专题4.3 相似三角形的判定与性质综合（压轴题专项讲练）-2024-2025学年九年级数学上册压轴题专项讲练系列（浙教版）

专题4.3 相似三角形的判定与性质综合 · 典例分析 【典例1】如图， （1）如图1，在矩形中，于点H，交于点E．求证：； （2）如图2，在四边形中，．E是边上的一动点，过点C作，交的延长线于点G，交的延长线于点F．试探究是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由； （3）如图3，在中，，将沿翻折得到，点E，F分别在边上，连接．若，且=，则 的值为　　　． 【思路点拨】 （1）证明，利用相似三角形的性质即可证明； （2）过点作交延长线于点，首先证明四边形为矩形，易得，，再证明，由相似三角形的性质可得，然好由勾股定理解得，即可证明，即可获得答案； （3）过点作于点，交于点，作于点，证明，易得，再证明，由相似三角形的性质可得，由折叠的性质可得，，设，则，由勾股定理可得，然后由角平分线的性质定理可得，结合，可求得，证明，列出比例式求解即可． 【解题过程】 （1）解：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）是定值， 如下图，过点作交延长线于点， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴为定值； （3）如下图，过点作于点，交于点，作于点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴，， 设，则， ∴， ∵，，， ∴， ∵， 即， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． · 学霸必刷 1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，点D，B分别在、上，，，交于点F，则的面积的最大值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【思路点拨】 连接，得到，推出，，得到，，当最大时，最大，过点作于，当最大时，最大，由，得到当时，，根据三角形面积公式求出面积的最大值． 【解题过程】 解：连接， ，， ， 又， ， ，， ， ， ， ，， ，， 当最大时，最大， 过点作于， 当最大时，最大， ， 当时， ，此时， 故选：A． 2．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，，为上一点，为上一点，若，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了相似的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．过点C作交的延长线于点，过点C作于点，证明推出，，得到和，据此求解即可． 【解题过程】 解：如图，过点C作交的延长线于点，过点C作于点， ． ，， ， ，． ， ， ． 设， ，， ，． ， ， ． ， ， ， ． 故选：B． 3．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形中，，点分别在线段和线段的延长线上．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了相似三角形判定和性质，矩形的性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．如图，在上截取，在上截取，且，可得，，，，，通过证明，可得，可求的长，再求解即可． 【解题过程】 解：如图，在上截取，在上截取，且， ，，，，， ，， ，且，， ，， ， ， ， ， ， 故选：B 4．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形中，已知，，E为边上一动点，将沿翻折到的位置，点A与点F重合，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 【思路点拨】 本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，找到最小距离是解题的关键．在上取点G，使，连接FG，DG，证明，可得出，则，当、、三点共线时，最小，在中，利用勾股定理求出即可． 【解题过程】 解：如图，在上取点G，使，连接，． 沿边翻折到， ， 又， ，， ， 又， ， ， ， ， 当、、三点共线时，最小， 在中，， ，， ， 即的最小值为． 故选：D． 5．（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，，以为边向三角形外作正方形，作于点，交对角线于点，连接．要求的周长，只需知道（    ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【思路点拨】 设与相交于H，设，，，利用正方形的轴对称形得出，则可得出的周长为，证明，求出，，，证明，求出，，然后代入计算即可得出答案． 【解题过程】 解∶设与相交于H，设，，， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴B、E关于直线对称，，， ∴， ∴的周长为， ∵，， ∴， ∴， ， 又， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∵， ∴，即， 解得，， ∴ ， 即的周长为， 故选：B． 6．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，矩形中，平分，过点作，连接并延长交于点，交于点．则下列结论：①；②；③若，，则；④若，则．其中正确的是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【思路点拨】 由矩形的性质及角平分线定义得，由勾股定理得，，由相似三角形判定方法得，由相似三角形的性质得，设，由即可求解，可判断①；由相似三角形判定方法得，由相似三角形的性质得，即可判断②；延长交于，由相似三角形判定方法得，由相似三角形的性质得，，二者结合运算即可判断③；由相似三角形的性质得，故有，可求 ，由等腰三角形的判定及性质得 ，， 即可判断④． 【解题过程】 解：①四边形是矩形， ， 平分， ， ， ， ， ，， ， ， ， 设，则有 ， ； 故①正确； ②四边形是矩形， ， ， ， ， 即：， ， ， ， ， ， 故②正确； ③如图，延长交于， 由①②得： ， ， ， 即：， ， ， ， ，， ， 由①得：， ， ， 解得：， ， ， 解得：， 四边形是矩形， ， 故③错误； ④由上过程得：， ， ， ， 由③得：， ， ， 解得：， ， ， ， 解得：， ， 同理可证：， ， ， 故④正确； 故选：B． 7．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，点D是上一点，，，，则 ． 【思路点拨】 本题考查了相似三角形的判定与性质、外角的性质、等腰三角形的性质、勾股定理和一元二次方程等知识，解题关键是构造出相似三角形． 本题先构造一个等腰三角形，利用两角分别相等的两个三角形相似得出，进一步得出，利用勾股定理，在两个不同的直角三角形中分别表示，从而建立一元二次方程求解，最后再次利用勾股定理即可完成最后结论． 【解题过程】 解：如图，延长至E，使， ∴， 设， 则， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 设， ∴ 在中， 在中，， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 故答案为：20． 8．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，，于点D，延长至点E，使，，的延长线交于点F，若，，则的长为 ． 【思路点拨】 本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造相似三角形成为解题的关键． 先根据题意以及勾股定理可得、；设，则，在中运用勾股定理列方程可得，解得：，即，；如图：过E作交于G，即，易证，根据相似三角形的性质可得，再证，最后根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【解题过程】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， 设，则， 在中，，即，解得：， ∴，， 如图：过E作交于G，即， ∴， ∴，即，解得：， ∵， ∴， ∴， ∴，即解得：． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，中，，，点P在内，且，，，则的面积为 ． 【思路点拨】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质和勾股定理及逆定理等知识点，首先作，使得：，，即可得，即可得与相似比为2，继而可得与是直角三角形，根据直角三角形的性质和勾股定理，即可求得的面积，解题的关键是辅助线的构造，还要注意勾股定理与勾股定理的逆定理的应用． 【解题过程】 解：如图，作，使得：，， ∴， ∵， ∴与相似比为2， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 作于M， 由， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在中，，，，连接，过点B作于点E，延长交于点F．则的长为 ． 【思路点拨】 本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，过点作，交的延长线于点，比例关系，求出的长，勾股定理求出的长，等积法求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，证明，列出比例式求出的长，进而求出的长，证明，进而求出的长，利用，求出的长即可． 【解题过程】 解：过点作，交的延长线于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 11．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，，点，，分别在边，，上，连接，，，已知点和点关于直线对称．设，若，则 ．（结果用含的代数式表示）． 【思路点拨】 本题考查相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的定义和性质等，有一定难度，解题的关键是证明 ． 先根据轴对称的性质和已知条件证明，再证，推出，通过证明 ，推出，即可求出的值． 【解题过程】 解： 点和点关于直线对称， ， ， ． ， ， 点和点关于直线对称， ， 又 ， ， ， ，， 点和点关于直线对称， ， ， ， ， 在和中， ， ． 在中，， ，， ， ， ， ， ，， ． ， ， 解得， ． 故答案为：． 12．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）如图，矩形中，，，点E为边的中点，连接，将沿翻折，得到，连接并延长交与点F，则 ．    【思路点拨】 本题考查翻折变换、矩形的性质与判定、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，过作交于，交于，由一线三垂直模型得到，即可得到，设，则，，再在中根据勾股定理列方程求出，得到，，最后由，可得，构建方程即可解决问题． 【解题过程】 解：如图，过作交于，交于．    ∵矩形中，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵点E为边的中点， ∴， ∵将沿翻折，得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 整理得， 解得， ∵， ∴， ∴，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，于D，E为上一点，过点E作于F，且，连接交于G，若，，则的长为 ． 【思路点拨】 本题考查的是矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定与性质，过点B作，过点A作于点K，交延长线于点H，证明四边形是正方形，进而得出，，求出，结合求出，利用求出正方形边长，再根据求出结论． 【解题过程】 解：如图，过点B作，过点A作于点K，交延长线于点H， ， 四边形是矩形， 同理，四边形是矩形， ， ， ， 四边形是正方形， 延长到点L，使， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 解得：（负值舍去）， ， ， ， ， ，即， ， 故答案为：． 14．