专题04 锐角三角函数（考题猜想，易错必刷49题9种题型）（期末复习专项训练）九年级数学上学期湘教版

专题04 锐角三角函数（易错必刷49题9种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 利用锐角三角函数的概念求三角函数值 · 网格中求锐角三角函数值 · 特殊角三角函数值的混合运算 · 根据特殊角的三角函数值求角的度数 · 求证同角三角函数关系式 · 根解直角三角形的相关计算 · 解非直角三角形的相关计算 · 解直角三角形的实际应用 · 三角函数综合 一．利用锐角三角函数的概念求三角函数值（共5小题） 1．（23-24九年级上·江西·期末）在中，若各边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角A的余弦值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．保持不变 D．扩大为原来的4倍 2．（23-24九年级下·江苏南通·期末）在中，若，，，则下列结论中正确的是（　） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·广东梅州·期末）中，，则 的值是（     ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）在中，，则 ． 5．（23-24九年级上·山东东营·期末）在中，，则 ． 二．网格中求锐角三角函数值（共5小题） 6．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·广东佛山·期末）如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 8．（23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为 9．（23-24九年级上·河南南阳·期末）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都正方形的顶点上，则 ． 10．（23-24九年级上·四川达州·期末）在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为 ． 三．特殊角三角函数值的混合运算（共4小题） 11．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）（1）解方程： （2）小明的一道错题如下所示，请仔细观察并解决以下问题： ① ② ③ （I）错误步骤：_________；（填最先出错的步骤序号即可） （II）写出正确解答步骤． 12．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）求下列各式的值： (1)； (2)． 13．（23-24九年级上·广东佛山·期末）计算． 14．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）计算：． 4． 根据特殊角的三角函数值求角的度数（共4小题） 15．（23-24九年级下·全国·单元测试）在中，和都是锐角，且，，则的形状是（ ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 16．（23-24九年级上·甘肃酒泉·期末）已知、、是△ABC的三个内角，若，则的度数是 ． 17．（23-24九年级上·河南南阳·期末）已知是锐角，且，则 °． 18．（23-24九年级上·广东梅州·期末）在中，，则的度数为 五．求证同角三角函数关系式（共4小题） 19．（2023·福建泉州·二模）常听到的“…正弦平方加余弦平方…”，上述话语中所含有的数学语言应正确表达为（    ）（假设有任意角α） A． B． C． D． 20．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）下列结论中（其中，均为锐角），正确的是 ．（填序号） ①；②；③当时，；④． 21．（23-24九年级下·福建福州·期中）（1）如图，锐角α和线段m，用尺规作出一个以线段m为直角边，α为内角，为的（保留作图痕迹，不写作法）． （2）根据（1）中所画图形证明．    22．（2023·河北保定·二模）嘉嘉在某次作业中得到如下结果： ， ， ， ， ． 据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角，，若，均有． (1)当，时，验证是否成立？ (2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示给予证明，其中所对的边为，所对的边为，斜边为；若不成立，请举出一个反例； (3)利用上面的证明方法，直接写出与，之间的关系． 六．根解直角三角形的相关计算（共7小题） 23．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，在中，于点D，，那么的长为（　　）    A． B． C． D．6 24．（23-24八年级上·山东泰安·期末）将平行四边形（如图）绕点旋转后，点落在边上的点，点落到，且点、、在一直线上．如果，，那么 ．   25．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，将沿射线平移得到，与相交于点，当的周长为时，点的坐标为 ． 26．（23-24九年级上·重庆·期末）如图，在中，，，点D、E分别是、边上两点，连接，将沿折叠，点B的对应点恰好是的中点，连接交于点F，则 ． 27．（23-24九年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，分别以点，为圆心，长为半径在的右侧作弧，两弧交于点，分别连接，，，记与的交点为． (1)补全图形，求的度数并说明理由； (2)若，，求的长． 28．（23-24九年级上·北京·期中）已知：如图在中，是边上的高，为边的中点，，，．求： (1)线段的长； (2)的值． 29．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，在中，．    (1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）； ①在上求作一点，使得点到的距离等于点到的距离； ②作交于点； (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 七．解非直角三角形的相关计算（共5小题） 30．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 31．