专题02 一元二次方程（考题猜想，易错必刷50题10种题型专项训练）（期末复习专项训练）九年级数学上学期湘教版

专题02 一元二次方程（易错必刷50题10种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 一元二次方程的定义 · 一元二次方程的解法 · 一元二次方程的判别式 · 一元二次方程根与系数的关系 · 增长率问题（一元二次方程的应用） · 营销问题（一元二次方程的应用） · 与图形有关的问题（一元二次方程的应用） · 动点问题（一元二次方程的应用） · 其他问题（一元二次方程的应用） · 一元二次方程创新题型 一．一元二次方程的定义（共4小题） 1．（23-24九年级上·新疆伊犁·期末）下列方程，①，②，③，④是一元二次方程的是（    ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．①④ 2．（23-24九年级上·四川南充·期末）若是关于的一元二次方程，则的值为（   ） A． B． C． D．无法确定 3．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（    ） A．1 B． C．1或 D． 4．（23-24九年级上·广东汕头·期末）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 二．一元二次方程的解法（共5小题） 5．（23-24九年级上·四川泸州·期中）用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·重庆荣昌·期末）下列是一元二次方程的根的是（        ） A． B． C．0 D．4 7．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（   ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·新疆伊犁·期末）解方程 (1) (2) 9．（23-24九年级上·江苏连云港·期末）解方程： (1)； (2)． 三．一元二次方程的判别式（共5小题） 10．（23-24九年级上·云南昭通·期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（   ） A．4 B． C． D．2 12．（23-24九年级上·云南临沧·期中）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 13．（23-24九年级上·江苏常州·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根， (1)求k的取值范围； (2)若k为符合条件的最小整数，求此方程的根． 14．（23-24九年级上·北京西城·期末）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若此方程恰有一个根小于1，求m的取值范围． 四．一元二次方程根与系数的关系（共7小题） 15．（23-24九年级上·四川眉山·期末）若是关于的一元二次方程是一元二次方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D． 16．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则另一个根是（　　） A． B．2 C．3 D． 17．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）设是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2013 B．2012 C．2011 D．2010 18．（23-24九年级上·山东枣庄·期末）设是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值为 ． 19．（23-24九年级上·四川雅安·期末）已知一元二次方程的两根为m，n，则代数式的值为 ． 20．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； (2)若方程两实数根分别为，且满足，求实数m的值 21．（23-24九年级上·福建泉州·期中）已知关于的方程 (1)当为何值时，此方程有实数根． (2)若此方程的两实数根，满足，求的值． 五．增长率问题（一元二次方程的应用）（共4小题） 22．（23-24九年级上·新疆伊犁·期末）近几年来某县加大了对教育经费的投入，2013年投入2500万元，2015年投入3500万元．假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 23．（23-24九年级上·云南昭通·期末）2023年是中国共产主义成立的102周年，全国各地积极开展各类型专题展．据了解，某展览中心6月份的参观人数为100万人次，8月份的参观人数达到121万人次．若参观人数的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 24．（23-24九年级下·天津滨海新·期末）建设美丽城市，改造老旧小区，某市年投入资金万元，年投入资金万元，现假定每年投入资金的增长率相同，求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率．解题方案：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为． (1)用含的代数式表示： 年投入资金为______万元； 年投入资金为______万元； (2)根据题意，列出相应方程为______； (3)解这个方程，得______； (4)检验：______； (5)答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为______． 25．（23-24九年级上·甘肃陇南·期末）2020年5月复工复产以来，某夜市6月份的总销售额为50万元，8月份的总销售额为60.5万元，若平均每月的总销售额的增长率相同． (1)求该夜市6月份至8月份平均每月的总销售额的增长率； (2)如果该夜市平均每月的总销售额的增长率保持不变，求该夜市9月份的总销售额． 6． 7． 营销问题（一元二次方程的应用）（共4小题） 26．（23-24九年级上·辽宁铁岭·期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨0.2元/个，则月销售量将减少2个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 27．