专题03 轴对称图形（9大经典基础题+5大优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（广西专用）

专题03 轴对称图形 轴对称图形的识别 1．（23-24八年级上·广西·期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查轴对称图形，轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的定义，依次判断即可． 【详解】解：B、C、D选项中的图形分别沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形；而选项A中的图形不是轴对称图形． 故选： A． 2．（23-24八年级上·广西玉林·期末）下列图形不属于轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，根据此定义进行分析即可． 【详解】解：选项D的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项A、B、C的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 3．（23-24八年级上·广西南宁·期末）很多学校设计校微时，会融入数学元素，下列校徽的图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：C． 点坐标关于坐标轴的对称 4．（23-24八年级上·广西·期末）点关于x轴对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系点的对称性质：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可解答本题． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标为 故选：D． 5．（23-24八年级上·广西崇左·期末）在平面直角坐标系中，已知点和关于轴对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了关于轴对称对称的点的坐标，关键是掌握关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 根据关于轴对称的点的坐标特点可得的值，然后可得答案． 【详解】解：∵点和关于轴对称， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 6．（23-24八年级上·广西柳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知． (1)作出关于直线l（直线l上各点的纵坐标都是1）对称的图形，并写出，，的坐标．（　 　，　 　）；（ 　 　，　 　）；（ 　 　，　 　）． (2)在直线l上找一点P，使得的长度最小（只要作出图形即可）； (3)若中有一点，写出点Q在中对应点的坐标是（ 　 　，　 　）． 【答案】(1)1，；2，0；3，； (2)见解析 (3)x， 【分析】本题考查了作图﹣轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）．也考查了最短路径问题． （1）利用网格特点和轴对称的性质画出点A、B、C的对应点，，，然后写出，，的坐标； （2）连接交直线l于点P，利用两点之间线段最短可判断P点满足条件； （3）Q点到直线l的距离为，则点到直线l的距离也为，从而得到点的坐标为． 【详解】（1）如图，为所作，，，； （2）如图，点P为所作； （3）点Q（x，y）在中对应点的坐标是． 折叠的性质 7．（23-24八年级上·广西·期末）如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角．要得到一个正方形，剪口与折痕所成角的大小为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】B 【分析】根据翻折变换的性质及正方形的判定进行分析从而得到最后答案． 【详解】解：剪口与折痕所成锐角α为45°就可以得到一个正方形． 根据题目中的折叠方法，我们可知剪下的是一个四边相等的四边形，可以说一定是个菱形， 菱形里只要有一个角是90°就是正方形． 展开四边形后的角为：2α＝90°，即α＝45°． 故选：B． 【点睛】本题考查了剪纸问题、通过折叠变换考查正方形的有关知识及学生的逻辑思维能力，解答此类题最好动手操作，易得出答案． 8．（23-24八年级上·广西·期末）如图，AD是△ABC的角平分线，∠C=28°，AB+BD=AC、将△ABD沿AD所在直线翻折，点B在AC边上的落点记为点E，那么∠AED的度数为（   ） A．28° B．50° C．56° D．65° 【答案】C 【分析】根据折叠的性质可得BD=DE，AB=AE，然后根据AC=AE+EC，AB+BD=AC证得DE=EC，再根据等边对等角以及三角形的外角的性质求解． 【详解】解：根据折叠的性质可得BD=DE，AB=AE．   ∵AB+BD=AC，AC=AE+EC， ∴AB+BD=AE+EC， ∴DE=EC， ∴∠EDC=∠C=， ∴． 故选：． 【点睛】本题考查了折叠的性质以及等腰三角形的性质、三角形的外角的性质，证明DE=EC是本题的关键． 9．（23-24八年级上·广西南宁·期末）探究与证明： 我们知道，在一个三角形中，相等的边所对的角相等、那么，不相等的边所对的角之间的大小关系是怎样呢？ 【观察猜想】（1）如图1，在中，．猜想与的大小关系； 【操作证明】（2）如图2，将折叠，使边落在上，点C落在上的D点，折线交于点E，连接．发现，由，可得，…… 请证明（1）中所猜想的结论： 【类比探究】（3）如图3，在中，．小邕同学运用类似的操作进行探究：将折叠，使点B与点C重合，折线交于点F，交于点G，连接． 请证明：． 【答案】（1） （2）理由详见解析 （3）理由详见解析 【分析】（）由图形可猜想； （）利用三角形的外角的性质，即可得出结论； （）先由折叠得出，再利用三角形外角的性质，即可得出结论； 本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，灵活运用这些性质是解题的关键． 【详解】（）猜想：； （）证明：由折叠可得，，， ∵， ∴， ∴； （）证明：由折叠知，， 在中，， ∴， ∴． 垂直平分线的性质 10．（23-24八年级上·广西北海·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求角度，涉及等腰三角形性质、三角形内角和定理、中垂线性质等知识，根据，得到，再由三角形内角和得到，再由中垂线性质结合等腰三角形性质得到，熟练掌握等腰三角形性质是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 在中，， ， 的垂直平分线交于点，交于点， ， ， ， 故选：B． 11．