专题05 函数的概念、性质与应用（考点清单+知识导图+ 17个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（沪教版2020必修第一册）

清单05 函数的概念、性质与应用 （17个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】函数的近代定义 一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 【清单02】函数的单调性 （1）增函数与减函数 ①增函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function). ②减函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function). （2）函数的单调性与单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． 【清单03】函数的最大（小）值 （1）最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最大值； （2）最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最小值； 【清单04】函数的奇偶性 （1）偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. （2）奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 【清单05】函数零点的概念 对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 几何定义:函数的零点就是方程的实数解,也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标.  这样：方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点 【清单06】函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 【考点题型一】求函数（含抽象函数）的定义域 【例1】（23-24高一上·山东潍坊·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【知识点】抽象函数的定义域、具体函数的定义域 【分析】应用求解抽象函数的定义域的方法即可. 【详解】函数的定义域为， 则，则或 则函数的定义域为. 故答案为： 【变式1-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【知识点】抽象函数的定义域 【分析】根据的定义域求出的取值范围，即可得到的定义域. 【详解】因为函数的定义域为， 即，所以， 所以函数的定义域为. 故答案为： 【变式1-2】.（24-25高一上·黑龙江哈尔滨）若函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【知识点】抽象函数的定义域 【分析】利用抽象函数定义域的求法及指数函数的单调性求解即可. 【详解】对于，因为，所以由的单调性得，即， 所以对于，有，即， 由的单调性得，解得， 所以的定义域为. 故答案为：. 【考点题型二】已知函数的定义域求参数 【例2】（24-25高一上·上海浦东新）已知函数的定义域为，则实数m的范围为 . 【答案】// 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、已知函数的定义域求参数 【分析】由定义域为，讨论与两种情况，可以转化为二次不等式大于等于0恒成立或常数大于0两种情况，再进行计算. 【详解】因为的定义域为，所以在上恒成立. 当时，恒成立，故成立； 当时，，所以，解得. 综上，. 故答案为：. 【变式2-1】（2024高三·全国·专题练习）函数的定义域，则实数的值为 【答案】3 【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域、已知函数的定义域求参数 【解析】根据具体函数的定义域建立不等式组，由已知可得答案. 【详解】由题意，函数有意义， 满足，即， 又由函数的定义域为，， 解得． 故答案为：3. 【点睛】本题考查由具体函数的定义域求参数的值，属于基础题. 【变式2-2】（23-24高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为，则实数的值为 ，实数的值为 . 【答案】 3 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、已知函数的定义域求参数 【分析】先将问题转化为不等式在给定区间上恒大于或等于0，然后根据二次函数的性质并结合根与系数的关系列方程计算即可 【详解】由题意得不等式的解集为， ∴和是关于的方程的两个实根，且， 于是有解得 ∴实数的值为，实数的值为3. 故答案为：；3. 【考点题型三】求函数的值域 【例3】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）函数的值域是 . 【答案】 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】先求得函数的定义域，然后利用分离常数法来求得值域. 【详解】函数的定义域为， ， 由于，所以，且， 所以且， 所以函数的值域为. 故答案为： 【变式3-1】（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）函数的值域为 . 【答案】 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、求二次函数的值域或最值 【分析】利用换元法，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】设，，则， 所以，等号成立 所以函数的值域为. 故答案为：. 【变式3-2】（24-25高一上·上海徐汇）函数的值域为 ． 【答案】 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】利用常数分离的方法得到，然后利用变量的取值范围进行求解即可． 【详解】由， 又，则，则，所以， 故函数的值域为． 故答案为：． 【变式3-3】（2024高一·上海·专题练习）求函数的值域 ． 【答案】 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、求二次函数的值域或最值 【分析】利用根式、二次函数的性质即可求值域. 【详解】由题意，知：且， ∴，所以函数值域为. 故答案为：. 【考点题型四】根据值域求参数 【例4】（24-25高三上·福建·阶段练习）函数的值域为R，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据值域求参数的值或者范围、根据对数函数的值域求参数值或范围 【分析】分两种情况结合对数函数值域讨论函数值域为求参数. 【详解】当时，符合题意； 当时，需，解得． 综上可得． 故答案为：. 【变式4-1】（24-25高一上·上海奉贤·阶段练习）若函数的定义域为，值域为，且为自然数，则 【答案】7 【知识点】根据值域求参数的值或者范围 【解析】根据定义域求函数值，得或，再结合为自然数可得解. 【详解】函数的定义域为， 所以，值域为， 所以或， 又因为为自然数，无解， 所以，解得， 所以. 故答案为：7. 【变式4-2】（24-25高一上·江西·阶段练习）若函数的值域为，则实数取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据值域求参数的值或者范围、根据二次函数的最值或值域求参数 【解析】根据二次函数的图象和性质，当时，检验即可，当时，不成立，当 时，利用判别式法求解. 【详解】当时， 的值域为， 当 时，的值域不可能为， 当时， 解得， 综上：实数取值范围是， 故答案为： 【点睛】本题主要考查函数的值域以及二次函数性质的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 【变式4-3】（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）已知函数的值域为，则与的和为 ． 