专题04 幂函数，指数函数与对数函数（考点清单+知识导图+ 18个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（沪教版2020必修第一册）

清单04 幂函数，指数函数与对数函数 （个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】幂函数 1、幂函数的概念 定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数. 2、幂函数的图象与性质 （1）三个幂函数的图象 当时，我们得到五个幂函数： ；； （2）性质 ①，当时，在单调递增； ②，当时，在单调递减. 【清单02】指数函数 1、指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是. 2、指数函数的图象与性质 函数的图象和性质如下表： 底数 图象 性 质 定义域 值域 定点 图象过定点 单调性 增函数 减函数 函数值的变化情况 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 对称性 函数与的图象关于轴对称 【清单03】对数函数 1、对数函数的概念 对数函数的概念 一般地，函数叫做对数函数，其中指数是自变量，定义域是. 判断一个函数是对数函数的依据 2、对数函数的图象及其性质 函数的图象和性质如下表： 底数 图象 性质 定义域 值域 单调性 增函数 减函数 【考点题型一】根据函数是幂函数求参数 【例1】（24-25高一上·上海杨浦·期中）幂函数的图像关于y轴成轴对称，且与x轴、y轴均无公共点，则m的值为 . 【变式1-1】（24-25高一上·上海·期中）已知是幂函数，其图象经过第一、三象限，则 . 【变式1-2】（23-24高一上·上海·期末）已知幂函数的图像过原点，则 . 【考点题型二】求与幂函数有关的值域问题 【例2】（24-25高一上·陕西西安）幂函数中a的取值集合C是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一上·河北衡水）幂函数的图象过点，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-24高一·全国·课后作业）已知幂函数的图象过，那么在上的最大值为 . 【考点题型三】根据幂函数值域求参数或范围 【例3】（24-25高一·全国·课后作业）已知幂函数在上单调递增. （1）求的值； （2）当时，记的值域为集合，若集合，且，求实数的取值范围. 【变式3-1】（24-25高一上·广西河池·阶段练习）已知幂函数在上单调递增，函数． (1)求实数m的值； (2)当时，设的值域分别为A，B，若，求实数k的取值范围． 【变式3-2】（24-25高一·全国·单元测试）已知幂函数，且在区间内函数图象是上升的． （1）求实数k的值； （2）若存在实数a，b使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，求实数a，b的值． 【考点题型四】幂函数图象问题 【例4】（24-25高一上·上海·期中）如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一上·上海浦东新）幂函数，及直线，将直角坐标系第一象限分成八个“卦限”：Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ（如图所示），那么幂函数的图像在第一象限中经过的“卦限”是（   ） A．Ⅳ和Ⅶ B．Ⅳ和Ⅷ C．Ⅲ和Ⅷ D．Ⅲ和Ⅶ 【变式4-2】.（24-25高一上·吉林长春·期末）已知幂函数的图像关于点对称．    (1)求该幂函数的解析式； (2)设函数，在如图的坐标系中作出函数的图像； (3)直接写出函数的解集． 【考点题型五】幂函数单调性问题 【例5】（23-24高一上·上海·期末）已知幂函数在区间上是严格增函数，则 . 【变式5-1】（24-25高一上·上海·期中）比较下列两数的大小关系， 的大小（填、或符号） 【变式5-2】（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集为 【考点题型六】幂函数奇偶性与单调性 【例6】（23-24高三上·上海浦东新·期中）已知，若幂函数为奇函数，且在上严格单调递减，则 . 【变式6-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）如果一个幂函数在上是严格减函数，且图像关于y轴对称，写出符合条件的幂函数的一个表达式： ． 【变式6-2】（23-24高一上·新疆·期中）已知幂函数在上单调递减. (1)求m的值； (2)若，求a的取值范围. 【考点题型七】幂函数单调性的应用 【例7】（24-25高一上·上海长宁）已知幂函数的图象关于轴对称，且在区间上是严格增函数． (1)求的值； (2)求满足不等式的实数的取值范围． 【变式7-1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知幂函数，若，则a的取值范围是 . 【变式7-2】（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知幂函数为偶函数，且在上单调递减． (1)求m和k的值； (2)求满足的实数a的取值范围． 【变式7-3】（24-25高一上·内蒙古）已知函数的图像关于轴对称，且，求满足的的取值范围． 【考点题型八】指数函数图象问题 【例8】（24-25高一上·上海·随堂练习）在图中画出函数的图像，说明函数的图像与图像的关系. 【变式8-1】（23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）函数的图象大致为（    ） A． B．   C．   D．   【变式8-2】（23-24高一·上海·课堂例题）在同一直角坐标系中作出下列函数的大致图像，并指出这些函数图像间的关系： （1）；        （2）；            （3）． 【考点题型九】指数（型）函数值域问题 【例9】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）函数的值域为 . 【变式9-1】（24-25高一上·辽宁丹东）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25高一上·上海闵行·期中）已知函数，则的值域为 . 【变式9-3】（24-25高一上·上海闵行）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)求函数的值域. 【考点题型十】判断指数型复合函数的单调性 【例10】（24-25高一上·山东德州·阶段练习）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（23-24高一上·上海·阶段练习）函数的单调递增区间是 . 【变式10-2】（24-25高一上·上海徐汇·阶段练习）函数的严格增区间为 . 【考点题型十一】由指数函数的单调性求参数 【例11】（24-25高一上·全国·课后作业）若函数在区间上是严格减函数，求实数m的取值范围． 【变式11-1】（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）指数函数在上是严格减函数，则的取值范围是 ． 【变式11-3】（23-24高三上·上海嘉定·阶段练习）设函数在区间上是严格减函数，则实数a的取值范围是 . 【考点题型十二】由指数函数的单调性解不等式 【例12】（2024高一·上海·专题练习）不等式的解集为 ． 