专题03 一元二次方程（不等式）（期末压轴专项训练20题）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（沪教版2020必修第一册）

专题03 一元二次方程（不等式）（期末压轴专项训练20题） 一、单选题 1．已知方程有两个负实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】方程有两个负实根，则两根之和小于0．两根之积大于0，故可建立不等式组，从而可求实数的取值范围． 【详解】解：要原方程有两个负实根，必须： . 或 ∴实数的取值范围是. 故选：D. 【点睛】本题以方程为载体，考查方程根的研究，解题的关键是利用韦达定理，构建不等式组． 2．已知，若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知不等式的解集为，即可得或，解对数不等式即可. 【详解】因为不等式的解集为， 可知不等式的解集为， 若，可得或，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：B. 3．已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式，得或，再分类讨论不等式的解集，结合集合关系即可求得参数的取值范围. 【详解】解：由，可得或， 由，即，得，， 当，即时，不等式的解为， 此时不等式组的解集为， 又因为不等式组仅有一个整数解， 则，解得； 当，即时，不等式的解为， 又因为不等式组仅有一个整数解， 则，解得； 综上所述，的取值范围为. 故选：B. 4．若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】据题意，分两种情况讨论：①当时，即，将的值代入分析不等式的解集是否为空集，②当时，即，结合二次函数的性质分析不等式解集非空时的取值范围，综合2种情况即可得答案． 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论： ①当时，即， 若时，原不等式为，解可得：，则不等式的解集为，不是空集； 若时，原不等式为，无解，不符合题意； ②当时，即， 若的解集是空集，则有，解得， 则当不等式的解集不为空集时，有或且， 综合可得：实数的取值范围为； 故选：C． 5．如果关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题得关于的不等式对一切实数恒成立，再对分两种情况讨论得解. 【详解】由题得关于的不等式对一切实数恒成立， 当时，恒成立，所以时满足已知； 当时，由题得且， 解之得. 综上所述，. 故选：C 【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6．在关于的方程和中，已知至少有一个方程有实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可以采用补集思想．三个判别式均小于0的条件下取交集后再取补集即可． 【详解】若方程和都没有实数根. 则 ，解得：. 则方程和中，已知至少有一个方程有实数根. 所以或 故选：C 【点睛】本题考查了命题与命题的否定，考查补集的方法解题，属于基础题． 二、填空题 7．不等式的解集是 【答案】 【解析】将不等式转换为不等式，再根据恒成立，则原不等式等价于解得即可； 【详解】解：不等式转换为不等式， 由于函数的图象在轴上方，所以恒成立， 所以， 解得， 故不等式的解集为． 故答案为： 【点睛】本题考查的知识要点：不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 8．若关于的不等式的解是,试求的最小值为 . 【答案】 【分析】先作出的图象，的图象斜率为1，在曲线上方的直线部分为不等式的解集，利用图象，即可求的最小值. 【详解】解:作出的图象，的图象斜率为1, 由题意，在曲线上方的直线部分即为不等式的解集 ∵解集为(取不到等号)， ∴由图像可得：直线只能是过点斜率为1的直线， 把点的坐标代入得， 再将与联立解得(舍)或， 即求出了交点， 由数形结合可知最小值为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查由不等式的解集求参数的问题，通常需要作出对应函数图像，根据数形结合的方法求解，属于常考题型. 9．若使集合中的元素个数最少，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意对的值进行讨论,求出对应的集合,再分析集合中元素的个数,从而得出元素最少的情况,即可求得答案. 【详解】集合, 方程, 解得:,, ,, 当时,； 当时,,； 当时,,. 当时,集合的元素的个数无限； 当时,,.集合的元素的个数有限,此时集合的元素个数最少. 则有:,解得:. 故答案为:. 【点睛】本题主要考查了不等式解法与应用,同时也考查了分类讨论的思想,其中对的值讨论是本题的关键,属于难题. 10．对数不等式的解集是，则实数的值为 . 【答案】2. 【分析】先解出不等式，再结合已知解集，可得结果. 【详解】将对数不等式两边同时乘以，得， 即， 所以此不等式的解为：或， 因为其解集为， 所以， 故答案是：2. 【点睛】该题考查的是有关根据不等式的解集求参数值的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法和对数不等式的解法，属于简单题目. 11．若关于x的不等式的解集为，则 【答案】5 【分析】求出的值，从而求出即可 【详解】若关于的不等式 的解集为， 则或 则 故答案为 【点睛】本题主要考查了解不等式，在解分式不等式时可以将其转化为相乘的形式，然后求解，属于基础题． 12．若对任意，不等式恒成立，则实数的取值集合为 . 【答案】 【分析】根据题意，令和，并在上讨论它们的取值情况，进而结合图象可得是方程的一个根，从而解方程可求的值. 【详解】的图象开口向上，又，图象恒过， 所以函数的图象与轴有一正一负的2个交点， 设方程的两个根分别， 所以在上，在上， 当时，在上， 于是在上，在上， 因此，当时，不等式不恒成立； 当时，由可解得， 则在上，在上， 要使不等式恒成立，则， 如图所示：    所以，将把代入方程， 即，即， 整理得，解得， 又，则. 综上所述，实数的取值集合为 故答案为： 13．已知，同时满足不等式和的的整数值只有2024个，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】解不等式得到或，解不等式得到，从而根据整数解得个数得到， 求出实数的取值范围. 