（23-24八年级上·广西崇左·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，若，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质得到．由线段垂直平分线的性质得到，因此的周长． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴的周长． 故选：C． 12．（23-24八年级上·广西·期末）如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线交边AB于点D，连结CD．若∠A＝50°，则∠BDC的大小为（　　）    A．90° B．100° C．120° D．130° 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，根据等腰三角形的性质得到∠DCA=∠A，根据三角形的外角的性质计算即可． 【详解】∵DE是线段AC的垂直平分线， ∴DA=DC， ∴∠DCA=∠A=50， ∴∠BDC=∠DCA+∠A=100， 故答案选：B. 【点睛】本题考查的知识点是线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握线段垂直平分线的性质. 13．（23-24八年级上·广西·期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，分别交AB，AC于点E，D． （1）若∠ADE＝40°，求∠DBC的度数； （2）若BC＝6，△CDB的周长为15，求AB的长． 【答案】（1）∠DBC＝15°；（2）AB＝9． 【分析】（1）由DE垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质，可得∠AED＝∠BED＝90°，DA＝DB，又由∠ADE＝40°，即可求得∠ABD的度数，又由AB＝AC，即可求得∠ABC的度数，继而求得答案； （2）由已知条件，运用线段垂直平分线定理得到AD＝CD，结合BC＝6，△CDB的周长为15，求AB即可 【详解】解：（1）∵DE垂直平分AB， ∴∠AED＝∠BED＝90°，DA＝DB， ∵∠ADE＝40°， ∴∠A＝∠ABD＝50°， 又∵AB＝AC， ∴∠ABC＝（180°﹣50°）÷2＝65°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝65°﹣50°＝15°； （2）∵DE垂直且平分AC， ∴AD＝CD， △BDC的周长＝BC+BD+CD＝15， 又∵BC＝6， ∴AB＝AC＝9． 【点睛】考核知识点：线段垂直平分线.理解线段垂直平分线性质是关键. 14．（23-24八年级上·广西防城港·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接． (1)求证：是的角平分线： (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由线段垂直平分线的性质得，从而求得，由三角形内角和求得，即可得出结论． （2）先根据角夹发线的性质得，再由直角三角形的性质得，即可由求解． 【详解】（1）证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的角平分线； （2）解：∵是的垂直平分线，，是的角平分线，， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 作图-垂直平分线 15．（23-24八年级上·广西来宾·期末）如图，在中，，是的一个外角．    【实践操作】 根据要求进行尺规作图，并在图中标明相应字母．（保留作图痕迹，不要求写出作法．） （1）作的平分线； （2）作线段的垂直平分线，与交于点，与交于点，连接，； 【探究计算】 （3）若，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）本题以为圆心，任意长为半径画弧，交、于一点，分别以这两点为圆心，大于这两点间距离的为半径画弧，连接点与两弧的交点，即为的平分线． （2）本题分别以、两点为圆心，大于 长为半径画弧，连接弧的交点，即为线段的垂直平分线，再依次连接题干要求的线段，即可解题． （3）本题根据垂直平分线性质、等腰三角形性质、三角形外角性质、角平分线性质，证明，然后利用平角的定义计算出，从而得到的度数． 【详解】解：（1）如图，为所求作的平分线．    （2）如图，为所求作的垂直平分线    （3）解：， ， 平分， ，而， ， 垂直平分， ， ． ， ， ． 【点睛】本题考查角平分线的尺规作图、垂直平分线的尺规作图、垂直平分线性质、三角形外角性质、等腰三角形性质、角平分线性质，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质． 16．（23-24八年级上·广西·期末）如图，在中．    (1)实践与操作：作的垂直平分线，交于D，交于E； （要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)推理与计算：在（1）的条件下，连接，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）分别以A、B为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于两点，连接这两点，交于D，交于E； （2）根据垂直平分线的性质得出，根据等边对等角得出，再根据三角形内角和定理得出，进一步求解即可． 【详解】（1）解：    如图，为所求作的垂直平分线； （2） 解：    ∵ 是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，尺规作图—垂直平分线，掌握这些知识点是解题的关键． 17．（23-24八年级上·广西·期末）如图，在中，，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：． 【答案】(1)图见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用尺规作垂线的方法，进行作图即可； （2）连接，易得，根据等边对等角，推出，，进而得到，利用含度角的直角三角形的性质，即可得证． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵在中，，， ∴， 连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查尺规作垂线，中垂线的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 等腰三角形的性质 18．（23-24八年级上·广西玉林·期末）如图，在中，，，交于点D，，则的长是（    ） A．10 B．12 C．16 D．18 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，直角三角形的性质．