【变式12-1】（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）不等式与不等式是同解不等式，则 【变式12-2】（23-24高一上·浙江湖州·阶段练习）已知函数的图象经过点，. (1)求实数，的值； (2)若不等式的解集记为，求时，函数的值域. 【考点题型十三】对数函数图象问题 【例13】（23-24高一上·海南海口·阶段练习）函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式13-1】（多选）（23-24高一上·全国·期末）已知函数与的图象关于坐标原点对称，则函数与的大致图象可能是（    ） A．B．C．D． 【变式13-2】（多选）（23-24高三上·辽宁·开学考试）已知，函数与的图像可能是（    ） A．   B．     C．   D．   【考点题型十四】对数型复合函数值域问题 【例14】（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）已知函数，则的值域是 . 【变式14-1】（23-24高三上·北京西城·期末）已知函数，则的定义域是 ；的最小值是 . 【变式14-2】（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）若函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式14-3】（23-24高一上·河南新乡·期末）若函数且在上的值域为，则的值为（    ） A．或 B．0或 C．或 D．或 【考点题型十五】对数型复合函数的单调区间 【例15】（24-25高三上·甘肃酒泉·阶段练习）函数的单调增区间 . 【变式15-1】（24-25高三上·四川成都·开学考试）函数的单调递增区间为 . 【变式15-2】（24-25高一上·北京）函数的单调递减区间是 . 【考点题型十六】根据对数型复合函数的单调性求参数 【例16】（23-24高一上·浙江丽水·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【变式16-1】（2024·江苏宿迁·一模）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是 ． 【变式16-2】（2024高三上·全国·专题练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 . 【考点题型十七】根据对数型复合函数的单调性解不等式 【例17】（2024高三上·全国·专题练习）已知函数，则不等式的解集为 . 【变式17-1】（23-24高三上·河北邢台·开学考试）已知函数，则的解集是 ． 【变式17-2】（23-24高三上·上海普陀·阶段练习）不等式的解集为 . 【考点题型十八】指数与对数综合问题 【例18】（24-25高三上·上海·期中）已知函数. (1)当时，解不等式； (2)若函数的最大值是，求的值. 【变式18-1】（24-25高一上·上海·期中）已知， 函数 (1)当时，解不等式 (2)设 是该函数图像上任意不同的两点，且满足点 P在点Q的左侧，求证：点P在点Q的上方. (3)设，若对任意的， 在区间上的最大值与最小值的和不大于. 求的取值范围. 【变式18-2】（24-25高一上·上海闵行·期中）已知函数，其中且. (1)若，求的最小值； (2)若在区间上的最大值为，求的值； (3)若，且对任意恒成立，求实数的取值范围. 【变式18-3】（23-24高一上·上海·阶段练习）已知函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求m的取值范围． 提升训练 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·期中）如图，图像①②③④所对应的函数不属于，中的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 2．（24-25高一上·上海浦东新·期中）图中、、分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（24-25高一上·上海·期中）函数与函数在同一平面直角坐标系中的图像可能为（    ） A．   B．   C．   D．   二、填空题 4．（24-25高三上·上海宝山·期中）已知是奇函数，时，则不等式的解集为 . 5．（2024·上海普陀·模拟预测）函数，且的图像恒过定点A，若点A在直线上，其中，，则的最小值为 . 6．（24-25高一上·上海·期中）若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是 7．（24-25高一上·上海·期中）已知实数满足，则的取值范围是 . 8．（24-25高一上·上海·期中）已知，则的取值范围为 9．（24-25高一上·上海·期中）设（），记函数在区间（）上的最大值为，若对任意，都有，则实数t的取值范围为 . 10．（24-25高三上·上海闵行·期中）设，若，则实数的取值范围是 ． 11．（24-25高一上·上海徐汇·期中）设不等式的解集为M，设函数 （且）与x轴有两个交点时实数的取值集合为N，则 12．（24-25高一上·上海闵行·期中）函数的图像恒过定点 . 13．（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）已知， 函数 若该函数存在最小值，则实数的取值范围是 三、解答题 14．（24-25高一上·上海·期中）已知幂函数 ，且该函数在上是严格增函数. (1)求此幂函数的表达式； (2)求关于的不等式 的解， 其中. 15．（24-25高一上·上海杨浦·期中）指数函数是一种重要的基本初等函数模型. (1)指数函数在区间上的最大值比最小值大，求实数a的值； (2)说明与的图像关于y轴对称. 16．（24-25高一上·上海·期中）（1）已知指数函数（且在区间上的最大值与最小值之和等于，求实数的值. （2）已知幂函数的图像关于轴对称，且在上严格递减.若.求实数的取值范围. 17．（24-25高一上·上海闵行·期中）定义：若对定义域内任意，都有（为正常数），则称函数为“距”增函数. (1)若，，判断是否为“1距”增函数，并说明理由； (2)若，是“距”增函数，求实数的取值范围； (3)若，，其中（）为常数，如果是“2距”增函数，求实数的取值范围及的最小值. 18．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数． (1)求的解析式； (2)求当时，函数的值域． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 幂函数，指数函数与对数函数 （个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】幂函数 1、幂函数的概念 定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数. 2、幂函数的图象与性质 （1）三个幂函数的图象 当时，我们得到五个幂函数： ；； （2）性质 ①，当时，在单调递增； ②，当时，在单调递减. 【清单02】指数函数 1、指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是. 2、指数函数的图象与性质 函数的图象和性质如下表： 底数 图象 性 质 定义域 值域 定点 图象过定点 单调性 增函数 减函数 函数值的变化情况 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 对称性 函数与的图象关于轴对称 【清单03】对数函数 1、对数函数的概念 对数函数的概念 一般地，函数叫做对数函数，其中指数是自变量，定义域是. 