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，则的长为 ，的面积为 ． 32．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 33．（23-24九年级上·江苏·期末）已知中，． (1)如图1，若，则________（结果保留根号） (2)如图2，若，求AC的长．（结果保留根号） 34．（23-24九年级上·山东聊城·期末）如图，在中，，，，求的长． 8． 解直角三角形的实际应用（共9小题） 35．（23-24九年级上·福建泉州·期中）某水库大坝，其坡面的坡度 ，则斜坡的坡角的度数为 ． 36．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，若它把物体从地面点A处送到离地面1米高的点B处，则物体从A到B所经过的路程为 米． 37．（23-24九年级上·甘肃白银·期末）某电视塔和楼的水平距离为m，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别为和，试求楼高和电视塔高（参考数据：，，，，，，精确到）． 38．（23-24九年级上·山东聊城·期末）如图，小明打算测量旗杆的高度，他首先在教学楼四楼的点B处测得旗杆顶端A的仰角为，然后在三楼的点D处测得A的仰角为．已知每层楼的高度为（例如），请帮助小明求出旗杆的高度（精确到）．（参考数据：，，，，，） 39．（23-24九年级上·甘肃酒泉·期末）一艘船自西向东航行，在得到消息，在其北偏东方向，距离海里的点，测得有一暗礁群在以点为圆心，海里为半径的圆内，问如果轮船继续沿正东方向航行有无触礁的危险？如果有危险，轮船至少要偏离原来航线多少度，才能保证航线的安全？ 40．（23-24九年级上·广东梅州·期末）如图，台风中心位于点O 处，并沿东北方向（北偏东），以40千米/小时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O 的正东方向，距离 千米的地方有一城市A．    (1)A市是否会受到此台风的影响，为什么？ (2)在点O的北偏东方向，距离80千米的地方还有一城市B，B市是否会受到此台风的影响？为什么？ (3)若A 市或B 市受到影响，请求出受影响的时间． 41．（23-24九年级上·海南海口·期末）如图，一艘游轮在处测得北偏东的方向上有一灯塔，游轮以海里时的速度向正东方向航行小时到达处，此时测得灯塔在处北偏东的方向上．    (1) ； (2)过作于点，求到直线的距离； (3)求处与灯塔相距多少海里？（结果精确到海里，参考数据：，） 42．（23-24九年级上·广东深圳·期末）为积极参与全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如图．小明同学为测量宣传牌的高度，他站在距离教学楼底部E处8米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为，同时测得教学楼窗户D处的仰角为（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度的斜坡从C走到F处，此时正好与地面平行，若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为． (1)求点F到地面的距离； (2)求宣传牌的高．（参考数据：．，）． 43．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）某学校的国旗的平台示意图如图，在操场上的A处，测得旗杆顶端N点的仰角是，前进20米到达旗台前梯步的底端B处，测得旗杆顶端N的仰角是，继续沿坡比为的梯步上升到C处（A、B、C与旗杆在同一平面上），测得旗杆顶端N的仰角是，旗杆垂直于水平线，点A、B、D在同一直线上，． (1)求证：； (2)求的长； (3)求旗杆的高度． 九．三角函数综合（共2小题） 44．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，点为线段上一点，连接，且．将绕点顺时针旋转，点，的对应点分别为点，，点在线段上，交于点．若平分，且，则的面积为 ． 45．（23-24九年级上·全国·专题练习）综合与实践． 如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作等大小的角，该怎么办呢？ 小西进行了以下操作研究（如图1）： 第1步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． 第2步：再次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到了线段． 小雅在小西研究的基础上，再次动手操作（如图2）： 将延长交于点G，将沿折叠，点B刚好落在边上点H处，连接，把纸片再次展平． 请根据小西和小雅的探究，完成下列问题： (1)直接写出和的数量关系：__________； (2)请求出的度数； (3)求证：四边形是菱形． 46．（2023·吉林长春·二模）如图，在中，，，．动点P从点C出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点A匀速运动．过点P作的垂线交射线于点M，当点M不和点B重合时，作点M关于的对称点N．设点P的运动时间为t秒 (1)______； (2)求的长．（用含t的代数式表示） (3)取的中点Q． ①连结、，当点M在边上，且时，求的长． ②连结，当时，直接写出t的值． 47．（23-24八年级下·四川广安·期末）如图，矩形中，点是边 的中点，点、是分别边 、上任意一点，且，． (1)如图，若，则与 的数量关系为 ， ； (2)在（）的条件下，若点 为边上一点，连接，将线段 以点 为旋转中心，逆时针旋转 ，得到线段，连接，在图中补全图形，请猜想 与的数量关系，并证明你的结论； (3)在（）的条件下，若，，求（用含的代数式表示） 48．（2024·重庆·模拟预测）在中，点D是边AC上一点，连接平分，将线段绕点D逆时针旋转得线段． (1)如图①，点E在线段上时，若，求的长： (2)如图②，若点E与点B重合，点G，F分别为线段上的点，点M，H分别为的中点，点N在的延长线上，且，求证：； (3)如图③，若射线过中点H，， ，，将沿翻折到同一平面内得到，过作垂直于直线，交直线于点K，当与的乘积最大时，请直接写出的值． 49．（23-24九年级上·福建福州·期末）数学活动课上，老师与同学们一起研究矩形纸片的折叠问题，并鼓励同学们探究其中的奥妙． 动手操作 如图①，四边形是一张矩形纸片，，，点E，F分别在边上，连接，且将，分别沿折叠，点A，C分别落在点，处． 