考前终极刷题02（高频解答专练）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（沪教版2020必修第一册）

考前终极刷题02（高频解答专练） 1．已知集合. (1)设集合，求； (2)已知，设集合，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式、根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】（1）由一元二次不等式的解法和二次函数的性质求出集合，再求交集即可； （2）分和时，由列不等式（组）求解即可； 【详解】（1），解得， 所以， 由二次函数的性质可得，所以集合， 所以. （2）因为，所以， 所以当时，，即， 当时，，解得， 所以的取值范围为. 2．已知集合， (1)求； (2)若不等式在集合上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、解不含参数的一元二次不等式、交集的概念及运算、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）化简集合A，B，再根据补集及交集运算求解； （2）求出的解，根据不等式恒成立可得是解集的子集， 列出不等式即可得解. 【详解】（1）因为，， 所以，. （2）由题意，时，不等式恒成立， 由可得， 解得或， 所以时，不等式恒成立， 需满足或，即或. 故的取值范围为. 3．已知集合P为非空数集，定义，． (1)若集合，请直接写出集合和； (2)若且，集合满足，求的最小值； (3)若集合，，且，求证：． 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【知识点】集合新定义、根据交集结果求集合或参数 【分析】（1）直接根据根据和的定义即可得到结果； （2）先说明当时条件不满足，再说明当时条件满足，即可得到的最小值是. （3）先由的性质确定，然后反复讨论的取值，即可得到所要证明的结论. 【详解】（1）根据和的定义，有，. （2）当时，由于，故. 所以，，这与矛盾； 当时，对任意，由于，故，. 这就意味着，，所以. 综上，的最小值是. （3）由于，. 故，. 显然中不包含负数，且一定包含，故由知. 再由，，知，即. 进一步有，故，即. 再进一步有，故，即. 所以. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于理解和的定义，只有理解了定义，方可解决相应的问题. 4．在解决实际问题时，往往会有不同的思路和方法，这些方法有些正确，有些错误；有些简洁，有些复杂 问题①设，集合，若是的充分条件，求：的取值集合 问题②：设，若，求证：和至少有一个数是奇数 (1)小明在解决问题①，他认为原问题等价于，解得的取值集合为，张老师判断小明解题错误，请解出正确的的取值集合并写出M集合的等价变形 (2)小红认为既然，只需根据是奇数还是偶数，分类讨论即可；小华则认为可以使用反证法解决问题，请你选择一种你认为更好的方法并证明 【答案】(1)，在考虑问题中，我们不能凭空加上互异性条件，因此等价于 (2)证明见解析 【知识点】常用数集或数集关系应用、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）根据充分条件的定义可得，结合集合间的包含关系计算即可求解； （2）利用反证法直接得证. 【详解】（1）因为是的充分条件，所以， 当时，，满足； 当时，，所以或， 综上，是取值集合为， 在考虑问题中，我们不能凭空加上互异性条件， 所以的等价变形为. （2）反证法： 假设中都是偶数， 则，其中， 两式相加得，即， 与矛盾，故假设不成立， 则中至少有一个数是奇数. 5．对正整数，记. (1)用列举法表示集合； (2)求集合中元素的个数； 【答案】(1); (2)46 【知识点】列举法表示集合、列举法求集合中元素的个数 【分析】（1）根据集合和的定义，将代入，通过列举，时的所有可能值来得到； （2）计算集合中元素个数时，需要分别考虑取不同值时的情况，找出重复的元素个数，再根据总计算个数减去重复个数得到中元素个数. 【详解】（1）已知，当时，. 对于，当，时，； 当，时，；当，时，. 当，时，；当，时，； 当，时，. 当，时，；当，时，； 当，时，. 综上，. （2）当时，，此时中有个元素，分别为. 当时，，此时又有个不同的元素， 因为（）与时的元素不同. 当时，同理，又得到个不同元素. 当时，，这里面有个数1,2,3与时中的数重复. 当时，，得到个不同元素，因为（）与前面的元素都不同. 当时，，得到个不同元素，因为（）与前面的元素都不同. 当时，，得到个不同元素，因为（）与前面的元素都不同. 计算中元素个数，总共种的组合，但是时与前面重复了个元素，所以中元素个数为. 6．设全集为R，集合，，. (1)若，求a、b的值； (2)若，求a的取值范围. 【答案】(1)或； (2). 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、补集的概念及运算、根据两个集合相等求参数、根据元素与集合的关系求参数 【分析】（1）解一元二次不等式，比较和，即可求得. （2）根据给定条件，表示出集合，再利用元素与集合的关系建立不等式，解之即得. 【详解】（1）由，得，即， ，而，由，得，或，， 所以或. （2）依题意，，由得：， 即，解得或， 所以a的取值范围是. 7．已知，关于的不等式的解集为. (1)若，求的取值范围； (2)若存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）分和两种情况讨论求解即可； （2）由题意可得，且方程有两个不相等的负根，然后根据根与系数的关系列不等式组可求得结果. 【详解】（1）当时，或， 当时，恒成立， 当时，不恒成立，舍去， 当时，，得或， 综上，的取值范围为， （2）根据不等式的解集形式可知： 或， 不等式解集的两个端点就是对应方程的根， 即，有两个不相等的负根， 所以， 即，解得， 则的取值范围为. 8．已知关于的不等式的解集为． (1)若，求的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)关于的方程有一个正根和一个负根时，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】（1）解一元二次不等式得解. （2）分，两类讨论，当时，利用二次不等式恒成立列出不等式组求解. （3）根据一元二次方程的根的分布列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）当时，原不等式为，即， 可得，解得， 即x的取值范围为. （2）当时，解得或， 若，则的解为，不符合题意， 若时，原不等式为，解为，符合题意. 当时，不等式的解集为，则需满足， 化简可得，解得或. 综上，实数k的取值范围. （3）依题意，关于的方程有一个正根和一个负根， 设， 则，即， 解得，所以的取值范围是. 【点睛】方法点睛： 二次不等式的因式分解：利用因式分解的方法，结合符号讨论来求解不等式. 根的分布与参数讨论：通过二次方程的根的正负性，结合函数符号来确定参数范围. 9．解决下列问题： (1)设，比较与的大小； (2)若，，用反证法证明：和中至少有一个大于． 【答案】(1)； (2)证明见解析． 【知识点】反证法证明、作差法比较代数式的大小 【分析】（1）用作差法比较大小； （2）假设和中都不大于，即，，两个不等式分别乘以它们的公分母后相加得出与已知矛盾的结论，从而可完成证明． 【详解】（1）∵，∴， ∴ ∴； （2）假设和中都不大于，即，， 因为，所以，， 两式相加得，即，与已知矛盾， 所以假设错误，从而和中至少有一个大于． 10．（1）已知关于和的方程组（其中）.当时，求该方程组的解集； （2）记关于和的方程组（其中）的两组不同的解分别为和，判断是否为定值.若为定值，求出该值；若不是定值，说明理由； （3）已知是关于的一元二次方程的两个实根.若满足，求整数的值. 【答案】（1）和； （2）是定值，定值为4； （3）或或. 