专题03 图形的相似（考题猜想，易错必刷47题10种题型）（期末复习专项训练）九年级数学上学期湘教版

专题03 图形的相似（易错必刷47题10种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 利用比例的性质求解 · 黄金分割 · 利用平行线分线段成比例求解 · 利用相似多边形的性质求解 · 相似三角形的判定 · 相似三角形性质与判定综合 · 相似三角形与动点问题 · 相似三角形的实际应用 · 坐标系与位似图形 · 相似三角形综合 · 一．利用比例的性质求解（共5小题） 1．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如果，则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·广东湛江·期末）若，则 ． 3．（23-24九年级上·浙江·期末）已知，求 ． 4．（23-24九年级上·甘肃白银·期末）已知，则 ． 5．（23-24九年级上·山东济南·期末）已知，则的值为 ． 二．黄金分割（共5小题） 6．（23-24九年级上·广西来宾·期末）已知点P是线段的黄金分割点（），如果，那么的长为 ． 7．（23-24九年级上·山西忻州·期末）数学中，把这个比例称为黄金分割比例．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为，则的长为 cm． 8．（23-24九年级上·上海静安·期末）已知点P是线段的一个黄金分割点，且，那么的比值为 ． 9．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）点P是线段的黄金分割点，，若，则 ． 10．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图是意大利著名画家达・芬奇（年）的名画《蒙娜丽莎》．画面中脸部被围在矩形内，图中四边形为正方形．已知点为线段的黄金分割点，且，．则 ． 三．利用平行线分线段成比例求解（共5小题） 11．（23-24九年级上·河南南阳·期中）如题图．在中．，若 则 的值为（       ） A．3 B． C． D． 12．（23-24九年级上·四川广安·期末）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点都在横线上．若线段，则线段的长是（    ） A． B．1 C． D．2 13．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）如图，已知为的角平分线，交于E，如果，那么等于（　　） A． B． C． D． 14．（23-24九年级上·辽宁锦州·期末）如图，直线，直线m，n与a，b，c分别交于点A，B，C，D，E，F，若，则的值是（　　） A． B． C． D． 15．（23-24九年级上·北京顺义·期中）如图，在中，D，E，F分别是，上的点，且，，，，求和的长． 4． 利用相似多边形的性质求解问题（共6小题） 16．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，有三个矩形，其中是相似图形的是（    ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙 17．（23-24九年级上·福建漳州·期中）下列两个图形一定相似的是（    ） A．有一个角为的两个等腰三角形 B．两个直角三角形 C．有一个角为的两个等腰三角形 D．两个矩形 18．（23-24九年级上·福建漳州·期末）美美在手工课上，按足球的标准比例做一个“迷你足球模型”．如图，足球的表面是由正五边形和正六边形组成，“迷你足球模型”表面的正六边形与实际足球表面的正六边形相比，其中不会发生变化的量是（    ）    A．正六边形的边长 B．正六边形的周长 C．正六边形的面积 D．正六边形各个内角的度数 19．（23-24九年级上·辽宁盘锦·期末）若四边形相似于四边形，且．若，则(    ) A． B． C． D． 20．（23-24九年级上·江西赣州·期末）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的周长为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的周长为 ． 21．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形． (1)若原矩形的长，宽．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由． (2)若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式． 五．相似三角形的判定（共6小题） 22．（23-24九年级上·北京怀柔·期末）如图，点D是的边上的一点，连接，则下列条件中不能判定的是（　　） A． B． C． D． 23．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，点在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（ ） A． B． C． D． 24．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）如图，在等边三角形中，点D、E、F分别在边、、上，且．找出图中所有相似的三角形（不要求证明）． 25．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，在中，是角平分线，点E是边上一点，且满足．求证：． 26．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，在中，． (1)在图中作出的平分线，交于点D．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，求证：． 27．（23-24九年级上·吉林松原·期末）如图，四边形中，，交于F，交于E，，交于G，连接，求证：． 六．相似三角形性质与判定综合（共3小题） 28．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，是等边三角形，被一矩形所截，被截成三等分，，若图中阴影部分的面积是18，则四边形的面积为（   ） A．16 B．20 C．30 D．40 29．（23-24九年级上·河北衡水·期末）如图1，在和中，，，， ，，将绕点A在平面内顺时针旋转，连接，． (1)求证：； (2)请判断线段和的关系，并说明理由； (3)当点B、D、E在同一条直线上时，直接写出线段的长； 30．