专题01 高一上期末真题精选（常考129题23类考点专练）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（沪教版2020必修第一册）

专题01 高一上期末真题精选（常考129题23类考点专练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 集合的概念 · 集合间的基本关系 · 集合的基本运算 · 充分性与必要性 · 等式与不等式性质 · 不等式求解 · 基本不等式 · 幂、指数与对数 · 幂函数 · 指数函数与对数函数解析式 · 指数函数与对数函数图象 · 指数函数与对数函数过定点问题 · 指数（型）函数值域（最值问题） · 指数（型）函数单调性应用 · 对数（型）函数定义域问题 · 对数（型）函数单调区间 · 对数（型）函数值域（最值问题） · 对数（型）函数单调性应用 · 函数的表示方法 · 函数奇偶性及其应用 · 函数单调性及其应用 · 函数最值及其恒（能）成立问题 · 函数零点问题 一、集合的概念（共4小题） 1．（22-23高一上·上海金山·期末）已知集合，且，则实数a的值为 ． 2．（22-23高一上·上海浦东新·期末）已知集合，且，则实数a的值为 . 3．（22-23高一上·上海徐汇·期末）用列举法表示 ． 4．（20-21高一上·上海浦东新·期末）集合且，用列举法表示集合 二、集合间的基本关系（共4小题） 1．（24-25高一上·上海·期末）集合的非空真子集有 个． 2．（22-23高二下·上海杨浦·期末）已知集合，若，则实数的取值范围是 . 3．（21-22高一上·上海金山·期末）满足条件：的集合M的个数为 . 4．（21-22高一上·上海徐汇·期末）已知集合，，则满足条件的集合的个数为 个 三、集合的基本运算（共8小题） 1．（23-24高二下·上海·期末）已知集合，则 ． 2．（24-25高一上·上海·期末）已知集合，，则 ． 3．（23-24高二下·上海·期末）已知集合，，则 . 4．（23-24高一上·上海长宁·期末）设集合，. (1)若，试用区间表示集合、； (2)若，求实数的取值范围. 5．（22-23高二下·上海松江·期末）已知全集，集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 6．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知全集，集合，． (1)求A； (2)求． 7．（23-24高一上·上海·期末）已知关于x的不等式的解集为A，不等式的解集为B. (1)若，求集合A； (2)若，求正数a的取值范围. 8．（23-24高一上·上海杨浦·期末）设全集为，集合，集合 (1)若，求集合； (2)若，求实数的取值范围. 四、充分性与必要性（共5小题） 1．（23-24高一上·上海长宁·期末）已知函数的定义域为. 是上的严格增函数； 任意，都有，且当时，恒有； ：当时，都有； 下列关于的充分条件的判断中，正确的是（    ） A．都是 B．是，不是 C．不是，是 D．都不是 2．（23-24高二下·上海·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 3．（23-24高一下·上海宝山·期末）设函数是定义在上的奇函数，则“在上为严格增函数”是“在上的最小值为”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 4．（23-24高一下·上海黄浦·期末）设，“”是“”的一个 条件（充分非必要､必要非充分､充要､既非充分又非必要） 5．（23-24高一上·上海·期末）已知全集，集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)命题p:，命题q:，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围. 五、等式与不等式性质（共5小题） 1．（23-24高一上·上海杨浦·期末）设，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·上海宝山·期末）如果，那么下列式子中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·上海松江·期末）已知，，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一上·上海徐汇·期末）下列命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知对于实数x，y，满足，，则的最大值为 ． 六、不等式求解（共6小题） 1．（23-24高一上·上海·期末）设，若关于的不等式的解集是区间的真子集，则的取值范围是 ． 2．（23-24高一上·上海·期末）对任意，都成立，则实数的取值范围为 . 3．（23-24高一上·上海宝山·期末）不等式的解集为 . 4．（23-24高一上·上海杨浦·期末）已知关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范围 ． 5．（23-24高一上·上海虹口·期末）若一元二次不等式的解集为，则实数 ． 6．（23-24高二下·上海·期末）已知，解关于的不等式. 七、基本不等式（共9小题） 1．（23-24高二上·上海闵行·期末）已知，则的最小值为 . 2．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知，关于x的不等式的解集为M，设，当a变化时，集合N中的元素个数最少时的集合N为 ． 3．（23-24高一上·上海·期末）已知，，且，若的最小值为4，则实数a的值为 . 4．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，若函数的图像恒在函数图像的上方，则m的取值范围为 ． 5．（23-24高一上·上海虹口·期末）若存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围是 ． 6．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知关于的不等式有解，则实数的取值范围为 . 7．（21-22高一上·上海黄浦·期末）如果关于的不等式的解集为，其中常数，则的最小值是 . 8．（22-23高二下·上海·期末）不等式对一切实数恒成立，实数的取值范围 ． 9．（23-24高一上·上海·期末）（1）解不等式； （2）证明：对所有实数x恒成立，并指出等号成立时x的取值范围． 八、幂、指数与对数（共5小题） 1．（23-24高一上·上海·期末）已知，用表示 . 2．（23-24高一上·上海·期末）已知，．则 ．（用及表示） 3．（23-24高一上·上海浦东新·期末）记，那么 ． 4．（23-24高一上·上海松江·期末）已知，用、的代数式表示 . 5．（24-25高一上·上海·期末）解方程：． 九、幂函数（共5小题） 1．（22-23高一上·上海·期末）已知幂函数的图像过点，则 ． 2．（23-24高一上·上海浦东新·期末）若一个幂函数的图像经过点，则它的单调减区间是 ． 3．（23-24高一上·上海·期末）若幂函数在上是严格增函数，则实数 4．（23-24高一上·上海·期末）若幂函数在上是严格减函数，则实数的取值范围为 . 5．（23-24高一上·上海·期末）已知幂函数为偶函数，且在上严格单调递减，则实数m的值为 ． 十、指数函数与对数函数解析式（共3小题） 1．（23-24高二上·上海·期末）若函数是奇函数，则 . 2．（22-23高一上·上海浦东新·期末）已知对数函数（且）的图象经过点，且该函数图象经过点，则实数的值是 . 3．（22-23高一上·上海徐汇·期末）若指数函数的图像经过点，则其解析式为 ． 十一、指数函数与对数函数图象（共3小题） 1．（21-22高一上·上海长宁·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与对数函数（且）的图象关系可能是（    ） A． B． C． D． 2．（20-21高一上·上海浦东新·期末）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高一上·上海松江·期末）设平行于轴的直线分别与函数和的图像相交于点、，若在函数的图像上存在点，使得是以为斜边的等腰直角三角形，则点的横坐标为 . 十二、指数函数与对数函数过定点问题（共5小题） 1．（23-24高一上·上海徐汇·期末）函数（且的图像过定点 . 2．（22-23高一下·上海宝山·期末）无论为何值，函数的图象恒经过一个定点，该定点坐标为 . 3．（23-24高三上·上海普陀·期末）已知（且，函数的图象恒过定点，则点的坐标为 ． 4．（22-23高一上·上海金山·期末）已知常数且，无论a取何值，函数的图像恒过一个定点，则此定点为 ． 5．（22-23高一上·上海金山·期末）已知且，若函数与的图象经过同一个定点，则 . 十三、指数（型）函数值域（最值问题）（共5小题） 1．（23-24高一上·上海奉贤·期末）如果函数在区间上存在满足，则称为函数在区间上的一个均值点．已知函数在上存在均值点，则实数的取值范围是 . 2．（22-23高一上·上海普陀·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则函数的值域为 ． 3．（22-23高一上·上海金山·期末）高斯是著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，.已知，则函数的值域为 . 4．（23-24高一上·上海·期末）已知，设. (1)若，求函数的值域； (2)已知，若函数的最大值为，求的值； (3)已知，若存在两个不同的正实数、，使得当函数的定义域为时，其值域为，求的取值范围. 5．（20-21高一上·上海徐汇·期末）已知函数，. （1）判断函数的单调性，并给予证明； （2）求函数的值域. 十四、指数（型）函数单调性应用（共9小题） 1．（23-24高一上·上海徐汇·期末）用函数的观点解不等式，该不等式的解集为 . 2．（22-23高一下·上海黄浦·期末）已知函数，则不等式的解集为 . 3．（22-23高一上·上海徐汇·期末）若在上是严格增函数，则实数的取值范围是 ． 4．（21-22高一上·上海浦东新·期末）函数的单调减区间是 . 5．（23-24高一上·上海·期末）设，其中． (1)若函数的图像关于原点成中心对称图形，求实数的值； (2)若函数在上是严格增函数，求实数的取值范围． 6．（23-24高一上·上海青浦·期末）已知函数，其中. (1)当时，证明：函数在区间上是严格减函数. (2)讨论函数 的奇偶性，并说明理由. 7．（22-23高一上·上海松江·期末）设，函数. (1)若，求证：函数是奇函数； (2)若，请判断函数的单调性，并用定义证明. 8．（22-23高一下·上海黄浦·期末）设，． (1)当时，求满足的的取值范围； (2)求证：函数在区间上是严格增函数． 9．（22-23高一上·上海崇明·期末）设常数，函数． (1)若，判断函数在区间上的单调性，并说明理由； (2)根据a的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由． 十五、对数（型）函数定义域问题（共5小题） 1．（23-24高一上·上海·期末）函数的定义域为 ． 2．（23-24高一上·上海·期末）函数的定义域是 . 3．（23-24高一上·上海宝山·期末）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 4．