专题13 导数在研究函数中的作用（八大题型，55题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（湖南专用）

专题13 导数在研究函数中的作用（八大题型，55题） 用导数判断或证明已知函数的单调性 1．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）已知奇函数及其导函数的定义域均为，当时，.若，，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·湖南长沙·期末）若，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）设，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知m是方程的一个根，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 5．（23-24高二上·湖南长沙·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·湖南郴州·期末）设函数在上存在导数，有，在上，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·湖南·期末）在锐角中，依次为三个内角的对边，已知，求的取值范围为 . 利用导数求函数的单调区间（不含参）（9-10为多选） 8．（23-24高二上·湖南长沙·期末）函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）对于函数，以下说法正确的是（    ） A．它是偶函数 B．它在单调递减 C．它有唯一的零点 D．当时，有两解 10．（23-24高二上·湖南·期末）已知函数，则下列命题中正确的是（    ）． A．函数的定义域为 B． C． D．若有两个不相等的实根，，则 11．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知函数，. (1)，求的单调区间； (2)若方程有两个解，求的取值范围； 12．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知函数.其中. (1)若，求单调区间； (2)若在上恒成立，求的取值范围. 由函数在区间上的单调性求参数 13．（23-24高二上·湖南常德·期末）若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二上·湖南湘潭·期末）已知函数在上不单调，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）已知函数在上不是单调函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高二上·湖南长沙·期末）函数在区间上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高二上·湖南·期末）已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是 ． 求已知函数的极值（20-22为多选） 18．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． - 0 + 单调递减 单调递增 19．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知函数，则（    ） A．函数在上单调递增 B．函数在上有两个零点 C．函数有极大值16 D．函数有最小值 20．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．函数在点处切线的斜率为 B．函数在点处的切线方程为 C．函数图象上瞬时变化率为1的点有3个 D．函数的极大值点为，极小值点为 21．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知函数，则（    ） A．曲线在点处的切线方程为 B．有两个极值点 C．，都能使方程有三个实数根 D．曲线是中心对称图形 22．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知，下列说法正确的是（    ） A．在处的切线方程为 B．的单调递减区间为 C．的极大值为 D．方程有两个不同的解 23．（23-24高二上·湖南张家界·期末）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若的极大值为，求的取值范围； (3)若，证明：当时，. 24．（23-24高二上·湖南张家界·期末）已知函数，且. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值. 25．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知函数. (1)若，求证：； (2)若有两个极值点，且，当取最小值时，求的极小值. 26．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若，求函数的极值. 27．（23-24高二上·湖南张家界·期末）已知函数． (1)求函数的图象在点处的切线方程； (2)求函数的极值． -1 2 + 0 - 0 + 单调递增 12 单调递减 -15 单调递增 根据极值求参数（30为多选） 28．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）已知函数，若时，取极值0，则ab的值为（    ） A．3 B．18 C．3或18 D．不存在 29．（23-24高二上·湖南张家界·期末）若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 30．（23-24高二上·湖南湘潭·期末）已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．可能是奇函数 B．在区间上单调递减 C．当的极大值为17时， D．当时，函数的值域是 31．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知函数的定义域为R，的导函数，若函数无极值，则a= . 32．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知函数，. (1)若的极大值为1，求实数a的值； (2)若，求证：. 由导数求函数的最值（不含参）（37-38为多选） 33．（23-24高二上·湖南益阳·期末）关于函数，下列结论中错误的是（    ） A．定义域为 B．在上单调递增 C．当时， D．当时， 34．（23-24高二上·湖南长沙·期末）设函数，则下列选项正确的是（    ） A．为奇函数 B．