专题05 指数函数+对数函数（期末压轴专项训练27题）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（人教A版2019必修第一册）

专题05 指数函数+对数函数（期末压轴专项训练27题） 一、单选题 1．已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较对数式的大小 【分析】根据对数函数的单调性比较大小. 【详解】因为， ， ，且. 所以. 故选：A 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】借助指数函数与对数函数的单调性借助中间量比较即可得. 【详解】，，， 故，故. 故选：C. 3．下列函数中，既是奇函数，又在是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断指数函数的单调性、比较对数式的大小、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义分别进行判断即可． 【详解】对于A，是偶函数，不满足条件． 对于B，，函数是奇函数，由于 均在单调递增，故在单调递增，符合条件， 对于C,，则是奇函数， 在单调递增,且为正，函数在单调递减，不满足条件． 对于D，，函数是奇函数，当时，， ，，此时，不是增函数，不满足条件． 故选：B． 4．已知且，若函数与在上的单调性相同，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数的单调性求参数值、对数型复合函数的单调性 【分析】利用指数函数、对数函数及复合函数的单调性计算即可. 【详解】由题意知在上只能是单调递增， 所以在上单调递增，所以 得. 又单调递增，所以. 综上得. 故选：C 5．已知定义在上的函数，其中是奇函数且在上单调递减，的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】由是奇函数且在上单调递减，函数也是奇函数且在上单调递减，得在上单调递减，利用单调性解不等式. 【详解】定义在上的函数， 因为是奇函数，也是奇函数，所以是奇函数. 由. 因为是增函数，所以是减函数. 又因为是减函数，所以在上单调递减. 因为，所以，解得. 故选：B. 6．已知函数的零点分别为，，，则（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】A 【知识点】反函数的性质应用、求零点的和 【分析】将问题转化为与、、的交点横坐标，结合指数函数与对数函数的对称性计算可得. 【详解】由题设，，，， 所以问题可转化为与、、的交点问题，函数图象如下： 因为与关于对称，而与互相垂直， 所以，，则. 故选：A 7．已知函数，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较对数式的大小、比较函数值的大小关系 【分析】应用介值法比较的大小，再应用的单调性比较大小即可. 【详解】解：因为， 所以； 又因为， 所以， 又因为在上单调递减， 所以， 故选：D． 8．已知是奇函数，则（    ） A． B．0 C． D．4 【答案】A 【知识点】由奇偶性求函数解析式、对数的运算性质的应用、由奇偶性求参数 【分析】利用奇函数的定义计算出函数在时的解析式，可得出、的值，由此可计算出的值. 【详解】因为是奇函数， 设，则，所以， 即， 所以，即，则. 故选：A. 9．已知函数（且）满足，且函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对数型复合函数的单调性、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】由函数满足，可得，所以函数在上单调递增，则，即可解得实数a的取值范围. 【详解】因为函数（且）满足， 即，所以， 又函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以，解得， 所以. 故选：C. 10．表示大于或者等于的最小整数，表示小于或者等于的最大整数．已知函数 ，且满足：对有，则的可能取值是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数的单调性求参数值、判断指数函数的单调性、函数新定义 【分析】由题意得在上单调递减，结合题意得出当时，要单调递减，且，分别代入的值进行判断即可． 【详解】由得在上单调递减， 当时，， 当时，要递减，且， 对于A，当时，，不合题意，故A错误； 对于B，当时，，不合题意，故B错误； 对于C，当时，，符合题意，故C正确； 对于D，当时，，不合题意，故D错误； 故选：C． 【点睛】方法点睛：对于定义表示大于或者等于的最小整数，应用与函数中，函数图象不易判断，可将选项中的值代入进行判断可简化问题． 二、多选题 11．科学研究表明，物体在空气中冷却的温度变化是有规律的．如果物体的初始温度为，空气温度保持不变，则t分钟后物体的温度（单位：）满足：．若空气温度为，该物体温度从（）下降到，大约所需的时间为，若该物体温度从，下降到，大约所需的时间分别为，则（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】指数函数模型的应用（2）、指数式与对数式的互化 【分析】当时，可求得，继而求得，逐项判定即可. 【详解】有题意可知，， 当，则， 即，， 则， 其是关于的单调递增函数， 当时，， 当时，， 则，故B正确； 当时，， 故A错误； 当时，， 此时满足， ，故C正确，D错误， 故选：BC. 12．1889年瑞典的阿伦尼乌斯提出了阿伦尼乌斯公式：（和均为大于0的常数），为反应速率常数（与反应速率成正比），为热力学温度（），在同一个化学反应过程中为大于0的定值.已知对于某一化学反应，若热力学温度分别为和时，反应速率常数分别为和（此过程中，与的值保持不变），则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】AD 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、指数函数模型的应用（2）、对数的运算性质的应用 【分析】利用不等式性质以及指数型函数单调性即可判断AB，由，利用对数运算可求得D正确. 【详解】由，，，根据不等式性质可得， 所以，又，所以，故，故A选项正确，B选项错误； 易知， 若，可得，所以，故C选项错误，D选项正确. 故选：AD. 13．声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：），不同声的声强级如下，则（    ） （） 正常人能忍受最高声强 正常人能忍受最低声强 正常人平时谈话声强 某人谈话声强 （） 120 0 80 A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】求对数函数的解析式、对数函数模型的应用（2） 【分析】根据表格的前2个数据求函数的解析式，再根据解析式，判断选项. 【详解】由表格可知，当时，，得， 当时，，得， 所以，故A错误； ，则，故B正确； 当时，，故C正确； 当时，即，得，则，故D错误. 故选：BC 三、填空题 14．已知函数，m为正的常数，则的零点之和为 ． 【答案】 【知识点】判断或证明函数的对称性、对数函数图象的应用、求零点的和 【分析】根据给定条件，探讨函数的对称性，再结合零点的意义即可求解得答案. 【详解】函数的定义域为， 由，得，令函数， ，则函数图象关于直线对称， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，    直线与函数的图象有4个交点，令其横坐标从左到右依次为， 观察图象得，所以的零点之和为. 故答案为： 15．已知函数，，则实数a的值为 . 【答案】 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、对数函数的概念判断与求值 【分析】根据分段函数的定义计算函数值后，解方程可得． 【详解】，所以，所以，解得. 故答案为： 16．已知是定义在R上的奇函数，为偶函数.当时，，则 . 【答案】 【知识点】函数奇偶性的应用、函数对称性的应用、对数的运算、由函数的周期性求函数值 【分析】根据函数的奇偶性确定函数的周期，再利用对数运算计算即可. 【详解】由题意可知， 所以， 所以的一个正周期为8，即. 故答案为： 17．早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.若，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】指数幂的运算、基本不等式求积的最大值 【分析】令，，结合基本不等式可得，可化为，求二次函数在区间上的最小值即可. 【详解】不妨设，，则，， 所以，当且仅当时取等号， 即，当且仅当时取等号， 所以 ，（） 所以当时，取得最小值. 故答案为： 四、解答题 18．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且． (1)求函数的解析式； (2)是否存在正实数m，n，使得当时，函数的值域为．若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在， 【知识点】根据函数的最值求参数、由奇偶性求函数解析式、根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、指数式与对数式的互化 【分析】（1）根据函数是偶函数及即可求解； （2）根据函数的单调性，将问题转化为方程有两个不相等的正根，再利用根与系数的关系即可求解. 【详解】（1）因为函数是定义在上的偶函数， 当时，，且， 所以，解得， 所以当时，， 当时，，所以， 所以函数的解析式为. （2）假设存在正实数满足题意. 因为当时，， 所以函数在上是增函数， 所以，即， 所以是方程的两个不相等的正根， 所以，且， 所以,所以, 所以存在正实数，使得当时，函数的值域为. 19．已知函数． (1)求函数的值域； (2)若不等式在上恒成立，求的取值范围； (3)当时，函数的值域为，求正数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】根据值域求参数的值或者范围、求指数型复合函数的值域、根据二次函数零点的分布求参数的范围、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）求出函数式，结合指数函数、二次函数值域求解即得. （2）变形给定不等式，按分段讨论求出的范围. （3）利用函数的单调性求出给定区间上的值域，结合已知转化为一元二次方程有两个不等的正实根求解即得. 【详解】（1）依题意，， 由，得，则， 当，即时，；当，即时，， 所以函数在时的值域为. （2）不等式， 当时，； 当时，，则恒成立， 又在上递减，在上的值域为，因此； 当时，，则恒成立， 又在上递减，在上的值域为，因此， 所以实数的取值范围为. （3）当时，在上单调递增， 又当时，值域为， 因此，即， 则是关于的方程，即的两个不相等的正根， 则，解得， 所以正数的取值范围为. 20．设且，函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数在区间上有零点，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）化简不等式为，按照和分类讨论，利用对数函数的单调性解不等式即可； （2）将零点问题转化为有解，设，则，利用函数的单调性求解参数范围即可. 