判断一个函数是对数函数的依据 2、对数函数的图象及其性质 函数的图象和性质如下表： 底数 图象 性质 定义域 值域 单调性 增函数 减函数 【考点题型一】根据函数是幂函数求参数 【例1】（24-25高一上·上海杨浦·期中）幂函数的图像关于y轴成轴对称，且与x轴、y轴均无公共点，则m的值为 . 【答案】0或2或4. 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据函数是幂函数求参数值 【分析】由幂函数与x轴、y轴均无交点得，再根据求出m的值，结合幂函数的图象和性质分类验证是否满足题意即可. 【详解】解：由幂函数的图像与x轴、y轴均无交点， 得，解得，又， 所以. 当时，，定义域为， 即函数，其图象关于y轴对称，满足题意； 当m＝1或3时，，即， 设，由，， 故其图象不关于y轴对称，不满足题意； 当m＝2时，，即，定义域为， 设，则， 所以是偶函数，则图象关于y轴对称，满足题意. 综上，m的值为0或2或4. 故答案为：0或2或4. 【变式1-1】（24-25高一上·上海·期中）已知是幂函数，其图象经过第一、三象限，则 . 【答案】 【知识点】根据函数是幂函数求参数值 【分析】根据幂函数的定义得到，求出值，进行检验即可. 【详解】因为是幂函数， 所以,即，所以或， 当时，易知该幂函数的图象经过第一、三象限，满足题意； 当时，易知该幂函数的图象经过第一、二象限，不满足题意. 故答案为：. 【变式1-2】（23-24高一上·上海·期末）已知幂函数的图像过原点，则 . 【答案】2 【知识点】幂函数图象的判断及应用、根据函数是幂函数求参数值 【分析】由幂函数的概念求出或，再利用幂函数的图象性质进行验证即可. 【详解】因为函数是幂函数， 所以，解得或， 当时，其图像不过原点，应舍去， 当， 其图像过原点． 故答案为：2. 【考点题型二】求与幂函数有关的值域问题 【例2】（24-25高一上·陕西西安）幂函数中a的取值集合C是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求幂函数的值域、求幂函数的定义域 【分析】分别求出各幂函数的定义域和值域，得到答案. 【详解】当时，定义域和值域均为，符合题意； 时，定义域为，值域为，故不合题意； 时，定义域为，值域为，符合题意； 时，定义域与值域均为R，符合题意； 时，定义域为R，值域为，不符合题意； 时，定义域与值域均为R，符合题意. 故选：C 【变式2-1】（24-25高一上·河北衡水）幂函数的图象过点，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求二次函数的值域或最值、求幂函数的解析式、求幂函数的值域 【分析】设，带点计算可得，得到，令转化为二次函数的值域求解即可. 【详解】设， 代入点得 ， 则，令， 函数的值域是. 故选：C. 【变式2-2】（24-24高一·全国·课后作业）已知幂函数的图象过，那么在上的最大值为 . 【答案】 【知识点】求幂函数的值域、求幂函数的解析式 【分析】先求幂函数解析式，再根据幂函数单调性求最值. 【详解】设，因为的图象过， ，解得， 在上是单调递增的 在上的最大值为， 故答案为: 【点睛】本题考查幂函数解析式以及最值，考查基本分析求解能力，属基础题. 【考点题型三】根据幂函数值域求参数或范围 【例3】（24-25高一·全国·课后作业）已知幂函数在上单调递增. （1）求的值； （2）当时，记的值域为集合，若集合，且，求实数的取值范围. 【答案】（1）0；（2） 【知识点】由幂函数的单调性求参数、根据幂函数值域求参数或范围、求幂函数的解析式 【分析】（1）根据幂函数的定义列方程，求得的可能取值，再根据在上的单调性求得的准确值. （2）首先求得的值域，然后根据得到，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围. 【详解】（1）∵为幂函数，∴，∴或2. 当时，在上单调递增，满足题意. 当时，在上单调递减，不满足题意，舍去. ∴. （2）由（1）知，. ∵在上单调递增，∴. ∵，，∴，∴解得. 故实数的取值范围为. 【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查幂函数的单调性和值域，考查根据集合运算结果求参数的取值范围，属于基础题. 【变式3-1】（24-25高一上·广西河池·阶段练习）已知幂函数在上单调递增，函数． (1)求实数m的值； (2)当时，设的值域分别为A，B，若，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求幂函数的值域、根据交集结果求集合或参数、根据幂函数值域求参数或范围、根据函数是幂函数求参数值 【分析】（1）由幂函数特征得，再由单增确定值； （2）先求出值域，由为减函数求出值域，结合结合边界值建立不等式，解不等式即可求解k的取值范围． 【详解】（1）∵为幂函数，∴， 解得或， 当时，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， ∴； （2）由（1）得，∴时，， ∵为上的减函数， ∴当时，， ∵，∴， ∴解得， 实数k的取值范围是． 【变式3-2】（24-25高一·全国·单元测试）已知幂函数，且在区间内函数图象是上升的． （1）求实数k的值； （2）若存在实数a，b使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，求实数a，b的值． 【答案】（1）2；（2）a＝0，b＝1． 【知识点】根据幂函数值域求参数或范围、根据函数是幂函数求参数值 【分析】（1）根据幂函数的定义先求出的可能值，再根据幂函数的单调性判断正确的值； （2）根据函数的单调性即可判断的取值情况，列出式子即可求解. 【详解】（1）为幂函数， ∴，解得或， 又在区间内的函数图象是上升的， ， ∴k＝2； （2）∵存在实数a，b使得函数在区间上的值域为，且， ∴，即， ，∴a＝0，b＝1． 【点睛】本题考查幂函数的定义和单调性的运用，考查函数最值的求法，是一道基础题. 【考点题型四】幂函数图象问题 【例4】（24-25高一上·上海·期中）如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】幂函数图象的判断及应用 【分析】根据幂函数的图象和性质之间的关系进行判断即可. 【详解】当时，幂函数在上单调递增， 当时，幂函数在上单调递减， 并且在直线的右侧，图象自下而上所对应的函数的幂指数依次增大， 所以，所以. 故选：A 【变式4-1】（24-25高一上·上海浦东新）幂函数，及直线，将直角坐标系第一象限分成八个“卦限”：Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ（如图所示），那么幂函数的图像在第一象限中经过的“卦限”是（   ） A．Ⅳ和Ⅶ B．Ⅳ和Ⅷ C．Ⅲ和Ⅷ D．Ⅲ和Ⅶ 【答案】D 【知识点】幂函数图象的判断及应用 【分析】根据幂函数的图像与性质,结合当指数变化时的规律,即可判断出的图像在第一象限中经过的“卦限” 【详解】在直线左侧,幂函数的指数越大月接近轴.因为,所以在左侧部分位于的右侧,即Ⅲ 内; 在直线右侧,幂函数的指数越小越接近轴,因为,所以在右侧部分位于的下方侧,即Ⅶ 内; 综上可知, 函数的图像在第一象限中经过的“卦限”是Ⅲ 和Ⅶ 故选:D 【点睛】本题考查了幂函数的图像与性质,幂函数的图像与指数的变化关系,属于中档题. 【变式4-2】.（24-25高一上·吉林长春·期末）已知幂函数的图像关于点对称．    (1)求该幂函数的解析式； (2)设函数，在如图的坐标系中作出函数的图像； (3)直接写出函数的解集． 