【答案】 【详解】乒乓球做平抛运动，在竖直方向有 解得乒乓球做平抛运动的时间 当初速度最大时，水平位移 当初速度最小时，水平位移 所以对应的四分之一圆环（乒乓球第一次与桌面相碰区域）的小圆半径，大圆半，则持续发射足够长时间后，乒乓球第一次与桌面相碰区域的面积 【变式3-2】（2024·安徽·模拟预测）如图所示，某同学将一可视为质点的小球从P点对着竖直墙壁以一定的水平初速度抛出，球与墙壁在A点发生碰撞后反弹，落在水平地面上的B点，B点刚好在P点正下方。已知A点离水平地面的高度为d，B点到竖直墙壁的距离也为d，球与墙壁碰撞前后竖直分速度不变，水平分速度大小相等、方向相反，重力加速度大小为g，不计空气阻力。则小球被抛出时的初速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，水平方向速度大小不变，小球从P到A运动的时间和从A到B运动的时间相等，竖直方向小球做自由落体运动，根据初速度为零的匀变速直线运动的比例规律可知，P点距A点的竖直高度为，则小球从P到A的时间为 则小球抛出时的初速度大小为 故选A。 题型04：平抛运动的追击相遇问题 【典例4】（2025·广西来宾·模拟预测）同一水平线上相距为L的两位置沿相同方向水平抛出两小球甲和乙，两球在空中相遇，运动轨迹如图所示。不计空气阻力，则下列说法正确的是（   ） A．甲球要先抛出才能相遇 B．在任意相同时间内两球速度的变化量相同 C．两球相遇时乙球速度更大 D．两球相遇时甲球加速度更大 【答案】B 【详解】A．将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，相遇时竖直下落的高度相同，因此两球同时抛出，A错误； BD．抛出后两球的加速度都是重力加速度相同，根据加速度的定义可知，在任意相同时间内两球速度的变化量相同，B正确，D错误； C．由于同时抛出，水平方向上，甲球追上乙球，可知抛出时甲球的初速度更大，相遇时竖直方向速度相同，因此两球相遇时甲球速度更大，D错误。 故选B。 【变式4-1】（多选）（24-25高三上·山东潍坊·阶段练习）如图所示，距地面足够高的A、B两点高度差为h，水平距离为l。从A、B两点同时水平抛出两小球，初速度大小均为，方向相反，两小球轨迹在同一竖直平面内。两小球经时间t相距最近，最近距离为x，不计空气阻力。则（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】两个小球竖直方向都是从静止开始做自由落体运动，竖直方向的距离始终不变，恒为，根据几何关系可知，两个小球距离最近时，即为水平方向距离为零时，此时距离最近为 水平方向做匀速直线运动，由几何关系 可得时间为 故选BC。 【变式4-2】（24-25高三上·安徽·期中）为了祖国的统一，为了维护世界的和平，2024年10月14日中国人民解放军东部战区组织陆军、海军、空军、火箭军等兵力开展“联合利剑—2024B”一次大规模的围台军演。如图所示，某科目军事演习，红军“轰—20”轰炸机在离海面高H=500m高处水平飞行，发现远处海面有一艘静止的蓝军模型军舰，飞机为了保证安全，需要在距离军舰水平距离s=1000m时投下炸弹，若军舰发现飞机投下炸弹时立即以加速度a=2m/s2开始做匀加速直线运动，与飞机运动方向相同，结果炸弹仍然命中目标，不计军舰大小，不计空气阻力（g=10m/s2），求： (1)炸弹从投出至命中目标经过的时间； (2)飞机释放炸弹时飞行速度的大小v； (3)若军舰不动，同时竖直向上发炮拦截炸弹，发射炮弹的速度大小v0应为多少才能成功拦截？ 【答案】(1)10s (2)110m/s (3)55m/s 【详解】（1）根据题意，炸弹做平抛运动，在竖直方向做自由落体运动，由解得 （2）根据题意，炸弹做平抛运动，水平方向有 解得飞机释放炸弹时飞行速度的大小为 （3）根据题意，炸弹在竖直方向做自由落体运动，若军舰不动，发射炮弹竖直向上做上抛运动，若要成功拦截，在竖直方向上有 炸弹在水平方向有，联立解得 知识点3：平抛运动的连个推论 推论一：做平抛（或类平抛）运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A点和B点所示． 推导过程：……① 将速度v方向延长，速度偏向角的正切值还可以表示为：……② 联立求解： 推论二：做平抛（或类平抛）运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α，如图所示。 推导过程：速度偏向角的正切值：……① 位移偏向角的正切值：……② 比较得： 题型05：速度反向延迟线的特点 【典例5】（22-23高一下·吉林延边·阶段练习）如图所示，某人从同一位置O以不同的水平速度投出三枚飞镖A、B、C，最后都插在竖直墙壁上，它们与墙面的夹角分别为60°、45°、30°，图中飞镖的方向可认为是击中墙面时的速度方向，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．三只飞镖做平抛运动的初速度一定满足 B．三只飞镖击中墙面的速度满足 C．三只飞镖击中墙面的速度满足 D．插在墙上的三只飞镖的反向延长线不会交于同一点 【答案】C 【详解】A．飞镖做平抛运动，水平分运动是匀速直线运动，有x=v0t 飞镖击中墙面的速度与竖直方向夹角的正切值为 联立，解得α越大，v0越大，故有vA0>vB0>vC0 故A错误； BC．根据平行四边形定则并结合几何关系，可得飞镖击中墙面的速度 故vA=vC＞vB 故B错误；C正确； D．飞镖做平抛运动，速度的反向延长线通过水平分位移的中点，而三只飞镖水平分位移的中点相同，故插在墙上的三只飞镖的反向延长线一定交于同一点。故D错误。 故选C。 【变式5-1】（23-24高一下·福建莆田·阶段练习）如图，某人从点对准正前方竖直靶上的点，分别将两支飞镖水平掷出，飞镖打在靶上、两点，且与竖直方向的夹角分别为与，忽略空气阻力，则（　　） A．两飞镖击中靶的速度大小相同 B．ab间距为ac间距的一半 C．两飞镖在空中运动时间相同 D．两飞镖离开手时速度大小相同 【答案】A 【详解】B．根据平抛运动推论，速度方向的反向延长线过水平位移的中点可得 ， 联立得 故B错误； A．飞镖打在靶上b点时的竖直分速度为 飞镖打在靶上b点时速度 飞镖打在靶上c点时的竖直分速度为 飞镖打在靶上c点时速度 故A正确； C．平抛运动在竖直方向的分运动为自由落体运动，则有 两飞镖在空中下落的高度不同，可知在空中运动时间不相同，故C错误； D．水平方向做匀速直线运动，根据 两飞镖在空中通过的水平位移相同，但运动时间不同，可知两飞镖离开手时，速度大小不相同，故D错误。 故选A。 【变式5-2】（23-24高三下·海南省直辖县级单位·开学考试）某实验小学运动会上推出一种亲子投掷游戏，大人和小孩站在同一位置，沿水平方向各投出一支箭，箭均插入地面上规定的点则获胜。某次比赛中，大人投出的甲箭，箭尖插入地面上的点时与水平地面的夹角为；小孩投出的乙箭，箭尖插入地面上的点时与水平地面的夹角为，如图所示。忽略空气阻力、箭长等因素的影响，已知，，下列说法正确的是（    ） A．甲、乙两箭投出时的初速度大小之比为 B．甲、乙两箭投出点到地面的高度之比为 C．甲、乙两箭在空中运动的时间之比为 D．甲、乙两箭落地前瞬间的速度大小之比为 【答案】B 【详解】B．由题图可知，甲、乙两箭平抛运动的水平位移相等，设为，由落地前瞬间速度的反向延长线过水平位移的中点，有 可得甲、乙两箭投出点到地面的高度之比 故B正确； C．根据平抛运动竖直方向的运动规律，有 可得甲、乙两箭在空中运动的时间之比为 故C错误； A．由 可得甲、乙两箭投出时的初速度大小之比为 故A错误； D．箭落地前瞬间的速度大小为 甲、乙两箭落地前瞬间的速度大小之比为 故D错误。 故选B。 题型06：速度偏转角与位移偏转角的特点 【典例6】（24-25高三上·山西太原·期中）跳台滑雪运动中，运动员从跳台处沿水平方向飞出，在斜坡处着陆，着陆瞬间速度方向竖直向下。、间的距离为75m，斜坡与水平方向的夹角为，重力加速度取。下列说法正确的是（    ） A．运动员在处的速度大小一定为 B．运动员在空中飞行的时间一定为3s C．运动员在空中离坡面的最大距离一定为9m D．运动员以不同速度水平飞出，到达斜面的速度可能相同 【答案】D 【详解】ABC．假设运动员离开平台后做平抛运动，则 解得s，，m 但由于在斜坡处着陆，着陆瞬间速度方向竖直向下，则运动员运动过程中有阻力影响，故ABC错误； D．