专题04 三角形及其性质（易错必刷71题 17种题型专项训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（北京版）

专题04 三角形及其性质（易错必刷71题 17种题型专项训练） · 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 已知两边求第三边范围 · 判断三条线段能否组成三角形 · 解决与等腰三角形有关的问题 · 三角形的三边关系与绝对值的综合运用 · 根据三角形的三边关系证明不等式 · 画三角形的高 · 与高的长度有关的计算 · 三角形角平分线定义的应用 · 三角形中线的相关计算 · 三角形稳定性的应用 · 内角和定理的应用 · 直角三角形性质应用 · 三角形折叠中的角度问题 · 利用三角形的外角性质求角 · 与三角形的外角有关的探究问题 · 三角形内外角平分线夹角问题 · 三角形角平分线与高结合问题 一、已知两边求第三边范围 1．若一个三角形的两边长分别是，，则它的第三条边长不可能是（    ） A． B． C． D． 2．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（    ） A． B． C．或 D． 3．如果三角形的三边长分别为a，4，5，那么整数a的值不可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．三根木棍首尾顺次相接组成三角形，若其中两根木棍的长度分别为，则第三根木棍的长度可以是（    ） A． B． C． D． 5．如果一个三角形的两边长分别为和，第三边长为偶数，那么这个三角形的周长最大值是（    ） A． B． C． D． 6．是中边上的中线，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知为的三边，且满足，，则的取值范围是 ． 二、判断三条线段能否组成三角形 8．下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ） A．2，3，6 B．4，4，8 C．4，7，11 D．5，8，12 9．现有四根木条，长度分别为．选用其中的三根木条首尾相接，组成一个三角形，一共有几种不同的组法（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 10．已知的三边长分别为a，b，c，且，以下列各式的值为边长，其中不一定能形成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 11．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A．1，1，2 B．2，2，3 C．4，6，24 D．3，7，21 12．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A．8，6，5 B．3，4，8 C．4，6，10 D．3，3，6 13．我校初二年级计划11月3日下午前往圆明园，开展以“圆明园的毁灭：铭记责任，思国家复兴”为主题的社会综合实践活动．出发前计划每班准备一个三角形的队旗，你认为下列三边长规格可以实现三角形队旗制作的是（    ） A． B． C． D． 14．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（    ） A．3，4，8 B．8，7，15 C．13，12，20 D．5，5，11 15．已知三角形的三边长分别为5，8，，则x的取值范围是 ． 三、解决与等腰三角形有关的问题 16．已知一个等腰三角形的两边长分别为5cm、7cm，则该三角形的周长是（   ） A． B． C．17cm或19cm D． 17．若等腰三角形的一边长等于5，另一边长等于3，则它的周长等于（   ）． A．10 B．11 C．13 D．11或13 18．等腰三角形的腰长为，则底边的取值范围是 ． 19．一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为 cm． 20．如果等腰三角形的两边长分别为和，那么它的周长是 ． 四、三角形的三边关系与绝对值的综合运用 21．已知，，为的三边，化简： ． 22．若a，b，c是的三边，请化简 ． 23．若、、满足．则以、、为边 （填“能”或“否”）构成三角形？若能构成三角形，则写出此三角形的周长 ． 24．若a、b、c表示的三边长，则 ． 25．已知a，b，c是△ABC的三边长，满足，c为奇数，则△ABC的周长为 ． 五、根据三角形的三边关系证明不等式 26．如图，由三角形两边的和大于第三边，得 ，① ．② 将不等式①，②的左边、右边分别相加，得 ，③ 不等式③两边都减，得． 27．已知：如图，是内一点． 求证：．    六、画三角形的高 28．在中，作出边上的高，正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   29．如图，在中，利用直角三角板作边上的高，下列作法正确的是(   ) A．   B．   C．   D．   30．如图，中边上的高线为（    ）    A． B． C． D． 31．利用直角三角板，作的高线，下列作法正确的是（    ） A． B． C． D． 七、与高的长度有关的计算 32．如图，在中，是高，是中线，若，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D．4 33．如图，在中，，点沿自点向点运动（点与点，不重合），作于点，的延长线于点，在点的运动过程中，的值逐渐 （填“增大”，“减小”或“不变”）．    34．如图，已知，分别是的高和中线，，，，．试求： (1)的长； (2)的面积； (3)和的周长差． 八、三角形角平分线定义的应用 35．如图，BD是的角平分线，，交AB于点E．若，，则的度数是（    ） A．10° B．20° C．30° D．50° 36．如图，射线BD，AE分别是△ABC的外角∠ABF，∠CAG的角平分线，射线BD与直线AC交于点D，射线AE与直线BC交于点E，若∠BAC＝∠ABC＋102°，∠D＝∠E＋27°，则∠ACB的度数为（    ） A．39° B．40° C．41° D．42° 37．如图，在三角形ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点P (1)当∠A=60°时，求∠BPC的的度数；（提示：三角形内角和180°）； (2)当∠A=α°时，直接写出∠A与∠BPC的数量关系． 九、三角形中线的相关计算 38．已知AD是△ABC的中线，若△ABD与△ACD的周长分别是14和12．△ABC的周长是20，则AD的长为　 　． 39．已知BD是的中线，，，且的周长为15，则的周长为 ． 40．如图，在 中，， 分别是 ， 的中点， 的面积为 ，则的面积为 ． 41．如图，AD是△ABC的边BC上的中线，BE是△ABD的边AD上的中线，若△ABC的面积是16，则△ABE的面积是 ． 十、三角形稳定性的应用 42．如图，一扇窗户打开后用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理（    ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．三角形具有稳定性 D．三角形的内角和等于180° 43．下列图形中不具有稳定性的有(     ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 44．小龙平时爱观察也喜欢动脑，他看到路边的建筑和电线架等，发现了一个现象：一切需要稳固的物品都是由三角形这个图形构成的，当时他就思考，数学王国中不仅只有三角形，为何偏偏用三角形稳固它们呢？请你用所学的数学知识解释这一现象的依据为 ． 