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）如图，在正方形中，E、F分别是边、CD上的点，， ，连接并延长交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若正方形的边长为4，求的长． 七．相似三角形与动点问题（共4小题） 31．（23-24九年级上·山西大同·期末）如图，在钝角中，，，点D从A点出发沿以的速度向B点移动，点E从C点出发沿以的速度向A点移动，如果两点同时移动，经过 秒时，与相似． 32．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，，，点P从点A开始向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P、Q两点中有一点到达终点时，则同时停止运动． (1)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒时，的面积等于？ (2)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒时，的长度等于？ (3)几秒钟后，与相似？ 33．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，中，，，，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动．是的中点，以为邻边作平行四边形．设点的运动时间为秒．（） (1)用含的代数式表示线段的长． (2)当点落在边上时，求的值． (3)当点在线段上运动时，平行四边形与重叠部分图形的周长为，求与之间的函数关系式． (4)当点到的一条直角边和斜边所在的直线距离相等时，直接写出的值． 34．（23-24九年级上·河南郑州·期中）如图，的两条直角边，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接、、． (1)当动点运动时间 秒时，与相似． (2)在运动过程中，当时，为何值？请说明理由． 8． 相似三角形的实际应用（共5小题） 35．（23-24九年级上·山西运城·期中）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理，小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体的高为，小孔O到地面距离为，则实像的高度（   ） A． B． C． D． 36．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，，为两路灯，身高均为的小明、小亮站在两路灯之间，两人相距，小明站在处，小亮站在处，小明在路灯下的影长为，路灯高，则路灯的高为 ． 37．（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高为，测得，求建筑物的高 38．（23-24九年级上·河北邢台·期中）如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，交于点． (1)当点恰好为中点时，______． (2)若矩形的周长为，求出的长度． 39．（23-24九年级上·福建南平·期末）某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，如图，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，G，E，C，A在同一直线上），这时测得米，米．    (1)请你根据以上数据，计算大雁塔的高度． (2)“景点简介”显示，大雁塔的高度约为64.5米．请计算本次测量的误差，并提出一条减小误差的合理化建议． 九．坐标系与位似图形（共4小题） 40．（23-24九年级上·江西·期末）如图，与是位似图形，相似比为，，则的长为 ． 41．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，在轴右侧，以原点为位似中心画一个，使它与位似，且相似比是．    (1)请画出； (2)请直接写出各顶点的坐标； (3)若内部一点M的坐标为，则点M的对应点的坐标是___________． 42．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，和是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B的坐标为，点的坐标为． (1)若点A的坐标为，求点的坐标； (2)若的面积为m，则的面积为　　　　． 43．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以原点O为位似中心，画，使它与的相似比为，变换后点A、B的对应点分别为点、，点在第一象限； (2)若为线段上的任一点，则变换后点P的对应点的坐标为 ． 一十．相似三角形综合（共5小题） 44．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，已知正方形ABCD，点E为AB上的一点，，交BD于点F． (1)如图1，直按写出的值_______； (2)将△EBF绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE、DF，猜想DF与AE的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，当BE=BA时，其他条件不变，△EBF绕点B顺时针旋转，设旋转角为，当为何值时EA=ED?请在图3或备用图中画出图形并求出的值． 45．（23-24九年级上·河南南阳·期末）如图1，中，，点分别在边上, , 将绕点逆时针旋转（），直线相交于点． （1）若，将绕点逆时针旋转至如图2所示的位置，则线段与的数量关系是______，位置关系是_______． （2）若，将绕点逆时针旋转． ①（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请仅就图3所示的情况加以证明；否则，请写出正确结论，并说明理由． ②若, 是的中点，当以为顶点的四边形是矩形时，请直接写出的长． 46．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，矩形中，，，点是边上一定点，且． (1)当时，上存在点，使与相似，求的长度． (2)对于每一个确定的的值上存在几个点使得与相似? 47．