专题01 反比例函数（考题猜想，易错必刷49题8种题型）（期末复习专项训练）九年级数学上学期湘教版

专题01 反比例函数（易错必刷49题8种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 反比例函数的概念 · 求反比例函数的值 · 求反比例函数解析式 · 反比例函数的图像与性质 · 反比例函数与一次函数综合应用 · 反比例函数比例系数的几何意义 · 反比例函数的实际应用 · 反比例函数的几何综合问题 一．反比例函数的概念（共5小题） 1．（23-24九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）下列各点在反比例函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·期末）下列函数中，一定是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·四川成都·期末）下列函数中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·四川达州·期末）下列各点中，不在反比例函数图象上的点是（　　） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·四川成都·期末）已知是反比例函数，则 ． 二．求反比例函数的值（共5小题） 6．（23-24八年级上·上海长宁·期末）已知点、点在同一个反比例函数的图象上，则点A与点B的距离为 ． 7．（23-24八年级下·江苏常州·期末）反比例函数的图象经过，，三点，则的值为 ． 8．（2024·云南·中考真题）已知点在反比例函数的图象上，则 ． 9．（23-24九年级上·山东淄博·期末）在平面直角坐标系中，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 10．（23-24八年级下·浙江·期末）如图，反比例函数的图像经过点． (1)求点的坐标． (2)若点先向左平移个单位，再向下平移个单位，仍落在该反比例函数的图像上，求的值． 三．求反比例函数解析式（共4小题） 11．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）一个物体重，该物体对地面的压强随它与地面的接触面积的变化而变化，则p与S之间的函数表达式为 ． 12．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）将反比例函数的图象向右平移1个单位长度，得到图象的解析式为 ． 13．（23-24八年级下·河南周口·期末）反比例函数的图象经过点，则反比例函数的表达式是 ． 14．（23-24八年级上·上海崇明·期末）已知y是关于z的正比例函数，比例系数是2；z是关于x的反比例函数，比例系数是． (1)写出此正比例函数和反比例函数的表达式． (2)求当时，x，y的值． (3)求y关于x的函数表达式，这个函数是反比例函数吗？ 四．反比例函数的图像与性质（共13小题） 15．（23-24八年级下·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，其中、为常数，且，则点一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 16．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）反比例函数的图象经过点，，下列说法一定正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 17．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）下列关于反比例函数的说法正确的是（    ） A．它的图象在第二、四象限 B．它的图象既是轴对称图形也是中心对称图形 C．当时， D．y随x的增大而减小 18．（2023·云南·模拟预测）定义新运算：例如：，，则的图象是（    ） A． B． C． D． 19．（23-24九年级上·湖南永州·期末）我们知道函数的图象可以由反比例函数的图象左右平移得到，下列关于的图象的性质： ①的图象可以由的图象向右平移3个单位长度得到； ②的图象关于点对称； ③的图象关于直线对称； ④若，根据图象可知，的解集是． 其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．①②④ 20．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）若点、、都在反比例函数（为常数）的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 21．（23-24九年级上·吉林白山·期末）若点，，在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 22．（23-24九年级上·四川广安·期末）已知三点都在反比例函数的图象上，若，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 23．（24-25九年级上·全国·期末）对于反比例函数，下列说法正确的是（　　） A．图象经过点 B．图象位于第一、三象限 C．图象位于第二、四象限 D．图象是轴对称图形，但不是中心对称图形 24．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象位于（   ） A．第二、三象限 B．第一、三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限 25．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）如图是反比例函数的图像，写出一个符合要求的整数的值是 ． 26．（23-24九年级上·宁夏银川·期末）若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是 ． 27．（23-24八年级下·河南周口·期末）已知反比例函数 如果 那么k 0．（填“”或“” ） 五．反比例函数与一次函数综合应用（共5小题） 28．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知一次函数与反比函数的图象在第一、三象限分别交于、两点，连接、． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出时，x的取值范围． 29．（23-24九年级上·山东泰安·期末）已知一次函数和反比例函数相交于点和点． (1)＝ ，＝ ； (2)连接，在反比例函数的图象上找一点，使，求出点的坐标； (3)点为轴正半轴上任意一点，过点作轴的垂线交反比例函数和一次函数分别于点，且满足，求的值． 30．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于点A，B，点B的坐标为，连接，，过点B作轴于点D，交于点C，且．    (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的面积． 31．