第01讲 平面向量的基本概念（4个知识点+4类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第二册）

第01讲 平面向量的概念 课程标准 学习目标 掌握向量、相等向量、共线向量的概念及向量的几何表示；对共线向量的理解及掌握. 1. 通过对生活中力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景； 2. 理解向量的意义及几何表示； 3. 掌握相等向量与共线向量的意义. 知识点01 向量的概念 1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量. 2．数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 【解读】（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． （2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． （3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 【即学即练1】有下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥功． 其中，不是向量的个数是(　　) A．1　　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 知识点02 向量的表示法 1．有向线段 具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． 2．向量的表示方法 （1）字母表示法：如等. （2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 【注意】（1）用字母表示向量便于向量运算； （2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． 【即学即练2】已知向量a如图所示，下列说法不正确的是(　　) A．也可以用表示 B．方向是由M指向N C．起点是M D．终点是M 知识点03向量的有关概念 1．向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). 【解读】（1）向量的模． （2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小． 2．零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． 3．单位向量：长度等于1个单位的向量. 【解读】定义中的零向量和单位向量都是只限制大小，没有确定方向．我们规定零向量的方向是任意的；单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同，在平面内，将所有单位向量的起点平移到同一点，则它们的终点构成一个半径为1的圆. 4．相等向量：长度相等且方向相同的向量. 【解读】在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等． 【即学即练3】（2024·高二课时练习）下列关于向量的命题中，真命题的个数是（    ） ①任一向量与它的相反向量不相等； ②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； ③若，则； ④两个向量相等，则它们的起点与终点相同. A．0 B．1 C．2 D．3 知识点04向量的共线或平行 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定：与任一向量共线. 【解读】（1）零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别. (2)理解平行向量的概念时，需注意平行向量和平行直线是有区别的，平行直线不包括重合的情况，而平行向量是可以重合的． (3)共线向量就是平行向量，其中“共线”的含义不是平面几何中“共线”的含义．实际上，共线向量(平行向量)有以下四种情况：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等．这样，也就找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量． (4)向量相等具有传递性，即a＝b，b＝c，则a＝c. 而向量的平行不具有传递性，若a∥b，b∥c，未必有a∥c. 因为零向量平行于任意向量． 【即学即练4】 在下列命题中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量．正确的命题是________． 题型01 平面向量的基本概念 【典例1】（23-24高一下·北京·期中）以下命题中正确的个数是（   ） ①两个相等向量的模相等； ②若和都是单位向量，则； ③相等的两个向量一定是共线向量； ④零向量是唯一没有方向的向量； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（23-24高一下·福建莆田·阶段练习）下列结论中，正确的是（    ） A．零向量的大小为0，没有方向 B． C．