（23-24·浙江金华·期末）在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1． （1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数； （2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积； （3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值． $$专题03 图形的相似（易错必刷47题10种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 利用比例的性质求解 · 黄金分割 · 利用平行线分线段成比例求解 · 利用相似多边形的性质求解 · 相似三角形的判定 · 相似三角形性质与判定综合 · 相似三角形与动点问题 · 相似三角形的实际应用 · 坐标系与位似图形 · 相似三角形综合 · 一．利用比例的性质求解（共5小题） 1．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如果，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题关键．根据题意设，，再代入化简即可． 【详解】解：， 设，， ， 故选：C． 2．（23-24八年级上·广东湛江·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，根据题意得出，再将其代入即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·浙江·期末）已知，求 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据比例的性质得到，据此把代入所求式子中求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·甘肃白银·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．设，然后表示出a，b，c，再进行化简即可． 【详解】解：设． 则根据比例的性质，得，，， ∴ 故答案为：． 5．（23-24九年级上·山东济南·期末）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是正确设出未知数是解题关键． 直接利用已知条件设出相应未知数，进而代入化简即可． 【详解】设，， ∵ ∴， ∴． 故答案为：． 二．黄金分割（共5小题） 6．（23-24九年级上·广西来宾·期末）已知点P是线段的黄金分割点（），如果，那么的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考出来黄金分割，解一元二次方程．由题意知，，由点是线段的黄金分割点，可得，即，整理得，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵点是线段的黄金分割点， ∴，即，整理得， 解得：或（舍去）， 故答案为：． 7．（23-24九年级上·山西忻州·期末）数学中，把这个比例称为黄金分割比例．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为，则的长为 cm． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的定义进行计算即可解答． 【详解】解：点是的黄金分割点，线段的长为， ， ， 故答案为：． 8．（23-24九年级上·上海静安·期末）已知点P是线段的一个黄金分割点，且，那么的比值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键． 根据黄金分割的定义即可得出答案． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，且， ， ， 故答案为：． 9．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）点P是线段的黄金分割点，，若，则 ． 【答案】/ 【分析】由黄金分割点可知，较大部分比较小部分，等于整体比较大部分，等于，代入求值即可． 本题考查黄金比例，掌握黄金比例的比值是解决本题的关键． 【详解】解：点P是线段AB的黄金分割点， ， 故答案为：． 10．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图是意大利著名画家达・芬奇（年）的名画《蒙娜丽莎》．画面中脸部被围在矩形内，图中四边形为正方形．已知点为线段的黄金分割点，且，．则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查黄金分割，由点为线段的黄金分割点，且可得，代入数据可求解． 【详解】解：∵点为线段的黄金分割点，且，， ∴ 故答案为： 三．利用平行线分线段成比例求解（共5小题） 11．（23-24九年级上·河南南阳·期中）如题图．在中．，若 则 的值为（       ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 12．（23-24九年级上·四川广安·期末）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点都在横线上．若线段，则线段的长是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例定理，列式计算即可．本题考查了比例线段，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，由平行线分线段成比例定理得， ∵， ∴， 故选：A． 13．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）如图，已知为的角平分线，交于E，如果，那么等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查平行线分线段成比例，根据题意得出即可求解，熟练掌握此定理是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 14．（23-24九年级上·辽宁锦州·期末）如图，直线，直线m，n与a，b，c分别交于点A，B，C，D，E，F，若，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，根据得到，由即可进一步得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 15．（23-24九年级上·北京顺义·期中）如图，在中，D，E，F分别是，上的点，且，，，，求和的长． 