【答案】4或0 【知识点】根据值域求参数的值或者范围、根据对数函数的值域求参数值或范围 【详解】试题分析：本题是已知函数值域，求参数值问题，可根据题意知函数定义域为，由值域反过来求，即由已知得的值域是，从而有即，注意两个不等式中等号一定成立，因此两式的判别式为0，由此可求得值． 试题解析：因为的值域为， 即，所以即 当且仅当时，取等号． 解方程组可得或 考点：函数的值域． 【考点题型五】根据函数奇偶性求解析式 【例5】（24-25高一上·上海普陀·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时， . 【答案】 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】根据奇函数定义可得，结合所给时的解析式,即可求得时的解析式. 【详解】令， 则， 因为当时, ， 所以， 因为奇函数满足， 所以， 即， 故答案为: 【变式5-1】（24-25高二下·上海浦东新·阶段练习）已知为奇函数，当时，；则当，的解析式为 . 【答案】 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】当时，，由可得结果. 【详解】当时，，. 故答案为：. 【变式5-2】（23-24高一上·山东潍坊·期中）已知，是分别定义在上的奇函数和偶函数，且，则 . 【答案】 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】按题意求函数表达式即可 【详解】 和已知条件相加得 故 故 故答案为： 【考点题型六】根据奇偶性求参数 【例6】（23-24高二下·上海金山·期末）若为常数，且函数是奇函数，则的值为 ． 【答案】 【知识点】对数的运算性质的应用、由奇偶性求参数 【分析】由函数为奇函数可得，结合对数的运算性质可得a得值，再验证即可. 【详解】是奇函数， ，即， ，即， ， 展开整理得， 要使等式恒成立，则有，即，解得． 当时，， 由，得， 解得或，即定义域为或， 定义域关于原点对称，且满足， 成立． 故答案为：-1. 【变式6-1】（24-25高三上·上海黄浦·期中）已知，若定义在上的函数是奇函数，则实数的值为 . 【答案】 【知识点】由奇偶性求参数、求指数函数解析式 【分析】根据奇函数的定义求解即可得解. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 当时，，，则， 因为函数为奇函数，则，即，解得， 所以，， 当时，，，，满足，合乎题意， 所以，若函数为奇函数，则. 故答案为：. 【变式6-2】（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）若函数是偶函数，则 . 【答案】 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用、由奇偶性求参数 【分析】由于为偶函数，因为，都在函数的定义域内，所以，然后求得的值. 【详解】由于为偶函数，所以， 则：， ， 所以：， 即：， 所以：， 解的：. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，取特殊值计算是很好的处理方式，是基础题. 【考点题型七】求函数（复合函数）的单调区间 【例7】（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知函数，则的递减区间是 . 【答案】 【知识点】求函数的单调区间、分段函数的单调性 【解析】将绝对值函数化为分段函数形式，判断单调性. 【详解】由题意， 当时，函数单调递减； 当时，函数，在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数单调递增； 综上所述，函数的单调递减区间为， 故答案为：. 【变式7-1】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）函数的单调减区间是 ． 【答案】 【知识点】求函数的单调区间 【解析】首先求出函数的定义域，再利用二次函数的性质以及复合函数的单调性即可求解. 【详解】，则， 解得或， 所以函数的定义域为， 令， 所以函数的单调递减区间为， 又因为为增函数， 所以的单调递减区间为. 故答案为： 【变式7-2】（2024·上海徐汇）函数的单调递增区间为 ． 【答案】 【知识点】求函数的单调区间、复合函数的单调性 【分析】先求出函数的定义域，再根据二次函数的单调性和的单调性,结合复合函数的单调性的判断可得出选项. 【详解】因为，所以所以函数的定义域为， 设，所以在上单调递减，在上单调递增， 而在单调递增，由复合函数的单调性可知，函数的单调增区间为. 故填：． 【点睛】本题考查复合函数的单调性，注意在考虑函数的单调性的同时需考虑函数的定义域，属于基础题. 【考点题型八】根据函数的单调性求参数 【例8】（24-25高三上·上海·开学考试）已知在R上为严格增函数，则实数a的取值范围是 【答案】 【知识点】根据函数的单调性求参数值 【分析】对于，分时和时，去掉绝对值讨论即可. 【详解】当时，， 开口向上，对称轴为，对称轴右侧递增， 当时，， 开口向下，对称轴为，对称轴左侧递增， 所以在R上为严格增函数时，实数. 故答案为：. 【变式8-1】（23-24高一上·上海·期末）已知在上是关于的减函数，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据函数的单调性求参数值、由对数（型）的单调性求参数、对数型复合函数的单调性 【分析】利用一次函数、对数函数单调性，结合复合函数单调性求出a的范围. 【详解】由，得且，因此函数单调递减，而，则， 由在上是关于的减函数，得函数在上单调递增，且， 因此，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为： 【变式8-2】（23-24高一上·上海青浦·期中）已知函数在区间上是严格增函数，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据函数的单调性求参数值 【分析】将解析式进行分离变形，即可结合反比例函数的单调性求解. 【详解】由于在区间上是严格增函数， 所以，故， 故答案为： 【考点题型九】根据函数的单调性解不等式 【例9】（24-25高一上·上海·期中）已知函数定义在上，且对任意的，，，都有，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据不等式的结构构新函数，利用新函数的单调性进行求解即可. 【详解】不妨设，则， 所以， 设，则在上单调递减， 由， 又，则，， 即， 所以或. 故答案为： 【变式9-1】（24-25高三上·江苏·开学考试）设函数，则使得成立的的解集是 ． 【答案】 【知识点】根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的定义与判断、判断指数型复合函数的单调性、由函数奇偶性解不等式 【分析】判断函数的性质，再利用性质求解不等式. 【详解】函数的定义域为R，，则为奇函数， 又函数分别为R上的增函数和减函数，于是是R上的增函数， 不等式化为， 即，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 【变式9-2】（23-24高一上·上海·期末）已知是定义域为上的偶函数，且在上严格减函数，若成立，则实数a的范围是 【答案】 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据偶函数的性质和单调性知识解不等式即可. 【详解】因为是定义域为上的偶函数，成立， 所以，， 则， 又因为在上严格减函数， 所以，平方得，解得， 所以. 故答案为： 【变式9-3】.（23-24高一上·江苏常州·期中）若函数满足，，且，，，若，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】函数对称性的应用、根据函数的单调性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性、判断或证明函数的对称性 【分析】由题意，在上单调递增，函数图像关于对称，利用单调性和对称性解不等式. 【详解】因为，，，所以在上单调递增， ，，则函数图像关于对称， 若，则，解得或. 所以的取值范围是. 故答案为：. 【考点题型十】利用函数单调性求最值 【例10】（24-25高一上·全国·课后作业）函数在上的最大值为 ． 