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）2023年亚运会在杭州顺利召开，亚运会吉祥物莲莲爆红． (1)据统计某莲莲玩偶在某电商平台6月份的销售量是5万件，8月份的销售量是万件，问月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某实体店莲莲玩偶的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售莲莲玩偶每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 28．（23-24九年级上·重庆荣昌·期末）某商店销售一种成本为每千克40元的产品，根据市场分析，若按照每千克50元销售，一个月能售出这种产品500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克． (1)销售单价为58元时，这种产品的月销量是多少千克？ (2)该商店想在月销售成本不高于10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少元？ 29．（23-24九年级上·山西临汾·期中）某水果批发商场经营一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要尽量减少库存，那么每千克应涨价多少元? 七．与图形有关的问题（一元二次方程的应用）（共4小题） 30．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）育光中学为美化校园，准备在东西长、南北宽的长方形土地上，修筑分别为东西与南北方向两条宽度相等的长方形水泥道路，余下部分作为花坛，并且使花坛的总面积为． (1)请为学校设计出尽可能多的方案，并对各方案的优劣进行说明（画出草图）； (2)如果设道路的宽为，列出各种方案中关于x的方程，并求出x的值． 31．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图是一张面积为的矩形宣传广告单，它的上、下、左、右空白部分的宽度都是．若印刷部分（矩形）的一边为，印刷面积为，求矩形宣传广告单的长和宽． 32．（23-24九年级上·江苏淮安·期末）如图1，张爷爷用30m长的隔离网在一段15m长的院墙边围成矩形养殖园，已知矩形的边靠院墙，和与院墙垂直，设的长为xm． (1)的长为 米； (2)如图2，张爷爷打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽，需要在中间多加上两道隔离网．已知两道隔离网与院墙垂直，请问此时养殖园的面积能否达到？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 33．（23-24九年级上·福建南平·期末）阅读并完成下列问题：任意给定一个矩形A，是否存在另一矩形B，使它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？ (1)当已知矩形A的两边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的： 设所求矩形的两边长分别是x和y，由题意可得方程组， 消去y，得． ∵， ∴ ， ， ∴满足要求的矩形B存在． (2)如果已知矩形A的两边长分别为2和1，那么请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B． (3)如果矩形A的两边长分别为m和n，那么请你研究当m，n满足什么条件时，矩形B存在，并说明理由． 8． 动点问题（一元二次方程的应用）（共4小题） 34．（23-24九年级上·山东聊城·期末）如图，在中，，动点P从点C出发，沿方向运动，动点Q从点B出发，沿方向运动，如果点P，Q的运动速度均为．那么运动 秒时，它们相距？ 35．（23-24九年级上·河北邢台·期末）如图，在中，，，， （1） ． （2）现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从点出发，沿线段向点方向运动，如果点的速度是，点的速度是．、两点同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，另一点停止运动．设运动时间为秒．当 时，平分的面积． 36．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果点，分别从点，同时出发，那么出发后 秒时，线段的长度等于． 37．（23-24九年级上·青海西宁·期末）如图，中，，，，点P从点A开始沿向点B以的速度移动，同时点Q从点B开始沿向点C以的速度移动，当点Q运动到点C时，两点都停止运动．经过多长时间的面积是？ 9． 其他问题（一元二次方程的应用）（共10小题） 38．（23-24九年级上·河南信阳·期末）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有人患了流感，设每轮传染中平均每人传染的人数为人，则可列方程（    ） A． B． C． D． 39．（23-24九年级上·四川南充·期末）生物学家研究发现，很多植物的生长都有下面的规律，即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出小分支的个数是（   ） A． B． C． D．或 40．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮就会有台电脑被感染．设每轮感染中平均一台电脑可感染台，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 41．（2023·广东肇庆·一模）两个相邻奇数的积为195，若设较大的奇数为x，则可列方程为(　　) A． B． C． D． 42．（23-24九年级上·天津河北·期中）参加足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛场，设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（    ） A． B． C． D． 43．（23-24九年级上·河北保定·期末）一个两位数，个位数字比十位数字大2，十位数字2倍的平方恰好等于个位数字与十位数字互换位置的新数，则这个两位数为 ． 44．（23-24八年级下·北京通州·期末）《九章算术》中“勾股”章有一题：已知矩形门的高比宽多尺，门的对角线长尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为尺，根据题意，那么可列方程 ． 45．（23-24八年级下·重庆北碚·期末）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 46．（23-24九年级上·重庆开州·期末）随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱． (1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的倍，张大伯走分钟，李大伯走分钟，共走米，求张大伯和李大伯每分钟各走多少米？ (2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大伯的速度每分钟提高了米，时间都各自多走了分钟，结果两人又共走了米，求的值． 47．（23-24八年级上·陕西汉中·期末）如图，一艘船以的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以的速度由南向北移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过多少小时它就会进入台风影响区域． 10． 一元二次方程创新题型（共3小题） 48．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）若关于的一元二次方程的两个根为，，且．下列说法正确的个数为（　　） ①； ②，； ③； ④关于的一元二次方程的两个根为，． A． B． C． D． 49．（23-24八年级下·江苏南通·期末）平面直角坐标系中，P点坐标为，且实数m，n满足，则点P到原点O的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 50．（23-24九年级上·四川成都·期末）将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10十个数划分成两组，使得两组数中没有重复的数，将这两组数分别按照从小到大排列，这样的操作称为这十个数的一种分割，例如和就是这十个数的一种分割，并且规定和这样交换顺序和前一种分割是同种分割．若某次分割成的两组数满足其中一组数的积等于另一组数的和，那么我们就称这样的分割为完美分割，例如和为这十个数的一种完美分割，则在这十个数的所有分割中，完美分割共有 种． $$专题02 一元二次方程（易错必刷50题10种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 一元二次方程的定义 · 一元二次方程的解法 · 一元二次方程的判别式 · 一元二次方程根与系数的关系 · 增长率问题（一元二次方程的应用） · 营销问题（一元二次方程的应用） · 与图形有关的问题（一元二次方程的应用） · 动点问题（一元二次方程的应用） · 其他问题（一元二次方程的应用） · 一元二次方程创新题型 一．一元二次方程的定义（共4小题） 1．（23-24九年级上·新疆伊犁·期末）下列方程，①，②，③，④是一元二次方程的是（    ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．①④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程，根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：①是一元二次方程，符合题意， ②含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意， ③不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意， ④时一元二次方程，符合题意； 综上：①④是一元二次方程， 故选：D． 2．（23-24九年级上·四川南充·期末）若是关于的一元二次方程，则的值为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ∴且， 解得， 故选：． 3．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（    ） A．1 B． C．1或 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键．将代入得到关于的一元二次方程求解即可． 【详解】解：是x的一元二次方程，且一个根是0， 故，即， 将代入， 即， 解得， 由于， ． 故选：B． 4．（23-24九年级上·广东汕头·期末）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义即可解答． 【详解】解：A、 当时是一元一次方程，而不是一元二次方程，故本选项不合题意； B、，不是一元二次方程，故本选项不合题意； C、，是一元二次方程，故本选项符合题意； D、，不是一元二次方程，故本选项不合题意． 故选：． 二．一元二次方程的解法（共5小题） 5．（23-24九年级上·四川泸州·期中）用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可． 【详解】解：， 移项得， 配方得，即， 故选：D． 6．（23-24九年级上·重庆荣昌·期末）下列是一元二次方程的根的是（        ） A． B． C．0 D．4 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程的解法，利用因式分解法解一元二次方程后即可得到答案. 【详解】解： ∴， ∴或， 则， 故选：A 7．（23-24九年级下·广东深圳·开学考试）用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，根据方程两边都加上一次项系数一半的平方进行运算即可得到答案. 【详解】解： ∴ 则， 故选：B 8．（23-24九年级上·新疆伊犁·期末）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）先将常数项移到等号右边，再根据完全平方公式进行配方，最后开方，即可解答； （2）将当做一个整体，将等号左边进行因式分解，用因式分解法即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ． 9．（23-24九年级上·江苏连云港·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程解法是解题关键． （1）直接因式分解即可求解． （2）移项，用平方差公式分解因式，即可求解． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 三．一元二次方程的判别式（共5小题） 10．（23-24九年级上·云南昭通·期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为一元二次方程有两不相等的实数根，则根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围． 本题考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系： （1）方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实数根； （3）方程没有实数根． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， 则，，， ∴， 解得 故选：C． 11．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（   ） A．4 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． 由题意得出，计算即可得出答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故选：A． 12．（23-24九年级上·云南临沧·期中）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查方程有实数根求参数范围，涉及一元二次方程定义、一元二次方程根的情况与判别式关系等知识，根据一元二次方程定义，得，再由一元二次方程根的情况与判别式关系列不等式求解即可得到答案，熟记一元二次方程定义、一元二次方程根的情况与判别式关系是解决问题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ，解得， 当时，则，解得； 综上所述，的取值范围是且， 故选：A． 13．（23-24九年级上·江苏常州·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根， (1)求k的取值范围； (2)若k为符合条件的最小整数，求此方程的根． 【答案】(1)，且； (2)，． 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，配方法解一元二次方程． （1）根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围； （2）由（1）中k的取值范围得出符合条件的k的最大整数值，代入原方程，利用因式分解法即可求出x的值． 【详解】（1）解：∵关于x的方程有两个实数根， ∴， 解得：，且； （2）解：∵，且，k为符合条件的最小整数， ∴， 故， 则， 故， 则， 解得：，． 14．（23-24九年级上·北京西城·期末）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若此方程恰有一个根小于1，求m的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）计算根的判别式得到，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）解一元二次方程得出，，再结合此方程恰有一个根小于1得出，计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴此方程总有两个实数根； （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得：，， ∵此方程恰有一个根小于1， ∴， 解得：． 四．一元二次方程根与系数的关系（共7小题） 15．（23-24九年级上·四川眉山·期末）若是关于的一元二次方程是一元二次方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程是一元二次方程的两根， ∴，， ∴， ∴， ， ， 故选：． 16．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则另一个根是（　　） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；设该方程另一个根为t，则根据一元二次方程根与系数的关系可得，然后问题可求解． 【详解】解：设该方程另一个根为t，则根据题意得： ， 解得：； 故选B． 17．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）设是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2013 B．2012 C．2011 D．2010 【答案】A 【分析】本题主要考查了代数式求值、一元二次方程的解以及一元二次方程的根与系数的关系，确定和是解题关键．根据一元二次方程的根与系数的关系可得，根据一元二次方程的解的定义可得，然后由，即可获得答案． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴， 把代入方程， 可得， ∴， ∴． 故选：A． 18．（23-24九年级上·山东枣庄·期末）设是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出与的值，再代入代数式进行计算即可．本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟知，是一元二次方程的两根时，，是解题的关键． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， 即， ， ， 解得，． 检验：当时，原方程可化为， ， 方程有实数根，符合题意； 当时，原方程可化为， ， 方程无实数根，不符合题意． 故答案为： 19．（23-24九年级上·四川雅安·期末）已知一元二次方程的两根为m，n，则代数式的值为 ． 【答案】13 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到，将代数式变形为，整体代入求值即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴ ； 故答案为：13 20．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； (2)若方程两实数根分别为，且满足，求实数m的值 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有实数根”；（2）根据根与系数的关系结合，找出关于的一元二次方程． （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出，，结合可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合（1）的结论即可确定的值． 【详解】（1）解：由题意得 当时，原方程有实数根，即 ； （2）解：根据题意得：，， ， ， ， ， 解得，（舍去）， 实数的值是1． 21．（23-24九年级上·福建泉州·期中）已知关于的方程 (1)当为何值时，此方程有实数根． (2)若此方程的两实数根，满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据所给一元二次方程有实数根，得出关于k的不等式，据此可解决问题． （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有实数根，且， ∴， 解得． （2）解：是方程的两个根， 则，， ∵， ∴， ∴， 解得． 