数学思考 （1）当四边形为菱形时，求出的长度； （2）如图②，若点，落在矩形的对角线上，（连接，） （I）判断四边形的形状并说明理由； （II）求出折痕的长度； 猜想探究 （3）如图③，折叠过程中，和交于点G，与交于点H，连接，当时，请直接写出四边形的面积． $$专题04 锐角三角函数（易错必刷49题9种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 利用锐角三角函数的概念求三角函数值 · 网格中求锐角三角函数值 · 特殊角三角函数值的混合运算 · 根据特殊角的三角函数值求角的度数 · 求证同角三角函数关系式 · 根解直角三角形的相关计算 · 解非直角三角形的相关计算 · 解直角三角形的实际应用 · 三角函数综合 一．利用锐角三角函数的概念求三角函数值（共5小题） 1．（23-24九年级上·江西·期末）在中，若各边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角A的余弦值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．保持不变 D．扩大为原来的4倍 【答案】C 【分析】本题考查了角的余弦值，某个角的余弦值只与该角的大小有关，据此即可求解． 【详解】解：∵某个角的余弦值只与该角的大小有关， ∴若各边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角A的余弦值保持不变 故选：C ． 2．（23-24九年级下·江苏南通·期末）在中，若，，，则下列结论中正确的是（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数的定义即：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．先根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义解答． 【详解】解：在中，，，， ，，，，． 故选：A． 3．（23-24九年级上·广东梅州·期末）中，，则 的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正切的计算，掌握锐角三角函数的计算方法是解题的关键．根据即可求解． 【详解】解：根据题意，作图如下， ∴， 故选：C ． 4．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）在中，，则 ． 【答案】 【分析】根据，得，结合解答即可． 本题考查了勾股定理，三角函数，熟练掌握勾股定理，正确计算三角函数是解题的关键． 【详解】解：根据，得， 故． 故答案为：． 5．（23-24九年级上·山东东营·期末）在中，，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了锐角三角函数以及勾股定理，关键是正确计算出的长． 首先利用勾股定理计算出长，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：. 二．网格中求锐角三角函数值（共5小题） 6．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要查了解直角三角形，勾股定理的逆定理．取格点D，连接，根据勾股定理的逆定理可证得，进而根据正弦的定义，即可求解． 【详解】解：如图，取格点D，连接，    根据题意得：，，， ∴， ∴， ∴． 故选：B 7．（23-24九年级上·广东佛山·期末）如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了锐角三角函数定义，根据正切函数的定义，可得答案．熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键.． 【详解】解：在中，，，， ∴， 故选：D． 8．（23-24九年级上·广东深圳·期末）如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为 【答案】 【分析】本题考查了格点与勾股定理，锐角三角函数的计算，根据题意，作，运用勾股定理逆定理可得是直角三角形，再根据锐角三角函数的计算即可求解，掌握格点与勾股定理，正弦函数的计算方法是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∴根据格点可得，， ∴，即是直角三角形，， ∴在中，， 故答案为： ． 9．（23-24九年级上·河南南阳·期末）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都正方形的顶点上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质及求正弦值，利用三角形全等，将所求角进行转化是解题关键，通过计算得，，即可通过SSS证明，即可将转化为求，而在直角三角形中，即可求解． 【详解】解：如图，   ， ， ， ， 故答案为． 10．（23-24九年级上·四川达州·期末）在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为 ． 【答案】/0.8 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，过作于，利用勾股定理可以求出的长，再根据余弦的定义即可求出的值，正确理解锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】如图，过作于， ∴， 由网格可知：，， ∴， 故答案为：． 三．特殊角三角函数值的混合运算（共4小题） 11．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）（1）解方程： （2）小明的一道错题如下所示，请仔细观察并解决以下问题： ① ② ③ （I）错误步骤：_________；（填最先出错的步骤序号即可） （II）写出正确解答步骤． 【答案】（1）， （2）（I）①；（II）过程见解析 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程、特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）（I）根据计算过程即可得解；（II）根据特殊角的三角函数值计算即可得出答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴或， ∴，； （2）（I）由计算过程可得：错误步骤：①； （II） ． 12．