专题06 函数基本性质+函数模型应用（期末压轴专项训练20题）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（沪教版2020必修第一册）

专题06 函数基本性质+函数模型应用 （期末压轴专项训练20题） 一、单选题 1．心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型，呈现出优雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，营造出一个精神和自然聚合的空间.图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 2．已知，为奇函数，当时，，则集合可表示为（      ） A． B． C． D． 3．已知非空集合A，B满足：，，函数，对于下列两个命题：①存在唯一的非空集合对，使得为偶函数；②存在无穷多非空集合对，使得方程无解.下面判断正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①､②都正确 D．①､②都错误 4．已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B．为奇函数 C．有零点 D． 5．当时，方程在上根的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．设函数（且）在区间上是单调函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．若函数为奇函数，则 ． 8．若，，则满足的m的最大值为 ． 9．函数是最小正周期为4的偶函数，且在时，，若存在满足，且，则最小值为 . 10．已知函数为上的奇函数；且，当时，，则 ． 11．已知函数是定义在上的奇函数，且满足， ，则 . 12．若关于的方程在实数范围内有解，则实数的取值范围是 ． 13．若函数有唯一零点，则实数的值为 . 三、解答题 14．已知为实数，函数，． (1)当时，求函数的单调递增区间； (2)若对任意，恒成立，求的取值范围． 15．我们把定义在上，且满足（其中常数，满足，，）的函数叫做似周期函数． （1）若某个似周期函数满足且图像关于直线对称．求证：函数是偶函数； （2）当，时，某个似周期函数在时的解析式为，求函数，的解析式； （3）对于确定的且时，，试研究似周期函数在区间上是否可能是单调函数？若可能，求出的取值范围；若不可能，请说明理由． 16．函数 (1)当时，是否存在实数c，使得为奇函数； (2)若函数过点，且函数图像与轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围. 17．环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车在国道上进行测试，国道限速80km/h．经多次测试得到该汽车每小时耗电量M（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的数据如下表所示： v 0 10 40 60 M 0 1325 4400 7200 为了描述国道上该汽车每小时耗电量M与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择： ①；②；③． (1)当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数解析式； (2)现有一辆同型号电动汽车从A地行驶到B地，其中高速上行驶200km，国道上行驶30km，若高速路上该汽车每小时耗电量N（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的关系满足，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 18．自2017年起，上海市开展中小河道综合整治，全面推进“人水相依，延续风貌，丰富设施，精彩活动”的整治目标．某科学研究所针对河道整治问题研发了一种生物复合剂．这种生物复合剂入水后每1个单位的活性随时间（单位：小时）变化的函数为，已知当时，的值为28，且只有在活性不低于3.5时才能产生有效作用． (1)试计算每1个单位生物复合剂入水后产生有效作用的时间；（结果精确到小时） (2)由于环境影响，每1个单位生物复合剂入水后会产生损耗，设损耗剩余量关于时间的函数为，记为每1个单位生物复合剂的实际活性，求出的最大值．（结果精确到0.1） 19．已知函数，． (1)当时，若有最大值4，求的值； (2)求满足下列条件的所有整数对：存在，使得是的最大值，是的最小值； (3)对满足（2）中的条件的整数对，已知定义域为且的函数满足：，且当时，．若函数的零点的个数为4个，求实数m的取值范围． 20．已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意，都有，则称函数具有性质． (1)若函数具有性质，求的值 (2)设，若，求证：存在常数，使得具有性质 (3)若函数具有性质，且的图像是一条连续不断的曲线，求证：函数在上存在零点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 函数基本性质+函数模型应用 （期末压轴专项训练20题） 一、单选题 1．心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型，呈现出优雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，营造出一个精神和自然聚合的空间.图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数图象选择解析式 【分析】根据奇偶性和最值排除错误答案即可. 【详解】A选项：，故A错误； B选项：记，则，故为奇函数， 不符合题意，故B错误； C选项：记，则， 故为偶函数， 当时，， 此函数在上单调递增，在上单调递减， 且，故C正确； D选项：记，则， 故既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意，故D错误. 