【答案】， 【分析】此题考查平行线分线段成比例，利用得到，求出，，根据得到，由此求出． 【详解】解：∵， ， ∵， ∴，， ∵， ， ∴． 4． 利用相似多边形的性质求解问题（共6小题） 16．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，有三个矩形，其中是相似图形的是（    ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙 【答案】B 【分析】根据对应角相等且对应边成比例的两个多边形相似即可判断． 【详解】解：∵， ∴是相似形的是甲和丙 故选B． 【点睛】本题主要考查了相似多边形的判定，熟知相似多边形对应边成比例是解题的关键． 17．（23-24九年级上·福建漳州·期中）下列两个图形一定相似的是（    ） A．有一个角为的两个等腰三角形 B．两个直角三角形 C．有一个角为的两个等腰三角形 D．两个矩形 【答案】A 【分析】根据相似图形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个图形一定相似，结合选项，用排除法求解． 【详解】解：A、分别有一个角是的两个等腰三角形，其底角都等于，所以有一个角是的两个等腰三角形相似，此选项符合题意； B、两个直角三角形的对应锐角不一定相等，对应边不一定成比例，所以两个直角三角形不一定相似，此选项不符合题意； C、一个角为的两个等腰三角形不一定相似，因为的角可能是顶角，也可能是底角，此选项不符合题意； D、两个矩形的对应边不一定成比例，所以两个矩形不一定相似，此选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法、等腰三角形的性质；熟练掌握相似三角形的判定方法和等腰三角形的性质是解决问题的关键． 18．（23-24九年级上·福建漳州·期末）美美在手工课上，按足球的标准比例做一个“迷你足球模型”．如图，足球的表面是由正五边形和正六边形组成，“迷你足球模型”表面的正六边形与实际足球表面的正六边形相比，其中不会发生变化的量是（    ）    A．正六边形的边长 B．正六边形的周长 C．正六边形的面积 D．正六边形各个内角的度数 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，解题关键是熟练掌握相似多边形的内角相等．根据“迷你足球模型”表面的正六边形与实际足球表面的正六边形相似进行解答即可． 【详解】解：∵“迷你足球模型”表面的正六边形与实际足球表面的正六边形相似， ∴“迷你足球模型”表面的正六边形各个内角与实际足球表面的正六边形的内角都相等，而边长、周长还有面积不相等， ∴不会发生变化的量是正六边形各个内角的度数， 故选：D． 19．（23-24九年级上·辽宁盘锦·期末）若四边形相似于四边形，且．若，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似多边形的性质，由相似多边形的性质，推出，代入有关数据，即可求出的长． 【详解】解：∵四边形相似于四边形， ∴， ∵，， ∴． 故选：A． 20．（23-24九年级上·江西赣州·期末）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的周长为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的周长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查位似图形的性质，根据正方形的周长为4，求出，根据位似比求出，周长即可得出． 【详解】解：正方形的周长为4， ， ， ， 四边形的周长为； 故答案为：8． 21．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形． (1)若原矩形的长，宽．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由． (2)若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式． 【答案】(1)不相似；证明过程见详解 (2) 【分析】（1）根据划分后小矩形的长为，宽为，可得，进而可判断结论； （2）根据划分后小矩形的长为，宽为，再根据每个小矩形与原矩形相似，可得，从而可得与的关系式． 【详解】（1）解：不相似．理由如下： ∵原矩形的长，宽， ∴划分后小矩形的长为，宽为， 又∵，即原矩形与每个小矩形的边不成比例， ∴每个小矩形与原矩形不相似． （2）∵原矩形的长，宽， ∴划分后小矩形的长为，宽为， 又∵每个小矩形与原矩形相似， ∴ ∴，即． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，本题的关键是根据两矩形相似得到比例式． 五．相似三角形的判定（共6小题） 22．（23-24九年级上·北京怀柔·期末）如图，点D是的边上的一点，连接，则下列条件中不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．和有公共角，然后根据相似三角形的判定方法对各选项进行判断． 【详解】解：∵， ∴当或，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断，故A，B不符合题意； 当时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断，故D不符合题意． 当时，不能判定，故C符合题意． 故选：C． 23．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，点在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可． 【详解】解：A、当时，又∵， ∴，故此选项不符合题意； B、当时，又∵， ∴，故此选项不符合题意； C、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； D、当时，无法得到，故此选项符合题意． 故选：D． 24．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）如图，在等边三角形中，点D、E、F分别在边、、上，且．找出图中所有相似的三角形（不要求证明）． 【答案】， 【分析】本题考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，利用全等三角形的判定定理，找出是解题的关键． 利用等边三角形的性质，可得出，，结合，可得出，利用全等三角形的判定定理，可证出，同理可得出，进而可得出，利用全等三角形的性质，可得出，进而可得出是等边三角形，结合等边三角形的性质，可得出． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 同理：， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴． 25．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，在中，是角平分线，点E是边上一点，且满足．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，角平分线的定义，由角平分线的定义得出，根据相似三角形的判定方法可得出结论． 【详解】证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 26．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，在中，． (1)在图中作出的平分线，交于点D．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了角的平分线尺规作图，三角形相似的判定． （1）根据角平分线的尺规作图的基本要求画图即可． （2）根据三角形相似的判定解答即可． 【详解】（1）根据基本步骤作图如下： 则即为所求． （2）∵ 的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 27．（23-24九年级上·吉林松原·期末）如图，四边形中，，交于F，交于E，，交于G，连接，求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据平行线分线段成比例，得到，再根据，即可得证． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 六．相似三角形性质与判定综合（共3小题） 28．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，是等边三角形，被一矩形所截，被截成三等分，，若图中阴影部分的面积是18，则四边形的面积为（   ） A．16 B．20 C．30 D．40 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由题意可得，从而推出，，再由相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴，， ∵被截成三等分， ∴， ∴，， ∴，， ∵图中阴影部分的面积是18，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 29．（23-24九年级上·河北衡水·期末）如图1，在和中，，，， ，，将绕点A在平面内顺时针旋转，连接，． (1)求证：； (2)请判断线段和的关系，并说明理由； (3)当点B、D、E在同一条直线上时，直接写出线段的长； 【答案】(1)证明见解析 (2)；；理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． （1）证明，，即可求解； （2）由，得到，进而求解； （3）由（1）知，，①当B、E、D三点共线时，如图1，求出，得到，即可求解；②当B、D、E共线时，如图2，同理可解． 【详解】（1）证明：设直线交于点M，直线交于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：在中，则 由（1）知，， ∴， 则； ①当B、E、D三点共线时，如图， 过点A作于点H， 在中，，则， 在中，， 则， 则； ②当B、D、E共线时，如图， 过点A作交于点H， 在中，，则， 在中，，则， 在中，， 则， 则， ∵， 即； 综上，或； 30．（23-24九年级上·河南洛阳·期末）如图，在正方形中，E、F分别是边、CD上的点，， ，连接并延长交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若正方形的边长为4，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）由正方形的性质可得，，然后根据对应边成比例且夹角相等即可得到结论； （2）通过证明，可得，根据可得、，由勾股定理可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则 ， ∴； （2）∵四边形为正方形， ∴， ，， ∴， ∴， 又∵，正方形的边长为4， ∴，， ∴，， ∴． 七．相似三角形与动点问题（共4小题） 31．（23-24九年级上·山西大同·期末）如图，在钝角中，，，点D从A点出发沿以的速度向B点移动，点E从C点出发沿以的速度向A点移动，如果两点同时移动，经过 秒时，与相似． 【答案】3或 【分析】解答时，分和两种情况解答即可．本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：设经过，与相似． ∵，，点D从A点出发沿以的速度向B点移动，点E从C点出发沿以的速度向A点移动， ∴，，， 当时，则即， 解得； 当时，则即， 解得； 故答案为：3或． 32．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，，，点P从点A开始向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P、Q两点中有一点到达终点时，则同时停止运动． (1)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒时，的面积等于？ (2)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒时，的长度等于？ (3)几秒钟后，与相似？ 【答案】(1)1秒 (2)2秒 (3)或 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，勾股定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）设x秒后，的面积为，表示出，，，根据三角形面积公式表示出的面积，令其等于即可求解； （2）由勾股定理得：，即可求解； （3）根据相似三角形的性质列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设经过秒以后，面积为（） 此时，，， 由，得， 整理得：， 解得：，（舍）． （2）解：设经过秒后，的长度等于， 由，得， 解得：（舍去），． 答：2秒后，的长度为． （3）解：当时， 即，解得 当时， ， 即， 解得， 或． 33．