【答案】4 【知识点】利用函数单调性求最值或值域 【分析】作出函数的图象，求出出函数的单调性，进而得出函数的最大值. 【详解】由题意可知， 作出函数的图象，如图所示    由图可知，在上单调递增，在上单调递减; 所以当时，取的最大值为. 故答案为：. 【变式10-1】（2024高三·全国·专题练习）函数的值域是 ． 【答案】 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】换元令，可得，结合函数单调性分析求解. 【详解】令，则， 可得． 因为函数在，上单调递减，在，上单调递增， 当时，；当时，； 所以函数的值域为． 故答案为：． 【变式10-2】（2024高三·全国·专题练习）已知，，若对任意，存在，使，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数不等式能成立（有解）问题、对数型复合函数的单调性 【分析】问题等价于，利用两个函数的单调性，讨论最小值即可. 【详解】对任意，存在，使， 问题等价于在指定区间内， 函数在上单调递增且恒为正， 则在上单调递增，， 在上为减函数，∴， 由，解得． 故m的取值范围为． 故答案为：. 【考点题型十一】根据最值求参数 【例11】（24-25高一下·福建福州）若函数的表达式为，且存在最小值，则a的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数的最值求参数 【分析】根据分段函数的单调性分类讨论进行求解即可. 【详解】若，，∴，符合题意； 若，当时，单调递增，当时，， 故没有最小值，不符合题目要求； 若，当时，单调递减，， 当时，， ∴或，解得. 综上所述，a的取值范围为. 故答案为：. 【变式11-1】（2024·四川遂宁·模拟预测）函数在上的最小值为，最大值为1，则的最大值为 . 【答案】/ 【知识点】根据函数的最值求参数、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】分类讨论，画出函数的图象，当时，令，求得；当时，令，解得，结合题意，即可求得的最大值，得到答案. 【详解】由函数， 当时，；当时，， 作出的图象，如图所示， 由图象得，当时，令，解得； 当时，令，解得， 所以在上的最大值为1，最小值为， 所以的最大值为. 故答案为：. 【变式11-2】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）函数在上的最大值和最小值之和为，其中且，则实数 . 【答案】/0.5 【知识点】根据函数的最值求参数、利用函数单调性求最值或值域、对数型复合函数的单调性 【分析】利用函数的单调性，确定最值并列式计算即得. 【详解】当且时，指数函数在R上与函数在上有相同的单调性， 因此函数在上是单调函数，其最大值和最小值的和为， 于是，即，解得， 所以. 故答案为： 【考点题型十二】函数不等式恒成立问题 【例12】（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知奇函数的定义域为，当时，，若对，恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】函数不等式恒成立问题、由奇偶性求函数解析式 【分析】先根据函数为奇函数求出函数的解析式，再分三种情况讨论，结合二次函数的图象以及左右平移的原则即可得出答案. 【详解】因为奇函数的定义域为， 所以， 令，则， 故， 所以， 所以， 当时，显然不符合题意； 当时，则，奇函数函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以，不符合题意； 当时，若对，恒成立， 则函数的图象恒在函数的上方，， 而，函数的图象是由函数的图象向右平移个单位， 画出函数和函数的图象如图所示， ， 而， ， 由，解得（和舍去）， 因为随着的图象左移至的过程中， 均有的图象恒在的图象的上方， 所以实数的取值范围是， 综上所述，实数的取值范围是.    故答案为：. 【点睛】关键点点睛：当时，将对，恒成立， 转化为函数的图象恒在函数的上方，是解决本题的关键. 【变式12-1】（2024高三·全国·专题练习）函数，其中是常数，若在有意义，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的定义域、函数不等式恒成立问题 【分析】将原问题等价于，恒成立，利用分离参数求最值，即可求出的取值范围. 【详解】依题意，问题等价于时，恒成立， 因为恒成立，所以等价于恒成立， 即时，恒成立. 记， 又在为增函数， 所以， 则. 故答案为：. 【变式12-2】（2024高一·全国·专题练习）设函数，其中.若对任意，恒有，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、根据函数的最值求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】分类讨论的取值范围，去掉绝对值后将问题转化为求二次函数最小值问题，结合二次函数的性质，得到关于的不等式，求解即得. 【详解】因为，对任意，恒有， 当时，，显然恒有，满足题意； 当时，， 此时， ①当，即时，， 由可得，，故； ②当，即时，在上单调递减， 所以，解得，故； 综合①②知，当时，恒有； 当时，， ①若，则， 因，故在上单调递增， 则，解得，故； ②若，则， 因，故在上单调递增， 则，显然成立，故； 综合①②知，当时，恒有； 当时，， 此时， 因为，所以在上单调递增， 所以，解得，故； 综上可得，，即实数a的取值范围为. 故答案为： 【考点题型十三】函数不等式能成立问题 【例13】（23-24高一上·广东·阶段练习）已知函数与，若对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题、求指数函数在区间内的值域、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】根据函数的单调性计算，确定的值域包含，考虑和两种情况，根据二次函数性质计算值域得到答案. 【详解】，函数单调递减，，故， 对任意的，都存在，使得， 故的值域包含， ①当时，，解得， 此时，成立； ②当时，函数在上单调递减，，成立， ，解得，即； 综上所述：. 故答案为： 【变式13-1】（23-24高三上·上海闵行·期中）已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】求指数函数在区间内的值域、求二次函数的值域或最值、函数不等式能成立（有解）问题、函数不等式恒成立问题 【分析】将题中的已知条件转化为两个函数值域的关系求解即可. 【详解】函数在的值域为， 函数在的值域为， 因为对任意的，总存在使得成立， 所以，所以，解得. 故答案为： 【变式13-2】（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）设，，若存在唯一的，使得关于的不等式组有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】函数不等式能成立（有解）问题 【分析】由推导出，解不等式，可得出，再有，所以，即可得出，即得，根据整数的唯一性可求得实数的取值范围. 【详解】因为，所以，即. 因为，所以，于是，解得. 又因为，所以，因此，即. 令函数，其中， 因为存在唯一的整数满足题意，则有， 即，解得. 故答案为：. 【考点题型十四】根据零点所在区间求参数 【例14】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）设常数，函数，若函数在时有零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据零点所在的区间求参数范围、求已知指数型函数的最值 【分析】由函数在时有零点，则，根据指数函数的性质结合二次函数的性质求出即可得解. 【详解】解：令， 则， 因为，所以，则， 所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式14-1】（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知函数的零点在区间内，常数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据零点所在的区间求参数范围、零点存在性定理的应用 【分析】利用函数零点存在性定理即可解决问题. 