45．我们在生活中经常见到如图所示的电动伸缩门，它能伸缩是利用了四边形的 ． 十一、内角和定理的应用 46．如图，在中，，点D在上，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 47．如图，的角平分线相交于点，，且于点，以下结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论是 （只填序号）．    48．密云水库是首都的“生命之水”，作为北京重要的水源地，保持水质成为重中之重．如图所示，点A和点B分别表示两个水质监测站，点C表示某一时刻监测人员乘坐的监测船的位置．其中，B点在A点的西南方向，船只C在A点南偏东25°方向和B点北偏东75°方向的交汇处，求此时从船只C看A、B两个水质监测站的视角的度数． 49．如图，平分，且，点在射线上．若，，求和的度数． 十二、直角三角形性质应用 50．在一个三角形中，若其中一个内角等于另外两个内角的差，则这个三角形是（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．都有可能 51．如图，直线ab，点B在a上，且AB⊥BC．若∠1＝35°，则∠2等于（　　） A．35° B．50 C．55° D．65° 52．如图，在中，，，点为延长线上一点，点为边上一点，若，则的度数为 ． 53．直角三角形中,一个锐角等于另一个锐角的2倍,则较小的锐角是 ． 54．三角形的三个内角的度数比是1：1：2．则最大内角的度数是 ． 十三、三角形折叠中的角度问题 55．将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点A'处． 【感知】如图①，点A落在四边形BCDE的边BE上，则∠A与∠1之间的数量关系是 ； 【探究】如图②，若点A落在四边形BCDE的内部，则∠A与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 【拓展】如图③，点A落在四边形BCDE的外部，若∠1=80°，∠2=24°，则∠A的大小为 ． 56．如图，把纸△ABC的∠A沿DE折叠，点A落在四边形CBDE外，则,与A 的关系是（  ） A． B． C． D． 57．如图，将△ABC分别沿AB，AC翻折得到△ABD 和△AEC，线段BD与AE交于点 F，连接BE . （1）如果∠ABC=16º，∠ACB=30°，求∠DAE的度数； （2）如果BD⊥CE，求∠CAB 的度数． 十四、利用三角形的外角性质求角 58．将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠的度数是【 】 A．45° B．60° C．75° D．90° 59．与直线a，b的位置关系如图所示．若，，，则 ． 60．如图，将一副直角三角尺按下图放置，使三角尺①的长直角边与三角尺②的斜边平行，两三角尺的某顶点重合，则图③中的 °． 61．如图，将一副直角三角板，按如图所示的方式摆放，则∠α的度数是 ． 十五、与三角形的外角有关的探究问题 62．给出如下定义：两条线段相交于一点（交点不与端点重合），连接不同线段的两个端点，再连接另两个端点所得图形称为“8字形”．如图，线段与交于点，连接和，所得图即为“8字形”． (1)下列四个图形中，含有“8字形”的有：____________． (2)如图1，与交于点，连接和，和的延长线交于点，满足，． ①当时，判断与的数量关系，并证明； ②如图2，当时，求证：． 63．如图1，线段与相交于点O，连接，我们把这样的图形称为“8字形”，数学兴趣课上，老师安排同学们探索“8字形”中相关角度的数量关系． (1)请通过观察、测量，猜想图1中与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，奋斗小组在图1的基础上，分别作与的平分线交于点P，若，求的度数； (3)智慧小组在图1的基础上，分别作射线，使得，，两条射线交于点P，请直接写出之间的数量关系． 十六、三角形内外角平分线夹角问题 64．在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线交于点，与的外角平分线交于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论有（    ）个． A． B． C． D． 65．如图，，点，是两条边上的任意两点，和的平分线交于点，则的度数为 ． 66．已知中， (1)如图1，平分，平分，，求的度数； (2)如图2，是的外角，、的平分线交于点D，求与的数量关系； (3)如图3，、是的外角，的平分线所在的直线与、的平分线分别交于点F､D．在中，如果，求的度数． 67．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题. 探究1：如图l，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90+∠A,理由如下： ∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线 ∴∠1=∠ABC, ∠2=∠ACB ∴∠l+∠2=(∠ABC+∠ACB)= (180-∠A)= 90-∠A ∴∠BOC=180-(∠1+∠2) =180-(90-∠A)=90+∠A (1)探究2；如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由． (2)探究3：如图3中, O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论） (3)拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论） 十七、三角形角平分线与高结合问题 68．（1）如图，在中，，于点，平分，你能找出与，之间的数量关系吗？并说明理由． （2）如图，在，，平分，为上一点，于点，这时与，之间又有何数量关系？请你直接写出它们的关系，不需要证明．    69．如图，在中，是的角平分线，在射线上，于，，，则 度． 70．如图，在中，，、分别是的高和角平分线，点E为边上一点，当为直角三角形时，则 ．    71．如图，在中，平分，平分，、交于点O，，若，，则 ． $$专题04 三角形及其性质（易错必刷71题 17种题型专项训练） · 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 已知两边求第三边范围 · 判断三条线段能否组成三角形 · 解决与等腰三角形有关的问题 · 三角形的三边关系与绝对值的综合运用 · 根据三角形的三边关系证明不等式 · 画三角形的高 · 与高的长度有关的计算 · 三角形角平分线定义的应用 · 三角形中线的相关计算 · 三角形稳定性的应用 · 内角和定理的应用 · 直角三角形性质应用 · 三角形折叠中的角度问题 · 利用三角形的外角性质求角 · 与三角形的外角有关的探究问题 · 三角形内外角平分线夹角问题 · 三角形角平分线与高结合问题 一、已知两边求第三边范围 1．若一个三角形的两边长分别是，，则它的第三条边长不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 【详解】解：设它的第三条边长为， ∴， 解得：， ∴选项中不在此范围内，符合题意， 故选：． 2．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值非负性、算术平方根的非负性以及三角形三边关系，由题意得；分类讨论若等腰三角形的三边长为：，若等腰三角形的三边长为：，利用三角形三边关系加以验证即可； 【详解】解：∵，， ∴； 若等腰三角形的三边长为：， ∵，不能构成三角形， ∴此种情况不存在； 若等腰三角形的三边长为：， 则等腰三角形的周长为：, 故选：A 3．