因受到空气阻力的作用，在水平方向和竖直方向都有影响，风力不一定是恒力，导致速度大的受到的空气阻力可能大和速度小的的落在斜面上时具有相同的速度。 故D正确； 故选D。 【变式6-1】（24-25高三上·辽宁葫芦岛·阶段练习）国家跳台滑雪中心是中国首座跳台滑雪场馆，主体建筑灵感来自于中国传统饰物“如意”，因此被形象地称作“雪如意”。如图所示，现有甲、乙两名可视为质点的运动员从跳台a处先后沿水平方向向左飞出，初速度大小之比为2：3，不计空气阻力，则甲、乙从飞出至落到斜坡（可视为斜面）上的过程中，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙飞行时间之比为3：2 B．甲、乙飞行的水平位移之比为2：3 C．甲、乙在空中竖直方向下落的距离之比为4：9 D．甲、乙落到坡面上的瞬时速度方向与水平方向的夹角之比为2：3 【答案】C 【详解】D．设斜面倾角为，运动员落在斜面上速度与水平面夹角为，根据平抛运动的推论可得 可知甲、乙落到坡面上的瞬时速度方向与水平方向的夹角之比为1：1，故D错误； A．根据，解得 可知甲、乙飞行时间之比为2：3，故A错误； B．根据 可知甲、乙飞行的水平位移之比为4：9，故B错误； C．根据 可知甲、乙在空中竖直方向下落的距离之比为4：9，故C正确。 故选C。 【变式6-2】（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动（小球可视为质点），飞行过程中恰好与半圆轨道相切于点，为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为，与水平方向夹角为，重力加速度为。求： (1)小球抛出时的初速度大小与小球从A点正上方运动到点的时间； (2)小球抛出时距离A点的竖直高度。 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）飞行过程中小球恰好与半圆轨道相切于B点，由图可知此时小球的速度与水平方向的夹角为30°，设小球的位移与水平方向的夹角为θ，则有，解得 根据几何关系有 又解得 根据平抛运动规律，在竖直方向上有，解得 在水平方向上有 解得水平初速度大小为 （2）根据几何关系，可得小球抛出时距离A点的竖直高度 知识点4：一般的抛体运动 1. 斜跑运动 物体以初速度沿斜上方或斜下方抛出的运动叫作斜抛运动。 斜上抛运动 斜下抛运动 2. 斜抛运动的性质 （1）水平方向：不受外力，以为初速度做匀速直线运动 水平位移； （2）竖直方向：竖直方向只受重力，初速度为，做竖直上抛运动，即匀减速直线运动 任意时刻的速度和位移分别是 （3） 加速度a=g的匀变速曲线运动 3. 斜抛运动的特点 （1） 速度特点 斜抛运动的加速度为定值，速度变化量，的方向竖直向下 （2） 对称性特点（斜上抛） ①速率对称：轨迹上关于过轨迹最高点的竖直线对称的两点速度大小相等，水平分速度相同，竖直方向的分速度等大反向 ②轨迹对称：其运动轨迹关于过最高点的竖直线对称。 ③时间对称：由于其轨迹是关于最高点的竖直线对称的曲线过某一点的水平线与最高点之间，上升时间等于下降时间，这是由竖直上抛运动的对称性决定的。 4. 斜上抛运动中的几个重要关系式 ，是一条抛物线如图所示： 3、对斜抛运动的研究 （1）斜抛物体的飞行时间： 当物体落地时，由 知，飞行时间 （2）斜抛物体的射程： 由轨迹方程 令y=0得落回抛出高度时的水平射程是 两条结论： ①当抛射角时射程最远， ②初速度相同时，两个互余的抛射角具有相同的射程，例如300和600的两个抛射角在相同初速度的情况下射程是相等的。 （3）斜上抛运动的射高： 斜上抛的物体达到最大高度时=0，此时 代入即得到抛体所能达到的最大高度 可以看出，当时，射高最大 拓展：斜上抛运动运动的分析技巧 （1）斜上抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动。 （2）运动时间及射高由竖直分速度决定，射程由水平分速度和抛射角决定。 （3）由抛出点到最高点的过程可逆向看作平抛运动来分析。 题型07：斜抛运动 【典例7】（多选）（24-25高三上·河南驻马店·期中）军事演练期间，某战士为炸毁敌方的工事，从距水平地面高处的点斜向上抛出一手雷（视为质点），如图所示，手雷的初速度方向与水平方向的夹角，手雷落点为水平地面上的点，、两点间的水平距离，取重力加速度大小，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．手雷在空中运动的时间为 B．手雷在空中运动的时间为 C．手雷的初速度大小为 D．手雷的初速度大小为 【答案】BD 【详解】手雷抛出后水平方向做匀速直线运动，竖直方向做竖直上抛运动，从抛出到落地过程，水平方向和竖直方向分别有， 两式联立，求得， 故选BD。 【变式7-1】（23-24高一下·江西·期末）篮球运动中，“快攻”是一种很具有观赏性的进攻方式。发球者从底线将篮球大力发出，接球者迅速跑到前场接球，攻框得分。篮球的运动可视为忽略空气阻力的抛体运动，某时刻，接球者从距离发球者12.6m的位置向对方场地匀速奔跑，与此同时，发球者将球沿斜向上的方向抛出，速度与水平方向夹角为37°，发球与接球时篮球离地高度相同，重力加速度g取10m/s2。为使接球者奔跑9m后接到篮球，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则下列说法正确的是（　　） A．发球者抛出篮球的速度为16m/s B．篮球在空中运动的时间为1.6s C．接球者奔跑的速度为5m/s D．篮球在空中运动的加速度先减小后增大 【答案】C 【详解】AB．将篮球在空中的运动分解为水平和竖直方向，篮球从抛出到最高点过程中在竖直方向有 水平方向匀速直线运动，有 联立解得v＝15m/s，t1＝0.9s 篮球在空中运动的时间为1.8s，故AB错误； C．接球者做匀速直线运动，奔跑的速度为 故C正确； D．篮球在空中运动只受到重力作用，所以加速度恒为重力加速度，故D错误。 故选C。 【变式7-2】（多选）（23-24高一下·安徽·阶段练习）如图为某炮兵部队在训练中以大小相同的初速度、不同的仰角从水平地面O点发射炮弹，不考虑空气阻力。关于炮弹在空中的运动，下列说法正确的是（　　） A．仰角越大，炮弹的加速度越大 B．仰角不同，也有可能落在地面同一位置 C．仰角时，炮弹的水平射程最远 D．当炮弹的水平射程最远时，炮弹在空中的时间最长 【答案】BC 【详解】A．炮弹在空中运动，只受重力，加速度为重力加速度，恒定不变，故A错误； BC．设炮弹的初速度为，炮弹在空中运动的时间 水平方向 可知当仰角时，炮弹的水平射程最大，炮弹的水平射程最远，当仰角不同时，可能相等，即有可能落在地面同一位置，故BC正确； D．根据可知仰角越大，即趋近，炮弹在空中的时间越长，故D错误。 故选BC。 知识点5：类平抛运动 1. 类平抛运动的受力特点 物体所受合力为恒力，且合力方向与初速度方向垂直 2. 类平抛运动的运动特点 在初速度方向做匀速直线运动，在所受合力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度 3类平抛运动的分析方法 将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和重直于初速度方向（即沿合力方向）的匀加速直线运动，这两个分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。 题型08：类平抛运动 【典例8】（23-24高一下·辽宁沈阳·期中）如图所示，一物体在某液体中运动时只受到重力mg和恒定的浮力F的作用，且。如果物体从M点以水平初速度开始运动，最后落在N点，MN间的竖直高度为h，其中g为重力加速度，则下列说法正确的是（    ） A．物体从M运动到N的轨迹不是抛物线 B．减小水平初速度，物体运动时间将变长 C．物体从M运动到N的时间为 D．M与N之间的水平距离为 【答案】D 【详解】ABC．根据题意可知，物体水平方向不受力，以做匀速直线运动，竖直方向上，由牛顿第二定律有，解得 竖直方向做匀加速直线运动，可知，物体做类平抛运动，则从运动到的轨迹是抛物线，竖直方向上有 解得物体从M运动到N的时间为 可知减小水平初速度，物体运动时间不变，故ABC错误； D．物体在水平方向做匀速直线运动，M与N之间的水平距离为 故D正确。 故选D。 