专题04 第四章 幂函数，指数函数与对数函数（考点串讲）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（沪教版2020必修第一册）

沪教版（2020）数学高一上期末考点大串讲 串讲01第四章 幂函数，指数函数与对数函数 01 02 03 目 录 题型剖析 考点透视 押题预测 【清单01】幂函数  【清单02】指数函数 【清单03】对数函数 考点一：根据函数是幂函数求参数 【答案】0或2或4. 考点二：求与幂函数有关的值域问题 C 考点三：根据幂函数值域求参数或范围 考点三：根据幂函数值域求参数或范围 考点四：幂函数图象问题 A 考点四：幂函数图象问题 D 考点五：幂函数单调性问题 考点五：幂函数单调性问题 考点六：幂函数奇偶性与单调性 考点六：幂函数奇偶性与单调性 考点七：幂函数单调性的应用 考点七：幂函数单调性的应用 考点八：指数函数图象问题 考点八：指数函数图象问题 B 考点九：指数（型）函数值域问题 考点九：指数（型）函数值域问题 A 考点十：判断指数型复合函数的单调性 D 考点十：判断指数型复合函数的单调性 考点十一：由指数函数的单调性求参数 考点十一：由指数函数的单调性求参数 A 考点十二：由指数函数的单调性解不等式 考点十二：由指数函数的单调性解不等式 考点十三：对数函数图象问题 B 考点十三：对数函数图象问题 AC 考点十四：对数型复合函数值域问题 考点十四：对数型复合函数值域问题 考点十五：对数型复合函数的单调区间 考点十五：对数型复合函数的单调区间 考点十六：根据对数型复合函数的单调性求参数 考点十七：根据对数型复合函数的单调性解不等式 考点十七：根据对数型复合函数的单调性解不等式 考点十八：指数与对数综合问题 考点十八：指数与对数综合问题 考点十八：指数与对数综合问题 【答案】2 1、幂函数的概念 定义：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数. 2、幂函数的图象与性质 （1）三个幂函数的图象 当时，我们得到五个幂函数： ；； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）性质 ①，当时，在单调递增； ②，当时，在单调递减. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1、指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2、指数函数的图象与性质 函数的图象和性质如下表： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1、对数函数的概念 对数函数的概念 一般地，函数叫做对数函数，其中指数是自变量，定义域是. 判断一个函数是对数函数的依据 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2、对数函数的图象及其性质 函数的图象和性质如下表： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例1】（24-25高一上·上海杨浦·期中）幂函数的图像关于y轴成轴对称，且与x轴、y轴均无公共点，则m的值为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】解：由幂函数的图像与x轴、y轴均无交点， 得，解得，又， 所以. 当时，，定义域为， 即函数，其图象关于y轴对称，满足题意； 当m＝1或3时，，即， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 设，由，， 故其图象不关于y轴对称，不满足题意； 当m＝2时，，即，定义域为， 设，则， 所以是偶函数，则图象关于y轴对称，满足题意. 综上，m的值为0或2或4. 故答案为：0或2或4. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例2】（24-25高一上·陕西西安）幂函数中a的取值集合C是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】当时，定义域和值域均为，符合题意； 时，定义域为，值域为，故不合题意； 时，定义域为，值域为，符合题意； 时，定义域与值域均为R，符合题意； 时，定义域为R，值域为，不符合题意； 时，定义域与值域均为R，符合题意. 故选：C 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例3】（24-25高一·全国·课后作业）已知幂函数在上单调递增. （1）求的值； （2）当时，记的值域为集合，若集合，且，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）∵为幂函数，∴，∴或2. 当时，在上单调递增，满足题意. 当时，在上单调递减，不满足题意，舍去. ∴. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由（1）知，. ∵在上单调递增，∴. ∵，，∴，∴解得. 故实数的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式3-1】（24-25高一上·广西河池·阶段练习）已知幂函数在上单调递增，函数． (1)求实数m的值； (2)当时，设的值域分别为A，B，若，求实数k的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）∵为幂函数，∴， 解得或， 当时，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， ∴； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由（1）得，∴时，， ∵为上的减函数， ∴当时，， ∵，∴， ∴解得， 实数k的取值范围是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例4】（24-25高一上·上海·期中）如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】当时，幂函数在上单调递增， 当时，幂函数在上单调递减， 并且在直线的右侧，图象自下而上所对应的函数的幂指数依次增大， 所以，所以. 故选：A 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式4-1】（24-25高一上·上海浦东新）幂函数，及直线，将直角坐标系第一象限分成八个“卦限”：Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ（如图所示），那么幂函数的图像在第一象限中经过的“卦限”是（   ） A．Ⅳ和Ⅶ B．Ⅳ和Ⅷ C．Ⅲ和Ⅷ D．Ⅲ和Ⅶ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】在直线左侧,幂函数的指数越大月接近轴.因为,所以在左侧部分位于的右侧,即Ⅲ 内; 在直线右侧,幂函数的指数越小越接近轴,因为,所以在右侧部分位于的下方侧,即Ⅶ 内; 综上可知, 函数的图像在第一象限中经过的“卦限”是Ⅲ 和Ⅶ 故选:D 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例5】（23-24高一上·上海·期末）已知幂函数在区间上是严格增函数，则 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为幂函数在区间上是严格增函数， 所以，解得.故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式5-1】（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为函数在上是严格增函数， 故，可得：，解得：. 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例6】（23-24高三上·上海浦东新·期中）已知，若幂函数为奇函数，且在上严格单调递减，则 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】或 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由幂函数的性质知，，在第一象限内，当时，函数单调递减，当为奇数时，函数为奇函数， 所以当或时，幂函数在上单调递减，且为奇函数. 故答案为：或 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式6-1】（23-24高一上·新疆·期中）已知幂函数在上单调递减. (1)求m的值； (2)若，求a的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）解：由幂函数的定义可得，即，解得或. 