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点，，与x轴交于点C，与轴交于点 (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)点M在x轴上，若，求点M的坐标． 32．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点、，与反比例函数的图象相交于点和．点为轴上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段． (1)求与的值； (2)①点的坐标是______（用含的代数式表示）； ②当点落在反比例函数图象上，求的值； (3)是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (4)当为何值时，的值最小？请直接写出的值． 六．反比例函数比例系数的几何意义（共6小题） 33．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于，两点若是轴上一点，则的面积为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 34．（23-24九年级上·云南昭通·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，轴于点B，函数（）的图象与线段交于点C，且．若的面积为24，则k的值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．16 35．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，则四边形的面积为 ． 36．（23-24八年级下·四川内江·期末）点A是双曲线上任意一点，过点A分别向坐标轴作垂线段，围成的四边形的面积是 ． 37．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，过反比例函数图象上的一点A作y轴的平行线交反比例函数于点B．连接、．若，则k的值为 ． 38．（24-25九年级上·山东东营·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，点B，C分别为反比例函数的图象上的点，且轴，已知的面积为3，则k的值为 ． 七．反比例函数的实际应用（共6小题） 39．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如图所示，学校举行数学文化竞赛，图中的四个点分别描述了八年级的四个班级竞赛成绩的优秀率y（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数x的情况，其中描述1班和4班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（    ） A．1班 B．2班 C．3班 D．4班 40．（23-24九年级下·全国·期末）甲、乙两地相距，则汽车由甲地行驶到乙地所用时间y（小时）与行驶速度x（千米/时）之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 41．（2023·江西吉安·模拟预测）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A．水温从加热到，需要 B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是 C．上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水 D．在一个加热周期内水温不低于的时间为 42．（23-24八年级下·全国·期末）合安高速（合肥到安庆）全程千米，小明自驾车走高速从合肥到安庆办事，则他所需时间（小时）与平均速度（千米小时）之间的函数表达式是 ． 43．（23-24八年级下·山西临汾·期末）收音机刻度盘上的频率f（kHz）是波长λ（m）的反比例函数，其函数图象如图所示，当时，该频道的频率为 kHz． 44．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）电学知识告诉我们：用电器的功率P（单位：W）、两端的电压U（单位：V）及用电器的电阻R（单位∶Ω）有如下关系： ．现有一个电阻可调节的用电器，其范围为．已知电压为，这个用电器的电路图如图所示．    (1)写出功率P关于电阻R的函数关系式． (2)这个用电器功率的范围是多少？ 8． 反比例函数的几何综合问题（共5小题） 45．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，点为双曲线上一点，点为轴正半轴上一点，且，则的面积为（   ） A． B． C．或 D．或 46．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点M，过点M做轴于N，且． (1)求反比例函数解析式； (2)在第一象限内，当x取何值时，？（根据图直接写出结果） (3)若一次函数的图象与y轴交于点A，点B在反比例函数的图象上，且横坐标为3，求的面积． 47．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，点为反比例函数图像上的两个动点，其横坐标分别为，过点分别作轴的垂线交轴于点，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，矩形的面积为． (1)的值为 ； (2)若，求的值； (3)若，试比较的大小，并说明理由． 48．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图，点在第一象限，且在反比例函数的图象上，点是点关于轴的对称点，的面积是4． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点的横坐标为1，延长交反比例函数的图象于点，连接，点在反比例函数图象上，满足的面积等于的面积，求直线的解析式． 49.（23-24八年级下·全国·期末）【阅读理解】对于任意正实数a、b， ， ， ，只有当时，等号成立． 【数学认识】 在（a、b均为正实数）中，若为定值k，则，只有当时，有最小值． 49．若时， 有最小值为_____； 50．若函数，则的最小值为 _____； 51．若，则的最小值为 _____． 【生活实际】 52．学校准备在图书馆后面的场地上建一个面积为100平方米的长方形自行车棚．图书馆的后墙只有5米长可以利用，其余部分由铁围栏建成，如图是小尧同学设计的图纸，设所需铁围栏L米，自行车棚长为x米．L是否存在最小值，如果存在，那么当x为何值时，L最小，最小为多少米？如果不存在，请说明理由． 【探索应用】 53．如图，已知、，P为双曲线上的任意一点，过点P作轴于点C，轴于点D，求四边形面积的最小值，并说明此时四边形的形状． $$专题01 反比例函数（易错必刷49题8种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 反比例函数的概念 · 求反比例函数的值 · 求反比例函数解析式 · 反比例函数的图像与性质 · 反比例函数与一次函数综合应用 · 反比例函数比例系数的几何意义 · 反比例函数的实际应用 · 反比例函数的几何综合问题 一．