专题14 一元函数的导数及其应用（压轴题，20题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（湖南专用）

专题14 一元函数的导数及其应用（压轴题，20题） 1．（23-24高二上·湖南·期末）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，证明：对任意的，． 0 单调递减 单调递增 2．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知函数（，），且曲线在点处的切线经过点. (1)求； (2)求的单调区间； (3)若，，证明：. 3．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知函数，有两个不相等的正实数，使得． (1)求函数的单调区间； (2)证明：． 4．（23-24高二上·湖南·期末）设，函数. (1)讨论函数的单调性; (2)若时，函数有三个零点，其中，试比较与2的大小关系，并说明理由. 5．（23-24高二上·湖南·期末）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：阶导数指对一个函数进行次求导，表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，为自然对数的底数，，该公式也称麦克劳林公式．设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题： (1)利用泰勒公式求的近似值；（精确到小数点后两位） (2)设，证明：； (3)证明：（为奇数）． 6．（23-24高二上·湖南娄底·期末）若函数存在零点，函数存在零点，使得，则称与互为亲密函数. (1)判断函数与是否为亲密函数，并说明理由； (2)若函数与互为亲密函数，求的取值范围. 附：. 7．（23-24高二上·湖南·期末）已知函数，（）. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若对任意恒成立，求整数a的最小值. 8．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知函数. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)当时，求证在上恒成立. 9．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）已知函数，其中. (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，令函数，证明：. 10．（23-24高二上·湖南怀化·期末）设函数，，其中． (1)设，当时，求F（x）的最小值； (2)证明：当，时，总存在两条直线与曲线与都相切． 11．（23-24高二上·湖南·期末）已知函数，其中，． (1)若，求的最小值； (2)若，，求证：． + 0 - 递增 极大值 递减 x + 0 - 递增 极大值 递减 12．（23-24高二上·湖南株洲·期末）已知函数． (1)讨论 的单调性； (2)若对于任意的，恒成立， 求整数 的最小值（参考数据： ) 13．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知曲线在处的切线方程为．其中a、b均为实数． (1)求的值； (2)若是函数的极小值点，证明：． 参考数据：，，，． x - 0 + 递减 极小值 递增 x + 0 - 递增 极大值 递减 14．（23-24高二上·湖南·期末）已知函数 (1)若，求不等式的解集； (2)若存在两个不同的零点，，证明：. 15．（23-24高二上·湖南怀化·期末）已知函数，. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，存在满足，证明. 16．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求的取值集合； (3)若存在，且，求的取值范围. 17．（23-24高二上·湖南湘西·期末）若函数满足对于任意的，恒成立，则称为“反转函数”.已知函数，. (1)当时，证明：为“反转函数”. (2)已知有三个零点，，，且. ①求a的取值范围； ②证明：. 18．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知函数，（）. (1)求函数在点（e，e）处的切线方程； (2)已知，求函数极值点的个数； (3)若对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 19．（23-24高二上·湖南·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)设，（）是的两个零点，是的导函数，证明：. 20．（23-24高二上·湖南·期末）已知函数. (1)若（e为自然对数的底数），求函数的极值； (2)若，函数有两个零点，且不等式恒成立，求实数的取值范围. 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 一元函数的导数及其应用（压轴题，20题） 1．（23-24高二上·湖南·期末）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，证明：对任意的，． 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析 【分析】（1）对求导，得到，再对分类讨论，利用导数与函数单调性间的关系，即可求出结果； （2）根据条件，证明，构造函数，转化成求的最小值，再利用导数与函数单调性间的关系，即可求出结果. 