因为在上单调递减，所以，即， 则. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）设，是R上的增函数. 由（1）可知，即， 则，解得， 即a的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例7】（24-25高一上·上海长宁）已知幂函数的图象关于轴对称，且在区间上是严格增函数． (1)求的值； (2)求满足不等式的实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）解：因为幂函数在区间上是严格增函数， 所以，解得， 又因为，所以或或， 当或时，为奇函数，图象关于原点对称（舍）； 当时，为偶函数，图象关于轴对称，符合题意； 综上所述，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）解：由（1）得为偶函数，且在区间上是严格增函数， 则由得， 即，即，解得， 所以满足的实数的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式7-1】（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知幂函数为偶函数，且在上单调递减． (1)求m和k的值； (2)求满足的实数a的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由函数为幂函数， 则，解得或； 由在上单调递减， 得，解得，而，故或2， 当时，，定义域为，且为偶函数，符合题意； 当时，，定义域为，函数为奇函数，不符合题意； 故，或； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）结合（1）可知，即为， 故或或， 解得或或， 故实数a的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例8】（24-25高一上·上海·随堂练习）在图中画出函数的图像，说明函数的图像与图像的关系. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 函数的图像向左平移1个单位，然后向下平移1个单位即为函数的图像. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式8-1】（23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）函数的图象大致为（    ） A． B．   C．   D．   试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为，易知，故选项A和C错误； 令，，因为是定义域上的增函数， 又在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以选项B正确，选项D错误， 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例9】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）函数的值域为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】函数的定义域为R. 因为， 令，则. 又函数在上单调递增， 所以在上，有恒成立. 所以函数的值域为. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式9-1】（24-25高一上·辽宁丹东）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】依题意， 令，则， 因为单调递减，且 所以， 所以. 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例10】（24-25高一上·山东德州·阶段练习）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为在R上单调递减， 由复合函数单调性可知，只需求出的单调递减区间， 其中单调递减区间为， 故的单调递增区间是. 故选：D 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式10-1】（23-24高一上·上海·阶段练习）函数的单调递增区间是 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】（或） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】函数的定义域为，内层函数的增区间为，减区间为， 外层函数在上为减函数， 由复合函数法可知，函数的单调递增区间为. 故答案为：（或）. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例11】（24-25高一上·全国·课后作业）若函数在区间上是严格减函数，求实数m的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由复合函数的同增异减性质可得，在上严格单调递增，即，解得 ． 所以m的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式11-1】（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】令，则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 因为外层函数为上的减函数，函数在区间上单调递减， 所以，函数在上为增函数，所以，，解得. 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例12】（2024高一·上海·专题练习）不等式的解集为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】函数在R上单调递增，则， 即，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式12-1】（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）不等式与不等式是同解不等式，则 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为在上单调递增， 则，即， 即，解得， 因为也是的解， 所以，解得， 此时，即，解得，满足题意， 故故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例13】（23-24高一上·海南海口·阶段练习）函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】，当或时，，，排除AD， 当时，，，排除C， 故选：B． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式13-1】（多选）（23-24高一上·全国·期末）已知函数与的图象关于坐标原点对称，则函数与的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】在函数的图象上任取点，则点在的图象上， 即，于是对任意成立，则， 当时，函数是R上的减函数，，则是上的增函数，C符合，D不符合； 当时，函数是R上的增函数，，则是上的减函数，A符合，B不符合. 故选：AC 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例14】（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）已知函数，则的值域是 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】令，则， 则，可得， 已知单调递减，所以， 则的值域为. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式14-1】（23-24高三上·北京西城·期末）已知函数，则的定义域是 ；的最小值是 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由函数有意义，则满足，解得， 所以函数的定义域为， 又由， 令，可得 令， 因为，当且仅当时，即时，即时取等号， 所以，所以，所以函数的最小值为. 故答案为：；. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例15】（24-25高三上·甘肃酒泉·阶段练习）函数的单调增区间 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由得或． 又，对称轴为， 所以当时，关于为减函数，当时，关于为增函数． 又为上的减函数， 所以时，原函数单调递增； 时，原函数单调递减． 故函数的单调增区间为． 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式15-1】（24-25高三上·四川成都·开学考试）函数的单调递增区间为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由，或， 二次函数的对称轴为， 因为函数是正实数集上的增函数， 所以当函数单调递增时，则有， 所以函数的单调递增区间为， 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例16】（23-24高一上·浙江丽水·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】令，对称轴为， ∵函数在区间上单调递增，在上单调递增， ∴在上单调递增，且， ∴且，即且，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例17】（2024高三上·全国·专题练习）已知函数，则不等式的解集为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】函数的定义域满足，解得， 由， 所以， 解得， 故不等式的解集为.故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式17-1】（23-24高三上·河北邢台·开学考试）已知函数，则的解集是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】则，由可得， 解得. 又，即，故， 化简可得，解得. 综上可得. 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例18】（24-25高三上·上海·期中）已知函数. (1)当时，解不等式； (2)若函数的最大值是，求的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由题意，则，可得，即； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）令，而在定义域内单调性递增， 所以，最大值是，则只需，令， 所以在上最大值为， 根据二次函数性质有，则函数的图象开口向下，对称轴为， 所以，则， 整理得，可得或（舍）. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式18-1】（24-25高一上·上海·期中）已知， 函数 (1)当时，解不等式 (2)设 是该函数图像上任意不同的两点，且满足点 P在点Q的左侧，求证：点P在点Q的上方. (3)设，若对任意的， 在区间上的最大值与最小值的和不大于. 求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）解：当 时, , 则 ，, 解得 ， 不等式的解集为 ； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2） 在 上单调递减, 函数 在定义域内单调递减, 所以当点 P在点Q的左侧时，点P在点Q的上方； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式18-1】（24-25高一上·上海·期中）已知， 函数 (1)当时，解不等式 (2)设 是该函数图像上任意不同的两点，且满足点 P在点Q的左侧，求证：点P在点Q的上方. (3)设，若对任意的， 在区间上的最大值与最小值的和不大于. 求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）由（2）知：函数 在定义域内单调递减， 函数 在区间 上的最大值为： , 最小值为， ， 即 ， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 令 ， 则，即 在 上单调递增, 解得 ， 实数的取值范围时 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1．（24-25高三上·上海宝山·期中）已知是奇函数，时，则不等式的解集为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】设，则，所以， 又为奇函数，所以， 所以， 不等式，即或， 解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2．（2024·上海普陀·模拟预测）函数，且的图像恒过定点A，若点A在直线上，其中，，则的最小值为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为，所以函数且的图象恒过定点， 即， 又点A在直线上，故， 又，所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为2. 故答案为：2. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 3．（24-25高一上·上海·期中）设（），记函数在区间（）上的最大值为，若对任意，都有，则实数t的取值范围为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为，则，在内单调递增， 则在内单调递增， 又因为在区间上的最大值为， 可得或， 由题意可知：或， 则或， 整理得或， 即关于的不等式或的解集为， 可知， 整理得，则， 故， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 4．（24-25高一上·上海徐汇·期中）设不等式的解集为M，设函数 （且）与x轴有两个交点时实数的取值集合为N，则 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由，得， 解得，从而． 设函数)和函数， 则函数（且）与x轴有两个交点，就是函数)的图象与函数的图象有两个交点． 当时，如图，由图可知，两函数图象只有一个交点，不符合题意； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 当时，如图，因为函数的图象过点，而直线与y轴的交点一定在点的上方，所以两图象一定有两个交点． 综上，实数a的取值范围是，从而． 则． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 5．（24-25高一上·上海·期中）（1）已知指数函数（且在区间上的最大值与最小值之和等于，求实数的值. （2）已知幂函数的图像关于轴对称，且在上严格递减.若.求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）指数函数在区间上单调， ∴， ∴或 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由题意可知，∴，又∵， ∴或， 当时，，为偶函数， 当时，，为偶函数， ∴，的定义域为， ∴， ∴， ∴ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 6．（24-25高一上·上海闵行·期中）定义：若对定义域内任意，都有（为正常数），则称函数为“距”增函数. (1)若，，判断是否为“1距”增函数，并说明理由； (2)若，是“距”增函数，求实数的取值范围； (3)若，，其中（）为常数，如果是“2距”增函数，求实数的取值范围及的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）因为，故， 故为“1距”增函数. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由题设可得在上恒成立即， 整理得到：在上恒成立， 若，因不成立，故舍， 故，解得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）因为是“2距”增函数，故， 整理得到：在上恒成立， 故恒成立且恒成立， 故且， 故. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $$