专题05 幂函数+指数函数+对数函数（期末压轴专项训练20题）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（沪教版2020必修第一册）

专题05 幂函数+指数函数+对数函数 （期末压轴专项训练20题） 一、填空题 1．设，若在区间上，关于x的不等式有意义且能恒成立，则t的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】指数函数最值与不等式的综合问题、根据解析式直接判断函数的单调性、函数不等式恒成立问题 【分析】根据在上恒成立，故，分时，满足要求，当时，变形为在上恒成立，构造，，根据函数单调性得到，从而得到，得到答案. 【详解】由题意得在上有意义，故在上恒成立， 故， 当时，，而，满足，符合题意， 当时，，在上恒成立， 令，， 其中在上单调递减， 故， 故， 综上，t的取值范围是， 故答案为： 2．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】或 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用、由对数函数的单调性解不等式 【分析】由已知结合奇函数的定义可求出及时的函数解析式，然后结合对数函数性质即可求解不等式. 【详解】因为函数是定义域为的奇函数， 所以， 当时，， 当时，， 所以， 所以， 若， 当时，可得，解得， 当时，可得，解得， 当时，可得，显然不成立， 故的取值范围为或. 故答案为：或. 3．设.若函数的定义域为，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】求指数（型)函数的定义域、指数式与对数式的互化、由指数函数的单调性解不等式 【分析】由函数的定义域可求得实数的值，可得出函数的解析式，求出的值，然后利用指数函数的单调性可解不等式，即可得其解集. 【详解】若，对任意的，，则函数的定义域为，不合乎题意， 所以，，由可得， 因为函数的定义域为，所以，，解得， 所以，，则， 由可得，解得. 因此，不等式的解集为. 故答案为：. 4．设且，若在平面直角坐标系xOy中，函数与的图像于直线l对称，则l与这两个函数图像的公共点的坐标为 ． 【答案】/ 【知识点】对数函数图象的应用 【分析】根据两函数的图象关于直线l对称，再结合底数互为倒数的两个对数函数的图象关于轴对称，可求得，从而可得出答案. 【详解】， 因为函数与的底数互为倒数， 而底数互为倒数的两个对数函数的图象关于轴对称， 函数与的图像于直线l对称， 所以函数与的图像于轴对称， 即直线l为轴， 所以，所以， 则两个函数分别为，， 令，得，解得，此时， 所以l与这两个函数图像的公共点的坐标为. 5．已知函数（且），若关于的不等式的解集为，其中，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、由指数函数的单调性解不等式 【分析】根据题意结合指数函数性质判断出，，且的解集为，根据一元二次不等式和相应方程的关系可得，结合b的范围，即可求得答案. 【详解】由题意知若，即， ∴， ∴当时，；当 时，， ∵的解集为， ∴，，且的解集为， ∴与是的两根， 故，∴， 又，∴， 又，∴ ， 故答案为： 6．若函数的反函数为，则不等式的解集是 . 【答案】 【知识点】求反函数、根式不等式 【分析】先由反函数的定义求出，再解不等式求出解集即可. 【详解】令，由可得，则，则， 则解得，故解集为. 故答案为：. 7．已知函数，若对任意，当时，总有成立，则实数的最大值为 . 【答案】1 【知识点】分段函数的性质及应用、对数函数单调性的应用、函数不等式恒成立问题 【分析】分、、、依次讨论的范围，进而判断是否恒成立，即可求解. 【详解】当时，，则不成立； 当，，取，，此时不成立； 当时，，则，对于任意，有，当时取等号，所以总有成立； 当时，，当取最大值1，当时取最小值0，则， 对于任意，有，当时取等号，所以总有成立； 综上可得，故实数的最大值为1. 故答案为：1. 8．对于定义域为D的函数f(x)，若存在且，使得，则称函数f(x)具有性质M，若函数，具有性质M，则实数a的最小值为 ． 【答案】 【知识点】利用对数函数的性质综合解题、函数新定义 【分析】设，由可得，结合可得 ，进而求得，由此得解． 【详解】解：设，由得， 则，故， ∴， 又， ∴， ∵，∴， 则，∴， ∴，故， ∴，则实数a的最小值为． 故答案为：． 9．