利用等腰三角形性质，直角三角形的性质求线段长． 【详解】解：，， ， 交于点，， ， ， ， ， 在中，， ， ． 故选：D． 19．（23-24八年级上·广西崇左·期末）等腰三角形的一个外角是，则它底角的度数是（　　）度． A． B．或 C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，关键是要分两种情况讨论． 如果等腰三角形底角的一个外角是，由邻补角的性质求出它底角的度数是；如果等腰三角形顶角的外角是，由三角形外角的性质求出它底角的度数是，于是得到它底角的度数是或． 【详解】解：如果等腰三角形底角的一个外角是， ∴它底角的度数是； 如果等腰三角形顶角的外角是， ∴它底角的度数是， ∴等腰三角形底角的度数是或． 故选：C． 20．（23-24八年级上·广西北海·期末）已知一个等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】此题考查了等腰三角形的性质与三角形三边关系．此题难度不大，解题的关键是注意分类讨论思想的应用，小心别漏解． 由等腰三角形两边长为3、5，分别从等腰三角形的腰长为3或5去分析即可求得答案，注意分析能否组成三角形． 【详解】解：若等腰三角形的腰长为，底边长为， ， 能组成三角形， 它的周长是：； 若等腰三角形的腰长为，底边长为， ， 能组成三角形， 它的周长是：， 综上所述，它的周长是：或． 故选：C． 21．（23-24八年级上·广西·期末）如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点．若，则 度． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图可知：， ∴， ∴， 由作图可知：平分， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查基本作图、角平分线的定义、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握基本作图及等腰三角形的性质． 22．（23-24八年级上·广西崇左·期末）如图，在中，，延长至D，使，延长至E使，则 ． 【答案】/115度 【分析】此题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理和三角形外角的性质．由，，据三角形外角性质可得；同理可得；再由三角形内角和定理，即可得的度数． 【详解】解：∵，， ∴； 同理可得； ∴， 故答案为：． 23．（23-24八年级上·广西来宾·期末）如图，在中，，，为的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿的路线运动到点停止．设运动时间为，过点、两点的直线将的周长分成两个部分，若其中一部分是另一部分的2倍，则此时的值为 ． 【答案】5或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，一元一次方程的应用．熟练掌握等腰三角形的性质，一元一次方程的应用是解题的关键． 由题意知，，，分当在上两种情况求解即可；①当在上，则，即，计算求解即可；②当在上，则，即，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 分当在上两种情况求解； ①当在上，则，即， 解得，； ②当在上，则，即， 解得，； 综上所述，或， 故答案为：5或． 24．（23-24八年级上·广西·期末）如图，△ABC的面积为4cm2，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△PBC的面积为 cm2 【答案】2 【分析】由平分，，可推出，进一步知道，（等底等高），又由得到答案． 【详解】解：如下图： 延长交于， ∵平分，， ∴， ∴，， ∴． 故答案：2 【点睛】本题考查三角形中线的性质，三角形三线合一，根据相关定理解题是关键． 25．（23-24八年级上·广西南宁·期末）综合与实践： 初步认识筝形后，实践小组动手制作了一个“筝形功能器”，如图，在笔形中，． (1)【操作应用】如图1，将“筝形功能器”上的点与的顶点重合，分别放置在角的两边上，并过点画射线，求证：是的平分线； (2)【实践拓展】实践小组尝试使用“筝形功能器”检测教室门框是否水平．如图2，在仪器上的点处栓一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，仪器上的点紧贴门框上方，观察发现线绳恰好经过点，即判断门框是水平的．实践小组的判断对吗？请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）实践小组的判断对，理由见解答． 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质； （1）证明，得，即可解决问题； （2）根据等腰三角形的三线合一可得，进而可以解决问题． 【详解】（1）证明：在和中， ， ， ， 是的平分线； （2）解：实践小组的判断对，理由如下： 是等腰三角形，， 由（1）知：平分， ， 是铅锤线， 是水平的． 门框是水平的． 实践小组的判断对． 等腰三角形的性质与判定 26．（23-24八年级上·广西·期末）如图，在中，，点D、E、F分别在边上，且．    (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质： （1）根据等边对等角可得，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据等腰三角形的定义证明即可； （2）根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 等边三角形的性质 27．（23-24八年级上·广西百色·期末）如图，已知，点，，…在射线上，点，，…在射线上，，，…均为等边三角形，若，则的边长为（    ） A．2022 B．2023 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、三角形的外角性质，等腰三角形的判定及其性质，总结出规律是解题的关键．根据等边三角形的性质得到，根据三角形的外角性质求出，得到，根据等腰三角形的判定定理得到，然后找到规律即可得解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ……， ∴的边长为． 故选：C． 28．（23-24八年级上·广西贵港·期末）如图，已知，在射线上分别取点，使，连接，在上分别取点，使，连接，按此规律下去，记，，，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，设，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出，同理求得，，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设，则，， ， 设，则，， 由得：， ， 同理可得：， 故答案为：． 