当时，的最小值为 C．若函数有四个零点，则实数的取值范围是 D．函数的图象关于点对称 35．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）已知函数，，若函数有8个零点，则正数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 36．（23-24高二上·湖南常德·期末）已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则当该圆柱的体积取最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 37．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知函数下列说法正确的是（    ） A．的单调减区间是 B．是函数的一个极值点 C．只有一个零点 D．对任意的恒成立时，取值范围为 38．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．在上的值域为 D．点是曲线的对称中心 39．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知直线与函数的图象相切，则的最小值为 ． 40．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知函数. (1)当时，求证：； (2)若存在两个零点，求实数的取值范围. 41．（23-24高二上·湖南张家界·期末）已知函数，，. (1)讨论函数的单调性； (2)设，若存在零点，求实数的取值范围. 42．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知函数的最小值为1． (1)求实数a的值； (2)若函数，数列满足，，证明：． 函数单调性、极值与最值的综合应用（44为多选） 43．（23-24高二上·湖南·期末）若，，，则（    ） A． B． C． D． 44．（23-24高二上·湖南长沙·期末）对于函数，下列说法正确的有（    ） A．在处取得最小值 B．在处取得最大值 C．有两个不同零点 D． 45．（23-24高二上·湖南·期末）已知函数与的图像上恰有两对点关于轴对称，则实数的取值范围是 . 46．（23-24高二上·湖南·期末）已知函数. (1)若是的极大值点，求的值； (2)用表示中的最大值，设函数，试讨论零点的个数. 注：若，当时，，当时，. 47．（23-24高二上·湖南·期末）设且恒成立. (1)求实数的值； (2)证明：存在唯一的极大值点，且. 48．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知函数． (1)证明； (2)关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 49．（23-24高二上·湖南·期末）已知函数. (1)若方程有3个零点，求实数的取值范围； (2)若有两个零点，求证：，且. 50．（23-24高二上·湖南·期末）已知函数，其中为小于0的常数. (1)试讨论的单调性； (2)若函数有两个不相等的零点，证明：. 八、题型八：根据极值点求参数 51．（23-24高二上·湖南郴州·期末）若函数在定义域内有两个极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 52．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围是 . 53．（23-24高二上·湖南长沙·期末）若函数在处取得极值，则实数a的值为 ． 54．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知函数，是的极值点． (1)求实数a的值； (2)求在上的最大值． 55．（23-24高二上·湖南·期末）已知函数． (1)若函数在处有极值，求函数的解析式； (2)若时，恒成立，求实数m的取值范围． 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 导数在研究函数中的作用（八大题型，55题） 用导数判断或证明已知函数的单调性 1．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）已知奇函数及其导函数的定义域均为，当时，.若，，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，可知该函数为偶函数且在区间上为增函数，可得出，由此可得出大小关系. 【详解】根据题意，设， 若为奇函数，则，则函数为偶函数. . 又当时，，则函数在上为减函数， 故在上为增函数. 则，且，则有； 故选D. 2．（23-24高二上·湖南长沙·期末）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构建，利用导数可知在上单调递增，结合单调性分析判断. 【详解】令，则在上恒成立， 可知在上单调递增，则， 可得，即. 故选：C. 3．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先判断与，与的大小，然后构造函数，通过研究得出与的大小，选出答案. 【详解】设，则， 当时，，即在上单调递减， 故，故，所以， 所以，即； 因为，所以，即； 构造函数，， 当时，，单调递增， 所以，即. 故选：B. 4．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知m是方程的一个根，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】设，同构得到，结合函数单调性得到，结合m是方程的一个根，故，解得，从而求出答案. 【详解】， 设，则恒成立，故单调递增， 由得，即. 因为m是方程的一个根，所以， 所以，所以. 故选：B. 【点睛】方法点睛：导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现与，通常使用同构来进行求解，本题难点是变形得到，从而构造进行求解. 5．（23-24高二上·湖南长沙·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，利用导数判断单调性，结合单调性分析判断. 【详解】因为， 构造函数，则， 令，解得；当时，令，解得； 可得在上单调递减，在上单调递增； 且，所以，即. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：根据题意构建，结合函数单调性比较大小. 6．（23-24高二上·湖南郴州·期末）设函数在上存在导数，有，在上，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过构造函数，利用的奇偶性和条件得到在上单调递减，再将变形得到，即可求出结果. 【详解】因为，所以，得到， 因为，所以，令， 所以， 因为，所以，所以为奇函数； ，当时，单调递减，因此在上单调递减； ，， 所以 ， 因为，所以 即，所以， 由于在上单调递减，所以，解之得. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是构造了函数，从而分析得的性质，由此得解. 7．（23-24高二上·湖南·期末）在锐角中，依次为三个内角的对边，已知，求的取值范围为 . 【答案】 【分析】由锐角三角形可得，由余弦定理可得，令，法一：利用导数可求的取值范围.法二：令，利用二次函数可求的取值范围. 【详解】由三角形为锐角三角形可得，又， 所以， 同理：，所以， 所以， 将看作常数，上式可以看作关于的函数，故只需求分母的取值范围， 令， 解法一：，当单调递增， 当单调递减；当， 又， 代入.故答案为. 解法二：令， 令，则， 因为，当时，取最大值， 当或时，取，所以， 即，代入. 故答案为：. 利用导数求函数的单调区间（不含参）（9-10为多选） 8．（23-24高二上·湖南长沙·期末）函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出导函数，解不等式可得减区间． 【详解】函数的定义域为， 由，，故的单调递减区间为， 故选： 9．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）对于函数，以下说法正确的是（    ） A．它是偶函数 B．它在单调递减 C．它有唯一的零点 D．当时，有两解 【答案】ACD 【分析】A：利用偶函数的定义判断即可；B：利用导数判断函数的单调性得解；C：根据单调性分析得 有唯一的零点，所以该选项正确；D：作出函数图象即得解. 【详解】解：A：函数的定义域为，关于原点对称.，所以它是偶函数，所以该选项正确； B：当时，恒成立，但在没有定义，所以在以及均单调递减，但在不是单调递减的，所以该选项错误； C：由上面得到，在以及均递减，且时，又图象关于轴对称，故有唯一的零点，所以该选项正确； D：由以上分析，图象如下．由此可知该选项正确； 故选：ACD 10．（23-24高二上·湖南·期末）已知函数，则下列命题中正确的是（    ）． A．函数的定义域为 B． C． D．若有两个不相等的实根，，则 【答案】ABC 【分析】由函数解析式求解定义域判断选项A，利用导数求解函数单调性，比较函数值的大小判断选项BC，举反例判断选项D 【详解】函数，定义域为，A正确； ，当时，，为增函数； 当时，，为减函数． ，，B正确； 又，，，即，C正确； 对于D，，，若有两个不相等的正实根，，不妨取， ，存在，使，满足条件，显然，此时不满足，D不正确． 故选：ABC． 11．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知函数，. (1)，求的单调区间； (2)若方程有两个解，求的取值范围； 【答案】(1)答案见解析. (2). 【分析】（1）求导，讨论两种情况的单调性即可； （2）由方程有两个解，则有两个解，令，通过导数求函数的单调性即可. 【详解】（1）由题意，函数定义域为， ，， 当时，恒成立，即在单调递增； 当时，令，则；令，则； 所以在单调递减，在单调递增. 综上所述，当时， 的单调递增区间为； 当时， 的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）方程有两个解，即有两个解， 令，则， 令，则，在单调递增； 令，则，在单调递减； 所以函数的最大值为， 如图所示，所以的取值范围为.    12．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知函数.其中. (1)若，求单调区间； (2)若在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为； (2). 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的正负即可求得函数的单调区间. （2）将在上恒成立，转化为恒成立，由此构造函数，.分类讨论a的取值范围，利用导数判断函数单调性，判断不等式是否能成立，即可得答案. 【详解】（1）若，，令,所以， 令,则， 所以的单调增区间为，单调递减为. （2）时，要使即恒成立， 则，即恒成立， 令，. 令，即，故，. ①当时，，在单调递减，，不成立； ②当时，由，得或（舍）， （i）当时，即时，在单调递减，在单调递增， ，则在上，不成立. （ii）当，即时，设， 则，令， 即，而，在上单调递增，， ，即恒成立， 综上所述：的取值范围是. 【点睛】难点点睛：本题难点在于根据不等式恒成立求参数的范围问题时，要能够进行合理变式，即，从而构造函数，在判断该不等式是否能恒成立时，要进行分类讨论，特别是当时，要再次构造函数，利用导数判断函数单调性，进而判断不等式能否成立． 由函数在区间上的单调性求参数 13．（23-24高二上·湖南常德·期末）若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数在区间上是减函数，转化为，对恒成立求解. 【详解】解：因为函数在区间上是减函数， 所以，对恒成立， 即，对恒成立， 令，由对勾函数的性质得， 所以， 故选：D 14．（23-24高二上·湖南湘潭·期末）已知函数在上不单调，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得，根据在区间上不单调列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】， 当时，在区间上单调递减，不符合题意. 当，时，， 在区间上单调递减，不符合题意. 当时，令，解得， 要使在区间上不单调，则， 即，解得, 此时在区间上递减； 在区间上递增. 故选：B 15．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）已知函数在上不是单调函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先讨论得出的单调区间，然后根据已知列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，定义域为，. 若，则恒成立，则在上单调递增，与已知不符，舍去； 当时，由可知，或（舍去）. 当时，有，所以在上单调递减； 当时，有，所以在上单调递增. 由已知函数在上不是单调函数， 所以应有，所以. 故选：A. 16．（23-24高二上·湖南长沙·期末）函数在区间上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数导数与函数单调性的关系将问题转化为恒成立问题，构造函数，求得最小值，从而得解. 【详解】， 因为函数在区间上单调递减， 即在上恒成立， 又因为在大于0，所以在上恒成立， 令，对称轴为，在单调递增，， 所以， 所以， 所以的取值范围为. 故选：B. 17．（23-24高二上·湖南·期末）已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先对函数求导，再利用条件将问题转化成恒成立问题，分在区间上单调递增和单调递减两种情况讨论，即可求出结果. 【详解】由题意，得，因为函数在上是单调函数， 所以，当函数在区间上单调递减时，则在区间上恒成立，即恒成立，所以， 当函数在区间上单调递增时，则在区间上恒成立，即恒成立，所以． 综上，实数的取值范围为． 故答案为：. 求已知函数的极值（20-22为多选） 18．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】函数有两个零点，即函数的图象与的图象有两个交点，由导数判断函数的单调性、极值，由函数图象的交点个数得的范围. 【详解】函数有两个零点，即函数的图象与的图象有两个交点， 函数的定义域为， , 令，解得 ， ,的变化情况如下表： - 0 + 单调递减 单调递增 所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故当时，有极小值， 令，解得， 当时，；当时，， 当无限趋向于负无穷大时， 无限趋向于0；当无限趋向于正无穷大时时，无限趋向于正无穷大， 由此作出函数的大致图象： 由图象得：当时，交点为0个； 当或时，交点为1个； 当时，交点为2个. 若函数的图象与的图象有两个交点， 则由图可知，实数的取值范围为. 故选：A. 19．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知函数，则（    ） A．函数在上单调递增 B．函数在上有两个零点 C．函数有极大值16 D．函数有最小值 【答案】C 【分析】对求导，研究的单调性以及极值，再结合选项即可得到答案. 【详解】，由，得或，由，得， 所以在上递增，在上递减，在上递增， 所以极大值为，极小值为，所以有3个零点，且无最小值. 故选：C 20．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．函数在点处切线的斜率为 B．函数在点处的切线方程为 C．函数图象上瞬时变化率为1的点有3个 D．函数的极大值点为，极小值点为 【答案】ABD 【分析】利用导数的几何意义即可判断AB；由瞬时变化率的定义即可判断C；直接利用导数研究的极值点即可判断D. 【详解】函数,则. 对于A,因为, 所以函数在点处切线的斜率为,故A正确; 对于B,因为, 所以在点处切线方程为, 即为,故B正确; 对于C，令，, 则函数图象上瞬时变化率为1的点有2个，故C错误； 对于D，令,解得, 则当时, ,单调递增， 当时, ,单调递减， 当时, ,单调递增， 所以当时，取得极大值，当时，取得极小值，故D正确. 故选:ABD. 21．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知函数，则（    ） A．曲线在点处的切线方程为 B．有两个极值点 C．，都能使方程有三个实数根 D．曲线是中心对称图形 【答案】BCD 【分析】对于A，根据曲线在某点处切线的计算，可得答案；对于B，根据极值点的定义，结合其导数，可得答案；对于C，根据函数与方程的关系，利用函数的单调性，求得值域，可得答案；对于D，根据中心对称的性质，利用公式，可得答案. 【详解】对于A：，，曲线在点处的切线方程为，故A错误； 对于B：令，得或；令，得， 在和上单调递增，在上单调递减， 有两个极值点，故B正确； 对于C：结合B选项，，， 且当时，；当时，， 对于，都能使方程有三个实数根，故C正确； 对于D：解法一：， ， . ∴曲线关于点中心对称. 解法二：， 令，则是R上的奇函数，且， 曲线关于点中心对称，故D正确. 故选：BCD. 22．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知，下列说法正确的是（    ） A．在处的切线方程为 B．的单调递减区间为 C．的极大值为 D．方程有两个不同的解 【答案】BC 【分析】对于A，利用导数的几何意义求解，对于B，求导后，由导数小于零求解，对于C，求导后求极值，对于D，函数与的交点个数判断 【详解】对于A，由（），得，，则，所以在处的切线方程为，所以A错误， 对于B，由，得，，所以的单调递减区间为，所以B正确， 对于C，由，得，当时，，当时，，所以当时，取得极大值，所以C正确， 对于D，由C选项可知的最大值为，且当时，，当时，， 所以函数与的交点个数为1，所以有1个解，所以D错误， 故选：BC 23．（23-24高二上·湖南张家界·期末）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若的极大值为，求的取值范围； (3)若，证明：当时，. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义，计算导数得到答案； （2）分情况讨论的单调性，即可得到的取值范围； （3）将命题转化为证明，然后利用导数证明即可. 【详解】（1）我们有. 当时，. 所以曲线在点处的切线斜率为，从而切线方程是. （2）若，则对有，对有. 从而在上递增，在上递减，故的极大值为，满足条件； 若，则对有，对有. 从而在和上递增，在上递减，故的极大值为，满足条件； 若，则对有，从而在上递增，故没有极大值，不满足条件； 若，则对有，对有. 从而在和上递增，在上递减，故的极大值为，不满足条件. 综上，的取值范围是. （3）由于，，所以存在正数使得，从而. 我们有. 故命题等价于证明. 由于和始终不异号，故，而，故只需证明. 设，则. 而对有，对有. 故在上递减，在上递增. 所以. 这就得到了，证毕. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于使用构造函数，并使用导数工具证明不等式. 24．（23-24高二上·湖南张家界·期末）已知函数，且. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值. 【答案】(1) (2)极小值为，极大值为 【分析】（1）首先根据求，再根据导数的几何意义求切线方程； （2）首先根据导数判断函数的单调性，再求函数的极值. 【详解】（1）由题设，则； ，则， 所以点处的切线方程为，即； （2）由（1）， 由，有或，由，有， 故在区间上单调递增，在上单调递减， 所以的极小值为，极大值为. 25．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知函数. (1)若，求证：； (2)若有两个极值点，且，当取最小值时，求的极小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由，由的正负，判断的增减性，进而得到的最小值为，得证. （2）有两个极值点，且,的两根为，进而得，再利用导函数研究的单调性和极值即可. 【详解】（1） 因为，所以， 令，得，解得. 