已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【知识点】分段函数的性质及应用、判断指数型复合函数的单调性、基本不等式求和的最小值、分段函数的单调性 【分析】由题意可得在的范围包含在的范围内，先运用基本不等式求得在的范围，再讨论，结合函数的单调性可得的范围，解的不等式可得所求范围. 【详解】当时，， 当时， 若时，在上是单调递增函数， 所以，满足则， 所以， ， 又，所以. 若时，则， 在上是单调递增函数，此时， 在上是单调递减函数，此时 满足 则 又，所以， 综上，， 故答案为. 【点睛】本题主要考查了分段函数，考查了任意性和存在性问题解法，注意运用分类讨论思想和转化思想，考查运算能力，属于中档题. 二、解答题 10． (1)若将函数图像向下移后，图像经过，求实数a，m的值. (2)若且，求解不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析. 【知识点】对数的运算、求对数型复合函数的定义域、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）由题知，再根据题意得，解方程即可得答案； （2）根据题意，结合对数函数的单调性将不等式转化为的解集，再分类讨论求解即可. 【详解】（1）解：函数的定义域满足，即， 所以，要使函数的定义域非空，则，即. 若将函数图像向下移后得到的解析式为： ，. 所以在函数的图像上，即， 解得：， 所以， （2）解：由题知， , , 因为函数在上单调递增， 所以等价于，展开整理得：， 所以，不等式的解集为的解， 所以，当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为. 综上，当时，不等式的解为；当时，不等式的解为. 11．设且，，已知函数. （1）当时，求不等式的解； （2）若函数在区间上有零点，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2）或. 【知识点】对数的运算、根据函数零点的个数求参数范围、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据题意得，进而分和两种情况求解即可； （2）由题知，进而根据已知条件得，再结合对勾函数性质即可得或，进而求得答案. 【详解】解：（1），不等式可化为 若，则，解得， 所以不等式的解集为. 若，则，解得， 所以不等式的解集为. 综上所述：，的解集为；，的解集为. （2）. 令，即， ∵，∴，∴； ∴ . 设，则， ∴或， 解得或. 【点睛】本题考查对数函数的性质，对数运算，函数的零点求参数，考查分类讨论思想，运算求解能力，化归转化能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于将问题转化为，有解，进而求解. 12．定义在上的函数，若满足:对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界 （1）设，判断在上是否是有界函数，若是，说明理由，并写出所有上界的值的集合；若不是，也请说明理由. （2）若函数在上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围. 【答案】（1）是有界函数;（2） 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、与二次函数相关的复合函数问题、指数函数最值与不等式的综合问题、函数新定义 【分析】（1）分离常数后,可得函数的单调性,在区间内求得最大值与最小值,即可根据有界函数的定义求得的取值范围. （2）根据有界函数定义,可得的值域.代入解析式可分离得的不等式组.利用换元法转化为二次不等式形式,结合恒成立条件,即可求得的取值范围. 【详解】（1） 则在上单调递增 所以对任意满足 而 所以 若恒成立,则 即所有上界的值的集合为 （2）函数在上是以为上界的有界函数 根据有界函数定义,可知在上恒成立 所以 即 化简变形可得 令 则在上恒成立 即满足 由二次函数性质可知,,当时, ,所以当时, 即, 故的取值范围为 【点睛】本题考查了函数新定义的内容,对函数单调性与值域的综合应用,换元法的应用,恒成立问题的解法,属于中档题. 13．已知函数，其中且． (1)若函数的图象过点，求不等式的解集； (2)若存在实数，使得，求的取值范围； 【答案】(1) (2) 【知识点】求对数函数的解析式、根据零点所在的区间求参数范围、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）代入点坐标计算求出，根据定义域和单调性即可求出的解集； （2）根据的定义域将问题转化为时，有解，再结合分离常数法和换元，最后借助一元二次函数的性质进行求解即可. 