五．增长率问题（一元二次方程的应用）（共4小题） 22．（23-24九年级上·新疆伊犁·期末）近几年来某县加大了对教育经费的投入，2013年投入2500万元，2015年投入3500万元．假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据2013年投入=2015年投入，列出方程求解即可． 【详解】解：设该县投入教育经费的年平均增长率为x， ， 故选：B． 23．（23-24九年级上·云南昭通·期末）2023年是中国共产主义成立的102周年，全国各地积极开展各类型专题展．据了解，某展览中心6月份的参观人数为100万人次，8月份的参观人数达到121万人次．若参观人数的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用8月份的参观人数6月份的参观人数列出方程即可得． 【详解】解：由题意，可列出方程为， 故选：B． 24．（23-24九年级下·天津滨海新·期末）建设美丽城市，改造老旧小区，某市年投入资金万元，年投入资金万元，现假定每年投入资金的增长率相同，求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率．解题方案：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为． (1)用含的代数式表示： 年投入资金为______万元； 年投入资金为______万元； (2)根据题意，列出相应方程为______； (3)解这个方程，得______； (4)检验：______； (5)答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为______． 【答案】(1) ； ； (2)； (3)，； (4)当时，不合题意，故舍去； (5)． 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】（1）因为年投入资金万元，则年投入资金为万元；因为年投入资金为万元，则年投入资金为万元． 故答案为：；； （2）根据题意，列出相应方程为， 故答案为：； （3）解这个方程，得，， 故答案为：，； （4）检验：当时，不合题意，故舍去， 故答案为：当时，不合题意，故舍去； （5）答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为． 故答案为：． 25．（23-24九年级上·甘肃陇南·期末）2020年5月复工复产以来，某夜市6月份的总销售额为50万元，8月份的总销售额为60.5万元，若平均每月的总销售额的增长率相同． (1)求该夜市6月份至8月份平均每月的总销售额的增长率； (2)如果该夜市平均每月的总销售额的增长率保持不变，求该夜市9月份的总销售额． 【答案】(1)该夜市6月份至8月份平均每月的总销售额的增长率为10% (2)66.55万元 【分析】本题主要查了一元二次方程的应用： （1）设夜市销售额平均每月的增长率为x，根据题意，列出方程，即可求解； （2）根据夜市增长率保持不变，求出9月份销售额，即可求解． 【详解】（1）解：设该夜市6月份至8月份平均每月的总销售额的增长率为x，由题意得， ， 解得：（不合题意，舍去）． 答：该夜市6月份至8月份平均每月的总销售额的增长率为； （2）解：该夜市9月份的总销售额为（万元）． 6． 营销问题（一元二次方程的应用）（共4小题） 26．（23-24九年级上·辽宁铁岭·期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨0.2元/个，则月销售量将减少2个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】(1)月增长率为 (2)该品牌头盔的实际售价应定为每个50元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设该品牌头盔的实际售价为y元，根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论． 【详解】（1）解： 设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔的实际售价为y元， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔的实际售价应定为每个50元． 27．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）2023年亚运会在杭州顺利召开，亚运会吉祥物莲莲爆红． (1)据统计某莲莲玩偶在某电商平台6月份的销售量是5万件，8月份的销售量是万件，问月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某实体店莲莲玩偶的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售莲莲玩偶每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1) (2)20元 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键． （1）设月平均增长率为x，根据题意，得出6月份的销售量8月份销售量，列出方程求解即可； （2）设售价降低y元，根据总利润=单件利润×销售量，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设月平均增长率为x，根据题意得： ， 解得：（舍去）， 答：月平均增长率为． （2）解：设售价降低y元， ， 解得：， 当时，， 当时，， ∵， ∴为了尽量减少库存，售价应降低20元． 28．（23-24九年级上·重庆荣昌·期末）某商店销售一种成本为每千克40元的产品，根据市场分析，若按照每千克50元销售，一个月能售出这种产品500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克． (1)销售单价为58元时，这种产品的月销量是多少千克？ (2)该商店想在月销售成本不高于10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少元？ 【答案】(1)420千克，详见解析 (2)80元，详见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用等知识点， （1）利用月销售量，可求出月销售量； （2）设销售单价为x元，则每千克的销售利润为元，月销售量为千克，利用月销售利润＝每千克的销售利润×月销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合销售成本不超过10000元，即可确定结论； 熟练掌握①根据各数量之间的关系，列式计算；②找准等量关系是解决此题的关键． 