所以在上单调递增； 同理可得在上单调递减； . （2）由（1）知时，只有一个极值点，不合题意. 当时，有两个根， 所以，解得， 又，故. 因此. 令，得或. 令，得. 所以在和上单调递增，在上单调递减； 所以当时，取得极小值. 26．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若，求函数的极值. 【答案】(1)答案见解析 (2)极大值为，无极小值 【分析】（1）求导得到，考虑和两种情况，得到单调区间. （2）求导得到，计算函数的单调区间得到极值. 【详解】（1），，， 当时，，所以在区间上单调递增； 当时，取，解得（舍去负值）， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 综上所述： 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）当时，，取，解得（舍去负值）， 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减， 所以有极大值为，无极小值. 27．（23-24高二上·湖南张家界·期末）已知函数． (1)求函数的图象在点处的切线方程； (2)求函数的极值． 【答案】(1) (2)极大值为12，极小值-15 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可. （2）利用导数求解极值即可. 【详解】（1）， ， 切点为，   故切线方程为，即； （2）令，得或 列表： -1 2 + 0 - 0 + 单调递增 12 单调递减 -15 单调递增 函数的极大值为， 函数的极小值为. 根据极值求参数（30为多选） 28．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）已知函数，若时，取极值0，则ab的值为（    ） A．3 B．18 C．3或18 D．不存在 【答案】B 【分析】利用导数与极值的定义得到关于的方程组，从而求得，然后再检验时，函数是否能取得极值，由此得解. 【详解】由，得， 因为时，取得极值0， 所以，解得或， 当时，， 此时函数在在处取不到极值； 经检验时，函数在处取得极值0，满足题意； 所以，所以. 故选：B. 29．（23-24高二上·湖南张家界·期末）若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导函数有2个不同的零点，且两个零点均大于零可求解. 【详解】函数的定义域为， 因为函数有两个不同的极值点， 所以有两个不同正根， 即有两个不同正根， 所以解得， 故选:A. 30．（23-24高二上·湖南湘潭·期末）已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．可能是奇函数 B．在区间上单调递减 C．当的极大值为17时， D．当时，函数的值域是 【答案】ABC 【分析】由奇函数的定义可判断A，利用导数求出函数的单调性可判断BCD. 【详解】因为对，，显然当时，为奇函数，即A正确； 因为，则函数的单调递增区间为和，函数的单调递减区间为，故B正确； 由得，结合选项B可知，是函数的极大值点，此时函数的极大值为，所以，故C正确； 由B可知，函数在和上单调递增，函数在上单调递减，所以无最大值，无最小值，故D错误. 故选:ABC. 31．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知函数的定义域为R，的导函数，若函数无极值，则a= . 【答案】 【分析】根据二次函数的性质，分类讨论，导数大于零的区间，可得函数的单调性，根据极值的定义，可得答案. 【详解】当时，在区间上递增， 在区间上递减.的极大值点为，极小值点为. 当时，，在上递增，无极值. 当时，在区间上递增， 在区间上递减.的极大值点为，极小值点为. 故答案为：. 32．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知函数，. (1)若的极大值为1，求实数a的值； (2)若，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）分类讨论，利用导数判断函数的单调区间，根据极大值建立方程求解即可； （2）把问题转化为证明，构造函数，利用导数研究函数最值即可证明. 【详解】（1）的定义域为，. 当时，，在上单调递增，函数无极值； 当时，令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故当时，取得极大值，极大值为，解得. 经验证符合题意，故实数a的值为. （2）当时，，故要证，即证. 令，则，. 令，，则， 所以在上单调递增， 又因为，， 所以，使得，即， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. 又因为，即， 所以， 所以，即，故得证. 由导数求函数的最值（不含参）（37-38为多选） 33．（23-24高二上·湖南益阳·期末）关于函数，下列结论中错误的是（    ） A．定义域为 B．在上单调递增 C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】根据函数表达式有意义的条件即可判断A；求导，令导函数等于0求解，讨论即可判断B；利用特殊情况时，，来说明不成立即可判断；把代入解析式，利用导函数研究最值即可判断． 【详解】A．有意义时真数大于0，故定义域为，故A正确，不符合题意； B．，故， 令，即，解得， 当时，，故在上单调递增，正确，不符合题意； C．当时，例如时，，当，显然， 故错误，符合题意； D．当时，，令，即，解得， 当时，则，故在上单调递减， 当时，则，故在上单调递增， 当时，函数取到极小值，也是最小值，，故正确，不符合题意； 故选：C． 34．（23-24高二上·湖南长沙·期末）设函数，则下列选项正确的是（    ） A．为奇函数 B．当时，的最小值为 C．若函数有四个零点，则实数的取值范围是 D．函数的图象关于点对称 【答案】BD 【分析】根据奇函数的定义即可根据和的关系求解A，求导，根据导数求解函数的单调性，即可求解B，由单调性结合函数的图形即可判断C，根据利用对称性的定义即可求解D. 【详解】对于，故A错误； 对于B，当时， 故当，在上递减， 当在上递增， 的最小值为，故B正确； 对于C，当时，由B知，的最小值为， 且时，时，； 当时， 当在上递增， 当，故在上递减， 且时，时，， 画出图象，知不可能有4个零点，故C错误； 对于D， 令， 的定义域为，则， 是奇函数，图象关于原点对称，关于点对称，故D正确. 故选：BD. 【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是： （1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； （2）求导数，得单调区间和极值点； （3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解． 