【详解】∵函数恰有一个零点在区间内， ∴， ∴， 故答案为：. 【变式14-2】（23-24高一上·江苏无锡·期末）函数的零点在区间，则 . 【答案】2 【知识点】零点存在性定理的应用、根据零点所在的区间求参数范围、判断零点所在的区间 【分析】根据函数零点的存在性定理即可求解. 【详解】由题意知，函数在上单调递减， 所以函数在上连续且单调递减， 又， 所以，则函数的零点分布在区间上， 又因为函数的零点在区间上， 所以. 故答案为：2 【变式14-3】（2024高三·全国·专题练习）函数在区间内有零点，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域、根据零点所在的区间求参数范围 【分析】根据题意将问题转化为与，的图象有交点，再由在上递增，可求得结果. 【详解】令，则，即， 即与，的图象有交点， 因为和在上递增，所以在上递增， 所以，即， 所以， 即实数k的取值范围是， 故答案为： 【考点题型十五】求函数零点（方程根）的个数 【例15】（23-24高一上·安徽·期末）已函数则函数的零点个数为 . 【答案】6 【知识点】求函数零点或方程根的个数、函数图象的变换 【分析】根据函数的零点个数等价于函数与的图象交点个数，在同一坐标系下画出与的图象，由此求出结果． 【详解】函数的零点个数等价于函数与的图象交点个数， 当 时，， 所以， 所以当时，是周期为4的函数； 当时，； 所以的图象如图所示， 在同一坐标系下画出的图象， 因为，所以两函数有6个交点，即函数有6个零点． 故答案为：6．    【变式15-1】（23-24高一上·贵州六盘水·期末）已知函数，关于的方程的实数根的个数为，则的所有可能取值组成的集合为 ． 【答案】 【知识点】求函数零点或方程根的个数、函数图象的应用 【分析】作分段函数的图象，根据数形结合，分类讨论对方程根的个数的影响及与的大小关系，可得出的根的个数，从而得出原方程的根的个数. 【详解】作函数的图象，如图，    令， 则方程的根可结合图象分析如下： 当时，方程有两不相等实根，其中满足的只有1个根， 此时有2个不相等的实根，即方程有2个不相等的实根； 当时，方程有3个不相等实根，其中满足的有2个 根， 此时有4个根，即方程有4个根； 当时，方程有4个不相等的实数根，其中满足的有3个根， 此时有6根，即方程有6个根； 当时，方程有3个根，其中满足的有2个根，满足的有1个根，此时有5个根，即方程有5个根； 当时，方程有1个根，满足，此时有2个根，即方程有2个根, 综上，方程的实数根个数可能为2,4,5,6. 故答案为： 【变式15-2】（23-24高三上·天津南开·期末）已知函数若方程有三个不等的实根，则实数的取值范围是 ；函数的零点个数是 . 【答案】 【知识点】求函数零点或方程根的个数、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】作出大致图象，结合图象可得实数的取值范围；令，将问题转化为，根据图象分析得有两个零点为，，从而考虑与根的个数即可求解. 【详解】作出大致图象如下： 若方程有三个不等的实根，由图象可得实数的取值范围是； 令，则，可得， 且， 结合图象可知方程的一个根，另一个根， 当时，与的图象有1个交点，所以有1个实根， 当时，与的图象有3个交点，所以有3个实根， 综上所述：共有4个零点. 故答案为：；4. 【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解． 【考点题型十六】根据零点个数求参数 【例16-1】（2024高三·全国·专题练习）已知，若关于的方程有两个不等的实数根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数图象的应用 【分析】将方程化为，方程解的个数即为函数图象与直线的交点个数，从而可解出实数的取值范围. 【详解】把原方程化为，画出函数图象与直线， 依题意，它们有两个不同交点，如图，    于是，解得， 故所求实数的取值范围为. 故答案为： 【例16-2】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数是定义域为的奇函数. (1)求； (2)若方程恰有两个不相等的实数根，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】函数与方程的综合应用、由奇偶性求函数解析式、由奇偶性求参数、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）根据函数是奇函数得出，，即可求出参数； （2）先根据函数的单调性及奇函数列出方程，再结合指数函数的值域列出不等式组即可求参. 【详解】（1）由是定义域为的奇函数，则，解得， 则，由于，解得，则， 经检验：，则满足题意.则. （2）由于，易得在定义域内单调递减. 则由恰有两个不同的实根.由于是定义域为的奇函数且单调递减， 则有两个不同根即可.则有两个不同根即可. 令与个数一一对应，转化为有两个不同正根即可. 满足，解得，即， 故的取值范围为. 【变式16-1】.（24-25高三上·甘肃酒泉·阶段练习）已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数的取值范围 . 【答案】 【知识点】求函数零点或方程根的个数、分段函数的性质及应用、函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】把原题分解为、的实根个数之和为4即可，在平面直角坐标系中画出、以及的图象，由此列出关于的不等式即可求解. 【详解】 或， 在平面直角坐标系中画出、以及的图象，如图所示：    若关于的方程有4个不同的实根， 则当且仅当，解得或， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键在于将问题转换为的实根个数为2，通过数形结合的方法即可求解. 【变式16-2】（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）已知函数，若方程有6个相异的实数根，则实数b的取值范围是 . 【答案】 【知识点】函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】根据题意,作出函数的图象,进而数形结合,将问题转化为方程有两个不相等的实数根,再结合二次函数零点分布求解即可. 【详解】根据题意,作出函数的图象,如图: 令，因为方程有6个相异的实数根, 所以方程有两个不等的实根， 所以, 解得或, 不妨设这两根, 则或, 当时，，且，所以无解； 当时， 令, 只需,即,解得, 终上所述：. 故答案为:. 【变式16-3】（2024高三·全国·专题练习）已知. (1)作出函数的图象； (2)写出函数的单调区间； (3)若函数的图象与直线有两个不同的公共点，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2)单调递增区间是，，无单调递减区间； (3). 【知识点】分段函数的单调性、根据图像判断函数单调性、根据函数零点的个数求参数范围、画出具体函数图象 【分析】（1）直接作出图象即可； （2）根据图象直接写出单调区间即可； （3）数形结合即可求解. 【详解】（1）画出函数的图象，如图所示.    （2）由图象得，的单调递增区间是，，无单调递减区间. （3）若函数的图象与直线有两个不同的公共点， 则结合图象得，即实数的取值范围为. 【考点题型十七】求零点代数和 【例17-1】（2024·河北·模拟预测）已知定义域为的函数，且满足，函数，若函数有7个零点，则k的取值范围为 ；若方程（）的解为、、、，则的取值范围为 【答案】 【知识点】对数的运算性质的应用、函数图象的应用、求零点的和、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】对于第一空，有7个零点等价于函数的图象与的图象有7个交点，数形结合后可求的取值范围；对于第二空，根据图像的局部对称性可得 ，根据对数的运算性质可得，消元后利用单调性可求的范围. 【详解】因为，所以函数为奇函数，函数的图象如图所示， 有7个零点等价于函数的图象与的图象有7个交点， 当直线与相切时， 则的判别式即（负值舍去）， 此时切点横坐标为， 当直线过时，， 结合下图可得当于函数与有7个交点，. 若方程（）有四个不同的解， 由题意及图象知，， 由题意， ∴， ∴，即， ∴，∴， 又，∴， 因为在上均为单调递增， 故在上单调递增， ∴，∴. 