【变式8-1】（多选）（24-25高三上·河北邯郸·期中）如图所示，一斜面放在水平地面上，A、B两个质点以相同的水平速度抛出，A在竖直平面内运动，落地点为，B沿光滑斜面运动，落地点为，不计阻力，在落地之前运动的全过程中，下列关系的判断正确的是（　　） A．A与B的加速度大小之比为 B．A与B的运动时间之比为 C．A与B的在x轴方向位移大小之比为 D．A与B的水平位移大小之比为 【答案】AC 【详解】A. A做平抛运动，加速度为g。B的加速度为 A与B的加速度大小之比为 A正确； B. 设高度为h，则，，得 B错误； C. 由A与B的在x轴方向位移大小之比为 C正确； D. B的水平位移为A与B的水平位移大小之比不等于，D错误。 故选AC。 【变式8-2】（23-24高一下·广东深圳·期末）风洞，被称为飞行器的摇篮，我国的风洞技术世界领先。如图所示，在一次实验中，风洞竖直放置且足够长，质量为m的小球从A点以速度沿直径水平进入风洞。小球在风洞中运动时受到的风力F恒定，方向竖直向上，风力大小F可在0~3mg间调节。小球可视作质点，碰壁后不反弹，重力加速度g取，风洞横截面直径。 （1）当时，求小球撞击右壁的速度大小和方向； （2）保持不变，调节F的大小，求小球撞击右壁的区域长度。 【答案】（1），速度方向与水平方向夹角为；（2）15m 【详解】（1）当时，小球做平抛运动，水平方向有解得 竖直分速度为 小球撞击右壁的速度大小 令速度与水平方向夹角为，则有， （2）结合上述，当时，小球做平抛运动，竖直方向的分位移，解得 当时，根据牛顿第二定律有 小球做类平抛运动，则有，，解得 则小球撞击右壁的区域长度 题型09：曲面结合的平抛运动 【典例9】（多选）（23-24高一下·四川乐山·期中）如图所示，同一竖直平面内有四分之一圆环BC和倾角为的斜面AC，A、B两点与圆环BC的圆心O等高。现将甲、乙小球分别从A、B两点以初速度、沿水平方向同时抛出，两球恰好在C点相碰（不计空气阻力），已知，，下列说法正确的是（　　） A．初速度、大小之比为3∶4 B．若大小变为原来的一半，则甲球恰能落在斜面的中点D C．若大小变为原来的两倍，让两球仍在OC竖直面相遇，则应增大到原来2倍 D．若要甲球垂直击中圆环BC，则应变为原来的倍 【答案】ACD 【详解】A．两小球竖直位移相同，则运动时间相同，初速度、大小之比为 故A正确； C．若让两球仍在OC竖直面相遇，则 其中， 若大小变为原来的两倍，则时间t变为原来的一半，要能相遇，则乙球的速度要增大为原来的2倍， 故C正确； B．甲球落在D、C两点时的竖直位移之比为 根据可知甲球落在D、C两点时的时间之比为 甲球落在D、C两点时的水平位移之比为 根据可知甲球落在D、C两点时的初速度大小之比为 故若大小变为，则甲球恰能落在斜面的中点D， 故B错误； D．若要甲球垂直击中圆环BC，则击中BC时的速度方向一定过O点，且根据平抛运动规律的推论可知O点为甲球水平位移的中点，故甲球落点到A点的水平距离为 竖直距离为 结合在C点相碰， 根据，解得， 所以若要甲球垂直击中圆环BC，则应变为原来的倍，故D正确。 故选ACD。 【变式9-1】（多选）（23-24高一下·广西南宁·期中）如图所示，四分之一圆弧面的半径R与斜面的竖直高度相等，斜面的倾角为，圆弧面的圆心为图中O点，在斜面的顶端A点将多个小球以不同的水平速度抛出，设小球碰到接触面后均不再反弹，已知重力加速度为g，则以下说法正确的是（    ） A．小球有可能垂直打到圆弧面上 B．小球抛出的初速度越大，则运动时间越短 C．小球抛出的速度等于时，运动时间最长 D．若小球抛出的速度小于，则落到接触面时速度偏角均相同 【答案】AD 【详解】A．如图所示 根据平抛运动推论：速度方向延长线交于水平位移的中点，当圆心O为图中水平位移的中点时，即小球垂直打在圆弧面B点时，故A正确； B．根据 当小球打在斜面上时，小球抛出的初速度越大，小球下落高度越大，可知小球运动的时间越长；当小球打在圆弧面上时，小球抛出的初速度越大，小球下落高度越小，可知小球运动的时间越短，故B错误； C．当小球刚好落在O点正下方时，下落高度最大，运动时间最长，则有， 联立解得 故C错误； D．若小球抛出的速度小于，可知小球均落在斜面上，根据平抛运动推论可知，落到斜面上时速度偏角均满足 即落到斜面时速度偏角均相同，故D正确。 故选AD。 【变式9-2】（2024高一·全国·专题练习）水平放置的圆柱体正上方有一点P，将一个小球从P点以沿垂直于圆柱体轴线方向水平抛出，其飞行一段时间后，恰由Q点沿切线飞过，测得圆心O与Q的连线与OP的夹角为θ，试求： (1)小球从P运动到Q的时间t； (2)小球的初始位置P点到圆柱体最高点的高度H。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设小球在Q点时的速度为，在Q点竖直方向的速度为，如图所示 根据几何关系可得到Q点速度同水平方向夹角为，则，可得 小球做平抛运动，竖直方向为自由落体运动 解得小球从P运动到Q的时间 （2）小球做平抛运动，在水平方向匀速运动 由几何关系可得 竖直方向位移 小球距圆柱体的高度 联立可得 一、单选题 1．（23-24高一下·陕西渭南·期中）从地面上方某点，将一小球以5m/s的初速度沿水平方向抛出，小球经过1s落地，不计空气阻力，取，则可求出（　　） A．小球落地时的速度大小是10m/s B．小球从抛出点到落地点的位移大小是5m C．小球抛出时离地面的高度是5m D．小球落地时速度方向与水平地面的夹角为30° 【答案】C 【详解】A．小球落地时的竖直速度 落地速度大小是，选项A错误； C．小球抛出时离地面的高度是，选项C正确； B．小球从抛出点到落地点的水平位移 位移大小是，选项B错误； D．小球落地时速度方向与水平地面的夹角为，则θ≠30° 选项D错误。 故选C。 2．（23-24高一下·全国·）如图所示，从某高度以5m/s的水平速度抛出一小球，小球经过0.5s到达地面，此时小球的速度与水平方向的夹角为，不计空气阻力，取重力加速度大小。下列说法正确的是（　　） A．小球距地面的高度为5m B．小球落地时的速度大小为 C．小球落地时的位移与水平方向的夹角的正切值为 D．若小球抛出时的速度增大，则增大 【答案】C 【详解】A．小球做平抛运动，竖直方向为自由落体运动，根据，代入数据解得 故A项错误； BC．小球落地时的竖直方向速度 则小球落地时的速度大小 小球落地时的速度分解如图所示 可知 由于做平抛运动的物体其速度偏转角的正切值为位移偏转角的正切值的二倍，即小球落地时的位移与水平方向的夹角的正切值为，故B错误，C正确； D．若水平速度增大，由之前的分析有 t不变，则变小，变小，故D项错误。 故选C。 3．（23-24高一下·甘肃·期末）运动员在一半球形的土坑上进行投掷练习，如图所示，半球形土坑的半径为r，圆心为O，A、B是水平直径，人站在土坑的边缘A点，将一个质量为m的小球（视为质点）从C点水平向右抛出，最终小球落到半圆弧上的D点。已知C、D两点的连线正好垂直圆弧在D点的切线，且CD与水平方向的夹角为，重力加速度大小为g，忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球在D点的速度方向正好垂直圆弧在D点的切线 B．C、D两点的连线不一定经过圆心O C．小球在空中运动的时间为 D．小球在C点抛出时的速度大小为 【答案】D 【详解】AB．根据平抛运动规律可知，速度夹角的正切值等于位移夹角的正切值的两倍，已知C、D两点的连线正好垂直圆弧在D点的切线，故CD过圆心，根据几何关系可知小球在D点的速度方向不与圆弧在D点的切线垂直，故AB错误； C．根据几何关系可知CD的竖直高度为 则根据解得 故C错误； D．CD的水平位移为，解得 故D正确。 故选D。 4．（24-25高三上·北京顺义·阶段练习）如图所示，以的水平速度抛出的物体，飞行一段时间后垂直撞在倾角为的斜面上，g取，以下结论正确的是（　　） A．物体的飞行时间是 B．物体水平方向运动位移为20m C．物体撞击斜面时的速度大小为 D．物体下降的距离是10m 【答案】C 【详解】A．平抛物体的瞬时速度垂直撞击斜面，将其分解成两分速度，如图所示 可得 解得物体的飞行时间是，故A错误； B．物体水平方向运动位移为，故B错误； C．物体撞击斜面时的速度大小为，故C正确； D．物体下降的距离是故D错误。 故选C。 5．（23-24高一下·安徽·阶段练习）质量为m的小球以初速度竖直上抛的同时，受到与重力相等的水平恒力作用，重力加速度为g，不计空气阻力，关于小球的运动，下列说法正确的是（　　） A．做匀变速直线运动 B．做变加速曲线运动 C．在最高点速度大小为 D．从抛出点到最高点的位移大小为 【答案】C 【详解】AB．