【答案】(1) (2)图像见解析 (3) 【知识点】幂函数图象的判断及应用、函数对称性的应用、根据函数是幂函数求参数值、画出具体函数图象 【分析】（1）利用幂函数的定义求出m值，再结合其图像性质即可得解. （2）由（1）求出函数，再借助反比例函数与偶函数的对称性作出的图像. （3）根据（2）中图像特征写出函数的单调区间. 【详解】（1）因为是幂函数， 所以，解得或， 当时，函数定义域是， 易得是奇函数，图像关于原点对称，则满足题意； 当时，函数， 易知是R上的偶函数，其图像关于y轴对称，关于原点不对称； 综上：幂函数的解析式是. （2）因为函数，定义域为， 且， 所以是上的偶函数， 当时，在上单调递减，其图像是反比例函数在第一象限的图像， 作出函数在第一象限的图像，再将其关于y翻折即可得在定义域上的图像，如图，      （3）观察（2）中图像可得， 的解集为. 【考点题型五】幂函数单调性问题 【例5】（23-24高一上·上海·期末）已知幂函数在区间上是严格增函数，则 . 【答案】 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数 【分析】根据幂函数的定义及性质得到方程（不等式）组，解得即可. 【详解】因为幂函数在区间上是严格增函数， 所以，解得. 故答案为： 【变式5-1】（24-25高一上·上海·期中）比较下列两数的大小关系， 的大小（填、或符号） 【答案】 【知识点】指数幂的化简、求值、由幂函数的单调性比较大小 【分析】根据指数运算及幂函数单调性直接可判断. 【详解】由， ， 且， 又函数在上单调递增， 所以， 即， 故答案为：. 【变式5-2】（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集为 【答案】 【知识点】由幂函数的单调性解不等式 【分析】由幂函数单调性即可求解. 【详解】因为函数在上是严格增函数， 故，可得：，解得：. 故答案为： 【考点题型六】幂函数奇偶性与单调性 【例6】（23-24高三上·上海浦东新·期中）已知，若幂函数为奇函数，且在上严格单调递减，则 . 【答案】或 【知识点】判断一般幂函数的单调性、判断五种常见幂函数的奇偶性、幂函数的奇偶性的应用 【分析】由题意，结合幂函数的性质即可求解. 【详解】由幂函数的性质知，，在第一象限内，当时，函数单调递减，当为奇数时，函数为奇函数， 所以当或时，幂函数在上单调递减，且为奇函数. 故答案为：或 【变式6-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）如果一个幂函数在上是严格减函数，且图像关于y轴对称，写出符合条件的幂函数的一个表达式： ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】求幂函数的解析式、幂函数的奇偶性的应用、由幂函数的单调性求参数 【分析】由幂函数的定义以及图象与性质即可直接得到答案. 【详解】幂函数在上是严格减函数且图象关于y轴对称，符合题意， 故答案为：（答案不唯一）. 【变式6-2】（23-24高一上·新疆·期中）已知幂函数在上单调递减. (1)求m的值； (2)若，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性解不等式 【分析】（1）由幂函数的定义以及单调性得出m的值； （2）由解不等式得出a的取值范围. 【详解】（1）解：由幂函数的定义可得，即，解得或. 因为在上单调递减，所以，即， 则. （2）设，是R上的增函数. 由（1）可知，即， 则，解得， 即a的取值范围为. 【考点题型七】幂函数单调性的应用 【例7】（24-25高一上·上海长宁）已知幂函数的图象关于轴对称，且在区间上是严格增函数． (1)求的值； (2)求满足不等式的实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】判断一般幂函数的单调性、判断五种常见幂函数的奇偶性、由幂函数的单调性求参数、由幂函数的单调性解不等式 【分析】（1）先利用幂函数在区间上是严格增函数得到，再验证其图象关于轴对称进行求值； （2）利用（1）中函数的奇偶性和单调性进行求解. 【详解】（1）解：因为幂函数在区间上是严格增函数， 所以，解得， 又因为，所以或或， 当或时，为奇函数，图象关于原点对称（舍）； 当时，为偶函数，图象关于轴对称，符合题意； 综上所述，. （2）解：由（1）得为偶函数，且在区间上是严格增函数， 则由得， 即，即，解得， 所以满足的实数的取值范围为. 【变式7-1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知幂函数，若，则a的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由幂函数的单调性解不等式 【分析】根据题意得到幂函数的定义域和单调性，得到不等式的等价不等式组，即可求解. 【详解】由幂函数， 可得函数的定义域为，且是递减函数， 因为，可得，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为： 【变式7-2】（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知幂函数为偶函数，且在上单调递减． (1)求m和k的值； (2)求满足的实数a的取值范围． 【答案】(1)，或； (2) 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、幂函数的奇偶性的应用、由幂函数的单调性求参数、由幂函数的单调性比较大小 【分析】（1）根据函数为幂函数，列式计算，即可求得k的值；根据幂函数的单调性求得m的值，结合奇偶性即可确定m的取值. （2）结合（1）可得，即为，利用幂函数的性质，分类求解不等式，即可求得答案. 【详解】（1）由函数为幂函数， 则，解得或； 由在上单调递减， 得，解得，而，故或2， 当时，，定义域为，且为偶函数，符合题意； 当时，，定义域为，函数为奇函数，不符合题意； 故，或； （2）结合（1）可知，即为， 故或或， 解得或或， 故实数a的取值范围为. 【变式7-3】（24-25高一上·内蒙古）已知函数的图像关于轴对称，且，求满足的的取值范围． 【答案】. 【知识点】求幂函数的解析式、由幂函数的单调性解不等式 【分析】先由化为指数不等式解得的范围，再由函数的图像关于轴对称，知函数为偶函数，检验的值使为偶函数，可以求出，再利用函数图像在第一、三象限，且分别在一、三象限为减函数，把不等式转化为的比较. 【详解】函数满足得 所以：，于是，故 由于，于是或 因为函数的图像关于轴对称，故 则可变为,于是 ①若，则 ②若，则无解 ③若，则 综上所述，的取值范围是 【考点题型八】指数函数图象问题 【例8】（24-25高一上·上海·随堂练习）在图中画出函数的图像，说明函数的图像与图像的关系. 【答案】答案见解析 【知识点】指数函数图像应用 【分析】由图像的平移性质求解． 【详解】解：如图所示： 函数的图像向左平移1个单位，然后向下平移1个单位即为函数的图像. 【变式8-1】（23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）函数的图象大致为（    ） A． B．   C．   D．   【答案】B 【知识点】判断指数型函数的图象形状 【分析】利用即可排除选项A和C，再利用复合函数的单调性即可求出结果. 【详解】因为，易知，故选项A和C错误； 令，，因为是定义域上的增函数， 又在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以选项B正确，选项D错误， 故选：B. 【变式8-2】（23-24高一·上海·课堂例题）在同一直角坐标系中作出下列函数的大致图像，并指出这些函数图像间的关系： （1）；        （2）；            （3）． 