35．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）已知函数，，若函数有8个零点，则正数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，得到或，当，，利用导数与函数单调性间的关系，得到的单调区间，数形结合，得到当时，有四个根，从而有当，有四个零点，由和，直接求出零点，即可求出结果. 【详解】令，得到，解得或， 又时，，，由得到，由，得到， 即当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，，时，，其图象如图， 所以，当时，或均有2个根， 有四个根，即时，有四个零点， 又函数有8个零点，所以，当，有四个零点， 由，得到或， 即或， 由，得到或， 即或， 又，，所以从右向左的个零点为，，， ， 所以，得到， 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题是考查函数的零点个数问题，解答的关键是明确分段函数的性质特点，结合分类讨论、数形结合以及三角函数性质求解参数范围. 36．（23-24高二上·湖南常德·期末）已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则当该圆柱的体积取最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意画出截面图，设相应的变量，建立函数，利用函数导数求解最值即可求解. 【详解】作经过球心的截面，如图所示， 设为球心，矩形为圆柱的轴截面， 为圆柱底面圆的直径，为球的半径， 设，则， 则圆柱的体积为：， 所以，令，则， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以当该圆柱的体积取最大值时，的值为， 所以. 故选：D. 37．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知函数下列说法正确的是（    ） A．的单调减区间是 B．是函数的一个极值点 C．只有一个零点 D．对任意的恒成立时，取值范围为 【答案】BCD 【分析】求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间与极值点，从而判断A、B；求出函数的零点从而判断C，根据判断D. 【详解】因为的定义域为，且， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以在处取得极小值即最小值，所以，故A错误，B正确； 又当时，当时，，所以只有一个零点，故C正确； 若对任意的恒成立，则， 即取值范围为，故D正确. 故选：BCD 38．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．在上的值域为 D．点是曲线的对称中心 【答案】ACD 【分析】A选项，求导，得到函数单调性，得到函数的极值点个数；B选项，在A选项求出的函数单调性基础上，结合特殊点的函数值得到B错误；C选项，求出极值和端点值，比较后得到值域；D选项，验证即可. 【详解】对于A，，令可得或2. 当或时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以0是的极大值点，2是的极小值点，所以有两个极值点，故A正确； 对于B，由A选项知函数极大值为，极小值为， 又，数形结合得，只有2个零点，故B错误； 对于C，由于在递增，在递减，在递增， 且，，， 所以在上的值域为，故C正确； 对于D，， 点是曲线的对称中心，故D正确. 故选：ACD. 39．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知直线与函数的图象相切，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】设出切点坐标，求出切线方程为，从而可得，构造函数，求出其最小值即可得答案. 【详解】设切点为，，所以切线的斜率， 则切线方程为，即， 故， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，即的最小值为. 故答案为： 40．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知函数. (1)当时，求证：； (2)若存在两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用导数证明不等式、，即可证明； （2）将函数转化为，构造函数，则，得，利用导数求出即可. 【详解】（1）当时，. 先证明：， 设，则， 所以函数在上单调递增，且，即； 再证：， 设，则， 令， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，且， 所以，即，得， 故，证毕. （2）令，得， 设，显然在上单调递增，而， 则，依题意，方程有两个不等的实根， 显然，故存在两个不同的零点， 设，则， （i）当时，则，, 此时在上单调递增，最多一个零点，不合题意； （ii）当时，此时，当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减，所以， 要使有两个零点，则，解得， 综上可知，. 41．（23-24高二上·湖南张家界·期末）已知函数，，. (1)讨论函数的单调性； (2)设，若存在零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）对函数求导并对参数进行分类讨论，即可求得出函数的单调性； （2）分离参数并构造函数，求导得出函数单调性并利用函数与方程的思想画出图象即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）由. 求导可得， 当时，，此时，函数在上单调递增； 当时，令，解得； 若，解得在上单调递增； 若，解得在上单调递减； 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）令，易知，分离参数得， 令，其中， 则， 当时，； 当时，， 函数的减区间为，增区间为， 所以当时，取得最小值，画出函数的图象如下图所示：    由图可知，当时，直线与函数的图象有交点，即存在零点； 故实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 42．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知函数的最小值为1． (1)求实数a的值； (2)若函数，数列满足，，证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，按分类讨论，结合最小值1求出a的值. （2）由函数的单调性得，进而可得，然后再结合函数的单调性即得. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递减，无最小值； 当时，由，得，由，得， 即函数在上单调递减，在上单调递增，， 因此，整理得，令函数，， 求导得，当时，递减，当时，递增， 因此，即函数有唯一零点1，则， 所以. （2）由（1）知，，，的定义域为， 求导得，即在上单调递减，且， 当时，，由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增， 由，得，， 又当时，，因此， 即有，则， 于是，即， 从而，即， 所以. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： ①直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； ②适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； ③构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 函数单调性、极值与最值的综合应用（44为多选） 43．（23-24高二上·湖南·期末）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，可得，求得函数在单调递增，得到，再构造函数，得到，求得，单调递增，得到，即可求解. 【详解】构造函数，，可得，， 令，，则， 因为当时，，均单调递减， 所以单调递减， 所以， 因为，所以， 所以单调递增， 又，从而在单调递增，所以， 所以，从而得到， 又因为， 构造函数，，所以，， 令，则， 因为当时，，均单调递增， 所以单调递增， 所以， 所以在单调递减，所以， 所以，单调递增，从而， 所以，所以， 综上可得：. 故选：B. 【点睛】方法总结：利用导数证明或判定不等式问题： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 44．（23-24高二上·湖南长沙·期末）对于函数，下列说法正确的有（    ） A．在处取得最小值 B．在处取得最大值 C．有两个不同零点 D． 【答案】BD 【分析】利用单调性求最值判断A,B，求零点判断C，先转换到同一单调区间内，在比大小判断D即可. 【详解】定义域为，易得，令，,令，，故在单调递增，在单调递减，则的最大值为，故A错误，B正确， 令，解得，可得只有一个零点，故C错误， 易知，且结合单调性知，即成立，故D正确. 故选：BD 45．（23-24高二上·湖南·期末）已知函数与的图像上恰有两对点关于轴对称，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意得，即有两解，构造，求导求单调性，求出值域，从而求得的取值范围. 【详解】因为函数与的图像上恰有两对关于轴对称的点， 所以时有两解，即有两解， 所以有两解， 令，则， 所以当时，，函数单调递减; 当时，，函数单调递增， 所以在处取得极大值，， 且时，的值域为; 时，的值域为， 因此有两解时，实数的取值范围为. 故答案为: 46．（23-24高二上·湖南·期末）已知函数. (1)若是的极大值点，求的值； (2)用表示中的最大值，设函数，试讨论零点的个数. 注：若，当时，，当时，. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求得，根据，求得，此时，结合导数求得函数的单调性，结合函数极值点的定义，进行验证，即可求解； （2）当时，得到，得出，此时无零点；当时，求得的值，结合和两种情况讨论，得出结论；当时，转化为函数零点个数等于零点个数，转化为，令函数，利用导数求得函数的单调性与最小值，进而得到结论. 【详解】（1）解：由函数，可得， 因为是的极大值点，则，解得， 当时，可得， 当时，，令，则， 所以在上单调递减，则，即， 此时在上单调递增； 当时，令，可得，则， 故即单调递减， 又因为，所以当时，单调递减， 所以，当时，是的极大值点，符合题意. （2）（I）由函数， 当时，，，此时无零点； （II）当时，可得， ①若，即时，， 此时不是的零点； ②若，即时，， 此时是的零点； （III）当时，，零点个数等于零点个数， 显然是的一个零点； 当时，可转化为， 令，则， 由（1）知，， 所以在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增， 且当时，，当时，， 可得，函数的图象所示： ①当或或时，有1个零点； ②当或时，有2个零点； ③当时，无零点. 综合（I）（II）（III）得： 当或时，有2个零点； 当或或时，有3个零点； 当或时，有4个零点. 【点睛】方法技巧：利用导数研究函数的零点个数，以及函数零点个数求参数的取值范围问题的求解： 1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围； 2、分离参数法，先分离参数，构造新函数，直接把问题转化为函数的单调性与最值问题，从而求出参数的取值范围； 3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结 结论拓展：与和相关的常见同构模型 ①，构造函数或； ②，构造函数或； ③，构造函数或. 47．（23-24高二上·湖南·期末）设且恒成立. (1)求实数的值； (2)证明：存在唯一的极大值点，且. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将问题转化为，恒成立，利用导数求解的单调性，即可求解，构造函数，继续利用导数求解函数的单调性得最值即可求解， （2）利用导数求解函数的单调性，结合零点存在性定理，即可求证. 【详解】（1）由条件知恒成立， 恒成立， 令，则恒成立，， ①当时，在上单调递增，又， 当时，，与矛盾，不合题意； ②当时，在单调递减，在单调递增， 当时，有极小值，也为最小值，且最小值为， 又恒成立，， 令，则， 令，解得， 在单调递增，在单调递减，， 所以由，解得， 综上，实数的值为. （2）由题可得， 令，则，由得， 在上，，在上，， 所以在单调递减，在单调递增， 又， ， 由零点存在定理及的单调性知，方程在有唯一根， 设为且， 从而有两个零点和0， 且在区间上，， 在区间上，,在区间上，， 所以在单调递增，在单调递减，在单调递增， 从而存在唯一的极大值点， 由得， ， 等号不成立，所以， 又在单调递增， 所以， 综上可知，存在唯一的极大值点，且成立. 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 48．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知函数． (1)证明； (2)关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，求得并化简得到，得出函数的单调区间，结合，即可可证； （2）根据题意把不等式转化为，根据为增函数，转化为恒成立，令，求得，得出函数的单调区间和最大值，即可求解. 【详解】（1）由函数，可得， 令，可得； 令，可得， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，即． （2）由不等式，可得， 因为为增函数，则，即在恒成立， 令，可得， 再令，可得，所以单调递减， 又因为， 所以当时，，，函数在上单调递增； 当时，，，函数在上单调递减， 即在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以最大值为，所以实数的取值范围为． 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题； 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 49．（23-24高二上·湖南·期末）已知函数. (1)若方程有3个零点，求实数的取值范围； (2)若有两个零点，求证：，且. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将问题转化为与有三个不同的交点，利用导数研究函数的性质，从而结合图象即可求得实数的范围； （2）利用导数求得函数的单调性，再利用零点存在定理证得，再利用零点的定义将问题，构造函数，利用导数证得即可得证. 【详解】（1）解：令，即得，即方程有三个零点， 即直线与曲线有三个不同的交点， 可得， 所以当或时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，有极小值为， 当时，有极大值为， 当时，，且当时，， 所以作出函数的图象如图所示， 所以数形结合可知，即实数的取值范围为.      （2）解：因为， 当时，单调递增，不可能有两个零点，所以，此时， 令，得，所以当时，； 当时，， 故在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以， 若有两个零点，则，得，所以， 当时，，，， 故存在，使得， 又当趋向于时，趋向于，故存在，使得， 故，则满足，可得，即， 要证，只需证， 两边同乘以，可得， 因为，，所以， 令，即证，即证， 令，可得， 令，，故在区间上单调递增， 故，因此，所以在区间上单调递增， 故，因此原不等式成立. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 50．（23-24高二上·湖南·期末）已知函数，其中为小于0的常数. (1)试讨论的单调性； (2)若函数有两个不相等的零点，证明：. 【答案】(1)在上单调递减.，在上单调递增； (2)证明见解析 【分析】（1）根据导数正负判断单调性； （2）构造函数应用极值点偏移证明不等式即可. 【详解】（1）. 因为，所以.于是 时，在上单调递增； 时，在上单调递减. （2）由（1）知： 函数在上单调递增，在上单调递减. 若函数有两个不同的零点， 则，故. 又时，，且. 于是函数有两个不同的零点，且两零点分别位于区间. 不妨令. （其中）. 因为， 所以函数在上单调递增，所以，即. 又因为，所以， 而，所以， 因为，函数在上单调递减， 所以，即. 八、题型八：根据极值点求参数 51．（23-24高二上·湖南郴州·期末）若函数在定义域内有两个极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，根据极值分析可得与有2个变号交点，对求导，利用导数判断其单调性和最值，结合的图象分析求解. 【详解】因为的定义域为，且， 令，可得， 由题意可知与有2个变号交点， 则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 可得，且当x趋近于0，趋近于，当x趋近于，趋近于0， 可得的图象，如图所示： 由图象可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是： （1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； （2）求导数，得单调区间和极值点； （3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象进而求解． 52．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围是 . 【答案】（，0） 【分析】先求导函数，函数有两个极值点，等价于有两个根，等价于函数与的图象由两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象．由图可求得实数的取值范围． 【详解】因为，所以，令，得，要使函数有两个极值点，只需有两个不同根，从而函数与的图象由两个交点，，令，则在（0，+∞）上单调递减且，∴当时，，即，在（0，1]上单调递增；当）时，，即，在（1，+∞）上单调递减，故，令得，当时，，，当时，，，若有两极值点，只要和的图象在（0，+∞）上有两个交点，所以，故实数m的取值范围是. 故答案为：. 53．（23-24高二上·湖南长沙·期末）若函数在处取得极值，则实数a的值为 ． 【答案】 【分析】求出函数的导数，再利用给定的极值点求出值. 【详解】函数，求导得，依题意，，解得， 当时，，当时，，当时， 因此函数在处取得极值， 所以实数a的值为. 故答案为： 54．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知函数，是的极值点． (1)求实数a的值； (2)求在上的最大值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）是的极值点，则有，求实数a的值并检验即可；． （2）由函数单调性求区间内的最大值. 【详解】（1）函数，定义域为， ，因为是的极值点，所以，所以，. 当时，， ，解得或；，解得， 在和上单调递增，在上单调递减， 是的极小值点，所以. （2）在和上单调递增，在上单调递减， 所以在上的最大值只可能在或处取到， ，，而， 所以在上的最大值为. 55．（23-24高二上·湖南·期末）已知函数． (1)若函数在处有极值，求函数的解析式； (2)若时，恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据求出，验证后得到函数解析式； （2）构造，二次求导后分和进行分类讨论，求出实数m的取值范围. 【详解】（1），，∴． 当时，时，；时，， ∴函数在处取得极小值，满足要求， ∴函数的解析式为． （2）令，则，， 令，则，在R上是增函数， 当时，，，即， ∴在上是增函数，，恒成立． 当时，，， ∴存在， 使得，且时，，即， ∴在单调递减，且，即，不符合题意． 综上知：m的取值范围是：． 【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$