【详解】（1）因为，易知定义域为，， 当时，恒成立，所以在上单调递增， 当时，由，得到，此时在区间上单调递减， 由，得到，此时在区间上单调递增， 综上可得：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）当时，，要证明， 只需证明，设，         则问题转化为证明对任意的，， 因为，                           令，则显然是增函数，且， 所以存在唯一，使得，即，所以，得到，                         当变化时，和变化情况如下表 0 单调递减 单调递增 ，        由在上单调递减，可知，所以， 因此不等式得证． 2．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知函数（，），且曲线在点处的切线经过点. (1)求； (2)求的单调区间； (3)若，，证明：. 【答案】(1) (2)的单调递减区间为，单调递增区间为 (3)证明见解析 【分析】（1）对求导，由题意可得，解方程即可得出答案； （2）对求导，判断与0的大小即可求出的单调区间； （3）令，对求导，可证得，设函数，由此对放缩可证得，再由可得，同理证得，即可证明. 【详解】（1）解：， 由题意得， 则， 得，又，所以． （2）解：由（1）可知． 因为函数均为增函数，所以为增函数． 易得，则当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． （3）证明：由题意得，设函数，则， 当时，单调递减，当时，单调递增， 则，即（当时，等号成立）． 设函数， 则，因为，所以 由，得 同理，，得． 由，得，所以． 【点睛】关键点睛：本题的关键点在于令，对求导，可证得，设函数，由此对放缩可证得，再由可得，同理证得，即可证明. 3．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知函数，有两个不相等的正实数，使得． (1)求函数的单调区间； (2)证明：． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为； (2)证明见解析. 【分析】（1）求出得出的单调性； （2）不妨设,先分析出,再构造函数函数，,利用导数分别完成对左右的证明即可. 【详解】（1）函数的定义域为， ，令，解得， 当时，；当时，, 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）,当时，且, 当时, , 结合(1)可知,函数有两个不相等的正实数,使得, 又, 不妨设,则必有, 要证: ,即证明, 由于， 因为函数在上单调递增,所以即证: . 又因为,所以即证：. 构造函数， 有， 易知 当且仅当时取等, 所以在上恒成立,即函数在上单调递减， 那么, 由，可得. 因为，所以， 所以. 设， 则. 当时，恒成立， 所以在上单调递减， 所以时，, 于是有时. 因为，所以，则. 又因为,所以， 故. 因为，所以， 所以，即. 综上所述，. 【点睛】方法点睛:利用导数证明或判定不等式问题: 1.通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值)，从而得出不等关系; 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系; 3．适当放缩构造法:根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系; 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 4．（23-24高二上·湖南·期末）设，函数. (1)讨论函数的单调性; (2)若时，函数有三个零点，其中，试比较与2的大小关系，并说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）根据题意可得，对函数求导，分别讨论和时函数的单调性即可； （2）由题可得，再得到，进一步转化处理可得，再利用导数证明即可得出结论. 【详解】（1）由，得，又因为，所以， 则，所以， 当时，令，得或;令，得， 所以在和上单调递增，在上单调递减; 当时，令，得;令，得或， 所以在与上单调递减，在上单调递增. （2），理由如下: 因为， 令， 由，得， 解得或， 因为， 所以,是的正根， 则，又， 所以， 两式相减得， 令，则， 得，则， 令，则 所以 得， 设，则， 再设，则， 所以在上为增函数， 所以，即， 则在上为增函数， 所以， 所以，即， 所以，即. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种转化方法： 一是利用导数研究含参函数的单调性，常转化为恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用； 二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理. 5．（23-24高二上·湖南·期末）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：阶导数指对一个函数进行次求导，表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，为自然对数的底数，，该公式也称麦克劳林公式．设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题： (1)利用泰勒公式求的近似值；（精确到小数点后两位） (2)设，证明：； (3)证明：（为奇数）． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用泰勒公式对进行展开，代入公式计算； （2）利用泰勒公式对进行展开，得到，计算得到，可得结论； （3）利用阶导数和（2）的结论进行放缩，利用裂项相消进行求和，证得不等式。 【详解】（1）由泰勒公式知，① 于是有； （2）由上得，② 由①②得， ， 所以， 即； （3）当为偶数时，为奇数时，． 故原式可化为，③ 由上题可知， 故有，③式． 6．（23-24高二上·湖南娄底·期末）若函数存在零点，函数存在零点，使得，则称与互为亲密函数. (1)判断函数与是否为亲密函数，并说明理由； (2)若函数与互为亲密函数，求的取值范围. 附：. 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】（1）先判断函数和的单调性；再根据零点的存在性定理确定零点所在区间；最后根据亲密函数的定义即可判断. （2）先利用导数判断函数的单调性，求出最值，得出函数的零点；再根据与互为亲密函数得出函数零点的取值范围，从而将题目条件转化为方程在上有解；最后构造函数，利用导数研究该函数的单调性和值域即可求解. 【详解】（1）记是函数的零点，是函数的零点. 因为在上单调递增，且，， 所以由零点的存在性定理可得：. 因为， 所以函数的定义域为，. 令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 又因为， 所以由零点的存在性定理可得：. 所以，满足亲密函数的定义，故与互为亲密函数. （2）因为， 所以，函数的定义域为. 令得；令得， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以，故有唯一的零点2. 记是函数的零点. 因为与互为亲密函数， 由，得， 所以在上有解. 由，可得. 设，则. 设，则， 在上单调递增，则， 所以在上单调递增，则， 所以，从而为增函数，则，即. 所以，解得，故的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数零点存在性定理，方程与函数的关系及利用导数研究函数的性质等. 解答第（1）问的关键在于综合应用函数零点存在性定理和函数的单调性；第（2）问的关键在于先将题目条件转化为方程有解问题；再构造函数，利用导数研究函数的单调性和值域. 7．（23-24高二上·湖南·期末）已知函数，（）. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若对任意恒成立，求整数a的最小值. 【答案】(1) (2)函数的单调递减区间为，单调递增区间为. (3)1 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率即可得解； （2）求出函数导数，再利用求导数判断导函数的符号，即可得到原函数的单调区间； （3）原不等式恒成立转化为，构造函数，根据单调性转化为对任意恒成立，分离参数后得，由导数求出的最大值即可. 【详解】（1）当时，， 所以， 所以切线方程为，即. （2）因为， 所以， 设， 则， 又因为，所以，即单调递增， 又因为，所以时，，即； 时，，即， 综上可知，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （3）因为对任意恒成， 即，， 即， 即， 设，则， 易知单调递增，所以， 所以单调递增，则原不等式等价于， 即 对任意恒成立， 所以，令，则， 又因为， 令，则，所以单调递减; 又因为，， 所以， 所以时，，即，单调递增； 时，，即，单调递减； 所以， 所以，而， 所以整数的最小值为. 【点睛】关键点点睛：第三问关键点之一在于对原不等式进行恰当转化，第二关键点在于结合构造函数再对不等式变形后构造出恰当函数，利用导数判断出所构造函数的单调性，再次转化恒成立结论，第三关键点在于会找函数的隐零点，得到，难度较大. 8．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知函数. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)当时，求证在上恒成立. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出导函数，问题转化为，恒成立，用分离参数法再转化为求函数的最值． （2）求出在时的最大值，由最大值小于1证得结论成立，注意令，由单调性得有唯一零点，然后得出是最大值，再由的性质证明即可． 【详解】（1）函数，则， 对任意的恒成立，所以， 故，,， 所以，所以在上为单调递增函数， 所以，所以， 故实数的取值范围为； （2）证明：由题意知，要证在上，， 令，则， 显然在上单调减，， 所以存在，则， 所以当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以， 因为，所以，则 故在上恒成立. 9．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）已知函数，其中. (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，令函数，证明：. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求导，并计算，由点斜式写出直线方程； （2）利用导数分类讨论函数单调性； （3），利用导数研究函数的最小值即可得证. 【详解】（1）， . 切线方程为：，即. （2）由题意得函数的定义域为， ， ， ①当时，在上单调递减； ②当时，时，在上单调递减. 时，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递减. 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）当时，， . 令，则. 构建函数. 当时，函数单调递增. 当时，函数单调递增. 在内有唯一零点. 当函数单调递减. 当函数单调递增. 当时，函数取最小值. . . 构造函数. 令. 当时，函数单调递增. 当时，函数单调递增. . 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 10．（23-24高二上·湖南怀化·期末）设函数，，其中． (1)设，当时，求F（x）的最小值； (2)证明：当，时，总存在两条直线与曲线与都相切． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出导函数，确定函数的单调性得最值； （2）求出的导函数，设出切线方程：在处的切线方程为，在点处的切线方程为，由两条切线也是另一函数图象的切线，联立方程组，由参数范围确定方程组有两个解，从而证明结论成立． 【详解】（1），， 当时，，F（x）单调递减， 当）时，F（x）单调递增， 故时，F（x）取得最小值； （2）∵ ∴在处的切线方程为， ∵，∴在点处的切线方程为， 由题意得，则， 令，则，由（1）得时，单调递减， 且，当时，单调递增，又，时，， ∴当时，，单调递减；当1时，，单调递减， 由（1）得， 又， ，所以函数在（b－1，1）和（1，3－b）内各有一个零点， 故当时，总存在两条直线与曲线与相切． 【点睛】本题考查用导数求函数的最值，考查导数的几何意义．难点在于证明两个函数图象有两条公切线，方程是由导数几何意义分别设出两个曲线的切线方程，两切线方程联立方程组，然后用导数证明此方程组有两个解，为此需消元转化，然后引入函数，利用导数确定新函数的性质，得出新函数有两个零点．本题属于困难题． 11．（23-24高二上·湖南·期末）已知函数，其中，． (1)若，求的最小值； (2)若，，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）连续函数再闭区间上必有最值，利用导数判断的单调性，将极值与端点处的函数值进行比较从而确定最值（2）利用（1）的结论将所要证明的问题转化为证明不等式，构造函数，不难证明. 【详解】（1）时， ． 今 + 0 - 递增 极大值 递减 在上单调递增，在上单调递减， 存在，使得 x + 0 - 递增 极大值 递减 因为 在单调递增，在单调递减： ∴ 所以 （2）由（1）知0对任意的成立． 即 要证 只需要 即在区间上单调递增， 令 当时， ，∴在上单调递减 所以使得 所以当时，在单调递增： 当时，在上单调递减． 又因为，所以 得证 【点睛】（2）的证明要利用（1）的结论将所要证明的问题转化为证明不等式，构造含参函数函数，而在判断在上的符号时，又要再构造函数，要用到“隐零点”的解题技巧. 12．（23-24高二上·湖南株洲·期末）已知函数． (1)讨论 的单调性； (2)若对于任意的，恒成立， 求整数 的最小值（参考数据： ) 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求出导函数，分类讨论确定的正负得单调性； （2）由（1）确定，然后引入函数，求出导函数，对其中的部分函数再一次求导，确定单调性，确定正负，零点，同时得出零点与参数的关系，得出的单调性，最值点，把最大值进行转化，由其小于或等于0得出零点的范围，最后求得参数范围． 【详解】（1），若，则，是减函数， 时，令， ，当时，，时，， 所以的减区间是，增区间是； （2）时，由（1）知时，，而，因此不成立， 所以， 设， ， 令，，是减函数， 时，，时，，因此有唯一实解，且， ，， 当时，，即，时，，即， 所以在上递增，在上递减， 所以， ，而， 所以，所以， 又，令， 则，在上是增函数， ，， 所以，， 所以整数的最小值是． 【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，研究不等式恒成立问题，在研究不等式恒成立时，关键是问题的转化，不等式恒成立，引入函数后求出函数的最大值，则最大值小于或等于0得结论，在求最大值时，需要对导函数的部分函数进行再一次求导，确定其单调性与正负，以便确定函数的极值点，本题还需要应用零点存在定理说明零点的存在性，找到零点（极值点）与参数的关系，求出最大值，并通过零点（极值点）与参数的关系转化最大值，从而得出零点的范围，再根据参数与零点的关系求得参数范围，这又需要利用导数求解．对学生的逻辑思维能力要求较高，难度较大． 13．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知曲线在处的切线方程为．其中a、b均为实数． (1)求的值； (2)若是函数的极小值点，证明：． 参考数据：，，，． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义列出方程组，即可求得答案; （2）根据题意可得是仅有的一个极小值点，从而求得极小值，构造函数，即可证明，然后证明 ，即证，构造函数，利用导数证明该不等式成立. 【详解】（1）定义域为 ， ， 由题意知， , 解得 , ∴; （2）由（1）知 ， 令 ，则 ， 从而 ，即单调递增， ，故存在唯一的 使得， 故可得下表： x - 0 + 递减 极小值 递增 从而是仅有的一个极小值点， ∴ ， ∴， 令 ， 则 ， 从而 在 上单调递减，， 故 ；       下证 ，即证； 一方面令，则， 则 在上单调递增，从而 ， 另一方面，令， 令有， x + 0 - 递增 极大值 递减 从而， 从而即成立，故 ， 故. 【点睛】本题考查了导数的几何意义的应用以及函数的极值点问题以及不等式的证明问题，综合性强，计算量大，过程复杂，需要有良好的综合分析以及思维能力，解答的关键是能灵活的应用导数知识，特别是能构造适当的函数，利用其单调性或最值解决问题. 14．（23-24高二上·湖南·期末）已知函数 (1)若，求不等式的解集； (2)若存在两个不同的零点，，证明：. 【答案】(1); (2)详见解析. 【分析】（1）由的单调性及可求解； （2）根据函数存在两个不同的零点，得，，将所证不等式转化为，利用由(1)的过程知及 ，代入可证得结论. 【详解】（1）令，的定义域为， 则，所以在上单调递增. 因为，所以当时，，当时，， 所以原不等式的解集为. （2）证明:，令，易知在上单调递减，且. 当时，，此时单调递增; 当时，，此时单调递减. 所以. 因为函数存在两个不同的零点，所以，即，由图可知， 由题意知， 所以， 两式相减得. 所以等价于 ， 也等价于. 因为，所以由(1)的解题过程知……① ……② 因为，所以， 即……③ ①+②+③得， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题难点在零点的转化应用：由的零点为得： （1），两式相减得，使用此时代入消去. （2）由得 即，使用此时代入消去. 本题中两次对零点的使用都富有创新性. 15．（23-24高二上·湖南怀化·期末）已知函数，. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，存在满足，证明. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数几何意义直接求解即可； （2）利用导数可求得单调性，进而确定的取值范围；令，分别在和的情况下，证得和，代入和可求得的范围，加和即可得到结论. 【详解】（1），，又， 在点处的切线方程为：，即. （2）当时，，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； 不妨设，若存在，使得， 又，，，则； 令，则； 当时，， 恒成立，，； 当时，， 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； 又，， 在上恒成立，， 即，， . 【点睛】关键点点睛：本题利用导数证明不等式的关键是能够采用构造函数的方式，通过恒成立的思想，分别确定所处的范围，构造函数的方式不唯一，根据中一个变量满足的范围，从所证不等式的角度思考需构造的第二个函数即可. 16．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求的取值集合； (3)若存在，且，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2)； (3). 【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论导函数值正负即可得解. （2）由已知可得，再利用（1）的结论求出函数的最小值，并构造函数探讨函数最大值即得. （3）根据条件，将问题转化为函数在和存在零点，再分类讨论并借助导数、零点存在性定理探讨零点即得. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，由，得，递减，由，得，递增， 所以当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在单调递增. （2）依题意，，由恒成立，得，则， 由（1）知，，令， 求导得，当时，，函数递增，当时，，函数递减， 因此，由恒成立，得，则， 所以的取值集合为. （3）由，得， 令，依题意，函数在和上存在零点， 求导得，在，当时，， 当时，，函数在上单调递增，， 函数在上无零点，不符合题意， 当时，令，求导得， 当时，，函数，即在上单调递增， ，，则存在，使得， 当时，，函数递减，当时，，函数递增， 因此，，则函数在上存在唯一零点； 当时，令，求导得， 令，求导得， 函数在上单调递增，， 则，使得，当时，，函数递减， 当时，，函数递增，则， 于是，使得，当时，，函数，即递减， 当时，，函数，即递增，则， 因此，使得，当时，，函数递增， 当时，，函数递减，则，， 从而函数在上存在唯一零点， 则当，函数在和上各存在一个零点， 所以的取值范围是. 【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： ①转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； ②列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； ③得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 17．（23-24高二上·湖南湘西·期末）若函数满足对于任意的，恒成立，则称为“反转函数”.已知函数，. (1)当时，证明：为“反转函数”. (2)已知有三个零点，，，且. ①求a的取值范围； ②证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）利用导数求的单调性，分和两种情况讨论的符号，证明恒成立即可； （2）①利用的单调区间和极值，结合零点存在定理求a的取值范围；②由且，利用零点可得，要证，即证，即证，通过构造函数利用单调性证明.. 【详解】（1）当时，得， ， 得， 则在上单调递减. 当时，，当时， 所以对于任意的，， 即恒成立. 故为“反转函数”. （2）①：由题意得，， 令，， 二次函数图像抛物线开口向上，对称轴方程为， 当时，，恒成立，有， 则在上单调递减，不符合题意， 当时，在上单调递增， ，有， 则在上单调递减，不符合题意， 当时，时，； 时，. 则在上单调递减，在上单调递增， 由，有，则，即，得， 因为，， 所以，， 设函数，得，则是增函数， 得，即， 由，得， 所以， 设函数，得， 令，则在上恒成立，则是增函数. 因为，所以是增函数， 则，即 综上，时，，， ， 得， 由零点存在定理可知，当时，有3个零点. 所以a的取值范围为. ②证明：由①可知 由题意得，在上存在唯一零点 且，，所以， 有， 则， 得，即， 要证，即证，即 得， 即证， 设函数， 得， 令， 则 所以在上是减函数， 所以， 故不等式得证. 【点睛】方法点睛： 1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 18．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知函数，（）. (1)求函数在点（e，e）处的切线方程； (2)已知，求函数极值点的个数； (3)若对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）求出导函数，得切线斜率，从而可得切线方程； （2）求出导函数，对的中部分函数求导，确定其最小值，单调性，从而确定其变号零点个数，得的变号零点个数，得极值点个数； （3）不等式恒成立，变形为.引入，由其恒成立的必要条件得，然后利用导数证明时，恒成立，即得结论． 【详解】（1）由已知，所以， 所以，切线斜率， 所以函数在，点处的切线方程为，即. （2）， 令，则，当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又， 由得， 所以当时，由， 函数有两个变号零点，函数有两个极值点. 当时，函数有一个变号零点，函数有一个极值点. 当时，函数没有变号零点，函数没有极值点. （3）不等式等价于. 令， 则在上恒成立，所以必须有， 所以. 又， 显然当时，，则函数在上单调递增， 所以，所以. 综上可知，的取值范围为. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数极值点个数问题，不等式恒成立问题．注意函数极值点的个数就是其导函数的变号零点个数，因此可以通过导数研究函数的单调性，结合零点存在定理判断．不等式恒成立问题的方法常常是转化为求出函数的最值，由最值满足的不等式得出结论，本题方法是由必要条件（特殊化）得出参数范围，然后证明这个范围也是充分的，从而得出结论． 19．（23-24高二上·湖南·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)设，（）是的两个零点，是的导函数，证明：. 【答案】(1)当时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当时，f（x）在（0，）上单调递增；在（）上单调递减. (2)证明见解析 【分析】（1）求定义域，求导，对a进行分类讨论，求出不同情况下的的单调性；（2）利用方程组得到，问题转化为恒成立，换元后构造函数求出函数单调性及最值，从而得到证明. 【详解】（1）f（x）的定义域为（0，+∞）,. （i）当时，，f（x）在（0，+∞）上单调递增，. （ii）当时，令，得，则f（x）在（0，）上单调递增； 令，得，则f（x）在（）上单调递减. 综上：当时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当时，f（x）在（0，）上单调递增；在（）上单调递减. （2）证明：因为，是f（x）的两个零点，所以， 两式相减得：，即， . 因为f（x）有两个零点，所以f（x）不单调，则， 要证，只需证， 即证. 令，则，所以只需证， 即证. 令，则， 设，则，所以在上单调递减， ，则在（1，+∞）上单调递减，从而， 则，故. 【点睛】对于多元问题，要能转化为单元问题，通常情况下会由对数的运算性质进行转化，另外会构造新函数进行求解. 20．（23-24高二上·湖南·期末）已知函数. (1)若（e为自然对数的底数），求函数的极值； (2)若，函数有两个零点，且不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)极小值为，无极大值； (2) 【分析】（1）直接求导得，再对分子求导即可得到的单调性和极值； （2）求导得，题意等价转化为有两个正根，再利用同构思想进行整体换元得有两个正根，最后再利用比值换元法即可. 【详解】（1），定义域为， ， 令，则在上单调递增， 由时，单调递减； 时，单调递增； ，无极大值. （2）， 令，可得， 原题意等价于有两个正根， 令，则，等价于有两个正根， 当时，恒成立，故在上单调递增， 对于，由，可得， 可得，可得， 令，由，可得， 由整理可得， ， 原题意等价于当时，恒成立， 等价于当时，恒成立， 令，则， ，则，解得， 当时，令，则当时，恒成立， 故在上单调递增，则， 即当时，恒成立，故在上单调递增， 则，.可知符合题意， 综上所述:实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是通过等价转化得有两个正根，然后再设，即利用比值换元法求出答案. 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$