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，中，，，，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动．是的中点，以为邻边作平行四边形．设点的运动时间为秒．（） (1)用含的代数式表示线段的长． (2)当点落在边上时，求的值． (3)当点在线段上运动时，平行四边形与重叠部分图形的周长为，求与之间的函数关系式． (4)当点到的一条直角边和斜边所在的直线距离相等时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)或或． 【分析】（）当点在线段上时，，当点在线段上时，，从而得出结果； （）证明从而得出，进一步得出结论； （）分当时和当时两种情况分析即可； （）分为点到和距离相等和到和的距离相等两种情形，当到和的距离相等时，可推出是等腰三角形，从而得出，当到和的距离相等时，可推出，进一步得出结果． 【详解】（1）∵， ∴， 当点在线段上时，， 当当点在线段上时，， 综上所述：； （2）如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）由（）得， 由题意得：， 如图，当时， ， 如图，当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，, ∴，， 则， ∴， ∴； （4）如图， 当点到和距离相等时，点在的平分线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图， 当点到和的距离相等时，点在的平分线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图， 当点到线段和的距离相等时，即点在的平分线上时，延长交于，作， ∵， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或或． 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角平分线的判定，等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握知识点的应用及分类讨论的思想是解题的关键． 34．（23-24九年级上·河南郑州·期中）如图，的两条直角边，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接、、． (1)当动点运动时间 秒时，与相似． (2)在运动过程中，当时，为何值？请说明理由． 【答案】(1)或 (2)当时，秒．理由见解析． 【分析】（1）本题考查了三角形相似的判定和性质，判断何时与相似是解决问题的关键．已知是直角三角形，要与其相似，图中已有一个公共角，所以只需的另外两个角有一个角是直角，那么与相似．由此对应两种情况：或，需分情况讨论分析．然后两个三角形相似，对应边成比例即可求出运动时间． （2）本题考查了三角形相似的判定和性质，构造辅助线，找到三角形相似是解决问题的关键．当时，过点作于，证明，然后利用相似三角形对应边成比例即可求出时间． 【详解】（1）解：设经过运动时间为t秒时，与相似． 则，，， ； 1）当，即时， ； ，即， ． ２）当，即时， ， ，即， ． 和都符合， 当动点运动秒或秒时，与相似． 故答案为：或． （2）如图，过点E作于F， 设经过运动时间为t秒时，， 则，，， ； ，即， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， （秒）． 8． 相似三角形的实际应用（共5小题） 35．（23-24九年级上·山西运城·期中）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理，小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体的高为，小孔O到地面距离为，则实像的高度（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用，先证明得到，再证明得到，再把①和②相加变形得到，然后把，，代入计算即可，利用平行线构建相似三角形，然后用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长或表示线段之间的关系． 【详解】解：依题意， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ， 则①②得， ， ， ∵，， ， 解得， 故选：B． 36．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，，为两路灯，身高均为的小明、小亮站在两路灯之间，两人相距，小明站在处，小亮站在处，小明在路灯下的影长为，路灯高，则路灯的高为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了相似三角形的应用，先证明，求出、，再证明，即可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 37．（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高为，测得，求建筑物的高 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质的应用，根据题意和图形，利用三角形相似的性质，可以计算出的长，从而可以解答本题． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵标杆高为，测得， ∴， 解得，， 即建筑物的高是． 38．（23-24九年级上·河北邢台·期中）如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，交于点． (1)当点恰好为中点时，______． (2)若矩形的周长为，求出的长度． 【答案】(1)60 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高之比等于相似比； （1）由，得到，代入即可求解， （2）根据，得到，得到对应高之比等于相似比，，从而得到的长， 【详解】（1）解：∵为中点， ∴， ∵在矩形中，， ∴，， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． （2）解：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． ∴四边形为矩形， ∴，， ∵矩形的周长为 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 39．