专题02 全等三角形（6大经典基础题+3大优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（广西专用）

专题02 全等三角形 全等三角形的性质 1．（23-24八年级上·广西南宁·期末）如图，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·广西防城港·期末）如图，若，且，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24八年级上·广西河池·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，连接，在平面直角坐标系中找一点（点不在坐标轴上），使与全等，则点的坐标为 ． 全等三角形的判定 4．（23-24八年级上·广西·期末）如图，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（   ） A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去 5．（23-24八年级上·广西·期末）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·广西南宁·期末）如图，用螺丝钉将两根小棒的中点固定，利用全等三角形知识，测得的长就是锥形瓶内径的长，其中，判定和全等的方法是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·广西·期末）如图下列各组条件中，可以判定的条件是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 8．（23-24八年级上·广西·期末）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取的垂线上的点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得的长就是的长，依据是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·广西·期末）根据下列条件不能唯一画出的是（　　） A． B． C． D． 10．（23-24八年级下·广西桂林·期末）如图，点B、E、C、F在同一直线上，，，．求证：． 添加条件判定三角形全等 11．（23-24八年级上·广西百色·期末）如图，O为的中点，若要利用“”来判定，则应补充的一个条件是（　　） A． B． C． D． 12．（23-24八年级上·广西·期末）如图所示，AB＝AC，要说明△ADC≌△AEB，需添加的条件不能是（ ） A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．DC＝BE D．∠ADC＝∠AEB 13．（23-24八年级上·广西百色·期末）如图，、相交于点，，要使，还需添加的一个条件是 ．（填上你认为适当的一个条件即可） 14．（23-24八年级上·广西崇左·期末）如图，，．只需再补充一个条件就能使；则下列条件中：①；②；③．符合题意的有 ．（只填序号） 角平分线的性质 15．（23-24八年级上·广西玉林·期末）如图，在中，，是的平分线，于点E．若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 16．（23-24八年级上·广西贺州·期末）如图，点P是的平分线上动点，于点E，点F为射线上动点．若，则线段的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 17．（23-24八年级上·广西·期末）如图，在中，，是的平分线，若，则点D到的距离是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 18．（23-24八年级上·广西·期末）如图，在中，是角平分线，于点E，的面积为15，，，则的长是 ．      作图 19．（23-24八年级上·广西贵港·期末）（1）【问题情境】我国古代已经用角尺平分任意角，做法如下：如图①，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点重合，则过角尺顶点的射线是的平分线．请说明此做法的理由； （2）【拓展实践】某公园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口（如图②），现要在两条小路之间安装一盏路灯，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯到休息椅和的距离相等．问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的备用图中作出路灯的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 20．（23-24八年级上·广西北海·期末）如图，已知中，，，请用尺规完成下列作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）： (1)求作的角平分线； (2)求作，使，． 21．（23-24八年级上·广西·期末）如图，已知． (1)利用尺规作图，在给出的图中作的延长线，使，在线段与点相异的一侧作，延长交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：． 22．（23-24八年级上·广西·期末）在等腰三角形中，． (1)画出的平分线，且与相交于点（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)若，求的度数． 全等三角形的应用 23．（23-24八年级上·广西钦州·期末）如图是一款折叠凳撑开时的侧面示意图（材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，O是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开时的凳面宽度设计为，则撑开时的凳腿间距的长为 ． 24．（23-24八年级上·广西北海·期末）八年级数学兴趣小组开展了测量学校教学楼高度的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量学校教学楼高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）在教学楼外，选定一点； （2）测量教学楼顶点视线与地面夹角； （3）测的长度； （4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于地面； （5）测量标杆顶部视线与地面夹角． 测量数据 ，，， 请你根据兴趣小组测量方案及数据，计算教学楼高度的值． 角平分线与面积综合 1．