29．（23-24八年级上·广西梧州·期末）如图，在一个池塘两旁有一条笔直的小路（B，C为小路的两端点）和一棵小树（A为小树位置），测得相关数据为，，，则 m．    【答案】50 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质； 证明是等边三角形，根据等边三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：50． 30．（23-24八年级上·广西南宁·期末）如图，等边三角形中，是上的高，，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三线合一．根据，得出，根据是上的高，得出即可． 【详解】解：∵三角形为等边三角形， ∴， ∵是上的高， ∴． 故答案为：1． 31．（23-24八年级上·广西玉林·期末）在中，，，，且E为边的中点，连接，以为边向上作等边三角形，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，含度角的性质，全等三角形的判定和性质等知识，如图, 延长到点,使得,连接，证明, 推出, 可得结论，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【详解】解：如图, 延长到点,使得,连接， ∵ ∴, ∴ ∴ ∴是等边三角形, ∵ ∴ 在和中, ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， 故答案为：． 直角三角形中30°问题 32．（23-24八年级上·广西梧州·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，若，求的值是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，作辅助线构造出含角的直角三角形是解题的关键． 根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，然后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵，， ∴ 33．（23-24八年级上·广西百色·期末）如图，在等边中，是的中点，是延长线上的一点，且． (1)求的度数； (2)若于点，求证：是的中点； (3)若，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质．正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）根据等边三角形的性质得，因为，即可解答； （2）要证是的中点，根据题意可知，证明为等腰三角形，利用等腰三角形的“三线合一”的性质即可得证； （3）根据含的直角三角形的性质得到，然后根据即可得到结果． 【详解】（1）解：是等边三角形， ∴， ， ， 又， ∴； （2）证明：连接， ，是的中点， ∴， ∵， ， ， 又， 是的中点； （3）解：，， ， ， ， ． 等腰三角形与全等三角形的综合 1．（23-24八年级上·广西河池·期末）如图，在中，，垂足为点平分，交于点，交于点，点为的中点，连接，交于点，有以下结论：①，②，③，④，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质，关键在于利用等腰直角三角形的性质和解平分线的性质求出角的度数，从中发现相等的角和线段． 通过证明，可得，由等腰直角三角形的性质可得，由余角的性质可得，可得，由线段垂直平分线的性质可得，可求，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，平分， ∴，，， ∴，且， ∴，且，， ∴， ∴，故③是正确的； ∵点G为的中点，，，， ∴， ∴， ∴， ∴，故④是正确的； 连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴，且， ∴， ∴，故②是正确的； 不能证明，故①是错误的； 正确的有：②③④，共3个． 故选：C． 2．（23-24八年级上·广西·期末）如图，在中，点D为直线上一动点，以为直角边在的右侧作等腰，，． (1)特例探究：如图1，如果，．当点D在线段上时，求证：且； (2)探究证明：如图2，如果，条件不变．当点D在线段的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； (3)拓展运用：如图3，若是锐角三角形，，当点D在线段上运动时，判断线段与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当点D在的延长线上时，（1）的结论仍成立，见解析 (3)，见解析 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及垂直的定义， （1）根据题意得，即可判定，则有和，结合即可； （2）根据题意可得，得到，则有和，结合等于直角三角形的性质得即可证得垂直； （3）过点A作交于点G，可得是等腰直角三角形，则有，得到，结合，证得． 【详解】（1）证明：∵，， ∴． 又∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴， 即． 故，； （2）当点D在的延长线上时，（1）的结论仍成立． ∵， ∴， 又∵，， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即； （3）． 理由：过点A作交于点G，如图， ∵， ∴， ∴， 即是等腰直角三角形， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即． 3．（23-24八年级上·广西·期末）【学习新知】等边对等角是等腰三角形的性质定理，如图1，可以表述为 ∵ ∴ 【新知应用】已知：在中，，若，则______；若，则______． 【尝试探究】如图2，四边形中，，，若连接，则平分． 某数学小组成员通过观察、实验，提出以下想法：延长到点，使得，连接，利用三角形全等的判定和等腰三角形的性质可以证明．请你参考他们的想法，写出完整的证明过程． 【拓展应用】借助上一问的尝试，继续探究：如图3所示，在五边形中，，，，连接，平分吗?请说明理由． 【答案】新知应用：； 尝试探究：见解析 拓展应用：平分；见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可； （2）延长到点，使得，连接，证明得到，，从而得出平分； （3）连接，延长到，使，连接，由，得到，，，再证明得到，从而得出平分． 