专题10 三角函数（诱导公式，三角函数的图象与性质等 考点清单+知识导图+ 18个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（人教A版2019必修第一册）

清单10 三角函数（任意角和弧度制，三角函数的概念，诱导公式，图象与性质） （个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】终边相同的角的集合 所有与角终边相同的角为 【清单02】角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式： ， 【清单03】扇形中的弧长公式和面积公式 弧长公式：(是圆心角的弧度数)， 扇形面积公式：. 【清单04】任意角的三角函数定义 1、单位圆定义法： 如图,设是一个任意角,,它的终边与单位圆相交于点 ①正弦函数：把点的纵坐标叫做的正弦函数,记作,即 ②余弦函数：把点的横坐标叫做的余弦函数,记作,即　　　　  ③正切函数：把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切,记作,即()  我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数 2、终边上任意一点定义法： 在角终边上任取一点，设原点到点的距离为 ①正弦函数： ②余弦函数：　　　　  ③正切函数：()  【清单05】同角三角函数的基本关系 1、平方关系： 2、商数关系:（，） 【清单06】正弦函数、余弦函数的图象和性质 函数 图象 定义域 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 在每一个闭区间()上都单调递增;在每一个闭区间(上都单调递减 在每一个闭区间 ()上都单调递增;在每一个闭区间()上都单调递减 最值 当()时，; 当()时，; 当()时，; 当()时，; 图象的对称性 对称中心为(), 对称轴为直线() 对称中心为(), 对称轴为直线() 【清单07】正切（型）函数的性质 正切函数 正切型函数 定义域 由 值域 周期性 奇偶性 奇函数 当时是奇函数 单调性 在，上单调递增 当,时，由，解出单调增区间 对称性 对称中心：；无对称轴 令：，对称中心为：，无对称轴 【考点题型一】终边相同的角 【例1】（23-24高一下·上海·期中）在内与终边重合的角为 ． 【变式1-1】（23-24高一下·上海徐汇·期中）的角属于第 象限. 【变式1-2】（23-24高一下·上海·期中）在0到范围内，与角终边相同的角是 . 【考点题型二】终边在某条直线上的角的集合 【例2】（多选）（24-25高一上·山东济南·阶段练习）下列表示中正确的是（    ） A．终边在x轴上的角的集合是{|=k，k∈Z} B．终边在y轴上的角的集合是 C．终边在坐标轴上的角的集合是 D．终边在直线y=x上的角的集合是 【变式2-1】（24-25高一·全国·课后作业）如图所示，写出终边落在直线y＝x上的角的集合(用0°到360°间的角表示)． 【变式2-2】（24-25高一·全国·课后作业）写出终边在如图所示的直线上的角的集合．    【考点题型三】区域角的表示 【例3】（24-25高一上·上海·课堂例题）用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界），如图所示. (1) (2) 【变式3-1】（23-24高一·全国·课后作业）已知角的终边落在图中阴影部分(不包括边界),试表示角的取值集合. 【变式3-2】（23-24高一·全国·课后作业）用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合． 【考点题型四】确定及的终边所在的象限 【例4】（23-24高一下·北京）设是第二象限角，则的终边在（    ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限 【变式4-1】（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）设是第三象限角，且，则的终边所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4-2】（多选）（23-24高一上·安徽阜阳）若是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角 【考点题型五】扇形弧长与面积（含最值）的计算 【例5】（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l． (1)若，，求扇形的弧长l； (2)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角． 【变式5-1】（2024·海南·模拟预测）中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，记的长为，的长为，若，则扇环的圆心角的弧度数为（    ）    A．3 B．2 C． D． 【变式5-2】（23-24高一上·山西·期中）某校欲建造一个扇环形状的花坛，该扇环是由以点O为圆心的两个同心圆构造出的，小圆半径米，大圆半径米，圆心角. (1)求该花坛的周长； (2)求该花坛的面积. 【考点题型六】利用定义求三角函数值 【例6】（23-24高一下·北京丰台）在平面直角坐标系中，角与角均以轴的非负半轴为始边，终边关于原点对称.若角的终边与单位圆⊙交于点，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24高一下·广东佛山·期中）若角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高二上·上海·期中）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，且终边经过点，则 ． 【考点题型七】根据三角函数值求参数 【例7】（23-24高一上·吉林延边）已知角的终边经过点，且，则实数的a值是（    ） A． B． C．或 D．1 【变式7-1】（24-25高三上·重庆·开学考试）已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24高一下·上海杨浦）若点是角终边上的一点，且，则 . 【考点题型八】已知,求关于和的齐次式的值 核心方法：商数关系:（，） 【例8】（24-25高三上·广东肇庆·阶段练习）（1）已知角的终边经过点，求值. （2）已知，计算的值. 【变式8-1】（24-25高三上·江西·阶段练习）已知，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式8-2】（2024·辽宁大连·模拟预测）已知，则 【考点题型九】利用,与之间的关系求值 核心方法：平方关系 【例9】（多选）（23-24高一下·山东潍坊·阶段练习）设，，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25高三上·上海·阶段练习）已知是三角形的内角，若，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（23-24高一下·山东威海·阶段练习）已知，且，则 ． 【考点题型十】五点法作图 【例10】（23-24高一上·福建福州·期末）已知函数（其中，，）的图象过点，且图象上与点最近的一个最低点的坐标为． (1)求函数的解析式并用“五点法”作出函数在一个周期内的图象简图； (2)将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数是偶函数，求的最小值． 【变式10-1】（23-24高一下·全国·课后作业）已知函数 请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）； 0 x 【变式10-2】（23-24高一下·江西景德镇·期中）已知函数. (1)先补充下列表格，然后用五点法画出函数在区间上的图象； x 0 0 0 0 1 0 1 (2)求函数在区间上的值域. 