（23-24八年级上·广西·期末）如图，是的三条角平分线的交点，连接，，，若，，的面积分别为，，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定 2．（23-24八年级上·广西·期末）如图，，平分，平分，若，则 ．    全等三角形的性质与判定综合 3．（23-24八年级上·广西·期末）王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合．则两堵木墙之间的距离是（    ）      A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·广西贵港·期末）小强在物理课上学习了发声物体的振动试验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，A表示小球静止时的位置，当小强用发声物体靠近小球时，小球从A摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，过点作于点，测得（图中的点在同一平面内）．    (1)猜想此时与的位置关系，并说明理由； (2)求的长． 5．（23-24八年级上·广西崇左·期末）如图1，在中，，，点D为BC的中点，，． (1)求证：； (2)连接、、，如图2，请判断是什么特殊形状的三角形． 6．（23-24八年级上·广西北海·期末）八年级数学课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围小红在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小红的方法思考作答： (1)由已知和作图能得到的理由是______； A．    B．    C．    D． (2)求得的取值范围是______； A．      B．       C．        D． (3)归纳总结：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中完成上题之后，小红善于探究，她又提出了如下的问题，请你解答． 如图，在中，点在上，且，过作，且求证：平分． 7．（23-24八年级上·广西南宁·期末）如图，点分别在上，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 8．（23-24八年级上·广西贺州·期末）如图，已知，点B、C分别在、上，． (1)求证：； (2)求证：． 9．（23-24八年级上·广西防城港·期末）如图，，，． (1)求证： (2)若，，求的度数． 全等三角形与动点问题 10．（23-24八年级上·广西·期末）如图，中，，，，点P从A点出发沿路径向终点运动，终点为B点，点Q从B点出发沿路径向终点运动，终点为A点，点P和Q分别以和的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P和Q作于E，于F．设运动时间为秒，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，则的值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 全等三角形 全等三角形的性质 1．（23-24八年级上·广西南宁·期末）如图，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等． 【详解】解：△， ． 故选：D． 2．（23-24八年级上·广西防城港·期末）如图，若，且，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等．根据全等三角形的性质得出，再根据即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．（23-24八年级上·广西河池·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，连接，在平面直角坐标系中找一点（点不在坐标轴上），使与全等，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键，注意分类讨论．由题意可知为两三角形的公共边，由条件可知或，再由全等三角形的性质可求得或，可求得点坐标． 【详解】解： ，，且， 当与全等时，则有或， 当时，则有，且 点坐标为或； 当时，则有，且， 点坐标为； 又点不在坐标轴上， 点坐标为或， 故答案为：或． 全等三角形的判定 4．（23-24八年级上·广西·期末）如图，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（   ） A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法进行逐项分析从而确定最后的答案． 【详解】解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法； 第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行； 第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合判定，所以应该拿这块去． 故选：C． 5．（23-24八年级上·广西·期末）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定，熟练掌握用直尺和圆规作一个角等于已知角的方法和步骤是解题关键．根据作一个角等于已知角的作法和步骤解答． 【详解】在和中， ， ， ， 故选D． 6．（23-24八年级上·广西南宁·期末）如图，用螺丝钉将两根小棒的中点固定，利用全等三角形知识，测得的长就是锥形瓶内径的长，其中，判定和全等的方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据题意确定全等三角形的判定条件即可求解，掌握全等三角形的判定 方法是解题的关键． 【详解】解：在和中， ∵， ∴， ∴判定和全等的方法是是， 故选：． 7．（23-24八年级上·广西·期末）如图下列各组条件中，可以判定的条件是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】C 【分析】此题考查全等三角形的判定，依据全等三角形的判定定理依次判断即可，熟记全等三角形的判定定理（、、、、）是解题的关键． 【详解】解：A．三个角对应相等的两个三角形不一定全等，故不能证明； B．、、，可知，但题目中所给，故不符合题意； C．由得，即可根据证明，故符合题意； D．根据两边及其中一边的对角不能证明； 故选：C． 8．（23-24八年级上·广西·期末）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取的垂线上的点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得的长就是的长，依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴依据是， 故选C． 