专题12 导数的概念（意义）及其运算（四大题型优选提升题，40题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（湖南专用）

专题12 导数的概念（意义）及其运算 （四大题型+优选提升题，40题） 导数的概念及其意义 1．（23-24高二上·湖南·期末）某物体运动后，其位移（单位：）为．在这段时间里，该物体的平均速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平均速度的含义，进行计算即可求得答案. 【详解】当时，位移为， 当时，位移为， 在这段时间里，该物体的平均速度为：． 故选：A. 2．（23-24高二上·湖南郴州·期末）函数在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数的几何意义即可求解. 【详解】由，得， 在点处的切线斜率为， 所以切线方程为，即. 故选：A. 3．（23-24高二上·湖南湘潭·期末）已知函数，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用导数的定义求解. 【详解】解：因为函数， 所以， 故选：C 4．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）设，则（    ） A． B． C．3 D．12 【答案】B 【分析】根据导数的定义进行转化即可. 【详解】，. 故选：B 5．（23-24高二上·湖南长沙·期末）函数在其图象上的点处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】对求导，求出，再由点斜式方程即可得出答案. 【详解】，，又切点为， 切线斜率，即切线方程为， 即． 故答案为：. 6．（23-24高二上·湖南·期末）已知是函数的导函数，且，则 ． 【答案】 【分析】根据题意结合导数的定义运算求解. 【详解】由题意可得：． 故答案为：. 7．（23-24高二上·湖南常德·期末）已知函数，若曲线在点处的切线与直线垂直，则切线的方程为 ． 【答案】 【分析】根据切线的斜率求得，从而求得切点坐标，进而求得切线方程. 【详解】直线的斜率为，所以切线的斜率为. ， 所以， 所以切线方程为，即. 故答案为： 8．（23-24高二上·湖南常德·期末）已知曲线. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求满足斜率为1的曲线的切线方程. 【答案】(1) (2)和. 【分析】（1）对曲线求导,求出点处切线的斜率,再求出切线方程; （2）设切点为,由曲线的切线斜率为1,求出切点坐标,再求出切线方程. 【详解】（1）由,得， ∴在点处切线的斜率. ∴曲线在点处的切线方程为， 即. （2）设切点为，则切线的斜率为. 曲线的切线斜率为1,,解得， 切点为，. 切线方程为和， 即和. 9．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知函数和，其中a，b为常数且． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若存在斜率为1的直线与曲线和都相切，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意对函数求导，求出切点和切线的斜率，根据点斜式求切线方程即可， （2）设曲线在点处的切线斜率为1，求导计算可得；设曲线在点处的切线斜率为1，求导计算可得，再由直线的斜率为1，可得的关系，由于，则，从而即可求出的取值范围． 【详解】（1）当时，， 当时，切点为， ，切线斜率为， 切线方程为，即． （2）的定义域为的定义域为， 且， 设曲线在点处的切线斜率为1，则， 所以，则， 设曲线在点处的切线斜率为1，则， 所以，则， 直线的斜率， 所以，     由于，则， 所以的取值范围为． 10．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求导，再分别求得，，写出切线方程即可； （2）由等价于，令，，论证恒成立，且与不在同一x处取到最值即可. 【详解】（1）解：函数的定义域为，. 当时，，. 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）证明：由题可得，函数的定义域为， 所以等价于，等价于. 设函数，则. 令，解得，所以在上单调递减； 令，解得，所以在上单调递增， 从而在上的最小值为. 设函数，则. 令，解得，所以在上单调递增； 令，解得，所以在上单调递减， 从而在上的最大值为. 所以恒成立. 又因为与不在同一x处取到最值， 所以恒成立，即得证. 【点睛】方法点睛：证明不等式成立，一般转化为成立，论证即可. 基本初等函数的研究（13为多选） 11．（23-24高二上·湖南郴州·期末）若函数的导函数为偶函数，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求出每个函数的导函数，进而判断答案. 【详解】对A，，为奇函数； 对B，，为奇函数； 对C，，为偶函数； 对D，，既不是奇函数也不是偶函数. 故选：C. 12．（23-24高二上·湖南长沙·期末）设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数几何意义可求得切线方程，进而得到，累乘即可得到结果. 【详解】，， 在点处的切线方程为：， 令得：， . 故选：D. 13．（23-24高二上·湖南郴州·期末）下列选项正确的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 【答案】ABD 【分析】利用基本初等函数的导数公式逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，若，则，A对； 对于B选项，若，则，故，B对； 对于C选项，若，则，C错； 对于D选项，若，则，D对. 故选：ABD. 14．（23-24高二上·湖南湘潭·期末）已知在一次降雨过程中，某地降雨量y（单位：）与时间t（单位：）的函数关系可近似表示为，则在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为 . 【答案】/ 【分析】将函数关于求导，再将代入上式的导函数，即可求解． 【详解】因为， 所以， ， 故在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为. 故答案为：. 15．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）写出过点与曲线相切的一条直线的方程： . 【答案】或(写出其中一条即可) 【分析】设切点为，对函数求导后，将切点的横坐标代入可求出切线的斜率，从而可表示出切线方程，再将点代入切线方程中可求出，代入切线方程中化简可得答案 【详解】设切点为，因为， 所以切线方程为， 将点代入得，解得或. 