【答案】答案见解析 【知识点】指数函数图像应用、画出具体函数图象 【分析】先在同一直角坐标系中作出（1）（2）（3）的函数图象，由图象即可得到这些函数图像间的关系. 【详解】（1）（2）（3）的函数图象在同一直角坐标系中作出如图所示， 由图可知，函数与的图象关于轴对称， 函数的图象可由的图象向下平移一个单位得到. 【考点题型九】指数（型）函数值域问题 【例9】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）函数的值域为 . 【答案】 【知识点】与二次函数相关的复合函数问题、求指数型复合函数的值域 【分析】，令，换元后求的值域即可得到. 【详解】函数的定义域为R. 因为， 令，则. 又函数在上单调递增， 所以在上，有恒成立. 所以函数的值域为. 故答案为：. 【变式9-1】（24-25高一上·辽宁丹东）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求指数型复合函数的值域、求二次函数的值域或最值 【分析】令，求出的范围，根据指数函数的单调性即可求解. 【详解】依题意， 令，则， 因为单调递减，且 所以， 所以. 故选：A. 【变式9-2】（24-25高一上·上海闵行·期中）已知函数，则的值域为 . 【答案】 【知识点】求指数型复合函数的值域 【分析】利用换元法结合指数函数的性质即可得解. 【详解】由题意，而关于单调递减， 从而， 所以的值域为. 故答案为：. 【变式9-3】（24-25高一上·上海闵行）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【知识点】由奇偶性求参数、求指数型复合函数的值域 【分析】(1)根据奇函数的定义即可求解； (2)结合（1）的结论和指数函数的值域即可求解. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以， 即，解得：，此时， 故对于任意的，有， 即函数是上的奇函数，所以实数的值为. （2）由（1）可知：， 因为，所以，则，， 所以，故函数的值域为. 【考点题型十】判断指数型复合函数的单调性 【例10】（24-25高一上·山东德州·阶段练习）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】复合函数的单调性、判断指数型复合函数的单调性 【分析】根据复合函数单调性进行求解. 【详解】因为在R上单调递减， 由复合函数单调性可知，只需求出的单调递减区间， 其中单调递减区间为， 故的单调递增区间是. 故选：D 【变式10-1】（23-24高一上·上海·阶段练习）函数的单调递增区间是 . 【答案】（或） 【知识点】判断指数型复合函数的单调性 【分析】利用复合函数的单调性可得出函数的单调递增区间. 【详解】函数的定义域为，内层函数的增区间为，减区间为， 外层函数在上为减函数， 由复合函数法可知，函数的单调递增区间为. 故答案为：（或）. 【变式10-2】（24-25高一上·上海徐汇·阶段练习）函数的严格增区间为 . 【答案】 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、判断指数函数的单调性 【分析】将复合函数分成与两层函数，利用内外层函数单调性同增异减的原则求解. 【详解】令，则函数为，为减函数，所以要求函数的严格增区间，只需求的减区间， 又， 所以的减区间为， 所以函数的严格增区间为， 故答案为： 【考点题型十一】由指数函数的单调性求参数 【例11】（24-25高一上·全国·课后作业）若函数在区间上是严格减函数，求实数m的取值范围． 【答案】 【知识点】由指数（型）的单调性求参数、判断指数型复合函数的单调性 【分析】由复合函数的同增异减性质判断，内层函数单增，再结合对称轴和区间边界值建立不等式即可求解. 【详解】由复合函数的同增异减性质可得，在上严格单调递增，即，解得 ． 所以m的取值范围． 【变式11-1】（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】由复合函数的单调性分析可知，内层函数在上为增函数，结合二次函数的单调性可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】令，则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 因为外层函数为上的减函数，函数在区间上单调递减， 所以，函数在上为增函数，所以，，解得. 故选：A. 【变式11-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）指数函数在上是严格减函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由指数（型）的单调性求参数 【分析】根据条件，利用指数函数的性质，即可求出结果. 【详解】因为指数函数在上是严格减函数，所以，得到， 故答案为：. 【变式11-3】（23-24高三上·上海嘉定·阶段练习）设函数在区间上是严格减函数，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由指数（型）的单调性求参数、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】利用复合函数的单调性，结合指数函数与二次函数的单调性即可得解. 【详解】因为在区间上是严格减函数，而在上单调递增， 令，则在上单调递减， 又开口向上，对称轴为， 所以，则. 故答案为：. 【考点题型十二】由指数函数的单调性解不等式 【例12】（2024高一·上海·专题练习）不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据给定条件，利用指数函数单调性求解不等式作答. 【详解】函数在R上单调递增，则， 即，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 【变式12-1】（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）不等式与不等式是同解不等式，则 【答案】 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、由指数函数的单调性解不等式 【分析】根据指数函数单调性解不等式，结合一元二次不等式解法进而得到答案. 【详解】因为在上单调递增， 则，即， 即，解得， 因为也是的解， 所以，解得， 此时，即，解得，满足题意， 故 故答案为：. 【变式12-2】（23-24高一上·浙江湖州·阶段练习）已知函数的图象经过点，. (1)求实数，的值； (2)若不等式的解集记为，求时，函数的值域. 【答案】(1)， (2) 【知识点】求指数函数解析式、求指数函数在区间内的值域、由指数函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据函数过点，，把点代入方程，从而可求解. （2）求出集合，然后利用函数的单调性即可求解. 【详解】（1）由题知点，在函数上，所以，解得， 故，. （2）由得，则， 解得，即， 因为在上单调递增， 故当时， ， 当时，， 所以的值域为. 【考点题型十三】对数函数图象问题 【例13】（23-24高一上·海南海口·阶段练习）函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【知识点】函数图像的识别、判断对数型函数的图象形状 【分析】根据对数函数的性质判断． 【详解】，当或时，，，排除AD， 当时，，，排除C， 故选：B． 