小球以初速度竖直上抛后，受到重力以及水平恒力作用，其合力为恒力，且方向与速度方向不在一条直线上，故小球做匀变速曲线运动，AB错误； C．小球竖直方向做加速度为g的匀减速运动，则到达最高点的时间 沿水平方向做匀加速运动，加速度为 则到最高点时速度的大小为 C正确； D．从抛出点到最高点的竖直位移 水平位移 所以从抛出点到最高点的位移大小为 D错误。 故选C。 6．（24-25高三上·四川雅安·阶段练习）某中学举办套“圈圈”活动。如图，小明同学站在标志线后以的速度水平抛出一塑料圈，正好套中静放在正前方水平地面上的饮料罐A。抛出时，塑料圈位于标志线的正上方处，塑料圈、饮料罐均可视为质点，不计空气阻力，重力加速度大小g取，sin37°取，cos37°取，下列说法正确的是（　　） A．塑料圈在空中运动的时间为 B．饮料罐A与标志线的距离为 C．塑料圈落地前瞬间，速度大小为7m/s D．保持塑料圈抛出位置不变，若要套中饮料罐B，水平抛出速度应变为5m/s 【答案】D 【详解】A．塑料圈在空中运动的时间为，选项A错误； B．饮料罐A与标志线的距离为，选项B错误； C．塑料圈落地前瞬间，速度大小为选项C错误； D．保持塑料圈抛出位置不变，若要套中饮料罐B，水平抛出速度应变为 选项D正确。 故选D。 7．（2024·广东湛江·模拟预测）如图，某同学从A点水平抛出一弹性小球（可视为质点），小球在B点与竖直墙面发生碰撞后反弹，碰撞时间忽略不计，若弹性小球和墙面碰撞后，水平方向速度大小减小为原来的一半，竖直方向速度保持不变，经过一段时间，小球落在水平地面上。已知A点离地高为H、与墙距离为s，B点离地高为，不计空气阻力，则小球落地时距墙面的距离为（　　） A． B．s C． D．2s 【答案】A 【详解】设小球从抛出到碰墙的时间为，从碰墙到落地时间为，根据运动的独立性，小球竖直方向上有 ，，解得 水平方向上，碰墙前有 碰墙后有 故选A。 8．（23-24高二下·河北邯郸·期末）操场上两同学练习排球，在空中同一水平直线上A、B两点处分别把相同的1、2两球同时击出，球1做平抛运动，球2做斜抛运动，两球的运动轨迹在同一竖直平面内，如图所示，轨迹交于P点，P是A、B连线的中垂线上一点，球1的初速度为，球2的初速度为，不考虑排球的旋转，不计空气阻力，两球从抛出至到达P点的过程中（    ） A．两球在P点相遇 B．球2在最高点的速度等于 C．球1速度变化得比球2更快 D．球1速度的变化量小于球2速度的变化量 【答案】D 【详解】A．两球在竖直方向上到P点的高度一样设为h。球1做平抛运动，竖直方向上自由落体高度为h。而球2竖直方向上，先上抛后自由下落，自由下落的高度大于h，根据格式可知，光球2下落的时间都大于球1运动的时间，所以两球在P点不相遇。故A错误； B．球2在最高点的速度为水平方向上匀速的速度。由于两球水平位移一样，球2运动时间长，根据公式可知，球2水平方向上速度小，即球2在最高点的速度小于。故B错误； C．由于两球的加速度均为重力加速度，所以单位时间内球1速度的变化等于球2速度的变化，故C错误； D．球2运动时间长，根据公式可知，球1速度的变化量小于球2速度的变化量，故D正确。 故选D。 9．（23-24高一下·河南郑州·期中）甲、乙两同学在相对的两个等高平台上做高空抛物游戏，两平台到地面的距离为h，两平台间距离为L，两球分别从平台上的A、B两点同时水平抛出，两小球恰好在地面相遇，如果使两球的速度都变为原来的三倍，则两球相遇处距地面的高度是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，设球的初速度为，球的初速度为。竖直方向由 可得，小球在空中的飞行时间为 水平方向有 在两球初速度均变为原来三倍后，设两球相遇时的时间为，则水平方向有 可得： 则小球的下降高度为 则两球将在离地高处相遇。 故选C。 10．（23-24高一下·甘肃天水·期末）如图所示，在一次空地演习中，离地H高处的飞机以水平速度v1发射一颗炮弹欲轰炸地面目标P，反应灵敏的地面拦截系统同时以速度v2竖直向上发射炮弹拦截。设拦截系统与飞机的水平距离为s，不计空气阻力。若拦截成功，则v1，v2的关系应满足（　　） A．v1=v2 B． C． D． 【答案】D 【详解】水平炮弹做平抛运动，则有， 竖直炮弹做竖直上抛运动，则有，解得 故选D。 11．（23-24高一下·浙江杭州·期中）如图所示的光滑固定斜面ABCD，其倾角可调节．当倾角为时，一物块（可视为质点）沿斜面左上方顶点A以初速度水平射入，恰好沿底端D点离开斜面；改变倾角为时，同样将该物块沿斜面左上方顶点A以初速度水平射入，发现物块沿CD边中点离开斜面，已知重力加速度为g，下列说法正确的是（    ） A．物块离开斜面时，前后两次下落的时间之比为2：1 B．物块离开斜面时，前后两次下落的高度之比为4：1 C．物块前后两次运动的加速度的大小之比为1：1 D．物块从入射到飞离斜面，前后两次速度变化量的大小之比为1：2 【答案】B 【详解】AB．物块在斜面上做类平抛运动，沿斜面的方向做匀加速运动 沿水平方向做匀速运动 根据牛顿第二定律有联立解得 根据题意可知 物块离开斜面时，前后两次下落的高度之比为 故A错误，B正确； C．物块前后两次运动的加速度的大小之比为    故C错误； D．速度变化量的大小为 物块从入射到飞离斜面，前后两次速度变化量的大小之比为 故D错误。 故选B。 二、多选题 12．（24-25高三上·广东茂名·期中）半球形碗的竖直截面图如图所示，为圆心，为半球形碗的最低点，AOB为水平直径。两个小球甲和乙分别从A点、B点先后以不同的初速度、沿水平方向相向抛出，小球甲恰好落到碗上的点，。两小球均可视为质点，不考虑撞到碗后的反弹情况，忽略空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．甲可能垂直撞击到碗上 B．两小球不可能在空中相遇 C．乙落到碗上的位置在点右侧 D．甲刚要撞到碗时的竖直分速度比乙刚要撞到碗时的竖直分速度小 【答案】BC 【详解】A．甲做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，小球落在C点的速度斜向右下方，不可能沿半径方向，即甲不可能垂直撞击到碗上，故A错误； BC．令甲落在C点经历时间为，则有 此时甲的水平分位移为 假设乙平抛运动时间也为，则乙水平分位移为 表明甲在圆弧上C点右侧落在圆弧上，即两小球不可能在空中相遇，乙落到碗上的位置在点右侧，故BC正确； D．竖直方向上有 结合上述可知，甲落在圆弧上的时间大于乙落在圆弧上的时间，即甲刚要撞到碗时的竖直分速度比乙刚要撞到碗时的竖直分速度大，故D错误。 故选BC。 13．（23-24高一下·云南曲靖·阶段练习）在乌克兰战争中，一架俄罗斯战斗机水平匀速飞行，战斗机搭载着多枚航空炸弹，飞机每隔一秒有一枚炸弹落下，当第5枚炸弹刚离开飞机时，战斗机和炸弹的在空中的位置情况下列说法正确的是（空气阻力可忽略）（　　） A．从战斗机上看炸弹做匀速直线运动 B．从地面上看炸弹的运动轨迹是一条抛物线 C．相邻炸弹之间的竖直位移之比为1：3：5：7：9 D．炸弹在相等时间内的速度变化量不相等 【答案】BC 【详解】A．炸弹与飞机水平方向的速度相同，则从战斗机上看炸弹水平方向相对静止，竖直方向做自由落体运动，即做匀变速直线运动，选项A错误； B．从地面上看炸弹做平抛运动，则运动轨迹是一条抛物线，选项B正确； C．因竖直方向炸弹做自由落体运动，初速度为零，根据连续相等时间的位移之比，可知相邻炸弹之间的竖直位移之比为1：3：5：7：9，选项C正确； D．根据可知，炸弹在相等时间内的速度变化量相等，选项D错误。 故选BC。 14．（23-24高一下·四川·期末）如图，在摩托车大赛中，一人骑摩托车（可视为质点）在水平路面上行驶，要从A处越过宽的壕沟，壕沟对面的水平路面比A处低。重力加速度大小取，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．摩托车在空中飞行的时间为 B．摩托车飞越壕沟的初速度最小值为 C．摩托车以最小速度落地时，速度方向与水平路面间的夹角的正切值为 D．摩托车飞越壕沟的速度改变量大小为 【答案】AB 【详解】A．根据，解得，故A正确； B．根据，解得 即摩托车飞越壕沟的初速度最小值为为，故B正确； C．结合上述有，故C错误； D．速度的改变量，解得，故D错误。 故选AB。 三、实验题 15．（24-25高一上·四川内江·阶段练习）用如图1所示装置研究平抛运动。将白纸和复写纸对齐重叠并固定在竖直的硬板上。