【详解】（1），则， ， ， ， ，定义域为， 要解不等式，则， ． 又在定义域内是严格增函数， 由，则，解得． 综上所述，不等式的解集为． （2）的定义域为，则在方程中，应满足， 由，解得，问题转化为时，方程有实数解． 又，则， 即． 为严格单调函数， ， ，两边同除以得． 令，由，则， 在有解． 又在上严格增函数， ，即， 又，则. 14．已知函数，其中为实常数. (1)若，解关于的方程； (2)讨论函数的奇偶性； (3)当时，用定义证明函数在上是严格增函数，并解不等式. 【答案】(1)或； (2)答案见解析 (3)证明见解析， 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、简单的指数方程、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）由可得，再借助指数运算解方程即可得； （2）分该函数为奇函数、偶函数与非奇非偶函数讨论并计算即可得； （3）借助严格增函数的定义即可证明，结合函数的单调性与奇偶性计算即可得不等式的解. 【详解】（1）由题意， ，， 令，即有， 可得或， 或； （2）函数定义域， ①当为奇函数时，有， ， ，； ②当为偶函数时，， ， ， ； ③当时，函数为非奇非偶函数； 综上所述，当时，为奇函数； 当时，为偶函数， 当时，为非奇非偶函数； （3）当时，，任取，，设， ， 又，，所以， 故，即， 函数在上是严格增函数， 由（2）知，当时，为偶函数， 则由，可得， 即，即， 解得. 15．已知，，其中．设函数的表达式，若对于任意大于等于的实数，总存在唯一的小于的实数，使得成立，试确定实数的取值范围． 【答案】. 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、判断指数函数的单调性、基本不等式求和的最小值 【分析】根据题意得出，函数的值域为函数值域的子集，所以只需求两函数的值域即可求出实数的取值范围. 【详解】因为，所以当时，， 当且仅当时等号成立，又易知， 所以当时，函数的值域为； 因为，所以当时，， 所以在上单调递增， 所以当时，的值域为， 要使对于任意大于等于的实数，总存在唯一的小于的实数，成立，只需， 即成立即可， 由于函数在单调递增，且， 所以． 16．已知函数（且）． (1)求的定义域； (2)若当时，函数在有且只有一个零点，求实数b的范围； (3)是否存在实数a，使得当的定义域为时，值域为，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【知识点】求对数型复合函数的定义域、根据对数函数的值域求参数值或范围、根据函数零点的个数求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】（1）根据对数的真数大于0结合分析不等式运算求解； （2）根据题意分析可知在上有且只有一个解，进而结合函数单调性运算求解； （3）根据定义域和值域可得，且，结合单调性分析可知有两个大于1相异实数根，结合二次函数零点分布运算求解. 【详解】（1）由，得或． 所以的定义域为． （2）令，可知在上为增函数， 可得，且，可知的值域为， 因为，则在定义域内为减函数，可得， 所以函数在上的值域为， 又因为函数在有且只有一个零点， 即在上有且只有一个解， 所以b的范围是． （3）存在，理由如下： 假设存在这样的实数a，使得当的定义域为时，值域为， 由且，可得，且． 令，可知在上为增函数， 因为，则在定义域内为减函数， 所以在上为减函数， 可得， 可知在上有两个互异实根，可得， 即有两个大于1相异实数根． 则，解得， 所以实数a的取值范围. 【点睛】方法点睛：应用函数思想确定方程解的个数的两种方法 （1）转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式(方程)求解； （2）分离参数、转化为求函数的值域问题求解． 17．已知函数，记. (1)求不等式的解集：； (2)设为实数，若存在实数，使得成立，求的取值范围； (3)记（其中均为实数），若对于任意的，均有，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、由指数函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）利用因式分解法，结合指数函数的单调性进行求解即可； （2）利用换元法，结合指数函数的单调性、对钩函数的单调性、基本不等式进行求解即可； （3）根据二次函数的性质进行求解即可. 