（23-24高一上·上海虹口·期末）函数的定义域为 ． 5．（23-24高一上·上海·期末）设函数的定义域为集合A，函数的定义域为集合B． (1)若全集为R，求； (2)若，求实数a的取值范围． 十六、对数（型）函数单调区间（共4小题） 1．（22-23高一上·上海松江·期末）函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海静安·期末）若函数在内是严格减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高一上·上海杨浦·期末）已知函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是 . 4．（22-23高一上·上海浦东新·期末）已知函数在上是严格减函数，则实数a的取值范围为 ； 十七、对数（型）函数值域（最值问题）（共7小题） 1．（22-23高一上·上海宝山·期末）已知函数，定义域为，值域为.则以下选项正确的是（    ） A．存在实数使得 B．存在实数使得 C．对任意实数 D．对任意实数 2．（22-23高一上·上海徐汇·期末）已知函数，若对于任意，存在，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·上海奉贤·期末）已知对数函数在区间上的最大值比最小值大1，则 ． 4．（21-22高一上·上海徐汇·期末）函数的最大值是 5．（22-23高一上·上海徐汇·期末）若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为 ． 6．（22-23高一上·上海杨浦·期末）求函数的最大值与最小值. 7．（22-23高一上·上海浦东新·期末）设． (1)求在上的最小值； (2)当时，若不等式在上有解，求x的取值范围． 十八、对数（型）函数单调性应用（共6小题） 1．（23-24高一上·上海虹口·期末）若表示不大于的最大整数，比如，则不等式的解集为 ． 2．（22-23高一上·上海奉贤·期末）不等式的解集为 ． 3．（23-24高一上·上海徐汇·期末）已知函数. (1)求方程的解； (2)若关于x的方程在上有实数解,求实数的取值范围. 4．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知. (1)解不等式； (2)判断函数在其定义域上的单调性，并严格证明. 5．（21-22高一上·上海宝山·期末）已知函数为常数，为偶函数． (1)求的值；并用定义证明在上是严格增函数； (2)解不等式：． 6．（22-23高一上·上海松江·期末）已知函数. (1)判断并证明的奇偶性； (2)判断并证明的单调性： (3)求解不等式. 十九、函数的概念及其表示方法（共4小题） 1．（23-24高一上·上海徐汇·期末）下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（23-24高一上·上海长宁·期末）已知，若，则 . 3．（22-23高一上·上海奉贤·期末）函数的定义域为 ．（用区间表示） 4．（23-24高三上·上海松江·期末）为了鼓励居民节约用气，某市对燃气收费实行阶梯计价，普通居民燃气收费标准如下： 第一档：年用气量在（含）立方米，价格为元/立方米； 第二档：年用气量在（含）立方米，价格为元/立方米； 第三档：年用气量在立方米以上，价格为元/立方米. (1)请写出普通居民的年度燃气费用（单位：元）关于年度的燃气用量（单位：立方米）的函数解析式（用含的式子表示）； (2)已知某户居民年部分月份用气量与缴费情况如下表，求的值. 月份 1 2 3 4 5 9 10 12 当月燃气用量（立方米） 56 80 66 58 60 53 55 63 当月燃气费（元） 168 240 198 174 183 174.9 186 264.6 二十、函数奇偶性及其应用（共8小题） 1．（23-24高二下·上海宝山·期末）设函数是偶函数，则下列直线中，一定是函数图象的对称轴的是（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海·期末）偶函数在的解析式为，则的值为 . 3．（23-24高一上·上海·期末）已知，是定义在上的偶函数，且当时，.若，则 . 4．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，且，则 . 5．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，是偶函数，则 . 6．（23-24高一上·上海青浦·期末）函数在区间上的最大值为，最小值为，则 . 7．（21-22高一上·上海嘉定·期末）函数为偶函数，则实数 . 8．（23-24高一上·上海·期末）是否存在正数，使是偶函数，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 二十一、函数单调性及其应用（共5小题） 1．（23-24高二下·上海金山·期末）已知函数，则不等式的解集为 ． 2．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，且，则实数m的取值范围是 . 3．（23-24高一上·上海·期末）若函数在区间上是严格增函数，则实数a的取值范围为 ． 4．（23-24高一上·上海·期末）已知函数在上的严格减函数，则实数的取值范围是 . 5．（23-24高一上·上海·期末）已知，若对任意的，都有，则实数b的取值范围是 ． 二十二、函数最值及其恒（能）成立问题（共5小题） 1．（23-24高一上·上海松江·期末）已知关于的不等式有实数解，则实数的取值范围是 . 2．（22-23高一上·上海松江·期末）已知函数，对于任意的，都存在，使得成立，则实数的取值范围为 . 3．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，且． (1)求实数，判断函数在上的单调性，并用定义证明； (2)利用函数的单调性和奇偶性，解不等式． 4．（23-24高一上·上海·期末）设，已知，. (1)求证：函数不是偶函数； (2)若对任意的、，总存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)若对任意的，，总有成立，求实数的取值范围. 5．（23-24高一上·上海虹口·期末）已知，其中是常数，． (1)判断函数的奇偶性，请说明理由； (2)若对任意，均有，求所有满足条件的实数的值． 二十三、函数零点问题（共9小题） 1．（23-24高一上·上海·期末）已知函数满足，且当时，.若在区间上关于的方程有且仅有一解，则实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海·期末）设，若定义域为的函数的图象关于直线、直线、直线都成轴对称，且在区间上恰有5个零点，则在区间上的零点个数的最小值是 . 3．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，若存在满足，则的取值范围为 ． 4．（23-24高一上·上海虹口·期末）设，若实数满足：，则的取值范围是 ． 5．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，，若函数和的图象有且仅有1个公共点，则实数的取值范围是 6．（23-24高一上·上海·期末）关于函数，给出下列结论： ①函数的图象关于轴对称； ②如果方程（为常数）有解，则解的个数一定是偶数. ③方程一定有实数解； 以上结论正确的是 7．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，若函数存在零点，则实数的取值范围是 . 8．（23-24高一上·上海·期末）方程的根，，则 ． 9．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知，其中. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)当时，若函数与的图像有且只有三个公共点，求的取值范围； (3)记，若函数在区间上有两个不同的零点，求的取值范围. $$专题01 高一上期末真题精选（常考129题23类考点专练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 集合的概念 · 集合间的基本关系 · 集合的基本运算 · 充分性与必要性 · 等式与不等式性质 · 不等式求解 · 基本不等式 · 幂、指数与对数 · 幂函数 · 指数函数与对数函数解析式 · 指数函数与对数函数图象 · 指数函数与对数函数过定点问题 · 指数（型）函数值域（最值问题） · 指数（型）函数单调性应用 · 对数（型）函数定义域问题 · 对数（型）函数单调区间 · 对数（型）函数值域（最值问题） · 对数（型）函数单调性应用 · 函数的表示方法 · 函数奇偶性及其应用 · 函数单调性及其应用 · 函数最值及其恒（能）成立问题 · 函数零点问题 一、集合的概念（共4小题） 1．（22-23高一上·上海金山·期末）已知集合，且，则实数a的值为 ． 【答案】1 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据元素与集合的关系列式计算即得. 【详解】由题意可得：，解得. 故答案为：1. 2．（22-23高一上·上海浦东新·期末）已知集合，且，则实数a的值为 . 【答案】或 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据元素与集合的关系求解. 【详解】因为，， 所以，解得或， 故答案为：或 3．（22-23高一上·上海徐汇·期末）用列举法表示 ． 【答案】 【知识点】列举法表示集合 【分析】根据元素的特征用列举法表示即可. 【详解】解：. 故答案为： 4．（20-21高一上·上海浦东新·期末）集合且，用列举法表示集合 【答案】 【知识点】列举法表示集合 【解析】由已知可得，则，解得且，结合题意，逐个验证，即可求解. 【详解】由题意，集合且，可得，则， 解得且， 当时，，满足题意； 当时，，不满足题意； 当时，，不满足题意； 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； 当时，，此时分母为零，不满足题意； 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； 当时，，不满足题意； 当时，，不满足题意； 当时，，满足题意； 综上可得，集合. 故答案为：. 二、集合间的基本关系（共4小题） 1．（24-25高一上·上海·期末）集合的非空真子集有 个． 【答案】30 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】若集合有个元素，则非空真子集的个数为. 【详解】根据元素互异性集合A中有5个元素， 所以非空真子集有． 故答案为:30. 2．（22-23高二下·上海杨浦·期末）已知集合，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据集合间的包含关系即可求解. 【详解】由于，所以， 故答案为： 3．（21-22高一上·上海金山·期末）满足条件：的集合M的个数为 . 【答案】7 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、求集合的子集（真子集） 【分析】根据可知，M中的元素应该是多于一个不多于中的元素个数，由此可求得答案. 