【考点题型十一】求方程的解或函数零点的个数问题 【例11】（24-25高三上·上海·开学考试）已知函数的表达式为， (1)设，求函数，的单调增区间； (2)设实数，的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围． 【变式11-1】（23-24高一下·广西梧州·阶段练习）已知函数． (1)求函数的最小正周期和对称轴方程； (2)若函数在上有2个零点，求实数的取值范围． 【变式11-2】（23-24高一下·江西·阶段练习）已知函数，函数为偶函数． (1)证明：为定值． (2)若函数在内存在零点，且零点为，记，请写出X的所有可能取值． 【考点题型十二】正（余）弦函数的周期性 【例12】（多选）（24-25高三上·重庆·阶段练习）在下列函数中，最小正周期为π且在为减函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】（23-24高一下·辽宁大连·期末）下列四个函数中，以为最小正周期，且为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】（多选）（24-25高三上·广东广州·阶段练习）下列函数中，以为周期的有（   ） A． B． C． D． 【考点题型十三】正（余）弦函数的单调性 【例13-1】（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)若，求的单调递增区间. 【变式13-1】（2024高二上·北京）函数的一个单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（23-24高一下·北京·阶段练习）已知函数， (1)如果点是角终边上一点，求的值； (2)设，求的单调递增区间． 【考点题型十四】正余弦函数对称性 【例14-1】（24-25高二上·陕西汉中·开学考试）已知函数与的图象关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 【例14-2】（24-25高三上·全国·阶段练习）已知函数的最小正周期为，则的对称轴可以是（    ） A． B． C． D． 【变式14-1】（24-25高三上·陕西咸阳·期中）函数的一个对称中心的横坐标是（    ） A．0 B． C． D． 【变式14-2】（24-25高二上·甘肃甘南·期中）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于轴对称，则的可能取值为（   ） A． B． C． D． 【考点题型十五】正余弦函数的值域或最值 核心方法：图象法+可化为一元二次函数型 【例15-1】（23-24高一上·广东汕头·期末）函数 的最小值是（    ） A． B． C． D．-2 【例15-2】（23-24高一上·宁夏吴忠·期末）函数的最小值为 ． 【变式15-1】（24-25高一下·浙江湖州·阶段练习）函数的值域为 . 【变式15-2】（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的最大值，并求出取得最大值时所有x的值： (1)； (2)，. 【考点题型十六】正切函数的定义域 【例16】（2024高一上·全国·专题练习）函数的定义域是(　　) A． B． C． D． 【变式16-1】（24-25高一上·全国·课后作业）求函数的定义域，最小正周期及单调区间. 【变式16-2】（2024高一·全国·专题练习）求下列函数的定义域： (1)； (2). 【考点题型十七】正切函数的单调性，奇偶性，对称性 【例17-1】（多选）（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．的图象在上单调递增 C．的图象关于点对称 D．在区间上有两个零点 【例17-2】（多选）（2024·河北）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．函数的对称中心 B．函数的定义域为 C．函数的最小正周期是 D．函数的解集是 【变式17-1】（多选）（24-25高三上·山东日照·阶段练习）若函数的图象经过点，则（   ） A．点为函数图象的对称中心 B．函数的最小正周期为 C．函数在区间上的函数值范围为 D．函数的单调增区间为 【变式17-2】（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）已知函数，则有（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于点对称 C．函数是奇函数 D．函数的最小正周期为 【考点题型十八】正切函数的值域或最值 【例18】（23-24高一下·上海·课后作业）已知，求函数的最大值和最小值． 【变式18-1】（24-25高一·全国·课后作业）求函数的定义域和值域． 【变式18-2】（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）求函数在时的值域. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高一上·山东青岛·期中）在周长为定值的扇形中，面积最大时扇形的半径为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·重庆·期中）若，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 3．（24-25高三上·四川·阶段练习）已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知，则（   ） A．3 B．-3 C．2 D．-2 5．（24-25高三上·青海西宁·期中）下列函数中，在上为减函数的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·山东青岛·期中）已知函数的最小正周期为，则的图象（    ） A．关于点对称 B．关于对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 7．（24-25高三上·陕西咸阳·期中）已知函数，如图，是直线与曲线的两个交点，若，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·河北沧州·期中）已知，若，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·广东深圳·期中）设函数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 D．的最大值为1 10．（24-25高三上·贵州遵义·阶段练习）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的最大值为1 C．是偶函数 D．的图象关于直线对称 三、填空题 11．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知函数的部分图像如图所示，则函数的解析式为 .    12．（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）函数的值域为 . 四、解答题 13．（24-25高三上·北京朝阳·期中）设函数. (1)若，，求的值； (2)已知在区间上单调递增，且是函数的图象的对称轴，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求ω，φ的值. 条件①：当时，取到最小值； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 14．