钢球沿斜槽轨道PQ滑下后从Q点飞出，落在水平挡板MN上。由于挡板靠近硬板一侧较低，钢球落在挡板上时，钢球侧面会在白纸上挤压出一个痕迹点。移动挡板，重新释放钢球，如此重复，白纸上将留下一系列痕迹点。 (1)下列实验条件必须满足的有________。 A．斜槽轨道光滑 B．斜槽轨道末段水平 C．挡板高度等间距变化 D．每次从斜槽上相同的位置无初速度释放钢球 (2)为定量研究，建立以水平方向为x轴、竖直方向为y轴的坐标系。 a．取平抛运动的起始点为坐标原点，将钢球静置于Q点，钢球的球心对应白纸上的位置即为原点；在确定y轴时y轴与重锤线平行。 b．若遗漏记录平抛轨迹的起始点，也可按下述方法处理数据：如图2所示，在轨迹上取A、B、C三点，AB和BC的水平间距相等且均为x，测得AB和BC的竖直间距分别是y1和y2，则 （选填“大于”、“等于”或者“小于”）。可求得钢球平抛的初速度大小为 （已知当地重力加速度为g，结果用上述字母表示）。 (3)为了得到平抛物体的运动轨迹，同学们还提出了以下三种方案，其中可行的是_______。 A．从细管水平喷出稳定的细水柱，拍摄照片，即可得到平抛运动轨迹 B．用频闪照相在同一底片上记录平抛小球在不同时刻的位置，平滑连接各位置，即可得到平抛运动轨迹 C．将铅笔垂直于竖直的白纸板放置，笔尖紧靠白纸板，铅笔以一定初速度水平抛出，将会在白纸上留下笔尖的平抛运动轨迹 (4)伽利略曾研究过平抛运动，他推断：从同一炮台水平发射的炮弹，如果不受空气阻力，不论它们能射多远，在空中飞行的时间都一样。这实际上揭示了平抛物体________。 A．在水平方向上做匀速直线运动 B．在竖直方向上做自由落体运动 【答案】(1)BD (2) 大于 (3)AB (4)B 【详解】（1）本实验中要保证小球飞出斜槽末端时的速度为水平，即小球做平抛运动，且每次飞出时的速度应相同，所以只要每次将小球从斜槽上同一位置由静止释放即可。 故选BD。 （2）[1]由初速度为零的匀加速直线运动规律即在相等时间间隔内所通过的位移之比为1∶3∶5∶7∶....可知，由于A点不是抛出点，所以； [2]设AB，BC间所用的时间为T，竖直方向有，水平方向有 联立解得 （3）A．细管A始终在水面之下，B就会喷出稳定的细水柱，故可行，A正确； B．用频闪照相在同一底片上记录小球不同时刻的位置即平抛运动的轨迹上的点，平滑连接在一起即为平抛运动轨迹，所以此方案可行，B正确； C．将铅笔垂直于竖直的白板放置，以一定初速度水平抛出，笔尖与白纸间有摩擦阻力的作用，所以铅笔作的不是平抛运动，故此方案不可行，C错误。 故选AB。 （4）由平抛运动竖直方向运动可知 解得运动时间 所以只要高度相同，时间相同，说明平抛运动在竖直方向上做自由落体运动。 故选B。 四、解答题 16．（24-25高三上·山西·阶段练习）如图1为一个网球场的示意图，一个网球发球机固定在底角处，可以将网球沿平行于地面的各个方向发出，发球点距地面高为，球网高。图2为对应的俯视图，其中，。按照规则，网球发出后不触网且落在对面阴影区域（包含虚线）内为有效发球。图中虚线为球场的等分线。（忽略一切阻力重力加速度） (1)发球机有效发球时发出网球的最大速率？ (2)发球机有效发球时发出网球的最小速率？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）速度最大时，网球的水平位移 飞行时间，最大速度 （2）当发球机有效发球且发出网球的速率最小时，球应擦网恰好到达有效区域的边缘，如图所示网球恰不触网 则有 解得 网球在水平方向上做匀速直线运动，即 因与为相似三角形，则有 因、，可得 则 方程联立，发球机有效发球时发出网球的最小速率为 17．（22-23高一下·四川成都·阶段练习）如图所示，某同学打水漂，从离水面处以初速度水平掷出一枚石块。若石块每次与水面接触速率损失50%，弹跳速度与水面的夹角都是，当速度小于就会落水。已知，，不计空气阻力，假设石块始终在同一竖直面内运动，则： (1)石块第一次与水面接触时的速度为多少？ (2)石块在水面上一共出现几个接触点？ (3)落水处离人掷出点的水平距离为多少？ 【答案】(1)10m/s (2)4 (3) 【详解】（1）从抛出点到第一次接触水面，根据平抛运动则有，得 石块第一次与水面接触时的速度为 （2）若石块每次与水面接触速率损失50%，当速度小于1m/s就会落水，即 可求得当时，满足条件。由此可知，小石块第四次接触后将落入水中，因此一共出现4个接触点。 （3）抛出点到第一个入水点的水平距离为，，得 从第一次接触水面到第二次接触水面所用时间为， 则第一个接触点与第二个接触点之间距离为 联立，代入数据可得 从第二次接触水面到第三次接触水面所用时间为 ， 第二个接触点与第三个接触点之间距离为，可求得 同理可得第三个接触点与第四个接触点之间距离为 则落水点离掷出点得水平距离 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.4 抛体运动的规律 【目标导航】 2 【思维导图】 2 【教材详解】 2 知识点1：平抛运动的规律 2 题型01：平抛运动速度的计算 3 知识点2：平抛运动的位移与轨迹 4 题型02：平抛运动位移的计算 5 题型03：平抛运动的变式 6 题型04：平抛运动的追击相遇问题 7 知识点3：平抛运动的连个推论 8 题型05：速度反向延迟线的特点 9 题型06：速度偏转角与位移偏转角的特点 9 知识点4：一般的抛体运动 10 题型07：斜抛运动 13 知识点5：类平抛运动 14 题型08：类平抛运动 15 题型09：曲面结合的平抛运动 15 【课后巩固】 17 课堂目标 关键词 1. 会用运动的合成与分解的方法分析平抛运动； 2. 理解平抛运动的规律,会计算平抛运动的速度及位移； 3. 学会应用平抛运动的知识解决和解释自然、生活和生产中的例子； 4. 能分析研究一般的抛体运动。 1. 平抛运动、轨迹方程 2. 射程、射高 3. 平抛运动推论 4. 斜抛运动、类平抛运动 知识点1：平抛运动的规律 平抛运动无法直接应用直线运动规律分析。“一分为二、化曲为直”是解决曲线问题的一个重要方法。以抛出点为原点，水平方向（初速度v0方向）为x轴，坚直向下为y轴，建立平面直角坐标系。 1. 水平分速度 物体做初速度为v0的平抛运动，由于所受重力的方向是竖直向下的，物体在水平方向的分速度保持不变，故整个运动过程中始终有。 2. 竖直分速度 平抛运动在竖直方向的加速度为重力加速度 g，则物体在竖直方向的分速度 3. t时刻的速度 如图所示，t时刻的速度与此时刻的两个分速度、，的关系为，可知平抛运动的速度越来越大。速度的方向与水平方向的夹角0满足，随着物体的下落，θ角越来越大，但总是小于 90°。即物体运动的方向越来越接近竖直向下的方向，但不会竖直向下。 4. 速度的变化特点 平抛运动的水平分速度恒定，竖直分速度按的规律变化，则任意相等的时间间隔内速度的变化都相同，且，方向竖直向下，如图所示，将图甲v中各速度矢量的始端移到同一点就得到图乙所示情形。 题型01：平抛运动速度的计算 【典例1】（2025高三·全国·专题练习）将小球从如图所示的阶梯状平台上以一定的水平初速度水平抛出，所有台阶的高度和宽度均为1.0m，取，要使小球抛出后落到第三级台阶上，则可能为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一下·全国·）如图所示，窗子上、下沿间的高度，墙的厚度，某人在离墙壁距离、距窗子上沿处的P点，将可视为质点的小物件以速度v水平抛出，小物件直接穿过窗口并落在水平地面上，取，不计空气阻力，则v的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高三上·江苏徐州·阶段练习）如图所示，一水平长方形区域ABCD、长L1 = 4L，宽L2 = 3L，EF为区域的中线，EF处的网高h1 = 0.5L。在A点正上方的P点可以沿水平方向发射速度不同的小球，P点高h2 = 2.5L。已知重力加速度大小为g，不计空气阻力。求： (1)小球从P点到第一落点的时间t； (2)小球的第一落点在BCEF区域内的最小发射速度v1； (3)小球的第一落点在BCEF区域内的最大发射速度v2。 知识点2：平抛运动的位移与轨迹 平抛运动的水平位移：……① 竖直方向只受重力且初速度为零，做自由落体运动，……② 联立①和②得，，由数学知识可知，平抛运动的轨迹是一条抛物线。 【点拨】 （1）平抛运动在空中的飞行时间 由竖直方向上的自由落体运动，可以得到时间 可见，平抛运动在空中的飞行时间由抛出点到落地点的竖直距离和该地的重力加速度决定，与抛出时的初速度大小无关。 （2）水平射程 由平抛运动的轨迹方程，可以写出其水平射程 可见，在g一定的情况下，平抛运动的射程与初速度成正比，与抛出点高度的平方根成正比，即抛出的速度越大、抛出点到落地点的高度越大时，射程也越大。 （3）落地速度大小：，由此可见，其落地的速度有初速度和高度h有关。 题型02：平抛运动位移的计算 【典例2】（江苏省淮安市高中校协作体2024-2025学年高二上学期期中联考（合格考）物理试卷）2021年3月1日起，最新刑法修正案生效，“高空抛物”正式入刑。2月28日，我市审理了自2021年高空抛物罪入刑以来的第一起高空抛物案件。假设将一个质量为的小球从距离地面的高度以的初速度沿水平方向抛出，空气阻力不计。则关于小球的情况下列说法正确的是（　　） A．小球空中运动时间为5s B．小球落地时速度方向竖直向下 C．小球在空中运动是匀变速运动 D．小球落地时的水平位移为 【变式2-1】（24-25高三上·山东济宁·期中）小球从台阶上以一定的初速度水平抛出，0.3 s后恰好落到第3级台阶的边缘，已知每级台阶的宽度和高度均为L = 15 cm，则小球抛出时的高度h为（　　） A．h = 15 cm B．h = 25 cm C．h = 35 cm D．h = 45 cm 【变式2-2】（24-25高二上·全国·阶段练习）“套圈”是夜市中非常受欢迎的游戏。如图所示，某次游戏中父子俩把圈在同一竖直线上同时水平抛出，恰好套中同一玩具。若圈离手后的运动可视为平抛运动，下列说法正确的是（　　） A．父亲的圈先落入碗中 B．两人掷出的圈同时落入碗中 C．父亲掷出圈的速度大于儿子掷出圈的速度 D．儿子掷出圈的速度大于父亲掷出圈的速度 题型03：平抛运动的变式 【典例3】（23-24高一下·广东珠海·阶段练习）消防车的供水系统主要由水泵、输水管道和水枪组成，如图所示，某次消防演练时消防水枪离地高度H=3m，建筑物上的着火点A离地高度h=1.2m，水从水枪枪口中水平射出后，恰好击中着火点A，此时水的速度与水平方向的夹角θ=37°。不计空气阻力，取重力加速度大小g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求： (1)水从水枪枪口运动到着火点A的时间t； (2)水落到着火点A前瞬间竖直方向速度大小vy； (3)水枪枪口与着火点A的水平距离x。 【变式3-1】（24-25高一下·全国·单元测试）如图所示，乒乓球的发球器安装在水平桌面上，竖直转轴的端距桌面的高度为h，发射器部分长度也为h。打开开关后，可将乒乓球从A点以初速度水平发射出去，其中，g为重力加速度。设发射出的所有乒乓球都能落到桌面上，乒乓球自身尺寸及空气阻力不计。若使该发球器绕转轴在90°角的范围内来回缓慢水平转动，持续发射足够长时间后，求乒乓球第一次与桌面相碰区域的面积S。 【变式3-2】（2024·安徽·模拟预测）如图所示，某同学将一可视为质点的小球从P点对着竖直墙壁以一定的水平初速度抛出，球与墙壁在A点发生碰撞后反弹，落在水平地面上的B点，B点刚好在P点正下方。已知A点离水平地面的高度为d，B点到竖直墙壁的距离也为d，球与墙壁碰撞前后竖直分速度不变，水平分速度大小相等、方向相反，重力加速度大小为g，不计空气阻力。则小球被抛出时的初速度大小为（　　） A． B． C． D． 题型04：平抛运动的追击相遇问题 【典例4】（2025·广西来宾·模拟预测）同一水平线上相距为L的两位置沿相同方向水平抛出两小球甲和乙，两球在空中相遇，运动轨迹如图所示。不计空气阻力，则下列说法正确的是（   ） A．甲球要先抛出才能相遇 B．在任意相同时间内两球速度的变化量相同 C．两球相遇时乙球速度更大 D．两球相遇时甲球加速度更大 【变式4-1】（多选）（24-25高三上·山东潍坊·阶段练习）如图所示，距地面足够高的A、B两点高度差为h，水平距离为l。从A、B两点同时水平抛出两小球，初速度大小均为，方向相反，两小球轨迹在同一竖直平面内。两小球经时间t相距最近，最近距离为x，不计空气阻力。则（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高三上·安徽·期中）为了祖国的统一，为了维护世界的和平，2024年10月14日中国人民解放军东部战区组织陆军、海军、空军、火箭军等兵力开展“联合利剑—2024B”一次大规模的围台军演。如图所示，某科目军事演习，红军“轰—20”轰炸机在离海面高H=500m高处水平飞行，发现远处海面有一艘静止的蓝军模型军舰，飞机为了保证安全，需要在距离军舰水平距离s=1000m时投下炸弹，若军舰发现飞机投下炸弹时立即以加速度a=2m/s2开始做匀加速直线运动，与飞机运动方向相同，结果炸弹仍然命中目标，不计军舰大小，不计空气阻力（g=10m/s2），求： (1)炸弹从投出至命中目标经过的时间； (2)飞机释放炸弹时飞行速度的大小v； (3)若军舰不动，同时竖直向上发炮拦截炸弹，发射炮弹的速度大小v0应为多少才能成功拦截？ 知识点3：平抛运动的连个推论 推论一：做平抛（或类平抛）运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A点和B点所示． 推导过程：……① 将速度v方向延长，速度偏向角的正切值还可以表示为：……② 联立求解： 推论二：做平抛（或类平抛）运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α，如图所示。 推导过程：速度偏向角的正切值：……① 位移偏向角的正切值：……② 比较得： 题型05：速度反向延迟线的特点 【典例5】（22-23高一下·吉林延边·阶段练习）如图所示，某人从同一位置O以不同的水平速度投出三枚飞镖A、B、C，最后都插在竖直墙壁上，它们与墙面的夹角分别为60°、45°、30°，图中飞镖的方向可认为是击中墙面时的速度方向，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．三只飞镖做平抛运动的初速度一定满足 B．三只飞镖击中墙面的速度满足 C．三只飞镖击中墙面的速度满足 D．插在墙上的三只飞镖的反向延长线不会交于同一点 【变式5-1】（23-24高一下·福建莆田·阶段练习）如图，某人从点对准正前方竖直靶上的点，分别将两支飞镖水平掷出，飞镖打在靶上、两点，且与竖直方向的夹角分别为与，忽略空气阻力，则（　　） A．两飞镖击中靶的速度大小相同 B．ab间距为ac间距的一半 C．两飞镖在空中运动时间相同 D．两飞镖离开手时速度大小相同 【变式5-2】（23-24高三下·海南省直辖县级单位·开学考试）某实验小学运动会上推出一种亲子投掷游戏，大人和小孩站在同一位置，沿水平方向各投出一支箭，箭均插入地面上规定的点则获胜。某次比赛中，大人投出的甲箭，箭尖插入地面上的点时与水平地面的夹角为；小孩投出的乙箭，箭尖插入地面上的点时与水平地面的夹角为，如图所示。忽略空气阻力、箭长等因素的影响，已知，，下列说法正确的是（    ） A．甲、乙两箭投出时的初速度大小之比为 B．甲、乙两箭投出点到地面的高度之比为 C．甲、乙两箭在空中运动的时间之比为 D．甲、乙两箭落地前瞬间的速度大小之比为 题型06：速度偏转角与位移偏转角的特点 【典例6】（24-25高三上·山西太原·期中）跳台滑雪运动中，运动员从跳台处沿水平方向飞出，在斜坡处着陆，着陆瞬间速度方向竖直向下。、间的距离为75m，斜坡与水平方向的夹角为，重力加速度取。下列说法正确的是（    ） A．运动员在处的速度大小一定为 B．运动员在空中飞行的时间一定为3s C．运动员在空中离坡面的最大距离一定为9m D．运动员以不同速度水平飞出，到达斜面的速度可能相同 【变式6-1】（24-25高三上·辽宁葫芦岛·阶段练习）国家跳台滑雪中心是中国首座跳台滑雪场馆，主体建筑灵感来自于中国传统饰物“如意”，因此被形象地称作“雪如意”。如图所示，现有甲、乙两名可视为质点的运动员从跳台a处先后沿水平方向向左飞出，初速度大小之比为2：3，不计空气阻力，则甲、乙从飞出至落到斜坡（可视为斜面）上的过程中，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙飞行时间之比为3：2 B．甲、乙飞行的水平位移之比为2：3 C．甲、乙在空中竖直方向下落的距离之比为4：9 D．