【变式13-1】（多选）（23-24高一上·全国·期末）已知函数与的图象关于坐标原点对称，则函数与的大致图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】AC 【知识点】函数图像的识别、判断指数型函数的图象形状、判断对数型函数的图象形状、由函数对称性求函数值或参数 【分析】根据给定条件，推导得，再按分类，结合函数单调性判断即得. 【详解】在函数的图象上任取点，则点在的图象上， 即，于是对任意成立，则， 当时，函数是R上的减函数，，则是上的增函数，C符合，D不符合； 当时，函数是R上的增函数，，则是上的减函数，A符合，B不符合. 故选：AC 【变式13-2】（多选）（23-24高三上·辽宁·开学考试）已知，函数与的图像可能是（    ） A．   B．     C．   D．   【答案】AB 【知识点】判断指数型函数的图象形状、判断对数型函数的图象形状、指数幂的运算、函数图象的变换 【分析】首先由得出，再分类讨论和的取值范围，根据指数函数和幂函数的图像即可得出答案． 【详解】因为，即， 所以， 当时，则， 指数函数在上单调递减，且过点； 对数函数在单调递增且过点，将的图像关于轴对称得到的图像， 则在上单调递减且过点，故A符合题意； 当时，， 同理可得，指数函数在上单调递增，且过点， 在上单调递增且过点，故B符合题意； 故选：AB． 【考点题型十四】对数型复合函数值域问题 【例14】（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）已知函数，则的值域是 . 【答案】 【知识点】求二次函数的值域或最值、求对数型复合函数的值域 【分析】令，先求出的范围，再根据对数函数的性质即可得解. 【详解】令，则， 则，可得， 已知单调递减，所以， 则的值域为. 故答案为：. 【变式14-1】（23-24高三上·北京西城·期末）已知函数，则的定义域是 ；的最小值是 . 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的值域、基本不等式求和的最小值、求对数型复合函数的定义域 【分析】由函数的解析式有意义，列出不等式组，求得的定义域，化简，令，得到，结合基本不等式和对数函数的单调性，即可求解. 【详解】由函数有意义，则满足，解得， 所以函数的定义域为， 又由， 令，可得 令， 因为，当且仅当时，即时，即时取等号， 所以，所以，所以函数的最小值为. 故答案为：；. 【变式14-2】（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）若函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据对数函数的值域求参数值或范围、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】根据的值域为，可得函数的值域应包含，利用即可得解. 【详解】函数的值域为， 则函数的值域应包含， 则有，解得或， 所以的取值范围是. 故选：D. 【变式14-3】（23-24高一上·河南新乡·期末）若函数且在上的值域为，则的值为（    ） A．或 B．0或 C．或 D．或 【答案】A 【知识点】根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、根据对数函数的值域求参数值或范围 【分析】先根据对数函数的单调性求出函数的值域，再分和两种情况讨论，结合指数函数的单调性即可得解. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上的值域为， 当时，在上单调递减，则，解得， 则，得， 当时，在上单调递增，则，解得或（舍去）， 则，得， 综上，或. 故选：A. 【考点题型十五】对数型复合函数的单调区间 【例15】（24-25高三上·甘肃酒泉·阶段练习）函数的单调增区间 . 【答案】 【知识点】对数型复合函数的单调性 【分析】利用复合函数的单调性原理和对数函数的性质求解即可 【详解】由得或． 又，对称轴为， 所以当时，关于为减函数，当时，关于为增函数． 又为上的减函数， 所以时，原函数单调递增； 时，原函数单调递减． 故函数的单调增区间为． 故答案为： 【变式15-1】（24-25高三上·四川成都·开学考试）函数的单调递增区间为 . 【答案】 【知识点】对数型复合函数的单调性 【分析】根据对数型函数的定义域，结合对数型函数的单调性的性质进行求解即可. 【详解】由，或， 二次函数的对称轴为， 因为函数是正实数集上的增函数， 所以当函数单调递增时，则有， 所以函数的单调递增区间为， 故答案为： 【变式15-2】（24-25高一上·北京）函数的单调递减区间是 . 【答案】 【知识点】对数型复合函数的单调性 【分析】先确定函数的定义域, 再分别得出内层函数和外层函数的单调性，根据复合函数的性质求出函数的单调区间即可. 【详解】 的定义域为，解得， 或, 求原函数的单调递增区间, 即求函数的减区间, , 可知单调递减区间为, 综上可得, 函数单调递增区间为 . 令 , 由 , 得或, 函数 的定义域为 , 当 时, 内层函数 为增函数,而外层函数 为减函数, 函数 的单调递减区间是 . 故答案为:. 【考点题型十六】根据对数型复合函数的单调性求参数 【例16】（23-24高一上·浙江丽水·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】对数型复合函数的单调性、由对数（型）的单调性求参数 【分析】由复合函数的单调性计算即可得. 【详解】令，对称轴为， ∵函数在区间上单调递增，在上单调递增， ∴在上单调递增，且， ∴且，即且，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式16-1】（2024·江苏宿迁·一模）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、对数型复合函数的单调性 【分析】根据复合函数的单调性，结合二次不等式恒成立问题，列不等式组求解即可. 【详解】由复合而成. 而单调递增，只需要单调递减. 且在上恒成立.则即可，解得. 故实数a的取值范围是. 故答案为：. 【变式16-2】（2024高三上·全国·专题练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】对数型复合函数的单调性 【分析】利用复合函数单调性，求解参数即可. 【详解】令，因为，所以为减函数. 又由函数在上单调递减， 可得函数在上恒成立，且， 故有，解得 故答案为：. 【考点题型十七】根据对数型复合函数的单调性解不等式 【例17】（2024高三上·全国·专题练习）已知函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、求对数型复合函数的定义域 【分析】先求出函数的定义域，然后解不等式，结合定义域得答案. 【详解】函数的定义域满足，解得， 由， 所以， 解得， 故不等式的解集为. 故答案为：. 【变式17-1】（23-24高三上·河北邢台·开学考试）已知函数，则的解集是 ． 【答案】 【知识点】由对数函数的单调性解不等式 【分析】代入，再根据对数函数的定义域与单调性计算即可. 【详解】则，由可得， 解得. 又，即，故， 化简可得，解得. 综上可得. 故答案为： 【变式17-2】（23-24高三上·上海普陀·阶段练习）不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】由对数函数的单调性解不等式 【分析】由对数函数的性质列不等式组求解集即可. 【详解】由题设， 则，即，可得. 故答案为： 【考点题型十八】指数与对数综合问题 【例18】（24-25高三上·上海·期中）已知函数. (1)当时，解不等式； (2)若函数的最大值是，求的值. 【答案】(1)； (2). 