【详解】新知应用： ∵， ∴， 若，则； 若，则， ∴； 故答案是； 尝试探究： 证明：如图，延长到点，使得，连接， ∵， 又∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 即平分； 拓展应用： 证明：连接，延长到，使，连接， ∵，， ∴ ∵在和中， ， ∴， ∴，， 又∵，， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即平分； 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 画图中等腰三角形的点多种情况 4．（23-24八年级上·广西·期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点C的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查的是网格等腰三角形的特点，分以为腰，以为底边两种情况确定C即可；清晰的分类讨论是解本题的关键． 【详解】解：如图，点C的个数有8个， 故选：C． 5．（23-24八年级上·广西贵港·期末）如图，网格中的每个正方形的顶点称作格点，图中在格点上，则图中满足为等腰三角形的格点的个数为（    ）    A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了的等腰三角形的判定，解题的关键是根据等腰三角形的性质讨论腰．根据题意画出图形，进行判断即可． 【详解】解：分别以A、B为圆心，为半径作圆，如图所示：    根据图可知，两个圆经过的格点有8个，的垂直平分线不经过格点， ∴满足为等腰三角形的格点的个数为8个． 故选：B． 等边三角形与全等三角形综合 6．（23-24八年级上·广西贺州·期末）如图，等腰，于点D．点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④；其中正确的是（    ） A．①③④ B．①③ C．②④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定和性质以及全等三角形的判定与性质的知识点．①根据等边对等角，可得、，则，据此可求解；④可先，再证是等边三角形即可；②因为点是线段上一点，所以不一定是的角平分线，据此可求解；③在上截取，连接，先证明，则，． 【详解】解：①如图1，连接， ，， ，， ，， ， ， 、， ，故①正确； ④ ， ， ， ， ， ， 是等边三角形，故④正确； ②由①知：、， 点是线段上一点， 与不一定相等，与不一定相等， 故②不正确； ③如图2，在上截取，连接， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ，故③正确． 综上，①③④正确． 故选：A． 7．（23-24八年级上·广西北海·期末）如图，等边的边长为，点是边的中点，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题重点考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 作交于点，则，，，所以是等边三角形，则，求得，而，所以，可证明，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：作交于点，则， 是边长为的等边三角形， ，，，， 是等边三角形， 又点是边的中点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 的长为， 故选：D． 8．（23-24八年级上·广西·期末）如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)当_________时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)或或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，结合，即可得证； （2）由等边三角形的性质可得，由全等三角形的性质得出，即可得出，从而得解； （3）根据题意以及全等三角形的性质，分别计算出、、，再分三种情况讨论即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述，当或或时，是等腰三角形． 9．（23-24八年级上·广西·期末）在中，，D是上一点，且． (1)如图1，延长至E，使，连接．求证：； (2)如图2，在边上取一点F，使，求证： ； (3)如图3，在（2）的条件下，P为延长线上一点，连接，若，猜想与的数量关系并证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】此题考查了三角形全等的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）证明，即可得到结论； （2）延长到E，使，由（1）知，，证明是等边三角形，是等边三角形，则，即可得到结论； （3）在上取点E，使，连接，证明，则，得到，由即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）延长到E，使，由（1）知，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 同理，是等边三角形， ∴， ∴， 即； （3）猜想：， 理由如下：在上取点E，使，连接， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴． 10．（23-24八年级上·广西贵港·期末）【问题发现】在学习“三角形”一章时，善于思考的小军发现，在等边中，为边上一动点（不与点重合），以为边作等边，如图①，连接，则______度，线段之间的数量关系是______； 【类比探究】如图②，在中，为边上一点，为边上一点，连接，交于点，且平分交于，交于点，连接，过点作，交的延长线于点，猜想线段之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】在图②的条件下，当时，若的周长为18，求的长． 【答案】问题发现：120，；类比探究：，见解析；拓展应用：6 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，证明三角形全等是解此题的关键． 问题发现：证明，得出，，即可得解； 类比探究：证明得到，证明得到，从而得出，推出，即可得证； 拓展应用：由“类比探究”得：，证明是等边三角形，由等边三角形的性质即可得出答案． 【详解】问题发现： 和是等边三角形， ，，， ，即， 在与中， ， ， ，， ，， 故答案为：，； 类比探究： 解：， 理由：，，平分， ， 又， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ，， ， ， ， ； 拓展应用： 由“类比探究”得：， 又， ， 当时，则， ， ，，， 又， 是等边三角形， 的周长为18， ． 11．