考前终极刷题01（高频选填专练）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（沪教版2020必修第一册）

考前终极刷题01（高频选填专练） 一、填空题 1．若，函数的定义域为，则 ． 2．已知集合，，若，，则 . 3．若，则关于x的不等式的解集为 ． 4．已知，若存在，使得不等式成立，则的取值范围是 . 5．已知，关于的方程的两个实数根为，且，则 . 6．已知，若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 . 7．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 8．已知函数为，在R上单调递增，则取值的范围 ． 9．已知函数，满足，则 . 10．已知幂函数的图象关于轴对称，则实数的值是 ． 11．设方程，的两个实数根为a和b，则 12．函数的最大值为 . 13．函数的定义域为 ． 14．函数的单调递减区间是 ． 15．函数的奇偶性是 . 16．已知定义域为的奇函数，满足，且，则函数在区间上的零点个数的最小值为 . 17．定义在实数集R上的函数满足，，且当时，，则满足的取值范围为 . 18．若函数为偶函数，则实数 . 19．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 20．已知是上的减函数，那么的取值范围是 . 21．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，（b为常数），则= ． 22．若关于的方程在实数范围内有解，则实数的取值范围 . 23．设函数．则在区间内零点的近似解为 ．（精确到0.1） 24．若关于x的方程在区间上有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是 ． 25．“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收.”《增广贤文》是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是，一年后“进步”的是“退步”的倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20%，那么“进步”的是“退步”的1000倍需要经过的时间大约是 天（四舍五入精确）（参考数据：）. 26．某物流公司购买了一批自动分拣机器人投入运营.据分析，这批机器人运营的总利润（单位：万元）与运营年数为二次函数关系，其部分对应关系如下表所示： 运营年数 1 5 7 总利润 10 10 则这批机器人运营年数为 时，其运营的年平均利润最大. 27．已知是关于的方程的两个实数根，是关于的方程的两个实数根，其中是常数，且，则 . 28．已知全集，，，若，则 . 29．已知集合，若“”是“”的必要非充分条件，则实数的取值范围为 . 30．已知集合，，，若，则的取值范围为 31．已知集合，定义集合：，则中的子集个数为 32．用表示非空集合中元素的个数，定义，若，，，则实数的所有可能取值构成集合，则{ }（请用列举法表示）. 33．已知方程的两根一个比大另一个比小，则实数的范围是 . 34．已知对任意，记表示不大于的最大整数，如，.设，若，则关于的不等式的解集为 . 35．已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集为 ． 36．已知，若实数且，则的最小值是 ． 37．已知，则的最小值为 ． 38．已知关于x不等式的解集为A，若，则实数m的取值范围是 . 39．若，则满足的的最大值为 40．已知，则的解集为 ． 41．已知函数，，若对于任意，存在，使得，则实数的取值范围为 . 42．已知函数，若方程有3个不同的根，则实数的取值范围是 . 43．已知不等式对于恒成立，则实数的取值范围是 ． 44．已知是定义在R上的偶函数，当且时，总有，则不等式的解集为 ． 45．已知定义在上的函数满足,函数为偶函数.且当时,，则 . 46．设函数是定义在上的单调函数，若对于任意的，都有成立，则不等式的解集为 . 47．2023年1月底，由马斯克、彼得泰尔等人创立的人工智能研究公司发布的名为“”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为 .（参考数据：） 48．若是定义在上的奇函数，且．若对任意的两个正数，都有，则的解集为 ． 49．已知函数，记函数值域为，若，则的最小值为 50．已知函数的定义域为，，则下列说法正确的有 ①；②；③是偶函数；④为的极小值点 51．已知函数，给出以下四个结论：①存在实数，使函数无最小值；②当时，函数在上单调递增；③对任意，都存在实数，使方程有3个不同的实根．其中所有正确结论的序号是 ． 52．已知，若关于的方程解集为，则的取值范围为 . 53．已知函数，若关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围是 ． 54．已知，函数．若关于的方程恰有四个不同的实数根，则的取值范围是 ． 55．已知函数若，且，则的取值范围是 ． 56．对于函数和，设，，若存在、，使得，则称与互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围为 . 57．设，函数的图像与直线有四个交点，且这些交点的横坐标分别为，则的取值范围为 . 58．已知函数，，若关于的方程恰有4个不同的实数根，则的取值范围是 . 59．若函数与的图像有3个公共点，则实数k的取值范围是 . 60．已知函数，若方程有8个相异的实数根，则实数的取值范围是 ． 二、单选题 1．已知非空集合，满足对于的任意一个排列，对任意，，都有.   关于下列两个命题的判断，说法正确的是（    ）. 命题①：若，则中至少有两个相等； 命题②：若，则中至少有两个相等； A．①是真命题；②是真命题 B．①是真命题；②是假命题 C．①是假命题；②是真命题 D．①是假命题；②是假命题 2．对于实数“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 3．定义集合运算，若，，则既有元素之和为（） A．48 B．54 C．42 D．36 4．已知集合，，则下列命题是真命题的数量有（  ） ① ②③ A．0 B．1 C．2 D．3 5．