起点相同的单位向量，终点必相同 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 【变式2】（24-25高二上·甘肃临夏·阶段练习）判断下列各命题的真假：①向量与平行，则与的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高一下·吉林·期末）下列说法正确的是（    ） A．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上； B．若，则与的长度相等且方向相同或相反； C．若，且与的方向相同，则 D．若，则与方向相同或相反 【变式4】（23-24高一下·北京·期中）已知是平面内四个不同的点，则“”是“四边形为平行四边形”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型02 平面向量的表示 【典例2】（25-26高一上·全国·随堂练习）如图，在圆中，向量，，是（    ）    A．有相同起点的向量 B．相反向量 C．模相等的向量 D．相等向量 【变式1】（23-24高一下·江西九江·阶段练习）如图，B是线段AC的中点，若分别以图中各点为起点和终点，则最多可以写出 个共线非零向量．    【变式2】如图，是某人行走的路线，那么的几何意义是某人从A点沿西偏南 方向行走了 km． 【变式3】　一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点,然后改变方向向西偏北50°方向行驶了200 km到达C点,又改变方向,向东行驶了100 km到达D点。 (1)作出向量,,; (2)求汽车从A点到D点的位移大小||。 题型03 平行向量与相等向量 【典例3】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在菱形中，，则以下说法正确的是（    ）    A．与相等的向量只有1个（不含） B．与的模相等的向量有9个（不含） C．的模恰为的模的倍 D．与不相等 【变式1】下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若，则.其中正确命题的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）关于向量，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式3】如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量相等的向量有 个.    题型04 平面向量的简单应用 【典例4】（24-25高一上·上海·课后作业）（1）A、B、C是平面上三个不同的点，若，则A、B、C的位置关系是 ；若进一步有，则A、B、C的位置关系是 ； （2）如图，在四边形中，若，则四边形是 ． 【变式1】（23-24高一下·陕西咸阳·期中）已知四边形中，，并且，则四边形是（    ） A．菱形 B．正方形 C．等腰梯形 D．长方形 【变式2】已知四边形，下列说法正确的是（ ） A．若，则四边形为平行四边形 B．若，则四边形为矩形 C．若，且，则四边形为矩形 D．若，且，则四边形为梯形 【变式3】已知点，，，分别是平面四边形的边，，，的中点，求证：． 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江佳木斯·阶段练习）下列量中是向量的为（   ） A．体积 B．距离 C．拉力 D．质量 2．（23-24高一下·陕西宝鸡·期中）下列说法正确的是（    ） A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行 C．模为1的向量都是相等向量 D．向量的模可以比较大小 3．（23-24高一下·天津河北·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 4．（23-24高一下·全国·随堂练习）下列关于向量的描述正确的是（   ） A．若向量，都是单位向量，则 B．若向量，都是单位向量，则 C．任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量 D．平面内起点相同的所有单位向量的终点共线 5．（23-24高一下·江西南昌·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则与共线 B．若与是平行向量，则 C．若，则 D．共线向量方向必相同 6．（23-24高一下·陕西宝鸡·阶段练习）下列说法错误的是（　　）． A．零向量没有方向 B．两个相等的向量若起点相同，则终点必相同 C．只有零向量的模等于0 D．向量与的长度相等 7．（23-24高一下·黑龙江大庆·阶段练习）下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（22-23高一下·江苏连云港·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A． B．、是单位向量，则 C．两个相同的向量的模相等 D．单位向量均相等 二、多选题 9．（23-24高一下·广东佛山·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．在正方形ABCD中， B．的模长为0 C．若，则向量是单位向量 D．