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知函数（，）的最小正周期，. (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递减区间；. (3)若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 15．（2024·上海·高考真题）已知， (1)设，求解:的值域; (2)的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围. 16．（24-28高一上·浙江衢州）已知函数，. (1)当时，求函数的最小值； (2)若的最大值为1，求实数的值； (3)对于任意，不等式都成立，求实数的范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单10 三角函数（任意角和弧度制，三角函数的概念，诱导公式，图象与性质） （个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】终边相同的角的集合 所有与角终边相同的角为 【清单02】角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式： ， 【清单03】扇形中的弧长公式和面积公式 弧长公式：(是圆心角的弧度数)， 扇形面积公式：. 【清单04】任意角的三角函数定义 1、单位圆定义法： 如图,设是一个任意角,,它的终边与单位圆相交于点 ①正弦函数：把点的纵坐标叫做的正弦函数,记作,即 ②余弦函数：把点的横坐标叫做的余弦函数,记作,即　　　　  ③正切函数：把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切,记作,即()  我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数 2、终边上任意一点定义法： 在角终边上任取一点，设原点到点的距离为 ①正弦函数： ②余弦函数：　　　　  ③正切函数：()  【清单05】同角三角函数的基本关系 1、平方关系： 2、商数关系:（，） 【清单06】正弦函数、余弦函数的图象和性质 函数 图象 定义域 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 在每一个闭区间()上都单调递增;在每一个闭区间(上都单调递减 在每一个闭区间 ()上都单调递增;在每一个闭区间()上都单调递减 最值 当()时，; 当()时，; 当()时，; 当()时，; 图象的对称性 对称中心为(), 对称轴为直线() 对称中心为(), 对称轴为直线() 【清单07】正切（型）函数的性质 正切函数 正切型函数 定义域 由 值域 周期性 奇偶性 奇函数 当时是奇函数 单调性 在，上单调递增 当,时，由，解出单调增区间 对称性 对称中心：；无对称轴 令：，对称中心为：，无对称轴 【考点题型一】终边相同的角 【例1】（23-24高一下·上海·期中）在内与终边重合的角为 ． 【答案】 【知识点】找出终边相同的角 【分析】将表示成即可得解. 【详解】因为， 所以在内与终边重合的角为. 故答案为：. 【变式1-1】（23-24高一下·上海徐汇·期中）的角属于第 象限. 【答案】一 【知识点】找出终边相同的角、确定已知角所在象限 【分析】根据终边相同的角的性质即可求解. 【详解】由于，且为第一象限角， 故的角属于第一象限角， 故答案为：一 【变式1-2】（23-24高一下·上海·期中）在0到范围内，与角终边相同的角是 . 【答案】/ 【知识点】找出终边相同的角 【分析】根据终边相同的角的表达，结合题目中取值范围，可得答案. 【详解】与角终边相同的角的集合为， 取，可得． 在0到范围内，与角终边相同的角是. 故答案为：. 【考点题型二】终边在某条直线上的角的集合 【例2】（多选）（24-25高一上·山东济南·阶段练习）下列表示中正确的是（    ） A．终边在x轴上的角的集合是{|=k，k∈Z} B．终边在y轴上的角的集合是 C．终边在坐标轴上的角的集合是 D．终边在直线y=x上的角的集合是 【答案】ABC 【知识点】轴线角、找出终边相同的角 【分析】根据终边相同角的表示方法判断． 【详解】A. 终边在x轴上的角的集合是{|=k，k∈Z}，A正确； B. 结合终边在轴上角，则终边在y轴上的角的集合是，B正确； C. 结合AB，终边在坐标轴上的角的集合是，C正确； D. 结合A，终边在直线y=x上的角的集合是，D错误． 故选：ABC． 【变式2-1】（24-25高一·全国·课后作业）如图所示，写出终边落在直线y＝x上的角的集合(用0°到360°间的角表示)． 【答案】{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}． 【知识点】轴线角 【解析】先求得终边落在y＝x(x≥0)上的角的集合和终边落在y＝x(x≤0)上的角的集合,再取并集即可. 【详解】因为终边落在y＝x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}， 终边落在y＝x(x≤0)上的角的集合是S＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}， 所以终边在y＝x上角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z} ＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z} ＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}． 【变式2-2】（24-25高一·全国·课后作业）写出终边在如图所示的直线上的角的集合．    【答案】答案见解析 【知识点】根据图形写出角（范围） 【分析】首先确定0°～360°范围内终边在所给直线上的两个角，然后分别写出与两个角终边相同的角的集合，最后写出两个集合的并集即可. 【详解】（1）在0°～360°范围内，终边在直线y＝0上的角有两个，即0°和180°， 又所有与0°角终边相同的角的集合为， 所有与180°角终边相同的角的集合为， 于是，终边在直线y＝0上的角的集合为． （2）由图形易知，在0°～360°范围内，终边在直线y＝－x上的角有两个，即135°和315°， 因此，终边在直线y＝－x上的角的集合为． （3）结合（2）知所求角的集合为 同理可得终边在直线y＝x、y=-x上的角的集合为，． 【考点题型三】区域角的表示 【例3】（24-25高一上·上海·课堂例题）用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界），如图所示. (1) (2) 【答案】(1)； (2). 【知识点】根据图形写出角（范围） 【分析】结合图形，由终边相同的角的集合，即可得到结果. 【详解】（1）因为的终边相同，，所以阴影部分所表示的区域位于与之间且跨越x轴的正半轴，所以终边落在阴影部分的角的集合为. （2）因为，，阴影部分所表示的区域由两部分组成，所以终边落在阴影部分的角的集合为 . 【变式3-1】（23-24高一·全国·课后作业）已知角的终边落在图中阴影部分(不包括边界),试表示角的取值集合. 【答案】或 【知识点】根据图形写出角（范围） 【解析】写出终边在边界上的角，根据由小到大，即可由不等式表示终边落在阴影部分的角. 【详解】由题图可知,终边落在射线OA上的角构成的集合, 终边落在射线OB上的角构成的集合, 所以角的取值集合. 也可以表示为. 【点睛】本题主要考查了根据角的终边位置表示终边落在某区域的角的集合，属于中档题. 【变式3-2】（23-24高一·全国·课后作业）用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合． 【答案】(1)；(2). 【知识点】根据图形写出角（范围） 【详解】试题分析： (1)与330°角的终边相同的角的弧度制为，且，据此可得终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为； (2)由题意可知：，则终边在直线AB上的角为α＝kπ＋，k∈Z，又终边在y轴上的角为β＝kπ＋，k∈Z，故终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为. 