，则下列不等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 6．若代数式对任意的实数x有意义，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．不等式的解集为，不等式的解集为，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．在同一直角坐标系中，函数与的图像可能是（    ） A．   B．   C．   D．   11．函数满足下列哪个关系式（    ） A． B． C． D． 12．下列选项中的两个函数表示同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 13．围棋是中国传统棋种，蕴含着中华文化丰富内涵，围棋棋盘横竖各有19条线，共有个落子点.每个落子点都有落白子、落黑子和空白三种可能，因此围棋空间复杂度的上限.科学家们研究发现，可观测宇宙中普通物质的原子总数.则下列各数中与最接近的是（    ） A． B． C． D． 14．已知函数为偶函数，若，则a不可能为（    ） A． B． C． D． 15．教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于.经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（参考数据：）（    ） A．11分钟 B．14分钟 C．16分钟 D．20分钟 16．设是定义在上的函数，若存在使得在上是严格增函数，在上是严格减函数，则称为上的单峰函数，为峰点，包含峰点的区间为的含峰区间.则下列函数为上的单峰函数的个数为（    ） ①；②； ③；④； A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 17．已知定义在上的函数满足:对任意，都有.若函数的零点个数为有限的n(n∈N)个，则n的最大值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 18．已知函数，给出下列命题： （1）无论取何值，恒有两个零点；      （2）存在实数，使得的值域是； （3）存在实数使得的图象上关于原点对称的点有两对； （4）当时，若的图象与直线有且只有三个公共点，则实数的取值范围是．其中，正确命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压，下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60-90 混合动力汽车 10 50-60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 20．方程在区间和各有一个根的充要条件是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 考前终极刷题01（高频选填专练） 一、填空题 1．若，函数的定义域为，则 ． 【答案】 【知识点】交集的概念及运算、求对数型复合函数的定义域、分式不等式 【分析】解分式不等式可得集合A，根据对数函数定义域可得集合B，进而可得交集. 【详解】由，可得，解得，即集合； 令，可得，即集合； 所以. 故答案为：. 2．已知集合，，若，，则 . 【答案】 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据并集结果求集合或参数 【分析】先求出集合，再根据交集和并集的结果得方程的根，即可求出参数，从而得解，注意验证参数得到的集合是否满足题意. 【详解】，因为，， 所以，即是方程的解， 所以，解得， 当时，方程的根为，此时， 满足，，符合题意， 所以. 故答案为： 3．若，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】描述法表示集合、方程与不等式 【分析】根据给定条件，解一元一次不等式即可. 【详解】由，得，则不等式化为：，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 4．已知，若存在，使得不等式成立，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】由题意可得小于等于的最大值即可. 【详解】因为存在，使得不等式成立， 所以在上有解， 所以小于等于的最大值， 令，， 则， 所以， 即的取值范围是. 故答案为： 5．已知，关于的方程的两个实数根为，且，则 . 【答案】 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】根据韦达定理即可求解. 【详解】由题意，， 且，即， 因为， 则，解得，即， 所以. 故答案为：30. 6．已知，若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】由题意可得为方程的根，且，进而结合韦达定理求出，，再根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由题意，为方程的根，且， 则，解得，， 则不等式为， 即，即，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 7．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】由题设，讨论、结合恒成立，列不等式组求范围. 【详解】由题设， 当时，，此时只需，则有； 当时，，此时只需，则有； 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 8．已知函数为，在R上单调递增，则取值的范围 ． 【答案】 【知识点】对数型复合函数的单调性、根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 则取值的范围为. 故答案为：. 9．已知函数，满足，则 . 【答案】1 【知识点】求函数值、指数幂的运算、求指数函数解析式 【分析】利用，求出，代入求值. 【详解】，故，解得， 则，. 故答案为：1 10．已知幂函数的图象关于轴对称，则实数的值是 ． 【答案】2 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由函数对称性求函数值或参数 【分析】根据函数为幂函数求出的值，再通过的图象关于轴对称来确定的值. 