若向量与向量是共线向量，则向量与向量的方向相同 10．（23-24高一下·陕西渭南·期末）已知，为两个单位向量，则下列四个命题中错误的是（    ） A．与相等 B．如果与平行，那么与相等 C．与共线 D．如果与平行，那么或 11．（23-24高一下·广西来宾·期末）关于非零向量，，下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 三、填空题 12．下列各量中，向量有： ．（填写序号） ①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥人造卫星的速度；⑦电量；⑧向心力；⑨盈利；⑩加速度． 13．（23-24高一下·江苏宿迁·开学考试）在下列判断中，真命题的是 . ①长度为的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向；⑤任意向量与零向量都共线． 14．如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，在这6个向量中： (1)有两个向量的模相等，这两个向量是________，它们的模都等于________． (2)存在着共线向量，这些共线的向量是________，它们的模的和等于________． 四、解答题 15．.如图，D，E，F分别是正三角形ABC各边的中点． (1)写出图中所示与向量长度相等的向量； (2)写出图中所示与向量相等的向量； (3)分别写出图中所示向量与向量，共线的向量． 16．（24-25高一上·上海·课后作业）已知线段被n（）等分，等分点为，，，…，.从这个点中任取两点作为向量的起点和终点. (1)当时，一共可以构成多少个互不相等的非零向量？ (2)求互不相等的非零向量总数，用n表示. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 平面向量的概念 课程标准 学习目标 掌握向量、相等向量、共线向量的概念及向量的几何表示；对共线向量的理解及掌握. 1. 通过对生活中力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景； 2. 理解向量的意义及几何表示； 3. 掌握相等向量与共线向量的意义. 知识点01 向量的概念 1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量. 2．数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 【解读】（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． （2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． （3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 【即学即练1】有下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥功． 其中，不是向量的个数是(　　) A．1　　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】质量、路程、功只有大小，没有方向不是向量，而速度、力、加速度均是既有大小又有方向的物理量．故选C. 知识点02 向量的表示法 1．有向线段 具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． 2．向量的表示方法 （1）字母表示法：如等. （2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 【注意】（1）用字母表示向量便于向量运算； （2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． 【即学即练2】已知向量a如图所示，下列说法不正确的是(　　) A．也可以用表示 B．方向是由M指向N C．起点是M D．终点是M 【答案】D 【解析】由向量的几何表示知，A、B、C正确，D不正确．故选D. 知识点03向量的有关概念 1．向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). 【解读】（1）向量的模． （2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小． 2．零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． 3．单位向量：长度等于1个单位的向量. 【解读】定义中的零向量和单位向量都是只限制大小，没有确定方向．我们规定零向量的方向是任意的；单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同，在平面内，将所有单位向量的起点平移到同一点，则它们的终点构成一个半径为1的圆. 4．相等向量：长度相等且方向相同的向量. 【解读】在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等． 【即学即练3】（2024·高二课时练习）下列关于向量的命题中，真命题的个数是（    ） ①任一向量与它的相反向量不相等； ②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； ③若，则； ④两个向量相等，则它们的起点与终点相同. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用零向量、相等向量与向量的模的定义逐一判断即可. 【详解】对于①，因为零向量与它的相反向量相等，所以①不是真命题； 对于②，根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，所以②是真命题； 对于③，当时，满足，但，所以③不是真命题； 对于④，只要模相等，方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点与终点无关，所以④不是真命题. 综上，只有②是真命题，即真命题的个数是. 故选：B. 知识点04向量的共线或平行 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定：与任一向量共线. 【解读】（1）零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别. (2)理解平行向量的概念时，需注意平行向量和平行直线是有区别的，平行直线不包括重合的情况，而平行向量是可以重合的． (3)共线向量就是平行向量，其中“共线”的含义不是平面几何中“共线”的含义．实际上，共线向量(平行向量)有以下四种情况：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等．这样，也就找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量． (4)向量相等具有传递性，即a＝b，b＝c，则a＝c. 而向量的平行不具有传递性，若a∥b，b∥c，未必有a∥c. 因为零向量平行于任意向量． 【即学即练4】 在下列命题中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量．正确的命题是________． 【答案】　④⑥ 【解析】　由向量的相关概念可知④⑥正确． 题型01 平面向量的基本概念 【典例1】（23-24高一下·北京·期中）以下命题中正确的个数是（   ） ①两个相等向量的模相等； ②若和都是单位向量，则； ③相等的两个向量一定是共线向量； ④零向量是唯一没有方向的向量； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由相等向量、零向量、单位向量以及共线向量的定义逐一判断各个序号即可求解. 【详解】对于①，两个相等向量的模相等，且它们的方向也相同，故①正确； 对于②，若和都是单位向量，当它们的方向不同时，则不成立，故②错误； 对于③，相等的两个向量方向相同，所以它们一定是共线向量，故③正确； 对于④，任何向量都有大小以及方向，零向量也是向量，只不过零向量是方向任意的向量，故④错误. 故正确的有①③，共两个. 故选：B. 【变式1】（23-24高一下·福建莆田·阶段练习）下列结论中，正确的是（    ） A．零向量的大小为0，没有方向 B． C．起点相同的单位向量，终点必相同 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 【答案】B 【分析】根据零向量特点即可判断A；根据向量模的定义即可判断B，根据单位向量以及向量共线的性质即可判断CD. 【详解】对A，既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A错误； 对B，由于与方向相反，长度相等，故B正确； 对C，起点相同的单位向量，终点不一定相同，故C错误； 对D，若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等或相反，故D错误． 故选：B． 【变式2】（24-25高二上·甘肃临夏·阶段练习）判断下列各命题的真假：①向量与平行，则与的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据零向量的定义及共线向量的定义判断即可得. 【详解】对①：因为零向量的方向是任意的且零向量与任何向量共线， 故当与中有一个为零向量时，其方向是不确定的，故为假命题； 对②：两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故为真命题； 对③：零向量也是向量，故也有方向，只是方向是任意的，故为假命题； 对④：向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段，故为假命题. 故选：B. 【变式3】（23-24高一下·吉林·期末）下列说法正确的是（    ） A．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上； B．若，则与的长度相等且方向相同或相反； C．若，且与的方向相同，则 D．若，则与方向相同或相反 【答案】C 【分析】考虑向量的起点位置可判断A；利用向量相等的定义可判断BC；考虑特殊向量可判断D. 【详解】对于A，只有平面上所有单位向量的起点移到同一个点时，其终点才会在同一个圆上，故A错误： 对于B，由只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系，故B错误； 对于C，因为，且与同向，由两向量相等的条件，可得，故C正确； 对于D，依据规定：与任意向量平行，故当时，与的方向不一定相同或相反，故D错误. 