反比例函数的概念（共5小题） 1．（23-24九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）下列各点在反比例函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数解析式可得，然后对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：∵ ∴ A.，该选项错误； B. ，该选项正确； C. ，该选项错误； D. ，该选项错误. 故答案选：B. 2．（24-25九年级上·全国·期末）下列函数中，一定是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据形如的是反比例函数，逐个判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，不符合题意； B、当时，不是反比例函数，不符合题意； C、是反比例函数，符合题意； D、不是反比例函数，不符合题意； 故选：C． 3．（23-24九年级上·四川成都·期末）下列函数中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了反比例函数的概念，解题的关键是掌握反比例函数的定义．根据反比例函数的概念形如为常数，的函数称为反比例函数进行分析即可． 【详解】解：A、不是反比例函数，选项A不符合题意； B、是反比例函数，选项B符合题意； C、不是反比例函数，选项C不符合题意； D、不是反比例函数，选项D不符合题意； 故选：B． 4．（23-24九年级上·四川达州·期末）下列各点中，不在反比例函数图象上的点是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，根据在反比例函数图象上的点一定满足对应的反比例函数解析式进行求解即可． 【详解】解：∵在反比例函数图象上的点一定满足对应的反比例函数解析式， ∴在反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积一定为， ∴四个选项中，A、B、C三个选项中的点在反比例函数图象上，D选项中的点不在反比例函数图象上， 故选：D． 5．（23-24九年级上·四川成都·期末）已知是反比例函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义得出，，熟练掌握反比例函数的定义是解此题的关键． 【详解】解： 是反比例函数， ，， 解得：， 故答案为：． 二．求反比例函数的值（共5小题） 6．（23-24八年级上·上海长宁·期末）已知点、点在同一个反比例函数的图象上，则点A与点B的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数图象和性质，图象上的点的坐标特征，是解决问题的关键． 设反比例函数解析式为，把、点代入，得，求出m的值，而后运用两点间的距离公式计算即可． 【详解】设反比例函数为， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（23-24八年级下·江苏常州·期末）反比例函数的图象经过，，三点，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了反比例函数的性质，求得反比例函数的解析式是解题的关键． 根据反比例函数的定义得出，求出反比例数解析式为，然后将代入进而即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过， ∴ 解得：， ∴ ∴反比例数解析式为， 将点代入得，，解得：， 故答案为：1． 8．（2024·云南·中考真题）已知点在反比例函数的图象上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入求值，即可解题． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， 故答案为：． 9．（23-24九年级上·山东淄博·期末）在平面直角坐标系中，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性．反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，据此求解即可． 【详解】解：根据题意，知点A与B关于原点对称， ∵点A的坐标是， ∴B点的坐标为． 故答案为：． 10．（23-24八年级下·浙江·期末）如图，反比例函数的图像经过点． (1)求点的坐标． (2)若点先向左平移个单位，再向下平移个单位，仍落在该反比例函数的图像上，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）待定系数法求反比例函数解析式，代入点A，求a； （2）将点A平移后所得点的坐标代入函数解析式求m． 本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式和点的平移变化．主要利用求m的值， 要注意m的取值范围． 【详解】（1）解：把点代入得：， ， （2）解：将点先向左平移个单位，再向下平移个单位后得点：，把点代入，得：， 解得：（舍），或， ． 三．求反比例函数解析式（共4小题） 11．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）一个物体重，该物体对地面的压强随它与地面的接触面积的变化而变化，则p与S之间的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了实际问题中的函数关系，解题关键是知道压强与受力面积成反比．根据物理中的压强与接触面积、物体的重量之间的关系：压强压力受力面积，构造反比例模型，解决实际问题即可． 【详解】解：∵压强与接触面积成反比例关系， ∴根据压强公式得： ， 故答案为：． 12．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）将反比例函数的图象向右平移1个单位长度，得到图象的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的平移及平移的性质，设平移后函数的图象上任一点坐标为，则向左平移1个单位后得到，其在函数图象上，将代入，得，即可求解． 【详解】解：设平移后函数的图象上任一点坐标为， 因为将平移后的函数图象向左平移1个单位长度，得到反比例函数的图象， 则向左平移1个单位后得到，其在函数图象上， 将代入，得， 故将反比例函数的图象向右平移1个单位长度，得到图象的解析式为， 故答案为：． 13．（23-24八年级下·河南周口·期末）反比例函数的图象经过点，则反比例函数的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，设出反比例函数解析式，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 把点代入中得， ∴， ∴反比例函数解析式为， 故答案为：． 14．（23-24八年级上·上海崇明·期末）已知y是关于z的正比例函数，比例系数是2；z是关于x的反比例函数，比例系数是． (1)写出此正比例函数和反比例函数的表达式． (2)求当时，x，y的值． (3)求y关于x的函数表达式，这个函数是反比例函数吗？ 