【详解】由为幂函数，则，解得，或， 当时，，其图象关于轴对称， 当时，，其图象关于对称， 因此， 故答案为：2. 11．设方程，的两个实数根为a和b，则 【答案】 【知识点】运用换底公式化简计算、对数的运算 【分析】转化为一元二次方程求出a和b，然后由对数运算求解可得. 【详解】令，则，解得或， 即或，解得或， 所以，或，， 所以. 同理可求时，结果也为， 故答案为： 12．函数的最大值为 . 【答案】 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、对数型复合函数的单调性、求对数函数的最值 【分析】判断函数的单调性，根据函数单调性即可求得答案. 【详解】由题意，知在上单调递减，在上单调递减， 故在上单调递减， 则当时该函数取到最大值， 故答案为： 13．函数的定义域为 ． 【答案】． 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、求对数型复合函数的定义域 【分析】根据对数函数的性质得不等式，然后解指数不等式可得． 【详解】由题意，即， ∴，，∴定义域为． 故答案为：． 14．函数的单调递减区间是 ． 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、对数型复合函数的单调性、求对数型复合函数的定义域 【分析】根据复合函数单调性求得正确答案. 【详解】令，解得， 令，对称轴为， 则在上单调递增，则在上单调递减， 而在上单调递减， 所以在上单调递减. 故答案为：. 15．函数的奇偶性是 . 【答案】奇函数 【知识点】求对数型复合函数的定义域、函数奇偶性的定义与判断 【分析】利用对数函数的定义域以及函数奇偶性的定义求解. 【详解】由函数，可得， 解得， 所以，所以， ， 所以函数是奇函数， 故答案为:奇函数. 16．已知定义域为的奇函数，满足，且，则函数在区间上的零点个数的最小值为 . 【答案】 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据奇函数的性质和可知，，，再利用得函数为周期函数，利用周期性可得区间上的其余零点. 【详解】依题意，奇函数的定义域为，所以. 由，得，即，由奇函数的性质得， 又，即，由奇函数的性质得，解得， 由，得， 所以函数是周期函数，且周期为， 因此，，，，，，，，. 这表明函数在上至少有这个零点. 当时，函数在上的全部零点恰为. 所以，函数在区间上的零点个数的最小值为. 故答案为：. 17．定义在实数集R上的函数满足，，且当时，，则满足的取值范围为 . 【答案】 【知识点】画出具体函数图象、函数对称性的应用、函数周期性的应用 【分析】根据题意得周期为4，关于对称，作出函数在上图象，结合周期性得出答案. 【详解】由，可得函数周期为4，当时，，又得关于对称， 作出函数在上图象， 由图像可得，在上满足的取值范围是，又函数周期为4， 所以函数满足的取值范围是. 故答案为：. 18．若函数为偶函数，则实数 . 【答案】1 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】利用偶函数定义，列式计算即得. 【详解】函数的定义域为R，且为偶函数， 则，，即， 于是，化简得，而不恒为0，则， 所以. 故答案为：1 19．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知函数的定义域求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】将函数定义域为R转化为不等式在上恒成立，然后列不等式求解即可. 【详解】由题意得在上恒成立，， 即，. 故答案为：. 20．已知是上的减函数，那么的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由对数（型）的单调性求参数、根据分段函数的单调性求参数 【分析】由题意可得每一段上函数为减函数，且，从而可求出的取值范围 【详解】因为是上的减函数， 所以，解得， 所以的取值范围， 故答案为： 21．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，（b为常数），则= ． 【答案】 【知识点】求函数值、由奇偶性求参数 【分析】根据给定条件，利用求出，再利用奇函数定义求出作答. 【详解】R上的奇函数，当时，，则，解得， 所以. 故答案为： 22．若关于的方程在实数范围内有解，则实数的取值范围 . 【答案】 【知识点】函数与方程的综合应用 【分析】依题意在上有解，利用函数的单调性可求的取值范围. 【详解】因为关于的方程在实数范围内有解， 即在上有解， 又可得在上为增函数， 所以， 所以实数的取值范围. 故答案为： 23．设函数．则在区间内零点的近似解为 ．（精确到0.1） 【答案】（不唯一） 【知识点】二分法求方程近似解的过程 【分析】应用二分法求零点的近似解区间，即可得答案. 【详解】由，而，则， ，则， ，则， ，则， 由，所以区间内零点的近似解为. 故答案为： 24．若关于x的方程在区间上有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求对数函数的最值、函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】换元后得到在上有两个不同的实数根，数形结合得到不等式，求出答案. 【详解】令，因为，所以， 故在上有两个不同的实数根， 令，， 故，解得， 故答案为：. 25．“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收.”《增广贤文》是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是，一年后“进步”的是“退步”的倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20%，那么“进步”的是“退步”的1000倍需要经过的时间大约是 天（四舍五入精确）（参考数据：）. 【答案】 【知识点】指数式与对数式的互化、运用换底公式化简计算、对数函数模型的应用（2） 【分析】根据已知条件，推得，再结合对数公式，即可求解. 【详解】设经过天“进步”的是“退步”的1000倍， 则，即， 故. 故答案为：. 26．某物流公司购买了一批自动分拣机器人投入运营.