当时，切线方程为； 当时，切线方程为. 故答案为：或 16．（23-24高二上·湖南湘潭·期末）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】根据导数的几何意义，对求导并求出、，即可得切线方程. 【详解】因为，所以，又， 所以切线方程为，即． 故答案为：． 导数的四则运算法则 17．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）已知函数在处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，由此求解即可. 【详解】函数，求导得：， 因为在处的切线与直线垂直， 所以在处的切线斜率为，解得. 故选：D. 18．（23-24高二上·湖南长沙·期末）函数在点处切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求导，再求出，再利用点斜式可得切线方程. 【详解】由已知， ， 函数在点处切线方程为， 即. 故选：C. 19．（23-24高二上·湖南·期末）已知函数，若，则 . 【答案】/ 【分析】利用导数的运算法则及求导公式求出导数，再由给定的导数值求出. 【详解】函数，求导得， 于是，所以. 故答案为： 20．（23-24高二上·湖南湘潭·期末）若一直线与曲线和曲线相切于同一点，则的值为 . 【答案】 【分析】根据导数的几何意义结合条件即得. 【详解】设切点，则由，得， 由，得，则 解得. 故答案为：e. 21．（23-24高二上·湖南长沙·期末）曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率,表明曲线偏离直线的程度,曲率越大,表示曲线的弯曲程度越大,工程规划中常需要计算曲率,如高铁的弯道设计.曲线在点曲率的计算公式是,其中是的导函数.则曲线上点的曲率的最大值是 . 【答案】 【分析】根据定义直接计算,最后利用基本不等式得出结果 【详解】对于曲线,即 当且仅当时等号成立 故答案为: 22．（23-24高二上·湖南张家界·期末）设函数的图象与轴相交于点，则该曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】根据切点处切线的斜率与导数之间的关系求解. 【详解】令，即解得，所以点的坐标为， 所以由点斜式得，即. 故答案为: . 23．（23-24高二上·湖南郴州·期末）函数的图象在处的切线方程为 . 【答案】 【分析】根据切点处切线的斜率等于切点处函数的导数即可求解. 【详解】∵，∴，， ∴函数在处的切线方程为. 故答案为: . 24．（23-24高二上·湖南长沙·期末）记函数的导函数为．若，则 ． 【答案】1 【分析】求出函数的导数，将代入即可求得答案. 【详解】由题意得，，故， 故答案为：1 25．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）已知点和点是曲线上的两点，且点的横坐标是，点的纵坐标是，求： (1)割线的斜率； (2)在点处的切线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出点、的坐标，利用斜率公式可求得割线的斜率； （2）求出切线的斜率，再利用点斜式可得出所求切线的方程. 【详解】（1）解：当时，，即点， 令，可得，解得，即点， 因此，割线的斜率为. （2）解：对函数求导得， 所以，曲线在点处切线的斜率为， 所以，曲线在点处的切线方程为，即. 26．（23-24高二上·湖南·期末）已知函数的图象经过点，且在点A处的切线与直线垂直． (1)求a，b的值； (2)求经过点且与曲线相切的切线方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求导，根据题意结合导数的几何意义分析列式求解； （2）设切点，切线斜率，求直线方程并代入点运算求解即可. 【详解】（1）由，则， 因为的图象在点处的切线与直线垂直， 则，解得. （2）由（1）可设切线与曲线相切于点， 则切线斜率， 则切线的方程为， 将点代入方程整理得，解得或． 当时，切线方程为． 当时，切线方程为． 故经过点且与曲线相切的切线方程为或． 简单复合函数的导数（27-33为多选） 27．（23-24高二上·湖南湘潭·期末）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据导数的四则运算以及复合函数的导数，即可判断选项. 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D错误． 故选：BC 28．（23-24高二上·湖南·期末）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】由导数的四则运算和复合函数的导数公式计算. 【详解】对A,若，则，A选项不正确； 对B,若，则，B选项正确； 对C,若，则，C选项正确． 对D,若，则，D选项正确． 故选：BCD 29．（23-24高二上·湖南·期末）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的极值点为 C．的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到 D．若，则 【答案】BC 【分析】由正弦函数的最小正周期的计算公式可判断A；对求导，令可判断B；由三角函数的平移变换可判断C；由，求出或可判断D. 【详解】的最小正周期为，所以A错误； 由，得， 由三角函数的性质可验证的极值点为，所以B正确； 将的图象向右平移个单位长度得到的图象，所以C正确； 若，则， 所以，则或， 则或，所以D错误． 故选：BC. 30．（23-24高二上·湖南·期末）已知函数，设函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，若为奇函数，则 B．当时，若在区间上单调递减，则的取值范围是 C．当时，若在处取得最大值为，则 D．若将的图象向左平移个单位长度所得的图象与的图象的所有对称轴均相同，则 【答案】BC 【分析】先求出，从而可求出的解析式，利用辅助角公式变形后，然后逐个分析判断即可. 【详解】由，得， 所以，其中，， 对于，因为为奇函数，所以， 所以，因为，所以，故错误； 对于，由题意可知为单调递减区间的子集， 所以（）， 解得，故B正确； 对于，依题意，故，此时， 且，，即，， 因此，， 因为，，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，故C正确； 对于，将向左平移个单位长度，此时方程为， 因为它与的对称轴完全一致， 所以，， 所以，所以，， 此时不一定等于1，故D错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数的图象与性质的应用，考查导数的运算，考查三角函数图象变换，解题的关键是正确利用下正弦函数的性质分析判断，考查分析和计算能力，属于较难题. 