故答案为：，. 【点睛】思路点睛：函数零点的性质讨论，应根据图象的特征结合运算性质找到不同零点之间的相互关系后将目标代数式转化为单变量函数，再结合函数的单调性或导数可求相应的范围. 【例17-2】（23-24高一上·北京西城·期中）函数，其中. (1)若，求函数在区间上的值域； (2)若函数有两个正数零点，， （i）求的取值范围； （ii）求的最小值以及取到最小值时的值. 【答案】(1)； (2)（i），（ii）时的最小值为4. 【知识点】求零点的和、基本不等式求和的最小值、根据二次函数零点的分布求参数的范围、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）根据二次函数性质求在已知区间上的最值，即可得值域； （2）（i）由二次函数根的分布列不等式组求参数范围；（ii）应用根与系数关系得，结合基本不等式求最小值，进而确定的值，结合即可得的值. 【详解】（1）由题设，故最小值为， 又开口向上且对称轴为，则上最大值， 综上，函数在区间上的值域为. （2）由函数有两个正数零点，， （i）所以，则. （ii），则， 当且仅当时等号成立，故的最小值为4， 此时. 【变式17-1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，，的零点分别为a，b，c，则 ．若满足，满足，则 . 【答案】 3 【知识点】研究对数函数的单调性、判断指数函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性、求零点的和 【分析】根据，和在R上单调递增，得到，即，所以，同理可得，从而得到 【详解】，的零点分别为a，b， 故，， 由于在R上单调递增， 故，即，， 又在R上单调递增，且，所以. 所以. ， ， 故， 由于在R上单调递增，故， 故 所以 故答案为：3， 【点睛】方法点睛：当函数中同时出现与时，常常进行同构变换，结合函数单调性进行求解. 【变式17-2】（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数，若有四个不同的解且，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】函数图象的应用、求零点的和、根据指对幂函数零点的分布求参数范围 【分析】利用对数函数与二次函数的图象与性质计算即可. 【详解】根据对数函数与二次函数的性质作出函数图象，如图所示， 易知，所以， 则， 而由二次函数对称性可知，，    所以， 根据对勾函数的性质可知，， 所以. 故答案为：. 【变式17-3】（2024高一上·江苏·专题练习）已知函数， (1)求函数的零点； (2) 若函数有四个零点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，记得四个零点从左到右分别为，，，，求值． 【答案】(1)1，或 (2) (3) 【知识点】求零点的和、对数函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围、求函数的零点 【分析】（1）讨论当时，当时，由，解方程即可得到零点； （2）由题意可得有四个不等实根，画出函数的图象，通过图象观察，即可得到的范围； （3）由二次函数的对称性和对数的运算性质，结合图象即可得到所求和． 【详解】（1）函数， 当时，由，解得， 当时，由，解得或， 可得函数的零点为1，或； （2） 若函数有四个零点， 即为有四个不等实根，画出函数的图象， 由图象可得当时，的图象和直线有四个交点， 故函数有四个零点时的取值范围是； （3）由的对称轴为，可得， 由，即，即为，则， 故． 提升训练 一、填空题 1．（24-25高三上·上海·期中）已知函数为偶函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由奇偶性求参数 【分析】由函数为偶函数求出，再解不等式即可. 【详解】由函数（）为偶函数， 则，即， 解得， 此时， 因为， 所以函数是偶函数，符合题意， 由即，即， 解得且， 所以不等式的解集为. 故答案为： 2．（24-25高三上·上海·期中）设是定义在上的偶函数，且对任意整数、，都有，其中表示实数、中的较大者.若，，则的所有可能取值组成的集合为 . 【答案】 【知识点】函数奇偶性的应用、函数新定义 【分析】根据，结合，和是定义在上的偶函数，可求得结果. 【详解】，， ，即； ，即； ，即； …… ，即； ，即； 所以由偶函数性质可得，是任意整数， 由偶函数性质知， 故对任意整数，与两者中至少有一个为“1”， 又，则. 故答案为： 3．（24-25高三上·上海·期中）设，令，若存在实数，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】由题知的值域为，可得的值域为的真子集即可求的取值范围. 【详解】易知函数，的值域为， 若函数的值域为，存在实数，则的值域不为， 即使函数，的值域为的真子集即可； 利用二次函数性质可知当或时，函数值为0，如图，    所以根据图象可知，即的取值范围为. 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海·期中）若函数  在[1，+∞）上是严格减函数，且在[1，+∞）上函数值不恒为负，则实数的取值范围是 【答案】 【知识点】根据函数的单调性求参数值 【分析】将函数转化为，利用反比例型函数的性质求解. 【详解】解：， 因为函数在[1，+∞）上是严格减函数， 所以，解得， 因为函数在[1，+∞）上函数值不恒为负， 所以时，，解得， 综上：， 故答案为： 5．（24-25高二上·上海·期中）设，对任意，恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【知识点】与二次函数相关的复合函数问题、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、函数不等式恒成立问题 【分析】利用不等式恒成立，分离变量，构造函数，利用二次函数的性质求解最值即可． 【详解】由可得在上恒成立， 整理得在上恒成立， 所以， 令， 因为，所以， 所以当时，函数得最大值，所以，解得或. 故答案为：或. 6．（24-25高三上·上海·期中）设函数是定义在R上的奇函数，且，若，，则实数m的取值范围是 . 【答案】或 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】根据函数为奇函数和得到，故的一个周期为6，求出，根据得到不等式，求出答案. 【详解】因为函数是定义在R上的奇函数，所以， 又，所以， 故，所以， 所以的一个周期为6， ， 又，故，解得或. 故答案为：或 7．（24-25高一上·上海长宁·开学考试）若对任意，不等式恒成立，则实数的取值集合为 . 【答案】 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】根据题意，令和，并在上讨论它们的取值情况，进而结合图象可得是方程的一个根，从而解方程可求的值. 【详解】的图象开口向上，又，图象恒过， 所以函数的图象与轴有一正一负的2个交点， 设方程的两个根分别， 所以在上，在上， 当时，在上， 于是在上，在上， 因此，当时，不等式不恒成立； 当时，由可解得， 则在上，在上， 要使不等式恒成立，则， 如图所示：    所以，将把代入方程， 即，即， 整理得，解得， 又，则. 综上所述，实数的取值集合为 故答案为： 8．（24-25高三上·上海·期中）已知函数，若的恰好有2个零点，则实数的取值范围 . 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围 【分析】由题意可得函数与有两个交点，作出图象可求得实数的取值范围. 【详解】令，可得，可得， 由的恰好有2个零点，则方程有两个根， 则函数与有两个交点， 作出两函数的图象如图所示： 由图象可得函数与有两个交点，可得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 9．（24-25高三上·上海·阶段练习）设，，其中表示中的较小值.若函数至少有3个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数新定义 【分析】设，，分析可知函数至少有一个零点，可得出△，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围． 