故选：C． 【变式4】（23-24高一下·北京·期中）已知是平面内四个不同的点，则“”是“四边形为平行四边形”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据向量平行的意义进行判断即可. 【详解】一方面，时，可能共线，此时不构成四边形，充分性不成立； 另一方面，四边形为平行四边形时，则，故，必要性成立. 故“”是“四边形为平行四边形”的必要不充分条件. 故选：B 题型02 平面向量的表示 【典例2】（25-26高一上·全国·随堂练习）如图，在圆中，向量，，是（    ）    A．有相同起点的向量 B．相反向量 C．模相等的向量 D．相等向量 【答案】C 【分析】根据向量的几何表示，可判断出选项A和C的正误，再利用相反向量及相等向量的概念，结合图形，即可判断选项B和D的正误. 【详解】对于选项A，因为向量，的起点为，而向量的起点为，所以选项A错误， 对于选项B，因为相反向量是方向相反，长度相等的向量，而向量，，方向不同，所以选项B错误， 对于选项C，向量，，的模长均为圆的半径，所以选项C正确， 对于选项D，因为相等向量是方向相同，长度相等的向量，而向量，，方向不同，所以选项D错误，    故选：C. 【变式1】（23-24高一下·江西九江·阶段练习）如图，B是线段AC的中点，若分别以图中各点为起点和终点，则最多可以写出 个共线非零向量．    【答案】6 【分析】根据题意，直接写出满足题意的向量即可. 【详解】根据题意，可得所有共线非零向量有：，共有个. 故答案为：. 【变式2】如图，是某人行走的路线，那么的几何意义是某人从A点沿西偏南 方向行走了 km． 【答案】 60° 2 【分析】直接由图求解即可 【详解】解析：由已知图形可知，的几何意义是从A点沿西偏南60°方向，行走了2km． 故答案为：60°；2 【变式3】　一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点,然后改变方向向西偏北50°方向行驶了200 km到达C点,又改变方向,向东行驶了100 km到达D点。 (1)作出向量,,; (2)求汽车从A点到D点的位移大小||。 【解析】　(1)如图所示。 (2)由题意,易知与方向相反,故与平行。 又因为||=||,所以在四边形ABCD中,AB∥CD,且AB=CD。所以四边形ABCD为平行四边形。 所以||=||=200 km,即这辆汽车从A点到D点的位移大小为200 km。 题型03 平行向量与相等向量 【典例3】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在菱形中，，则以下说法正确的是（    ）    A．与相等的向量只有1个（不含） B．与的模相等的向量有9个（不含） C．的模恰为的模的倍 D．与不相等 【答案】ABC 【分析】根据相等向量以及模长定义，结合结合图形求解ABD，根据菱形的性质即可求解C. 【详解】由于，因此与相等的向量只有，而与的模相等的向量有，，，，，，，，，故A，B正确； 而在中，，，故，故C正确； 由于，因此与是相等的，故D错误． 故选：ABC 【变式1】下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若，则.其中正确命题的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】对于①，由共线向量的定义可知：方向相反的两个向量也是共线向量，故①错误； 对于②，长度相等，方向相同的向量是相等向量，故②正确； 对于③，平行向量的方向相同或相反，不一定方向相同， 所以不一定相等，故③错误； 对于④，若，可能只是方向不相同，但模长相等，故④错误.故选：A 【变式2】（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）关于向量，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】利用向量的有向知识逐项判断即可得结论. 【详解】对于A：当时，，但，得不出，故A错误； 对于B：若，则与没有关系，故B错误； 对于C：若，则，故C正确； 对于D：若，则和不能比较大小，故D错误． 故选：C． 【变式3】如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量相等的向量有 个.    【答案】3 【分析】根据相等向量的定义及正六边形的性质即可求解. 【详解】根据正六边形的性质和相等向量的定义知，与向量相等的向量有，，，共3个. 故答案为：3 题型04 平面向量的简单应用 【典例4】（24-25高一上·上海·课后作业）（1）A、B、C是平面上三个不同的点，若，则A、B、C的位置关系是 ；若进一步有，则A、B、C的位置关系是 ； （2）如图，在四边形中，若，则四边形是 ． 【答案】 A、B、C三点共线 B是的中点 平行四边形 【分析】（1）根据共线向量的概念即可判断； （2）根据相等向量的概念即可判断． 【详解】（1）且有一个公共点， A、B、C三点共线； ，方向相同， B是的中点， 故答案为：A、B、C三点共线；B是的中点； （2）在四边形中，若，则一组对边平行且相等，则四边形是平行四边形； 故答案为：平行四边形 【变式1】（23-24高一下·陕西咸阳·期中）已知四边形中，，并且，则四边形是（    ） A．