【知识点】判断指数函数的单调性、对数型复合函数的单调性、根据对数函数的最值求参数或范围、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据复合型对数函数的单调性解不等式求解集； （2）令，问题化为在上最大值为，利用二次函数性质研究最值并列方程求参数. 【详解】（1）由题意，则，可得，即； （2）令，而在定义域内单调性递增， 所以，最大值是，则只需，令， 所以在上最大值为， 根据二次函数性质有，则函数的图象开口向下，对称轴为， 所以，则， 整理得，可得或（舍）. 【变式18-1】（24-25高一上·上海·期中）已知， 函数 (1)当时，解不等式 (2)设 是该函数图像上任意不同的两点，且满足点 P在点Q的左侧，求证：点P在点Q的上方. (3)设，若对任意的， 在区间上的最大值与最小值的和不大于. 求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】对数型复合函数的单调性、由对数函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）由 得到 ，再利用对数函数的单调性求解； （2）由题意得到函数 在定义域内单调递减证明； （3）根据函数 在定义域内单调递减，得到函数 在区间 上的最大值和最小值，化简得到求解. 【详解】（1）解：当 时, , 则 ， , 解得 ， 不等式的解集为 ； （2） 在 上单调递减, 函数 在定义域内单调递减, 所以当点 P在点Q的左侧时，点P在点Q的上方； （3）由（2）知：函数 在定义域内单调递减， 函数 在区间 上的最大值为： , 最小值为， ， 即 ， 令 ， 则，即 在 上单调递增, 解得 ， 实数的取值范围时 . 【变式18-2】（24-25高一上·上海闵行·期中）已知函数，其中且. (1)若，求的最小值； (2)若在区间上的最大值为，求的值； (3)若，且对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、求已知指数型函数的最值、指数函数最值与不等式的综合问题、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）由题知，进而结合二次函数求解即可； （2）令，将函数转化为求的最大值问题，再分和讨论求解即可； （3）结合题意，将问题转化为，对任意恒成立，再结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）当时，函数， 所以当时，函数有最小值. （2）令，则函数， 当时，由有， 由于函数在上单调递减，在区间上的最大值为， 所以，当时，有最大值， 解得或，均不满足，舍去； 当时，由有， 由于函数在上单调递增，在区间上的最大值为， 所以，当时，有最大值， 解得或，其中不满足，舍去； 综上，. （3）因为当时，对任意恒成立 所以，对任意恒成立 所以，对任意恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，恒成立，即， 所以，实数的取值范围为. 【变式18-3】（23-24高一上·上海·阶段练习）已知函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】基本不等式求和的最小值、求对数函数在区间上的值域、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）根据题意，由换元法结合二次函数的值域，即可得到结果； （2）根据题意，由换元法结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）令，由，可得， 则， 当时，， 当时，， 即，所以. 即函数值域为. （2）令，由可得， 则对于恒成立， 即， 所以在恒成立， 即，， 又，当且仅当时，即时，等号成立， 所以，即m的取值范围为. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·期中）如图，图像①②③④所对应的函数不属于，中的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【知识点】函数图像的识别、指数型函数图象过定点问题、对数型函数图象过定点问题 【分析】由函数过点，和过点即可得解. 【详解】因为， 所以函数过点，和过点. 所以由图可得③所对应的函数不属于，和中的函数. 故选：C. 2．（24-25高一上·上海浦东新·期中）图中、、分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【知识点】幂函数图象的判断及应用、判断一般幂函数的单调性 【分析】根据幂函数在第一象限中图象的性质得到，即可得答案. 【详解】由幂函数在第一象限，在部分图象由下向上，逐渐增大， 且时在第一象限递增，且递增速度以为界点，时在第一象限递减， 所以，故A满足. 故选：A 3．（24-25高一上·上海·期中）函数与函数在同一平面直角坐标系中的图像可能为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【知识点】二次函数的图象分析与判断、判断指数型函数的图象形状 【分析】通过二次函数的大致图像确定对应参数的取值范围，再由指数型函数图像得到对应参数的取值范围，对吧对应参数的取值范围是否相同. 【详解】A选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，A选项错误； B选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，B选项错误； C选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，C选项正确； D选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，D选项错误； 故选：C. 二、填空题 4．（24-25高三上·上海宝山·期中）已知是奇函数，时，则不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】由奇偶性求函数解析式、由指数函数的单调性解不等式 【分析】首先求出函数在上的解析式，再分段得到不等式组，解得即可. 【详解】设，则，所以， 又为奇函数，所以， 所以， 不等式，即或， 解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 5．（2024·上海普陀·模拟预测）函数，且的图像恒过定点A，若点A在直线上，其中，，则的最小值为 . 【答案】2 【知识点】对数型函数图象过定点问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先由题意结合求出点A，进而由点A在直线上得，再结合基本不等式常数“1”的妙用即可求解. 【详解】因为，所以函数且的图象恒过定点， 即， 又点A在直线上，故， 又，所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为2. 故答案为：2. 6．（24-25高一上·上海·期中）若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、利用函数单调性求最值或值域 【分析】先求出对任意的，的值域为，接着求出时，函数值域B，再依据题意得，从而得到一个关于m的不等式组，解该不等式组即可得解. 【详解】因为，为增函数，所以， 令，则， 因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又，所以， 所以当时，，所以， 即当时，函数的值域， 设时，函数值域为集合， 因为是增函数，所以， 因为对任意的，总存在，使得成立， 所以对任意的，总存在，使得成立， 所以， 所以，即. 