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的计算，熟练掌握各个特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）先求得各特殊角的三角函数值，再进行实数混合计算即可； （2）先求得各特殊角的三角函数值，再进行实数混合计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．（23-24九年级上·广东佛山·期末）计算． 【答案】 【分析】本题主要考查负指数幂，绝对值以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 14．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）计算：． 【答案】 【分析】此题考查不同三角函数值的混合运算，二次根式混合运算，熟记各三角函数值是解题的关键．将各三角函数值代入，根据二次根式的混合运算法则计算． 【详解】解： ． 4． 根据特殊角的三角函数值求角的度数（共4小题） 15．（23-24九年级下·全国·单元测试）在中，和都是锐角，且，，则的形状是（ ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数，等边三角形判定，利用特殊角的三角函数值得出及的度数，继而可判断的形状． 【详解】解：由题意得，，， ，， 即是等边三角形． 故选：C． 16．（23-24九年级上·甘肃酒泉·期末）已知、、是△ABC的三个内角，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及偶次方和绝对值的性质，正确得出和的度数是解题关键． 直接利用特殊角的三角函数值以及偶次方和绝对值的性质得出和的度数进而求出即可． 【详解】解：∵， ，， ，， 的度数是． 故答案为：． 17．（23-24九年级上·河南南阳·期末）已知是锐角，且，则 °． 【答案】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值，由题意得到，根据得到，即可得到答案． 【详解】解：∵是锐角，且， ∴， ∵， ∴， 解得，， 故答案为： 18．（23-24九年级上·广东梅州·期末）在中，，则的度数为 【答案】/度 【分析】本题考查了绝对值，平方数的非负性，锐角三角函数值的计算，三角形内角和定理，根据非负性可得，求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握特殊角的三角函数值的计算方法是解题的关键． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 五．求证同角三角函数关系式（共4小题） 19．（2023·福建泉州·二模）常听到的“…正弦平方加余弦平方…”，上述话语中所含有的数学语言应正确表达为（    ）（假设有任意角α） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意即可写出式子． 【详解】解：“正弦平方加余弦平方”的数学语言为：， 故选：D． 【点睛】本题考查同角三角函数关系，明确题意，用数学语言正确表达是解题的关键． 20．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）下列结论中（其中，均为锐角），正确的是 ．（填序号） ①；②；③当时，；④． 【答案】①③④ 【分析】根据同角三角函数关系及锐角三角函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：①如图，在中， ∵，， ∴，故①正确； ②若，则， ， ∴ ∴，故②错误； ③当时，， ∴越大，对边越大，且越接近斜边， ∴越大， ∴当时，，故③正确； ④∵，，， ∴，故④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键． 21．（23-24九年级下·福建福州·期中）（1）如图，锐角α和线段m，用尺规作出一个以线段m为直角边，α为内角，为的（保留作图痕迹，不写作法）． （2）根据（1）中所画图形证明．    【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）作线段，过点作，作，射线，交于点，即为所求； （2）利用勾股定理，三角函数的定义证明即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求．        （2）证明：， ， ，， ． 【点睛】本题考查了作一个角等于已知角、作垂线、作三角形、勾股定理、三角函数，熟练掌握勾股定理和三角函数是解题关键． 22．（2023·河北保定·二模）嘉嘉在某次作业中得到如下结果： ， ， ， ， ． 据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角，，若，均有． (1)当，时，验证是否成立？ (2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示给予证明，其中所对的边为，所对的边为，斜边为；若不成立，请举出一个反例； (3)利用上面的证明方法，直接写出与，之间的关系． 【答案】(1)成立，见解析 (2)成立，见解析 (3) 【分析】（1）直接根据特殊角的三角函数值代入计算验证即可； （2）根据正弦函数的定义列出，，结合勾股定理整理化简即可证得结论； （3）根据正切函数的定义列出表达式，然后结合中，，，再变形代入整理即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴，结论成立； （2）解：成立．理由如下： 在中，，且， ∴，故结论成立； （3）解：，理由如下： 在中，，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查余角之间的三角函数关系，以及同角三角函数关系的推理证明，理解三角函数的基本定义，灵活变形构造是解题关键． 六．根解直角三角形的相关计算（共7小题） 23．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，在中，于点D，，那么的长为（　　）    A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 先根据题意得到，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ． 故选A． 24．（23-24八年级上·山东泰安·期末）将平行四边形（如图）绕点旋转后，点落在边上的点，点落到，且点、、在一直线上．如果，，那么 ．   【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的性质得，，再由得，根据平行线的性质得到，推出为等腰三角形，作，根据等腰三角形的性质得，由于得到，然后根据余弦的定义即可得到结论． 