据分析，这批机器人运营的总利润（单位：万元）与运营年数为二次函数关系，其部分对应关系如下表所示： 运营年数 1 5 7 总利润 10 10 则这批机器人运营年数为 时，其运营的年平均利润最大. 【答案】5 【知识点】基本（均值）不等式的应用、利用二次函数模型解决实际问题 【分析】由表格中的数据求得二次函数解析式，再应用基本不等式求得年平均利润取得最大值时x的取值，即可得结果. 【详解】由表格知，函数过点，，， 设， 则 解得： ∴ ， ∴年平均利润为 ， 即：当且仅当时，取得最大值2. 故答案为：5. 27．已知是关于的方程的两个实数根，是关于的方程的两个实数根，其中是常数，且，则 . 【答案】 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】根据根与系数关系列方程，化简求得的值. 【详解】依题意， 由得， 即，解得或. 当时，方程对应的，不符合题意. 当时，方程对应的，符合题意. 所以. 由得， 所以， 所以. 故答案为： 28．已知全集，，，若，则 . 【答案】 【知识点】根据交集结果求集合或参数、交并补混合运算 【分析】分、和三种情况，进而可得集合，求的值，即可得结果. 【详解】因为，，， 当时，解得，集合，，不满足； 当时，解得，集合，，满足； 显然不成立； 综上所述：，，， ，， 故答案为： 29．已知集合，若“”是“”的必要非充分条件，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】分式不等式、解含有参数的一元二次不等式、根据必要不充分条件求参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】解分式不等式和一元二次不等式，讨论的取值范围，确定，由充分必要条件的定义可得，结合集合间的包含关系建立不等式组，解之即可求解. 【详解】由题意，， ， 当即时，， 因为“”是“”的必要不充分条件， 所以， 则，解得，经检验满足题意； 当即时，， 因为“”是“”的必要不充分条件， 所以， 则，解得；经检验满足题意； 当即时，，满足. 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 30．已知集合，，，若，则的取值范围为 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】结合题意可得，，进而结合包含关系分和两种情况讨论求解即可. 【详解】因为，则， 所以， 当时，要使， 则，即； 当时，， 要使，则，解得.‘ 综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 31．已知集合，定义集合：，则中的子集个数为 【答案】231 【知识点】描述法表示集合、判断集合的子集（真子集）的个数、集合新定义 【分析】根据题意，作出示意图，表示出集合的点，求得的取值，结合的定义，表示图象，得出中元素的个数，进而得到中的子集个数，得到答案. 【详解】由题意，集合， 可得集合中有5个元素，即5个点，如图所示的图中的黑点， 集合中有15个元素，即15个点， 即图中长方形内部及长方形的边上的整点， 又由或或或或或或，共由7个值； 或或或或，共由5个值； 所以集合中的元素可看作图中长方形边上除去四个顶点外的整点，共有个， 所以集合中的子集个数为个. 故答案为：. 32．用表示非空集合中元素的个数，定义，若，，，则实数的所有可能取值构成集合，则{ }（请用列举法表示）. 【答案】 【知识点】集合新定义 【分析】根据题意，可得，则可通过讨论与的大小，进而得到结果． 【详解】根据题意，，则有， 又因为， 即得表示方程实数根的个数， 解这个方程得①，或②， 解方程①得，， 对于方程②，若，即或时， 方程有两个不等实根分别为，； 若，即或时，方程有且只有一个实根； 若，即时，方程没有实数根． 综上可得，当或时，； 当或时，； 当时， 所以（1）当时，，即得， 此时可得； （2）当时，即得，此时可得或； 故答案为：． 33．已知方程的两根一个比大另一个比小，则实数的范围是 . 【答案】 【知识点】一元二次方程根的分布问题 【分析】根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】因为方程的两根一个比大另一个比小， 则，解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 34．已知对任意，记表示不大于的最大整数，如，.设，若，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】函数新定义、解不含参数的一元一次不等式 【分析】分，，，四种情况讨论求解不等式即可. 【详解】当时，，所以， 等价于，解得，所以; 当时，，，所以， 等价于，解得，所以; 当时，，，所以， 等价于，解得，所以; 当时，，所以， 等价于，解得，所以. 综上所述，不等式的解集为. 故答案为:. 35．已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】分式不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据条件，利用一元二次不等式的解法，得到，，进而将问题转化成求解不等式，即可求解. 【详解】因为关于的不等式的解集是， 则方程的两解为，且， 则，得到，，所以， 又，等价于，解得， 所以不等式的解集为， 故答案为：. 36．已知，若实数且，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、基本不等式“1”的妙用求最值、函数奇偶性的应用 【分析】利用奇函数得到等量关系，用基本不等式‘1’的代换处理即可. 【详解】易知，且，，故是奇函数， 又易得函数单调递增，必有，化简得，则， 当且仅当，即时取等，则的最小值是. 故答案为： 37．已知，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由于，借助基本不等式即可求出最小值. 【详解】因为，所以 所以 ， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为： 38．已知关于x不等式的解集为A，若，则实数m的取值范围是 . 【答案】或 【知识点】分式不等式 【分析】根据得到时不等式不成立，即或，然后解不等式和方程即可. 【详解】因为，所以或，即或，解得或. 故答案为：或. 39．