【答案】(1)，； (2)x，； (3)，这个函数是反比例函数． 【分析】本题考查的是正比例函数与反比例函数的定义，求解自变量或函数值，理解题意是关键． （1）根据定义直接写出函数解析式即可； （2）利用函数解析式分别求解即可； （3）消去变量即可得到函数解析式，再进一步解答即可； 【详解】（1）解：∵y是关于z的正比例函数，比例系数是2；z是关于x的反比例函数，比例系数是， ∴，； （2）解：当时，则， 解得x， ； （3）解：∵，； ∴，这个函数是反比例函数． 四．反比例函数的图像与性质（共13小题） 15．（23-24八年级下·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，其中、为常数，且，则点一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了判断反比例函数所在的象限，判断点所在的象限，根据反比例函数中的，可知反比例函数经过第二、四象限，再根据点点的横坐标判断点所在的象限，即可解答． 【详解】解： ， 反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴点可能在第二象限或者第四象限， 的横坐标大于0， 一定在第四象限， 故选：D． 16．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）反比例函数的图象经过点，，下列说法一定正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 根据反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、， 函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小， 当时，， 点位于第一象限，点位于第三象限， ； 当时，， 点，位于第一象限， ， ，原说法错误，故此选项不符合题意； B、， 函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小， ，， 点，位于第三象限， ， ，原说法错误，故此选项不符合题意； C、， 函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内随的增大而增大， 当时，， 点位于第四象限，点位于第二象限， ， 当时，， ， ，原说法错误，故此选项不符合题意； D、， 函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内随的增大而增大， ，， 点，位于第二象限， ， ，正确，此选项符合题意． 故选：D． 17．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）下列关于反比例函数的说法正确的是（    ） A．它的图象在第二、四象限 B．它的图象既是轴对称图形也是中心对称图形 C．当时， D．y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，理解和掌握反比例函数的图象和性质是正确判断的前提．根据反比例函数的图象和性质逐个进行判断即可得出答案． 【详解】解：A．反比例函数的图象是双曲线，它的两个分支分布在一、三象限，因此选项A不符合题意； B．反比例函数的图象是关于原点为对称中心的中心对称图形，同时也是以直线，直线为对称轴的轴对称图形，故选项B符合题意； C．把代入得：，故选项C不符合题意； D．函数，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而减少，故选项D不符合题意； 故选：B． 18．（2023·云南·模拟预测）定义新运算：例如：，，则的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象，根据新定义运算，写出函数解析式，再根据函数解析式即可判断求解，掌握反比例函数的图象是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 即为反比例函数，当时，图象在第一象限；当时，图象在第二象限； 故选：． 19．（23-24九年级上·湖南永州·期末）我们知道函数的图象可以由反比例函数的图象左右平移得到，下列关于的图象的性质： ①的图象可以由的图象向右平移3个单位长度得到； ②的图象关于点对称； ③的图象关于直线对称； ④若，根据图象可知，的解集是． 其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．①②④ 【答案】B 【分析】①由平移变函数关系式的规律“左加右减”，即可判断；②由的图象关于对称，即可判断；③由的图象关于直线对称，即可判断；④画出图象，结合图象，即可求解． 【详解】解：①的图象可以由的图象向左平移3个单位长度得到，结论错误； ② 的图象关于对称，当时，， 的图象关于点对称；结论正确； ③ 的图象关于直线对称，的图象关于直线对称；结论正确； ④如图， 根据图象可知，的解集是；结论错误； 正确的有②③； 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，平移的性质，反比例函数图象与几何变换，掌握性质，数形结合是解题的关键． 20．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）若点、、都在反比例函数（为常数）的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图形的增减性是解题的关键． 根据可得反比例函数图形经过第二、四象限，每个象限中随的增大而增大，由此即可求解． 【详解】解：已知反比例函数（为常数）， ∵， ∴反比例函数图象经过第二、四象限，每个象限中随的增大而增大，且时，，时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 故选：B ． 21．（23-24九年级上·吉林白山·期末）若点，，在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数图像上点的坐标特点，根据题意判断出反比例函数的图像所在的象限及在各象限内的增减性是解答此题的关键． 【详解】解：点，，在反比例函数的图像上， ，，， ，在反比例函数的图像上，在每一象限内随的增大而减小， ， ，，的大小关系是：． 故选：B． 22．（23-24九年级上·四川广安·期末）已知三点都在反比例函数的图象上，若，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三点都在反比例函数的图象上， 得，判定函数图象在每个象限内，y随x的增大而增大， 结合，得解答即可． 本题考查了反比例函数图象的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：三点都在反比例函数的图象上， ∴， ∴函数图象在每个象限内，y随x的增大而增大， 根据， ∴， 故选D． 23．（24-25九年级上·全国·期末）对于反比例函数，下列说法正确的是（　　） A．图象经过点 B．图象位于第一、三象限 C．