【详解】由解得：或， 变形为， 因为，所以， 其中之间有1个整数解， 因此要想同时满足两不等式的整数值只有2024个， 则要满足有2023个整数值，则，解得：. 故答案为：. 14．设，若时均有，则 ． 【答案】0 【分析】分，和三种情况求出满足成立时的取值范围，再时均有成立确定的值． 【详解】当时，显然成立，此时； 当时，由成立，得成立， ，， 当时，由成立，得成立， ，， 时均有，． 故答案为：0． 15．已知不等式的解集中恰有三个整数，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】讨论与的大小，从而求出不等式的解集，根据解集中一定有，然后讨论三个整数的可能性，分别求出的取值范围，即可求解. 【详解】由不等式，可得， 当时，解得，解集为，其中解集中一定有元素， 若三个整数是时，可得，此时解集为空集； 若三个整数是时，，解得； 若三个整数是时，，此时解集为空集； 当时，解得，解集为，其中解集中一定有元素， 若三个整数是时，可得，此时解集为空集； 若三个整数是时，，解得； 若三个整数是时，，此时解集为空集， 综上可得，. 故答案为：. 16．若关于的不等式的解集是，且只有个元素，则实数的取值范围是 【答案】或 【分析】分，和三种情况，当和时，直接求出集合，再结合条件，可知不合题意，当时，注意到，结合条件得到或，即可求解. 【详解】当时，由，得到，解得， 又只有个元素，所以不合题意， 当，由，得到或， 又，若，则的解集为或，显然不合题意， 若，要使只有个元素，则或， 解得或， 故答案为：或. 【点睛】关键点点晴，本题的关键在于时的处理，利用二次函数的性质，结合及条件，得到或，即可求解. 17．已知满足关于x的不等式的每一个x的值至少满足不等式和的一个，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】解二次不等式，将问题转化为在上有两个实根，再利用二次函数零点的分布即可得解. 【详解】由得，设集合， 由得，设集合，所以， 设，则的解集非空， 设解集为，其中，是方程的两实根，且， 要使关于的不等式的解集内的每一个的值， 至少能使不等式或中的一个成立， 则需，即，即， 所以，解得， 所以，即. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于： 1、理解“使关于的不等式的解集内的每一个的值，至少能使不等式或中的一个成立.”的含义，并且需得出这三个不等式的解集之间的关系； 2、当方程的两实根，满足条件时，如何利用方程的根的判别式和特殊点的函数值的正负等限制条件构造不等式组. 18．若集合中有且仅有一个元素，则实数的取值范围是 【答案】 【解析】先采用分离参数的方法将分离出来，然后得到，再根据对勾函数的单调性结合具体的函数值求解出的取值范围. 【详解】因为，所以， 又，所以的解集中仅有一个元素， 所以的解集中仅有一个元素， 所以的解集中仅有一个元素， 又因为在单调递减，在单调递增， 当时，，当时，，所以若的解集中仅有一个元素， 则有，所以， 故答案为：. 【点睛】方法点睛：不等式在区间上恒成立求解参数范围问题的处理方法： （1）分类讨论法：根据参数的临界值作分类讨论； （2）分离参数法：将自变量和参数分离开来，自变量部分构造新函数，分析新函数的最值与参数的大小关系. 19．若使集合中的元素个数最少，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意对的值进行讨论，求出对应的集合，再分析集合中元素的个数，从而得出元素最少的情况， 【详解】由题知： ①当时，， 此时集合中的元素个数为无限个，故舍去. ②当时，， 等价于：或 即：或. 因为 所以或. 或 此时集合中的元素个数为无限个，故舍去. ③当时，， 等价于：或. 因为，所以. 即. 此时集合中的元素个数为有限个，并且的值越大， 集合中的元素就越少. 因为，且 所以当时， 即：时，集合中的元素个数最少. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了不等式解法与应用，同时也考查了分类讨论的思想，其中对的值讨论是本题的关键，属于难题. 三、解答题 20．已知函数，其中. (1)若不等式的解集是，求m的值； (2)若函数在区间上有且仅有一个零点，求m的取值范围. 【答案】(1)－1； (2) 【分析】（1）根据题意，得到，根据韦达定理，直接求解即可 （2），，可得，根据对勾函数的性质，即可得到的取值范围 【详解】（1）的解集是，得到的解集是，所以， ，所以， （2）令，因为，所以，当时，， 即有，因为函数在区间上有且仅有一个零点，令，根据对勾函数的性质，可得，因为与有且仅有一个交点，根据对勾函数的图像性质，得或，进而可得答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一元二次方程（不等式）（期末压轴专项训练20题） 一、单选题 1．已知方程有两个负实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知，若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．如果关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．在关于的方程和中，已知至少有一个方程有实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．不等式的解集是 8．若关于的不等式的解是,试求的最小值为 . 9．若使集合中的元素个数最少，则实数的取值范围是 . 10．对数不等式的解集是，则实数的值为 . 11．若关于x的不等式的解集为，则 12．若对任意，不等式恒成立，则实数的取值集合为 . 13．已知，同时满足不等式和的的整数值只有2024个，则实数的取值范围是 14．设，若时均有，则 ． 15．已知不等式的解集中恰有三个整数，则实数a的取值范围为 . 16．若关于的不等式的解集是，且只有个元素，则实数的取值范围是 17．已知满足关于x的不等式的每一个x的值至少满足不等式和的一个，则实数a的取值范围为 . 18．若集合中有且仅有一个元素，则实数的取值范围是 19．若使集合中的元素个数最少，则实数的取值范围是 . 三、解答题 20．已知函数，其中. (1)若不等式的解集是，求m的值； (2)若函数在区间上有且仅有一个零点，求m的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$