【详解】（1）根据题意得： （千克）， 答：当销售单价为每千克58元时，月销售量为420千克； （2）设销售单价为x元，则每千克的销售利润为元，月销售量为千克， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， 答：销售单价应定为80元． 29．（23-24九年级上·山西临汾·期中）某水果批发商场经营一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要尽量减少库存，那么每千克应涨价多少元? 【答案】5元 【分析】根据每千克应涨价x元，则每千克的盈利元，每天可售出千克，根据题意，得，解得即可． 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 【详解】解：根据每千克应涨价x元，则每千克的盈利元，每天可售出千克， 根据题意，得， 整理，得， 解得， 根据尽量减少库存，故舍去， 答：每千克应涨价5元． 七．与图形有关的问题（一元二次方程的应用）（共4小题） 30．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）育光中学为美化校园，准备在东西长、南北宽的长方形土地上，修筑分别为东西与南北方向两条宽度相等的长方形水泥道路，余下部分作为花坛，并且使花坛的总面积为． (1)请为学校设计出尽可能多的方案，并对各方案的优劣进行说明（画出草图）； (2)如果设道路的宽为，列出各种方案中关于x的方程，并求出x的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据长方形土地的长和宽以及花坛的面积结合水泥道路的要求设计方案，并从对称性及美观的角度对设计出的方案作出评价； （2）根据“道路的宽为”结合设计出的方案中花坛面积与长方形的长、宽以及道路的宽之间的数量关系列出方案对应的方程；最后，利用公式法求解各个方程，即可得出的值，进而完成解答． 此题主要考查了二元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 【详解】（1）解：方案如图： 方案①具有一般性，其他四种方案具有特殊性，从美学的角度方案③最出色，方案③④都具有对称性． （2）解：方案①可列出方程， 解得，(舍去）； 方案②可列出方程， 解得(舍去）； 方案③可列出方程， 解得，(舍去）； 方案④可列出方程， 解得，(舍去）； 方案⑤可列出方程， 解得，(舍去）； 的值都等于． 31．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图是一张面积为的矩形宣传广告单，它的上、下、左、右空白部分的宽度都是．若印刷部分（矩形）的一边为，印刷面积为，求矩形宣传广告单的长和宽． 【答案】矩形宣传广告单的长为，宽为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程的应用是解题的关键．根据印刷面积为列方程求解即可． 【详解】解：由题意知，印刷部分的另一边为． 则有 ，即， ∴， 即， ∴， 得或． 所以矩形宣传广告单的长为，宽为． 32．（23-24九年级上·江苏淮安·期末）如图1，张爷爷用30m长的隔离网在一段15m长的院墙边围成矩形养殖园，已知矩形的边靠院墙，和与院墙垂直，设的长为xm． (1)的长为 米； (2)如图2，张爷爷打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽，需要在中间多加上两道隔离网．已知两道隔离网与院墙垂直，请问此时养殖园的面积能否达到？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)养殖园的面积不能达到，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据隔离网的总长为30m，且，得出，进而得出答案； （2）养殖园的面积不能达到，根据各边之间的关系，可得出，结合矩形养殖园面积为，可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程无实数根，进而可得出养殖园的面积不能达到． 【详解】（1）解：∵隔离网的总长为30m，且， ∴， ∴米， 故答案为：； （2）解：养殖园的面积不能达到，理由如下： ∵隔离网的总长为30m， 设， ∴， 根据题意得：， 整理得：， ∵， ∴该方程无实数根， ∴养殖园的面积不能达到． 33．（23-24九年级上·福建南平·期末）阅读并完成下列问题：任意给定一个矩形A，是否存在另一矩形B，使它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？ (1)当已知矩形A的两边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的： 设所求矩形的两边长分别是x和y，由题意可得方程组， 消去y，得． ∵， ∴ ， ， ∴满足要求的矩形B存在． (2)如果已知矩形A的两边长分别为2和1，那么请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B． (3)如果矩形A的两边长分别为m和n，那么请你研究当m，n满足什么条件时，矩形B存在，并说明理由． 【答案】(1)， (2)满足要求的矩形B不存在 (3)时，矩形存在 【分析】本题考查一元二次方程的应用，灵活运用根的判别式在不解方程的情况下判断一元二次方程的解的情况． （1）直接利用求根公式计算即可； （2）先消去，得到关于的一元二次方程，用一元二次方程的根的判别式判断即可； （3）消去，得到关于的一元二次方程，再根据一元二次方程的根的判别式大于或等于，求出满足的条件. 【详解】（1）解：设所求矩形的两边长分别是x和y，由题意可得方程组， 消去y，得． ∵， ∴，， ∴满足要求的矩形B存在． （2）解：设所求矩形的两边长分别是x和y，由题意可得方程组， 消去y，得． ∵， ∴方程无解， ∴满足要求的矩形B不存在． （3）解：当满足时，矩形存在. 理由如下： 设所求矩形的两边长分别是和，由题意，得 消去，得 ， ， 当 时，存在满足要求的矩形 ， 即当时，矩形存在. 8． 动点问题（一元二次方程的应用）（共4小题） 34．（23-24九年级上·山东聊城·期末）如图，在中，，动点P从点C出发，沿方向运动，动点Q从点B出发，沿方向运动，如果点P，Q的运动速度均为．那么运动 秒时，它们相距？ 【答案】9或12 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，设运动t秒时，P，Q两点相距15厘米，利用勾股定理结合，可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论 【详解】解：设运动t秒时，P，Q两点相距15厘米， 依题意，得：， 解得：， ∴运动9秒或12秒时，P，Q两点相距15厘米； 故答案为：9或12． 