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、解含有参数的一元二次不等式、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）消去求出所对应的一元二次方程的解，从而求出方程组的解； （2）消去整理得，利用韦达定理得到，，即可求出、，从而得解； （3）首先可根据已知条件得出，然后根据韦达定理得出、，可将转化为，再根据为整数以及即可得出结果. 【详解】（1）当时，消去得， 解得或， 当时，，当时，， 因此，方程组的解为和. （2）关于和的方程组（其中）的两组不同的解分别为 和， 消去整理得， 显然，且，其两根为， 由韦达定理得，， 所以， ， 所以， 因此，是定值，且定值为4. （3）因为、是关于的一元二次方程的两个实根， 所以，解得， ，， 则， 因为，所以， 因为为整数，所以、、， 因为，所以整数的值为或或. 11．（1）已知有限集，如果A中的元素满足，就称A为“完美集”；若是两个不同的正数，且是“完美集”；求证：至少有一个大于2； （2）对于问题：“已知正数x，y满足，求的最小值”；同学小明有如下解法：因为，；所以，即；由，得所求最小值为；试判断上述解法是否正确；若不正确，请指出错误之处，并加以改正； 【答案】（1）见解析；（2）解析错误，理由见解析，改正见解析 【知识点】集合新定义、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据“完美集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质进行求解即可； （2）根据基本不等式的条件分析判断，根据“1”的灵活运算结合基本不等式运算求解． 【详解】（1）若、是两个不同的正数，且是“完美集”， 设， 根据根和系数的关系知，和相当于的两根， 由，解得或（舍去）， 所以，又，均为正数， 所以、至少有一个大于2． （2）因为，， 则，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， 两者等号成立条件不一致，所以解析错误， 正解： 因为，，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为． 12．已知，关于的不等式的解集为. (1)求实数的取值范围; (2)在（1）的条件下用反证法证明：三个关于的方程，中至少有一个方程有实数解. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】反证法证明、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】（1）根据一元二次不等式恒成立，分类讨论列不等式求解即可； （2）应用反证法，先假设三个关于的方程，都没有实数解，得出矛盾即可证明. 【详解】（1）当时，恒成立； 当时，,解得； 综上可得. （2）假设三个关于的方程，都没有实数解， 所以, 所以, 所以,与（1）的范围矛盾，所以假设不成立， 所以三个关于的方程，中至少有一个方程有实数解. 13．已知， (1)解关于的不等式 (2)若对于任意，都有成立，试求实数的取值范围． (3)若对任意的恒成立，试求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)或 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、函数不等式恒成立问题、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）根据条件得到，利用一元二次不等式的解法，对进行分类讨论，即可求解； （2）根据条件，通过分离常量，将问题转化成求最值，即可求解； （3）原不等式等价于对任意实数恒成立，当时，不等式恒成立；当时，分与两种情况讨论，即可求解；当时，分与两种情况讨论，即可求解；. 【详解】（1）由，得到，即， 令，得到或， 当，即时，原不等式的解集为， 当，即时，原不等式的解集为， 当，即时，原不等式的解集为. （2）因为在区间上恒成立，即在区间上恒成立， 当时，，当时，即在区间上恒成立，得到，即， 所以实数的取值范围为. （3）由题知对任意的恒成立， 当时，由，得到，显然满足题意， 当时，在上恒成立， 当，可变形为， 即在上恒成立，由（2）知，所以满足题意， 当时，在上恒成立， 当时，令， 当，即，，显然不满足题意， 当时，由，得到，即，显然在上不恒成立， 当时，由，得到，即， 也即在上恒成立，得到， 所以实数的取值范围为或. 14．已知函数是定义在上的奇函数. (1)求的解析式； (2)存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数不等式能成立（有解）问题、指数函数最值与不等式的综合问题、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】（1）根据奇函数性质求得，再验证是否满足题设，即可得解析式； （2）令，问题化为能成立求参数范围. 【详解】（1）由题设，故， 所以， 又，满足题设， 所以且； （2）由题设在上能成立， 令，则，即， 又在上递增，则， 所以. 15．已知函数为奇函数． (1)求的值； (2)判断并证明的单调性； (3)若存在实数，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)函数在上单调递减，证明见解析 (3) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、根据函数是指数函数求参数、由奇偶性求参数 【分析】（1）根据定义域为且为奇函数，所以，即可求解. （2）利用函数单调性的定义法即可证明求解. （3）由（2）中结果及奇函数性质可得，从而可得，结合二次函数性质即可求解. 【详解】（1）由函数为奇函数，其定义域为，所以， 即，解得，此时， 满足，即为奇函数， 故的值为. （2）在R上单调递减，证明如下： 由（1）知， ，且，则， 因为，所以，，， 所以，即函数在上单调递减. （3）由，则， 又因为为奇函数，所以， 又由（2）知函数在上单调递减， 所以，因为存在实数，使得成立， 所以，解得. 所以的取值范围为. 16．画出函数图象一直以来是同学们头疼的问题，面对自己所不熟知的函数，如何研究它的图象，画出它的图象，一定是研究该函数的重中之重    (1)[旧方法]利用描点法画出函数的图象 (2)[新技巧]求：函数的反函数并在图中画出其图象 (3)[小规律]可知函数与它的反函数关于直线___________对称 (4)[做实践]画出函数的图象 【答案】(1)图象见详解； (2)，图象见详解； (3)； (4)图象见详解. 【知识点】画出具体函数图象、求反函数、反函数的性质应用 【分析】（1）先列表，然后描点连线可得； （2）由用表示出，然后可得反函数，通过列表描点连线可得图象； （3）根据（2）中图象观察可得； （4）先作出反函数图象，然后作反函数关于的对称图形即可. 【详解】（1）列表： 0 3 0 1 2 描点连线得图象如图：    （2）由得，所以的反函数为， 列表： 0 1 2 0 3 描点连线得的图象如图：    （3）由（2）观察可知，函数与它的反函数关于直线对称. 故答案为： （4）由得， 所以的反函数为， 作出函数的图象如图：    作函数关于直线对称的图形即可得的图象如图：    17．已知定义在上的函数（且）. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)若，试判断函数的单调性并加以证明；并求在上有解时，实数的取值范围. 【答案】(1)为奇函数，理由见解析 (2)为减函数，证明见解析； 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、判断指数型复合函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】（1）先判断函数的奇偶性，再利用定义证明即可. （2）求出参数值得到原函数，再转化为交点问题求解参数范围即可. 