9．（23-24八年级上·广西·期末）根据下列条件不能唯一画出的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的三边关系和全等三角形的判定定理逐项分析即可解答． 【详解】解：A．满足，能唯一画出，不符合题意； B．满足，能唯一画出，不符合题意； C．满足，可唯一画出，不符合题意； D．由于是，不能唯一画出，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定等知识点，掌握不能判定三角形全等是解答本题的关键． 10．（23-24八年级下·广西桂林·期末）如图，点B、E、C、F在同一直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明即可得证，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 添加条件判定三角形全等 11．（23-24八年级上·广西百色·期末）如图，O为的中点，若要利用“”来判定，则应补充的一个条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了添加一个条件，使得用“”来判定，根据已知条件得出，，故只需要即可使用证明． 【详解】解：∵O为的中点， ∴， ∵， ∴当添加时，． 故选：D． 12．（23-24八年级上·广西·期末）如图所示，AB＝AC，要说明△ADC≌△AEB，需添加的条件不能是（ ） A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．DC＝BE D．∠ADC＝∠AEB 【答案】C 【分析】△ADC和△AEB中，已知的条件有AB=AC，∠A=∠A；要判定两三角形全等只需条件一组对应角相等，或AD=AE即可．可据此进行判断，两边及一边的对角相等是不能判定两个三角形全等的． 【详解】A、当∠B=∠C时，符合ASA的判定条件，故A正确； B、当AD=AE时，符合SAS的判定条件，故B正确； C、当DC=BE时，给出的条件是SSA，不能判定两个三角形全等，故C错误； D、当∠ADC=∠AEB时，符合AAS的判定条件，故D正确； 故选C． 【点睛】本题主要考查全等三角形的证明，掌握三角形全等证明相关定理是解题的关键． 13．（23-24八年级上·广西百色·期末）如图，、相交于点，，要使，还需添加的一个条件是 ．（填上你认为适当的一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 若添加条件是，根据推出两三角形全等即可． 【详解】解：添加条件是， 在与中， ， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 14．（23-24八年级上·广西崇左·期末）如图，，．只需再补充一个条件就能使；则下列条件中：①；②；③．符合题意的有 ．（只填序号） 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．利用全等三角形的判定方法依次判断可求解． 【详解】解：∵， ∴，且， 条件①，若，则， ∴，故①符合题意； 条件②，若，无法证明，故②不符合题意； 条件③，若，则， ∴，故③符合题意； 故答案为：①③． 角平分线的性质 15．（23-24八年级上·广西玉林·期末）如图，在中，，是的平分线，于点E．若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”是解题的关键，由，是的平分线，，，证明，再利用线段的和差关系可得答案． 【详解】解： ，是的平分线，，， ， ， ， 故选：B． 16．（23-24八年级上·广西贺州·期末）如图，点P是的平分线上动点，于点E，点F为射线上动点．若，则线段的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】 本题考查角平分线的性质．运用垂线段最短，结合角平分线上的点到角两边的距离相等解题即可． 【详解】解：∵直线外一点到直线的所有线段中，垂线段最短， ∴时长有最小值， ∵点P是的平分线上一点，于点E，， ∴时，， ∴的最小值是6， 故选：C． 17．（23-24八年级上·广西·期末）如图，在中，，是的平分线，若，则点D到的距离是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，角平分线上的点到角两边的距离相等，作，得，即可求解． 【详解】解：作，如图所示： ∵，是的平分线， ∴ ∵， ∴ ∴点D到的距离是： 故选：A 18．（23-24八年级上·广西·期末）如图，在中，是角平分线，于点E，的面积为15，，，则的长是 ．      【答案】4 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，面积法，利用角平分线性质定理作辅助线是解答本题的关键．过点D作于点F，根据角平分线性质定理可得，再利用面积法列方程并求解，即得答案． 【详解】过点D作于F， 是角平分线，，， ， ， 解得． 故答案为：4． 作图 19．（23-24八年级上·广西贵港·期末）（1）【问题情境】我国古代已经用角尺平分任意角，做法如下：如图①，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点重合，则过角尺顶点的射线是的平分线．请说明此做法的理由； （2）【拓展实践】某公园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口（如图②），现要在两条小路之间安装一盏路灯，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯到休息椅和的距离相等．问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的备用图中作出路灯的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）证，得 ，即可得出结论； （2）根据角平分线定义及垂直平分线的性质作图即可； 本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、角平分线定义以及尺规作图等知识，熟练掌握角平分线定义和等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：（1）理由：由题意得， ∴ ∴是的平分线 （2）如图，点E即为所求 20．（23-24八年级上·广西北海·期末）如图，已知中，，，请用尺规完成下列作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）： (1)求作的角平分线； (2)求作，使，． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图—作三角形的角平分线，作三角形．熟练掌握用尺规作图：作已知角的角平分线和作一线段等于已知线段是解题的关键． （1）以点B为圆心，任意长为半径画弧，交，于两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点距离的一半为半径画弧，两弧相交于一点，过点B与这一点作射线交于P，即可． （2）作射线，在射线上截取，再分别以点E、F为圆心，b为半径画弧，两弧相交于点D，连接，即可． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求， （2）解：如图所示，即为所求， 21．（23-24八年级上·广西·期末）如图，已知． (1)利用尺规作图，在给出的图中作的延长线，使，在线段与点相异的一侧作，延长交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定． （1）根据题目要求及线段、角的尺规作法进行作图即可； （2）根据“”可证明． 【详解】（1）解：如图所示， 延长，以点为圆心，以为半径画弧交延长线于点； 以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点，连接； 以点为圆心，以上述半径画弧交于点； 以点为圆心，以为半径画弧，两弧交于点，连接并延长至点； 延长交于延长线于点； ∴即为所求； （2）证明：在和中， ， ∴． 22．（23-24八年级上·广西·期末）在等腰三角形中，． (1)画出的平分线，且与相交于点（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)若，求的度数． 【答案】(1)作图见解析； (2)． 【分析】（）根据作角平分线的步骤作图即可； （）根据三角形内角和先求出，再求出∠BDC的度数即可； 本题考查了尺规作图中的作角平分线和三角形的内角和，角平分线的性质，正确的作出图形是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为的角平分线； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 全等三角形的应用 23．（23-24八年级上·广西钦州·期末）如图是一款折叠凳撑开时的侧面示意图（材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，O是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开时的凳面宽度设计为，则撑开时的凳腿间距的长为 ． 【答案】30 【分析】此题考查了全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形的判定和性质．利用定理判定，再利用全等三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵O是和的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：30． 24．（23-24八年级上·广西北海·期末）八年级数学兴趣小组开展了测量学校教学楼高度的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量学校教学楼高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）在教学楼外，选定一点； （2）测量教学楼顶点视线与地面夹角； （3）测的长度； （4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于地面； （5）测量标杆顶部视线与地面夹角． 测量数据 ，，， 请你根据兴趣小组测量方案及数据，计算教学楼高度的值． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的应用．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先证明，再证明，得到，即可求解． 【详解】解：，， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， 答：教学楼高度为． 角平分线与面积综合 1．（23-24八年级上·广西·期末）如图，是的三条角平分线的交点，连接，，，若，，的面积分别为，，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】过点作于，于，于，如图，利用角平分线的性质得到，再利用三角形面积公式得到，，，然后根据三角形三边的关系求解． 【详解】解：过点作于，于，于，如图， 是的三条角平分线的交点， ， ，，， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形面积，熟练掌握解平分线的性质是解题的关键． 2．（23-24八年级上·广西·期末）如图，，平分，平分，若，则 ．    【答案】 【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后证明，根据全等三角形的面积相等可得，同理可得：，设，，表示出，然后求解即可． 【详解】如图，过点作于，      ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理：， 设，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 全等三角形的性质与判定综合 3．（23-24八年级上·广西·期末）王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合．则两堵木墙之间的距离是（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意易得，则有，进而可证，然后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴，， ∴， ∵在和中， ∴； ∴，， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形全等的判定条件是解题的关键． 4．（23-24八年级上·广西贵港·期末）小强在物理课上学习了发声物体的振动试验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，A表示小球静止时的位置，当小强用发声物体靠近小球时，小球从A摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，过点作于点，测得（图中的点在同一平面内）．    (1)猜想此时与的位置关系，并说明理由； (2)求的长． 