（23-24九年级上·福建南平·期末）某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，如图，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，G，E，C，A在同一直线上），这时测得米，米．    (1)请你根据以上数据，计算大雁塔的高度． (2)“景点简介”显示，大雁塔的高度约为64.5米．请计算本次测量的误差，并提出一条减小误差的合理化建议． 【答案】(1) (2)，可多次测量，取测量数据的平均值 【分析】本题考查相似三角形的应用； （1）根据相似三角形的对应边成比例的建立方程，解出长，然后计算即可． （2）根据有理数的减法计算，然后提出减小误差的方法即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ， ， 解得， 答：大雁塔的高度 为 米. （2）误差为(米). 减小误差的建议：可多次测量，取测量数据的平均值(合理即可). 九．坐标系与位似图形（共4小题） 40．（23-24九年级上·江西·期末）如图，与是位似图形，相似比为，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了位似图形、相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．先根据位似图形的性质可得，，再证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：∵与是位似图形，相似比为， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：6． 41．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，在轴右侧，以原点为位似中心画一个，使它与位似，且相似比是．    (1)请画出； (2)请直接写出各顶点的坐标； (3)若内部一点M的坐标为，则点M的对应点的坐标是___________． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3) 【分析】本题考查作图位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质作图即可． （2）由图可得答案． （3）由位似变换可得，点的横纵坐标分别除以，即可得点的横纵坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求．    （2）解：由图可得，，，． （3）解：由题意可得，点的坐标为． 故答案为：． 42．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，和是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B的坐标为，点的坐标为． (1)若点A的坐标为，求点的坐标； (2)若的面积为m，则的面积为　　　　． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了位似变换，相似三角形的性质，正确得出位似比是解题的关键． （1）首先得到和的位似比为，进而求解即可； （2）根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵和是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点B的坐标为，点的坐标为． ∴位似比为， ∵点A的坐标为， ∴点的坐标为； （2）∵，且相似比为，的面积为m， ∴的面积为． 43．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以原点O为位似中心，画，使它与的相似比为，变换后点A、B的对应点分别为点、，点在第一象限； (2)若为线段上的任一点，则变换后点P的对应点的坐标为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用位似图形的性质得出对应点坐标即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）∵为线段上的任一点， ∴变换后点P的对应点的坐标为． 一十．相似三角形综合（共5小题） 44．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，已知正方形ABCD，点E为AB上的一点，，交BD于点F． (1)如图1，直按写出的值_______； (2)将△EBF绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE、DF，猜想DF与AE的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，当BE=BA时，其他条件不变，△EBF绕点B顺时针旋转，设旋转角为，当为何值时EA=ED?请在图3或备用图中画出图形并求出的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)画图见解析，α的值为30°或150°， 【分析】由是正方形ABCD的对角线，可知∠ABD=45°，由垂直可知，，则可求出边相等，进而可知，根据边之间的等量关系可知，故可知； 由（1）知，，，，进而可知边之间的比例关系，由旋转知，，故可证明，根据相似比可证明边之间的等量关系； （3）连接DE，CE根据边相等的条件，以及角相等的条件可知AE=DE，BE=CE，由四边形ABCD是正方形，可知，AB=BC，进而可得△BCE是等边三角形，，进而可证，即：，同理，也可证明△BCE是等边三角形，，即：． 【详解】（1）是正方形ABCD的对角线， ∴∠ABD=45°，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）， 理由：由（1）知，，，， ， 由旋转知，， ， ， ； （3）如图3，连接DE，CE ∵EA=ED， ∴点E在AD的中垂线上， ∴AE=DE，BE=CE， ∵四边形ABCD是正方形， ，AB=BC， ， ∴△BCE是等边三角形， ， ，即：， 如图4，同理，△BCE是等边三角形， ，即：， 故答案为：30°或150°． 【点睛】本题考查图形的旋转变换，相似三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，等边三角形的性质，能够根据题意将变换后的图像画出来并构造适合的辅助线是解决本题的关键． 45．