【详解】（1）所以不等式的解集为； （2）设，， ， 令，因为函数在上单调递增，所以， 于是有，，当且仅当时取等号，即时取等号，因为函数在单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，，因此， 存在实数，使得成立，所以； （3）， 令，因为，所以， 于是有，当时，， 所以有， 所以，， 故， 由， 所以， 因此有，即. 【点睛】关键点睛：利用指数函数和对钩函数的单调性，结合二次函数的性质是解题的关键. 18．已知，函数. (1)当时，求函数的定义域； (2)若关于的方程的解集中有且只有一个元素，求实数的取值范围； (3)设，若，使得函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或， (3). 【知识点】求对数型复合函数的定义域、根据指对幂函数零点的分布求参数范围、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据对数的性质列不等式即可求解， （2）将问题转化为有且仅有一正根.即可利用二次型函数的性质分类求解， （3）利用单调性的定义即可求解函数单调性，进而利用单调性求解最值，将问题进一步转化为二次函数的性质求解最值即可. 【详解】（1）时， 所以得， 所以函数的定义域为. （2）方程，即，即. ∴，化为：，方程的解集中有且只有一个元素，等价于有且仅有一正根. （1）若，化为，解得，符合题意； （2）若，此时. ①令，得，解得，符合题意； ②当，即时，方程有两个解，设为，. 则，. 当时，，此时方程有一正、一负根，符合题意. 当时，，，此时方程有两个正根，不符合题意. 综上，实数的取值范围为或， （3）. 当时，. 因为，，所以. 所以，所以， 所以. 所以在上单调递减， 所以函数在区间上的最大值与最小值分别为，. 即：， 即：，因为，， 整理得：，令. 因为时，存在， 故只需. 因为，对称轴方程，所以在上单调递增， 所以，故，得. 故实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：处理多变量函数最值问题的方法有：（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化. 19．记函数，，它们定义域的交集为，若对任意的，都有成立，则称函数具有性质. (1)判断函数，是否具有性质，并说明理由； (2)设，，求的反函数，并判断是否具有性质； (3)设，，若函数具有性质，求使成立的范围. 【答案】(1)具有性质，不具有性质，理由见解析 (2)，，具有性质 (3) 【知识点】求反函数、解含有参数的一元二次不等式、函数新定义 【分析】（1）根据“函数具有性质”的要求，计算检验函数符合，通过举反例说明不具有性质即得； （2）利用函数与反函数的对应关系，先求出原函数的值域，再通过解析式反求，即得反函数，最后根据性质的要求检验即得； （3）先根据函数具有性质列出等式，推理得到，从而替换函数式中的，由求解含参数的一元二次不等式即得. 【详解】（1），恒成立， 故具有性质； 又，所以不具有性质； （2）因，由可得，解得：，故有 则有，即得：，又由可得：， 从而，可得：，故得：，. 又因为，恒有 成立，故，具有性质； （3）由题意的恒成立， 即恒成立，所以，即，， 由，（*） 又，则，（*）因， 故不等式的解集为. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了新定义函数性质和反函数的求法，含参数的一元二次不等式的解法等.其中对新定义函数的性质的理解和把握是关键，需要整体换元的思想；对于反函数求法，必须先求原函数的值域作为反函数的定义域，再反求，最后才是互换位置即得；对于含参的不等式，一般需要就参数进行讨论分类求解. 20．对于定义域在上的函数，定义．设区间，对于区间上的任意给定的两个自变量的值、，当时，总有，则称是的“函数”． (1)判断函数是否存在“函数”，请说明理由； (2)若非常值函数是奇函数，求证：存在“函数”的充要条件是存在常数，使得； (3)若函数与函数的定义域都为，且均存在“函数”，求实数的值． 