【详解】解：绕点旋转后得到， ，， ， ， 四边形为平行四边形， ， 点、、在一直线上， 而， ， ， 为等腰三角形， 作，则， ，， ， ， ， 即． 故答案为：． 25．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，将沿射线平移得到，与相交于点，当的周长为时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与平移，解直角三角形，设，根据平移的性质，利用三角函数求出的长，根据的周长为，求出的值，进而求出点的坐标即可． 【详解】解：∵平移， ∴， ∴轴， ∴， ∵点，点， ∴， ∴， ∴，， 设， 则：， ∵的周长， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 26．（23-24九年级上·重庆·期末）如图，在中，，，点D、E分别是、边上两点，连接，将沿折叠，点B的对应点恰好是的中点，连接交于点F，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查折叠的性质，解直角三角形及勾股定理，根据折叠得到，，设长为m，过点作边的垂线，垂足为P，根据三角函数求出，在中根据勾股定理求出，在中根据勾股定理求解即可得到答案 【详解】解：由图形翻折知，B点与点关于的对称， ∴，，且， 设长为m，过点作边的垂线，垂足为P， ∵点恰好是的中点， ∴， 在中，， ∴，， ∴， 故， ∴， ∵，， 在中，， 即， 解得， 在中，， ∴， 故答案为：． 27．（23-24九年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，分别以点，为圆心，长为半径在的右侧作弧，两弧交于点，分别连接，，，记与的交点为． (1)补全图形，求的度数并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)图形见解析；；理由见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了解直角三角形、菱形的性质与判定，掌握作图过程中的弧和线段长度的转化是解题的关键． （1）由作图可得四边形为菱形，由此可得的度数； （2）在中，利用锐角三角函数的定义即可求出的长，从而可得出的长． 【详解】（1）解：补全的图形如图所示，，理由如下： ， ， 由作图可知，， 四边形为菱形， ， ． （2）四边形为菱形， ， 在中，，， ， ． 28．（23-24九年级上·北京·期中）已知：如图在中，是边上的高，为边的中点，，，．求： (1)线段的长； (2)的值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】此题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，直角 三角形的性质等知识点． （1）在中，根据已知条件求出边的长，再由的长，可以求出的长； （2）根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求出，从而求出∠C的正切值即求出了的值． 【详解】（1）解：∵是边上的高，和是， 在中， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：在中， ∵E为斜边的中点， ∴， ∴， ∴． 29．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，在中，．    (1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）； ①在上求作一点，使得点到的距离等于点到的距离； ②作交于点； (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图—作角平分线、垂线，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）①作的角平分线即可；②过点作的垂线即可； （2）设，则，，由平行线的性质得出，作于，再解直角三角形即可得解． 【详解】（1）解：①如图，点即为所求； ②如图，即为所求，    （2）解：∵，， ∴设，则，， ∴， ∵， ∴， 作于，    在中，， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴． 七．解非直角三角形的相关计算（共5小题） 30．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可． 【详解】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键． 31．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，则的长为 ，的面积为 ． 【答案】 【分析】过作，如图所示，在中，，，得到，；在中，，得到，由勾股定理得；再由三角形面积公式代值求解即可得到． 【详解】解：过作，如图所示： 在中，，， ， 在中，， ，即， ， 由勾股定理得； ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查解非直角三角形问题以及求三角形面积，涉及三角函数定义、勾股定理及三角形面积公式，熟练掌握解非直角三角形的方法是解决问题的关键． 32．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是： （1）作于．在中，求出，在中，求出即可解决问题； （2）在中，求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，作于．        在中，，， ，， 在中，， ， ． （2）， ，，， 在中，． 的正弦值为． 33．（23-24九年级上·江苏·期末）已知中，． (1)如图1，若，则________（结果保留根号） (2)如图2，若，求AC的长．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解，即可求解； （2）过点作于点，解，即可求解． 【详解】（1）解：∵，． ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：如图所示，过点作于点， ∵中，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三形中的边角关系是解题的关键． 34．（23-24九年级上·山东聊城·期末）如图，在中，，，，求的长． 