试题解析： (1)如题图①，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－，而75°＝75×＝， 所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为. (2)如题图②，因为30°＝，210°＝，这两个角的终边所在的直线相同， 因此终边在直线AB上的角为α＝kπ＋，k∈Z， 又终边在y轴上的角为β＝kπ＋，k∈Z， 从而终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为. 点睛：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成集合： .即任何一个与角的终边相同的角都可以表示为角与周角的整数倍的和. 【考点题型四】确定及的终边所在的象限 【例4】（23-24高一下·北京）设是第二象限角，则的终边在（    ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限 【答案】D 【知识点】确定n分角所在象限 【分析】由 ，得到，对k赋值判断. 【详解】解：因为是第二象限角， 所以 ， ， 当 时， ，在第一象限； 当 时， ，在第二象限； 当 时， ，在第四象限； 故选：D 【变式4-1】（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）设是第三象限角，且，则的终边所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】确定n分角所在象限、由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】由是第三象限角，求出所在的象限，再由，可得出答案. 【详解】因为是第三象限角，所以，， 所以，，则是第二或第四象限角， 又，即，所以是第四象限角. 故选：D． 【变式4-2】（多选）（23-24高一上·安徽阜阳）若是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角 【答案】AB 【知识点】确定已知角所在象限、由已知角所在的象限确定某角的范围、确定n倍角所在象限、确定n分角所在象限 【分析】由与关于x轴对称，判断A选项； 由已知得，，再根据不等式的性质可判断B选项； 由是第一象限角判断C选项； 由不等式的性质可得，，由此可判断D选项． 【详解】解：因为与关于x轴对称，而是第二象限角，所以是第三象限角，所以是第一象限角，故A选项正确； 因为是第二象限角，所以，，所以，，故是第一或第三象限角，故B选项正确； 因为是第二象限角，所以是第一象限角，故 C选项错误； 因为是第二象限角，所以，，所以，，所以的终边可能在y轴负半轴上，故D选项错误． 故选：AB. 【考点题型五】扇形弧长与面积（含最值）的计算 【例5】（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l． (1)若，，求扇形的弧长l； (2)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角． 【答案】(1) (2)扇形周长的最小值为，此时 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算、扇形中的最值问题、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）先将圆心角化为弧度制，再根据弧长公式即可得解； （2）根据扇形的面积公式求得的关系，再利用基本不等式即可得出答案. 【详解】（1）因为，， 所以扇形的弧长； （2）由扇形面积，得， 则扇形周长为， 当且仅当，即时，取等号， 此时，，所以， 所以扇形周长的最小值为，此时. 【变式5-1】（2024·海南·模拟预测）中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，记的长为，的长为，若，则扇环的圆心角的弧度数为（    ）    A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【知识点】弧长的有关计算 【分析】设扇环所在圆的圆心为，圆心角为，根据，得到，. 【详解】如图，设扇环所在圆的圆心为，圆心角为，则， 所以，得，又，所以.    故选：A 【变式5-2】（23-24高一上·山西·期中）某校欲建造一个扇环形状的花坛，该扇环是由以点O为圆心的两个同心圆构造出的，小圆半径米，大圆半径米，圆心角. (1)求该花坛的周长； (2)求该花坛的面积. 【答案】(1)； (2). 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算 【分析】（1）利用弧长公式计算即可； （2）利用扇形面积公式计算即可. 【详解】（1）的长度为米， 的长度为米， 米， 故该花坛的周长为（米）; （2）该花坛的面积平方米. 【考点题型六】利用定义求三角函数值 【例6】（23-24高一下·北京丰台）在平面直角坐标系中，角与角均以轴的非负半轴为始边，终边关于原点对称.若角的终边与单位圆⊙交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用定义求某角的三角函数值 【分析】根据对称可得，进而根据三角函数的定义即可求解. 【详解】角与角终边关于原点对称，且若角的终边与单位圆⊙交于点，所以角的终边与单位圆⊙交于点， 故， 故选：B 【变式6-1】（23-24高一下·广东佛山·期中）若角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用定义求某角的三角函数值 【分析】根据题意，由三角函数的定义，即可得到结果. 【详解】因为角的终边经过点，则. 故选：D 【变式6-2】（24-25高二上·上海·期中）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，且终边经过点，则 ． 【答案】 【知识点】利用定义求某角的三角函数值、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据三角函数的定义及终边上的点求函数值. 【详解】根据正切函数的定义知：. 故答案为： 【考点题型七】根据三角函数值求参数 【例7】（23-24高一上·吉林延边）已知角的终边经过点，且，则实数的a值是（    ） A． B． C．或 D．1 【答案】B 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】由题设可得且，求解即可. 【详解】由题设，且，即， ∴，则，解得或， 综上，. 故选：B. 【变式7-1】（24-25高三上·重庆·开学考试）已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】根据给定条件，利用三角函数的定义列式计算即得. 【详解】依题意，，（为坐标原点）， 则，所以. 故选：A 【变式7-2】（23-24高一下·上海杨浦）若点是角终边上的一点，且，则 . 【答案】-4 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】由正弦的定义,可得,即可求出的值. 【详解】由题意,,解得. 故答案为:-4. 【点睛】本题考查了利用角的终边上任意一点(除原点)的坐标定义三角函数,属于基础题. 【考点题型八】已知,求关于和的齐次式的值 核心方法：商数关系:（，） 【例8】（24-25高三上·广东肇庆·阶段练习）（1）已知角的终边经过点，求值. （2）已知，计算的值. 