【答案】(1)；见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质． （1）证明，得出，根据，求出，即可证明结论； （2）根据，得出，根据，求出结果即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵于D，于E， ∴， 又∵根据题意得：，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， 答：的长为． 5．（23-24八年级上·广西崇左·期末）如图1，在中，，，点D为BC的中点，，． (1)求证：； (2)连接、、，如图2，请判断是什么特殊形状的三角形． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．（1）由，知，再由，点D为BC的中点知，结合即可得证；（2）由知，据此得，由“”可证得，再结合知，从而得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴和都是直角三角形， ∵，点D为BC的中点， ∴， 在和中， ； ∴； （2）是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ； ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是等腰三角形． 6．（23-24八年级上·广西北海·期末）八年级数学课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围小红在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小红的方法思考作答： (1)由已知和作图能得到的理由是______； A．    B．    C．    D． (2)求得的取值范围是______； A．      B．       C．        D． (3)归纳总结：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中完成上题之后，小红善于探究，她又提出了如下的问题，请你解答． 如图，在中，点在上，且，过作，且求证：平分． 【答案】(1)B (2)C (3)证明见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了倍长中线法解题，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握倍长中线法，灵活进行三角形全等的证明，是解题的关键． （1）根据三角形全等的判定定理去选择即可； （2）根据三角形全等的性质和三角形三边关系定理计算即可； （3）由“”可证，可得，，由平行线的性质和等腰三角形的性质可证，可得平分． 【详解】（1）解：延长到点，使， ， 在和中， ， ， 故选：B． （2）解：， ， ，，， ， ， 故选：C； （3）证明：如图，延长至，使，连接， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分． 7．（23-24八年级上·广西南宁·期末）如图，点分别在上，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、三角形内角和定理，解题的关键是得到． （1）利用即可证明； （2）根据三角形内角和定理求出，然后利用，得，进而利用角的和差即可解决问题． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， 由（1）知：， ， ， ， ． 8．（23-24八年级上·广西贺州·期末）如图，已知，点B、C分别在、上，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用即可证明； （2）由（1）知，则，即可得所在的直线是的角平分线，根据得，利用证明即可得； 掌握全等三角形的判定与性质，角平分线的定义是解题的关键． 【详解】（1）证明：在和中，             ∴ （2）解：由（1）知， ∴，                 ∴所在的直线是的角平分线， ∵， ∴， 在和中，                ，                              ． 9．（23-24八年级上·广西防城港·期末）如图，，，． (1)求证： (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理． （1）利用证明，由全等三角形的性质得出结论； （2）根据全等三角形的性质得出，然后由三角形的内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ， ∴， ∴在与中， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， 又∵， ∴． 全等三角形与动点问题 10．（23-24八年级上·广西·期末）如图，中，，，，点P从A点出发沿路径向终点运动，终点为B点，点Q从B点出发沿路径向终点运动，终点为A点，点P和Q分别以和的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P和Q作于E，于F．设运动时间为秒，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，则的值为 ． 【答案】或6或8 【分析】先求出点从点出发到达点和点所需要的时间，点从点出发到达点和点所需要的时间，然后根据、所在的位置分类讨论，分别画出对应的图形，找出全等三角形的对应边并用时间表示，然后列出方程即可得出结论． 【详解】解：由题意知，点从点出发到达点所需要的时间为：；到达点共需要的时间为： 点从点出发到达点所需要的时间为：；到达点共需要的时间为： 当，点在上，点在上，如图所示： 此时 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等 （不符合题意，舍去）； 当，点在上，点在上，如图所示： 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等 和重合，和重合 （符合题意） 当，点在上，点在上，如图所示： 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等 （符合题意）； 当，点在上，点与点重合，如图所示： 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等 （符合题意）； 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，则或或 故答案为：或6或8 . 【点睛】本题考查的是全等三角形与动点问题，掌握全等三角形的判定定理、方程思想和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$