菱形 B．正方形 C．等腰梯形 D．长方形 【答案】A 【分析】由，得到四边形为平行四边形，再由，得到，得出四边形为菱形. 【详解】由题意，四边形中， 因为，可得且，所以四边形为平行四边形， 又因为，可得， 所以四边形为菱形. 故选：A. 【变式2】已知四边形，下列说法正确的是（ ） A．若，则四边形为平行四边形 B．若，则四边形为矩形 C．若，且，则四边形为矩形 D．若，且，则四边形为梯形 【答案】A 【解析】A选项，若，则且，则四边形为平行四边形，正确； 选项，如图 ，但是四边形不是矩形，错误； 选项，若，且， 则四边形可以是等腰梯形,也可以是矩形，故错误． 选项，若，且， 则四边形可以是平行四边形，也可以是梯形，故错误.故选：A 【变式3】已知点，，，分别是平面四边形的边，，，的中点，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】证明：如图，连接AC， 因为，分别是，的中点，所以为的中位线， 所以，且， 同理，因为，分别是，的中点，所以，且， 所以，且， 因为向量与方向相同，所以. 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江佳木斯·阶段练习）下列量中是向量的为（   ） A．体积 B．距离 C．拉力 D．质量 【答案】C 【分析】由向量的定义即可判断 【详解】A，B，D只有大小，C既有大小又有方向 故选:C 2．（23-24高一下·陕西宝鸡·期中）下列说法正确的是（    ） A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行 C．模为1的向量都是相等向量 D．向量的模可以比较大小 【答案】D 【分析】由向量的相关概念逐一判断即可. 【详解】向量是有大小又有方向的矢量，不能比较大小，故A错； 由于零向量的方向不确定，故规定零向量与任意向量平行，故B错； 长度相等、方向相同的向量称为相等向量，模长为1的向量只规定了长度相等，方向不一等相同，故C错； 向量的模长是一个数量，因此可以比较大小，故D正确. 故选：D. 3．（23-24高一下·天津河北·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】B 【分析】对于A：根据向量与数量的定义分析判断；对于B：根据向量相等和向量共线分析判断；对于C：举反例说明即可；对于D：根据零向量和向量共线分析判断. 【详解】对于选项A：因为为向量，均为数量，故A错误； 对于选项B：根据相等向量与平行向量的关系，知，即有，故B正确； 对于选项C：例如，满足且，但，故C错误； 对于选项D：由零向量可知：对任意，均有，即不一定成立，故D错误； 故选：B 4．（23-24高一下·全国·随堂练习）下列关于向量的描述正确的是（   ） A．若向量，都是单位向量，则 B．若向量，都是单位向量，则 C．任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量 D．平面内起点相同的所有单位向量的终点共线 【答案】B 【分析】利用单位向量的定义，即可判断出选项ABD的正误；选项C，利用共线向量的定义，即可判断出选项C的正误. 【详解】对于选项A，向量包括长度和方向，单位向量的长度相同均为，方向不定， 故向量和不一定相同，故选项A错误； 对于选项B，单位向量的长度相同均为，所以，故选项B正确； 对于选项C，任意一个非零向量有两个与之共线的单位向量，故选项C错误； 对于选项D，因为所有单位向量的模为，且共起点， 所以所有单位向量的终点在半径为的圆周上，故选项D错误； 故选：B. 5．（23-24高一下·江西南昌·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则与共线 B．若与是平行向量，则 C．若，则 D．共线向量方向必相同 【答案】A 【分析】利用共线向量、相等向量的概念逐项判断即得. 【详解】对于A，相等向量必是共线向量，A正确； 对于B，与是平行向量，如为非零向量，而，显然，B错误； 对于C，模相等的两个向量，它们的方向不一定相同，即不一定成立，C错误； 对于D，共线向量的方向可以相反，D错误. 故选：A 6．（23-24高一下·陕西宝鸡·阶段练习）下列说法错误的是（　　）． A．零向量没有方向 B．两个相等的向量若起点相同，则终点必相同 C．只有零向量的模等于0 D．向量与的长度相等 【答案】A 【分析】A.由零向量的定义判断；B.由相等向量的定义判断；C.由向量模的定义判断；D.由相反向量的定义判断. 【详解】A.规定零向量的方向是任意的，所以零向量有方向，故错误； B.两个相等的向量大小相同，方向相同，所以若起点相同，则终点必相同，故正确； C.由向量模的定义可知只有零向量的模等于0，故正确； D.向量与是相反向量，大小相同，方向相反，故正确； 故选：A 7．（23-24高一下·黑龙江大庆·阶段练习）下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据向量的概念逐一判断. 【详解】对于A：若，则只是大小相同，并不能说方向相同，A错误； 对于B：向量不能比较大小，B错误； 对于C：若，则方向相同，C正确； 对于D：若，如果为零向量，则不能推出平行，D错误. 故选：C. 8．（22-23高一下·江苏连云港·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A． B．