【答案】（1）；（2）0 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、正、余弦齐次式的计算 【分析】（1）利用三角函数定义计算可得，再由同角三角函数之间的商数关系计算可得结果； （2）根据商数关系化简可得，再利用平方关系以及“1”的应用计算可得结果. 【详解】（1）由角的终边经过点，可知， 则可得. （2）由，化简得， 因此. 所以 【变式8-1】（24-25高三上·江西·阶段练习）已知，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】根据齐次式，弦切互化即可求解. 【详解】∵， ∴， ∴， 解得. 故选：D. 【变式8-2】（2024·辽宁大连·模拟预测）已知，则 【答案】 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】将原式中的分子、分母同除以，再将代入即可. 【详解】. 故答案为： 【考点题型九】利用,与之间的关系求值 核心方法：平方关系 【例9】（多选）（23-24高一下·山东潍坊·阶段练习）设，，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】将两边平方，结合平方关系求出A，即可判断，则，即可判断B、C，利用平方差公式判断D. 【详解】因为，所以， 即，即， 所以，故A错误； 又，，所以，则，则 ， 所以，故B正确、C错误； ，故D正确； 故选：BD 【变式9-1】（24-25高三上·上海·阶段练习）已知是三角形的内角，若，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】将两边平方，求出，即可得到且，最后根据计算可得. 【详解】因为，所以， 即，所以，即， 又是三角形的内角，所以，则， 所以. 故选：A 【变式9-2】（23-24高一下·山东威海·阶段练习）已知，且，则 ． 【答案】 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系即可求得的值． 【详解】 ，， 则， 故答案为：． 【考点题型十】五点法作图 【例10】（23-24高一上·福建福州·期末）已知函数（其中，，）的图象过点，且图象上与点最近的一个最低点的坐标为． (1)求函数的解析式并用“五点法”作出函数在一个周期内的图象简图； (2)将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数是偶函数，求的最小值． 【答案】(1)，图象见解析； (2) 【知识点】五点法画余弦函数的图象、由余弦（型）函数的奇偶性求参数、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）由最低点的坐标得出，由周期求出，利用五点作图法得出，求出函数的解析式，进而画出图象； （2）通过平移得出的解析式，利用函数为偶函数列方程求出的最小值． 【详解】（1）由题意可得，，且周期，则， 又，解得，，， （2）， 函数是偶函数，则，解得 又，则当时，的最小值为． 【变式10-1】（23-24高一下·全国·课后作业）已知函数 请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）； 0 x 【答案】作图见解析 【知识点】五点法画正弦函数的图象 【分析】根据五点作图法，分别令填写表格，再作出函数图象. 【详解】令，得： 0 x 0 1 0 0 画出函数在一个周期的图象，如图， 【变式10-2】（23-24高一下·江西景德镇·期中）已知函数. (1)先补充下列表格，然后用五点法画出函数在区间上的图象； x 0 0 0 0 1 0 1 (2)求函数在区间上的值域. 【答案】(1)答案见详解 (2) 【知识点】五点法画正弦函数的图象、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）先填表，再描点连线即可得出答案； （2）求出的范围，即可得出答案. 【详解】（1） x 0 0 1 0 0 1 0 1 2 1 函数在区间上的图象为 （2）当时，， 所以，即函数在区间上的值域为. 【考点题型十一】求方程的解或函数零点的个数问题 【例11】（24-25高三上·上海·开学考试）已知函数的表达式为， (1)设，求函数，的单调增区间； (2)设实数，的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围． 【答案】(1)增区间是，减区间是； (2)． 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求正弦（型）函数的最小正周期、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）结合正弦函数的单调性求解； （2）由，得，考虑正弦函数在上的零点，可得关于的不等式，解之可得． 【详解】（1），，，则， 时，， 所以时，，单调递增， 时，，单调递减， 因此增区间是，减区间是； （2）的最小正周期为，则，即， ，则， 由题意，解得． 【变式11-1】（23-24高一下·广西梧州·阶段练习）已知函数． (1)求函数的最小正周期和对称轴方程； (2)若函数在上有2个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)，； (2). 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】（1）利用正弦函数的周期性和对称性即可得到答案. （2）求出函数的解析式及对应的相位范围，再把函数零点问题转化为两个函数图象的交点问题即可求出的范围. 【详解】（1）依题意，函数的最小正周期； 由，得， 所以函数对称轴方程为． （2）， 故条件等价于方程在上有个解. 由，得，且和一一对应，所以条件等价于方程在上有两个解. 作出在上的图象如下： 由于在和上递增，在上递减， 且，，，. 故方程在上有两个解等价于或，解得或. 所以的取值范围是. 【变式11-2】（23-24高一下·江西·阶段练习）已知函数，函数为偶函数． (1)证明：为定值． (2)若函数在内存在零点，且零点为，记，请写出X的所有可能取值． 【答案】(1)证明见解析； (2)的所有可能取值为. 【知识点】求函数的零点、求含sinx(型)函数的值域和最值、由正弦（型）函数的奇偶性求参数、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据给定条件，借助正弦型函数是偶函数的特性求出，求出解析式即可计算得证. （2）由（1）求出，换元并构造函数，探讨函数单调性，结合图象求出的所有可能取值. 【详解】（1）依题意，， 由为偶函数，得，解得，而，则， 又， 所以，为定值. （2）由（1）得，令，由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， ， ， 则函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， ，    当时，有3个零点，， 因此； 当时，有4个零点，， 因此； 当时，有3个零点，， 因此； 当时，有2个零点，， 因此； 当时，有1个零点，，因此， 所以的所有可能取值为. 【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出的解；(2)图象法：作出函数的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数. 【考点题型十二】正（余）弦函数的周期性 【例12】（多选）（24-25高三上·重庆·阶段练习）在下列函数中，最小正周期为π且在为减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求正切（型）函数的周期、三角恒等变换的化简问题、复合函数的单调性 【分析】根据三角函数的图象与性质，以及复合函数的单调性判断方法逐项判断即可. 【详解】对于A，的最小正周期为，当时，，， 根据余弦函数的单调性可知，此时函数单调递减，故A正确； 对于B，的最小正周期，故B不正确； 对于C，，所以最小正周期， 当时，，根据余弦函数的单调性可知，此时函数单调递减，故C正确； 对于D，最小正周期，当时，， 由复合函数单调性判断方法可知，此时单调递减，故D正确. 