图象位于第二、四象限 D．图象是轴对称图形，但不是中心对称图形 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：A、当时，，图象不经过点，故选项A不符合题意； B、，故该函数图象位于第二、四象限，故选项B不符合题意； C、，故该函数图象位于第二、四象限，故选项C符合题意； D、反比例函数的两个分支关于原点成中心对称，也是轴对称图形，故选项D不符合题意； 故选：C． 24．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象位于（   ） A．第二、三象限 B．第一、三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据反比例函数的图象经过点求出的值，再根据反比例函数的性质进行解答． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴此函数的图象位于一、三象限， 故选：B． 25．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）如图是反比例函数的图像，写出一个符合要求的整数的值是 ． 【答案】1（或2或3） 【分析】本题主要考查反比例函数图像的性质：（1）时，图像是位于一、三象限；（2）时，图像是位于二、四象限． 反比例函数是常数，的图像在第一象限，则，再根据反比例函数的图像经过点，找出符合上述条件的的一个值即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像在一象限， ， 又∵反比例函数的图像经过点时，． ， ∴的值可以是1． 故答案为：1． 26．（23-24九年级上·宁夏银川·期末）若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知双曲线分布的象限，求参数范围．对于反比例函数，当时，图象经过一、三象限；当时，图象经过二、四象限；据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴ 故答案为： 27．（23-24八年级下·河南周口·期末）已知反比例函数 如果 那么k 0．（填“”或“” ） 【答案】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征可确定的符号．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和图象与的关系，先根据题意判断出函数的图象所在的象限是解题的关键． 【详解】解：，， 点，和点，在第二象限， ． 故答案为：． 五．反比例函数与一次函数综合应用（共5小题） 28．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知一次函数与反比函数的图象在第一、三象限分别交于、两点，连接、． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出时，x的取值范围． 【答案】(1)； (2)8 (3) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与几何综合，函数与不等式，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）将代入可求得反比例函数的解析式，再将代入反比例函数的解析式求得的值，再将、坐标代入求解，即可求得一次函数解析式； （2）记一次函数与轴交点为，求出点坐标，根据即可解题； （3）根据图象可直接得出在轴正半轴时，在点右侧，有，根据点坐标即可求得x的取值范围． 【详解】（1）解：一次函数与反比函数的图象在第一、三象限分别交于、两点， 将代入得：， 解得：， 反比例函数的解析式为， 将代入得：， 解得：， ， 将、代入得： ， 解得：， 一次函数的解析式为； （2）解：如图，记一次函数与轴交点为， 令，则， ， 由图可知： ； （3）解：由图可知：在轴正半轴时，在点右侧，有， ， 的取值范围为． 29．（23-24九年级上·山东泰安·期末）已知一次函数和反比例函数相交于点和点． (1)＝ ，＝ ； (2)连接，在反比例函数的图象上找一点，使，求出点的坐标； (3)点为轴正半轴上任意一点，过点作轴的垂线交反比例函数和一次函数分别于点，且满足，求的值． 【答案】(1)3；1 (2)或 (3)或 【分析】本题是函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式、三角形的面积、两点之间距离公式等，涉及到了数形结合的思想，能够根据题意综合应用上述知识点是解题的关键． （1）把点分别代入和中即可得到结果； （2）根据两三角形同底等高即面积相等即可得到点的坐标； （3）根据点的坐标设的坐标，利用两点之间距离公式求出和的距离，再代入即可． 【详解】（1）解：把点分别代入和得， ，， 解得，． （2）解：由（1）可知，，， 设过原点与直线平行的直线解析式为， 列方程组， 解得，或（舍去）， 则点坐标为， 把直线向上平移2个单位得， 列方程组， 解得，或（舍去）， 则点坐标为或． （3）解：点为轴正半轴上任意一点， ， 设，， ， ， ， 当时，整理得， 解得或（舍去）， 当时，整理得， 解得或（舍去）， 或． 30．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于点A，B，点B的坐标为，连接，，过点B作轴于点D，交于点C，且．    (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1)反比例函数的表达式为；一次函数的表达式为 (2) 【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而确定出点A的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式； （2）先求出的解析式，进而求出，用三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点A作轴交于E，    ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为， ∵， ∴， ∵轴，， ∴轴， ∴， ∴， ∴， ∴点A的纵坐标为4， ∵点A在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴， ∴一次函数的表达式为 ； （2）解：如图，过点A作轴于F交于G，    ∵， ∴直线的解析式为， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，平行线分线段成比例，解本题的关键是用待定系数法求出直线的解析式． 31．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点，，与x轴交于点C，与轴交于点 (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)点M在x轴上，若，求点M的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数，一次函数与三角形面积问题，熟练求出是解题的关键． （1）设反比例函数解析式为，将代入，根据待定系数法，即可得到反比例函数解析式，将代入求得的反比例函数，解得a的值，得到B点坐标，最后根据待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）求出点C的坐标，根据求出，分两种情况：M在O点左侧；M点在O点右侧，根据三角形面积公式即可解答． 