【详解】设，，由可得． 要使得函数至少有3个零点，则函数至少有一个零点， 则△， 解得或． ①当时，，作出函数、的图象如图所示： 此时函数只有两个零点，不满足题意； ②当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有3个零点，则， 所以，，解得； ③当时，，作出函数、的图象如图所示： 由图可知，函数的零点个数为3，满足题意； ④当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有3个零点，则， 可得，解得，此时． 综上所述，实数的取值范围是． 故答案为：． 10．（2025·广东深圳·一模）已知，则的解集为 ． 【答案】 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断指数型复合函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】探讨给定函数的奇偶性及单调性，再解不等式即得. 【详解】函数的定义域为R，，则是R上的奇函数， 函数在R上都单调递减，则函数在R上单调递减， 不等式，因此， 即，解得或， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 二、单选题 11．（24-25高一上·上海·期中）已知，若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】根据题意可知不等式的解集为，即可得或，解对数不等式即可. 【详解】因为不等式的解集为， 可知不等式的解集为， 若，可得或，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：B. 12．（24-25高一上·上海·期中）已知是定义在上的偶函数，若对于任意的、且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、解不含参数的一元二次不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】设，，推出，在上单调递增，并根据是定义在上的偶函数得到为上的偶函数，并求出，从而得到，由单调性得到不等式，求出答案. 【详解】不妨设， 则， 即，所以， 令，则， 故在上单调递增， 因为是定义在上的偶函数，所以， 的定义域为R， 且， 故为上的偶函数， 因为，所以， ， 即， 故，即，解得. 故选：A 13．（24-25高三上·上海·期中）已知是定义域为R的函数，，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】构造，根据其在单调递增，分类讨论即可求解. 【详解】因为对任意的，都有成立， 所以，所以成立， 构造， 所以由上述过程可得在单调递增， （1）若，则对称轴，解得； （2）若，在单调递增，满足题意； （3）若，则对称轴恒成立； 综上. 故选：D. 14．（24-25高三上·上海黄浦·阶段练习）已知函数的定义域为，值域为， 函数具有下列性质：（1）若，则；（2）若，则.下列结论正确的是（   ） ①存在，使得； ②对任意，都有. A．①②都正确 B．①正确、②不正确 C．②正确、①不正确 D．①②都不正确 【答案】A 【知识点】求函数值、函数新定义 【分析】依题意可得，从而推出，即可得到，，即可判断①；再由，即可推导，从而判断②. 【详解】由（1）可知，令，则， 不妨令，则，即，所以，故②正确； 由（2）若，则，所以， 同理可得，，，，，均属于， 故存在，使得，，所以， 所以存在，使得，故①正确. 故选：A 三、解答题 15．（24-25高三上·上海·期中）已知函数是定义域为R的偶函数. (1)求实数a的值； (2)已知关于x的方程在上有解，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】函数与方程的综合应用、由奇偶性求参数 【分析】（1）由可构造方程求得的值； （2）利用换元法令，从而得到方程在时有解，再分参数，求出右边的值域即可. 【详解】（1）由偶函数定义知：， 即，. （2）由（1）知， ，即， 即，令，则， 则方程在时有解， 则，令，，则. 16．（24-25高一上·上海·期中）已知函数. (1)若不等式的解集为，求的值； (2)当时，若存在，使得，求的取值范围； (3)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求绝对值不等式中参数值或范围、函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）将解析式代入不等式后可得关于a的绝对值不等式，解不等式后再结合解集为，可得a的值. （2）将代入函数解析式，将不等式变形后可构造新函数，将不等式能成立问题转化为函数的最值问题后求出t的取值范围. （3）对a进行分类讨论，分析当a取不同取值范围时不等式的解集是否为R，进而求出a最终的取值范围. 【详解】（1）不等式的解集为， 所以的解集为， 由，可得，求得， 又因为解集为， 故有， 故． （2）当时，， 若存在，使得， 即存在，使得， 令， 故的最小值， 又， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为18， 故， 故使有解的实数的范围为. （3）若恒成立， 则恒成立， 则或恒成立， 即或恒成立. ①当时，解得或， 不等式解集不为（舍）， ②当时，解得或， 不等式解集不为（舍）， ③当时， 解得或， 若不等式解集为， 则， 所以，解得， ④当时，解得或，解集不为（舍）， ⑤当时，解得或，解集不为（舍）， 综上所述，的取值范围是. 17．（24-25高三上·上海闵行·期中）已知函数，. (1)①判断函数的奇偶性，并用定义证明； ②判断函数的单调性，无需说明理由； (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)①为定义域上的奇函数，证明见解析；②在上单调递增，证明见解析 (2) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）①利用函数的奇偶性的定义即可判断；②任取，，且，通过作差可判断与的大小，根据单调性的定义即可作出判断； （2）利用函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“”，从而转化为具体不等式，注意考虑函数的定义域. 【详解】（1）①为定义域上的奇函数，证明如下： 定义域为，关于原点对称， 又， 为奇函数； ②在上单调递增，证明如下： 任取，，且， 则 ， ，，且， ，，，， ，即， 在上单调递增； （2）由①知，为奇函数， 等价于， 由②知在上单调递增， ，解得或， 不等式的解集为：； 18．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数，， (1)求的单调区间和值域； (2)若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1)递减区间为，递增区间为；值域为 (2) 【知识点】函数基本性质的综合应用、利用函数单调性求最值或值域、根据解析式直接判断函数的单调性、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据题意，利用二次函数的图象与性质，即可求解； （2）化简函数，利用换元法和单调性，求得的值域为，根据题意，转化为，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：由函数，其图象对应的抛物线开口向上，且对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取最小值，最小值为， 所以函数的值域为. （2）解：由函数， 当时，令，可得且， 则在为单调递减函数， 所以，所以函数的值域为， 对于任意，总存在，使得成立， 可得函数的值域为函数的值域的子集，即， 由，可得， 当时，即时，显然不成立； 当时，即，根据抛物线的对称性，可得，显然不成立； 所以要使得，则，解得， 所以实数的取值范围为. 19．（24-25高三上·上海杨浦·开学考试）已知函数，其中为实常数. (1)若，解关于的方程； (2)讨论函数的奇偶性； (3)当时，用定义证明函数在上是严格增函数，并解不等式. 