【详解】（1）为奇函数 对任意，都有，且该函数的定义域为，显然关于原点对称， 可得. 为奇函数. （2）当时，可得，解得， 此时在上为严格减函数，证明如下： 任取，且，则 ， ，，， 在上为严格减函数，而， 在上的值域为， 要使在上有零点， 此时等价于与在上有交点， 而当时，可得故. 18．已知函数的定义域为. (1)若非空集合满足，求实数a的取值范围； (2)若，用定义证明：是定义域上的严格增函数. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】根据交集结果求集合或参数、定义法判断或证明函数的单调性、根据集合的包含关系求参数、求对数型复合函数的定义域 【分析】（1）由的解析式可求出其定义域，由可知，由此列出相应不等式，即可求得答案； （2）由题意确定的表达式，根据函数单调性的定义，即可证明结论. 【详解】（1）由题意知函数，令， 即的定义域为， 又非空集合满足，则, 故，解得， 即实数a的取值范围为； （2），定义域为， 任取，且设， 则， 由于，且，则，， 故，即， 故是定义域上的严格增函数. 19．已知是整数，幂函数的定义域为R (1)求的解析式； (2)记函数，求证：函数在上为严格增函数. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】比较指数幂的大小、求幂函数的解析式、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）根据幂函数的定义域为R得出，解一元二次不等式并结合是整数得出结果； （2）根据单调性的定义以及指数幂运算证得结果. 【详解】（1）由题意知， 是整数，则，经检验均符合题意. 所以. （2）， 设， ，，， 又， ，即. 则函数在上为严格增函数. 20．已知函数的定义域为，其中为常数 (1)若R，讨论的奇偶性，并说明理由 (2)当时，求方程的解集 (3)当时，解关于的不等式，并写出解集（结果用字母表示） 【答案】(1)当时，为奇函数，当时，为非奇非偶函数 (2) (3)答案见解析 【知识点】简单的指数方程、解含有参数的一元二次不等式、解含参数的绝对值不等式、函数奇偶性的定义与判断 【分析】（1）根据奇偶性的定义并结合，两种情况进行讨论； （2）分成，两种情况打开绝对值，结合一元二次方程以及指数幂运算得出结果； （3）分成，两种情况打开绝对值求解，在时，进一步分成，，三种情况讨论解集. 【详解】（1）由已知可得，， 当时，即， 当时，为奇函数；当时，为非奇非偶函数. （2）当时，，， 当时，，即，解得(舍)，或，， 当时，，即，解得，； 则方程的解集为. （3） 当时，， 或，， 当时，， 当时，即，， 当时，即，，解集为空集， 当时，即，，. 综上所述，当时，解集为；当时：当时，解集为；当时，解集为空集；当时，解集为. 21．已知函数是定义在上的奇函数，且当时， (1)求证：在定义域内是严格减函数 (2)若对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【知识点】由函数奇偶性解不等式、比较指数幂的大小、根据函数的单调性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）先利用函数单调性的定义证得在内是严格减函数；再利用奇函数的性质即可证出在定义域内是严格减函数. （2）利用奇函数的定义及函数的单调性即可求解. 【详解】（1）证明：任取， 则. 因为，函数为上的增函数， 则，. 所以，即， 所以在内是严格减函数. 则当时，. 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以，在内是严格减函数，且当时，. 综上可证得：在定义域内是严格减函数. （2）因为函数是定义在上的奇函数， 所以对恒成立等价于对恒成立. 又因为在定义域内是严格减函数. 所以对恒成立，即对恒成立. 所以. 因为函数在上单调递增. 所以当时，，即，解得 则实数的取值范围为 22．已知幂函数的图像关于点对称． (1)求该幂函数的解析式； (2)设函数，在如图的坐标系中作出函数的图象； （提示：列表、描点、连线作图） 【答案】(1) (2)图象见解析 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、画出具体函数图象 【分析】（1）根据题意结合幂函数的定义和性质分析求解； （2）由（1）可得：，列表、描点、连线作图. 【详解】（1）因为为幂函数，则，解得或， 若，则，图象关于原点对称，符合题意； 若，则，图象不关于原点对称，不符合题意； 综上所述：. （2）由（1）可得：，则的定义域为， 可得 1 2 3 2 3 1 则的图象为： 23．设函数，且. (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性和单调性（不用说明理由），并据此求解关于的不等式 【答案】(1)2； (2)偶函数，在上单调递减，在上单调递增，解集为. 【知识点】求解析式中的参数值、定义法判断或证明函数的单调性、由函数奇偶性解不等式、函数奇偶性的定义与判断 【分析】（1）根据化简求解即可； （2）根据奇偶性定义和单调性定义即可判断奇偶性和单调性，结合单调性和奇偶性将函数符号去掉，转化为一元二次不等式求解可得. 【详解】（1）由题知，， 因为，所以， 解得. （2）由（1）知，，定义域为， 又，所以为偶函数. ，且， 则， 因为，所以， 所以，即， 所以在上单调递减， 又因为为偶函数，所以在上单调递增， 因为，所以， 所以， 因为为偶函数，且在上单调递减， 所以，即，解得， 又，所以不等式解集为. 24．已知奇函数. (1)求实数m的值； (2)判断并证明在区间上的单调性； (3)设，对于任意的，总存在，使得成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)-1 (2)证明见解析 (3) 【知识点】由奇偶性求参数、利用函数单调性求最值或值域、函数不等式恒成立问题、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）根据函数为奇函数即可得结果； （2）对a分类讨论，用函数单调性的定义即可证明结果； （3）依题意，分别求出的最小值，根据条件可得结果. 【详解】（1）因为为奇函数，所以， 即， 所以，解得，即， 经检验：时不合题意，舍去，故. （2）当时在区间上为减函数； 当时在区间上为增函数； 证明如下: 由（1）可知，任取， ， 因为，所以，即， 当时，即， 故在区间上为减函数； 当时，即， 故在区间上为增函数； 综上：当时在区间上为减函数； 当时在区间上为增函数； （3）因为，时为减函数，当时， 由（1）可知，当时在区间上为减函数，当时， 当时在区间上为增函数，当时， 又对于任意的，总存在，使得成立，即， 所以：或，即或， 解得或， 故实数a的取值范围为. 25．设函数的定义域,若对任意，均有成立，则称为“无奇”函数． (1)判断函数①和②是否为“无奇”函数，说明理由； (2)若函数是定义在上的“无奇”函数，求实数a的取值范围； (3)若函数是“无奇”函数，求实数m的取值范围． 【答案】(1)①不是，②是；理由见解析 (2) (3) 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、函数基本性质的综合应用、函数与方程的综合应用、函数新定义 【分析】（1）由，结合“无奇”函数的定义可判断①；由恒成立，可判断②； （2）根据条件转化为方程无解，参变分离后，可求得所求范围； （3）若函数不是“无奇”函数，转化为方程有解，参变分离并换元后，可求得实数m的范围，进一步计算即可. 【详解】（1）①因为，符合， 所以不是"无奇"函数； ②恒成立， 所以是“无奇”函数； （2）在无解， 即在无解， 所以 （3）若不是“无奇”函数， 则有解， 即， 即有解， 令， 则 所以，即， 所以是“无奇”函数时，实数的取值范围是 26．已知函数和，其中，． (1)当时，函数只有一个零点，求该零点； (2)当时，讨论函数的奇偶性，并说明理由． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求函数的零点 【分析】（1）采用换元法将零点问题转变为一元二次方程根的问题，然后分析确定出方程的根，从而函数的零点可知； （2）记，然后根据的对应关系分析出不同的取值下的奇偶性. 【详解】（1）因为， 令，且为单调函数， 所以在上有一个零点， 即在上有一个解，记， 当时，此时显然不成立， 当时，，解得，即，满足； 当时，，此时，所以均为正数，不符合； 综上，的唯一零点为； （2）记，定义域为且关于原点对称， 又， 若为偶函数，则有，所以， 化简可得，且不恒为，所以； 若为奇函数，则有，所以， 化简可得，且，所以，所以； 综上可知，当时，为偶函数； 当时，为奇函数； 当时，为非奇非偶函数. 27．已知函数的表达式为，且（）. (1)求实数的值； (2)判断函数的奇偶性并证明； (3)判断函数的单调性，并解关于的不等式. 【答案】(1) (2)为偶函数，证明见解析； (3) 【知识点】求解析式中的参数值、函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据，求解的解析式，按照求解实数a的值即可； （2）根据奇偶性的定义判断与的关系即可得奇偶性； （3）分离函数即可由解析式判断的单调性，再结合单调性与奇偶性解不等式即可. 【详解】（1）， 故， 即． （2）由（1）知，，为偶函数，证明如下： 的定义域为，关于原点对称， 所以为偶函数. （3）因为，则在上单调递减． 又因为是偶函数，所以在上单调递增． 因为，所以， 由得， 由函数的性质得：， 则， 解得：． 故该不等式的解集为． 28．对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：①在D内单调递增或单调递减，②存在区间，使在上的值域为.则我们把称为闭函数，且区间称为的一个“好区间”，其中. (1)若是函数的好区间，求实数m，n的值； (2)若函数为闭函数，求实数k的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、由函数在区间上的单调性求参数、对数型复合函数的单调性、函数新定义 【分析】（1）根据题意，分为增函数和减函数两种情况讨论，构造关于、的方程组，解可得答案；（2）根据题意，分析的单调性，可得和是方程，即的两根，利用换元法分析可得方程有两个不等的正根，利用二次函数的性质分析可得答案． 【详解】（1）若是函数的好区间， 分2种情况讨论： 若在上单调递增．则，解可得， 此时 在上单调递增，符合条件； 若在上单调递减，则，解可得， 此时，符合题意， 综合可得：或. （2）函数为闭函数，易得在定义域上单调递增， 则有，故和是方程，即的两根， 令，原方程等价于， 则方程有两个不等的正根， 则有，解可得，即的取值范围为． 29．如图，正方形的边长为2，E为边上的一点，．F为线段上的一点，，垂足为G，，垂足为H．    (1)设，求：矩形的面积关于x的函数解析式及其定义域. (2)求：矩形的面积的最大值． 【答案】(1) (2)当时，，当时， 【知识点】求二次函数的解析式、利用二次函数模型解决实际问题、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）利用相似得到矩形边长，再求解面积解析式即可. （2）利用二次函数性质分析解析式，求解最值即可. 【详解】（1）如图，作，交于，交于，    因为，，所以，， 由得到，所以， 所以，故，解得， 所以， （2）设，由二次函数性质得当时， 在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，， 当时，在上单调递减，当时，， 综上当时，，当时，. 30．已知函数满足：在定义域内存在实数，使得.设集合是满足上述性质的函数的全体. (1)若，判断函数是否属于集合，并说明理由； (2)设，若函数属于集合，求的取值范围； (3)设，求证：对任意实数，函数均属于集合. 【答案】(1)不属于，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数新定义、零点存在性定理的应用 【分析】 （1）代入以及计算并判断即可证明； （2）由，代入计算可得，即关于的方程有实数解.分类讨论一元二次方程有实根即可求解的范围； （3）代入建立等量关系可得，令，零点存在性定理分类讨论当时以及时解的情况即可证明. 【详解】（1）. 对任意实数，故函数不属于集合. （2）显然函数的定义域为， 因为，可得：， 整理得. 即关于的方程有实数解. 当时，方程有实数解； 当时，由，得或. 综上，的取值范围是. （3）由，得. 令. 当时，； 当时，. 根据零点存在定理，方程有实数解. 因此，对任意实数，函数均属于集合. 31．年月日，雅万高铁正式开通运营，标志着印度尼西亚迈入高铁时代，中国印度尼西亚共建“一带一路”取得重大标志性成果.中国高铁正在成为共建“一带一路”和国际产能合作的重要项目.国内某车辆厂决定从传统型、智能型两种型号的高铁列车车厢中选择一种进行投资生产.已知投资生产这两种型号车厢的有关数据如下表（单位：百万元） 年固定成本 每节车厢成本 每节车厢价格 每年最多生产的节数 传统型 节 智能型 节 已知，每销售节智能型车厢时，需上交百万元用于当地基础建设.假设生产的车厢当年都能销售完. (1)设、分别为该厂投资传统型和智能型两种型号车厢的年利润，分别求出、与年产量之间的函数关系式； (2)①分别求出生产两种型号车厢的平均利润的最大值； ②要使生产两种型号车厢的平均利润最大，该厂应该选择生产哪种型号车厢？ 【答案】(1)答案见解析 (2)①答案见解析；②答案见解析. 【知识点】分式型函数模型的应用、基本（均值）不等式的应用、利用二次函数模型解决实际问题 【分析】（1）根据题意可得出、与年产量之间的函数关系式，并标出的取值范围； （2）①求出两种车厢平均利润的表达式，利用函数的单调性、基本不等式可求得两种车厢利润的最大值； ②将两种车厢利润最大值作差，对实数的取值进行分类讨论，比较大小后可得出结论. 【详解】（1）解：由题意可得，其中，， ，其中，. （2）解：传统型车厢平均利润为，其中，， 智能型车厢平均利润为，其中，， 令，其中，， ，其中，， ①函数在上单调递增，则， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，传统型车厢平均利润的最大值为百万元， 智能型车厢平均利润的最大值为百万元； ②， 当时，，投资传统型车厢可获得最大利润，且最大利润为百万元； 当时，，投资两种车厢可获得一样的最大利润，且最大利润为百万元； 当时，，投资智能型车厢可获得最大利润，且最大利润为百万元. 32．对于函数，若存在，使得，则称函数为“不动点”函数，其中是的一个不动点；若存在，使得，则称函数为“次不动点”函数，其中是的一个次不动点 (1)判断是否为“不动点”函数？若是，指出其不动点；若不是，请说明理由； (2)若函数在上恒有两个不同的次不动点，求实数的取值范围； (3)若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数的取值范围. 【答案】(1)是，2 (2) (3) 【知识点】函数新定义、根据函数零点的个数求参数范围、根据指对幂函数零点的分布求参数范围 【分析】（1）利用题给条件列方程，进而求得的不动点为2； （2）利用题给条件列出关于实数的不等式组，解之即可求得实数的取值范围； （3）利用题给条件列出关于实数的不等式组，解之即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）假设为不动点函数，则 当时，，方程无解，舍去； 当时，，解之得，符合题意， 则是“不动点”函数，2是的一个不动点. （2）由题意知在上恒有两个解 即在上恒有两个解 则，解之得 则实数的取值范围是 （3）由题意可知在上，且唯一 ①函数在上仅有一个不动点时， 令，在上是单调增函数 ，即 ②函数在上仅有一个次不动点时， 在上是单调增函数 令，即 综上所述，. 33．近期随着某种国产中高端品牌手机的上市，我国的芯片技术迎来了重大突破．