所以满足题意的实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是依据题意将问题等价转化成两个函数和 的值域的关系即可求解. 7．（24-25高一上·上海·期中）已知实数满足，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】求指数函数在区间内的值域 【分析】根据题意得，计算的取值范围，利用函数的单调性即可得到结果. 【详解】∵，， ∴， ∴， 由得，即， ∵，在上为减函数， ∴， ∴的取值范围是. 故答案为：. 8．（24-25高一上·上海·期中）已知，则的取值范围为 【答案】 【知识点】由对数函数的单调性解不等式 【分析】利用对数函数单调性解不等式即得. 【详解】由，得，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 9．（24-25高一上·上海·期中）设（），记函数在区间（）上的最大值为，若对任意，都有，则实数t的取值范围为 . 【答案】 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、判断指数函数的单调性、函数不等式恒成立问题 【分析】根据在内单调递增，分析可知或，整理得关于的不等式或，的解集为，即可根据求解． 【详解】因为，则，在内单调递增， 则在内单调递增， 又因为在区间上的最大值为， 可得或， 由题意可知：或， 则或， 整理得或， 即关于的不等式或的解集为， 可知， 整理得，则， 故， 故答案为：． 10．（24-25高三上·上海闵行·期中）设，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由对数函数的单调性解不等式 【分析】由对数函数的性质和单调性求解即可； 【详解】因为，所以函数为减函数， 又， 所以，解得， 故答案为：. 11．（24-25高一上·上海徐汇·期中）设不等式的解集为M，设函数 （且）与x轴有两个交点时实数的取值集合为N，则 【答案】 【知识点】交集的概念及运算、指数函数图像应用、由对数函数的单调性解不等式 【分析】解对数不等式得出集合M，设函数)和函数，把函数（且）与x轴有两个交点问题转化为两函数图象有两个交点，利用数形结合求出集合N，然后利用交集的概念求得答案． 【详解】由，得， 解得，从而． 设函数)和函数， 则函数（且）与x轴有两个交点，就是函数)的图象与函数的图象有两个交点． 当时，如图，由图可知，两函数图象只有一个交点，不符合题意； 当时，如图，因为函数的图象过点，而直线与y轴的交点一定在点的上方，所以两图象一定有两个交点． 综上，实数a的取值范围是，从而． 则． 故答案为：． 12．（24-25高一上·上海闵行·期中）函数的图像恒过定点 . 【答案】 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】根据函数解析式可求图像所过的定点. 【详解】由函数解析式可得当且仅当时，函数值与无关且为， 故函数图象恒过定点， 故答案为： 13．（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）已知， 函数 若该函数存在最小值，则实数的取值范围是 【答案】 【知识点】求指数型复合函数的值域、分段函数的值域或最值、根据分段函数的单调性求参数 【分析】就分段函数的每一段判断其单调性，求出值域，根据题意得到关于的不等式，解之即得. 【详解】当时，因，为减函数，故； 当时，因，为减函数，故. 依题意，该函数存在最小值，需使，解得. 故实数的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题 14．（24-25高一上·上海·期中）已知幂函数 ，且该函数在上是严格增函数. (1)求此幂函数的表达式； (2)求关于的不等式 的解， 其中. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、解含有参数的一元二次不等式、由幂函数的单调性求参数 【分析】（1）由及可得； （2）根据与0的大小分类讨论解二次不等式． 【详解】（1）因为 是幂函数且该函数在上是严格增函数. 所以，所以， 所以； （2）不等式为，即， 时，解为，解集为； 时，解为或，解集为； 时，解为或，解集为． 15．（24-25高一上·上海杨浦·期中）指数函数是一种重要的基本初等函数模型. (1)指数函数在区间上的最大值比最小值大，求实数a的值； (2)说明与的图像关于y轴对称. 【答案】(1)或； (2)答案见解析 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据指数函数的最值求参数、由指数（型）的单调性求参数 【分析】（1）根据题意，按a的取值范围分2种情况讨论，求出函数在区间上的最大值和最小值，可得关于a的方程，解可得a的值，即可得答案； （2）设，，分析可得，即可得结论. 【详解】（1）根据题意，分2种情况讨论： 若0＜a＜1，则在区间上单调递减，最大值为a，最小值为， 有，解得或（舍）， 若a＞1，则在区间上单调递增，最大值为，最小值为a， 所以，解得或a＝0（舍）， 综合可得：或； （2）根据题意，设，， 有，即， 则与的图像关于y轴对称. 16．（24-25高一上·上海·期中）（1）已知指数函数（且在区间上的最大值与最小值之和等于，求实数的值. （2）已知幂函数的图像关于轴对称，且在上严格递减.若.求实数的取值范围. 【答案】（1）2或  （2） 【知识点】由指数（型）的单调性求参数、由幂函数的单调性求参数、由幂函数的单调性解不等式 【分析】（1）指数函数一定是单调函数，故在端点处取最大最小值，代入等式即可求得实数的值； （2）由幂函数的单调性得到指数的不等式，解出的取值范围，求出指数值，由指数函数图像的性质解不等式，从而求得的取值范围. 【详解】（1）指数函数在区间上单调， ∴， ∴或 （2）由题意可知，∴，又∵， ∴或， 当时，，为偶函数， 当时，，为偶函数， ∴，的定义域为， ∴， ∴， ∴ 17．（24-25高一上·上海闵行·期中）定义：若对定义域内任意，都有（为正常数），则称函数为“距”增函数. (1)若，，判断是否为“1距”增函数，并说明理由； (2)若，是“距”增函数，求实数的取值范围； (3)若，，其中（）为常数，如果是“2距”增函数，求实数的取值范围及的最小值. 【答案】(1)为“1距”增函数. (2). (3) 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、求绝对值不等式中参数值或范围、函数新定义 【分析】（1）根据题设中的新定义可证，故可判断为“1距”增函数. （2）根据函数新定义可得在上恒成立，根据判别式可求参数的范围； （3）根据函数新定义可得在上恒成立，分类讨论后可求参数的范围. 【详解】（1）因为，故， 故为“1距”增函数. （2）由题设可得在上恒成立即， 整理得到：在上恒成立， 若，因不成立，故舍， 故，解得. （3）因为是“2距”增函数，故， 整理得到：在上恒成立， 故恒成立且恒成立， 故且， 故. 18．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数． (1)求的解析式； (2)求当时，函数的值域． 【答案】(1)； (2) 【知识点】由奇偶性求参数、求指数型复合函数的值域 【分析】（1）利用奇函数定义及性质，列式计算求出a，b作答. （2）由（1）的结论，求出函数的解析式，结合二次函数求出值域.. 【详解】（1）由函数是上的奇函数，则有，解得，即， ，， 即，，解得，经验证得，时，是奇函数， 所以. （2）由（1）知，， 当时，，因此当时，，当时，， 所以所求值域为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$