专题04 基本不等式（期末压轴专项训练20题）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（沪教版2020必修第一册）

专题04 基本不等式（期末压轴专项训练20题） 一、单选题 1．已知定义在上的偶函数，若正实数a、b满足，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D．8 【答案】A 【知识点】由奇偶性求参数、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据偶函数的对称性可得，由题意分析可得，结合基本不等式分析运算. 【详解】若函数为偶函数，则， 即，可得， 整理得，故，解得， ∴. 若正实数a、b满足，即，可得， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， ∴的最小值为. 故选：A. 2．若实数满足，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、基本（均值）不等式的应用 【分析】选项A利用基本不等式可判断正误；选项B用特殊值法代入，令可求；选项C用特殊值法代入，令可求；选项D用基本不等式分析即可. 【详解】对于A，，整理可得，当且仅当取等号，故A错误； 对于B，因为，设， 则方程变为，解得， 所以，故B错误； 对于C，当时，代入等式成立，但， 故C错误； 对于D,由可得， 整理可得，当且仅当时取等号；所以， 因为，所以，故D正确； 故选：D 3．已知，那么，当代数式取最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值 【分析】根据题意，由基本不等式有，，结合以及两个不等式等号成立的条件可求出、的值，从而可求出的值． 【详解】由，得，所以，当且仅当，即时等号成立． 所以， 其中第一个不等式的等号当且仅当时成立，第二个不等式的等号当且仅当时成立． 所以当取最小值时，有，即． 所以． 故选：D 二、填空题 4．早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.若，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】指数幂的运算、基本不等式求积的最大值 【分析】令，，结合基本不等式可得，可化为，求二次函数在区间上的最小值即可. 【详解】不妨设，，则，， 所以，当且仅当时取等号， 即，当且仅当时取等号， 所以 ，（） 所以当时，取得最小值. 故答案为： 5．若实数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】指数幂的运算、比较指数幂的大小、基本不等式求和的最小值 【分析】由已知，，，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 6．在下列关于实数的四个不等式中，恒成立的是 ．（请填入全部正确的序号） ①；②；③；④． 【答案】②③④ 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小、由基本不等式证明不等关系 【分析】取特值可判断①；作差法可判断②④；要证即证可判断③. 【详解】对于①，取，故①错误； 对于②，，故②正确； 对于③，当，要证，即证， 即，即证， 而恒成立， 当时，，所以，故③正确. 对于④，，所以，故④正确. 故答案为：②③④. 7．已知函数，若，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】对数的运算性质的应用、对数函数单调性的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】由题意及对数的运算与对数函数的性质可得，利用基本不等式即可求解． 【详解】， 若，不妨设， 则， 所以，即， 所以，当且仅当，时，等号成立． 故答案为：． 8．函数 在 上的最大值和最小值的乘积为 【答案】/ 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、对勾函数求最值 【分析】令，化简，令，利用对勾函数的性质求解最值即可. 【详解】令，，∵，∴， ∴， 令， 由对勾函数的性质可知，函数在上为减函数，在上为增函数， ∵， ∴ ∴函数 在 上的最大值和最小值分别为， ∴函数 在 上的最大值和最小值的乘积为． 故答案为：． 9．若不等式对任意的恒成立，则的最小值为 ． 【答案】4 【知识点】求函数的零点、基本不等式求和的最小值 【分析】首先分析出，再得到，最后利用基本不等式即可得到答案. 【详解】时，有，所以， 令，   的零点是，在上，在上， 的零点是，在上，在上， 若不等式对任意的恒成立，则，， ，当且仅当时，等号成立. 故答案为：4. 10．关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、基本不等式求和的最小值 【分析】构造，利用函数的性质，将问题转化成在上恒成立，再通过分离常转化成求函数的最值即可求出结果. 【详解】因为关于x的不等式的解集是，所以在上恒成立， 令，易知为偶函数，所以在上恒成立，即在上恒成立， 所以，当时，由，得到， 当时，由，得到，又因为，当且仅当时取等号，所以， 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 11．已知，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】因为，所以， 故， 当且仅当且，即时，等号成立， 所以，则的最小值为. 故答案为：. 12．若正数x，y满足，则的最小值为 ． 【答案】/ 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先将变形为，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】因为，，所以， 则， 当且仅当且，即时，等号成立， 所以，即的最小值为. 故答案为：. 13．若正数a，b满足，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】条件等式求最值 【分析】设，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】设，则，可得， 所以 ， 当且仅当时，等号成立，取得最小值． 故答案为：． 14．已知实数x、y满足，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】基本（均值）不等式的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式可得，即求. 【详解】依题意， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为. 故答案为：. 15．已知，且，则的最小值为 . 【答案】8 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据，且，将转化为，利用基本不等式求解. 【详解】因为，且， 所以， ， , ， 当且仅当,即时，等号成立， 所以的最小值为8， 故答案为：8 16．设，若，则的最大值为 【答案】 【知识点】指数式与对数式的互化、运用换底公式化简计算、条件等式求最值 【分析】由指对互化 对数换地公式得，再根据基本不等式得，进而得. 【详解】解：因为，所以，所以， 因为，所以，故， 所以 故的最大值为. 故答案为：. 17．若函数的值域是，则函数的值域是 . 【答案】 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、对勾函数求最值、抽象函数的值域 【分析】由给定条件求出的值域，换元借助对勾函数性质即可得解. 【详解】因函数的值域是，从而得函数值域为， 函数变为，，由对勾函数的性质知在上递减，在上递增， 时，，而时，，时，，即， 所以原函数值域是. 故答案为： 18．已知，则的最小值是 ． 【答案】9 【知识点】对数的运算性质的应用、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果. 【详解】因为，所以， 所以，所以， ，由题意知，则，， 则，当且仅当，即时取等号， 故答案为：9. 【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式，属于中档题. 19．已知x、y都是正数，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】利用换元法结合二次函数，基本不等式即可求解最小值. 【详解】解：令，那么 当且仅当时取等号， 所以的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，考查分析运算能力． 20．已知，那么，当代数式取最小值时，点的坐标为 【答案】 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【解析】先根据基本不等式得到；再利用基本不等式即可求解． 【详解】解：因为 ； 所以．当且仅当，即时取等号， 此时的坐标为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，属于基础题． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 基本不等式（期末压轴专项训练20题） 一、单选题 1．已知定义在上的偶函数，若正实数a、b满足，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D．8 2．若实数满足，则必有（    ） A． B． C． D． 3．已知，那么，当代数式取最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.若，则的最小值为 . 5．若实数，满足，则的最小值为 . 6．在下列关于实数的四个不等式中，恒成立的是 ．（请填入全部正确的序号） ①；②；③；④． 7．已知函数，若，则的最小值为 ． 8．函数 在 上的最大值和最小值的乘积为 9．若不等式对任意的恒成立，则的最小值为 ． 10．关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围为 ． 11．已知，则的最小值为 . 12．若正数x，y满足，则的最小值为 ． 13．若正数a，b满足，则的最小值是 ． 14．已知实数x、y满足，则的最小值为 . 15．已知，且，则的最小值为 . 16．设，若，则的最大值为 17．若函数的值域是，则函数的值域是 . 18．已知，则的最小值是 ． 19．已知x、y都是正数，则的最小值为 ． 20．已知，那么，当代数式取最小值时，点的坐标为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$