【详解】由可知， M中的元素个数多于中的元素个数，不多于中的元素个数 因此M中的元素来自于b,c,d中， 即在b,c,d中取1元素时，M有3个；取2个元素时，有3个；取3个元素时，有1个， 故足条件：的集合M的个数有7个， 故答案为：7. 4．（21-22高一上·上海徐汇·期末）已知集合，，则满足条件的集合的个数为 个 【答案】7 【知识点】列举法表示集合、判断集合的子集（真子集）的个数、判断两个集合的包含关系 【分析】化简集合A，B，根据条件确定集合C的个数即可. 【详解】因为， , 因为，所以1，2都是集合C的元素， 集合C中的元素还可以有3，4，5，且至少有一个， 所以集合C为：，，，，，， ，共7个. 故答案为：7 三、集合的基本运算（共8小题） 1．（23-24高二下·上海·期末）已知集合，则 ． 【答案】 【知识点】区间的关系与运算、交集的概念及运算 【分析】根据集合交集运算即可. 【详解】由于，则. 故答案为：. 2．（24-25高一上·上海·期末）已知集合，，则 ． 【答案】 【知识点】交集的概念及运算 【分析】解出即可得出交集. 【详解】解方程组，得，故. 故答案为：. 3．（23-24高二下·上海·期末）已知集合，，则 . 【答案】 【知识点】交集的概念及运算、分式不等式 【分析】首先解分式不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，等价于，解得， 所以，又， 所以. 故答案为： 4．（23-24高一上·上海长宁·期末）设集合，. (1)若，试用区间表示集合、； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【知识点】分式不等式、根据并集结果求集合或参数 【分析】（1）当时，分别解出不等式，得集合、； （2）求出集合，根据，可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，由，得， 解得，所以， 由，得，则有， 解得，所以； （2）由，得， 解得，所以， 由（1）得，由于， 所以，解得. 所以实数的取值范围是. 5．（22-23高二下·上海松江·期末）已知全集，集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】分式不等式、根据并集结果求集合或参数、并集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数 【分析】（1）求出，根据对是否为空集分情况讨论即可； （2）求出，利用补集思想求解即可. 【详解】（1）由，得，，故， 因为，所以， ①当时，，解得； ②当时，有，无解； 所以实数的取值范围为； （2）由题意，，， 若，则， 因为，所以实数的取值范围为. 6．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知全集，集合，． (1)求A； (2)求． 【答案】(1)或； (2) 【知识点】分式不等式、交并补混合运算 【分析】（1）首先求解分式不等式，即可求解集合； （2）分别求解和，再求交集. 【详解】（1），即，解得：或， 所以或； （2）， ，解得：， 即， 所以. 7．（23-24高一上·上海·期末）已知关于x的不等式的解集为A，不等式的解集为B. (1)若，求集合A； (2)若，求正数a的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【知识点】公式法解绝对值不等式、解含有参数的一元二次不等式、解不含参数的一元二次不等式、根据并集结果求集合或参数 【分析】（1）把代入，求解一元二次不等式即得. （2）求出集合，再利用并集的结果，借助集合的包含关系求解即得. 【详解】（1）当时，不等式，解得， 所以. （2）由，解不等式，得，即， 解不等式，得，即，则， 由，得，因此， 所以正数a的取值范围是. 8．（23-24高一上·上海杨浦·期末）设全集为，集合，集合 (1)若，求集合； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】公式法解绝对值不等式、分式不等式、交集的概念及运算、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）解分式不等式求出集合，根据，解出集合，进行交集运算即可； （2）先解出，根据，先考虑是否可以为空集，再考虑非空时，进而解出的取值范围. 【详解】（1）因为，所以，解得，所以， 又因为，所以，解得，所以， 所以； （2）因为，所以，所以， 又因为，且，所以， 所以，所以， 所以实数a的取值范围是. 四、充分性与必要性（共5小题） 1．（23-24高一上·上海长宁·期末）已知函数的定义域为. 是上的严格增函数； 任意，都有，且当时，恒有； ：当时，都有； 下列关于的充分条件的判断中，正确的是（    ） A．都是 B．是，不是 C．不是，是 D．都不是 【答案】B 【知识点】判断命题的充分不必要条件、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】根据题意，对于：先分析函数的奇偶性，结合奇偶性、单调性的定义分析可得是的充分条件；对于，利用单调性的定义，据反例可得不是的充分条件；综合可得答案． 【详解】根据题意，对于：任意，，都有， 令，则有， 再令，有，变形可得， 则函数为奇函数； 设，有， 则有， 必有， 故函数是上的严格增函数， 则是的充分条件； 对于，例如，当，满足时，都有；但不是单调递增函数，故不是的充分条件； 故选：B． 2．（23-24高二下·上海·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】直接根据充分性和必要性的定义判断即可. 【详解】若“”则“”成立，是充分条件； 当时，“”，，是不必要条件； “”是“”的充分非必要条件， 故选：A. 3．（23-24高一下·上海宝山·期末）设函数是定义在上的奇函数，则“在上为严格增函数”是“在上的最小值为”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的应用、判断命题的充分不必要条件 【分析】结合严格增函数与奇函数定义，假设在上为严格增函数去推导能否得到在上的最小值为，及假设在上的最小值为去推导能否得到在上为严格增函数，即可得解. 【详解】若在上为严格增函数， 由奇函数性质可得在上为严格增函数， 则在上的最小值为， 若在上的最小值为， 不能得到在上为严格增函数， 即不能得到在上为严格增函数， 故“在上为严格增函数”是“在上的最小值为”的充分非必要条件. 故选：A. 4．（23-24高一下·上海黄浦·期末）设，“”是“”的一个 条件（充分非必要､必要非充分､充要､既非充分又非必要） 【答案】充分非必要 【知识点】分式不等式、由不等式的性质比较数（式）大小、充要条件的证明、判断命题的充分不必要条件 【分析】根据不等式的性质证明充分性成立，根据分式不等式的解法证明必要性不成立. 【详解】当时，， 所以“”是“”的充分条件； 当时，，即，解得或， 所以“”是“”的不必要条件， 故“”是“”的充分非必要条件. 故答案为：充分非必要 5．（23-24高一上·上海·期末）已知全集，集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)命题p:，命题q:，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、必要条件的判定及性质、根据交集结果求集合或参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）根据一元二次不等式解法化简两个集合，结合交集概念求解答案； （2）将必要条件转化为集合包含关系，进而直接列式求解. 【详解】（1）由，得，则， 即， 比较的大小，由，则， 所以， 因为， 所以或， 所以或，即实数a的取值范围为 （2）因为命题p:，命题q:，若q是p的必要条件， 所以， 所以，解得或， 即实数a的取值范围为 五、等式与不等式性质（共5小题） 1．（23-24高一上·上海杨浦·期末）设，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据不等式性质逐个选项判断即可. 【详解】对A，，则，即，故A错误； 对B，，则，则，故B错误； 对C，，则，故C错误； 对D，，则，故D正确. 故选：D 2．（22-23高一下·上海宝山·期末）如果，那么下列式子中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据不等式的性质判断即可. 【详解】因为，所以，故A错误； 因为，所以，所以，故B错误； 因为，所以，故C错误； 因为，所以，故D正确. 故选：D 3．（22-23高一上·上海松江·期末）已知，，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】利用不等式的性质求解. 【详解】因为，所以所以， 所以，又因为，所以， 故选:C. 4．（22-23高一上·上海徐汇·期末）下列命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】根据不等式的性质判断A、C，利用特殊值判断B、D. 【详解】解：对于A：因为，当时，当时，故A错误； 对于B：因为，则，无法得到，如，，显然满足，但是，故B错误； 对于C：因为，所以，故C正确； 对于D：因为，则，无法得到， 如，，，，满足，但是，，故D错误； 故选：C 5．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知对于实数x，y，满足，，则的最大值为 ． 【答案】7 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】先得到，根据得到答案. 【详解】因为，，所以， 设， 故，所以， ， 由于， 故， 即. 故答案为：7 六、不等式求解（共6小题） 1．（23-24高一上·上海·期末）设，若关于的不等式的解集是区间的真子集，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】讨论参数求不等式解集，由不等式的解集是区间的真子集，列不等式求解即可. 【详解】不等式可化为， 当时，不等式的解集为， 由不等式的解集是区间的真子集，可得； 当时，不等式的解集为，不符合题意； 当时，不等式的解集为，符合题意， 综上可得，的取值范围是. 故答案为： 2．（23-24高一上·上海·期末）对任意，都成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】分、两种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可；在第二种情况下，根据二次不等式恒成立可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】对任意，都成立, 当时，则有，合乎题意； 当时，则有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 3．（23-24高一上·上海宝山·期末）不等式的解集为 . 【答案】或. 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】将其等价转化为一元二次不等式，再解得即可. 【详解】不等式等价于，解得或， 所以不等式的解集为或. 故答案为：或 4．