【答案】14 【分析】过点A作，构造两个直角三角形，再利用三角函数解直角三角形即可求得的长度． 【详解】解：过点A作，垂足为 ∵在中，， ∴ ∴ ∴ 在中，， ， 【点睛】本题考查了用三角函数解直角三角形，解题的关键是掌握利用三角函数求线段长度的方法． 8． 解直角三角形的实际应用（共9小题） 35．（23-24九年级上·福建泉州·期中）某水库大坝，其坡面的坡度 ，则斜坡的坡角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题，利用坡度的定义及特殊锐角三角函数值可求出斜坡的坡角的度数，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴， 故答案为：． 36．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，若它把物体从地面点A处送到离地面1米高的点B处，则物体从A到B所经过的路程为 米． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，熟练掌握坡度的定义是解题的关键． 过B作地面于C，根据坡比求出的长，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：过B作地面于C，如图所示： ，米 ， ， 在中 （米）， 物体从A到B所经过的路程为米， 故答案为：． 37．（23-24九年级上·甘肃白银·期末）某电视塔和楼的水平距离为m，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别为和，试求楼高和电视塔高（参考数据：，，，，，，精确到）． 【答案】楼高约，塔高约 【分析】此题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题．由题意可知：，解求出，解求出，根据即可求出塔高进而可求出答案． 【详解】解：根据题意可知：， 在中，， ∴ 在中，， ∴， ∴ 即楼高约，塔高约． 38．（23-24九年级上·山东聊城·期末）如图，小明打算测量旗杆的高度，他首先在教学楼四楼的点B处测得旗杆顶端A的仰角为，然后在三楼的点D处测得A的仰角为．已知每层楼的高度为（例如），请帮助小明求出旗杆的高度（精确到）．（参考数据：，，，，，） 【答案】旗杆的高度为 【分析】本题考查解直角三角形．过点B作于点E，过点D作于点F，得到四边形为矩形，从而，，通过解直角三角形有，，由可求出，进而求得，从而根据即可解答． 【详解】解：过点B作于点E，过点D作于点F， ∴， ∵， ∴ ∴四边形为矩形， ∴，， ∵在中，， 在中，， 又 ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 答：旗杆的高度为． 39．（23-24九年级上·甘肃酒泉·期末）一艘船自西向东航行，在得到消息，在其北偏东方向，距离海里的点，测得有一暗礁群在以点为圆心，海里为半径的圆内，问如果轮船继续沿正东方向航行有无触礁的危险？如果有危险，轮船至少要偏离原来航线多少度，才能保证航线的安全？ 【答案】轮船自处开始至少沿东偏南度方向航行，才能安全通过这一海域． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用---方向角问题，关键是如何构造直角三角形并知道求哪一条线段的长． 过作于，则的长是沿方向距离点的最短距离，求出长和比较可得出轮船继续沿正东方向航行有无触礁的危险；设安全航向为，作于点，解，求出，则． 【详解】解：过作于，则的长是沿方向距离点的最短距离． 在中， ，，海里， 海里海里， 轮船继续向正东方向航行，有触礁的危险； 为了安全，应改变航行方向，并且保证点到航线的距离不小于暗礁的半径海里， 即这个距离至少为海里， 设安全航向为，作于点， 在中， 海里，海里， ， ， ． 答：轮船自处开始至少沿东偏南度方向航行，才能安全通过这一海域． 40．（23-24九年级上·广东梅州·期末）如图，台风中心位于点O 处，并沿东北方向（北偏东），以40千米/小时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O 的正东方向，距离 千米的地方有一城市A．    (1)A市是否会受到此台风的影响，为什么？ (2)在点O的北偏东方向，距离80千米的地方还有一城市B，B市是否会受到此台风的影响？为什么？ (3)若A 市或B 市受到影响，请求出受影响的时间． 【答案】(1)A市不会受到此台风的影响，原因见解析 (2)B市会受到此台风的影响，原因见解析 (3)1.5小时 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，勾股定理，等腰三角形的性质： （1）作，利用三角函数求出的长度即可判断； （2）作，利用三角函数求出的长度即可判断； （3）令，则台风从E点开始影响B城市到F点影响结束，利用勾股定理及等腰三角开的性质求出的长度，除以风速即为影响时间． 【详解】（1）解：A市不会受到此台风的影响，原因如下： 作，易知台风中心O与A市的最近距离为的长度，    由题意得：，， ， A市不会受到此台风的影响； （2）解：如图，作于G，    由题意得：，， ， B市会受到此台风的影响； （3）解：如图，令，则台风从E点开始影响B城市到F点影响结束，    在中，由勾股定理得， ，， ， 台风速度为40千米/小时， 影响时间为（小时）． 41．（23-24九年级上·海南海口·期末）如图，一艘游轮在处测得北偏东的方向上有一灯塔，游轮以海里时的速度向正东方向航行小时到达处，此时测得灯塔在处北偏东的方向上．    (1) ； (2)过作于点，求到直线的距离； (3)求处与灯塔相距多少海里？（结果精确到海里，参考数据：，） 【答案】(1)， (2)海里 (3)海里 【分析】此题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由题意可得的度数，结合三角形内角和可得的度数； （2）由题可得的长度，再结合三角函数可求得，即可求解； （3）根据题意可得等腰直角三角形，即（海里），结合三角函数可得，再根据，即可求出处与灯塔相距多少海里． 【详解】（1）解：∵灯塔在处北偏东的方向上， ∴， 又∵一艘游轮在处测得北偏东的方向上有一灯塔， ∴， ∴， 故答案为，． （2）解：由题可得（海里）， ∵于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（海里）， ∴到直线的距离海里． （3）解：在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴（海里）， 在中，， ∴， ∴， ∴（海里）， ∴， 即（海里）， ∴处与灯塔相距海里． 42．