【答案】(1)不存在“函数”，理由见解析. (2)证明见解析 (3) 【知识点】函数奇偶性的应用、求指数（型)函数的定义域、函数新定义 【分析】（1）根据题意，由即可判断； （2）根据题意，由“函数”的定义，分别验证其充分性以及必要性，即可证明； （3）根据题意，由“函数”的定义可得，若，均存在“函数”， 则存在“函数”，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】（1），当时，，当时，， 因此，则该函数不存在“函数”． （2）充分性：若，则， 任取，，所以存在“函数”； 必要性：因为是奇函数，则，任取， 因为，是一个“函数”， 所以，则， 当时，则，， 所以，即， 所以，可得，从而有， 即是一个常数，设为，则. （3）假设，均存在“函数”，任取， 则，， 则， 则存在“函数”， 因此均存在“函数”， 令，定义域为关于原点对称， 且， 则是定义在上的奇函数， 由（2）可知，存在使得恒成立，则， 又时，若函数与函数均为“函数”，符合题意. 综上可知，. 【点睛】关键点睛：本题主要考查了新定义中“函数”的概念，以及函数奇偶性的应用，难度较大，解答本题的关键在于利用好题干中“函数”的定义，以及利用好（2）中的结论解决（3）中的问题. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 幂函数+指数函数+对数函数 （期末压轴专项训练20题） 一、填空题 1．设，若在区间上，关于x的不等式有意义且能恒成立，则t的取值范围为 ． 2．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，若，则实数的取值范围为 ． 3．设.若函数的定义域为，则关于的不等式的解集为 . 4．设且，若在平面直角坐标系xOy中，函数与的图像于直线l对称，则l与这两个函数图像的公共点的坐标为 ． 5．已知函数（且），若关于的不等式的解集为，其中，则实数的取值范围是 ． 6．若函数的反函数为，则不等式的解集是 . 7．已知函数，若对任意，当时，总有成立，则实数的最大值为 . 8．对于定义域为D的函数f(x)，若存在且，使得，则称函数f(x)具有性质M，若函数，具有性质M，则实数a的最小值为 ． 9．已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数a的取值范围为 . 二、解答题 10． (1)若将函数图像向下移后，图像经过，求实数a，m的值. (2)若且，求解不等式. 11．设且，，已知函数. （1）当时，求不等式的解； （2）若函数在区间上有零点，求的取值范围. 12．定义在上的函数，若满足:对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界 （1）设，判断在上是否是有界函数，若是，说明理由，并写出所有上界的值的集合；若不是，也请说明理由. （2）若函数在上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围. 13．已知函数，其中且． (1)若函数的图象过点，求不等式的解集； (2)若存在实数，使得，求的取值范围； 14．已知函数，其中为实常数. (1)若，解关于的方程； (2)讨论函数的奇偶性； (3)当时，用定义证明函数在上是严格增函数，并解不等式. 15．已知，，其中．设函数的表达式，若对于任意大于等于的实数，总存在唯一的小于的实数，使得成立，试确定实数的取值范围． 16．已知函数（且）． (1)求的定义域； (2)若当时，函数在有且只有一个零点，求实数b的范围； (3)是否存在实数a，使得当的定义域为时，值域为，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 17．已知函数，记. (1)求不等式的解集：； (2)设为实数，若存在实数，使得成立，求的取值范围； (3)记（其中均为实数），若对于任意的，均有，求的值. 18．已知，函数. (1)当时，求函数的定义域； (2)若关于的方程的解集中有且只有一个元素，求实数的取值范围； (3)设，若，使得函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求实数的取值范围. 19．记函数，，它们定义域的交集为，若对任意的，都有成立，则称函数具有性质. (1)判断函数，是否具有性质，并说明理由； (2)设，，求的反函数，并判断是否具有性质； (3)设，，若函数具有性质，求使成立的范围. 20．对于定义域在上的函数，定义．设区间，对于区间上的任意给定的两个自变量的值、，当时，总有，则称是的“函数”． (1)判断函数是否存在“函数”，请说明理由； (2)若非常值函数是奇函数，求证：存在“函数”的充要条件是存在常数，使得； (3)若函数与函数的定义域都为，且均存在“函数”，求实数的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$