（23-24高一上·上海杨浦·期末）已知关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范围 ． 【答案】 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】根据题意对a进行分类讨论，结合的开口与判别式即可. 【详解】当时，,满足题意； 当时，易得且，即，解得. 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 5．（23-24高一上·上海虹口·期末）若一元二次不等式的解集为，则实数 ． 【答案】 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系解出即可. 【详解】根据题意可知方程的两根分别为， 根据韦达定理可知，， 故答案为：. 6．（23-24高二下·上海·期末）已知，解关于的不等式. 【答案】答案见解析 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】分三种情况讨论不等式解集即可. 【详解】对，由关于的不等式，即，可得. 当时，不等式即，解得，解集为. 当时，不等式即，解得，或，解集为或. 当时，不等式即，解得，解集为. 综上，当时解集为; 当时解集为; 当时解集为. 七、基本不等式（共9小题） 1．（23-24高二上·上海闵行·期末）已知，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式求得正确答案. 【详解】依题意，，则，且， ， 当且仅当时等号成立. 故答案为： 2．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知，关于x的不等式的解集为M，设，当a变化时，集合N中的元素个数最少时的集合N为 ． 【答案】/ 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、基本不等式求和的最小值、根据集合中元素的个数求参数 【分析】由基本不等式得到，得到不等式解集，要想集合N中的元素个数最少，则取最小值，得到答案. 【详解】，令得， 其中，当且仅当，即时，等号成立， 其中， 则的解集为， 要想集合N中的元素个数最少，则取最小值， 此时解集为，此时. 故答案为： 3．（23-24高一上·上海·期末）已知，，且，若的最小值为4，则实数a的值为 . 【答案】2 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用配凑法，结合基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】由，且，知， 因此 ，当且仅当，即时取等号， 依题意，，解得，由，解得， 所以当时，有最小值为4，实数a的值为2. 故答案为：2 4．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，若函数的图像恒在函数图像的上方，则m的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】绝对值三角不等式、求绝对值不等式中参数值或范围 【分析】首先将题目等价转换为恒成立，利用三角不等式求不等号左边最小值，由此即可得解. 【详解】由题意函数，若函数的图像恒在函数图像的上方， 所以恒成立，即恒成立，即恒成立， 故只需即可， 而由三角不等式可得，等号成立当且仅当， 即，所以m的取值范围为. 故答案为：. 5．（23-24高一上·上海虹口·期末）若存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】绝对值三角不等式 【分析】根据绝对值的三角不等式结合存在性问题分析求解. 【详解】因为，当且仅当时，等号成立， 由题意可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 6．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知关于的不等式有解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】绝对值三角不等式 【分析】利用绝对值不等式求得的最小值，从而利用能成立问题得到，解之即可得解. 【详解】因为， 当且仅当时，等号成立， 因为有解，所以，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 7．（21-22高一上·上海黄浦·期末）如果关于的不等式的解集为，其中常数，则的最小值是 . 【答案】 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、基本不等式求和的最小值、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】根据不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系和基本不等式即可求解. 【详解】不等式的解集为，其中常数， 所以是方程的实数根， 时，，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值是 故答案为： 8．（22-23高二下·上海·期末）不等式对一切实数恒成立，实数的取值范围 ． 【答案】 【知识点】绝对值三角不等式、求绝对值不等式中参数值或范围 【分析】利用绝对值三角不等式求出的最小值，从而可求出实数的取值范围. 【详解】因为，当且仅当取等号， 所以的最小值为1， 因为对一切实数恒成立， 所以， 所以实数a的取值范围是． 故答案为：． 9．（23-24高一上·上海·期末）（1）解不等式； （2）证明：对所有实数x恒成立，并指出等号成立时x的取值范围． 【答案】(1)；(2)，证明见解析. 【知识点】绝对值三角不等式、分类讨论解绝对值不等式 【分析】（1）分，，三种情况去绝对值符号，求解即可； （2）利用绝对值三角不等式即可得出结果. 【详解】（1）当时，原不等式等价于，解得， 此时； 当时，原不等式等价于，解得， 此时； 当时，原不等式等价于，解得，此时无解. 综上，不等式的解集为； （2）证明：， 当且仅当，即时等号成立，此时， 对所有实数x恒成立，且等号成立时的x的取值范围为. 八、幂、指数与对数（共5小题） 1．（23-24高一上·上海·期末）已知，用表示 . 【答案】 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】利用换底公式及对数的运算性质计算可得. 【详解】因为，所以. 故答案为： 2．（23-24高一上·上海·期末）已知，．则 ．（用及表示） 【答案】/ 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算 【分析】利用对数的运算法则计算即可. 【详解】由可知，所以. 故答案为： 3．（23-24高一上·上海浦东新·期末）记，那么 ． 【答案】 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】利用对数的换底公式计算可得答案. 【详解】因为， 所以. 故答案为：1. 4．（23-24高一上·上海松江·期末）已知，用、的代数式表示 . 【答案】 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算、运用换底公式化简计算 【分析】根据指对数互化，即可利用对数的性质求解. 【详解】由可得， 所以， 故答案为： 5．（24-25高一上·上海·期末）解方程：． 【答案】或 【知识点】简单的对数方程 【分析】先根据二次方程解，再根据对数方程解得结果. 【详解】即， 所以，所以或， 所以或． 九、幂函数（共5小题） 1．（22-23高一上·上海·期末）已知幂函数的图像过点，则 ． 【答案】3 【知识点】根据函数是幂函数求参数值 【分析】由幂函数知，再代入点求出即可. 【详解】因为幂函数，所以，又幂函数图象过点， ，解得，所以. 故答案为：3. 2．（23-24高一上·上海浦东新·期末）若一个幂函数的图像经过点，则它的单调减区间是 ． 【答案】 【知识点】求幂函数的解析式、判断一般幂函数的单调性 【分析】首先求函数的解析式，再根据幂函数的性质，即可判断函数的单调递减区间. 【详解】设幂函数为，由题意可知，，则， 即，由幂函数性质可知，函数在单调递减， 因为函数为偶函数，所以在单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 故答案为： 3．（23-24高一上·上海·期末）若幂函数在上是严格增函数，则实数 【答案】 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数 【分析】根据幂函数的定义和性质分析求解. 【详解】由题意可得：，解得或， 若，则在上是严格减函数，不合题意； 若，则在上是严格增函数，符合题意； 综上所述：. 故答案为：. 4．（23-24高一上·上海·期末）若幂函数在上是严格减函数，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由幂函数的单调性求参数 【分析】利用幂函数的单调性即可得解. 【详解】因为幂函数在上是严格减函数， 所以，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 5．（23-24高一上·上海·期末）已知幂函数为偶函数，且在上严格单调递减，则实数m的值为 ． 【答案】 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数 【分析】利用幂函数的定义和性质即可求解. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或. 又因为在上严格单调递减，所以，解得，故而. 而且当时，是偶函数，符合题意，从而实数m的值为. 故答案为：. 十、指数函数与对数函数解析式（共3小题） 1．（23-24高二上·上海·期末）若函数是奇函数，则 . 【答案】 【知识点】求指数函数解析式、由奇偶性求参数 【分析】令，利用奇函数的性质得出，可求出的值，可得出函数的解析式，再验证函数为奇函数，即可得解. 【详解】令，则该函数的定义域为， 因为函数为奇函数，则，解得，则， ，即函数为奇函数，合乎题意， 故. 故答案为：. 2．（22-23高一上·上海浦东新·期末）已知对数函数（且）的图象经过点，且该函数图象经过点，则实数的值是 . 【答案】9 【知识点】求对数函数的解析式 【分析】根据点在图象上可求出，进而可求解. 【详解】因为对数函数（且）的图象经过点， 所以解得， 所以， 因为该函数图象经过点，所以解得， 故答案为:9. 3．（22-23高一上·上海徐汇·期末）若指数函数的图像经过点，则其解析式为 ． 【答案】 【知识点】求指数函数解析式 【分析】设指数函数的解析式为，(且)，代入计算即可得解. 【详解】设指数函数的解析式为，(且)， 因指数函数fx的图像经过点， 则，即，则其解析式为. 故答案为：. 十一、指数函数与对数函数图象（共3小题） 1．（21-22高一上·上海长宁·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与对数函数（且）的图象关系可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数图像的识别、根据对数型函数图象判断参数的范围 【分析】根据对数函数的图象以及直线方程与图象关系分别进行讨论即可． 【详解】．