（23-24八年级上·广西防城港·期末）如图1，点P、Q分别是等边边、上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接、交于点M． (1)t秒后，点P的运动路程与点Q的运动路程______；（填“相等”或“不相等”） (2)求证：； (3)①当点P、Q分别在、边上运动时，求的度数： ②如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交点为M，的度数发生变化吗？若不变化，请直接写出它的度数． 【答案】(1)相等 (2)证明见解析 (3)①，②不变， 【分析】此题是一个综合性题目，主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识． （1）根据路程等于时间乘以时间，即可求解； （2）根据等边三角形的性质，利用证明； （3）①由根据全等三角形的性质可得，从而得到； ②由根据全等三角形的性质可得，从而得到． 【详解】（1）解：设它们的运动速度为x，则t秒后， ，， ∴ 故答案为：相等． （2）证明：是等边三角形 ，， 又点、运动速度相同， ， 在与中， ， ； （3）解：①， ， ， ； ②解：点、在运动到终点后继续在射线、上运动时，不变． 理由：， ， ， ． 轴对称中求最值问题 12．（23-24八年级上·广西玉林·期末）如图，已知正六边形的边长是5，点是上的一个动点，则的最小值是（    ） A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】A 【分析】此题主要考查了正多边形的以性质及轴对称最短路线问题．易知点关于的对称点为点，连接交于点，根据轴对称的性质进行解答即可． 【详解】解：利用正多边形的性质可得点关于的对称点为点，连接交于点，那么有，最小． 由题意知为等边三角形， 所以， 可得：， 的最小值是10， 故选：A． 13．（23-24八年级上·广西贵港·期末）如图，在锐角三角形中，的平分线交于点D，M、N分别是和上的动点，当取最小值时，的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】此题考查了轴对称性质，含角直角三角形的性质，作点B关于的对称点E，过点E作交于点N，交于点M，连接，根据轴对称的性质可得，此时的值最小，再根据直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：作点B关于的对称点E，过点E作交于点N，交于点M，连接， ∵，平分， ∴点E在上， ∵点E、B关于对称， ∴，且平分， ∴， ∴，此时的值最小， 在中，， ∴， ∴， 故选：C． 14．（23-24八年级上·广西百色·期末）如图，等边的周长为，为边上的中线，动点，分别在线段，上运动，连接，，当的长为 时，线段的和最小． 【答案】2 【分析】此题重点考查等边三角形的性质、轴对称的性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识．作于点，连接、，由是周长为的等边三角形，求得，则，由为边上的中线，得垂直平分，则，所以，由可知当且的值最小时，的和最小，此时的和最小，所以当与重合，且、、三点在同一条直线上时，的和最小，此时，即可得出答案． 【详解】解：作于点，连接、， ∵是周长为的等边三角形， ∴ ∴ ∵为边上的中线， ∴垂直平分， ∴点与点关于直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴当且的值最小时，的和最小，此时的和最小， ∴当与重合，且、、三点在同一条直线上时，的和最小， ∴， 故答案为：2． 15．（23-24八年级上·广西南宁·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点是直线上一点，则周长的最小值为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，轴对称—最短路线问题． 连接，由线段垂直平分线的性质可得，从而周长可转化为，而，从而可求出周长的最小值． 【详解】连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴周长的最小值为9． 故答案为：9 16．（23-24八年级上·广西·期末）如图，在中，，，的面积为12，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P是线段上的一个动点，则的周长的最小值是（     ） A．6 B．7 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，两点之间连线段最短等；连接，由三角形面积得 ，由等腰三角形的性质得，由线段垂直平分线的性质得，由两点之间连线段最短当、、三点共线时，最小， 此时 ，即可求解；掌握相关的性质，“将军饮马”典型问题的解法是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ，的面积为12，， ， ， 解得：， ， ， 直线垂直平分交于点E， ， 当、、三点共线时，最小， 此时 ， 的最小值为， 的周长的最小值为： ； 故选：B． 筝形问题 17．（23-24八年级上·广西南宁·期末）综合与实践 综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动 (1)【操作发现】对折，使点C落在边上的点处，得到折痕，把纸片展平，如图1．小明根据以上操作发现：四边形满足，．查阅相关资料得知，像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”．请写出图1中筝形的一条性质______． (2)【探究证明】已知：如图2，在筝形中，，，对角线、交于点O．求证： (3)【迁移应用】如图3，在中，，，点D、E分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，的度数为多少？ 【答案】(1)筝形是轴对称图形，对称轴是直线；（答案不唯一） (2)见详解 (3)或 【分析】本题主要考查轴对称图形的性质及线段垂直平分线的判定，解题的关键是理解“筝形”的性质； （1）根据“筝形”定义即可解决问题； （2）根据筝形是轴对称图形及线段垂直平分线的判定可直接进行求解； （3）根据筝形是轴对称图形可直接进行求解． 【详解】（1）解：答案不唯一，以下任意一条均可， ①筝形是轴对称图形，对称轴是直线； ②筝形的两条对角线互相垂直； ③筝形的对角线平分一组对角； ④筝形的对角线是对角线的垂直平分线； 故答案为筝形是轴对称图形，对称轴是直线； （2）证明：，， 为线段的垂直平分线， ∴． （3）解：∵，， ∴， 当四边形为筝形时，由题意可分①如图，    ∵四边形为筝形， ∴由筝形的性质可知：， ∴； ②如图，    根据题意可知：筝形是轴对称图形，即， ∴． 综上，的度数为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 轴对称图形 轴对称图形的识别 1．