故选：ACD. 【变式12-1】（23-24高一下·辽宁大连·期末）下列四个函数中，以为最小正周期，且为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、求正弦（型）函数的最小正周期、求余弦（型）函数的最小正周期、求正切（型）函数的周期 【分析】利用诱导公式和正弦函数、余弦函数、正切函数的周期性和奇偶性即可判断. 【详解】对A，，其定义域为，设， 因为，故其为偶函数，故A错误； 对B，，其定义域为，设， 则，则其为奇函数，且最小正周期为，故B正确； 对C，，其最小正周期为，故C错误； 对D，，其最小正周期为，故D错误. 故选：B. 【变式12-2】（多选）（24-25高三上·广东广州·阶段练习）下列函数中，以为周期的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】三角函数恒等式的证明——诱导公式、求正弦（型）函数的最小正周期、求正切（型）函数的周期 【分析】利用周期的定义，结合诱导公式逐项判断即可得出结果. 【详解】对于，故A正确； 对于B.，故B正确； 对于C.，， ，故不是以为周期的函数，故C错误； 对于D.函数的最小正周期为 ，所以也是它的一个周期，故D正确. 故选：ABD 【考点题型十三】正（余）弦函数的单调性 【例13-1】（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)若，求的单调递增区间. 【答案】(1) (2) 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）由二倍角公式及辅助角公式化简，结合周期公式即可； （2）通过，进而可求解. 【详解】（1） ， 所以的最小正周期为. （2）令， 则， 所以的单调递增区间为. 又因为，分别取和，得到， 所以的单调递增区间为. 【变式13-1】（2024高二上·北京）函数的一个单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、求cosx型三角函数的单调性、诱导公式五、六 【分析】利用诱导公式化简，再结合的图象性质可得结果. 【详解】， 由的图象可知在，上单调递增，上单调递减， 故A正确，BCD均错误. 故选：A. 【变式13-2】（23-24高一下·北京·阶段练习）已知函数， (1)如果点是角终边上一点，求的值； (2)设，求的单调递增区间． 【答案】(1) (2) 【知识点】辅助角公式、二倍角的余弦公式、求cosx型三角函数的单调性、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】（1）由角终边上的点，求出，代入利用诱导公式和倍角公式化简即可； （2）辅助角公式化简解析式，整体代入法求单调递增区间． 【详解】（1）点是角终边上一点，则， 所以； （2）， 由，得：， 所以的单调增区间为. 【考点题型十四】正余弦函数对称性 【例14-1】（24-25高二上·陕西汉中·开学考试）已知函数与的图象关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】诱导公式五、六、利用正弦函数的对称性求参数、利用cosx（型）函数的对称性求参数 【分析】由已知可得，结合三角函数的诱导公式可求． 【详解】由题意得，， 所以， 由三角函数的诱导公式可得，， 所以， 故当时，的最小值为 故选：C． 【例14-2】（24-25高三上·全国·阶段练习）已知函数的最小正周期为，则的对称轴可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、由余弦（型）函数的周期性求值 【分析】由条件，结合余弦型函数的周期公式可求，再根据余弦型性质求函数的对称轴即可. 【详解】因为函数的最小正周期为， 所以， 所以， 所以， 令，， 可得，， 所以函数的对称轴为，， 结合选项考虑令，化简可得， 所以取，此时对称轴方程为. 故选：B. 【变式14-1】（24-25高三上·陕西咸阳·期中）函数的一个对称中心的横坐标是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】由可求得对称中心的横坐标. 【详解】由，可得，， 所以，，所以当时，， 故选：D 【变式14-2】（24-25高二上·甘肃甘南·期中）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于轴对称，则的可能取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用cosx（型）函数的对称性求参数、求图象变化前（后）的解析式 【分析】求出平移后的函数解析式，再利用偶函数的性质求出即可. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后，得， 依题意，，解得， 显然不存在自然数使得选项ACD成立，当时，，B满足. 故选：B 【考点题型十五】正余弦函数的值域或最值 核心方法：图象法+可化为一元二次函数型 【例15-1】（23-24高一上·广东汕头·期末）函数 的最小值是（    ） A． B． C． D．-2 【答案】B 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、求含cosx的二次式的最值 【分析】由同角三角函数基本关系转化为余弦函数，配方后求最小值. 【详解】因为， 所以当时，， 故选：B 【例15-2】（23-24高一上·宁夏吴忠·期末）函数的最小值为 ． 【答案】 【知识点】求含cosx的二次式的最值 【分析】配方后根据求最小值即可. 【详解】因为，， 所以当时，，故函数的最小值为． 故答案为： 【变式15-1】（24-25高一下·浙江湖州·阶段练习）函数的值域为 . 【答案】 【知识点】求含sinx（型）的二次式的最值 【分析】利用三角恒等变换结合换元法转化为二次函数在给定区间上的值域问题，再利用二次函数的性质得到单调性，求解最值，得到原函数值域即可. 【详解】因为，所以， 故，令， 得到，由二次函数性质得在上单调递减， 在上单调递增，所以的最小值为， 而，，故，故原函数值域为. 故答案为： 【变式15-2】（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的最大值，并求出取得最大值时所有x的值： (1)； (2)，. 【答案】(1)时，该函数取得最大值. (2)时，该函数取得最大值 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、二倍角的余弦公式、求含sinx（型）的二次式的最值 【分析】（1）由三角恒等变换化简解析式，再由正弦函数的性质求解； （2）由配方法将该函数化为二次函数，再由正弦函数的性质求解. 【详解】（1）∵， ， 即时，该函数取得最大值. （2）， 时，该函数取得最大值. 【考点题型十六】正切函数的定义域 【例16】（2024高一上·全国·专题练习）函数的定义域是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求对数型复合函数的定义域、求正切（型）函数的定义域 【分析】根据对数式中真数大于零，列出不等式，从而求解. 【详解】由题意得， 即， 所以，， 所以，，故B项正确. 故选:B. 【变式16-1】（24-25高一上·全国·课后作业）求函数的定义域，最小正周期及单调区间. 【答案】答案见解析 【知识点】求正切型三角函数的单调性、求正切（型）函数的周期、求正切（型）函数的定义域 【分析】首先将转化为然后结合正切函数的定义域、单调性，整体代入求解即可； 【详解】 x应满足 即 函数的定义域为 ； 周期公式法：， 函数的最小正周期为：； 又由 解得 函数的单调递减区间为 ，无单调递增区间. 