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾， ．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾， ．由对数图象知，此时直线的纵截距，保持一致， ．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾， 故选：． 2．（20-21高一上·上海浦东新·期末）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数图像的识别、判断对数型函数的图象形状 【分析】利用奇偶性排除AB,利用函数值正负排除C 【详解】的定义域为关于原点对称，且，故函数为偶函数，排除AB；当，故C错误 故选：D 3．（21-22高一上·上海松江·期末）设平行于轴的直线分别与函数和的图像相交于点、，若在函数的图像上存在点，使得是以为斜边的等腰直角三角形，则点的横坐标为 . 【答案】 【知识点】对数函数图象的应用 【分析】设，求得点坐标并代入，求得，进而求得的横坐标. 【详解】设，线段的中点坐标为，， 因为是以为斜边的等腰直角三角形， 所以，因为点在函数的图像上， 所以，， 所以，所以， 解得，所以点的横坐标为. 故答案为： 十二、指数函数与对数函数过定点问题（共5小题） 1．（23-24高一上·上海徐汇·期末）函数（且的图像过定点 . 【答案】 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】由指数函数的性质可得. 【详解】当时，， 故图像过定点， 故答案为：. 2．（22-23高一下·上海宝山·期末）无论为何值，函数的图象恒经过一个定点，该定点坐标为 . 【答案】 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】由已知可知，求解代入，即可得出答案. 【详解】当，即时，无论为何值，恒有，此时， 所以定点坐标为. 故答案为：. 3．（23-24高三上·上海普陀·期末）已知（且，函数的图象恒过定点，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】对数型函数图象过定点问题 【分析】令即可求出定点. 【详解】令得， 此时， 所以函数的图象恒过定点，即点. 故答案为：. 4．（22-23高一上·上海金山·期末）已知常数且，无论a取何值，函数的图像恒过一个定点，则此定点为 ． 【答案】 【知识点】对数型函数图象过定点问题 【分析】利用对数函数性质可知，只需令即可求出的图像恒过的定点的坐标. 【详解】因为的图像必过，即， 当，即时，， 从而图像必过定点. 故答案为：. 5．（22-23高一上·上海金山·期末）已知且，若函数与的图象经过同一个定点，则 . 【答案】3 【知识点】指数型函数图象过定点问题、对数型函数图象过定点问题 【分析】由可得出函数所过定点，再由结合条件可得的值. 【详解】因为， 由，可得，， 即函数的图象经过定点； 因为， 由，可得， 即的图象经过定点， 所以，即. 故答案为：3. 十三、指数（型）函数值域（最值问题）（共5小题） 1．（23-24高一上·上海奉贤·期末）如果函数在区间上存在满足，则称为函数在区间上的一个均值点．已知函数在上存在均值点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】函数新定义、函数与方程的综合应用、求指数函数在区间内的值域、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】先求出，由此列方程，再利用换元法以及函数与方程的思想求得实数的取值范围. 【详解】根据题意由可得； 函数在上存在均值点，即方程在上有解， 设，则有在上有解； 即，因此函数与图象有交点， 而二次函数对称轴为，其在上的值域为， 所以可得实数的取值范围是. 故答案为： 2．（22-23高一上·上海普陀·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则函数的值域为 ． 【答案】 【知识点】求指数型复合函数的值域、由奇偶性求函数解析式 【分析】根据函数的奇偶性得到函数解析式，画出函数图像，根据图像得到值域. 【详解】当时，，则， 故，画出函数图像，如图所示： 根据图像知，函数值域为. 故答案为： 3．（22-23高一上·上海金山·期末）高斯是著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，.已知，则函数的值域为 . 【答案】 【知识点】求指数型复合函数的值域 【分析】先把函数分离常数，然后求分离常数后的取值范围，最后根据取值范围求解. 【详解】 又， 当时，所以的值域里有 当时，所以的值域里有 当时，所以的值域里有 所以的值域为 故答案为： 4．（23-24高一上·上海·期末）已知，设. (1)若，求函数的值域； (2)已知，若函数的最大值为，求的值； (3)已知，若存在两个不同的正实数、，使得当函数的定义域为时，其值域为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、求指数型复合函数的值域、根据二次函数零点的分布求参数的范围、根据指数函数的值域或最值求参数（定义域） 【分析】（1）根据题意结合指数函数性质分析求解； （2）令，可得的最大值为，结合二次函数性质分析求解； （3）令，由题意可知在内有两个零点，结合二次函数零点分布求解. 【详解】（1）若，则， 因为，则， 所以函数的值域为. （2）令，则， 因为，可知开口向下，对称轴为， 当，二次函数取到最大值， 整理得，解得或， 且，所以. （3）令，则 因为，开口向上，对称轴， 可知在内单调递增， 且在内单调递增， 可知在内单调递增， 由题意可知：至少有2个不同的正根， 即，整理得， 可得在内有两个零点， 且，则，解得， 所以的取值范围. 5．（20-21高一上·上海徐汇·期末）已知函数，. （1）判断函数的单调性，并给予证明； （2）求函数的值域. 【答案】（1）在上单调递减，证明见解析；（2）. 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、判断指数型复合函数的单调性、求指数型复合函数的值域 【解析】（1）对化简可得，利用单调性的定义，取值、作差、化简、定号即可证明； （2），利用先求出，再计算即可求解. 【详解】（1）， 设任意的，，且， ， 因为，所以， 因为，，所以， 所以在上单调递减， （2）， 因为，所以，，， 所以， 函数的值域为 【点睛】方法点睛：定义法判定函数在区间上的单调性的一般步骤： 1.取值：任取，，规定， 2.作差：计算； 3.定号：确定的正负； 4.得出结论：根据同增异减得出结论. 十四、指数（型）函数单调性应用（共9小题） 1．（23-24高一上·上海徐汇·期末）用函数的观点解不等式，该不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、对数函数单调性的应用 【分析】由不等式可得，令函数再根据函数单调性即可求解. 【详解】由不等式，得， 令函数，定义域为， 因为，均为定义域内的增函数， 所以在定义域内单调递增，且， 对应不等式即为，从而得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 2．（22-23高一下·上海黄浦·期末）已知函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】令，分析函数的定义域、奇偶性与单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】设，则函数定义域为， 因为， 故函数为奇函数， 因为函数、、、均为上的增函数， 故函数为上的增函数， 因为， 由可得， 可得， 所以，，即，解得. 因此，不等式的解集为. 故答案为：. 3．（22-23高一上·上海徐汇·期末）若在上是严格增函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由指数（型）的单调性求参数、根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据题意，由函数在上是严格增函数，列出不等式，即可得到结果. 【详解】因为函数在上是严格增函数， 则，解得 所以实数的取值范围是 故答案为: 4．（21-22高一上·上海浦东新·期末）函数的单调减区间是 . 【答案】/ 【知识点】判断指数型复合函数的单调性 【分析】根据复合函数的单调性“同增异减”，即可求解. 【详解】令， 根据复合函数单调性可知，内层函数在上单调递减，在上单调递增， 外层函数在定义域上单调递增，所以函数#在上单调递减，在上单调递增. 故答案为：. 5．（23-24高一上·上海·期末）设，其中． (1)若函数的图像关于原点成中心对称图形，求实数的值； (2)若函数在上是严格增函数，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】判断指数函数的单调性、定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求参数、根据函数的单调性求参数值 【分析】（1）由奇函数定义可知，由此可构造方程求得结果； （2）根据单调性定义可知对任意，恒成立，由此可整理得到，根据可求得的取值范围. 【详解】（1）由题意得为奇函数，， 又，，解得：. （2）设，在上为严格增函数，恒成立， 即， ，，即， ，，，即的取值范围为. 6．（23-24高一上·上海青浦·期末）已知函数，其中. (1)当时，证明：函数在区间上是严格减函数. (2)讨论函数 的奇偶性，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)时，为偶函数，且时，为非奇非偶函数. 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）由函数单调性的定义证明即可. （2）由函数奇偶性定义进行判断即可. 【详解】（1）由题， 设任意， 则 ， 因为， 所以，且， 则， 所以，即， 所以函数在区间上是严格减函数. （2）因为，定义域为R， 则， 若为偶函数，则， 若为奇函数，则，无解， 所以时，为偶函数，且时，为非奇非偶函数. 7．（22-23高一上·上海松江·期末）设，函数. (1)若，求证：函数是奇函数； (2)若，请判断函数的单调性，并用定义证明. 【答案】(1)证明见解析； (2)上的增函数，证明见解析. 【知识点】判断指数函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）利用奇函数的定义可证得结论成立； （2）任取，且，作差，因式分解并判断差值的符号，由此可证得函数为上的增函数. 【详解】（1）当时，函数的定义域为， 由于， 所以函数是奇函数. （2）当时，函数为上的增函数. 当时，， 任取，且，则 ， 由，得，则，即， 所以函数为上的增函数. 8．（22-23高一下·上海黄浦·期末）设，． (1)当时，求满足的的取值范围； (2)求证：函数在区间上是严格增函数． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、比较指数幂的大小、指数不等式 【分析】（1）即，亦即，可得，进而可得答案； （2）设是区间上任意给定的两个实数，且，证明即可得结论. 【详解】（1）即， 亦即，因为， 所以上述不等式即为，解得， 故满足的x的取值范围是； （2）设是区间上任意给定的两个实数，且， 0， 由，可得，即， 又，，从而0， 故， 因此，函数在区间上是严格增函数增函数． 