（23-24八年级上·广西·期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·广西玉林·期末）下列图形不属于轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·广西南宁·期末）很多学校设计校微时，会融入数学元素，下列校徽的图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 点坐标关于坐标轴的对称 4．（23-24八年级上·广西·期末）点关于x轴对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·广西崇左·期末）在平面直角坐标系中，已知点和关于轴对称，则的值为 ． 6．（23-24八年级上·广西柳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知． (1)作出关于直线l（直线l上各点的纵坐标都是1）对称的图形，并写出，，的坐标．（　 　，　 　）；（ 　 　，　 　）；（ 　 　，　 　）． (2)在直线l上找一点P，使得的长度最小（只要作出图形即可）； (3)若中有一点，写出点Q在中对应点的坐标是（ 　 　，　 　）． 折叠的性质 7．（23-24八年级上·广西·期末）如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角．要得到一个正方形，剪口与折痕所成角的大小为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 8．（23-24八年级上·广西·期末）如图，AD是△ABC的角平分线，∠C=28°，AB+BD=AC、将△ABD沿AD所在直线翻折，点B在AC边上的落点记为点E，那么∠AED的度数为（   ） A．28° B．50° C．56° D．65° 9．（23-24八年级上·广西南宁·期末）探究与证明： 我们知道，在一个三角形中，相等的边所对的角相等、那么，不相等的边所对的角之间的大小关系是怎样呢？ 【观察猜想】（1）如图1，在中，．猜想与的大小关系； 【操作证明】（2）如图2，将折叠，使边落在上，点C落在上的D点，折线交于点E，连接．发现，由，可得，…… 请证明（1）中所猜想的结论： 【类比探究】（3）如图3，在中，．小邕同学运用类似的操作进行探究：将折叠，使点B与点C重合，折线交于点F，交于点G，连接． 请证明：． 垂直平分线的性质 10．（23-24八年级上·广西北海·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级上·广西崇左·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，若，则的周长为（　　） A． B． C． D． 12．（23-24八年级上·广西·期末）如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线交边AB于点D，连结CD．若∠A＝50°，则∠BDC的大小为（　　）    A．90° B．100° C．120° D．130° 13．（23-24八年级上·广西·期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，分别交AB，AC于点E，D． （1）若∠ADE＝40°，求∠DBC的度数； （2）若BC＝6，△CDB的周长为15，求AB的长． 14．（23-24八年级上·广西防城港·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接． (1)求证：是的角平分线： (2)若，求的长． 作图-垂直平分线 15．（23-24八年级上·广西来宾·期末）如图，在中，，是的一个外角．    【实践操作】 根据要求进行尺规作图，并在图中标明相应字母．（保留作图痕迹，不要求写出作法．） （1）作的平分线； （2）作线段的垂直平分线，与交于点，与交于点，连接，； 【探究计算】 （3）若，求的度数． 16．（23-24八年级上·广西·期末）如图，在中．    (1)实践与操作：作的垂直平分线，交于D，交于E； （要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)推理与计算：在（1）的条件下，连接，若，，求的度数． 17．（23-24八年级上·广西·期末）如图，在中，，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：． 等腰三角形的性质 18．（23-24八年级上·广西玉林·期末）如图，在中，，，交于点D，，则的长是（    ） A．10 B．12 C．16 D．18 19．（23-24八年级上·广西崇左·期末）等腰三角形的一个外角是，则它底角的度数是（　　）度． A． B．或 C．或 D．无法确定 20．（23-24八年级上·广西北海·期末）已知一个等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为（    ） A． B． C．或 D．或 21．（23-24八年级上·广西·期末）如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点．若，则 度． 22．（23-24八年级上·广西崇左·期末）如图，在中，，延长至D，使，延长至E使，则 ． 23．（23-24八年级上·广西来宾·期末）如图，在中，，，为的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿的路线运动到点停止．设运动时间为，过点、两点的直线将的周长分成两个部分，若其中一部分是另一部分的2倍，则此时的值为 ． 24．（23-24八年级上·广西·期末）如图，△ABC的面积为4cm2，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△PBC的面积为 cm2 25．（23-24八年级上·广西南宁·期末）综合与实践： 初步认识筝形后，实践小组动手制作了一个“筝形功能器”，如图，在笔形中，． (1)【操作应用】如图1，将“筝形功能器”上的点与的顶点重合，分别放置在角的两边上，并过点画射线，求证：是的平分线； (2)【实践拓展】实践小组尝试使用“筝形功能器”检测教室门框是否水平．如图2，在仪器上的点处栓一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，仪器上的点紧贴门框上方，观察发现线绳恰好经过点，即判断门框是水平的．实践小组的判断对吗？请说明理由． 等腰三角形的性质与判定 26．（23-24八年级上·广西·期末）如图，在中，，点D、E、F分别在边上，且．    (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数． 等边三角形的性质 27．（23-24八年级上·广西百色·期末）如图，已知，点，，…在射线上，点，，…在射线上，，，…均为等边三角形，若，则的边长为（    ） A．2022 B．2023 C． D． 28．