如果三角形的三边长分别为a，4，5，那么整数a的值不可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得出的取值范围，从而得出答案，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． 【详解】解：由三角形的三边关系可得：，则， a的值不可能是1， 故选：A． 4．三根木棍首尾顺次相接组成三角形，若其中两根木棍的长度分别为，则第三根木棍的长度可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系即可判断第三根木棒的取值范围． 【详解】解：设第三根木棒的长度为， ∴， ∴， 观察各个选项，只有C选项是符合的， 故选：C． 5．如果一个三角形的两边长分别为和，第三边长为偶数，那么这个三角形的周长最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设三角形的第三边长是，根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：设三角形的第三边长是， ， ， 第三边长为偶数， 的最大值为， 周长最大值为， 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理． 6．是中边上的中线，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形三边的关系即可解决问题． 【详解】解：如图，    由三角形三边的关系可得，, 是中边上的中线， ， 故选：C. 7．已知为的三边，且满足，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边数量关系的运用，解一元一次不等式，理解三边数量关系，掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键． 根据三角形三边数量关系“两边之和大于第三边，两边之和小于第三边”得到，，结合，，可得，，再根据不等式的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”即可求解． 【详解】解：∵为的三边， ∴，， ∵，， ∴，， 解得，， 故答案为： ． 二、判断三条线段能否组成三角形 8．下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ） A．2，3，6 B．4，4，8 C．4，7，11 D．5，8，12 【答案】D 【分析】本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．根据三角形的三边关系进行分析判断． 【详解】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得 A、，不能组成三角形； B、，不能组成三角形； C、，不能组成三角形； D、，能够组成三角形． 故选：D． 9．现有四根木条，长度分别为．选用其中的三根木条首尾相接，组成一个三角形，一共有几种不同的组法（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的三边关系．根据三角形的三边关系，即可求解． 【详解】解：组合有以下4种情况：2、3、4；2、3、6；2、4、6；3、4、6； 根据三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得：只有2、3、4；3、4、6；共2组能组成三角形． 故选：B 10．已知的三边长分别为a，b，c，且，以下列各式的值为边长，其中不一定能形成三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 【详解】解：A、∵， ∴， 即， 故A能形成三角形 B 、∵， ∴， 故B能形成三角形 C、∵ 不确定，故不能确定与的关系． 故，，不一定能组成三角形．符合题意， D、∵ ∴，， ∵ 故D能形成三角形． 故选C． 11．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A．1，1，2 B．2，2，3 C．4，6，24 D．3，7，21 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的运用．判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段长度即可． 【详解】解：A、因为，所以1，1，2不能组成三角形，故A不符合题意； B、因为 ，所以2，2，3能组成三角形，故B符合题意； C、因为 ，所以4，6，24不能组成三角形，故C不符合题意； D、因为，所以3，7，21不能组成三角形，故D不符合题意． 故选：B． 12．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A．8，6，5 B．3，4，8 C．4，6，10 D．3，3，6 【答案】A 【分析】根据三角形的三条边必须满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可判断． 【详解】A、，能组成三角形，符合题意； B、，不能组成三角形，不符合题意． C、，不能组成三角形，不符合题意； D、，不能组成三角形，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查对三角形三边关系的理解应用．判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和大于最大的数即可． 13．我校初二年级计划11月3日下午前往圆明园，开展以“圆明园的毁灭：铭记责任，思国家复兴”为主题的社会综合实践活动．出发前计划每班准备一个三角形的队旗，你认为下列三边长规格可以实现三角形队旗制作的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的三边关系，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，不符合三角形的三边规则，两边之和大于第三边，不能组成三角形，所以本选项不符合题意，故A错误； B、，不符合三角形的三边规则，两边之和大于第三边，不能组成三角形，所以本选项不符合题意，故B错误； C、，符合三角形的三边规则，两边之和大于第三边，能组成三角形，所以本选项符合题意，故C正确； D、，不符合三角形的三边规则，两边之和大于第三边，不能组成三角形，所以本选项不符合题意，故D错误． 故选：C 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． 14．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（    ） A．3，4，8 B．8，7，15 C．13，12，20 D．5，5，11 【答案】C 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【详解】解：A、，3，4，8不能组成三角形； B、，8，7，15不能组成三角形； C、，13，12，20能够组成三角形； D、，5，5，11不能组成三角形． 故选：C． 【点睛】此题考查了三角形的三边关系，属于基础知识．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 15．已知三角形的三边长分别为5，8，，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得答案． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为5，8，， 根据三角形的三边关系可得：， 解得， 故答案为：． 