若，则满足的的最大值为 【答案】/ 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、由指数函数的单调性解不等式 【分析】首先得出的奇偶性、单调性，进一步结合已知列出关于的不等式即可求解. 【详解】显然的定义域是全体实数，所以它的定义域关于原点对称， 当时，，当时，， 当时，， 所以是偶函数， 当时，单调递增，所以当时，单调递减， 所以， 所以满足的的最大值为. 故答案为：. 40．已知，则的解集为 ． 【答案】 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断指数型复合函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】探讨给定函数的奇偶性及单调性，再解不等式即得. 【详解】函数的定义域为R，，则是R上的奇函数， 函数在R上都单调递减，则函数在R上单调递减， 不等式，因此， 即，解得或， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 41．已知函数，，若对于任意，存在，使得，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】函数不等式恒成立问题、求对数型复合函数的值域、求指数函数在区间内的值域 【分析】根据对数函数、指数函数的性质求出、的值域，依题意可得，即可得到不等式，解出即可得. 【详解】因为，所以，所以，即， 由，则，即， 因为对于任意，存在，使得， 所以，则，解得，即. 故答案为：. 42．已知函数，若方程有3个不同的根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】指数函数图像应用、根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用、画出具体函数图象 【分析】将方程的根的个数转换为函数图象的交点的个数，利用指数函数一次函数单调性画出函数图象，通过平移直线来找到满足题意的实数的取值范围即可. 【详解】由题意， 根据（复合）函数单调性画出函数大致图象如图所示， 由题意方程有3个不同的根，则函数图象有三个不同的交点， 通过平移直线发现，函数图象有三个不同的交点当且仅当， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 43．已知不等式对于恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】函数不等式恒成立问题、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、求指数函数在区间内的值域 【分析】依题意可得不等式对于恒成立，令可得不等式对于恒成立，参变分离可得对于恒成立，再根据二次函数的性质求出的最大值，即可求出参数的取值范围. 【详解】不等式对于恒成立， 即不等式对于恒成立， 令，则，所以不等式对于恒成立， 所以对于恒成立， 令，则，函数在上单调递减， 所以，即， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为： 44．已知是定义在R上的偶函数，当且时，总有，则不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】利用单调性与奇偶性解不等式． 【详解】因为当且时，总有， 即当时，，所以是上的减函数， 又，则是偶函数，且在上递减， 不等式即为，也即， 所以，，， 故答案为：． 45．已知定义在上的函数满足,函数为偶函数.且当时,，则 . 【答案】 【知识点】指数函数的判定与求值、函数周期性的应用、函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据题意，由条件可得函数为定义在上的奇函数，且其周期，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，函数为定义在上的奇函数，则，则， 则当时,，又因为函数为偶函数，所以的图像关于对称，即， 所以，所以，即函数的周期，则 ，且，则. 故答案为： 46．设函数是定义在上的单调函数，若对于任意的，都有成立，则不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、求对数函数的解析式 【分析】首先设，再根据，求得函数的解析式，即可求解不等式的解集. 【详解】设，则， ，，单调递增， 当，则， 所以， 若，则，得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 47．2023年1月底，由马斯克、彼得泰尔等人创立的人工智能研究公司发布的名为“”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为 .（参考数据：） 【答案】74 【知识点】指数函数模型的应用（2）、对数的运算 【分析】根据题意，建立指数函数模型，然后结合指数，对数的运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】根据题意可得，该指数衰减的学习模型为， 当时，代入得，，解得， 由学习率衰减到以下（不含），可得，即， 所以，因为， 所以，则取. 故答案为： 48．若是定义在上的奇函数，且．若对任意的两个正数，都有，则的解集为 ． 【答案】 【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式 【分析】设，根据可得函数在上为减函数，再结合条件可得，即求. 【详解】根据题意，设， 若是定义在上的奇函数，即， 则有，则函数为偶函数， 若对任意的两个不相等的正数， 假设，有， 必有，则函数在上为减函数， 又由，则，若，即， 必有且，解可得或即不等式的解集为． 故答案为：． 49．已知函数，记函数值域为，若，则的最小值为 【答案】5 【知识点】分段函数的值域或最值、利用函数单调性求最值或值域 【分析】根据图象得到函数的值域，然后借助对勾函数的单调性求最小值即可. 【详解】函数的图象如下：    所以， 函数在上单调递减，上单调递增， 所以在时取得最小值，最小值为5. 故答案为：5. 50．已知函数的定义域为，，则下列说法正确的有 ①；②；③是偶函数；④为的极小值点 【答案】①②③ 【知识点】函数极值点的辨析、函数奇偶性的定义与判断、求函数值 【分析】利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断①②③，举反例即可排除④. 