9．（22-23高一上·上海崇明·期末）设常数，函数． (1)若，判断函数在区间上的单调性，并说明理由； (2)根据a的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由． 【答案】(1)函数在区间上是严格减函数，理由见解析 (2)具体见解析 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、指数式与对数式的互化、定义法判断或证明函数的单调性、比较指数幂的大小 【分析】（1）由定义结合指数函数的单调性得出单调性； （2）分类讨论的值，结合奇偶性的定义判断即可. 【详解】（1）当，， 任取，有，所以 所以， 所以函数在区间上是严格减函数 （2）①当时，，定义域为，故函数是偶函数； ②当时，，定义域为， ，故函数为奇函数； ③当且时，定义域为关于原点不对称， 故函数既不是奇函数，也不是偶函数， 所以当时，函数是偶函数，当时，函数是奇函数，当且时，函数是非奇非偶函数. 十五、对数（型）函数定义域问题（共5小题） 1．（23-24高一上·上海·期末）函数的定义域为 ． 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的定义域 【分析】根据对数型函数真数大于0即可得到不等式，解出即可. 【详解】由题意得，即，解得或， 则其定义域为， 故答案为：. 2．（23-24高一上·上海·期末）函数的定义域是 . 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的定义域 【分析】利用对数的真数大于零可求得原函数的定义域. 【详解】对于函数，有，解得， 故函数的定义域为. 故答案为：. 3．（23-24高一上·上海宝山·期末）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的定义域、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】根据题意，将问题转化为恒成立求参数，再结合二次函数性质即求解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以在上恒成立， 则当时，满足题意； 当时，，解得. 综上所述，，即. 故答案为：. 4．（23-24高一上·上海虹口·期末）函数的定义域为 ． 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的定义域、具体函数的定义域 【分析】由二次根式有意义的条件以及复合对数函数的定义域即可得解. 【详解】由题意函数有意义，当且仅当，解得，即函数的定义域为. 故答案为：. 5．（23-24高一上·上海·期末）设函数的定义域为集合A，函数的定义域为集合B． (1)若全集为R，求； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求对数型复合函数的定义域、具体函数的定义域、补集的概念及运算、根据并集结果求集合或参数 【分析】（1）根据对数函数定义域和补集相关知识求解即可； （2）根据题意得到，结合列出不等式组求解即可. 【详解】（1）因为函数的定义域为集合A， 所以令， 即，解得或， 即或， 所以 （2）因为函数的定义域为集合B， 所以令，解得，所以， 因为，所以，解得， 所以实数a的取值范围为 十六、对数（型）函数单调区间（共4小题） 1．（22-23高一上·上海松江·期末）函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对数型复合函数的单调性 【分析】令，求出原函数定义域后，分别讨论函数与，的单调性，再通过复合函数同增异减得出答案. 【详解】函数定义域为， 令，，则， 函数在定义域上为单调减函数， 函数，，在上单调递增，在上单调递减， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 故选：C. 2．（23-24高一下·上海静安·期末）若函数在内是严格减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数的单调性求参数值、由对数（型）的单调性求参数 【分析】根据题意以及对数函数的单调性性质即可直接求解. 【详解】函数在内是严格减函数， 所以，，故. 故选：D. 3．（21-22高一上·上海杨浦·期末）已知函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由对数（型）的单调性求参数、对数型复合函数的单调性 【分析】由题知在上恒成立，进而得，再解不等式即可得答案. 【详解】解：因为函数在上是严格减函数， 所以，在上恒成立， 故且在上单调递减， 即有，解得. 所以，实数的取值范围是． 故答案为：． 4．（22-23高一上·上海浦东新·期末）已知函数在上是严格减函数，则实数a的取值范围为 ； 【答案】 【知识点】由对数（型）的单调性求参数、求对数型复合函数的定义域 【分析】由题意，利用复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，求得的范围． 【详解】函数在上严格单调递减， 函数 在上单调递增，且， ，解得， 故答案为：． 十七、对数（型）函数值域（最值问题）（共7小题） 1．（22-23高一上·上海宝山·期末）已知函数，定义域为，值域为.则以下选项正确的是（    ） A．存在实数使得 B．存在实数使得 C．对任意实数 D．对任意实数 【答案】D 【知识点】求对数型复合函数的定义域、求对数型复合函数的值域 【分析】设，考虑，，，，，几种情况，分别计算集合和，再对比选项得到答案.. 【详解】设，当，即时， 设对应方程的两根为，，不妨取， 当时，，，且； 当时，，； 当时，，，； 当时，，； 当时，，，，故； 当时，函数无意义. 对选项A：根据以上情况知不存在的情况，错误； 对选项B：根据以上情况知不存在的情况，错误； 对选项C：假设任意实数，， 取，解得，则， 对于，有， 此时应满足，解得， 易得不在此范围内，假设不成立，此时，错误； 对选项D：根据以上情况知对任意实数，正确； 故选：D 【点睛】关键点睛：本题考查了对数型复合函数的定义域和值域，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，根据二次函数的开口方向和的正负讨论的范围，进而计算集合和是解题的关键，分类讨论的方法是常考方法，需要熟练掌握. 2．（22-23高一上·上海徐汇·期末）已知函数，若对于任意，存在，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求对数型复合函数的值域、函数不等式能成立（有解）问题、求指数型复合函数的值域 【分析】根据对数函数、指数函数的性质求出、的值域，依题意可得，即可得到不等式，解得即可. 【详解】解：因为，所以，所以，即， 由，则，即， 因为对于任意，存在，使得， 所以，则，解得，即. 故选：A 3．（22-23高一上·上海奉贤·期末）已知对数函数在区间上的最大值比最小值大1，则 ． 【答案】2 【知识点】根据对数函数的最值求参数或范围 【分析】根据对数函数的单调性，结合已知列出方程，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，函数在区间上单调递增. 又对数函数在区间上的最大值比最小值大1， 所以，，解得. 故答案为：2. 4．（21-22高一上·上海徐汇·期末）函数的最大值是 【答案】 【知识点】求对数函数的最值 【分析】由对数函数的单调性和二次函数的知识可得答案. 【详解】由对数函数的单调性可得当取得最小值时，函数取得最大值， 所以当时，. 故答案为： 5．（22-23高一上·上海徐汇·期末）若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据对数函数的最值求参数或范围、函数不等式恒成立问题 【分析】把不等式变形为，分和情况讨论，数形结合求出答案. 【详解】解：因为不等式在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，，， 则问题转化为在上恒成立， 若，此时在上单调递减，，而当时，，显然不合题意； 当时，画出两个函数的图象， 要想满足在上恒成立，只需，即，解得． 综上：实数的取值范围是. 故答案为： 6．（22-23高一上·上海杨浦·期末）求函数的最大值与最小值. 【答案】 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求对数型复合函数的值域、对数型复合函数的单调性 【分析】判断函数的单调性，由此可求得答案. 【详解】由于在上单调递减，且在上单调递增， 故函数在上单调递减， 则其最大值为，最小值为. 7．（22-23高一上·上海浦东新·期末）设． (1)求在上的最小值； (2)当时，若不等式在上有解，求x的取值范围． 【答案】(1)当时，；当时； (2) 【知识点】求二次函数的值域或最值、函数不等式能成立（有解）问题、对数的运算性质的应用、求对数函数在区间上的值域 【分析】（1）根据二次函数的性质，分类讨论可得最小值； （2）把问题转化为在上的最大值大于，结合对数的运算和二次函数的性质求出的最大值，再解不等式即可． 【详解】（1）， 当，即时，在上的最小值； 当，即时，在上的最小值. （2）当时，， 令，， ， 当时，，则当，即时，取最大值1， 由题意得，即，解得， 所以x的取值范围是． 十八、对数（型）函数单调性应用（共6小题） 1．（23-24高一上·上海虹口·期末）若表示不大于的最大整数，比如，则不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、对数的运算性质的应用 【分析】先将看成一个整体，把对数不等式解出来得，再根据的定义计算出结果. 【详解】因为，所以，且， 又因为表示不大于的最大整数，所以， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 2．（22-23高一上·上海奉贤·期末）不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的定义域、由指数函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】设函数，先求出函数的定义域，进而根据，将不等式转化为.判断函数的单调性，即可列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】设函数， 则应有，解得，所以，定义域为. 又， 所以，由，可得. 因为以及均在上单调递增， 所以，在上单调递增， 所以，. 综上所述，. 所以，不等式的解集为. 故答案为：. 3．（23-24高一上·上海徐汇·期末）已知函数. (1)求方程的解； (2)若关于x的方程在上有实数解,求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】对数函数单调性的应用、简单的指数方程 【分析】（1）解方程即可求解. （2）将问题转化为在上有实数解,求函数在上的值域即可. 【详解】（1）由题得即 故方程的解为. （2）由,得 易知在上是严格增函数, 且当时,当时, 故 4．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知. (1)解不等式； (2)判断函数在其定义域上的单调性，并严格证明. 