【答案】(1)或； (2)答案见解析 (3)证明见解析， 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、简单的指数方程、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）由可得，再借助指数运算解方程即可得； （2）分该函数为奇函数、偶函数与非奇非偶函数讨论并计算即可得； （3）借助严格增函数的定义即可证明，结合函数的单调性与奇偶性计算即可得不等式的解. 【详解】（1）由题意， ，， 令，即有， 可得或， 或； （2）函数定义域， ①当为奇函数时，有， ， ，； ②当为偶函数时，， ， ， ； ③当时，函数为非奇非偶函数； 综上所述，当时，为奇函数； 当时，为偶函数， 当时，为非奇非偶函数； （3）当时，，任取，，设， ， 又，，所以， 故，即， 函数在上是严格增函数， 由（2）知，当时，为偶函数， 则由，可得， 即，即， 解得. 20．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数为奇函数． (1)求的值； (2)判断并证明的单调性； (3)若存在实数，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)函数在上单调递减，证明见解析 (3) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数是指数函数求参数、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数 【分析】（1）根据定义域为且为奇函数，所以，即可求解. （2）利用函数单调性的定义法即可证明求解. （3）由（2）中结果及奇函数性质可得，从而可得，结合二次函数性质即可求解. 【详解】（1）由函数为奇函数，其定义域为，所以， 即，解得，此时， 满足，即为奇函数， 故的值为. （2）在R上单调递减，证明如下： 由（1）知， ，且，则， 因为，所以，，， 所以，即函数在上单调递减. （3）由，则， 又因为为奇函数，所以， 又由（2）知函数在上单调递减， 所以，因为存在实数，使得成立， 所以，解得. 所以的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单05 函数的概念、性质与应用 （17个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】函数的近代定义 一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 【清单02】函数的单调性 （1）增函数与减函数 ①增函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function). ②减函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function). （2）函数的单调性与单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． 【清单03】函数的最大（小）值 （1）最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最大值； （2）最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最小值； 【清单04】函数的奇偶性 （1）偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. （2）奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 【清单05】函数零点的概念 对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点. 几何定义:函数的零点就是方程的实数解,也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标.  这样：方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点 【清单06】函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 【考点题型一】求函数（含抽象函数）的定义域 【例1】（23-24高一上·山东潍坊·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【变式1-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【变式1-2】.（24-25高一上·黑龙江哈尔滨）若函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【考点题型二】已知函数的定义域求参数 【例2】（24-25高一上·上海浦东新）已知函数的定义域为，则实数m的范围为 . 【变式2-1】（2024高三·全国·专题练习）函数的定义域，则实数的值为 【变式2-2】（23-24高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为，则实数的值为 ，实数的值为 . 【考点题型三】求函数的值域 【例3】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）函数的值域是 . 【变式3-1】（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）函数的值域为 . 【变式3-2】（24-25高一上·上海徐汇）函数的值域为 ． 【变式3-3】（2024高一·上海·专题练习）求函数的值域 ． 【考点题型四】根据值域求参数 【例4】（24-25高三上·福建·阶段练习）函数的值域为R，则实数a的取值范围是 ． 【变式4-1】（24-25高一上·上海奉贤·阶段练习）若函数的定义域为，值域为，且为自然数，则 【变式4-2】（24-25高一上·江西·阶段练习）若函数的值域为，则实数取值范围是 . 【变式4-3】（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）已知函数的值域为，则与的和为 ． 【考点题型五】根据函数奇偶性求解析式 【例5】（24-25高一上·上海普陀·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时， . 【变式5-1】（24-25高二下·上海浦东新·阶段练习）已知为奇函数，当时，；则当，的解析式为 . 【变式5-2】（23-24高一上·山东潍坊·期中）已知，是分别定义在上的奇函数和偶函数，且，则 . 【考点题型六】根据奇偶性求参数 【例6】（23-24高二下·上海金山·期末）若为常数，且函数是奇函数，则的值为 ． 【变式6-1】（24-25高三上·上海黄浦·期中）已知，若定义在上的函数是奇函数，则实数的值为 . 【变式6-2】（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）若函数是偶函数，则 . 【考点题型七】求函数（复合函数）的单调区间 【例7】（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知函数，则的递减区间是 . 【变式7-1】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）函数的单调减区间是 ． 【变式7-2】（2024·上海徐汇）函数的单调递增区间为 ． 【考点题型八】根据函数的单调性求参数 【例8】（24-25高三上·上海·开学考试）已知在R上为严格增函数，则实数a的取值范围是 【变式8-1】（23-24高一上·上海·期末）已知在上是关于的减函数，则实数a的取值范围是 . 【变式8-2】（23-24高一上·上海青浦·期中）已知函数在区间上是严格增函数，则的取值范围是 . 【考点题型九】根据函数的单调性解不等式 【例9】（24-25高一上·上海·期中）已知函数定义在上，且对任意的，，，都有，，则不等式的解集为 ． 【变式9-1】（24-25高三上·江苏·开学考试）设函数，则使得成立的的解集是 ． 【变式9-2】（23-24高一上·上海·期末）已知是定义域为上的偶函数，且在上严格减函数，若成立，则实数a的范围是 【变式9-3】.（23-24高一上·江苏常州·期中）若函数满足，，且，，，若，则的取值范围是 . 【考点题型十】利用函数单调性求最值 【例10】（24-25高一上·全国·课后作业）函数在上的最大值为 ． 