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为， 将代入，可得，解得， 反比例函数的解析式为， 把代入，可得， 解得， ， 设一次函数的解析式为， 将，代入， 可得， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：当时，可得， 解得， ， ， ， ， ， ， M在O点左侧时，； M点在O点右侧时，， 综上，M点的坐标为或． 32．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点、，与反比例函数的图象相交于点和．点为轴上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段． (1)求与的值； (2)①点的坐标是______（用含的代数式表示）； ②当点落在反比例函数图象上，求的值； (3)是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (4)当为何值时，的值最小？请直接写出的值． 【答案】(1)， (2)①；②或 (3)或 (4)时最小值为 【分析】（1）根据函数图像上点的坐标特征，将点分别代入和即可得到与的值； （2）①过点作轴于点，结合点的坐标与旋转的性质证明，得，，即可得解； ②根据①的结论，将点的坐标代入求解即可； （3）过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作轴于点，根据勾股定理及等积法依次求出，，，，，确定，直线的解析式为，确定直线的解析式为，联立方程组，求解后确定，得，确定直线的解析式为，联立方程组，求解后确定，得，根据，得，求解即可； （4）先确定点的运动路径为直线，设直线交轴于点，交轴于点，点与其对称点的连线交于点，根据对称的性质得垂直平分，，继而得到，当点、、共线时取“”，此时取得最小值，结合点的坐标及等腰三角形三线合一性质确定 ，继而得到，，确定直线的解析式为，联立方程组，求解后确定，即可得解． 【详解】（1）解：∵点在直线和反比例函数的图像上， ∴，， 解得：，， ∴的值为，的值为； （2）由（1）知：直线的解析式为，反比例函数解析式为， ∵直线与轴、轴分别交于点、， 当时，得：；当时，得：，则， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ①过点作轴于点， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵点落在反比例函数的图像上， ∴， 解得：或， 经检验：或均为原方程的解且符合题意， ∴或； （3）过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作轴于点， 在中，，，，，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，过点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， 设直线的解析式为，过点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵直线于点， 联立方程组，得：， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 设直线的解析式为，过点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵直线于点， 联立方程组，得：， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 解得：或， ∴当或时，； （4）∵， ∴，即， ∴点的运动路径为直线， 设直线交轴于点，交轴于点，点与其对称点的连线交于点， ∴垂直平分，， ∴， 当点、、共线时取“”，此时取得最小值， ∵直线交轴于点，交轴于点， 当时，得：；当时，得：， ∴，， ∴， ∵，， ∴为边上的中线，即点为的中点， ∴点的坐标为，即， ∵点与点关于对称，设 ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 此时点为直线与的交点， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立方程组，得：， 解得：， ∴， 又∵， ∴， ∴当时，的值最小，最小值为． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数及几何的综合应用，考查了待定系数法确定函数解析式，坐标与图形，旋转的性质，对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，函数图像交点的确定方法，等积法及最短路径等知识点．掌握反比例函数的图像与性质，全等三角形的判定性质，勾股定理，旋转及对称的性质，确定点到直线的距离是解题的关键． 六．反比例函数比例系数的几何意义（共6小题） 33．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于，两点若是轴上一点，则的面积为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是反比例函数系数k的几何意义与反比例函数图象上点的坐标特征．由直线与y轴平行，可得的面积等于的面积，设点P的坐标为，由此可得出点A、B的横坐标都为a，再将分别代入反比例函数解析式，得出A、B的纵坐标，继而得出的值，从而得出三角形的面积． 【详解】解：如下图，连接， 由题意可知直线与y轴平行， ∴ 设，则点A、B的横坐标都为a， 将代入得出，得， 故； 将代入得出，得， 故； ∴， ∴． 故选：B． 34．（23-24九年级上·云南昭通·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，轴于点B，函数（）的图象与线段交于点C，且．若的面积为24，则k的值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，反比例函数图象上的点与坐标轴围成的长方形面积等于k的绝对值．连接，，，的面积为24，的面积为8，根据k值的几何意义求出k值即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵的面积为24， ∴的面积为8， ∴， 故选：D． 35．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，则四边形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】主要考查了反比例函数中k的几何意义，即在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．根据反比例函数k值的意义，求出四边形的面积和的面积即可得出答案． 