【详解】因为， 对于①，令，，故①正确. 对于②，令，，则，故②正确. 对于③，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故③正确， 对于④，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故④错误. 故答案为：①②③. 51．已知函数，给出以下四个结论：①存在实数，使函数无最小值；②当时，函数在上单调递增；③对任意，都存在实数，使方程有3个不同的实根．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③ 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数图象的应用、根据图像判断函数单调性、求函数零点或方程根的个数 【分析】画出、时的图象，根据这两种情况下的图像分析即可. 【详解】 (1)当时，，函数f(x)的图象如图（1）所示. (2)当时，，函数f(x)的图象如图（2）所示. 对于①：时，如图（1）,函数没有最小值，故①正确， 对于②：时，如图（2），函数在上不是单调递增，故②错误， 对于③：对任意，如上图(2)，当时，使方程有3个不同的实根，故③正确.    故答案为：①③. 52．已知，若关于的方程解集为，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】由题意得无解，对分，和且讨论，再结合判别式即可求解. 【详解】由， 整理得， 即， 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当且时，方程无解，即无解， ，解得，又， 的取值范围为. 故答案为：. 53．已知函数，若关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、分段函数的性质及应用 【分析】作出函数的图象，根据一元二次不等式的解法将不等式转化为，讨论的大小得关于的不等式，从而可得实数a的取值范围. 【详解】作出函数的图像，如图所示，      有，， 由，得， 当时，，不等式无解； 当时，由得，此时不可能只有一个整数解． 当时，由得， 若不等式恰有一个整数解，则整数解为， 又，，再结合图像知， 综上所述，实数a的取值范围为． 故答案为： 54．已知，函数．若关于的方程恰有四个不同的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据指对幂函数零点的分布求参数范围 【分析】分析可知，，且知方程在有两个不等的实根，则在上的图象，作出函数、的图象数形结合可求得实数的取值范围. 【详解】由可得，可得， 若，当时，由，可得， 当时，由，可得，该方程至多两个根，不合乎题意. 所以，，当时，由可得或， 即方程在有两个不等的实根， 当时，由可得， 对于二次函数，该函数的图象开口向上，对称轴为直线， ，设函数的两个零点分别为、，则， 若使得关于的方程恰有四个不同的实数根，则方程在上只有两个不等的实根， 所以，或（无解），解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 55．已知函数若，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围、函数与方程的综合应用、函数图象的应用、分段函数的性质及应用 【分析】画出函数的图象，并根据方程根的个数确定每个根对应的取值范围，即可求得表达式的取值范围 【详解】画出函数的图象如下： 观察图象由对称性可得，即 又，， 则 令，由二次函数图象可知，，， ∴的取值范围为. 故答案为： 56．对于函数和，设，，若存在、，使得，则称与互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】函数新定义、根据零点所在的区间求参数范围 【分析】先求出的零点为，设函数的零点为，根据“零点相邻函数”的定义得到，则函数在上有零点，再根据二次函数的图象列式可求出结果. 【详解】因为，且函数为单调递增函数，所以为函数的唯一零点， 设函数的零点为， 又因为函数与互为“零点相邻函数”， 所以，解得， 所以函数在上有零点， 所以或或， 即或或， 所以. 故答案为：. 57．设，函数的图像与直线有四个交点，且这些交点的横坐标分别为，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】函数与方程的综合应用、利用函数单调性求最值或值域 【分析】根据题意，利用韦达定理，求得，和的关系，以及的范围，将目标式转化为关于的函数，借助对勾函数的单调性，即可求得结果. 【详解】根据题意，令，解得或，不妨设 作图如下： 又直线的斜率为，数形结合可知，要满足题意，； 且为方程，即的两根， 当时，，则， 故； 为方程，即的两根， 当时，，则， 故； 则， 令，由对勾函数单调性可知在上单调递减， 又，故，即的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数与方程；处理问题的关键是能够数形结合求得，和的关系，从而借助函数单调性求值域，属综合中档题. 58．已知函数，，若关于的方程恰有4个不同的实数根，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数图象的应用 【分析】根据图象，以及函数关系，得到，，代入后转化为二次函数求取值范围. 【详解】如图，若关于的方程恰有4个不同的实数根，则 ，，， 即，则， ， ， 所以的取值范围是. 故答案为： 59．若函数与的图像有3个公共点，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据指对幂函数零点的分布求参数范围 【分析】在同一平面直角坐标系内画出两个函数图象，先考虑两个公共点，进而可得三个公共点的情况，用数形结合法求解． 【详解】由得，作出两函数的图象如下图： 当时，，在上有一个交点， 若函数与的图象恰有两个公共点，则当时两函数图象有且只有一个交点，即与相切，即，即，，解得或0（舍去），于是当时有3个公共点， 故答案为：. 60．