35．（23-24九年级上·河北邢台·期末）如图，在中，，，， （1） ． （2）现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从点出发，沿线段向点方向运动，如果点的速度是，点的速度是．、两点同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，另一点停止运动．设运动时间为秒．当 时，平分的面积． 【答案】 【分析】（）由勾股定理即可求解； （）先表示出，，根据平分的面积得到t的方程求解即可； 本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程并正确求解是解题的关键． 【详解】（）∵中，，，， 由勾股定理得：， 故答案为：； （）根据题意，，， ∵，， ∴， 由 点到点的时间为，则点到点的时间为， 由题意得：， 当平分的面积时，，即， ∴，整理得， 解得，(舍去)， ∴当时，平分的面积， 故答案为：． 36．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果点，分别从点，同时出发，那么出发后 秒时，线段的长度等于． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，设出发后秒时，线段的长度等于，可列出方程，解方程即可求解，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】解：设出发后秒时，线段的长度等于，依题意得， ， 整理得，， 解得（不符合题意，舍去），， ∴出发后秒时，线段的长度等于， 故答案为：． 37．（23-24九年级上·青海西宁·期末）如图，中，，，，点P从点A开始沿向点B以的速度移动，同时点Q从点B开始沿向点C以的速度移动，当点Q运动到点C时，两点都停止运动．经过多长时间的面积是？ 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据题意得，，根据题意列出一元二次方程解题即可． 【详解】解：，， 当运动时间为时，， ，， 根据题意可得， 即， 整理得：， 解得（舍去）， 答：经过 的面积是． 9． 其他问题（一元二次方程的应用）（共10小题） 38．（23-24九年级上·河南信阳·期末）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有人患了流感，设每轮传染中平均每人传染的人数为人，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：．本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 【详解】解：依题意得， 故选：C． 39．（23-24九年级上·四川南充·期末）生物学家研究发现，很多植物的生长都有下面的规律，即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出小分支的个数是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，设每个支干分出个小分支，根据题意列出方程并求解即可，读懂题意，找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设每个支干分出个小分支， 根据题意得：， 解得：，（舍去）， 故选：． 40．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮就会有台电脑被感染．设每轮感染中平均一台电脑可感染台，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． 由题意知，第一轮后感染台，第二轮后感染台，然后列方程即可． 【详解】解：依题意得，， 故选：D． 41．（2023·广东肇庆·一模）两个相邻奇数的积为195，若设较大的奇数为x，则可列方程为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设较大的奇数为x，那么较小的奇数为，则这两个数的积是即可列出方程． 【详解】解：设较大的奇数为x，根据题意得， 故选：D． 42．（23-24九年级上·天津河北·期中）参加足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛场，设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握每两队之间都进行一场比赛的意义是解题的关键． 【详解】根据题意，得， 故选C． 43．（23-24九年级上·河北保定·期末）一个两位数，个位数字比十位数字大2，十位数字2倍的平方恰好等于个位数字与十位数字互换位置的新数，则这个两位数为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是关于数字方面的一元二次方程的应用．设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为，然后根据“十位数字2倍的平方恰好等于个位数字与十位数字互换位置的新数”即可列出方程求解． 【详解】解：设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为， 依题意得：， 整理得：，即， 解得：（不符合题意，舍去），， ∴， ∴这个两位数为46． 故答案为：46． 44．（23-24八年级下·北京通州·期末）《九章算术》中“勾股”章有一题：已知矩形门的高比宽多尺，门的对角线长尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为尺，根据题意，那么可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是勾股定理的实际应用、一元二次方程的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理的应用． 由题意根据勾股定理的实际应用列一元二次方程即可． 【详解】解：依题得：门的宽为尺，高为尺， 门为矩形， 有， 即． 故答案为：． 45．（23-24八年级下·重庆北碚·期末）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元 (2)的值为 【分析】（1）设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，根据题意列方程即可求解； （2）根据题意分别表示出甲、乙每天的实际工作量，实际成本，根据数量关系列方程即可求解． 