【变式16-2】（2024高一·全国·专题练习）求下列函数的定义域： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【知识点】求正切（型）函数的定义域、求含tanx的函数的定义域 【分析】(1)由有意义，列不等式求其解集可得函数的定义域，(2)由有意义可得且，，解不等式求其解集可得函数的定义域. 【详解】（1）由得， ， 所以函数y＝tan的定义域为. （2）由且有意义得且，，即，，所以函数的定义域为 【考点题型十七】正切函数的单调性，奇偶性，对称性 【例17-1】（多选）（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．的图象在上单调递增 C．的图象关于点对称 D．在区间上有两个零点 【答案】ACD 【知识点】求函数零点或方程根的个数、求正切（型）函数的对称中心、求正切（型）函数的周期、求正切型三角函数的单调性 【分析】利用正切型函数的周期公式求解判断A；结合正切函数的定义域分析判断B；结合正切函数的对称性求解判断C；求出指定区间上的零点判断D. 【详解】对于A，函数的最小正周期为，A正确； 对于B，当时，，而当，即时， 无意义，因此函数的图象在上不单调，B错误； 对于C，由，得， 因此的图象关于点对称，C正确； 对于D，由，得， 当或，即或时，， 所以在区间上有两个零点，D正确. 故选：ACD 【例17-2】（多选）（2024·河北）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．函数的对称中心 B．函数的定义域为 C．函数的最小正周期是 D．函数的解集是 【答案】BCD 【知识点】求正切（型）函数的对称中心、求正切（型）函数的周期、解正切不等式 【分析】根据正切函数的对称中心判断A，求出正切型函数定义域判断B，根据正切函数周期判断C，解正切型函数不等式判断D. 【详解】因为正切函数的对称中心为，则,l可知函数的对称中心应为，所以A错误； 由，则定义域为，所以B对； 函数的最小正周期与函数的最小正周期相同，都是，所以C对； 函数等价于，解之可得：，所以D对. 故选：BCD. 【变式17-1】（多选）（24-25高三上·山东日照·阶段练习）若函数的图象经过点，则（   ） A．点为函数图象的对称中心 B．函数的最小正周期为 C．函数在区间上的函数值范围为 D．函数的单调增区间为 【答案】AC 【知识点】求正切（型）函数的周期、求正切型三角函数的单调性 【分析】先求出解析式，对于A，求出函数的对称中心即可判断；对于B，由解析式及最小正周期公式求解即可；对于C，根据变量范围得出角的范围即可得出函数的函数值范围；对于D，求出正切型函数的单调递增区间以及零点即可根据正切（型）函数图象性质得出函数的单调增区间. 【详解】由题，又，故，所以， 对于A，令，则， 所以的对称中心为， 当时，，故点为函数图象的一个对称中心，故A正确； 对于B，由上的最小正周期为，故B错误； 对于C，当，，故，故C正确； 对于D，令，所以， 所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间， 令即，所以即， 所以函数的零点为，作出函数的示意图，    所以函数的单调增区间为，故D错误. 故选：AC. 【变式17-2】（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）已知函数，则有（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于点对称 C．函数是奇函数 D．函数的最小正周期为 【答案】BCD 【知识点】求正切（型）函数的奇偶性、求正切（型）函数的周期、求正切（型）函数的对称中心、二倍角的余弦公式 【分析】根据二倍角公式对函数解析式化简变形，结合正切函数性质逐项分析即可判断. 【详解】， 由的最小正周期为可知，函数的最小正周期为，故D正确； 又，所以函数是奇函数，故C正确； ， 所以函数的图象关于点对称，故B正确； ，所以， 所以函数的图象不关于直线对称，故A错误. 故选：BCD. 【考点题型十八】正切函数的值域或最值 【例18】（23-24高一下·上海·课后作业）已知，求函数的最大值和最小值． 【答案】最大值为，最小值为2 【知识点】求含tanx的二次式的最值 【分析】换元法求函数值域，首先令，根据得，进而结合二次函数的图象与性质即可求解. 【详解】令，因为，所以， 则，因为对称轴为，所以在上单调递减， 所以当时，； 当时，. 【变式18-1】（24-25高一·全国·课后作业）求函数的定义域和值域． 【答案】定义域为，值域为. 【知识点】与二次函数相关的复合函数问题、求含tanx的函数的定义域、求含tanx的二次式的最值 【分析】本题首先可以根据解得函数的定义域为，然后令，则，最后采用配方法即可求出值域. 【详解】因为，即， 所以函数的定义域为， 设，则， ， 故函数的值域为. 【点睛】本题考查函数的定义域以及值域的求法，考查正切函数的性质，考查换元法求值域以及配方法的应用，考查计算能力，是中档题. 【变式18-2】（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）求函数在时的值域. 【答案】 【知识点】求正切型三角函数的单调性、求含tanx的二次式的最值 【分析】先求出的取值范围，再结合二次函数性质得值域． 【详解】∵， ∴， ， ∴时，， 函数无最大值， ∴所求值域为． 故答案为：． 【点睛】本题考查对数型函数的值域，解题时利用整体思想（即换元思想）转化为二次函数值域问题求解，使问题更加简便易求． 提升训练 一、单选题 1．（24-25高一上·山东青岛·期中）在周长为定值的扇形中，面积最大时扇形的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】扇形面积的有关计算 【分析】用半径表示出面积，结合函数知识得结论. 【详解】设扇形半径为，则扇形面积为 ， 所以时，取得最大值. 故选：C 2．（24-25高二上·重庆·期中）若，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、正、余弦齐次式的计算 【分析】根据同角三角函数的基本关系，把问题转化为“齐次式”求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C 3．（24-25高三上·四川·阶段练习）已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数、已知角或角的范围确定三角函数式的符号 【分析】利用三角函数的定义，建立方程，结合象限角的定义，可得答案. 【详解】依题意，，其中，为坐标原点， 则，所以． 故选：D. 4．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知，则（   ） A．3 B．-3 C．2 D．-2 【答案】B 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】由已知可得，即可求值. 【详解】 . 故选：B. 5．（24-25高三上·青海西宁·期中）下列函数中，在上为减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、求sinx型三角函数的单调性 【分析】根据三角函数的单调性及复合函数的单调性性质判断． 【详解】，，在上均不是单调函数， 时，， 所以在上为增函数，在上为减函数. 故选：D． 6．（24-25高三上·山东青岛·期中）已知函数的最小正周期为，则的图象（    ） A．关于点对称 B．关于对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】D 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】根据周期求出，代入，计算检验即可判断各选项. 【详解】因为函数的最小正周期为， 所以， 因为，所以AC错误； ，所以B错误，D正确. 故选：D 7．