甲、乙落到坡面上的瞬时速度方向与水平方向的夹角之比为2：3 【变式6-2】（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动（小球可视为质点），飞行过程中恰好与半圆轨道相切于点，为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为，与水平方向夹角为，重力加速度为。求： (1)小球抛出时的初速度大小与小球从A点正上方运动到点的时间； (2)小球抛出时距离A点的竖直高度。 知识点4：一般的抛体运动 1. 斜跑运动 物体以初速度沿斜上方或斜下方抛出的运动叫作斜抛运动。 斜上抛运动 斜下抛运动 2. 斜抛运动的性质 （1）水平方向：不受外力，以为初速度做匀速直线运动 水平位移； （2）竖直方向：竖直方向只受重力，初速度为，做竖直上抛运动，即匀减速直线运动 任意时刻的速度和位移分别是 （3） 加速度a=g的匀变速曲线运动 3. 斜抛运动的特点 （1） 速度特点 斜抛运动的加速度为定值，速度变化量，的方向竖直向下 （2） 对称性特点（斜上抛） ①速率对称：轨迹上关于过轨迹最高点的竖直线对称的两点速度大小相等，水平分速度相同，竖直方向的分速度等大反向 ②轨迹对称：其运动轨迹关于过最高点的竖直线对称。 ③时间对称：由于其轨迹是关于最高点的竖直线对称的曲线过某一点的水平线与最高点之间，上升时间等于下降时间，这是由竖直上抛运动的对称性决定的。 4. 斜上抛运动中的几个重要关系式 ，是一条抛物线如图所示： 3、对斜抛运动的研究 （1）斜抛物体的飞行时间： 当物体落地时，由 知，飞行时间 （2）斜抛物体的射程： 由轨迹方程 令y=0得落回抛出高度时的水平射程是 两条结论： ①当抛射角时射程最远， ②初速度相同时，两个互余的抛射角具有相同的射程，例如300和600的两个抛射角在相同初速度的情况下射程是相等的。 （3）斜上抛运动的射高： 斜上抛的物体达到最大高度时=0，此时 代入即得到抛体所能达到的最大高度 可以看出，当时，射高最大 拓展：斜上抛运动运动的分析技巧 （1）斜上抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动。 （2）运动时间及射高由竖直分速度决定，射程由水平分速度和抛射角决定。 （3）由抛出点到最高点的过程可逆向看作平抛运动来分析。 题型07：斜抛运动 【典例7】（多选）（24-25高三上·河南驻马店·期中）军事演练期间，某战士为炸毁敌方的工事，从距水平地面高处的点斜向上抛出一手雷（视为质点），如图所示，手雷的初速度方向与水平方向的夹角，手雷落点为水平地面上的点，、两点间的水平距离，取重力加速度大小，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．手雷在空中运动的时间为 B．手雷在空中运动的时间为 C．手雷的初速度大小为 D．手雷的初速度大小为 【变式7-1】（23-24高一下·江西·期末）篮球运动中，“快攻”是一种很具有观赏性的进攻方式。发球者从底线将篮球大力发出，接球者迅速跑到前场接球，攻框得分。篮球的运动可视为忽略空气阻力的抛体运动，某时刻，接球者从距离发球者12.6m的位置向对方场地匀速奔跑，与此同时，发球者将球沿斜向上的方向抛出，速度与水平方向夹角为37°，发球与接球时篮球离地高度相同，重力加速度g取10m/s2。为使接球者奔跑9m后接到篮球，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则下列说法正确的是（　　） A．发球者抛出篮球的速度为16m/s B．篮球在空中运动的时间为1.6s C．接球者奔跑的速度为5m/s D．篮球在空中运动的加速度先减小后增大 【变式7-2】（多选）（23-24高一下·安徽·阶段练习）如图为某炮兵部队在训练中以大小相同的初速度、不同的仰角从水平地面O点发射炮弹，不考虑空气阻力。关于炮弹在空中的运动，下列说法正确的是（　　） A．仰角越大，炮弹的加速度越大 B．仰角不同，也有可能落在地面同一位置 C．仰角时，炮弹的水平射程最远 D．当炮弹的水平射程最远时，炮弹在空中的时间最长 知识点5：类平抛运动 1. 类平抛运动的受力特点 物体所受合力为恒力，且合力方向与初速度方向垂直 2. 类平抛运动的运动特点 在初速度方向做匀速直线运动，在所受合力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度 3类平抛运动的分析方法 将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和重直于初速度方向（即沿合力方向）的匀加速直线运动，这两个分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。 题型08：类平抛运动 【典例8】（23-24高一下·辽宁沈阳·期中）如图所示，一物体在某液体中运动时只受到重力mg和恒定的浮力F的作用，且。如果物体从M点以水平初速度开始运动，最后落在N点，MN间的竖直高度为h，其中g为重力加速度，则下列说法正确的是（    ） A．物体从M运动到N的轨迹不是抛物线 B．减小水平初速度，物体运动时间将变长 C．物体从M运动到N的时间为 D．M与N之间的水平距离为 【变式8-1】（多选）（24-25高三上·河北邯郸·期中）如图所示，一斜面放在水平地面上，A、B两个质点以相同的水平速度抛出，A在竖直平面内运动，落地点为，B沿光滑斜面运动，落地点为，不计阻力，在落地之前运动的全过程中，下列关系的判断正确的是（　　） A．A与B的加速度大小之比为 B．A与B的运动时间之比为 C．A与B的在x轴方向位移大小之比为 D．A与B的水平位移大小之比为 【变式8-2】（23-24高一下·广东深圳·期末）风洞，被称为飞行器的摇篮，我国的风洞技术世界领先。如图所示，在一次实验中，风洞竖直放置且足够长，质量为m的小球从A点以速度沿直径水平进入风洞。小球在风洞中运动时受到的风力F恒定，方向竖直向上，风力大小F可在0~3mg间调节。小球可视作质点，碰壁后不反弹，重力加速度g取，风洞横截面直径。 （1）当时，求小球撞击右壁的速度大小和方向； （2）保持不变，调节F的大小，求小球撞击右壁的区域长度。 题型09：曲面结合的平抛运动 【典例9】（多选）（23-24高一下·四川乐山·期中）如图所示，同一竖直平面内有四分之一圆环BC和倾角为的斜面AC，A、B两点与圆环BC的圆心O等高。现将甲、乙小球分别从A、B两点以初速度、沿水平方向同时抛出，两球恰好在C点相碰（不计空气阻力），已知，，下列说法正确的是（　　） A．初速度、大小之比为3∶4 B．若大小变为原来的一半，则甲球恰能落在斜面的中点D C．若大小变为原来的两倍，让两球仍在OC竖直面相遇，则应增大到原来2倍 D．若要甲球垂直击中圆环BC，则应变为原来的倍 【变式9-1】（多选）（23-24高一下·广西南宁·期中）如图所示，四分之一圆弧面的半径R与斜面的竖直高度相等，斜面的倾角为，圆弧面的圆心为图中O点，在斜面的顶端A点将多个小球以不同的水平速度抛出，设小球碰到接触面后均不再反弹，已知重力加速度为g，则以下说法正确的是（    ） A．小球有可能垂直打到圆弧面上 B．小球抛出的初速度越大，则运动时间越短 C．小球抛出的速度等于时，运动时间最长 D．若小球抛出的速度小于，则落到接触面时速度偏角均相同 【变式9-2】（2024高一·全国·专题练习）水平放置的圆柱体正上方有一点P，将一个小球从P点以沿垂直于圆柱体轴线方向水平抛出，其飞行一段时间后，恰由Q点沿切线飞过，测得圆心O与Q的连线与OP的夹角为θ，试求： (1)小球从P运动到Q的时间t； (2)小球的初始位置P点到圆柱体最高点的高度H。 一、单选题 1．（23-24高一下·陕西渭南·期中）从地面上方某点，将一小球以5m/s的初速度沿水平方向抛出，小球经过1s落地，不计空气阻力，取，则可求出（　　） A．小球落地时的速度大小是10m/s B．小球从抛出点到落地点的位移大小是5m C．小球抛出时离地面的高度是5m D．小球落地时速度方向与水平地面的夹角为30° 2．（23-24高一下·全国·）如图所示，从某高度以5m/s的水平速度抛出一小球，小球经过0.5s到达地面，此时小球的速度与水平方向的夹角为，不计空气阻力，取重力加速度大小。下列说法正确的是（　　） A．小球距地面的高度为5m B．小球落地时的速度大小为 C．小球落地时的位移与水平方向的夹角的正切值为 D．若小球抛出时的速度增大，则增大 3．（23-24高一下·甘肃·期末）运动员在一半球形的土坑上进行投掷练习，如图所示，半球形土坑的半径为r，圆心为O，A、B是水平直径，人站在土坑的边缘A点，将一个质量为m的小球（视为质点）从C点水平向右抛出，最终小球落到半圆弧上的D点。