【详解】∵ ∴四边形的面积为：， 故答案为： 36．（23-24八年级下·四川内江·期末）点A是双曲线上任意一点，过点A分别向坐标轴作垂线段，围成的四边形的面积是 ． 【答案】1 【分析】本题考查反比例函数的定义，系数k的几何意义，熟练掌握k的几何意义是解题的关键． 先根据反比例函数定义求出k值，再根据过反比例函数图象上任意 点分别向坐标轴作垂线段，围成的四边形的面积求解即可． 【详解】解：∵双曲线， ∴且， ∴， ∴过点A分别向坐标轴作垂线段，围成的四边形的面积， 故答案为：1． 37．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，过反比例函数图象上的一点A作y轴的平行线交反比例函数于点B．连接、．若，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，令交轴于，由题意可得，求出，即可得解． 【详解】解：如图：令交轴于， ， ∵点在反比例函数上，且轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 38．（24-25九年级上·山东东营·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，点B，C分别为反比例函数的图象上的点，且轴，已知的面积为3，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标，的几何意义，解题的关键是根据题意作出辅助线．连结，，由轴，可得，由反比例函数性质可得，则，则，从而求得结论． 【详解】解：如解图，连结，， 轴， ，而， ， ， 解得， ， ． 故答案为：． 七．反比例函数的实际应用（共6小题） 39．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如图所示，学校举行数学文化竞赛，图中的四个点分别描述了八年级的四个班级竞赛成绩的优秀率y（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数x的情况，其中描述1班和4班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（    ） A．1班 B．2班 C．3班 D．4班 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数图象与性质的实际应用，读懂题意，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解决问题的关键． 设反比例函数表达式为，过2班点，3班点作轴的平行线交反比例函数于，，设1班点为，2班点，3班点为，4班点，点为，点为，然后比较，，，与的大小即可得出答案． 【详解】解：设反比例函数的表达式为， 过2班点，3班点作轴的平行线交反比例函数于，，    设1班点为，2班点，3班点为，4班点，点为，点为， 由图象可知：，， 依题意得：，，，分别为1班，2班，3班，4班的优秀人数． 1班点，点，点，4班点在反比例函数的图象上， ， ，， ，， ， 即：2班优秀人数1班优秀人数4班优秀人数3班优秀人数， 2班的优秀人数为最多． 故选：B． 40．（23-24九年级下·全国·期末）甲、乙两地相距，则汽车由甲地行驶到乙地所用时间y（小时）与行驶速度x（千米/时）之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式以及自变量x的取值范围成为解题的关键． 先根据实际意义写出函数的解析式，根据函数的类型以及自变量的取值范围判断即可． 【详解】解：根据题意可知，时间y（小时）与行驶速度x（千米/时）之间之间的函数关系式为：， 所以函数图象大致是B． 故选：B． 41．（2023·江西吉安·模拟预测）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A．水温从加热到，需要 B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是 C．上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水 D．在一个加热周期内水温不低于的时间为 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数和一次函数的应用、用待定系数法求反比例函数解析数，解题关键在于读懂图象，灵活运用所学知识解决问题．根据水温升高的速度，即可求出水温从加热到所需的时间；设水温下降过程中，y与x的函数关系式为，根据待定系数法即可求解；先求出当水温下降到所需时间为，即一个循环为，，将代入反比例函数解析式中求出此时水温即可判断；分别求出在加热过程和降温过程中水温为时的时间，再相减即可判断． 【详解】解：∵开机加热时每分钟上升， ∴水温从加热到，所需时间为，故A选项正确，不符合题意； 设水温下降过程中，y与x的函数关系式为， 由题意得，点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是，故B选项正确，不符合题意； 令，则， ∴， ∴从开机加热到水温降至需要，即一个循环为， 设加热过程中水温与通电时间的函数关系式为：，把代入得：， 解得：， ∴此时， ∴水温与通电时间的函数关系式为， 上午10点到共30分钟，， ∴当时，， 即此时的水温为，故C选项正确，不符合题意； 在加热过程中，水温为时，， 解得：， 在降温过程中，水温为时，， 解得：， ∵， ∴一个加热周期内水温不低于的时间为，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 42．（23-24八年级下·全国·期末）合安高速（合肥到安庆）全程千米，小明自驾车走高速从合肥到安庆办事，则他所需时间（小时）与平均速度（千米小时）之间的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据速度时间路程，即可得到结论，正确理解路程、速度、时间三者之间的关系对解题的关键． 【详解】解：根据题意可得：， 故答案为． 43．（23-24八年级下·山西临汾·期末）收音机刻度盘上的频率f（kHz）是波长λ（m）的反比例函数，其函数图象如图所示，当时，该频道的频率为 kHz． 【答案】 【分析】本题考查了实际问题与反比例函数，设，将图像上的点代入求得解析式即可． 【详解】解：∵频率f（kHz）是波长λ（m）的反比例函数， ∴设 由图像可得： ∴ ∴ 当时， 故答案为： 44．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）电学知识告诉我们：用电器的功率P（单位：W）、两端的电压U（单位：V）及用电器的电阻R（单位∶Ω）有如下关系： ．现有一个电阻可调节的用电器，其范围为．已知电压为，这个用电器的电路图如图所示．    (1)写出功率P关于电阻R的函数关系式． (2)这个用电器功率的范围是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入中，即可得P与 R的函数关系式为； （2）根据R的范围，将R的最小值和最大值分别代入中，即可求出P的最大值和最小值，由此可得P的范围． 本题主要考查了反比例函数的定义和性质，利用反比例函数解决实际问题．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解∶根据电学知识，当时，由得． （2）解：将电阻的最小值代入， 得 ． 将电阻的最大值代入， 得． 所以用电器功率的范围是． 8． 反比例函数的几何综合问题（共5小题） 45．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，点为双曲线上一点，点为轴正半轴上一点，且，则的面积为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的面积，作轴于，如图，设，根据勾股定理得，求得或，进而求得点的坐标，再利用三角形面 积公式即可求得，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：作轴于，如图，设， ∴，， ∵，， ∴， 整理得，， 解得或， ∴或， 当时，； 当时，； 综上，的面积为或， 故选：． 46．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点M，过点M做轴于N，且． (1)求反比例函数解析式； (2)在第一象限内，当x取何值时，？（根据图直接写出结果） (3)若一次函数的图象与y轴交于点A，点B在反比例函数的图象上，且横坐标为3，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，求反比例函数解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，梯形面积，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）根据即可得到M的横坐标为1，然后代入一次函数求出M的坐标，再代入反比例函数解析式即可求解； （2）利用图像法求解即可得到答案； （3）过B作轴于E，先求出A，B的坐标，即可得到的长，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：∵， 把代入中，得， ∴， 把，代入中，得， ∴反比例函数解析式为； （2）∵， ∴一次函数的图像要在反比例函数图像的下方， ∴结合函数图像可知时，满足题意， ∴当时，； （3）过B作轴于E， 把代入中，得， ∴， ∴， 又∵ ， ∴， ∵A是直线与y轴的交点， ∴， ∴， ∴ ． 47．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，点为反比例函数图像上的两个动点，其横坐标分别为，过点分别作轴的垂线交轴于点，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，矩形的面积为． (1)的值为 ； (2)若，求的值； (3)若，试比较的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见详解 【分析】本题主要反比例函数图象与结合图形的综合，理解矩形面积与反比例函数系数的关系，几何图形面积的计算，点坐标的计算方法是解题的关键． （1）根据点在反比例函数图形上，由，即可求解； （2）由（1）可得反比例函数解析式，根据点的横坐标为，点的横坐标为，可得，，则，再根据，即可求解； （3）由题意可得，根据当时，，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵点为反比例函数图像上的两个动点，矩形的面积为， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）可得，反比例函数解析式为， ∵点的横坐标为，点的横坐标为， ∴，， ∴ ， ∴， 解得，； （3）解：∵， ∴当时，，即， ∴． 48．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）如图，点在第一象限，且在反比例函数的图象上，点是点关于轴的对称点，的面积是4． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点的横坐标为1，延长交反比例函数的图象于点，连接，点在反比例函数图象上，满足的面积等于的面积，求直线的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求函数解析式等知识． （1）设与轴交于点．是点关于轴的对称点，的面积是4，则．得到．又．则．即可得到反比例函数的解析式； （2）依次求出、、，过点作，直线与反比例函数在第一象限的图象的交点为所求点，则．求出直线解析式为．由可设直线的解析式为，将代入上式，得到，解得．即可求出直线的解析式． 【详解】（1）解：如图，设与轴交于点． ∵是点关于轴的对称点，的面积是4， ∴． ∴，即． 又． ∴． ∴反比例函数的解析式． （2）∵点的横坐标为1， 当时，， ∴． 由点与点关于轴对称得． 由题可得，点与点关于原点对称， ∴， 过点作，直线与反比例函数在第一象限的图象的交点为所求点， ∴． 设直线的解析式为． 将代入上式，得， ∴直线解析式为． ∵， ∴可设直线的解析式为， 将代入上式，得到， 解得． ∴直线的解析式为． 49.（23-24八年级下·全国·期末）【阅读理解】对于任意正实数a、b， ， ， ，只有当时，等号成立． 【数学认识】 在（a、b均为正实数）中，若为定值k，则，只有当时，有最小值． 49．若时， 有最小值为_____； 50．若函数，则的最小值为 _____； 51．若，则的最小值为 _____． 【生活实际】 52．学校准备在图书馆后面的场地上建一个面积为100平方米的长方形自行车棚．图书馆的后墙只有5米长可以利用，其余部分由铁围栏建成，如图是小尧同学设计的图纸，设所需铁围栏L米，自行车棚长为x米．L是否存在最小值，如果存在，那么当x为何值时，L最小，最小为多少米？如果不存在，请说明理由． 【探索应用】 53．如图，已知、，P为双曲线上的任意一点，过点P作轴于点C，轴于点D，求四边形面积的最小值，并说明此时四边形的形状． 【答案】49．4； 50．8； 51．4； 52．存在，当时，L最小值为35； 53．，四边形为菱形 【分析】（1）利用得到， 当，时， 有最小值； （2）将整理得，利用得到，当时，y有最小值； （3）将整理得，利用得到，当时，y有最小值； （4）由题意得，利用求解即可得出答案； （5）设，如图表示四边形的面积，由（1）可得，当时，四边形的面积得最小值，因此也可求出此时点C、D的坐标，根据点的坐标可知，故四边形是平行四边形，又由，进而可得四边形是菱形． 49．解：， ， ， 当且仅当，即时， 有最小值为4； 50．解：， ， ， 当且仅当，即时，y有最小值为8； 51．解：， ，， ， 当且仅当，即时，y有最小值为4； 52．解：存在，当时，L最小值为35，理由如下： 由题意，得， 当且仅当，即时，等号成立， 故当 时，L有最小值，且最小值为35； 53．解：设，则，， 四边形的面积， 由（1）知，若， 有最小值为4， 四边形的面积， 四边形的面积得最小值为12， 此时，即， ，， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形． 【点睛】本题是阅读材料题，考查了坐标与图形的性质、矩形的面积、菱形的判定、反比例函数图象上点的坐标特征以及不等式的求法，熟练掌握相关知识，结合题意综合应用是解题的关键． $$