已知函数，若方程有8个相异的实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】二次函数的图象分析与判断、根据二次函数零点的分布求参数的范围、指数函数图像应用 【分析】根据题意，作出函数的图像，进而数形结合，将问题转化为方程在区间上有两个不相等的实数根，再结合二次函数零点分布求解即可. 【详解】解：根据题意，作出函数的图像，如图： 令，因为方程有8个相异的实数根， 所以方程在区间上有两个不相等的实数根， 故令，则函数在区间上有两个不相等的零点. 所以，即，解得. 所以实数的取值范围是. 故答案为： 二、单选题 1．已知非空集合，满足对于的任意一个排列，对任意，，都有.   关于下列两个命题的判断，说法正确的是（    ）. 命题①：若，则中至少有两个相等； 命题②：若，则中至少有两个相等； A．①是真命题；②是真命题 B．①是真命题；②是假命题 C．①是假命题；②是真命题 D．①是假命题；②是假命题 【答案】B 【知识点】判断命题的真假 【分析】分别研究两个命题的真假性即可得到答案. 【详解】根据条件，显然都是关于原点对称的集合，所以对，，有. 同时，对，只要包含，则对，有，反之亦然，故. 这表明，只要中有任何一个包含，中就至少有两个相等. 与此同时，对于，设满足，若，，则，所以，据的对称性有，同理，故，同理. 同时，设，则，所以. 故，所以，同理. 有了这些准备工作，下面分别研究两个命题①和②： 对于①，如果中的每个数都是偶数，则可以不断对每个元素除以（这个过程不能无限进行），直至中不全为偶数. 所以不妨设中至少有一个包含奇数，不妨设奇数，此时任取. 根据前面已经证明的结论，可知对任意整数，有，. 再结合前面证明的结论，可知对任意整数，有，. 从而对任意整数，据，，有. 这表明对任意整数，只要不全是偶数，就有. 由于是奇数，故不全是偶数，从而. 根据前面证明的结论，可知中至少有两个相等，故①正确； 对于②，设，，. 则满足全部条件，但两两不相等，故②错误. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对已有条件的适当转化。 2．对于实数“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、由对数函数的单调性解不等式 【分析】根据题意，分别求解不等式，再由充分条件以及必要条件的定义，即可得到结果. 【详解】由可得，解得， 由可得，解得， 则 “”是“”的必要非充分条件. 故选：B 3．定义集合运算，若，，则既有元素之和为（） A．48 B．54 C．42 D．36 【答案】D 【知识点】集合新定义、列举法求集合中元素的个数 【分析】首先根据集合和中的元素，按照新定义求出的所有元素，然后再求这些元素之和. 【详解】当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 所以. 再求元素之和： 故选：D. 4．已知集合，，则下列命题是真命题的数量有（  ） ① ②③ A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系 【分析】运用元素与集合关系，集合与集合关系，分别判断三个命题的真假. 【详解】对①，判断是否成立，令，当时，，因为，所以，此命题为假命题. 对②，判断是否成立，因为. 假设，，则，. 要使，则与要么同为奇数，要么同为偶数. ，将分解因数后发现无法写成的形式（其中），所以，此命题为假命题. 对③，判断是否成立，对于集合中的任意元素，. 令，，则. 所以对于任意的，都有，但是，但.此命题为真命题. 故真命题的数量为1个. 故选：B. 5．，则下列不等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小 【分析】利用作差法结合不等式性质对选项逐一分析即可. 【详解】， ，所以， 所以，即，所以，故正确； ，所以， 所以，即， 所以，故正确； ，， 所以，所以，故错误； ，所以，故正确. 故选：. 6．若代数式对任意的实数x有意义，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、已知函数的定义域求参数 【分析】根据分母不为0，分类讨论求解即可. 【详解】由题意，对任意，， 当时，恒成立，符合题意； 当时 ，只需，解得， 综上，实数m的取值范围是. 故选：D 7．不等式的解集为，不等式的解集为，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式不等式、解含有参数的一元二次不等式、根据集合的包含关系求参数 【分析】由题意得，，由，可得，根据子集的概念求解即可. 【详解】因为的解集为， 所以， 又因为的解集为， 所以， 又因为，所以， 所以. 故选：B. 8．已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】由的解集为，分和进行讨论即可求出实数的取值范围. 【详解】由关于的不等式，即的解集为， 当，即时，，不等式解集为， 当，即时，不等式解集不为， 因此可得， 故选：D. 9．“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围、根据函数的单调性求参数值、判断命题的充分不必要条件 【分析】求出的开口方向和对称轴，从而得到不等式，求出，结合是的真子集，确定答案. 【详解】开口向下，对称轴为， 要想在上单调递增，则， 解得， 由于是的真子集， 故“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 故选：A 10．在同一直角坐标系中，函数与的图像可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【知识点】函数图像的识别、判断指数型函数的图象形状、判断指数函数的单调性 【分析】分和两种情况，利用函数的单调性进行判断即可． 【详解】对于A，B，当时，函数在R上为单调递减函数； 又，所以在区间和区间上单调递减， 且当时，，故A和B均错误； 对于C，当时，函数在R上为单调递增函数， 又，所以在区间和区间上单调递增，故C错误，D正确． 故选：D． 11．函数满足下列哪个关系式（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对数的运算性质的应用、求函数值 【分析】举例判断ABD，根据对数运算判断C. 【详解】令， 可得， 且， 故ABD错误， 因为，故C正确； 故选：C. 12．