已知C、D两点的连线正好垂直圆弧在D点的切线，且CD与水平方向的夹角为，重力加速度大小为g，忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球在D点的速度方向正好垂直圆弧在D点的切线 B．C、D两点的连线不一定经过圆心O C．小球在空中运动的时间为 D．小球在C点抛出时的速度大小为 4．（24-25高三上·北京顺义·阶段练习）如图所示，以的水平速度抛出的物体，飞行一段时间后垂直撞在倾角为的斜面上，g取，以下结论正确的是（　　） A．物体的飞行时间是 B．物体水平方向运动位移为20m C．物体撞击斜面时的速度大小为 D．物体下降的距离是10m 5．（23-24高一下·安徽·阶段练习）质量为m的小球以初速度竖直上抛的同时，受到与重力相等的水平恒力作用，重力加速度为g，不计空气阻力，关于小球的运动，下列说法正确的是（　　） A．做匀变速直线运动 B．做变加速曲线运动 C．在最高点速度大小为 D．从抛出点到最高点的位移大小为 6．（24-25高三上·四川雅安·阶段练习）某中学举办套“圈圈”活动。如图，小明同学站在标志线后以的速度水平抛出一塑料圈，正好套中静放在正前方水平地面上的饮料罐A。抛出时，塑料圈位于标志线的正上方处，塑料圈、饮料罐均可视为质点，不计空气阻力，重力加速度大小g取，sin37°取，cos37°取，下列说法正确的是（　　） A．塑料圈在空中运动的时间为 B．饮料罐A与标志线的距离为 C．塑料圈落地前瞬间，速度大小为7m/s D．保持塑料圈抛出位置不变，若要套中饮料罐B，水平抛出速度应变为5m/s 7．（2024·广东湛江·模拟预测）如图，某同学从A点水平抛出一弹性小球（可视为质点），小球在B点与竖直墙面发生碰撞后反弹，碰撞时间忽略不计，若弹性小球和墙面碰撞后，水平方向速度大小减小为原来的一半，竖直方向速度保持不变，经过一段时间，小球落在水平地面上。已知A点离地高为H、与墙距离为s，B点离地高为，不计空气阻力，则小球落地时距墙面的距离为（　　） A． B．s C． D．2s 8．（23-24高二下·河北邯郸·期末）操场上两同学练习排球，在空中同一水平直线上A、B两点处分别把相同的1、2两球同时击出，球1做平抛运动，球2做斜抛运动，两球的运动轨迹在同一竖直平面内，如图所示，轨迹交于P点，P是A、B连线的中垂线上一点，球1的初速度为，球2的初速度为，不考虑排球的旋转，不计空气阻力，两球从抛出至到达P点的过程中（    ） A．两球在P点相遇 B．球2在最高点的速度等于 C．球1速度变化得比球2更快 D．球1速度的变化量小于球2速度的变化量 9．（23-24高一下·河南郑州·期中）甲、乙两同学在相对的两个等高平台上做高空抛物游戏，两平台到地面的距离为h，两平台间距离为L，两球分别从平台上的A、B两点同时水平抛出，两小球恰好在地面相遇，如果使两球的速度都变为原来的三倍，则两球相遇处距地面的高度是（　　） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·甘肃天水·期末）如图所示，在一次空地演习中，离地H高处的飞机以水平速度v1发射一颗炮弹欲轰炸地面目标P，反应灵敏的地面拦截系统同时以速度v2竖直向上发射炮弹拦截。设拦截系统与飞机的水平距离为s，不计空气阻力。若拦截成功，则v1，v2的关系应满足（　　） A．v1=v2 B． C． D． 11．（23-24高一下·浙江杭州·期中）如图所示的光滑固定斜面ABCD，其倾角可调节．当倾角为时，一物块（可视为质点）沿斜面左上方顶点A以初速度水平射入，恰好沿底端D点离开斜面；改变倾角为时，同样将该物块沿斜面左上方顶点A以初速度水平射入，发现物块沿CD边中点离开斜面，已知重力加速度为g，下列说法正确的是（    ） A．物块离开斜面时，前后两次下落的时间之比为2：1 B．物块离开斜面时，前后两次下落的高度之比为4：1 C．物块前后两次运动的加速度的大小之比为1：1 D．物块从入射到飞离斜面，前后两次速度变化量的大小之比为1：2 二、多选题 12．（24-25高三上·广东茂名·期中）半球形碗的竖直截面图如图所示，为圆心，为半球形碗的最低点，AOB为水平直径。两个小球甲和乙分别从A点、B点先后以不同的初速度、沿水平方向相向抛出，小球甲恰好落到碗上的点，。两小球均可视为质点，不考虑撞到碗后的反弹情况，忽略空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．甲可能垂直撞击到碗上 B．两小球不可能在空中相遇 C．乙落到碗上的位置在点右侧 D．甲刚要撞到碗时的竖直分速度比乙刚要撞到碗时的竖直分速度小 13．（23-24高一下·云南曲靖·阶段练习）在乌克兰战争中，一架俄罗斯战斗机水平匀速飞行，战斗机搭载着多枚航空炸弹，飞机每隔一秒有一枚炸弹落下，当第5枚炸弹刚离开飞机时，战斗机和炸弹的在空中的位置情况下列说法正确的是（空气阻力可忽略）（　　） A．从战斗机上看炸弹做匀速直线运动 B．从地面上看炸弹的运动轨迹是一条抛物线 C．相邻炸弹之间的竖直位移之比为1：3：5：7：9 D．炸弹在相等时间内的速度变化量不相等 14．（23-24高一下·四川·期末）如图，在摩托车大赛中，一人骑摩托车（可视为质点）在水平路面上行驶，要从A处越过宽的壕沟，壕沟对面的水平路面比A处低。重力加速度大小取，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．摩托车在空中飞行的时间为 B．摩托车飞越壕沟的初速度最小值为 C．摩托车以最小速度落地时，速度方向与水平路面间的夹角的正切值为 D．摩托车飞越壕沟的速度改变量大小为 三、实验题 15．（24-25高一上·四川内江·阶段练习）用如图1所示装置研究平抛运动。将白纸和复写纸对齐重叠并固定在竖直的硬板上。钢球沿斜槽轨道PQ滑下后从Q点飞出，落在水平挡板MN上。由于挡板靠近硬板一侧较低，钢球落在挡板上时，钢球侧面会在白纸上挤压出一个痕迹点。移动挡板，重新释放钢球，如此重复，白纸上将留下一系列痕迹点。 (1)下列实验条件必须满足的有________。 A．斜槽轨道光滑 B．斜槽轨道末段水平 C．挡板高度等间距变化 D．每次从斜槽上相同的位置无初速度释放钢球 (2)为定量研究，建立以水平方向为x轴、竖直方向为y轴的坐标系。 a．取平抛运动的起始点为坐标原点，将钢球静置于Q点，钢球的球心对应白纸上的位置即为原点；在确定y轴时y轴与重锤线平行。 b．若遗漏记录平抛轨迹的起始点，也可按下述方法处理数据：如图2所示，在轨迹上取A、B、C三点，AB和BC的水平间距相等且均为x，测得AB和BC的竖直间距分别是y1和y2，则 （选填“大于”、“等于”或者“小于”）。可求得钢球平抛的初速度大小为 （已知当地重力加速度为g，结果用上述字母表示）。 (3)为了得到平抛物体的运动轨迹，同学们还提出了以下三种方案，其中可行的是_______。 A．从细管水平喷出稳定的细水柱，拍摄照片，即可得到平抛运动轨迹 B．用频闪照相在同一底片上记录平抛小球在不同时刻的位置，平滑连接各位置，即可得到平抛运动轨迹 C．将铅笔垂直于竖直的白纸板放置，笔尖紧靠白纸板，铅笔以一定初速度水平抛出，将会在白纸上留下笔尖的平抛运动轨迹 (4)伽利略曾研究过平抛运动，他推断：从同一炮台水平发射的炮弹，如果不受空气阻力，不论它们能射多远，在空中飞行的时间都一样。这实际上揭示了平抛物体________。 A．在水平方向上做匀速直线运动 B．在竖直方向上做自由落体运动 四、解答题 16．（24-25高三上·山西·阶段练习）如图1为一个网球场的示意图，一个网球发球机固定在底角处，可以将网球沿平行于地面的各个方向发出，发球点距地面高为，球网高。图2为对应的俯视图，其中，。按照规则，网球发出后不触网且落在对面阴影区域（包含虚线）内为有效发球。图中虚线为球场的等分线。（忽略一切阻力重力加速度） (1)发球机有效发球时发出网球的最大速率？ (2)发球机有效发球时发出网球的最小速率？ 17．（22-23高一下·四川成都·阶段练习）如图所示，某同学打水漂，从离水面处以初速度水平掷出一枚石块。若石块每次与水面接触速率损失50%，弹跳速度与水面的夹角都是，当速度小于就会落水。已知，，不计空气阻力，假设石块始终在同一竖直面内运动，则： (1)石块第一次与水面接触时的速度为多少？ (2)石块在水面上一共出现几个接触点？ (3)落水处离人掷出点的水平距离为多少？ 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $$