高一数学上学期期末考前必刷押题卷02（人教A版2019必修一全册 提高卷）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（人教A版2019必修第一册）

高一数学上学期期末考前必刷押题卷02（范围：必修一全册 提高卷） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．集合的另一种表示法是（   ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．若，则=（   ） A． B．5 C． D． 4．已知，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．已知函数（且），若有最小值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．若关于的不等式在当时恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．定义域在上的奇函数.若存在，使得成立，则实数k的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 8．对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”.若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，则（    ） A． B．的最小正周期为 C．的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象 D．的单调递增区间为 10．设的定义域为，对任意，都有，且当时，，又.则（    ） A． B．在上为增函数； C． D．解集为或 11．已知函数，若函数有四个零点，从小到大依次为，，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为4 C． D．方程最多有10个不同的实根 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知集合满足，则符合条件的集合有 个. 13．已知函数对任意满足，则 . 14．甲说：在上单调递减，乙说：存在实数使得在成立，若甲、乙两人至少有一人说的话是对的，则的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值，并求集合； (2)若中至少有一个元素，求的取值范围． 16．（15分） 已知函数. (1)证明：函数是奇函数； (2)用定义证明：函数在上是增函数. 17．（15分） 在国家大力发展新能源汽车产业政策影响下，我国新能源汽车的产销量高速增长，某地区2021年底新能源汽车保有量为1500辆，2022年底新能源汽车保有量为2250辆，2023年底新能源汽车保有量为3375辆． (1)设从2021年底起经过年后新能源汽车保有量为辆，根据以上数据，试从且和且两种函数模型中选择一个最恰当的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势，并说明理由，求出新能源汽车保有量关于的函数关系式； (2)2021年底该地区传统能源汽车保有量为50000辆，且传统能源汽车保有量每年下降，若每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量．（参考数据：） 18．（17分） 已知函数． (1)若，求a的取值范围； (2)若在上存在零点，求实数m的取值范围． 19．（17分） 定义域为的函数满足：对任意，都有，则称具有性质. (1)分别判断以下两个函数是否具有性质：和； (2)函数，判断是否存在实数，，使具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由； (3)在（2）结论下，若方程（为常数）在区间上恰有三个实数根，，，求的值. 1 / 25 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学上学期期末考前必刷押题卷02（范围：必修一全册 提高卷） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．集合的另一种表示法是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合 【分析】把描述法改写为列举法，由描述法所表示集合中的元素，在集合中列举出元素即可． 【详解】集合是用描述法来表示的，用另一种方法来表示就是用列举法， 所以. 故选：B. 2．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】具体函数的定义域 【分析】利用函数有意义，列出不等式求解得定义域. 【详解】函数有意义，则，解得且， 所以原不等式的定义域为. 故选：C 3．若，则=（   ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】根据给定条件，利用齐次式法列式求出. 【详解】由，得，所以. 故选：B 4．已知，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】由，利用基本不等式求解. 【详解】解：因为， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：A 5．已知函数（且），若有最小值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断指数函数的单调性、根据指数函数的最值求参数、根据分段函数的单调性求参数 【分析】对分类讨论，利用的不同取值范围，结合分段函数的单调性，分析函数的最小值情况，即可求得实数的取值范围． 【详解】， 当时，， 若，当时，为减函数，此时， 当时，为增函数，且此时，要使有最小值， 则，即，，则； 若，当时为减函数，此时， 当时，为减函数，且，要使有最小值， 则，即，则． 综上所述，或． 实数的取值范围是． 故选：D． 6．若关于的不等式在当时恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数不等式恒成立问题 【分析】将问题转化为一次函数在区间上的函数值恒大于，由此求解出结果. 【详解】因为， 所以关于的一次函数在时恒有， 所以只需在时都有即可，所以，解得， 所以的取值范围是， 故选：A. 7．定义域在上的奇函数.若存在，使得成立，则实数k的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、辅助角公式、根据函数的单调性解不等式 【分析】由得，由指数函数的性质可得在上为减函数，利用函数奇偶性转化不等式，结合函数单调性可解决问题. 【详解】∵是定义域在R上的奇函数， ∴，解得，检验得时，是奇函数， ∴， 由指数函数的性质可得在R上为减函数. 由得， ∴，即存在，使得， 记，，则， ， ∵，∴， ∴，∴， ∴，即实数k的取值范围为. 故选：D. 8．对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“隐对称点”.若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由奇偶性求函数解析式、根据二次函数零点的分布求参数的范围、基本不等式求和的最小值、函数新定义 【分析】由隐对称点的定义可知函数的图象上存在关于原点对称的点，由函数奇偶性的定义可将问题转化为方程的零点问题，再结合基本不等式即可求解. 【详解】由隐对称点的定义可知函数的图象上存在关于原点对称的点， 设的图象与函数的图象关于原点对称， 令，则，所以， 所以， 因为，又， 所以函数的图象存在“隐对称点”等价于与在上有交点，即方程有零点，则， 又， 当且仅当，即等号成立， 所以. 故选：. 【点睛】关键点点睛：本题的突破口是理解“隐对称点”的定义，将问题转化为与在上有交点的问题，从而求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，则（    ） A． B．的最小正周期为 C．的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象 D．的单调递增区间为 【答案】BCD 【知识点】求正切型三角函数的单调性、求正切（型）函数的周期、求图象变化前（后）的解析式 【分析】由题设知周期，得的值，求出函数的解析式，由正切函数的图象性质逐项判断即可. 【详解】对于A、B，因为函数的图象相邻两个对称中心之间的距离为， 则该函数的最小正周期为，所以，，故A错误，B正确； 对于C，，的图象向左平移个单位长度后得到 函数的图象，故C正确； 对于D，由，可得， 所以的单调递增区间为，D正确. 故选：BCD. 10．设的定义域为，对任意，都有，且当时，，又.则（    ） A． B．在上为增函数； C． D．解集为或 【答案】ACD 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】对于A，用赋值法即可求值；对于B，根据增函数的定义证明即可；对于C，对条件进行适当变形即可得结论；对于D，对不等式进行变形，利用单调性即可求解不等式. 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于B，令，则，，即， 所以函数为减函数，故B错误； 对于C，，即，故C正确； 对于D，由得到，所以， 于是，解得或，故D正确. 故选：ACD. 11．已知函数，若函数有四个零点，从小到大依次为，，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为4 C． D．方程最多有10个不同的实根 【答案】ACD 【知识点】对数的运算性质的应用、根据指对幂函数零点的分布求参数范围、基本不等式求和的最小值、由指数函数的单调性解不等式 【分析】根据题意结合图象分析可知，且可判断A；根据对数函数性质结合基本不等式可判断B；根据指数函数性质结合基本不等式可判断C；设，则方程化为，讨论的取值范围，结合图象分析可判断D. 【详解】令，则， 可知函数的零点即为函数与图象的交点的横坐标， 如图，作出函数的图象， 则， 对于A，由函数有四个零点知，函数与的图象有四个交点， 所以，故A正确； 对于B，因为，即， 且，则， 可得， 即，整理得， 即，解得， 当且仅当时等号成立，因为，所以，故B错误； 对于C，因为，即， 且，则，， 可得， 整理得， 即，所以， 当且仅当时等号成立，因为，所以，故C正确； 对于D，方程，即， 令，则，注意到， ①若，则方程无实根，即方程无实根， 故方程无实根； ②若，则方程有2个不相等的实根和， 且有2个不相等的实根； 有3个不相等的实根； 故方程有5个不相等的实根； ③若， 则方程有4个不相等的实根， 且无实根； 有4个不相等的实根； 或均有3个不相等的实根； 故方程有10个不相等的实根； ④若， 则方程有4个不相等的实根， 且无实根；或或均有3个不相等的实根； 故方程有9个不相等的实根； ⑤若，则方程有3个不相等的实根， 且无实根；或均有3个不相等的实根； 故方程有6个不相等的实根； 综上所述：方程最多有10个不同的实根，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：应用函数思想确定方程解的个数的两种方法： （1）转化为两个熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式（方程）求解； （2）分离参数、转化为求函数的值域问题求解. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知集合满足，则符合条件的集合有 个. 【答案】7 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】由子集及真子集的概念，可转化为求集合真子集的个数即可得解. 【详解】因为， 所以中含有元素， 故符合条件的集合个数相当于求集合的真子集个数， 故有个， 故答案为：7 13．已知函数对任意满足，则 . 【答案】 【知识点】已知函数类型求解析式、函数方程组法求解析式 【分析】采用方程组法消去，得出的解析式即可. 【详解】因为，以代替得： ， 得：. 故答案为：. 14．甲说：在上单调递减，乙说：存在实数使得在成立，若甲、乙两人至少有一人说的话是对的，则的取值范围是 【答案】 【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算、根据函数的单调性求参数值、由对数（型）的单调性求参数 【分析】若甲对，根据对数型函数单调性求得；若乙对，分析可得，，结合函数单调性可得；取反面，结合集合间的运算求解即可. 【详解】若甲对，则在上单调递减，且在上恒成立， 则，解得， 若乙对，由，，可得，， 因为在内单调递减，在内单调递增， 且，可知在内的最大值为， 可得，解得； 若甲、乙说的均不对，且或与的交集为， 若甲、乙两人至少有一人说的话是对的，则的取值范围. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：取“甲、乙两人至少有一人说的话是对的”的对立面“甲、乙说的均不对”，把问题转化为集合间的运算求解即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值，并求集合； (2)若中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1)的值为或者，当时，；当时， (2) 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）分和两种情况讨论，当时，解出即可； （2）方程无解时，且，解出不等式，结合（1）中的结论，即可求得. 【详解】（1）当，集合， 当时，，解得，此时， 综上可知，的值为或者，当时，；当时，. （2）当集合中有两个元素时，方程有两个不相等的实数根， 则且，解得且， 又当中只有一个元素时，或， 故中至少有一个元素时，的范围为， 所以的取值范围为. 16．（15分） 已知函数. (1)证明：函数是奇函数； (2)用定义证明：函数在上是增函数. 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】（1）根据奇函数的定义证明即可； （2）根据增函数的定义证明即可. 【详解】（1）由函数,可得其定义域为R，关于原点对称, 又由, 所以函数为定义域R上的奇函数. （2）当时,, 任取,且, 可得 因为,且，可得, 所以，即. 所以函数在上是增函数. 17．（15分） 在国家大力发展新能源汽车产业政策影响下，我国新能源汽车的产销量高速增长，某地区2021年底新能源汽车保有量为1500辆，2022年底新能源汽车保有量为2250辆，2023年底新能源汽车保有量为3375辆． (1)设从2021年底起经过年后新能源汽车保有量为辆，根据以上数据，试从且和且两种函数模型中选择一个最恰当的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势，并说明理由，求出新能源汽车保有量关于的函数关系式； (2)2021年底该地区传统能源汽车保有量为50000辆，且传统能源汽车保有量每年下降，若每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量．（参考数据：） 【答案】(1)应选函数模型是且，理由见解析， (2)2030年底 【知识点】已知函数类型求解析式、对数的运算、对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】（1）由于新能源汽车保有量每年增长得越来越快，所以应该选择指数模型，然后将和代入函数中可求出，从而可求得关于的函数关系式； （2）设从2021年底起经过年后传统能源汽车保有量为辆，则有，由题意得，化简后两边取对数可求得结果. 【详解】（1）由于新能源汽车保有量每年增长得越来越快， 因此应该选择指数模型，应选函数模型是且， 由题意得，解得， 所以． （2）设从2021年底起经过年后传统能源汽车保有量为辆，则有， 令， 即， 化简得， 解得， 故从2021年底起经过9年后，即2030年底新能源汽车的保有量将超过传统能源汽车的保有量． 18．（17分） 已知函数． (1)若，求a的取值范围； (2)若在上存在零点，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据零点求函数解析式中的参数、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）将问题转化为方程在上有解，令，进而利用二次函数的性质求解即可； （2）分析易得，将问题转化为在上有解，令，进而利用对勾函数性质求解即可. 【详解】（1）由，，， 得，则，即， 则问题转化为方程在上有解， 令，则， 因为函数在上单调递增，且， 所以要使方程在上有解， 则，解得且， 所以a的取值范围为. （2）， 令，即， 当时，方程为，解得，不符合题意， 则，若，则，此时方程显然不成立， 则，整理方程为， 又， 设， 令，则， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 且，，， 所以，则，又， 解得. 19．（17分） 定义域为的函数满足：对任意，都有，则称具有性质. (1)分别判断以下两个函数是否具有性质：和； (2)函数，判断是否存在实数，，使具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由； (3)在（2）结论下，若方程（为常数）在区间上恰有三个实数根，，，求的值. 【答案】(1)函数不具有性质；函数具有性质 (2)存在，， (3) 【知识点】正弦函数图象的应用、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角函数新定义 【分析】（1）根据函数具有“性质”的定义，即可判断； （2）根据函数具有“性质”，可知，可求，再讨论是否为0，即可求； （3）根据（2）可将方程转化为，再换元，结合正弦函数图象的对称性，即可求解. 【详解】（1），， 故， 则函数不具有性质； ，， 故， 则函数具有性质； （2）若具有性质，则， 则，因为，所以， 则， 由得：， 若，则存在，使得， 而，上式不成立， 故，即，因为， 所以，则， 即，则， 验证：当，时，， 则对任意，， ， 等式成立， 故存在，，使函数具有性质； （3）由（2）知，，， 令，由题知，在区间上恰有三个实数根，，， 由函数的图象知：，， 则， 故， 化简得， 则. 【点睛】关键点点睛：本题前2问的关键是理解函数具有“性质”的定义，以及应用，第三问的关键是利用换元转化为的图象的应用问题. 1 / 25 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$