（23-24九年级上·广东深圳·期末）为积极参与全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如图．小明同学为测量宣传牌的高度，他站在距离教学楼底部E处8米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为，同时测得教学楼窗户D处的仰角为（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度的斜坡从C走到F处，此时正好与地面平行，若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为． (1)求点F到地面的距离； (2)求宣传牌的高．（参考数据：．，）． 【答案】(1)点F到地面的距离为4米 (2)宣传牌的高约为6.2米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定以及性质． （1）过点F作于H．先证明四边形是矩形，由矩形的性质得出，然后解，即可得出，即可求出 （2）解得出，进而可得出，解和，求出和， 进一步即可得出的值． 【详解】（1）解：过点F作于H． ∵， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 由∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中， （米）， ∴， 答：点F到地面的距离为4米． （2）∵的坡度， ∴在中，（米）， 由题意知： ∴（米）， 在中，（米）， 在中，（米）， ∴（米）， 答：宣传牌的高约为米． 43．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）某学校的国旗的平台示意图如图，在操场上的A处，测得旗杆顶端N点的仰角是，前进20米到达旗台前梯步的底端B处，测得旗杆顶端N的仰角是，继续沿坡比为的梯步上升到C处（A、B、C与旗杆在同一平面上），测得旗杆顶端N的仰角是，旗杆垂直于水平线，点A、B、D在同一直线上，． (1)求证：； (2)求的长； (3)求旗杆的高度． 【答案】(1)见解析 (2)米 (3) 【分析】（1）根据已知条件求出，根据梯步的坡度为，得出，求出，得出，证明，根据等腰三角形的判定即可得出答案； （2）设长为x米，证明为等腰直角三角形，得出，解直角三角形得出，列出方程，求出x的值，即可得出答案； （3）过点C作于点E，证明四边形是正方形．得出，根据，求出米，即可得出答案． 【详解】（1）证明：由题意得：，，， ，， ∴，， ∴， ∵梯步的坡度为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：设长为x米， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 解得：． ∴长为米． （3）解：过点C作于点E，如图所示： 则四边形是矩形． 在和中，，，，且， ∴， ∴四边形是正方形． ∴， 又∵， ∴， 解得：米， ∴米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度坡角问题，等腰三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，熟练掌握仰角俯角的定义和坡度坡角的定义，正确作出辅助线是解题的关键． 九．三角函数综合（共2小题） 44．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，点为线段上一点，连接，且．将绕点顺时针旋转，点，的对应点分别为点，，点在线段上，交于点．若平分，且，则的面积为 ． 【答案】 【分析】先证，，再由旋转的性质及已知条件求出，，然后由，求出，过点作于，过点作于，在中求出，进而求出，，由此可求出，，据此即可求出的面积． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质得：，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：（舍去负值）， ∴， 过点作于，过点作于，如图所示： ∵，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 又 ∴， ∴， ∴， ∵， 又， 在中，，，，， ∴， ， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 45．（23-24九年级上·全国·专题练习）综合与实践． 如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作等大小的角，该怎么办呢？ 小西进行了以下操作研究（如图1）： 第1步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． 第2步：再次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到了线段． 小雅在小西研究的基础上，再次动手操作（如图2）： 将延长交于点G，将沿折叠，点B刚好落在边上点H处，连接，把纸片再次展平． 请根据小西和小雅的探究，完成下列问题： (1)直接写出和的数量关系：__________； (2)请求出的度数； (3)求证：四边形是菱形． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了图形的变换——折叠，矩形的性质，菱形的判定等： （1）根据折叠的性质可得，从而得到，即可求解； （2）根据锐角三家函数可得，即可求解； （3）由（2）得，从而得到是等边三角形，进而得到，再有折叠的性质，即可求证． 【详解】（1）解：∵对折矩形纸片，使与重合，得到折痕， ∴， ∵再次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到了线段． ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵由折叠的性质得：， ∵在中，， ∴， ∴， ， 由折叠的性质得：； （3）证明：由②得， ∵四边形是矩形， ∴， ，， ∴是等边三角形， ∴， 由折叠得， ， ∴四边形是菱形． 46．（2023·吉林长春·二模）如图，在中，，，．动点P从点C出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点A匀速运动．过点P作的垂线交射线于点M，当点M不和点B重合时，作点M关于的对称点N．设点P的运动时间为t秒 (1)______； (2)求的长．（用含t的代数式表示） (3)取的中点Q． ①连结、，当点M在边上，且时，求的长． ②连结，当时，直接写出t的值． 【答案】(1)3 (2)或 (3)①；②满足条件的t的值为或 【分析】（1）利用勾股定理求解即可. （2）分两种情形：当时，当时，分别求解. （3）①证明，由此构建方程，可得结论. ②分两种情形：如图中，当时，，此时由此构建方程，即可解决问题.如图中，当时，过点作于.根据构建方程，可得结论. 【详解】（1）在中， ， ， 故答案为：； （2）当时，； 当 时， ； （3）①当 时， 解得 此时 ②如图中, 当时，, 此时， 在中，， ， ， ， ， ∵关于点对称, ， ， ， ， 如图中，当时，过点作于， ， ，， ， ， ， ， ， ， 经检验是分式方程的解， 综上所述，满足条件的t的值为或 ． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型. 47．（23-24八年级下·四川广安·期末）如图，矩形中，点是边 的中点，点、是分别边 、上任意一点，且，． (1)如图，若，则与 的数量关系为 ， ； (2)在（）的条件下，若点 为边上一点，连接，将线段 以点 为旋转中心，逆时针旋转 ，得到线段，连接，在图中补全图形，请猜想 与的数量关系，并证明你的结论； (3)在（）的条件下，若，，求（用含的代数式表示） 【答案】(1)，； (2)，理由见解析； (3)． 【分析】（）根据矩形的性质及中点的定义可得和为等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质和勾股定理即可求解； （）根据题意即可补全图形，再证明即可求证； （）过点作交的延长线于，先证明四边形是矩形，即可得四边形是正方形，得到为等腰直角三角形，即得，进而解直角三角形可得，最后利用线段的和差关系即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴和为等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∴， 故答案为：，； （2）解：补全图形，如图所示，，理由如下： 由题意得，，， 由（）得，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：过点作交的延长线于，如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键． 48．（2024·重庆·模拟预测）在中，点D是边AC上一点，连接平分，将线段绕点D逆时针旋转得线段． (1)如图①，点E在线段上时，若，求的长： (2)如图②，若点E与点B重合，点G，F分别为线段上的点，点M，H分别为的中点，点N在的延长线上，且，求证：； (3)如图③，若射线过中点H，， ，，将沿翻折到同一平面内得到，过作垂直于直线，交直线于点K，当与的乘积最大时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）过D作于，根据平分，，，可得，将线段绕点D逆时针旋转得线段，在中，用勾股定理可得，由，可得； （2）取的中点O，连接，由分别是的中位线，可得，，，，由，可得，即得，可证； （3）连接，设交于Q，连接，过D作于，证明，得，可知，当与的乘积最大时，，此时是等腰直角三角形，设则，根据，可得，从而，，即可得． 【详解】（1）过D作于，如图①． ∵平分，，， ∴， ∵将线段绕点D逆时针旋转得线段， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴． （2）取的中点O，连接，如图②． ∵点M，H分别为的中点， ∴分别是的中位线， ∴，，，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ （3）连接，设交于Q，连接，过D作于，如图③． ∵将沿翻折到同一平面内得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 而 ， ∴， ∴， 当与的乘积最大时，，即， 此时， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴，， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了翻折变换，旋转变换，相似三角形的判定与旋转，勾股定理及锐角三角函数等知识，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形和直角三角形解决问题，综合性较强． 49．（23-24九年级上·福建福州·期末）数学活动课上，老师与同学们一起研究矩形纸片的折叠问题，并鼓励同学们探究其中的奥妙． 动手操作 如图①，四边形是一张矩形纸片，，，点E，F分别在边上，连接，且将，分别沿折叠，点A，C分别落在点，处． 数学思考 （1）当四边形为菱形时，求出的长度； （2）如图②，若点，落在矩形的对角线上，（连接，） （I）判断四边形的形状并说明理由； （II）求出折痕的长度； 猜想探究 （3）如图③，折叠过程中，和交于点G，与交于点H，连接，当时，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）；（2）（I）四边形是平行四边形，理由见解析； （II）；（3） 【分析】（1）设，在中，由勾股定理列方程求解即可； （2）（I）证明四边形是平行四边形得，再证明得，进而可证四边形是平行四边形； （II）设，则，先在中求出x的值，再在中求出的长度； （3）在中，求出，再求出可证明四边形是矩形；证明得，进而可证，求出，然后求出即可求解． 【详解】（1）当四边形是菱形时，设，则． 在中，由勾股定理得， ，即， 解得． ∴当四边形是菱形时，； （2）（I）∵四边形是一张矩形纸片， ∴，， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由折叠知，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （II）设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵四边形是矩形， ， 由轴对称的性质可知， ， ， ． ∵在中，， 在中，， ， ， ∴四边形是矩形． 连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵ ∴，， ∴， ， ， ∵， ， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ， ； 同理． 又在中，， ， ∵， ， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形的面积 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，难度较大，属中考压轴题． $$