故选：C. 2．已知，为奇函数，当时，，则集合可表示为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由奇偶性求函数解析式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】利用函数奇偶性可得不等式等价于，再求出函数解析式，利用对数函数单调性解不等式可得结果. 【详解】因为为奇函数，所以等价于，即； 当时，，即，解得； 当时，，可得，所以， 解不等式，可得， 综上可得集合可表示为. 故选：D 3．已知非空集合A，B满足：，，函数，对于下列两个命题：①存在唯一的非空集合对，使得为偶函数；②存在无穷多非空集合对，使得方程无解.下面判断正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①､②都正确 D．①､②都错误 【答案】B 【知识点】分段函数的性质及应用、函数奇偶性的定义与判断 【分析】在同一平面直角坐标系画出与的图象，结合函数图象即可判断①；再分别求出与的解，即可判断无解的条件，从而判断②，即可得解； 【详解】解：在同一平面直角坐标系画出与的图象如下所示： 由，解得，由函数图象可知当或时为偶函数，故①错误； 令，解得，令，解得，因为，，，所以当，时满足无解，故存在无穷多非空集合对，使得方程无解，故②正确； 故选：B 4．已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B．为奇函数 C．有零点 D． 【答案】D 【知识点】求函数值、函数奇偶性的定义与判断、求函数的零点 【分析】利用赋值法，结合奇函数的定义、零点的定义逐一判断即可. 【详解】A：在中， 令，得， 因为，所以，所以本选项不正确； B：函数的定义域为全体实数，由上可知，显然不符合，因此本选项不正确； C：在中， 令，得 ，或， 显然函数没有零点，故本选项不正确， D：在中， 令， 得，所以本选项正确， 故选：D 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用赋值法. 5．当时，方程在上根的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】求函数零点或方程根的个数、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据同型结构构造函数，通过其单调性转化为研究根的问题，再利用的单调性判定根的个数即可. 【详解】，设函数， 现讨论方程根的个数，在时单调递增， 故问题可转化为根的问题， 令，易知单调递增，故， 当时，方程只有一根， 所以方程在上根的个数为1． 故选：B． 【点睛】思路点睛：注意观察式子，通过指对转化构造同型结构，再构造函数研究其单调性、判定根的个数即可. 6．设函数（且）在区间上是单调函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据分段函数的单调性求参数、由对数（型）的单调性求参数 【分析】分析可知函数在上单调递减，可求得，然后作出函数与函数的图象，可知两个函数在上的图象有两个交点，从而可得知函数在上有且只有一个零点，利用二次函数的零点分布可求得实数的取值范围，即可得解. 【详解】当时，， 二次函数图象的对称轴为直线，此时， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增，不合乎题意； 当时，即当时，此时， ， 函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，不合乎题意； 当时，即当时，， 此时函数在上单调递减，在上单调递减， 由题意可得，解得，此时. 当时，，可得， 令，可得， 因为，则， 如下图所示： 因为，所以，函数与函数在上的图象有两个交点， 由题意可知，函数与函数在上的图象有且只有一个交点， 联立，可得， 设，则函数在上有且只有一个零点， 二次函数的对称轴方程为，只需，解得. 综上所述，. 故选：D. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 二、填空题 7．若函数为奇函数，则 ． 【答案】 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】利用函数是奇函数得到，然后利用方程求解，即可得解． 【详解】因为函数为奇函数， 所以， 当时，则， 则， 即， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 8．若，，则满足的m的最大值为 ． 【答案】/ 【知识点】判断指数函数的单调性、根据分段函数的单调性求参数、由函数奇偶性解不等式 【分析】先判断函数的奇偶性与单调性，然后利用偶函数的单调性列不等式，最后解不等式即可得到的最大值. 【详解】当时，，即， 当时，，即， 于是，在上，都成立，即为偶函数. 由指数函数的单调性可知，在上单调递增， 因此，不等式等价于， 即，解得. 故m的最大值为. 故答案为：. 9．函数是最小正周期为4的偶函数，且在时，，若存在满足，且，则最小值为 . 【答案】1518.5 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用 【分析】根据题意，先求出函数一个周期的值域，要使取得最小值，尽可能多让取得最高点，且，再利用函数的周期性求解. 【详解】解：函数是最小正周期为4的偶函数，且在时， 函数的值域为，对任意， 都有， 要使取得最小值，尽可能多让取得最高点，且， ， 的最小值估计值为，故的最小值取507，相应的最小值为1011.5， 则的最小值为1518.5. 故答案为：1518.5 10．已知函数为上的奇函数；且，当时，，则 ． 【答案】/ 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】首先证明得，则根据其周期性得，再求出，最后相加即可. 【详解】因为，为上的奇函数， 所以，所以为周期为2的周期函数， 因为当时,, 则， 令,得,,又因为为奇函数，则， 所以，则，则， 所以，所以， 故答案为：. 