【答案】(1) (2)严格增函数，证明见解析 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、对数型复合函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）由不等式等价于，利用在上是严格增函数求解； （2）法一：利用复合函数的单调性证明；法二：利用函数的单调性定义证明. 【详解】（1）不等式等价于， 因为在上是严格增函数， 所以，解得， 因此不等式的解集为. （2）法一：在定义域上是严格增函数. 证明：设是定义域上任意给定的两个实数，且， 则， 因为在上是严格增函数， 所以， 即， 即证函数在其定义域上是严格增函数. 法二：在定义域上是严格增函数. 证明：令， 设是定义域上任意给定的两个实数，且， ， 因为，所以，则， 所以， 即证函数在其定义域上是严格增函数. 5．（21-22高一上·上海宝山·期末）已知函数为常数，为偶函数． (1)求的值；并用定义证明在上是严格增函数； (2)解不等式：． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据为偶函数，由，求得，再利用单调性的定义证明其单调性； （2）根据为偶函数，得到，再根据在上严格增，得到所求解. 【详解】（1）解：因为为偶函数，所以，即，解得， 故，则且定义域为R，满足题设； 任取，且， 则， 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以在上是严格增函数． （2）因为为偶函数，， 所以不等式，即为， 因为在上严格增， 所以， 两边平方，得， 解得或， 所以或， 故解集为． 6．（22-23高一上·上海松江·期末）已知函数. (1)判断并证明的奇偶性； (2)判断并证明的单调性： (3)求解不等式. 【答案】(1)奇函数 (2)单调递增 (3) 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、函数奇偶性的定义与判断、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】(1)根据奇偶性的定义判断证明； (2)根据单调性的定义结合复合函数的单调性证明； (3)根据函数的单调性和奇偶性解不等式. 【详解】（1）判断为奇函数，证明如下， 令得解得， 所以的定义域为， 又因为， 所以为奇函数. （2）判断为增函数，证明如下， 因为， 设， ， ， 因为，所以， 所以，即， 所以在单调递增， 又因为函数单调递增， 所以函数在单调递增. （3）由可得， 由（1）知为奇函数，所以， 则有， 又因为为增函数， 所以，即，也即， 解得，所以原不等式的解集为. 十九、函数的概念及其表示方法（共4小题） 1．（23-24高一上·上海徐汇·期末）下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【知识点】判断两个函数是否相等、求对数函数的定义域 【分析】根据相同函数的知识确定正确答案. 【详解】A选项，的定义域为，的定义域为，所以不是相同函数. B选项，的定义域为，的定义域为，所以不是相同函数. C选项，，两个函数定义域、值域、对应关系相同，是相同函数. D选项，的定义域为，的定义域为，所以不是相同函数. 故选：C 2．（23-24高一上·上海长宁·期末）已知，若，则 . 【答案】或 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量 【分析】分别令分段函数中的每一段解析式的函数值为列方程，由此解得的值. 【详解】由，得； 由， 得； 由，得（舍）； 综上或. 故答案为：或. 3．（22-23高一上·上海奉贤·期末）函数的定义域为 ．（用区间表示） 【答案】 【知识点】具体函数的定义域、由指数函数的单调性解不等式 【分析】根据已知列出不等式，根据指数函数的单调性求解，即可得出答案. 【详解】要使函数有意义，则应有，所以. 故答案为：. 4．（23-24高三上·上海松江·期末）为了鼓励居民节约用气，某市对燃气收费实行阶梯计价，普通居民燃气收费标准如下： 第一档：年用气量在（含）立方米，价格为元/立方米； 第二档：年用气量在（含）立方米，价格为元/立方米； 第三档：年用气量在立方米以上，价格为元/立方米. (1)请写出普通居民的年度燃气费用（单位：元）关于年度的燃气用量（单位：立方米）的函数解析式（用含的式子表示）； (2)已知某户居民年部分月份用气量与缴费情况如下表，求的值. 月份 1 2 3 4 5 9 10 12 当月燃气用量（立方米） 56 80 66 58 60 53 55 63 当月燃气费（元） 168 240 198 174 183 174.9 186 264.6 【答案】(1) (2)，， 【知识点】求解析式中的参数值、利用给定函数模型解决实际问题、分段函数模型的应用 【分析】 （1）根据燃气收费标准求得解析式. （2）根据表格提供数据以及函数解析式求得. 【详解】（1）依题意，函数解析式为： （2）解法一： 由一月份数据可得：， 通过计算前5个月用量：， 前5个月燃气总费用：， 由（1）中函数解析式，计算可得：， 所以， 又9月份，10月份，12月份的燃气费均价分别为：均不同， 所以12月份为第三档，. 解法二： 1月份，5月份，9月份，10月份，12月份的燃气费均价分别为：均不同． 所以1月份为第一档，5月份为第一档和第二档，10月份与12月份不同， 则12月份为第三档，10月份与9月份不同，10月份为第二档与第三档，9月份为第二档． 从而得到，. 二十、函数奇偶性及其应用（共8小题） 1．（23-24高二下·上海宝山·期末）设函数是偶函数，则下列直线中，一定是函数图象的对称轴的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的应用、函数对称性的应用、函数图象的变换 【分析】先由题意得到关于轴对称，再根据函数图象的平移变换，即可得出结果. 【详解】由是偶函数，得的图象关于轴对称， 而函数的图象可由的图象向右平移个单位得到， 所以函数的图象的对称轴是. 故选：B 2．（23-24高一上·上海·期末）偶函数在的解析式为，则的值为 . 【答案】 【知识点】求函数值、函数奇偶性的应用 【分析】根据偶函数得，代入求解即可. 【详解】为偶函数，， . 故答案为：. 3．（23-24高一上·上海·期末）已知，是定义在上的偶函数，且当时，.若，则 . 【答案】 【知识点】由奇偶性求函数解析式、对数的运算 【分析】先根据函数的奇偶性得到时的解析式，再根据，得到，求出. 【详解】当时，，则， 又是定义在上的偶函数，故， 则， 其中，故， 故，解得. 故答案为： 4．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，且，则 . 【答案】8 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用 【分析】根据题意构造奇函数，结合奇函数性质求解答案即可. 【详解】令，定义域， 且， 所以是奇函数， 所以， 代入，得. 故答案为：8 5．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，是偶函数，则 . 【答案】 【知识点】函数奇偶性的应用 【分析】根据偶函数的定义求出即可. 【详解】因为函数是偶函数， 所以，即，可得， 又因为，可得， 即在上是偶函数， 则. 故答案为：. 6．（23-24高一上·上海青浦·期末）函数在区间上的最大值为，最小值为，则 . 【答案】2 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用、求指数型复合函数的定义域 【分析】变形给定函数，构造函数并探讨其奇偶性，再借助函数性质求解即得. 【详解】函数，令， 当时，，则函数是奇函数， 显然，，而， 所以. 故答案为：2 7．（21-22高一上·上海嘉定·期末）函数为偶函数，则实数 . 【答案】 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】根据偶函数的概念可知恒成立，即可得解. 【详解】由已知定义域为， 又函数为偶函数， 则恒成立， 即， 化简可得恒成立， 又时，不恒成立， 所以，即， 故答案为：. 8．（23-24高一上·上海·期末）是否存在正数，使是偶函数，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】存在，，理由见解析 【知识点】指数幂的运算、由奇偶性求参数 【分析】利用偶函数的定义求解即可. 【详解】函数的定义域为，要使是偶函数，则， 即，则，所以，解得：， 所以当时，是偶函数. 二十一、函数单调性及其应用（共5小题） 1．（23-24高二下·上海金山·期末）已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】得到原函数的单调性与奇偶性后得，计算即可得. 【详解】定义域为，且，故为奇函数， 又函数与函数在上单调递增，故在上单调递增， 由，故， 故有，即，解得， 故其解集为. 故答案为：. 2．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，且，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】易得函数为偶函数，判断函数的单调性，再根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】因为，且函数定义域为R， 所以函数为偶函数， 当时，令， 由双勾函数的性质可得在上是增函数， 而函数在上为增函数， 所以函数在上是增函数， 因为， 所以，解得或， 所以实数m的取值范围是. 故答案为：. 3．（23-24高一上·上海·期末）若函数在区间上是严格增函数，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】分段函数的单调性、根据分段函数的单调性求参数、根据函数的单调性求参数值 【分析】根据分段函数的性质及区间单调性列不等式求范围即可. 【详解】由题设，显然在上递增， 要使函数在区间上是严格增函数，则，即. 故答案为： 4．（23-24高一上·上海·期末）已知函数在上的严格减函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据分段函数的单调性求参数 【分析】结合二次函数与反比例函数的性质即可得. 【详解】由题意可得时，函数为严格减函数，即，即； 时，函数为严格减函数，即； 且当时，有，即； 综上，，即. 故答案为：. 5．（23-24高一上·上海·期末）已知，若对任意的，都有，则实数b的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】函数不等式恒成立问题、根据函数的单调性求参数值 【分析】由题意首项得到，即对任意的，恒成立，结合已知由此即可得解. 【详解】由题意对任意的，都有，且， 所以，， 即对任意的，恒成立， 而，不妨设，令，则， 所以对任意的，恒成立，当且仅当， 即实数b的取值范围是. 故答案为：. 二十二、函数最值及其恒（能）成立问题（共5小题） 1．（23-24高一上·上海松江·期末）已知关于的不等式有实数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分类讨论解绝对值不等式、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】根据不等式有解转化为最值问题进而分类讨论求解答案. 