【详解】（1）解：设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元， ∴，解得，， ∴甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元． （2）解：由（1）可知，甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元， ∴实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，则甲每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖，则甲每天实际完成量为米，乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，则乙每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖米，则乙每天实际完成量为米，终每天实际总成本比计划多万元，则最中每天的实际总成本为万元， ∴，整理得，，解得，，（不符合题意，舍去）， ∴的值为． 【点睛】本题主要考查方程与实际问题的综合，理解题目中的数量关系，掌握列方程的方法，解一元一次方程，一元二次方程的方法是解题的关键． 46．（23-24九年级上·重庆开州·期末）随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱． (1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的倍，张大伯走分钟，李大伯走分钟，共走米，求张大伯和李大伯每分钟各走多少米？ (2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大伯的速度每分钟提高了米，时间都各自多走了分钟，结果两人又共走了米，求的值． 【答案】(1)张大伯每分钟走米，李大伯每分钟走米 (2)的值为 【分析】（1）设李大伯徒步走的速度为每分钟米，则张大伯每分钟走米，根据两人共走了米列方程，解得的值代入中计算即可； （2）结合（1）中所求可得到李大伯提高速度后每分钟走米，由已知条件可得张大伯走了分钟，李大伯走了分钟，根据两人又共走了米列方程，解方程并根据实际意义确定值即可． 【详解】（1）解：设李大伯徒步走的速度为每分钟米，得 解得 ∴（米） 所以，张大伯每分钟走米，李大伯每分钟走米； （2）解：依题意，得 整理得 解得（舍）， 答：的值为． 【点睛】本题考查了列一元一次方程解决问题，列一元二次方程解决问题，正确找到数量关系是解决问题的关键． 47．（23-24八年级上·陕西汉中·期末）如图，一艘船以的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以的速度由南向北移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过多少小时它就会进入台风影响区域． 【答案】7小时 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识，根据题意得出关于的等式是解题关键．首先假设轮船能进入台风影响区，进而利用勾股定理得出等式求出即可． 【详解】解：由题意，作图如下： 设小时后，就进入台风影响区，根据题意得出，，， ，， ， ，， ， ， ， 解得：，不符合题意，舍去． 答：从接到警报开始，经过小时它就会进入台风影响区． 10． 一元二次方程创新题型（共3小题） 48．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）若关于的一元二次方程的两个根为，，且．下列说法正确的个数为（　　） ①； ②，； ③； ④关于的一元二次方程的两个根为，． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根与系数的关系得，利用消去得到，从而即可对①进行判断；由于，，利用有理数的性质可对②进行判断；根据根的判别式的意义得到，即，则可对③进行判断；利用把方程化为，由于方程可变形为，所以或，于是可对④进行判断． 【详解】解：根据根与系数的关系得， ∵， ∴， ∴，所以①正确； ∵，， ∴，，所以②正确； ∵， ∴， 即， ∴，所以③错误； ∵， ∴方程化为， 即， ∵方程可变形为， ∴或， 解得，，所以④正确． 故选：． 【点睛】此题考查了根与系数的关系与根的判别式，解题的关键是正确运用：若，是一元二次方程的两根，则，． 49．（23-24八年级下·江苏南通·期末）平面直角坐标系中，P点坐标为，且实数m，n满足，则点P到原点O的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由,得，点P到原点O的距离为，逐步整理，最后将被开方数配方进行求解即可. 【详解】解：由,得， ∴点P到原点O的距离为： ， 故选: B. 【点睛】本题考查点的坐标，但计算整理过程非常复杂，要求有极强的计算能力，确保计算的正确性，熟练掌握配方法是解题的关键. 50．（23-24九年级上·四川成都·期末）将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10十个数划分成两组，使得两组数中没有重复的数，将这两组数分别按照从小到大排列，这样的操作称为这十个数的一种分割，例如和就是这十个数的一种分割，并且规定和这样交换顺序和前一种分割是同种分割．若某次分割成的两组数满足其中一组数的积等于另一组数的和，那么我们就称这样的分割为完美分割，例如和为这十个数的一种完美分割，则在这十个数的所有分割中，完美分割共有 种． 【答案】3 【分析】 本题考查对题干“完美分割”的理解，一元二次方程的应用，根据“分割成的两组数满足其中一组数的积等于另一组数的和”推出相乘的这一组数只能有2个或3个或4个数，再根据其个数分别运用列举法分析找出符合条件的分割，即可解题． 【详解】解：， 一组数的积要小于， ，， 相乘的这一组数最多只能有个， ， 相乘的这一组数最少有2个， ①若这一组数有2个， 当两个数连续时，设较小的数为，则另一个为， 分割成的两组数满足其中一组数的积等于另一组数的和， ，整理得，解得，（不合题意，舍去）， 符合条件的完美分割为和； 当两个数不连续时， ， 两个数的乘积不小于，分别讨论、、、、、、是否满足其中一组数的积等于另一组数的和， 当两个数不连续时，没有符合条件的完美分割， ②若这一组数有3个， 当三个数连续时，设中间的数为，则另两个为，， ，整理得，即， 为1到10的整数， 没有符合条件的， 当三个数不连续时，设其中最大的数为，分别讨论、、） 其中始终大于组合内第二个数、以及、、、、是否满足其中一组数的积等于另一组数的和， 其中符合条件的完美分割有和； ③若这一组数有4个， 当四个数连续时，、均不符合，后面的皆不符合， 当四个数不连续时，设其中最大的数为，， ，解得， 、、均不符合，后面的皆不符合； 可得符合条件的完美分割就是题干中的完美分割， 则在这十个数的所有分割中，完美分割共有3种， 故答案为：3． $$