某企业原有1000名技术人员，年人均投入a万元（），现为加强技术研发，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员工名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元． (1)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前1000名技术人员的年总投入，则调整后的研发人员的人数最少为多少？ (2)为了激发研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个条件： ①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入； ②技术人员的年人均投入始终不减少．请问是否存在这样的实数m，满足以上两个条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1)500 (2)存在，． 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、函数不等式恒成立问题、分式型函数模型的应用、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）由调整后研发人员的年总投入不低于调整前1000名技术人员的年总投入，建立并求解不等式即可； （2）由题意条件转化为两个不等式恒成立问题，构造函数利用对勾函数与一次函数的单调性求解最值，即可求出m的取值范围. 【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的人数为，且年人均投入为万元， 则． 因为，所以，解得， 因为且，所以，故， 即要使这名研发人员的年总投入不低于调整前1000名技术人员的年总投入，则调整后的研发人员的人数最少为500． （2）由条件①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，得 ， 上式两边同除以ax，得， 整理得， 由条件②技术人员年人均投入不减少，得， 解得． 假设存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件， 即（）恒成立． 设， 由在上单调递减， 因为且，所以在上单调递减， 则， 当时，等号成立，所以． 又因为， 当时，，所以， 所以， 即存在这样的m满足条件，m的取值范围为． 34．函数，． (1)若，是否存在实数，使得是奇函数； (2)若，且的图象与x轴的正半轴有两个交点，求实数的取值范围； (3)若，， ，已知对任意的，都存在使得不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)不存在 (2) (3) 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数不等式恒成立问题、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】（1）按奇函数的定义用反证法即可判断是否存在满足题意的实数； （2）先把已知条件转化为方程的正根，再用判别式、根与系数的关系和分母不为0即可解得a的取值范围； （3）先把已知条件转化为，再分类讨论解得c的取值范围. 【详解】（1）时，若为奇函数，则时，代入表达式有，即，与事实矛盾， 故不存在满足题意的实数； （2）时，. 依题意可得函数有2个正的零点，即方程有2个不等正根，也即有2个不等正根， 所以， 解得； （3）时，，. 依题意可得，而当时，. 当时， 若，即时，. 此时根据得，解得，与矛盾，不符题意； 若，即时，. 此时根据得，解得，故； 若，即时，. 此时根据得，解得，故； 综上所述：实数的取值范围是. 35．已知，函数. (1)当时，求函数的定义域； (2)若关于的方程的解集中有且只有一个元素，求实数的取值范围； (3)设，若，使得函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或， (3). 【知识点】求对数型复合函数的定义域、根据指对幂函数零点的分布求参数范围、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据对数的性质列不等式即可求解， （2）将问题转化为有且仅有一正根.即可利用二次型函数的性质分类求解， （3）利用单调性的定义即可求解函数单调性，进而利用单调性求解最值，将问题进一步转化为二次函数的性质求解最值即可. 【详解】（1）时， 所以得， 所以函数的定义域为. （2）方程，即，即. ∴，化为：，方程的解集中有且只有一个元素，等价于有且仅有一正根. （1）若，化为，解得，符合题意； （2）若，此时. ①令，得，解得，符合题意； ②当，即时，方程有两个解，设为，. 则，. 当时，，此时方程有一正、一负根，符合题意. 当时，，，此时方程有两个正根，不符合题意. 综上，实数的取值范围为或， （3）. 当时，. 因为，，所以. 所以，所以， 所以. 所以在上单调递减， 所以函数在区间上的最大值与最小值分别为，. 即：， 即：，因为，， 整理得：，令. 因为时，存在， 故只需. 因为，对称轴方程，所以在上单调递增， 所以，故，得. 故实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：处理多变量函数最值问题的方法有：（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化. 36．记函数，，它们定义域的交集为，若对任意的，都有成立，则称函数具有性质. (1)判断函数，是否具有性质，并说明理由； (2)设，，求的反函数，并判断是否具有性质； (3)设，，若函数具有性质，求使成立的范围. 【答案】(1)具有性质，不具有性质，理由见解析 (2)，，具有性质 (3) 【知识点】求反函数、函数新定义、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）根据“函数具有性质”的要求，计算检验函数符合，通过举反例说明不具有性质即得； （2）利用函数与反函数的对应关系，先求出原函数的值域，再通过解析式反求，即得反函数，最后根据性质的要求检验即得； （3）先根据函数具有性质列出等式，推理得到，从而替换函数式中的，由求解含参数的一元二次不等式即得. 【详解】（1），恒成立， 故具有性质； 又，所以不具有性质； （2）因，由可得，解得：，故有 则有，即得：，又由可得：， 从而，可得：，故得：，. 又因为，恒有 成立，故，具有性质； （3）由题意的恒成立， 即恒成立，所以，即，， 由，（*） 又，则，（*）因， 故不等式的解集为. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了新定义函数性质和反函数的求法，含参数的一元二次不等式的解法等.其中对新定义函数的性质的理解和把握是关键，需要整体换元的思想；对于反函数求法，必须先求原函数的值域作为反函数的定义域，再反求，最后才是互换位置即得；对于含参的不等式，一般需要就参数进行讨论分类求解. 37．对于定义域在上的函数，定义．设区间，对于区间上的任意给定的两个自变量的值、，当时，总有，则称是的“函数”． (1)判断函数是否存在“函数”，请说明理由； (2)若非常值函数是奇函数，求证：存在“函数”的充要条件是存在常数，使得； (3)若函数与函数的定义域都为，且均存在“函数”，求实数的值． 【答案】(1)不存在“函数”，理由见解析. (2)证明见解析 (3) 【知识点】函数新定义、函数奇偶性的应用、求指数（型)函数的定义域 【分析】（1）根据题意，由即可判断； （2）根据题意，由“函数”的定义，分别验证其充分性以及必要性，即可证明； （3）根据题意，由“函数”的定义可得，若，均存在“函数”， 则存在“函数”，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】（1），当时，，当时，， 因此，则该函数不存在“函数”． （2）充分性：若，则， 任取，，所以存在“函数”； 必要性：因为是奇函数，则，任取， 因为，是一个“函数”， 所以，则， 当时，则，， 所以，即， 所以，可得，从而有， 即是一个常数，设为，则. （3）假设，均存在“函数”，任取， 则，， 则， 则存在“函数”， 因此均存在“函数”， 令，定义域为关于原点对称， 且， 则是定义在上的奇函数， 由（2）可知，存在使得恒成立，则， 又时，若函数与函数均为“函数”，符合题意. 综上可知，. 【点睛】关键点睛：本题主要考查了新定义中“函数”的概念，以及函数奇偶性的应用，难度较大，解答本题的关键在于利用好题干中“函数”的定义，以及利用好（2）中的结论解决（3）中的问题. 38．已知． (1)当时，解不等式； (2)若关于x的方程的解集中恰好有一个元素，求实数a的值； (3)若对任意，函数在区间上总有意义，且最大值与最小值的差等于2，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)或0 (3) 【知识点】求对数型复合函数的定义域、由对数函数的单调性解不等式、对数函数最值与不等式的综合问题 【分析】（1）利用对数函数的单调性，求不等式的解集即可； （2）根据题意得出方程恰有一个实根，化简转化为判断方程的根的个数问题，通过讨论和即可求出答案； （3）根据题意结合函数单调性可得对恒成立，且任意恒成立，分析求解即可. 【详解】（1）当时，不等式化为， 则，即，解得， 经过验证满足条件，因此不等式的解集为. （2）由，得， 即，可得， 当时，则，解得，经过验证此时满足题意； 当时，①若，则，此时解得．经过验证满足题意； ②若时，方程有两不等实根，设为，显然， 由，得，因为，所以， 即 所以都满足，所以此时不满足题意； 综上可得或. （3）因为对任意，函数在区间上总有意义， 所以对恒成立， 因为在上为减函数，故只需对任意恒成立， 所以只要，故，解得， 对任意，函数在区间上单调递减， 所以函数在区间上最大值为，最小值为， 则， 整理得， 则，即任意恒成立， 则，解得； 综上所述：实数a的取值范围是． 【点睛】关键点睛：对于恒（能）成立的问题，常常结合最值分析处理，而最值又结合函数单调性，所以对于函数单调性要灵活熟练应用. 39．若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；当时，则称为区间上的“m阶自伴函数”. (1)判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由； (2)若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的值； (3)若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围. 【答案】(1)不是区间上的“2阶自伴函数”，理由见解析. (2) (3) 【知识点】对数的运算性质的应用、判断指数函数的单调性、函数新定义、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】（1）当，得，而 在 没有实数解，根据函数的新定义，即可得出结论； （2）由题意得任意，总存在唯一的使得，进而得对任意，总存在唯一的使得,，即,,，进而求得的值； （3）求得函数 在区间,的值域为,，故 在,区间上的值域必定包含区间,，进而结合二次函数的性质，分类讨论即可求解． 【详解】（1）， 当时，，再由， 得， ， 故根据“2阶自伴函数”定义得， 不是区间上的“2阶自伴函数”． （2）由函数为区间上的“1阶自伴函数”， 所以，且对任意， 总存在唯一的使得成立； 所以对任意，总存在唯一的使得， 因为函数为单调递增函数， 所以对任意，总存在唯一的使得，，所以,， 所以,,，所以，则，故； （3）由函数在区间,的值域为,， 因为是在区间,上的“2阶伴随函数”， 则对任意的,，总存在唯一的,时，使得成立， 所以， 即在,区间上的值域必定包含区间,，且的值域在,对应的自变量是唯一的， 又因为函数开口向上，对称轴为， 当时，在,区间上单调递增，则必有： ，解得：； 当时，在,区间上单调递减，则必有： ，解得； 当时，在,上单调递减，在,上单调递增，则必有： ，解得：， 当时，在,上单调递减，在,上单调递增，则必有： ，解得：．． 综上所述，可得的范围：． 【点睛】思路点睛：本题首先要理解“m阶自伴函数”或“m阶伴随函数的意义”，然后根据每一小问函数的类型设计出解决问题的思路，对于第三问，数存在对称轴问题，需要仔细分类讨论，特别是当 时，要考虑对称轴在(0,2)区间时，二次函数的图像的形状，以此来建立不等式求出a的范围. 40．定义在区间上的函数满足：若对任意，，都有，则称是上的上凸函数． (1)判断函数是否为上凸函数？为什么？ (2)若函数在上是上凸函数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)是凸函数，理由见解析 (2) (3) 【知识点】根据函数的单调性求参数值、函数新定义、对数型复合函数的单调性 【分析】（1）根据凸函数的定义，结合基本不等式推导证明即可； （2）根据凸函数的定义化简可得，结合与对数函数的单调性求解即可； （3）化简可得在时恒成立，再结合分析即可. 【详解】（1）函数是上凸函数．理由如下． 设，，欲证函数是上凸函数，需证，即证，即证， 由不等式知识可得上式显然成立，故函数是上凸函数． （2）由函数在上是上凸函数， 可得对任意，，． 又，所以． （3）当时，不等式恒成立， 即，即恒成立， 可得在时恒成立． 因为，所以，，所以． 由，及，可得，所以． 故． 41．若函数满足：对于任意正数s、t，都有，，，则称函数为“L函数”． (1)试判断函数是否是“L函数”； (2)若函数为“L函数”，求实数a的取值范围； (3)若函数为“L函数”，且，求证：对任意，都有． 【答案】(1)是“L函数” (2) (3)证明见解析 【知识点】求指数函数在区间内的值域、函数不等式恒成立问题、函数新定义 【分析】（1）根据“L函数”的定义，利用作差法即可得出结论； （2）根据“L函数”的定义，可得当时，，，转化为函数不等式恒成立问题，利用分离参数法求解即可； （3）根据“L函数”的定义，令，可得，从而可得，再结合即可得证. 【详解】（1）对于，当时，，， 因为， 所以， 所以是“L函数”； （2）当时，由是“L函数”， 得，即对一切正数恒成立， 因为，所以对一切正数恒成立， 又因为，所以， 由，得， 所以， 因为，所以， 由对一切正数恒成立，， 所以，即， 综上可知，实数a的取值范围为； （3）因为函数f（x）为“L函数”， 所以对于任意正数都有，，且， 令，可知，即， 所以对于正整数与正数都有， 对任意，可得， 因为， 所以. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于理解“L函数”的定义，考查了不等式恒成立问题及转化思想. 42．已知函数(常数)． (1)若，且，求的值； (2)若，用函数单调性定义证明：函数在上是严格增函数； (3)当为奇函数时，存在使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】由奇偶性求参数、指数函数的判定与求值、一元二次不等式在某区间上有解问题、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）由题意利用换元法令可得，解出的值进而即可求出的值； （2）利用定义法（作差法），分别取且，，然后作差比较与的大小，根据单调性的定义证明即可； （3）根据奇函数可得，由（2）可知当时，则原不等式可转化为存在使得不等式成立，对进行分类讨论即可求解. 【详解】（1）由，可得， 设可得即，解得， 所以，即. （2）设且， ， 由可得即， 由可得，故， 又，所以， 所以即， 所以函数在上是严格增函数. （3）因为的定义域为， 当为奇函数时，由解得，所以， 检验：，满足题意， 由（2）可知当时在上是严格增函数，所以， 则原不等式可转化为存在使得不等式成立， 只需的最小值小于0即可， 因为一元二次函数的开口向上，对称轴为， ①即时，当时，函数取得最小值，解得， 所以； ②当即时，当时，函数取得最小值，解得或， 所以； ③当即时，当时，函数取得最小值，解得， 所以； 综上的取值范围. 