（23-24八年级上·广西贵港·期末）如图，已知，在射线上分别取点，使，连接，在上分别取点，使，连接，按此规律下去，记，，，则 ．   29．（23-24八年级上·广西梧州·期末）如图，在一个池塘两旁有一条笔直的小路（B，C为小路的两端点）和一棵小树（A为小树位置），测得相关数据为，，，则 m．    30．（23-24八年级上·广西南宁·期末）如图，等边三角形中，是上的高，，则 ． 31．（23-24八年级上·广西玉林·期末）在中，，，，且E为边的中点，连接，以为边向上作等边三角形，连接，则的长为 ． 直角三角形中30°问题 32．（23-24八年级上·广西梧州·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，若，求的值是多少？ 33．（23-24八年级上·广西百色·期末）如图，在等边中，是的中点，是延长线上的一点，且． (1)求的度数； (2)若于点，求证：是的中点； (3)若，求的长． 等腰三角形与全等三角形的综合 1．（23-24八年级上·广西河池·期末）如图，在中，，垂足为点平分，交于点，交于点，点为的中点，连接，交于点，有以下结论：①，②，③，④，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 2．（23-24八年级上·广西·期末）如图，在中，点D为直线上一动点，以为直角边在的右侧作等腰，，． (1)特例探究：如图1，如果，．当点D在线段上时，求证：且； (2)探究证明：如图2，如果，条件不变．当点D在线段的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； (3)拓展运用：如图3，若是锐角三角形，，当点D在线段上运动时，判断线段与的位置关系，并说明理由． 3．（23-24八年级上·广西·期末）【学习新知】等边对等角是等腰三角形的性质定理，如图1，可以表述为 ∵ ∴ 【新知应用】已知：在中，，若，则______；若，则______． 【尝试探究】如图2，四边形中，，，若连接，则平分． 某数学小组成员通过观察、实验，提出以下想法：延长到点，使得，连接，利用三角形全等的判定和等腰三角形的性质可以证明．请你参考他们的想法，写出完整的证明过程． 【拓展应用】借助上一问的尝试，继续探究：如图3所示，在五边形中，，，，连接，平分吗?请说明理由． 画图中等腰三角形的点多种情况 4．（23-24八年级上·广西·期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点C的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．（23-24八年级上·广西贵港·期末）如图，网格中的每个正方形的顶点称作格点，图中在格点上，则图中满足为等腰三角形的格点的个数为（    ）    A．6 B．7 C．8 D．9 等边三角形与全等三角形综合 6．（23-24八年级上·广西贺州·期末）如图，等腰，于点D．点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④；其中正确的是（    ） A．①③④ B．①③ C．②④ D．①②③④ 7．（23-24八年级上·广西北海·期末）如图，等边的边长为，点是边的中点，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·广西·期末）如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)当_________时，是等腰三角形． 9．（23-24八年级上·广西·期末）在中，，D是上一点，且． (1)如图1，延长至E，使，连接．求证：； (2)如图2，在边上取一点F，使，求证： ； (3)如图3，在（2）的条件下，P为延长线上一点，连接，若，猜想与的数量关系并证明． 10．（23-24八年级上·广西贵港·期末）【问题发现】在学习“三角形”一章时，善于思考的小军发现，在等边中，为边上一动点（不与点重合），以为边作等边，如图①，连接，则______度，线段之间的数量关系是______； 【类比探究】如图②，在中，为边上一点，为边上一点，连接，交于点，且平分交于，交于点，连接，过点作，交的延长线于点，猜想线段之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】在图②的条件下，当时，若的周长为18，求的长． 11．（23-24八年级上·广西防城港·期末）如图1，点P、Q分别是等边边、上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接、交于点M． (1)t秒后，点P的运动路程与点Q的运动路程______；（填“相等”或“不相等”） (2)求证：； (3)①当点P、Q分别在、边上运动时，求的度数： ②如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交点为M，的度数发生变化吗？若不变化，请直接写出它的度数． 轴对称中求最值问题 12．（23-24八年级上·广西玉林·期末）如图，已知正六边形的边长是5，点是上的一个动点，则的最小值是（    ） A．10 B．8 C．6 D．5 13．（23-24八年级上·广西贵港·期末）如图，在锐角三角形中，的平分线交于点D，M、N分别是和上的动点，当取最小值时，的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 14．（23-24八年级上·广西百色·期末）如图，等边的周长为，为边上的中线，动点，分别在线段，上运动，连接，，当的长为 时，线段的和最小． 15．（23-24八年级上·广西南宁·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点是直线上一点，则周长的最小值为 ． 16．（23-24八年级上·广西·期末）如图，在中，，，的面积为12，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P是线段上的一个动点，则的周长的最小值是（     ） A．6 B．7 C．10 D．12 筝形问题 17．（23-24八年级上·广西南宁·期末）综合与实践 综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动 (1)【操作发现】对折，使点C落在边上的点处，得到折痕，把纸片展平，如图1．小明根据以上操作发现：四边形满足，．查阅相关资料得知，像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”．请写出图1中筝形的一条性质______． (2)【探究证明】已知：如图2，在筝形中，，，对角线、交于点O．求证： (3)【迁移应用】如图3，在中，，，点D、E分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，的度数为多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$