（23-24九年级上·福建漳州·自主招生）如图，中，，于点，于点，于点． 求证： （1）； （2）． 【思路点拨】 （1）根据相似三角形的判定与性质即可求解； （2）根据相似三角形的判定与性质即可求解； 本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【解题过程】 （1）证明：∵，，， ∴，，， ∴，，，，，，，， ∴，， ∴，，，， ∴，，，， ∴，，，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：同理可证：，，，， ∴，，，， ∴，，，， ∴，，，， ∴ ∴． 15．（23-24九年级下·江西赣州·阶段练习）如图1，在中，，点D，E分别在边上，且，将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α． （1）问题发现：①当时， ________；②当时，________； （2）拓展研究：试判断，当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明； （3）问题解决：当旋转至A，D，C三点共线时，直接写出线段的长． 【思路点拨】 （1）①当时，证明，得到，②当时，如图所示：同理①可得； （2）如图2所示，旋转过程中，、、、长度不变，故：，，的大小无变化； （3）当旋转右侧，，由，得：；当在左侧，此时，，是的中位线，，由勾股定理的即可求解． 【解题过程】 （1）解：①当时， ， ， ， 即， ，即； ②当时，如图所示： 则三点共线， ， ， ， ， 即， ，即； （2）解：如图2所示，旋转过程中，、、、长度不变， 即：，而， ， ， 故：当时，的大小无变化； （3）解：当旋转到如图位置，，三点共线时右侧）， 由题意得：， 由，得：， 由勾股定理得：， ， 当旋转到如图位置，，三点共线时左侧）， 此时，，是的中位线， ， 由勾股定理得：， ， 故线段的长为10或6． 16．（24-25九年级上·四川眉山·期中）如图（1），先把一张矩形纸片上下对折，设折痕为；如图（2），再把点B叠在折痕线上，得到．过点B向右折纸片，使D、Q、A三点仍保持在一条直线上，得折痕，其中，， （1）求证：． （2）你认为和相似吗？如果相似，给出证明，如果不相似，请说明理由． （3）如图（3），沿折叠，使点E落在上为点H，连结交于F，求（已知：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半） 【思路点拨】 （1）利用折叠中重合的角相等以及直角三角形两锐角互余转化角的关系得出，利用两角分别相等的两个三角形相似即可求证； （2）利用上一个问题中的结论得出，利用等量代换与变形进一步得出，再利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可求证； （3）先构造的中点，证明是等边三角形，再利用含的直角三角形的性质与勾股定理求出，得到，最后利用相似三角形得出即可求解． 【解题过程】 （1）证明：过点B向右折纸片，使D、Q、A三点仍保持在一条直线上， ∴， ∵矩形对边平行， ∴ ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，， ∴； （2）解：和相似； 证明：∵， ∴， ∵矩形纸片上下对折，折痕为， ∴， ∴即， 又∵， ∴； （3）解：取的中点O，连结， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在中，∵， ∴， ∵，， ∴， 可得 在中，∴ 由勾股定理可得：∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ． 17．（24-25九年级上·重庆九龙坡·开学考试）如图，在中，，在边上，在边上，连接、，点为上一点且满足． （1）如图1，若平分，，，，求的面积； （2）如图2，若，取中点为，连接，求证：； （3）如图3，在（1）的条件下，点为直线上一点，连接，若，则最小时，直接写出的值． 【思路点拨】 （1）根据，得到，由等角的余角相等推出，进而得到，设，，在中与，在中，利用勾股定理求出，，即得到，，由计算即可求解； （2）如图，倍长至点，连接，由（1）得，证明，推出，进而得到，再证明为等腰直角三角形，求出，证明为的中位线，推出，即可证明结论； （3）过点B作，使得，连接，交于点Q，连接，证明，得到，当三点共线时，即点D与点Q重合，有最小值，即有最小值，由，得到，再证明，易证，推出，推出，求出，在求出，，利用勾股定理求出，利用三角形面积公式即可解答． 【解题过程】 （1）证明：如图， 设，， 在中，， ， 在中，， ， ，即，， ； （2）解：，证明如下： 如图，倍长至点，连接， 由（1）得， ， ， ，， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 中点为，点G为中点， 为的中位线， ， ， ； （3）解：如图，过点B作，使得，连接，交于点Q，连接， ，， ， ， ， ， ，即， 如图，当三点共线时，即点D与点Q重合，有最小值，即有最小值， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ，即， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ． 18．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）（1）发现：如图所示，在正方形中，点B，F分别是，上的两点，连接，，，求的值． （2）探究：如图，在矩形中，E为边上一点，且，，将沿翻折到处，延长交边于G点，延长交边于点H，且，则的长为 ． （3）拓展：如图，在菱形中，，E为边上的一点且，，沿翻折得到，与交于H且，直线交直线于点P，求的长． 【思路点拨】 （1）证明根据全等三角形的性质得到得到答案； （2）由平行线的性质和折叠的性质可证由勾股定理可求的长，通过证明 ，可得 即可求解； （3）通过证明，可求的长，由勾股定理可求，的长，可得的长，由勾股定理可求解． 【解题过程】 解：（1）设与交于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即； 解：（2）∵将沿翻折到处， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ， 故答案为：； 解：（3）如图， 过点作于， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ， ∴， ∵沿翻折得到， ∴， ∴， 又∵， ∴， ， ， ， ， ， ， ． 19．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）问题提出 （1）如图①，和均为等腰直角三角形，且，连接、．求证：； 问题探究 （2）如图②， 四边形是边长为4的正方形，点P是上一动点，以为斜边在边的右侧作等腰，，连接、．当最小时，_____； 问题解决： （3）随着社会的发展，农业观光园走进我们的生活． 某农业观光园的平面示意图如图③所示的四边形 ，其中，，，．为了能够让广大游客更近距离观光，徜徉在大自然的海洋，设计师计划在之间修一条观光小路，为了方便市民观赏，想让最大．根据设计要求，求出当最大时 的面积． 【思路点拨】 （1）由等腰直角三角形的性质可得，由勾股定理得到，据此可证，； （2）连接，交于点，连接，证明，得出，进而可得，根据题意，可得，最小，此时点为的中点，即可求解； （3）作，交射线于点，取中点，连接，，，，由题意可证，可得，且，可证，可得，由勾股定理可求，，的长，由三角形三边关系可求的最大值，进而可得当三点共线时，取得最大值，此时如图所示，过点作于点，证明，求得，根据的面积为，即可求解． 【解题过程】 解：（1） 和均为等腰直角三角形，且， ， ∴， ， 由勾股定理可得,， ， ； （2）如图所示，连接，交于点，连接， 由正方形的性质可得，， ∴是等腰直角三角形， 同理可得， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，最小， ∵， ∴此时点Q在上， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，的面积为； （3）如图，作，交射线于点，取中点，连接，，，， ，， ， ∴， ∴， 又∵， ， ， ∴； ， ∴， ， ， ， ， 点是中点， ， ， ， ∴当三点共线时，取得最大值，此时如图所示，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵是的中点， ∴， ∴的面积 平方千米． 20．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）【问题背景】 在平行四边形中，是边上一点，延长至点使得，连接，延长交于点， 【特例感知】 （1）如图1，若四边形是正方形时， ①求证：；②当时中点时，________度； 【深入研究】 （2）如图2，若四边形是菱形，，当为中点时，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，若四边形是矩形，，，点在的延长线上且满足，当是直角三角形时，请直接写出的长． 【思路点拨】 （1）①根据正方形的性质可证，得，结合对顶角相等即可求证；②如图所示，连接，根据正方形的性质可得，根据①中三角形全等，时中点，可得是的垂直平分线，可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解； （2）如图所示，过点作，交于点，且当为中点，可证，得是中位线，再正，根据相似三角形的性质即可求解； （3）根据题意，分类讨论：第一种情况，如图所示，当，是直角三角形，设，则，运用勾股定理可得的值，再证，根据相似三角形的性质列式求解；第二种情况，如图所示，，是直角三角形，过点作延长线于点，可得是等腰直角三角形，可得，再证，根据，可求出的值，由此可得的值，由此即可求解． 【解题过程】 解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， ①证明：∵，延长至点， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图所示，连接， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵，，， ∴，则，即， ∵点是的中点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴，即是等腰三角形， ∴平分，即， 在中，， 故答案为：； （2）∵四边形是菱形， ∴， 如图所示，过点作，交于点，且当为中点， ∵， ∴， ∴， ∴点是中点，则， ∴是的中位线， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴，即，整理得，， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴的长为； （3）∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴， ∴， 第一种情况，如图所示，当，是直角三角形， 设，则， 在中，， ∵， ∴，则， ∵， ∴，且， ∴， ∴，即，整理得，， 解得，， 检验，当时，原分式方程的分母有意义， ∴或； 第二种情况，如图所示，，是直角三角形，过点作延长线于点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的长为或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.3 相似三角形的判定与性质综合 · 典例分析 【典例1】如图， （1）如图1，在矩形中，于点H，交于点E．求证：； （2）如图2，在四边形中，．E是边上的一动点，过点C作，交的延长线于点G，交的延长线于点F．试探究是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由； （3）如图3，在中，，将沿翻折得到，点E，F分别在边上，连接．若，且=，则 的值为　　　． 【思路点拨】 （1）证明，利用相似三角形的性质即可证明； （2）过点作交延长线于点，首先证明四边形为矩形，易得，，再证明，由相似三角形的性质可得，然好由勾股定理解得，即可证明，即可获得答案； （3）过点作于点，交于点，作于点，证明，易得，再证明，由相似三角形的性质可得，由折叠的性质可得，，设，则，由勾股定理可得，然后由角平分线的性质定理可得，结合，可求得，证明，列出比例式求解即可． 【解题过程】 （1）解：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）是定值， 如下图，过点作交延长线于点， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴为定值； （3）如下图，过点作于点，交于点，作于点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴，， 设，则， ∴， ∵，，， ∴， ∵， 即， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． · 学霸必刷 1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，点D，B分别在、上，，，交于点F，则的面积的最大值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，，为上一点，为上一点，若，，则的值为（  ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形中，，点分别在线段和线段的延长线上．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形中，已知，，E为边上一动点，将沿翻折到的位置，点A与点F重合，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 5．（2024·浙江·模拟预测）如图，在中，，以为边向三角形外作正方形，作于点，交对角线于点，连接．要求的周长，只需知道（    ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 6．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，矩形中，平分，过点作，连接并延长交于点，交于点．则下列结论：①；②；③若，，则；④若，则．其中正确的是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，点D是上一点，，，，则 ． 8．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，，于点D，延长至点E，使，，的延长线交于点F，若，，则的长为 ． 9．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，中，，，点P在内，且，，，则的面积为 ． 10．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在中，，，，连接，过点B作于点E，延长交于点F．则的长为 ． 11．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，，点，，分别在边，，上，连接，，，已知点和点关于直线对称．设，若，则 ．（结果用含的代数式表示）． 12．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）如图，矩形中，，，点E为边的中点，连接，将沿翻折，得到，连接并延长交与点F，则 ．    13．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，于D，E为上一点，过点E作于F，且，连接交于G，若，，则的长为 ． 14．（23-24九年级上·福建漳州·自主招生）如图，中，，于点，于点，于点． 求证： （1）； （2）． 15．（23-24九年级下·江西赣州·阶段练习）如图1，在中，，点D，E分别在边上，且，将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α． （1）问题发现：①当时， ________；②当时，________； （2）拓展研究：试判断，当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明； （3）问题解决：当旋转至A，D，C三点共线时，直接写出线段的长． 16．（24-25九年级上·四川眉山·期中）如图（1），先把一张矩形纸片上下对折，设折痕为；如图（2），再把点B叠在折痕线上，得到．过点B向右折纸片，使D、Q、A三点仍保持在一条直线上，得折痕，其中，， （1）求证：． （2）你认为和相似吗？如果相似，给出证明，如果不相似，请说明理由． （3）如图（3），沿折叠，使点E落在上为点H，连结交于F，求． 17．（24-25九年级上·重庆九龙坡·开学考试）如图，在中，，在边上，在边上，连接、，点为上一点且满足． （1）如图1，若平分，，，，求的面积； （2）如图2，若，取中点为，连接，求证：； （3）如图3，在（1）的条件下，点为直线上一点，连接，若，则最小时，直接写出的值． 18．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）（1）发现：如图所示，在正方形中，点B，F分别是，上的两点，连接，，，求的值． （2）探究：如图，在矩形中，E为边上一点，且，，将沿翻折到处，延长交边于G点，延长交边于点H，且，则的长为 ． （3）拓展：如图，在菱形中，，E为边上的一点且，，沿翻折得到，与交于H且，直线交直线于点P，求的长． 19．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）问题提出： （1）如图①，和均为等腰直角三角形，且，连接、．求证：； 问题探究 （2）如图②， 四边形是边长为4的正方形，点P是上一动点，以为斜边在边的右侧作等腰，，连接、．当最小时，_____； 问题解决： （3）随着社会的发展，农业观光园走进我们的生活． 某农业观光园的平面示意图如图③所示的四边形 ，其中，，，．为了能够让广大游客更近距离观光，徜徉在大自然的海洋，设计师计划在之间修一条观光小路，为了方便市民观赏，想让最大．根据设计要求，求出当最大时 的面积． 20．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）【问题背景】 在平行四边形中，是边上一点，延长至点使得，连接，延长交于点， 【特例感知】 （1）如图1，若四边形是正方形时， ①求证：；②当时中点时，________度； 【深入研究】 （2）如图2，若四边形是菱形，，当为中点时，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，若四边形是矩形，，，点在的延长线上且满足，当是直角三角形时，请直接写出的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$