【详解】（1）当时，不等式可化为， 若，则，解得， 所以不等式的解集为； 若，则，解得， 所以不等式的解集为； 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； （2）由题意可知， 令，即，因为，所以， 所以，所以， 设，则， 因为函数在上单调递减， 所以，所以. 21．已知幂函数的图像关于轴对称，且在上单调递增. (1)求的值及函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，； (2). 【知识点】求幂函数的解析式、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、由幂函数的单调性求参数 【分析】（1）由幂函数的单调性求得,由，通过检验即可求解； （2）由已知得，两边平方，即可求解实数的取值范围． 【详解】（1）由幂函数在上单调递增知, ,解得, 又,则. 当或时，，不符合的图像关于轴对称，故舍去. 当时，，图像关于轴对称，符合题意. 综上所述，. （2）由（1）得，为偶函数，且在上单调递增， 因为,所以, 两边平方，得, 化简得，解得或， 故实数的取值范围为. 22．已知函数 (1)当时， 证明: 为奇函数; (2)当时， 函数在上的值域为 求a的取值范围： (3)当时， 证明: 为中心对称函数. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【知识点】根据函数的最值求参数、函数奇偶性的定义与判断、判断或证明函数的对称性、指数幂的化简、求值 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义证明； （2）先应用单调性得出相等关系，在结合值域的求法得出参数范围； （3）应用函数对称中心定义证明函数中心对称. 【详解】（1）因为，所以， 由，得函数的定义域为， 又， 所以函数为定义域上的奇函数. （2）当时，，是单调增函数， 在上的值域为， 所以 则是的两个解，可得， 设， 在和单调递减，单调递增， 其中，在上值域， 在上值域且取该区间最大值， 综上，数形结合易得. （3）当时，， 所以关于中心对称. 【点睛】方法点睛：应用函数对称中心定义证明函数中心对称，根据奇函数定义证明函数是奇函数. 23．已知函数． (1)若为偶函数，求的值； (2)若的值域为，求的取值范围； (3)当时，求的单调递减区间． 【答案】(1)2； (2)； (3). 【知识点】由奇偶性求参数、对数型复合函数的单调性、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）根据偶函数的性质，可得恒成立，从而可建立等式关系，进而求出的值，可求； （2）因为的值域为，所以可以取遍所有正数，据此计算可求的取值范围； （3）当时，，利用复合函数的单调性可得结论. 【详解】（1）因为为偶函数，所以， 所以，则恒成立，所以， 所以，则． （2）因为的值域为，所以可以取遍所有正数， 所以， 解得． （3）当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 由，得， 在上单调递增， 根据复合函数的单调性可知的单调递减区间为． 24．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且． (1)求的值，并求出的解析式； (2)若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)． 【知识点】由奇偶性求函数解析式、指数函数最值与不等式的综合问题、基本不等式求和的最小值、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）由，求得，再结合函数的奇偶性，求得时，，进而求得函数的解析式； （2）由（1），把在上恒成立，转化为，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：因为是偶函数，所以，解得， 当时，可得，可得， 所以函数的解析式为. （2）解：由（1）知，当时，， 因为在上恒成立， 即， 又因为， 当且仅当时，即时等号成立， 所以，即的取值范围是． 25．对于函数. (1)若，求在上的值域； (2)若与图象恰有一个交点，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)或或 【知识点】根据指对幂函数零点的分布求参数范围、简单的对数方程、求对数型复合函数的值域 【分析】（1）利用对数函数的单调性求解值域即可； （2）把函数图象恰有一个交点问题转化为方程只有一个交点，分类讨论，根据二次方程根的分布列式求解即可. 【详解】（1）当时，， 当时，，则， 故当时，函数在上的值域为； （2）方程， 所以， 由①可得，，即， 当时，方程有唯一解，满足②，所以符合条件； 当时，方程有两相等解，满足②，所以符合条件； 当且时，方程有两不等解，， 若满足②，则， 若满足②，则，所以当时方程恰有一个实根； 综上，实数a的取值范围为或或. 26．已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)设函数，若对任意，总存在使得，求实数b的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】由奇偶性求参数、求指数函数在区间内的值域、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）由函数为偶函数可得，即可求出的值； （2）对任意，总存在使得，等价于的值域是值域的子集，即可求解. 