11．已知函数是定义在上的奇函数，且满足， ，则 . 【答案】 【知识点】函数奇偶性的应用、函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】推导出函数为周期函数，且周期为，求出、、、，结合周期性可求得的值. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，则， 因为，即， 所以，函数为周期函数，且周期为，则， 在等式中，令，可得，所以，， 因为，则， 因为， 所以， . 故答案为：. 12．若关于的方程在实数范围内有解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】依题意在数范围内有解，令，，则问题转化为与有交点，求出的值域，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为关于的方程在实数范围内有解， 即在实数范围内有解，令，， 则问题转化为与有交点， 因为与在定义域上单调递增，所以在上单调递增， 又，所以， 则. 故答案为： 13．若函数有唯一零点，则实数的值为 . 【答案】 【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】根据偶函数的性质，可得，解得，再对的取值分两种情况讨论得解. 【详解】因为，又，所以函数为偶函数. 因为函数有一个零点，根据偶函数的性质，可得，所以，解得. 当，此时，知，有零点()，不符合题意： 当，此时在上单调递增，，根据偶函数对称性，符合题意；所以. 故答案为： 【点睛】关键点睛：解答本题的关键如何检验和，用零点存在性定理检验，利用函数的单调性检验. 三、解答题 14．已知为实数，函数，． (1)当时，求函数的单调递增区间； (2)若对任意，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)和 (2) 【知识点】判断二次函数的单调性和求解单调区间、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）当时，化简函数的解析式，利用二次函数的基本性质可得出函数的增区间； （2）由已知可得，推导出，可得出，利用参变量分离法可求得实数的取值范围. 【详解】（1）解：当时，， 当时，，此时函数的单调递增区间为； 当时，，此时函数的单调递增区间为. 综上所述，当时，函数的增区间为和. （2）解：当时，由可得，即，所以，， 所以，，整理得对任意的恒成立， 因为，则，所以，不等式对任意的恒成立， 只需考虑不等式对任意的恒成立， 当时，， 令，， 由双勾函数的单调性可知，函数在上单调递增， 当时，，因此，. 15．我们把定义在上，且满足（其中常数，满足，，）的函数叫做似周期函数． （1）若某个似周期函数满足且图像关于直线对称．求证：函数是偶函数； （2）当，时，某个似周期函数在时的解析式为，求函数，的解析式； （3）对于确定的且时，，试研究似周期函数在区间上是否可能是单调函数？若可能，求出的取值范围；若不可能，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2），；（3）的取值范围为，理由见解析. 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、根据函数的单调性求参数值、函数奇偶性的定义与判断 【分析】（1）先阅读新定义，再利用偶函数的定义证明即可； （2）由时的解析式为，结合函数的周期求解即可； （3）由分段函数在各段上的单调性，研究函数在整体上的单调性，从而得解. 【详解】（1）因为函数的图像关于直线对称，则， 又函数满足，则，用替换得， 则，又，，所以， 故函数是偶函数； （2）似周期函数在时的解析式为， 当时，， ， 故，； （3）当时，， ， 显然当时，函数在区间上不是单调函数， 又当时，，是增函数， 此时， 若似周期函数在区间上是单调函数，则只能是增函数， 即，即， 故的取值范围为. 【点睛】本题考查了对新定义函数的理解及分段函数的解析式的求法，重点考查了阅读能力及计算能力，属中档题. 16．函数 (1)当时，是否存在实数c，使得为奇函数； (2)若函数过点，且函数图像与轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围. 【答案】(1)不存在 (2)且 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、由奇偶性求参数 【分析】（1）将代入得，先考虑其定义域，再假设为奇函数，得到方程无解，从而得以判断； （2）先半点代入求得，从而得到，再利用二次函数的根的分布得到关于的不等式组，解之可得，最后再考虑的情况，从而得到的取值范围. 【详解】（1）当时，，定义域为， 假设为奇函数，则， 而，则，此时无实数满足条件， 所以不存在实数，使得函数为奇函数； （2）图像经过点，则代入得，解得， 所以，定义域为， 令，则的图像与轴负半轴有两个交点， 所以，即，解得， 若，即是方程的解， 则代入可得，解得或. 由题意得，所以实数的取值范团且. 17．环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车在国道上进行测试，国道限速80km/h．