【点睛】方法点睛：函数存在性和恒成立问题，构造新函数并利用新函数的性质是解答此类问题的关键，并注意把握下述结论： ①存在解；恒成立； ②存在解；恒成立； ③存在解；恒成立； ④存在解；恒成立 43．对于函数，如果对于定义域中任意给定的实数，存在非负实数，使得恒成立，称函数具有性质． (1)判别函数，和，是否具有性质，请说明理由； (2)函数，，若函数具有性质，求满足的条件； (3)若函数的定义域为一切实数，的值域为，存在常数且具有性质，判别是否具有性质，请说明理由． 【答案】(1)，不具有性质；,具有性质 (2) (3)具有性质，理由见解析 【知识点】对数的运算性质的应用、函数新定义、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）由性质的定义，结合作差法判断函数是否具有性质即可； （2）根据已知条件有对任意恒成立，再根据基本不等式即可得参数范围； （3）由的性质可得，再根据对数函数的单调性及性质定义判断是否具有性质. 【详解】（1），， 所以，则，故，不具有性质； ， 恒成立，故,具有性质. （2）由，则对任意恒成立， 由基本不等式可得，当且仅当，即时取等号.故，即，解得，又为非负实数，故 （3）因为具有性质，所以， 因为函数的值域为，所以， 则，， ， ， ， 所以，即具有性质. 【点睛】关键点点睛：第三问，注意应用性质、不等式性质得到、、，进而有，结合对数函数的单调性判断结论. 44．已知函数为奇函数， ，其中 ． (1)若函数h（x）的图象过点A（1，1），求实数m和n的值； (2)若m=3，试判断函数在上的单调性并证明； (3)设函数，若对每一个不小于3的实数 ，都恰有一个小于3的实数 ，使得 成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 (3) 【知识点】比较指数幂的大小、定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）运用奇函数的定义可得，再由图象经过点，解方程可得； （2）在，递增．运用单调性的定义，结合因式分解和指数函数的单调性，即可得证； （3）求得当时，；当时，;分别讨论，，，运用基本不等式和函数的单调性，求得的范围． 【详解】（1）函数为奇函数， 可得，即，则， 由的图象过，可得（1），即， 解得，故； （2），可得，，在 上递增． 证明：设，则 ， 由，可得，，， 则，即， 可得在，递增； （3）当时，； 当时，． ①时，时，； 时，不满足条件，舍去； ②当时，时，，， 时，，，， 由题意可得，，，可得，即； 综上可得； ③当时，时，，， 时，，，， 由题意可得，，， 可得，可令，则在上递减，， 故由，可得，即， 综上可得， 所以的取值范围是． 【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的定义和运用，考查分类讨论思想方法和化简整理的运算能力，属于难题． 45．已知函数，记. (1)解不等式：； (2)设为实数，若存在实数，使得成立，求的取值范围； (3)记（其中，均为实数），若对于任意的，均有，求，的值. 【答案】(1) (2) (3)，. 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、根据零点所在的区间求参数范围 【分析】（1）原不等式即为，因式分解后可求不等式的解； （2）原方程有解即为在上有解，求出函数在上的值域后可求的取值范围； （3）原不等式恒成立等价于在上恒成立，取特殊值后可得关于的不等式组，从而可求它们的值. 【详解】（1）因为，所以即， 所以 即， 故不等式的解为. （2）在有解即为在上有解， 整理得到在上有解， 故在上有解， 设， 因为为增函数，且在上为增函数， 故为增函数，故的值域为， 故的值域为， 故. （3）,令， 因为对任意的总成立， 故对任意的，分别取， 故，整理得到：， 故，故，从而，所以. 下证：在上恒成立. 设， 故在上为减函数，在上为增函数， 故，故在上恒成立. 综上，，. 【点睛】思路点睛：已知含参数的不等式恒成立，要求其中参数的具体值，一般通过特例得到关于参数的不等式组，利用两边夹的方法得到参数的取值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 考前终极刷题02（高频解答专练） 1．已知集合. (1)设集合，求； (2)已知，设集合，若，求的取值范围. 2．已知集合， (1)求； (2)若不等式在集合上恒成立，求的取值范围. 3．已知集合P为非空数集，定义，． (1)若集合，请直接写出集合和； (2)若且，集合满足，求的最小值； (3)若集合，，且，求证：． 4．在解决实际问题时，往往会有不同的思路和方法，这些方法有些正确，有些错误；有些简洁，有些复杂 问题①设，集合，若是的充分条件，求：的取值集合 问题②：设，若，求证：和至少有一个数是奇数 (1)小明在解决问题①，他认为原问题等价于，解得的取值集合为，张老师判断小明解题错误，请解出正确的的取值集合并写出M集合的等价变形 (2)小红认为既然，只需根据是奇数还是偶数，分类讨论即可；小华则认为可以使用反证法解决问题，请你选择一种你认为更好的方法并证明 5．对正整数，记. (1)用列举法表示集合； (2)求集合中元素的个数； 6．设全集为R，集合，，. (1)若，求a、b的值； (2)若，求a的取值范围. 7．已知，关于的不等式的解集为. (1)若，求的取值范围； (2)若存在，使得，求的取值范围. 8．已知关于的不等式的解集为． (1)若，求的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)关于的方程有一个正根和一个负根时，求实数的取值范围． 9．解决下列问题： (1)设，比较与的大小； (2)若，，用反证法证明：和中至少有一个大于． 10．（1）已知关于和的方程组（其中）.当时，求该方程组的解集； （2）记关于和的方程组（其中）的两组不同的解分别为和，判断是否为定值.若为定值，求出该值；若不是定值，说明理由； （3）已知是关于的一元二次方程的两个实根.若满足，求整数的值. 11．（1）已知有限集，如果A中的元素满足，就称A为“完美集”；若是两个不同的正数，且是“完美集”；求证：至少有一个大于2； （2）对于问题：“已知正数x，y满足，求的最小值”；同学小明有如下解法：因为，；所以，即；由，得所求最小值为；试判断上述解法是否正确；若不正确，请指出错误之处，并加以改正； 12．已知，关于的不等式的解集为. (1)求实数的取值范围; (2)在（1）的条件下用反证法证明：三个关于的方程，中至少有一个方程有实数解. 13．已知， (1)解关于的不等式 (2)若对于任意，都有成立，试求实数的取值范围． (3)若对任意的恒成立，试求实数的取值范围． 14．已知函数是定义在上的奇函数. (1)求的解析式； (2)存在，使得成立，求实数的取值范围. 15．已知函数为奇函数． (1)求的值； (2)判断并证明的单调性； (3)若存在实数，使得成立，求的取值范围． 16．画出函数图象一直以来是同学们头疼的问题，面对自己所不熟知的函数，如何研究它的图象，画出它的图象，一定是研究该函数的重中之重    (1)[旧方法]利用描点法画出函数的图象 (2)[新技巧]求：函数的反函数并在图中画出其图象 (3)[小规律]可知函数与它的反函数关于直线___________对称 (4)[做实践]画出函数的图象 17．已知定义在上的函数（且）. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)若，试判断函数的单调性并加以证明；并求在上有解时，实数的取值范围. 18．已知函数的定义域为. (1)若非空集合满足，求实数a的取值范围； (2)若，用定义证明：是定义域上的严格增函数. 19．已知是整数，幂函数的定义域为R (1)求的解析式； (2)记函数，求证：函数在上为严格增函数. 20．已知函数的定义域为，其中为常数 (1)若R，讨论的奇偶性，并说明理由 (2)当时，求方程的解集 (3)当时，解关于的不等式，并写出解集（结果用字母表示） 21．已知函数是定义在上的奇函数，且当时， (1)求证：在定义域内是严格减函数 (2)若对恒成立，求实数的取值范围. 22．已知幂函数的图像关于点对称． (1)求该幂函数的解析式； (2)设函数，在如图的坐标系中作出函数的图象； （提示：列表、描点、连线作图） 23．设函数，且. (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性和单调性（不用说明理由），并据此求解关于的不等式 24．已知奇函数. (1)求实数m的值； (2)判断并证明在区间上的单调性； (3)设，对于任意的，总存在，使得成立，求实数a的取值范围. 25．设函数的定义域,若对任意，均有成立，则称为“无奇”函数． (1)判断函数①和②是否为“无奇”函数，说明理由； (2)若函数是定义在上的“无奇”函数，求实数a的取值范围； (3)若函数是“无奇”函数，求实数m的取值范围． 26．已知函数和，其中，． (1)当时，函数只有一个零点，求该零点； (2)当时，讨论函数的奇偶性，并说明理由． 27．已知函数的表达式为，且（）. (1)求实数的值； (2)判断函数的奇偶性并证明； (3)判断函数的单调性，并解关于的不等式. 28．对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：①在D内单调递增或单调递减，②存在区间，使在上的值域为.则我们把称为闭函数，且区间称为的一个“好区间”，其中. (1)若是函数的好区间，求实数m，n的值； (2)若函数为闭函数，求实数k的取值范围. 29．如图，正方形的边长为2，E为边上的一点，．F为线段上的一点，，垂足为G，，垂足为H．    (1)设，求：矩形的面积关于x的函数解析式及其定义域. (2)求：矩形的面积的最大值． 30．已知函数满足：在定义域内存在实数，使得.设集合是满足上述性质的函数的全体. (1)若，判断函数是否属于集合，并说明理由； (2)设，若函数属于集合，求的取值范围； (3)设，求证：对任意实数，函数均属于集合. 31．年月日，雅万高铁正式开通运营，标志着印度尼西亚迈入高铁时代，中国印度尼西亚共建“一带一路”取得重大标志性成果.中国高铁正在成为共建“一带一路”和国际产能合作的重要项目.国内某车辆厂决定从传统型、智能型两种型号的高铁列车车厢中选择一种进行投资生产.已知投资生产这两种型号车厢的有关数据如下表（单位：百万元） 年固定成本 每节车厢成本 每节车厢价格 每年最多生产的节数 传统型 节 智能型 节 已知，每销售节智能型车厢时，需上交百万元用于当地基础建设.假设生产的车厢当年都能销售完. (1)设、分别为该厂投资传统型和智能型两种型号车厢的年利润，分别求出、与年产量之间的函数关系式； (2)①分别求出生产两种型号车厢的平均利润的最大值； ②要使生产两种型号车厢的平均利润最大，该厂应该选择生产哪种型号车厢？ 32．对于函数，若存在，使得，则称函数为“不动点”函数，其中是的一个不动点；若存在，使得，则称函数为“次不动点”函数，其中是的一个次不动点 (1)判断是否为“不动点”函数？若是，指出其不动点；若不是，请说明理由； (2)若函数在上恒有两个不同的次不动点，求实数的取值范围； (3)若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数的取值范围. 33．近期随着某种国产中高端品牌手机的上市，我国的芯片技术迎来了重大突破．某企业原有1000名技术人员，年人均投入a万元（），现为加强技术研发，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员工名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元． (1)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前1000名技术人员的年总投入，则调整后的研发人员的人数最少为多少？ (2)为了激发研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个条件： ①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入； ②技术人员的年人均投入始终不减少．请问是否存在这样的实数m，满足以上两个条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． 34．函数，． (1)若，是否存在实数，使得是奇函数； (2)若，且的图象与x轴的正半轴有两个交点，求实数的取值范围； (3)若，， ，已知对任意的，都存在使得不等式恒成立，求实数的取值范围． 35．已知，函数. (1)当时，求函数的定义域； (2)若关于的方程的解集中有且只有一个元素，求实数的取值范围； (3)设，若，使得函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求实数的取值范围. 36．记函数，，它们定义域的交集为，若对任意的，都有成立，则称函数具有性质. (1)判断函数，是否具有性质，并说明理由； (2)设，，求的反函数，并判断是否具有性质； (3)设，，若函数具有性质，求使成立的范围. 37．对于定义域在上的函数，定义．设区间，对于区间上的任意给定的两个自变量的值、，当时，总有，则称是的“函数”． (1)判断函数是否存在“函数”，请说明理由； (2)若非常值函数是奇函数，求证：存在“函数”的充要条件是存在常数，使得； (3)若函数与函数的定义域都为，且均存在“函数”，求实数的值． 38．已知． (1)当时，解不等式； (2)若关于x的方程的解集中恰好有一个元素，求实数a的值； (3)若对任意，函数在区间上总有意义，且最大值与最小值的差等于2，求a的取值范围． 39．若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；当时，则称为区间上的“m阶自伴函数”. (1)判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由； (2)若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的值； (3)若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围. 40．定义在区间上的函数满足：若对任意，，都有，则称是上的上凸函数． (1)判断函数是否为上凸函数？为什么？ (2)若函数在上是上凸函数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 41．若函数满足：对于任意正数s、t，都有，，，则称函数为“L函数”． (1)试判断函数是否是“L函数”； (2)若函数为“L函数”，求实数a的取值范围； (3)若函数为“L函数”，且，求证：对任意，都有． 42．已知函数(常数)． (1)若，且，求的值； (2)若，用函数单调性定义证明：函数在上是严格增函数； (3)当为奇函数时，存在使得不等式成立，求实数的取值范围． 43．对于函数，如果对于定义域中任意给定的实数，存在非负实数，使得恒成立，称函数具有性质． (1)判别函数，和，是否具有性质，请说明理由； (2)函数，，若函数具有性质，求满足的条件； (3)若函数的定义域为一切实数，的值域为，存在常数且具有性质，判别是否具有性质，请说明理由． 44．已知函数为奇函数， ，其中 ． (1)若函数h（x）的图象过点A（1，1），求实数m和n的值； (2)若m=3，试判断函数在上的单调性并证明； (3)设函数，若对每一个不小于3的实数 ，都恰有一个小于3的实数 ，使得 成立，求实数m的取值范围． 45．已知函数，记. (1)解不等式：； (2)设为实数，若存在实数，使得成立，求的取值范围； (3)记（其中，均为实数），若对于任意的，均有，求，的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$