三、解决与等腰三角形有关的问题 16．已知一个等腰三角形的两边长分别为5cm、7cm，则该三角形的周长是（   ） A． B． C．17cm或19cm D． 【答案】C 【分析】分腰是5cm和7cm两种情况，先根据三角形的三边关系确定是否构成三角形，再求出其周长即可得答案． 【详解】①当腰是5cm，底边是7cm时，能构成三角形， ∴其周长=5+5+7=17cm． ②当底边是5cm，腰长是7cm时，能构成三角形， ∴其周长=5+7+7=19cm． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 17．若等腰三角形的一边长等于5，另一边长等于3，则它的周长等于（   ）． A．10 B．11 C．13 D．11或13 【答案】D 【分析】由若等腰三角形的一边长等于5，另一边长等于3，分别分别从腰长为5，底边长为3与腰长为3，底边长为5去分析求解即可求得答案． 【详解】解：若腰长为5，底边长为3， ∵5＋3＞5， ∴5，5，3能组成三角形， 则它的周长等于：5＋5＋3＝13， 若腰长为3，底边长为5， ∵3＋3＝6＞5， ∴3，3，5能组成三角形． ∴它的周长为11或13． 故选：D． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握分类讨论思想的应用． 18．等腰三角形的腰长为，则底边的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系，根据等腰三角形的性质及三角形的三边关系列出不等式是解决问题的关键． 【详解】解：底边的取值范围是， 故答案为：． 19．一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为 cm． 【答案】22 【分析】底边可能是4，也可能是9，分类讨论，去掉不合条件的，然后可求周长． 【详解】解：①当腰是4cm，底边是9cm时：不满足三角形的三边关系，因此舍去． ②当底边是4cm，腰长是9cm时，能构成三角形，则其周长=4+9+9=22cm． 故填22． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答． 20．如果等腰三角形的两边长分别为和，那么它的周长是 ． 【答案】或 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为2cm和3cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】当2是腰时，2，2，3能组成三角形， 周长=3+2+2=7（cm）； 当3是腰时，3，3，2能够组成三角形， 周长=3+3+2=8（cm）， 综上所述，周长为7cm或8cm， 故答案为7cm或8cm． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形． 四、三角形的三边关系与绝对值的综合运用 21．已知，，为的三边，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，合并同类项，根据三角形三边的关系，即可得到，， 然后将原式去掉绝对值，再合并同类项即可，解题的关键是正确理解任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边． 【详解】解：∵的三边长分别是， ∴必须满足两边之和大于第三边，两边的差小于第三边，则，， ∴， 故答案为：． 22．若a，b，c是的三边，请化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边之间的关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，化简绝对值，先根据三角形三边之间的关系得出，再根据负数的绝对值是它的相反数，将绝对值化简，即可解答． 【详解】解：∵a、b、c是的三边， ∴． 即． ∴ ． 故答案为：． 23．若、、满足．则以、、为边 （填“能”或“否”）构成三角形？若能构成三角形，则写出此三角形的周长 ． 【答案】 能 / 【分析】根据平方的非负性，算术平方根的非负性和绝对值的非负性可求出，再根据三角形三边关系即可判断能或否构成三角形，最后求出周长即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． ∵，即， ∴以、、为边能构成三角形， ∴此三角形的周长为． 故答案为：能，． 【点睛】本题考查非负数的性质，三角形三边关系，实数的大小比较等知识．根据平方的非负性，算术平方根的非负性和绝对值的非负性求出、、的值是解题关键． 24．若a、b、c表示的三边长，则 ． 【答案】 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，判断绝对值内的代数式的符号，再根据绝对值的性质进行化简即可． 【详解】∵a，b，c是的三边， ∴，，， ∴，，， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】题目主要考查的是三角形的三边关系及去绝地值，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 25．已知a，b，c是△ABC的三边长，满足，c为奇数，则△ABC的周长为 ． 【答案】16 【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c的取值范围，再根据c是奇数求出c的值． 【详解】解：∵a，b满足， ∴，， 解得a=7，b=2， ∵，， ∴5＜c＜9， 又∵c为奇数， ∴c=7， ∴△ABC的周长为：． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了绝对值、平方的非负性，三角形的三边关系等知识点．解题的关键是确定边长c的取值范围． 五、根据三角形的三边关系证明不等式 26．如图，由三角形两边的和大于第三边，得 ，① ．② 将不等式①，②的左边、右边分别相加，得 ，③ 不等式③两边都减，得． 【答案】 / / 【分析】根据三角形的三边关系和不等式的性质解答即可． 【详解】解：如图，由三角形两边的和大于第三边， 得， ． 将不等式左边、右边分别相加， 得， 即． 故答案是：；；． 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 27．已知：如图，是内一点． 求证：．    【答案】见解析． 【详解】试题分析：首先延长BP交AC于点D，再在△ABD中可得PB+PD＜AB+AD，在△PCD中，PC＜PD+CD然后把两个不等式相加整理后可得结论． 试题解析：证明：延长BP交AC于点D，    在△ABD中，PB+PD＜AB+AD① 在△PCD中，PC＜PD+CD② ①+②得PB+PD+PC＜AB+AD+PD+CD， 即PB+PC＜AB+AC， 即：AB+AC＞PB+PC． 六、画三角形的高 28．在中，作出边上的高，正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．熟练掌握概念是解题的关键．根据三角形的高的定义对各个图形观察后解答即可． 【详解】解：根据三角形高线的定义，边上的高是过点B向作垂线垂足为D， 纵观各图形，D选项符合高线的定义， 故选：D． 29．如图，在中，利用直角三角板作边上的高，下列作法正确的是(   ) A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查的是作图基本作图，根据高线的定义即可得出结论． 【详解】解：A．不是三角形的高，故此选项不合题意； B．不是三角形的高，故此选项不合题意； C．不是三角形的高，故此选项不合题意； D．是的边上的高，故此选项符合题意． 故选：D． 30．如图，中边上的高线为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的高，从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，据此判断即可． 【详解】解：由已知图形可得于E， 因此是边上的高线， 故选B． 31．利用直角三角板，作的高线，下列作法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形高线的定义，从三角形的一个顶点出发引对边的垂线，顶点与垂足所连线段即为三角形的高线，进行判断即可． 【详解】解：由三角形的高线的定义可知： A、作法错误，不符合题意； B、作法错误，不符合题意； C、作法正确，符合题意； D、作法错误，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查三角形的高线．熟练掌握三角形的高线的定义，是解题的关键． 七、与高的长度有关的计算 32．如图，在中，是高，是中线，若，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】直接利用三角形面积公式求得，再根据中线的性质即可求解． 【详解】解：∵，，即， ∴ ∵是中线，即点是的中点， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查三角形面积和中线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形面积公式求得． 33．如图，在中，，点沿自点向点运动（点与点，不重合），作于点，的延长线于点，在点的运动过程中，的值逐渐 （填“增大”，“减小”或“不变”）．    【答案】减小 【分析】根据点沿自点向点运动时，的面积不变，但是会增大，由面积公式可得的值逐渐减小 【详解】解：由得： ∵的面积不变，但是点沿自点向点运动时，会增大， ∴的值逐渐减小， 故答案为：减小 【点睛】本题考查了三角形的动点问题，利用三角形的面积转换是解决问题的关键 34．如图，已知，分别是的高和中线，，，，．试求： (1)的长； (2)的面积； (3)和的周长差． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）先根据三角形面积公式可得，依此可求的长； （2）先根据三角形面积公式计算出，然后利用是边的中线得到； （3）利用等量代换得到的周长-的周长． 【详解】（1）解：∵，是边上的高， ∴ ， ∴， 即的长度为； （2）解：如图，∵是直角三角形，，，， ∴， 又∵是边的中线， ∴， ∴，即， ∴． ∴的面积是； （3）解：∵是边的中线， ∴， ∴的周长﹣的周长 ， 即和的周长的差是． 【点睛】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 八、三角形角平分线定义的应用 35．如图，BD是的角平分线，，交AB于点E．若，，则的度数是（    ） A．10° B．20° C．30° D．50° 【答案】B 【分析】由外角的性质可得∠ABD＝20°，由角平分线的性质可得∠DBC＝20°，由平行线的性质即可求解. 【详解】解：（1）∵∠A＝30°，∠BDC＝50°，∠BDC＝∠A＋∠ABD， ∴∠ABD＝∠BDC−∠A＝50°−30°＝20°， ∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠DBC＝∠ABD＝20°， ∵DE∥BC， ∴∠EDB=∠DBC＝20°， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义，灵活应用这些性质解决问题是解决本题的关键． 36．如图，射线BD，AE分别是△ABC的外角∠ABF，∠CAG的角平分线，射线BD与直线AC交于点D，射线AE与直线BC交于点E，若∠BAC＝∠ABC＋102°，∠D＝∠E＋27°，则∠ACB的度数为（    ） A．39° B．40° C．41° D．42° 【答案】D 【分析】设，根据为解题的思路，根据三角形的外角性质及角平分线性质，通过等量代换的思想分别求出即可． 【详解】解：设，则 ， ， ， ， BD，AE分别是△ABC的外角∠ABF，∠CAG的角平分线， ， ， , ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， , 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质及角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质． 37．如图，在三角形ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点P (1)当∠A=60°时，求∠BPC的的度数；（提示：三角形内角和180°）； (2)当∠A=α°时，直接写出∠A与∠BPC的数量关系． 【答案】(1)120° (2)∠BPC= 【分析】（1）根据BP是∠ABC的平分线，得出∠PBC=．根据CP是∠ACB的平分线，∠PCB=，根据∠A=60°，得出=120°，求∠PBC+∠PCB==60°即可； （2）根据BP是∠ABC的平分线，得出∠PBC=．根据CP是∠ACB的平分线，得出∠PCB=，根据∠A=α°，得出=180°-α°，可求∠PBC+∠PCB=即可． 【详解】（1）解：如图，∵BP是∠ABC的平分线， ∴∠PBC=．(角平分线定义) ∵CP是∠ACB的平分线， ∴∠PCB=， ∴∠PBC+∠PCB= ， ∵∠A=60°， ∴=120°， ∴∠PBC+∠PCB==60°， ∴∠BPC=180°－∠PBC－∠PCB=180°－（∠PBC+∠PCB）=180°-60°=120°． （2）如图，∵BP是∠ABC的平分线， ∴∠PBC=．(角平分线定义) ∵CP是∠ACB的平分线， ∴∠PCB=， ∴∠PBC+∠PCB=， ∵∠A=α°， ∴=180°-α°， ∴∠PBC+∠PCB=， ∴∠BPC=180°－∠PBC－∠PCB=180°－（∠PBC+∠PCB）=180°-90°=90°． ∴∠BPC=． 【点睛】本题考查角平分线定义，三角形内角和，掌握角平分线定义，三角形内角和是解题关键． 九、三角形中线的相关计算 38．已知AD是△ABC的中线，若△ABD与△ACD的周长分别是14和12．△ABC的周长是20，则AD的长为　 　． 【答案】3 【分析】根据三角形的周长公式列式计算即可得解． 【详解】解：∵△ABD与△ACD的周长分别是14和12， ∴AB＋BC＋AC＋2AD＝14＋12＝26， ∵△ABC的周长是20， ∴AB＋BC＋AC＝20， ∴2AD＝26−20＝6， ∴AD＝3． 故答案为3． 【点睛】本题考查了三角形的中线，熟记三角形的周长公式是解题的关键． 39．已知BD是的中线，，，且的周长为15，则的周长为 ． 【答案】11 【分析】根据三角形的中线得出，根据三角形的周长求出即可. 【详解】 ∵BD是的中线 ∴ ∴和的周长差是： ∵的周长为15 ∴的周长为 故填：. 【点睛】本题主要考查对三角形的中线的理解和掌握，进行等量转换是解此题的关键. 40．如图，在 中，， 分别是 ， 的中点， 的面积为 ，则的面积为 ． 【答案】． 【分析】根据中线将三角形面积分为相等的两部分可知：是的面积的2倍，的面积是的面积的2倍，依此即可求解． 【详解】解：， 分别是 ， 的中点， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的面积和中线的性质：三角形的中线将三角形分为相等的两部分，知道中线将三角形面积分为相等的两部分是解题的关键． 41．如图，AD是△ABC的边BC上的中线，BE是△ABD的边AD上的中线，若△ABC的面积是16，则△ABE的面积是 ． 【答案】4 【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，由题意可知，由此可得△ABE的面积 【详解】解： AD是△ABC的边BC上的中线，BE是△ABD的边AD上的中线， 故答案    为4 【点睛】本题考查三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，灵活运用这一点是解题的关键. 十、三角形稳定性的应用 42．如图，一扇窗户打开后用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理（    ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．三角形具有稳定性 D．三角形的内角和等于180° 【答案】C 【分析】将其固定，显然是运用了三角形的稳定性． 【详解】一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性． 故选C 【点睛】此题考查三角形的稳定性，难度不大 43．下列图形中不具有稳定性的有(     ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性． 【详解】解：根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．显然（2）、（4）、（5）三个．故选B． 【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性原理，熟练掌握三角形的稳定性原理是解题的关键． 44．小龙平时爱观察也喜欢动脑，他看到路边的建筑和电线架等，发现了一个现象：一切需要稳固的物品都是由三角形这个图形构成的，当时他就思考，数学王国中不仅只有三角形，为何偏偏用三角形稳固它们呢？请你用所学的数学知识解释这一现象的依据为 ． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】直接利用三角形具有稳定性得出答案． 【详解】解：用三角形稳固它们是因为三角形具有稳定性， 故答案为三角形具有稳定性． 【点睛】此题主要考查了三角形的稳定性，正确把握三角形具有稳定性是解题关键． 45．我们在生活中经常见到如图所示的电动伸缩门，它能伸缩是利用了四边形的 ． 【答案】不稳定性 【分析】根据四边形的不稳定性，即可求解． 【详解】解：它能伸缩是利用了四边形的不稳定性． 故答案为：不稳定性 【点睛】本题主要考查了四边形的不稳定性，熟练掌握四边形的不稳定性是解题的关键． 十一、内角和定理的应用 46．如图，在中，，点D在上，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据平角的定义可得，再根据平行线的性质可得，然后根据直角三角形的两锐角互余即可得． 【详解】解：， ， ， ， 在中，， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 47．如图，的角平分线相交于点，，且于点，以下结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论是 （只填序号）．    【答案】③④ 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、平行线的性质、垂线的定义，根据平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，即可判断①；无法证明平分，即可判断②；求出，，即可判断③；计算出，即可判断④；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：①， ， 是的角平分线， ，故①错误，不符合题意； ②无法证明平分，故②错误，不符合题意； ③， ， 平分， ， ， ，且， ，即， ，故③正确，符合题意； ④的角平分线相交于点， ，， ， ， ，， ， ， ，故④正确，符合题意； 综上所述，说法正确的是③④， 故答案为：③④． 48．密云水库是首都的“生命之水”，作为北京重要的水源地，保持水质成为重中之重．如图所示，点A和点B分别表示两个水质监测站，点C表示某一时刻监测人员乘坐的监测船的位置．其中，B点在A点的西南方向，船只C在A点南偏东25°方向和B点北偏东75°方向的交汇处，求此时从船只C看A、B两个水质监测站的视角的度数． 【答案】80° 【分析】方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角，由此即可计算． 【详解】解：解：∵B点在A点的西南方向，船只C在A点南偏东25°方向和B点北偏东75°方向， ∴，， ∴． 答：从船只C看A、B两个水质监测站的视角的度数是80°． 【点睛】本题考查方向角的概念，关键是掌握方向角的定义． 49．如图，平分，且，点在射线上．若，，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，平行线的判定与性质，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．由同旁内角互补，两直线平行得，则有，再由角平分线的定义得，，则要求度数，再由三角形的内角和定理可求的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，平分， ∴，， ∴， ∴． 十二、直角三角形性质应用 50．在一个三角形中，若其中一个内角等于另外两个内角的差，则这个三角形是（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．都有可能 【答案】A 【分析】根据三角形的内角和可求解的一内角为，进而可判断三角形的形状． 【详解】解：设这个三角形为，且， 则， ∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，能求出三角形最大角的度数是解此题的关键． 51．如图，直线ab，点B在a上，且AB⊥BC．若∠1＝35°，则∠2等于（　　） A．35° B．50 C．55° D．65° 【答案】C 【分析】根据平行线的性质，求得,求的余角，根据对顶角相等即可求解． 【详解】ab AB⊥BC，∠1＝35° ． 故选C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，余角的定义，对顶角相等，熟悉以上知识点是解题的关键． 52．如图，在中，，，点为延长线上一点，点为边上一点，若，则的度数为 ． 【答案】/65度 【分析】根据直角三角形的性质求出，再根据三角形的外角性质求出。 【详解】解：在中，，， 则， 是的外角， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、三角形的外角性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题关键。 53．直角三角形中,一个锐角等于另一个锐角的2倍,则较小的锐角是 ． 【答案】30° 【分析】设较小的锐角是,然后根据直角三角形两锐角互余列出方程求解即可. 【详解】设较小的锐角是x，则另一个锐角是2x， 由题意得，x＋2x＝90°， 解得x＝30°， 即此三角形中最小的角是30°. 故答案为30°. 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握该知识点是本题解题的关键. 54．三角形的三个内角的度数比是1：1：2．则最大内角的度数是 ． 【答案】90° 【分析】三角形的内角和为180°，进一步直接利用按比例分配求得份数最大的角即可． 【详解】解：最大内角的度数为：180°×=90°， 故答案为90°． 【点睛】此题主要利用三角形的内角和与按比例分配来解答问题．解题时注意：三角形内角 和是180°． 十三、三角形折叠中的角度问题 55．