【详解】因为关于的不等式有实数解， 所以， 当时，， 当时，， 当时，， 所以，即， 解得或， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 2．（22-23高一上·上海松江·期末）已知函数，对于任意的，都存在，使得成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】函数不等式能成立（有解）问题、函数不等式恒成立问题、对数的运算性质的应用、根据指数函数的最值求参数 【分析】根据求出，进而得到，即，由函数单调性得到，由题干条件得到，列出不等式组，求出答案. 【详解】，故， 故，解得：， 即， 因为，所以， 要想保证对于任意的，都存在，使得成立， 需要满足， 所以，解得：， 故. 故答案为： 3．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，且． (1)求实数，判断函数在上的单调性，并用定义证明； (2)利用函数的单调性和奇偶性，解不等式． 【答案】(1)，在上的单调递增，证明见详解 (2) 【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）先由求出实数，再用定义法判断和证明函数的单调性； （2）利用函数的单调性和奇偶性得出关于的不等式，求出取值范围. 【详解】（1）由题知，则，所以. 在上的单调递增. 证明：对，且， 则 ， 因为， 所以，， 所以，即， 所以在上的单调递增. （2）由（1）知， 定义域为关于原点对称， 又， 所以为奇函数. 由， 得， 即， 又，， 由（1）知在上的单调递增， 所以， 所以. 4．（23-24高一上·上海·期末）设，已知，. (1)求证：函数不是偶函数； (2)若对任意的、，总存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)若对任意的，，总有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】函数不等式恒成立问题、函数奇偶性的定义与判断 【分析】（1）利用偶函数的定义即可证明； （2）分别得到和在的单调性，将问题转化为即可求解； （3）将问题转化为或，结合单调性即可求解. 【详解】（1）由题可得， 因为， 所以函数为奇函数，不是偶函数； （2）对任意的、，不妨设， 所以， 因为，所以，，， 所以，， 所以在上单调递增， 则，， 所以， 由于在上单调递增， 所以， 要使对任意的、，总存在，使得成立， 则，即， 所以实数的取值范围是； （3）对任意的，，总有成立， 所以或， 则或， 由（2）可得当，，， ，， 所以或，解得或， 故实数的取值范围是. 5．（23-24高一上·上海虹口·期末）已知，其中是常数，． (1)判断函数的奇偶性，请说明理由； (2)若对任意，均有，求所有满足条件的实数的值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】函数不等式恒成立问题、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性求参数值 【分析】（1）利用以及求得的值，从而得到函数为奇函数或偶函数时的取值； （2）先求出，把原不等式转化，然后对的值进行分类讨论，再分离参数，从而可确定实数的值. 【详解】（1）依题意，函数的定义域为，关于原点对称， 因为，， ， 由，得，即， 所以，解得； 由，得，即， 所以，解得； 所以当时，函数为奇函数；当时，函数为偶函数；当且时，函数为非奇非偶函数. （2）因为， 所以可转化为，即， 又因为，所以，则： 当时，，则由可得， 又因为当时，，所以，即； 当时，则由可得，故； 当时，，则由可得， 又因为当时，，所以，即； 综上所述，若对任意，均有，则满足条件的实数的值为. 二十三、函数零点问题（共9小题） 1．（23-24高一上·上海·期末）已知函数满足，且当时，.若在区间上关于的方程有且仅有一解，则实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数图象的应用、函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】求出函数在上的解析式，作出函数与的图象，数形结合即可求解. 【详解】依题得：， 当时，， 则， 则函数在区间的解析式为， 在区间上关于的方程有且仅有一解， 即函数与函数在区间内有一个公共点， 在同一平面直角坐标系作出与的图象， 当直线经过点时，代入有，， 由图可知. 故选：D 2．（23-24高一上·上海·期末）设，若定义域为的函数的图象关于直线、直线、直线都成轴对称，且在区间上恰有5个零点，则在区间上的零点个数的最小值是 . 【答案】13 【知识点】求函数零点或方程根的个数、函数对称性的应用 【分析】根据函数的多对称性得出周期，尽可能减少零点个数并作出图象说明其存在性即可. 【详解】因为函数关于直线对称，又直线为对称轴， 所以也是函数的对称轴，又是的对称轴， 则直线也是函数的对称轴，进而也是函数的对称轴. 又由关于直线对称，则； 由关于直线对称，则， 则，故是以为周期的函数. 所以由在有5个零点，则在有5个零点， 且在至少有5个零点， 当在有5个零点时，则在无零点， 由函数关于直线对称可知， 必有，即为其中一个零点，且在无零点， 故在各有2个零点. 由函数以为周期可知，也是函数的零点， 且函数在，，无零点，故在， 各有2个零点， 由上分析，在有5个零点，在无零点， 此时在区间上的零点个数为个. 如图，可作出满足题意的函数的图象，其在上有13个零点， 所以在上的零点个数的最小值是13. 故答案为：13.    3．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，若存在满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】画出函数的图象， 根据可得，，进而将问题转为，利用对勾函数的性质即可求解. 【详解】作出函数的图象如图， 故, ，，则，． 所以， 由于函数在上单调递减， 所以，故， 故答案为：. 4．（23-24高一上·上海虹口·期末）设，若实数满足：，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】令，根据图象可得，整理可得，结合二次函数分析求解. 【详解】作出的图象，如图所示， 令，由图可知：， 且，解得， 则， 因为，则，可得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】易错点睛：利用数形结合求方程解应注意两点 1.讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性、否则会得到错解． 2.正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合． 5．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，，若函数和的图象有且仅有1个公共点，则实数的取值范围是 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】依题意有且仅有一根，即，分别考虑该不等式为一次与二次方程的情况，结合二次方程两根关系与对数的定义域列式求解即可. 【详解】依题意有且仅有一根，即，得，即. 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； 当且时，，，， 若是原方程的根，当且仅当，即， 若是原方程的根，当且仅当，即， 故当是原方程的根，不是原方程的根，则，无解， 当是原方程的根，不是原方程的根，则，解得. 综上有实数的取值范围是. 故答案为： 6．（23-24高一上·上海·期末）关于函数，给出下列结论： ①函数的图象关于轴对称； ②如果方程（为常数）有解，则解的个数一定是偶数. ③方程一定有实数解； 以上结论正确的是 【答案】①③ 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数与方程的综合应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】由函数解析式可推出是偶函数，在上单调递增，在上单调递减，结合图形判断各项的正误. 【详解】对①，令，解得，可知的定义域为， 定义域关于原点对称，且，则为偶函数，即其图象关于轴对称，故①正确； 对③，当时，则， 因为在上单调递增，且恒成立，所以在上单调递减， 当时，则， 因为在上单调递减，且恒成立，所以在上单调递增， 可得的函数图象如下：    方程根的个数即为函数与的交点个数， 由图象可得：当时，函数与函数的图象一定有交点， 由对称性可知，当时，函数与函数的图象也一定有交点，故③正确； 对于②：当时，方程只有1个解，故②错误； 故答案为：①③. 【点睛】关键点睛：根据函数解析式确定单调区间，奇偶性，进而结合图象判断各项的正误，注意一次函数的性质和函数对称性的应用. 7．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，若函数存在零点，则实数的取值范围是 . 【答案】. 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】根据题意，利用指数函数和一次函数的图象与性质，结合函数零点的概念，列出关系式，即可求解. 【详解】由题意，当时，，根据指数函数的性质，可得， 所以函数在上没有零点； 要使得函数存在零点，即上函数存在零点， 当时，为单调递减函数， 要使得函数存在零点，则满足， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 8．（23-24高一上·上海·期末）方程的根，，则 ． 【答案】2020 【知识点】对数的运算、零点存在性定理的应用、比较对数式的大小、判断零点所在的区间 【分析】将方程的根问题转化函数的零点所在区间求解，由，利用零点存在性定理可得. 【详解】设，. 因为， 且， 所以，又在单调递减， 由零点存在性定理可得，在有唯一零点. 即方程的根，即. 故答案为：. 9．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知，其中. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)当时，若函数与的图像有且只有三个公共点，求的取值范围； (3)记，若函数在区间上有两个不同的零点，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、画出具体函数图象、根据函数零点的个数求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】（1）由函数奇偶性的定义判断； （2）作出函数与的图像，数形结合并利用联立方程组的方法，由交点个数求的取值范围； （3）函数的零点转化为对应方程的根，利用韦达定理求的取值范围. 【详解】（1）定义域为，关于原点对称， 记 当，故函数是偶函数； 当，故函数既不是奇函数也不是偶函数. （2）结合函数图像，只需考虑与有且只有一个公共点时， 得到有且只有一个解， 即只有一个解，由解得， 结合图像，有，所以. [另解]若与的图像只有三个公共点，即有三个根. 即有三个根； 即方程有一根，方程有两个根； 将函数分别与函数和函数相交得. 所以的取值范围为. （3）由在区间上有两个不同的零点， 得方程在上有两个不同的实根，. 由韦达定理得， 于是， 因为，所以. 即的取值范围为. $$