经多次测试得到该汽车每小时耗电量M（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的数据如下表所示： v 0 10 40 60 M 0 1325 4400 7200 为了描述国道上该汽车每小时耗电量M与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择： ①；②；③． (1)当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数解析式； (2)现有一辆同型号电动汽车从A地行驶到B地，其中高速上行驶200km，国道上行驶30km，若高速路上该汽车每小时耗电量N（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的关系满足，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 【答案】(1)符合， (2)当高速路上速度为80km/h，国道上速度为40km/h时，总耗电量最少，为33500Wh 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、分段函数模型的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】（1）根据函数的单调性排除②，根据定义域排除③即可； （2）根据题意可得高速路上的耗电量，再分析的单调性求得告诉上的耗电量，再根据（1）中求得的，可得国道上的耗电量，根据二次函数的最值分析最小值即可 【详解】（1）因为函数是定义域上的减函数，又无意义，所以函数 与不可能是符合表格中所列数据的函数模型， 故是可能符合表格中所列数据的函数模型. 由，得：，所以 （2）由题意，高速路上的耗电量 任取，当时， 所以函数在区间上是增函数，所以Wh     国道上的耗电量 所以Wh                          所以当高速路上速度为80km/h，国道上速度为40km/h时，总耗电量最少，为33500Wh 18．自2017年起，上海市开展中小河道综合整治，全面推进“人水相依，延续风貌，丰富设施，精彩活动”的整治目标．某科学研究所针对河道整治问题研发了一种生物复合剂．这种生物复合剂入水后每1个单位的活性随时间（单位：小时）变化的函数为，已知当时，的值为28，且只有在活性不低于3.5时才能产生有效作用． (1)试计算每1个单位生物复合剂入水后产生有效作用的时间；（结果精确到小时） (2)由于环境影响，每1个单位生物复合剂入水后会产生损耗，设损耗剩余量关于时间的函数为，记为每1个单位生物复合剂的实际活性，求出的最大值．（结果精确到0.1） 【答案】(1)小时 (2)6.5 【知识点】分段函数模型的应用、解不含参数的一元二次不等式、基本（均值）不等式的应用、解不含参数的一元一次不等式 【分析】（1）由求出，分、，解不等式可得答案； （2）当时，令，，再令，面积由基本不等式求得最值； 当时，，利用单调性可得的最大值，再比较可得答案． 【详解】（1）由于，则， 当时，， 解得， 当时，， 即产生有效作用的时间段为， 故产生有效作用的时间为小时． （2）当时，令，则， 同时， 再令，则， 面积， 由基本不等式，， 当且仅当时等号成立， 则在上的最大值为， 当时，， 则此时在是单调递减的， 则最大值在时取到，， 综上所述，在上的最大值为6.5． 19．已知函数，． (1)当时，若有最大值4，求的值； (2)求满足下列条件的所有整数对：存在，使得是的最大值，是的最小值； (3)对满足（2）中的条件的整数对，已知定义域为且的函数满足：，且当时，．若函数的零点的个数为4个，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【知识点】求二次函数的值域或最值、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）利用二次函数的最值，求出的值； （2）利用二次函数的最值研究两个函数的最值，先求出的最值取得时的值，再求出最值取得时的值，令两者相等，即可求出； （3）由条件，利用区间转换法求出在定义域上的解析式，再与联立，利用根的分布知识，即可求出实数m的取值范围. 【详解】（1）当时，， 若，，则在上单调递减，无最大值，不成立， 所以，为二次函数， 要使有最大值，必须， 且当时，， 因为有最大值4，所以， 所以. （2）若，在上单调递减，无最大值，不成立， 所以，为二次函数， 要使有最大值，必须， 即， 此时，时，有最大值， 又因为取最小值时，， 依题意有， 可得，且 因为，且，为整数， 所以， 因为，所以或， 所以满足条件的所有整数对是：和. （3）当整数对是：或时，， 因为， 所以， 所以是以4为周期的周期函数， 又因为，， 所以， 因为，所以， 所以对任意的，， 所以对任意的，都有， 即对任意的，都有， 对于任意的都存在，使得， 则， 则，， 所以，即， 所以是奇函数， 函数的零点的个数可转化为的图像与的图像交点的个数， 因为这两个函数都是奇函数，所以它们在轴右侧交点的个数为2， 当，，则，， 所以， 当，，则，， 所以， 显然，不符合题意， 当时，考虑两个函数在轴右侧有且只有两个公共点， 则有两组解， 即有两解， 利用根的分布知识，可得， 且无解， 即无解， 利用根的分布知识，可得， 所以此时可得； 当时，考虑两个函数在轴右侧有且只有两个交点， 所以有一组解， 即有一解， 利用根的分布知识，可得， 且有一组解， 即有一组解， 利用根的分布知识，可得， 综上，实数的取值范围为. 【点睛】关键点睛：本题求解的关键是把零点个数转化为两个函数图象的公共点个数，结合方程根的区间分布来求解. 20．已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意，都有，则称函数具有性质． (1)若函数具有性质，求的值 (2)设，若，求证：存在常数，使得具有性质 (3)若函数具有性质，且的图像是一条连续不断的曲线，求证：函数在上存在零点． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】零点存在性定理的应用、函数新定义 【分析】（1）对任意，都有，代入和即可得出答案；（2）设，利用零点存在性定理即可证得结论；（3）先转化为，然后令得，，分情况利用零点存在性定理证得结论. 【详解】（1）函数具有性质， 所以对任意，都有， 令，得， 令，得， 所以． （2）证明：函数具有性质的充要条件为 存在，使得，即，   设， 因为，， 所以在区间上函数存在零点，        取，则， 得函数具有性质． （3）设，因为， 所以， 令得，，                 ①若，则函数存在零点 若，当时，， 所以此时函数在区间上存在零点       ②因为 所以                           若，当时，， 所以此时函数在区间上存在零点． 综上，函数在上存在零点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$