将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点A'处． 【感知】如图①，点A落在四边形BCDE的边BE上，则∠A与∠1之间的数量关系是 ； 【探究】如图②，若点A落在四边形BCDE的内部，则∠A与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 【拓展】如图③，点A落在四边形BCDE的外部，若∠1=80°，∠2=24°，则∠A的大小为 ． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据三角形外角性质得出，根据折叠性质得出，即可求出答案； （2）根据三角形内角和定理得出，，两式相加可得，即，根据平角的定义得出，可得出，根据折叠性质得出，即可得出； （3）根据三角形外角性质得出，，推出，即可得出答案． 【详解】解：（1）如图①，． 理由如下：由折叠可得：； ， ， 故答案为：； （2）如图②，． 理由如下：，， ， ， ， ， 由折叠可得：， ， 故答案为：； （3）如图③， ，， 由折叠可得：， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理的应用，本题主要考查运用定理进行推理和计算的能力．解题的关键是结合图形运用外角的性质列等式求解． 56．如图，把纸△ABC的∠A沿DE折叠，点A落在四边形CBDE外，则,与A 的关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，分别延长CE、BD交于A'点，然后利用三角形的外角与内角的关系可以得到∠2=∠EA'A+∠EAA'，∠1=∠DA'A+∠DAA'，而根据折叠可以得到∠EA'A=∠EAA'，∠DA'A=∠DAA'，然后利用等式的性质即可求解． 【详解】如图：分别延长CE、BD交于A'点，∴∠2=∠EA'A+∠EAA'，∠1=∠DA'A+∠DAA'， 而根据折叠可以得到∠EA'A=∠EAA'，∠DA'A=∠DAA'，∴∠2﹣∠1=2（∠EAA'﹣∠DAA'）=2∠EAD． 故选A． 【点睛】本题考查了图形的折叠与拼接，同时考查了三角形外角的性质等几何基本知识，解题时应分别对每一个图形进行仔细分析，难度不大． 57．如图，将△ABC分别沿AB，AC翻折得到△ABD 和△AEC，线段BD与AE交于点 F，连接BE . （1）如果∠ABC=16º，∠ACB=30°，求∠DAE的度数； （2）如果BD⊥CE，求∠CAB 的度数． 【答案】（1） ∠DAE=42°;（2）∠CAB =135°. 【分析】（1）已知，,可由三角形的内角和求出的度数，已知△ABC分别沿AB，AC翻折得到△ABD 和△AEC，所以可得 ，,从而可求出； （2）当时，,已知△ABC分别沿AB，AC翻折得到△ABD 和△AEC，所以可得,,所以,最后由三角形内角和求出即可. 【详解】解：（1）∵△ABC沿AC、AB翻折得到△AEC和△ABD， ∴. ∴. . ∵， ∴. ∴. （2）∵， ∴. ∴. ∵， ∴. ∴.   在△ABC中， 【点睛】本题主要考查三角形全等的性质，折叠，旋转，平移必有全等，解题的关键是通过折叠找到全等的三角形，再利用全等三角形的性质：对应角相等找到各个角之间的关系，联立等式求解即可. 十四、利用三角形的外角性质求角 58．将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠的度数是【 】 A．45° B．60° C．75° D．90° 【答案】C 【详解】如图， ∵∠1=90°-60°=30°， ∴∠α=45°+30°=75°．故选C． 【点睛】本题考查了直角三角形中两个锐角互余，外角的性质，解决此题的关键计算细致． 59．与直线a，b的位置关系如图所示．若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角相等，先根据两直线平行，同位角相等得到，再由对顶角相等得到，则由三角形外角的性质可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 60．如图，将一副直角三角尺按下图放置，使三角尺①的长直角边与三角尺②的斜边平行，两三角尺的某顶点重合，则图③中的 °． 【答案】75 【分析】本题考查三角板中的角度计算，平行线的性质，三角形外角的性质，根据平行线的性质可得，进而求出，最后根据即可求解． 【详解】解：如图， 由题意知，，，，， ， ， ， ， 故答案为：75． 61．如图，将一副直角三角板，按如图所示的方式摆放，则∠α的度数是 ． 【答案】 【分析】根据直角三角板的已知角度以及三角形外角性质即可求解． 【详解】如图， 故答案为： 【点睛】本题考查了三角板中角度的计算，三角形外角的性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键． 十五、与三角形的外角有关的探究问题 62．给出如下定义：两条线段相交于一点（交点不与端点重合），连接不同线段的两个端点，再连接另两个端点所得图形称为“8字形”．如图，线段与交于点，连接和，所得图即为“8字形”． (1)下列四个图形中，含有“8字形”的有：____________． (2)如图1，与交于点，连接和，和的延长线交于点，满足，． ①当时，判断与的数量关系，并证明； ②如图2，当时，求证：． 【答案】(1)①④ (2)①，证明见详解 ②见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）根据“8字形”的定义逐一判断即可； （2）①利用“”证明，即可得到答案； ②方法一：在上截取，易证，再根据等角对等边的性质，即可证明结论； 方法二：在上取一点，使得，易证，再根据等角对等边的性质，即可证明结论； 方法三：在的延长线上取一点，使得，易证，即可证明结论． 【详解】（1）解：由“8字形”的定义可知，含有“8字形”的图形有①④， 故答案为：①④． （2）解：①，证明如下： ， ，，， ， ， 在和中， ， ， ； ②方法一： 证明：如图，在上截取， 在和中， ， ， ，， ， ， ； 方法二： 证明：如图，在上取一点，使得， 在和中 . ， ， ， ， ； 方法三： 证明：如图，在的延长线上取一点，使得， ， ，， 在和中， ， ， ． 63．如图1，线段与相交于点O，连接，我们把这样的图形称为“8字形”，数学兴趣课上，老师安排同学们探索“8字形”中相关角度的数量关系． (1)请通过观察、测量，猜想图1中与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，奋斗小组在图1的基础上，分别作与的平分线交于点P，若，求的度数； (3)智慧小组在图1的基础上，分别作射线，使得，，两条射线交于点P，请直接写出之间的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，对顶角相等，理解题意灵活运用题中得出的“字形”性质，是解答本题的关键． （1）根据三角形内角和对顶角相等结合等式性质即可得出结论； （2）根据角平分线的定义得到，，再根据“8字形”得到，两等式相减得到，即，即可求解； （3）根据，可得，，再由三角形内角和定理和对顶角相等，可得，即可得出结论． 【详解】（1）解：， 证明：，， 又， ； （2）解：平分，平分， ，， 由“8字形”得到， 两等式相减得到，即， ， ； （3）解：， ，， ，， 由“8字形”得到， ，， ， ． 十六、三角形内外角平分线夹角问题 64．在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线交于点，与的外角平分线交于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论有（    ）个． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可求解，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得，结合可判定④． 【详解】解：∵，的平分线交于点， ∴，， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故②正确，符合题意； ∵，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故③错误，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， 故④正确，符合题意； 综上正确的有：①②④． 故选：C． 65．如图，，点，是两条边上的任意两点，和的平分线交于点，则的度数为 ． 【答案】/130度 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理，掌握三角形的内角和是是解题关键．根据角平分线的定义可知，，再结合三角形的内角和是求解即可． 【详解】解：∵和的平分线交于点， ∴，， ∴ ， ∴． 故答案为：． 66．已知中， (1)如图1，平分，平分，，求的度数； (2)如图2，是的外角，、的平分线交于点D，求与的数量关系； (3)如图3，、是的外角，的平分线所在的直线与、的平分线分别交于点F､D．在中，如果，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由三角形的内角和定理可得，再根据三角形角平分线的定义可得，然后再次利用三角形的内角和定理即可得出的度数； （2）设与交于点，由三角形角平分线的定义可得，，由三角形外角的性质可得，由三角形的内角和定理、对顶角相等可推出，于是可得结论； （3）由三角形角平分线的定义可得，，进而可推出，由（2）可知，根据三角形的内角和定理可得，于是可得关于的一元一次方程，解方程即可得出的度数，进而得出的度数． 【详解】（1）解：，， ， 平分，平分， ，， ， ， ； （2）解：如图，设与交于点， 、分别是、的平分线， ，， ， ， ； （3）解：平分，平分， ，， ， 平分，平分， ∴由（2）可知：， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，等式的性质，三角形角平分线的定义，三角形外角的性质，对顶角相等，等式的性质，解一元一次方程等知识点，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 67．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题. 探究1：如图l，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90+∠A,理由如下： ∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线 ∴∠1=∠ABC, ∠2=∠ACB ∴∠l+∠2=(∠ABC+∠ACB)= (180-∠A)= 90-∠A ∴∠BOC=180-(∠1+∠2) =180-(90-∠A)=90+∠A (1)探究2；如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由． (2)探究3：如图3中, O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论） (3)拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论） 【答案】（1）探究2结论：∠BOC=；（2）探究3：结论∠BOC=90°－；（3）拓展：结论 【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义可得∠2=∠ACD=（∠A+∠ABC），∠BOC=∠2-∠1，然后整理即可得解； （2）根据三角形的外角性质以及角平分线的定义表示出∠OBC和∠OCB，再根据三角形的内角和定理解答； （3）同（1）的求解思路． 【详解】（1）探究2结论：∠BOC=∠A． 理由如下：如图， ∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线， ∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACD， 又∵∠ACD是△ABC的一个外角， ∴∠2=∠ACD=（∠A+∠ABC）=∠A+∠1， ∵∠2是△BOC的一个外角， ∴∠BOC=∠2-∠1=∠A+∠1-∠1=∠A， 即∠BOC=∠A； （2）由三角形的外角性质和角平分线的定义，∠OBC=（∠A+∠ACB），∠OCB=（∠A+∠ABC）， 在△BOC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-（∠A+∠ACB）-（∠A+∠ABC）， =180°-（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）， =180°-（180°+∠A）， =90°-∠A； 故答案为∠BOC=90°-∠A． （3）∠OBC+∠OCB=（360°-∠A-∠D）， 在△BOC中，∠BOC=180°-（360°-∠A-∠B）=（∠A+∠D）． 故答案为∠BOC=（∠A+∠D）． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图，整体思想的利用是解题的关键． 十七、三角形角平分线与高结合问题 68．（1）如图，在中，，于点，平分，你能找出与，之间的数量关系吗？并说明理由． （2）如图，在，，平分，为上一点，于点，这时与，之间又有何数量关系？请你直接写出它们的关系，不需要证明．    【答案】（1）能，，见解析；（2） 【分析】（1）由角平分线的性质及三角形内角和180°性质解题； （2）根据平行线的判断与两直线平行，同位角相等性质解题． 【详解】解：（1）平分， 即； （2）过A作于D    【点睛】本题考查角平分线的性质、三角形内角和定理、平行线的性质等知识，是重要考点，难度较易，作出正确辅助线，掌握相关知识是解题关键． 69．如图，在中，是的角平分线，在射线上，于，，，则 度． 【答案】22 【分析】本题考查了三角形内角和定义、三角形的外角性质以及垂线．在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，由于，可得出，再利用三角形的外角性质，可求出的度数． 【详解】解：在中，，， ， 又平分， ． 于， ． 是的外角，是的外角， ， ， ． 故答案为：22． 70．如图，在中，，、分别是的高和角平分线，点E为边上一点，当为直角三角形时，则 ．    【答案】50或25/25或50 【分析】根据三角形内角和定理得，由角平分线的定义得，当为直角三角形时，存在两种情况：分别根据三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴ ∵平分 ∴ 当为直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，如图1，    ∵， ∴； ②当时，如图2，    ∴， ∵， ∴， 综上，的度数为或． 故答案为：50或25． 【点睛】本题考查的是直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质，熟知“三角形的外角的性质”是解答此题的关键． 71．如图，在中，平分，平分，、交于点O，，若，，则 ． 【答案】/10度 【分析】本题主要查了三角形内角和定理，三角形外角的性质．根据三角形内角和定理，可得，从而得到，再由三角形外角的性质求得的度数，再利用直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． $$