（23-24九年级上·河南南阳·期末）如图1，中，，点分别在边上, , 将绕点逆时针旋转（），直线相交于点． （1）若，将绕点逆时针旋转至如图2所示的位置，则线段与的数量关系是______，位置关系是_______． （2）若，将绕点逆时针旋转． ①（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请仅就图3所示的情况加以证明；否则，请写出正确结论，并说明理由． ②若, 是的中点，当以为顶点的四边形是矩形时，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）①结论不成立．正确结论：；理由见解析；②CP的长或. 【分析】(1)利用SAS证明△ABD≌△ACE，得到BD=CE，∠ABD=∠ACE，由∠CBP+∠ACE+∠ACB=，得到∠BPC=，即BD⊥CE； (2)①根据DE∥BC，得到，，根据∠BAD=∠CAE，，证明，得到，利用，得到，证得； ②根据，，，求得AB=，BC=2AB=2，根据是的中点，DE∥BC，得到AE=，，根据题意画出图形，利用矩形的性质及勾股定理计算得出CP的长． 【详解】(1)在中，，， ∴∠ACB=， ∴AB=AC， ∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB， ∴∠ADE=∠AED， ∴AD=AE， 由旋转得：∠BAD=∠CAE， ∴△ABD≌△ACE， ∴BD=CE，∠ABD=∠ACE， ∵∠ABC+∠ACB=， ∴∠CBP+∠ACE+∠ACB=， ∴∠BPC=，即BD⊥CE； 故答案为：BD=CE，BD⊥CE； (2)结论不成立.结论: 如图，∵DE∥BC， ∴， ∴，， 如图3，∠BAD=∠CAE， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②∵，，， ∴AB=，BC=2AB=2， ∵是的中点，DE∥BC， ∴AE=，， 如图1，当四边形ADPE是矩形时，则∠ADB=∠ADP=， ∵， ∴BD=， ∵PD=AE=， ∴BP=3， ∴CP=； 如图2，当四边形ADPE是矩形时，则∠AEP=∠AEC=， ∵AE=， ∴∠ACE=∠ACB=， ∴点E在线段BC上，此时点P与点B重合， ∴CP=CB=， 综上，CP的长为或． ． 【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定及性质，是一道较难的综合的图形题，综合掌握各部分知识是解题的关键． 46．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，矩形中，，，点是边上一定点，且． (1)当时，上存在点，使与相似，求的长度． (2)对于每一个确定的的值上存在几个点使得与相似? 【答案】(1)或3；(2)当且时，有3个；当时，有2个；当时，有2个；当时，有1个． 【分析】（1）分△AEF∽△BFC和△AEF∽△BCF两种情形，分别构建方程即可解决问题； （2）根据题意画出图形，交点个数分类讨论即可解决问题； 【详解】解：（1）当∠AEF=∠BFC时， 要使△AEF∽△BFC，需，即， 解得AF=1或3； 当∠AEF=∠BCF时， 要使△AEF∽△BCF，需，即， 解得AF=1； 综上所述AF=1或3． （2）如图，延长DA，作点E关于AB的对称点E′，连结CE′，交AB于点F1； 连结CE，以CE为直径作圆交AB于点F2、F3． 当m=4时，由已知条件可得DE=3，则CE=5， 即图中圆的直径为5， 可得此时图中所作圆的圆心到AB的距离为2.5，等于所作圆的半径，F2和F3重合， 即当m=4时，符合条件的F有2个， 当m＞4时，图中所作圆和AB相离，此时F2和F3不存在，即此时符合条件的F只有1个， 当1＜m＜4且m≠3时，由所作图形可知，符合条件的F有3个， 综上所述： 当1＜m＜4且m≠3时，有3个；   当m=3时，有2个； 当m=4时，有2个； 当m＞4时，有1个． 【点睛】本题考查作图-相似变换，矩形的性质，圆的有关知识等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 47．（23-24·浙江金华·期末）在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1． （1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数； （2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积； （3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值． 【答案】（1）∠CC1A1=90°． （2）S△CBC1=． （3）最小值为：EP1=﹣2． 最大值为：EP1= 7． 【分析】（1）由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，又由等腰三角形的性质，即可求得∠CC1A1的度数． （2）由旋转的性质可得：△ABC≌△A1BC1，易证得△ABA1∽△CBC1，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△CBC1的面积． （3）由①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小；②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，即可求得线段EP1长度的最大值与最小值． 【详解】解：（1）∵由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1， ∴∠CC1B=∠C1CB=45°． ∴∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45°+45°=90°． （2）∵由旋转的性质可得：△ABC≌△A1BC1， ∴BA=BA1，BC=BC1，∠ABC=∠A1BC1． ∴，∠ABC+∠ABC1=∠A1BC1+∠ABC1 ∴∠ABA1=∠CBC1． ∴△ABA1∽△CBC1 ∴． ∵S△ABA1=4，∴S△CBC1=． （3）过点B作BD⊥AC，D为垂足， ∵△ABC为锐角三角形，∴点D在线段AC上． 在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=． ①如图1，当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小．最小值为：EP1=BP1﹣BE=BD﹣BE=﹣2． ②如图2，当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大．最大值为：EP1=BC+BE=5+2=7． $$