（24-25高三上·陕西咸阳·期中）已知函数，如图，是直线与曲线的两个交点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】特殊角的三角函数值、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】根据的位置特征，不妨令，，又，故，解得，在函数图象上，代入计算，求出，从而求出. 【详解】令，解得或， 是与曲线的两个相邻的交点， 且在单调递增区间上，在单调递减区间上，在左边， 不妨设，， 两式相减得， 又，故，所以，解得， 故， 又图象可知，在函数图象上， 故，解得， 所以. 故选：C 8．（24-25高三上·河北沧州·期中）已知，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求函数值、函数奇偶性的应用 【分析】根据函数解析式求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以 所以， 故选：A 二、多选题 9．（24-25高二上·广东深圳·期中）设函数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 D．的最大值为1 【答案】AB 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】根题意结合正弦型函数性质逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A：函数最小正周期为，故A正确； 对于选项BD：因为为最大值， 可知的图象关于直线对称，故B正确，D错误； 对于选项C：因为， 所以不为的零点，故C错误； 故选：AB. 10．（24-25高三上·贵州遵义·阶段练习）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的最大值为1 C．是偶函数 D．的图象关于直线对称 【答案】BC 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的奇偶性、求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】根据函数的图像逐项判断即可. 【详解】函数， 所以的图像关于轴对称，且不具备周期性，不关于直线对称， 故选项AD错误，C正确， 且的最大值为1，故B正确. 故选：BC 三、填空题 11．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知函数的部分图像如图所示，则函数的解析式为 .    【答案】 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】根据最值可得，根据周期可求解，代入最高点即可求解. 【详解】由图可知,解得， 故， 周期,故， 又, 解得，由于所以， 故， 故答案为： 12．（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）函数的值域为 . 【答案】 【知识点】求cosx(型)函数的值域、求含cosx的二次式的最值 【分析】将函数式化为，结合余弦函数值域及二次函数性质求值域. 【详解】由，而， 当时，； 当时，； 综上，函数值域为. 故答案为： 四、解答题 13．（24-25高三上·北京朝阳·期中）设函数. (1)若，，求的值； (2)已知在区间上单调递增，且是函数的图象的对称轴，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求ω，φ的值. 条件①：当时，取到最小值； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)答案见解析. 【知识点】特殊角的三角函数值、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【分析】（1）代入参数值得到函数关系，求函数值； （2）先由三角恒等变换化简三角函数，选择条件①由函数图像的性质得到两条对称轴即可求出周期，从而解出的值，代入函数值求得的值；选择条件③由函数图像的性质得到两条对称轴即可求出周期，从而解出的值，代入函数值求得的值；选择条件②不能求出参数值，故不能选条件②. 【详解】（1）由，，得. 则； （2）， ， . 选择条件①： 因为在区间上单调递增， 且是函数的图象的对称轴， 又当时，取到最小值，所以， 故. 因为，所以. 所以，. 又因为， 所以，得. 又因为，所以. 选择条件③： 因为在区间上单调递增， 且是函数的图象的对称轴， 又在区间上单调递减，所以， 故. 因为，所以. 所以，. 又因为， 所以，得. 又因为，所以. 选择条件②不能求出参数值，故不能选条件②. 14．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知函数（，）的最小正周期，. (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递减区间；. (3)若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求sinx型三角函数的单调性、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）由函数的最小正周期求出，由求出可得的解析式； （2）根据正弦函数的单调性可得答案； （3）根据的范围求出的范围，由已知可化为，设，即求，利用基本不等式可得答案. 【详解】（1）由题意，函数的最小正周期， 可得，且，可得， 又由，所以，所以； （2）令， 解得， 所以函数的单调递减区间为； （3）， 所以，， 因为可化为， 设，所以， 设，则，故， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以. 【点睛】关键点点睛：第三问解题的关键点是转化为设，求. 15．（2024·上海·高考真题）已知， (1)设，求解:的值域; (2)的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围. 【答案】(1); (2) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）利用三角函数的性质结合换元法求出单调性，再求解值域即可. （2）利用三角函数的性质求解参数即可. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以令， 由正弦函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 所以，故， （2）由题意得，所以，可得， 当时，，，即，， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 所以， 即，故. 16．（24-28高一上·浙江衢州）已知函数，. (1)当时，求函数的最小值； (2)若的最大值为1，求实数的值； (3)对于任意，不等式都成立，求实数的范围. 【答案】(1) (2)或5； (3) 【知识点】求二次函数的值域或最值、已知正（余）弦求余（正）弦、由cosx（型）函数的值域（最值）求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）代入后配方，结合二次函数的性质和余弦函数的值域求解即可； （2）配方后再根据对称轴的情况分类讨论即可； （3）令，利用对勾函数的单调性求出最值即可； 【详解】（1）当时，， 因为， 所以当时，函数有最小值，最小值为， （2）因为， 当，即时， 则当时，函数的最大值为， 解得（舍去），或； 当即时，则当时，函数有最大值，即，解得； 当时，即时，则当时，函数有最大值， 即，解得（舍去）. 综上，或5. （3）因为， 令，由，得， 则， 因为都成立， 所以都成立， 所以在上恒成立， 姐在恒成立， 设， 由对勾函数的性质易知函数在上为减函数， 所以， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$