、是单位向量，则 C．两个相同的向量的模相等 D．单位向量均相等 【答案】D 【分析】根据相等向量、单位向量的定义判断即可. 【详解】对于A：因为，又互为相反向量的两个向量的模相等，所以，故A正确； 对于B：因为、是单位向量，所以，故B正确； 对于C：两个相同的向量的模相等，故C正确； 对于D：单位向量的模相等均为，由于无法确定方向是否相同，故单位向量不一定相等，故D错误. 故选：D 二、多选题 9．（23-24高一下·广东佛山·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．在正方形ABCD中， B．的模长为0 C．若，则向量是单位向量 D．若向量与向量是共线向量，则向量与向量的方向相同 【答案】BC 【分析】对于A，根据正方形的性质结合相等向量的定义分析判断，对于B，由零向量的定义判断，对于C，由单位向量的定义判断，对于D，根据共线向量的定义判断. 【详解】对于A，在正方形ABCD中，与的方向不同，A错误. 对于B，的模长为0，B正确. 对于C，若，则向量是单位向量，C正确. 对于D，若向量与向量是共线向量，则向量与向量的可能相反，D错误. 故选：BC 10．（23-24高一下·陕西渭南·期末）已知，为两个单位向量，则下列四个命题中错误的是（    ） A．与相等 B．如果与平行，那么与相等 C．与共线 D．如果与平行，那么或 【答案】ABC 【分析】根据相等向量，共线向量的定义进行判断. 【详解】A选项，与为两个单位向量，它们模长相等，但方向不一定相同，A选项错误； B选项，如果与平行，即与共线，根据共线向量性质，此时它们可能同向共线或者反向共线， 当它们反向共线时，与不相等，B选项错误； C选项，两个单位向量的夹角为或，它们才共线，但这是不一定的，C选项错误； D选项，如果与平行，即与共线，根据共线向量性质，此时它们可能同向共线或者反向共线， 即或，D选项正确. 故选：ABC. 11．（23-24高一下·广西来宾·期末）关于非零向量，，下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】对于A，由相等向量定义即可判断；对于B,由共线向量的内涵即可判断；对于C，因为非零向量，故可以利用平行传递性判断；对于D，因向量有方向，不能比较大小即可判断. 【详解】对于A，若，但与方向不确定，则得不到，，故A错误； 对于B，若，说明与方向相反，故，即B正确； 对于C，因，由，，易得，故C正确； 对于D，若，但、不能比较大小，故D错误． 故选：BC． 三、填空题 12．下列各量中，向量有： ．（填写序号） ①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥人造卫星的速度；⑦电量；⑧向心力；⑨盈利；⑩加速度． 【答案】③⑤⑥⑧⑩ 【分析】根据向量的概念判断即可. 【详解】解：向量是有大小有方向的量，故符合的有：风力，位移，人造卫星的速度，向心力，加速度. 故答案为：③⑤⑥⑧⑩. 13．（23-24高一下·江苏宿迁·开学考试）在下列判断中，真命题的是 . ①长度为的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向；⑤任意向量与零向量都共线． 【答案】①③⑤ 【分析】根据向量的定义及知识即可逐项判断求解. 【详解】对①：由定义知①正确； 对②：由于两个零向量是平行的，但不能确定是否同向，也不能确定是哪个具体方向，故②不正确； 对③：根据定义可知单位向量的长度都为1，故③正确； 对④：单位向量方向可以不同，故④错误； 对⑤：任意向量与零向量都共线，故⑤正确； 故答案为：①③⑤. 14．如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，在这6个向量中： (1)有两个向量的模相等，这两个向量是________，它们的模都等于________． (2)存在着共线向量，这些共线的向量是________，它们的模的和等于________． 【答案】(1)，　　(2)，　5 【解析】结合图形可知，(1)||＝||＝. (2)与共线，||＝2，||＝3，故||＋||＝5. 四、解答题 15．.如图，D，E，F分别是正三角形ABC各边的中点． (1)写出图中所示与向量长度相等的向量； (2)写出图中所示与向量相等的向量； (3)分别写出图中所示向量与向量，共线的向量． 解：(1)与长度相等的向量是，，，，，，，. (2)与相等的向量是，. (3)与共线的向量是，，；与共线的向量是，，. 16．（24-25高一上·上海·课后作业）已知线段被n（）等分，等分点为，，，…，.从这个点中任取两点作为向量的起点和终点. (1)当时，一共可以构成多少个互不相等的非零向量？ (2)求互不相等的非零向量总数，用n表示. 【答案】(1)8个 (2)个 【分析】（1）按向量的模长进行分类求解； （2）按向量的模长进行分类求解． 【详解】（1）解：当时，则等分点有，，，共3个，则从5个点中任取两点作为向量的起点和终点时， 模长为1时，有2个，为：， 模长为2时，有2个，为：， 模长为3时，有2个，为：， 模长为4时，有2个，为：， 总共有8个． （2）由（1）知，当模长为1时，有2个， 当模长为2时，有2个， 当模长为3时，有2个，依次类推，当模长为时，有2个， 总共有个． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$