【变式10-1】（2024高三·全国·专题练习）函数的值域是 ． 【变式10-2】（2024高三·全国·专题练习）已知，，若对任意，存在，使，则实数的取值范围是 ． 【考点题型十一】根据最值求参数 【例11】（24-25高一下·福建福州）若函数的表达式为，且存在最小值，则a的取值范围为 ． 【变式11-1】（2024·四川遂宁·模拟预测）函数在上的最小值为，最大值为1，则的最大值为 . 【变式11-2】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）函数在上的最大值和最小值之和为，其中且，则实数 . 【考点题型十二】函数不等式恒成立问题 【例12】（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知奇函数的定义域为，当时，，若对，恒成立，则实数的取值范围是 ． 【变式12-1】（2024高三·全国·专题练习）函数，其中是常数，若在有意义，则的取值范围是 . 【变式12-2】（2024高一·全国·专题练习）设函数，其中.若对任意，恒有，则实数a的取值范围是 . 【考点题型十三】函数不等式能成立问题 【例13】（23-24高一上·广东·阶段练习）已知函数与，若对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围是 . 【变式13-1】（23-24高三上·上海闵行·期中）已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数的取值范围是 . 【变式13-2】（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）设，，若存在唯一的，使得关于的不等式组有解，则实数的取值范围是 . 【考点题型十四】根据零点所在区间求参数 【例14】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）设常数，函数，若函数在时有零点，则实数的取值范围是 . 【变式14-1】（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知函数的零点在区间内，常数的取值范围为 . 【变式14-2】（23-24高一上·江苏无锡·期末）函数的零点在区间，则 . 【变式14-3】（2024高三·全国·专题练习）函数在区间内有零点，则实数k的取值范围是 . 【考点题型十五】求函数零点（方程根）的个数 【例15】（23-24高一上·安徽·期末）已函数则函数的零点个数为 . 【变式15-1】（23-24高一上·贵州六盘水·期末）已知函数，关于的方程的实数根的个数为，则的所有可能取值组成的集合为 ． 【变式15-2】（23-24高三上·天津南开·期末）已知函数若方程有三个不等的实根，则实数的取值范围是 ；函数的零点个数是 . 【考点题型十六】根据零点个数求参数 【例16-1】（2024高三·全国·专题练习）已知，若关于的方程有两个不等的实数根，则实数的取值范围是 . 【例16-2】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数是定义域为的奇函数. (1)求； (2)若方程恰有两个不相等的实数根，求的取值范围. 【变式16-1】.（24-25高三上·甘肃酒泉·阶段练习）已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数的取值范围 . 【变式16-2】（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）已知函数，若方程有6个相异的实数根，则实数b的取值范围是 . 【变式16-3】（2024高三·全国·专题练习）已知. (1)作出函数的图象； (2)写出函数的单调区间； (3)若函数的图象与直线有两个不同的公共点，求实数的取值范围. 【考点题型十七】求零点代数和 【例17-1】（2024·河北·模拟预测）已知定义域为的函数，且满足，函数，若函数有7个零点，则k的取值范围为 ；若方程（）的解为、、、，则的取值范围为 【例17-2】（23-24高一上·北京西城·期中）函数，其中. (1)若，求函数在区间上的值域； (2)若函数有两个正数零点，， （i）求的取值范围； （ii）求的最小值以及取到最小值时的值. 【变式17-1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，，的零点分别为a，b，c，则 ．若满足，满足，则 . 【变式17-2】（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数，若有四个不同的解且，则的取值范围是 ． 【变式17-3】（2024高一上·江苏·专题练习）已知函数， (1)求函数的零点； (2) 若函数有四个零点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，记得四个零点从左到右分别为，，，，求值． 提升训练 一、填空题 1．（24-25高三上·上海·期中）已知函数为偶函数，则不等式的解集为 . 2．（24-25高三上·上海·期中）设是定义在上的偶函数，且对任意整数、，都有，其中表示实数、中的较大者.若，，则的所有可能取值组成的集合为 . 3．（24-25高三上·上海·期中）设，令，若存在实数，则的取值范围是 . 4．（24-25高一上·上海·期中）若函数  在[1，+∞）上是严格减函数，且在[1，+∞）上函数值不恒为负，则实数的取值范围是 5．（24-25高二上·上海·期中）设，对任意，恒成立，则实数的取值范围是 . 6．（24-25高三上·上海·期中）设函数是定义在R上的奇函数，且，若，，则实数m的取值范围是 . 7．（24-25高一上·上海长宁·开学考试）若对任意，不等式恒成立，则实数的取值集合为 . 8．（24-25高三上·上海·期中）已知函数，若的恰好有2个零点，则实数的取值范围 . 9．（24-25高三上·上海·阶段练习）设，，其中表示中的较小值.若函数至少有3个零点，则的取值范围是 . 10．（2025·广东深圳·一模）已知，则的解集为 ． 二、单选题 11．（24-25高一上·上海·期中）已知，若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一上·上海·期中）已知是定义在上的偶函数，若对于任意的、且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高三上·上海·期中）已知是定义域为R的函数，，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高三上·上海黄浦·阶段练习）已知函数的定义域为，值域为， 函数具有下列性质：（1）若，则；（2）若，则.下列结论正确的是（   ） ①存在，使得； ②对任意，都有. A．①②都正确 B．①正确、②不正确 C．②正确、①不正确 D．①②都不正确 三、解答题 15．（24-25高三上·上海·期中）已知函数是定义域为R的偶函数. (1)求实数a的值； (2)已知关于x的方程在上有解，求实数k的取值范围. 16．（24-25高一上·上海·期中）已知函数. (1)若不等式的解集为，求的值； (2)当时，若存在，使得，求的取值范围； (3)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 17．（24-25高三上·上海闵行·期中）已知函数，. (1)①判断函数的奇偶性，并用定义证明； ②判断函数的单调性，无需说明理由； (2)若恒成立，求的取值范围. 18．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数，， (1)求的单调区间和值域； (2)若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围． 19．（24-25高三上·上海杨浦·开学考试）已知函数，其中为实常数. (1)若，解关于的方程； (2)讨论函数的奇偶性； (3)当时，用定义证明函数在上是严格增函数，并解不等式. 20．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数为奇函数． (1)求的值； (2)判断并证明的单调性； (3)若存在实数，使得成立，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$