下列选项中的两个函数表示同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【知识点】判断两个函数是否相等、具体函数的定义域 【分析】由函数的定义域和解析式逐一判断即可. 【详解】A：定义域为，的定义域为，故A错误； B：定义域为，的定义域为，故B错误； C：两函数的定义域都为，又，所以两个函数表示同一函数，故C正确； D：当时，无意义，而,故D错误； 故选：C 13．围棋是中国传统棋种，蕴含着中华文化丰富内涵，围棋棋盘横竖各有19条线，共有个落子点.每个落子点都有落白子、落黑子和空白三种可能，因此围棋空间复杂度的上限.科学家们研究发现，可观测宇宙中普通物质的原子总数.则下列各数中与最接近的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用 【分析】由题意,再两边取对数得以，再结合对数的运算性质求解即可. 【详解】因为，，所以， 所以， 所以. 则选项中各数与最接近的是. 故选：D. 14．已知函数为偶函数，若，则a不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由奇偶性求参数、简单的对数方程 【分析】根据偶函数性质，列关系式确定的关系，由此确定的范围即可. 【详解】因为为偶函数， 所以恒成立，即恒成立， 所以， 所以， 所以，又， 所以， 因为，所以， 故选：D 15．教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于.经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（参考数据：）（    ） A．11分钟 B．14分钟 C．16分钟 D．20分钟 【答案】A 【知识点】对数函数模型的应用（2）、对数的运算性质的应用 【分析】由题意解出解析式中的参数，后解对数不等式求解即可. 【详解】由题意得，当时，，将其代入解析式，解得， 故解析式为，令，解得， 化简得，结合，可得， 故选：A 16．设是定义在上的函数，若存在使得在上是严格增函数，在上是严格减函数，则称为上的单峰函数，为峰点，包含峰点的区间为的含峰区间.则下列函数为上的单峰函数的个数为（    ） ①；②； ③；④； A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【知识点】函数新定义、复合函数的单调性、判断指数型复合函数的单调性 【分析】分别求得①②③④所给函数在上的单调性，进而判定其是否为上的单峰函数. 【详解】①在上单调递减，在上单调递增， 则不是上的单峰函数； ②在上单调递减，在上单调递增， 又为R上增函数， 则在上单调递减，在上单调递增， 则不是上的单峰函数； ③的图像如下：    则在上单调递增，在上单调递减， 为上的单峰函数； ④的图象如下：    在上单调递增，在上单调递减， 为上的单峰函数 故③④为单峰函数 故选：C 17．已知定义在上的函数满足:对任意，都有.若函数的零点个数为有限的n(n∈N)个，则n的最大值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】求函数零点或方程根的个数 【分析】设函数的零点为，结合题设可得，进而求解. 【详解】由题意，对任意，都有， 设函数的零点为， 则，即， 所以，即， 设， 则函数为开口向上，对称轴为，且，， 所以函数在上有2个零点， 即函数的零点个数最多为2个. 故选：B. 18．已知函数，给出下列命题： （1）无论取何值，恒有两个零点；      （2）存在实数，使得的值域是； （3）存在实数使得的图象上关于原点对称的点有两对； （4）当时，若的图象与直线有且只有三个公共点，则实数的取值范围是．其中，正确命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】求函数零点或方程根的个数、由函数对称性求函数值或参数、利用导数研究函数的零点、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】命题（1）利用零点即对应方程的根进行分析处理；命题（2）结合图象分析值域；命题（3）转化为两个函数与在上有两个交点问题进行处理；命题（4）画出的图象，利用数形结合分析处理，把直线绕定点旋转确定临界位置，从而确定结果． 【详解】对于命题（1），当时，由，得到，所以在上有一个零点， 当时，，当，得到，此时在上没有零点，所以命题（1）错误， 对于命题（2），当时，，要使值域为， 则当时，的值域应包含，所以， 此时对称轴，所以在区间上单调递增，又， 因此不存在，使值域为，所以命题（2）错误， 对于命题（3），当时，，其关于原点对称函数为， 要存在实数使得的图象上关于原点对称的点有两对， 即当时，与有两个交点， 当时，，其图象开口向下，又时，， 此时与有两个交点，如图1，所以存在使命题成立，所以命题（3）正确， 对于命题（4），对于时，，其图象如图2所示， 又过点，由，消得到， 由，得到，由图知，当时，与在上有2个交点， 又由，得到，当时，，所以在处的切线方程为， 又的图象与直线有且只有三个公共点，由图可知，所以命题（4）正确， 故选：B. 19．噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压，下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60-90 混合动力汽车 10 50-60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、对数的运算性质的应用 【分析】根据题意，分别计算，的范围以及的值，进行运算比较即可求解. 【详解】由题意得, ,所以， ,所以, ,故C错误； 则有， 因为， 可得，故A错误； 因为，，则， 所以，故B错误; ， 所以，故D正确. 故选: D. 20．方程在区间和各有一个根的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程根的分布问题、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】令，利用零点存在性定理，建立参数所满足的不等式，解不等式，即得参数的取值范围. 【详解】因为一元二次方程在区间和各有一个根， 令，则由题意可得，即，解得， 则方程在区间和各有一个根的充要条件是. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$