【详解】（1）， 因为函数是偶函数， 所以，即， 所以，所以； （2）由（1）得， 则， 因为函数都是增函数，所以函数是增函数， 故， 因为函数是增函数， 所以， 因为对任意，总存在使得， 所以， 所以，解得， 所以实数b的取值范围为． 27．已知函数. (1)若函数为定义域上的偶函数，求实数的值； (2)当时，对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】函数不等式恒成立问题、由奇偶性求参数、求对数型复合函数的定义域 【分析】（1）由偶函数的定义求值； （2）将不等式转化为，结合真数恒正及常数分离求得的取值范围. 【详解】（1）定义域为，由题知， 即， 化简得， 即对任意恒成立，得. （2）当时， 因为不等式对恒成立， 所以①，且②对恒成立. 由①得. ②即对恒成立，令， 则， 当且仅当时，所以， 综上：的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 指数函数+对数函数（期末压轴专项训练27题） 一、单选题 1．已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 3．下列函数中，既是奇函数，又在是增函数的是（   ） A． B． C． D． 4．已知且，若函数与在上的单调性相同，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知定义在上的函数，其中是奇函数且在上单调递减，的解集为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数的零点分别为，，，则（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 7．已知函数，记，则（    ） A． B． C． D． 8．已知是奇函数，则（    ） A． B．0 C． D．4 9．已知函数（且）满足，且函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．表示大于或者等于的最小整数，表示小于或者等于的最大整数．已知函数 ，且满足：对有，则的可能取值是（    ） A． B．0 C． D． 二、多选题 11．科学研究表明，物体在空气中冷却的温度变化是有规律的．如果物体的初始温度为，空气温度保持不变，则t分钟后物体的温度（单位：）满足：．若空气温度为，该物体温度从（）下降到，大约所需的时间为，若该物体温度从，下降到，大约所需的时间分别为，则（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 12．1889年瑞典的阿伦尼乌斯提出了阿伦尼乌斯公式：（和均为大于0的常数），为反应速率常数（与反应速率成正比），为热力学温度（），在同一个化学反应过程中为大于0的定值.已知对于某一化学反应，若热力学温度分别为和时，反应速率常数分别为和（此过程中，与的值保持不变），则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 13．声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：），不同声的声强级如下，则（    ） （） 正常人能忍受最高声强 正常人能忍受最低声强 正常人平时谈话声强 某人谈话声强 （） 120 0 80 A． B． C． D． 三、填空题 14．已知函数，m为正的常数，则的零点之和为 ． 15．已知函数，，则实数a的值为 . 16．已知是定义在R上的奇函数，为偶函数.当时，，则 . 17．早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.若，则的最小值为 . 四、解答题 18．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且． (1)求函数的解析式； (2)是否存在正实数m，n，使得当时，函数的值域为．若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由． 19．已知函数． (1)求函数的值域； (2)若不等式在上恒成立，求的取值范围； (3)当时，函数的值域为，求正数的取值范围． 20．设且，函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数在区间上有零点，求的取值范围. 21．已知幂函数的图像关于轴对称，且在上单调递增. (1)求的值及函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 22．已知函数 (1)当时， 证明: 为奇函数; (2)当时， 函数在上的值域为 求a的取值范围： (3)当时， 证明: 为中心对称函数. 23．已知函数． (1)若为偶函数，求的值； (2)若的值域为，求的取值范围； (3)当时，求的单调递减区间． 24．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且． (1)求的值，并求出的解析式； (2)若在上恒成立，求的取值范围． 25．对于函数. (1)若，求在上的值域； (2)若与图象恰有一个交点，求实数a的取值范围. 26．已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)设函数，若对任意，总存在使得，求实数b的取值范围． 27．已知函数. (1)若函数为定义域上的偶函数，求实数的值； (2)当时，对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$