31．（23-24高二上·江苏南京·期末）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D．，则 【答案】ACD 【分析】利用导数计算公式分析各选项可得答案. 【详解】A选项，，故A正确； B选项，，故B错误； C选项，，故C正确； D选项，，则，D正确. 故选：. 32．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）下列求导正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据求导公式分别检验各项即可得出结果. 【详解】对于，的导数为，故选项正确； 对于，的导数为，故选项正确； 对于，的导数为，故选项错误； 对于，的导数为，故选项正确， 故选：. 33．（23-24高二上·湖南·期末）下列结论正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】利用导数的运算公式和法则逐个分析判断即可 【详解】若，则正确. 若，则不正确. 若，则正确. 若，则正确. 故选：ACD 34．（23-24高二上·湖南怀化·期末）已知是方程的一个根，则 . 【答案】3 【分析】依题意得，构造函数，则有，得出的单调性即可求解. 【详解】因为是方程的一个根，则， 所以，即， 令，则， 所以在单调递增， 又，即， 所以，所以. 故答案为：3 35．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知，为正实数，直线与曲线相切，则的最小值是 . 【答案】8 【分析】根据题意结合导数的几何意义分析可得，再结合基本不等式运算求解. 【详解】由题意可得：的导数为， 设切点为，切线斜率，则在该点的切线方程为，即， 由题意可得，整理得， 则，当且仅当时取等号， 故的最小值为8. 故答案为：8. 五、单选题 36．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了公式，（其中，，，），现用上述公式求的值，下列选项中与该值最接近的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题中的泰勒公式，进行求导数，可得，令，结合诱导公式，进行近似计算，可得答案. 【详解】因为, 则, 当时，则有, 又 , 则 , 故选∶C． 37．（23-24高二上·湖南·期末）若函数及其导函数满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得，可得，结合已知即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，因为， 所以，解得， 所以，令，可得，解得. 故选：D. 38．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知曲线在处的切线恰好与曲线相切，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数的几何意义求出切线的方程，然后设与曲线的切点为，利用导数的几何意义可得出的值，可得出切点坐标，再将切点坐标代入函数的解析式，即可解得实数的值. 【详解】由得，又切点为，故切线斜率为，切线的方程为， 设与曲线的切点为， 对函数求导得，所以，可得切点为， 所以，解得． 故选：B. 六、多选题 39．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若关于直线对称，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】关于直线对称得，求出导数令得可判断A；由得到，求导可得，令2024，又为奇函数，可得，可得函数的周期可判断C正确；由，得函数的图象关于点对称，可判断BD. 【详解】因为关于直线对称，所以， 所以，令，得，所以A正确； 由得到，所以， 所以，令2024，则， 又因为为奇函数，所以，即， 即，所以，即， 所以函数的周期为，所以，所以C正确； 由，得函数的图象关于点对称，所以，所以D错误，B正确. 故选：ABC. 七、填空题 40．（23-24高二上·湖南娄底·期末）已知直线与曲线相切于点，且与曲线相切于点，则 . 【答案】3 【分析】利用导数的几何意义表示出切线方程，即可得到，从而得解. 【详解】由已知直线与曲线相切于点， 因为，所以直线的方程为，即， 又直线与曲线相切于点， 因为，所以直线的方程为， 即，所以，所以， 即，所以. 故答案为： 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 导数的概念（意义）及其运算 （四大题型+优选提升题，40题） 导数的概念及其意义 1．（23-24高二上·湖南·期末）某物体运动后，其位移（单位：）为．在这段时间里，该物体的平均速度为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·湖南郴州·期末）函数在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·湖南湘潭·期末）已知函数，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 4．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）设，则（    ） A． B． C．3 D．12 5．（23-24高二上·湖南长沙·期末）函数在其图象上的点处的切线方程为 ． 6．（23-24高二上·湖南·期末）已知是函数的导函数，且，则 ． 7．（23-24高二上·湖南常德·期末）已知函数，若曲线在点处的切线与直线垂直，则切线的方程为 ． 8．（23-24高二上·湖南常德·期末）已知曲线. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求满足斜率为1的曲线的切线方程. 9．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知函数和，其中a，b为常数且． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若存在斜率为1的直线与曲线和都相切，求的取值范围． 10．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：. 基本初等函数的研究（13为多选） 11．（23-24高二上·湖南郴州·期末）若函数的导函数为偶函数，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二上·湖南长沙·期末）设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则等于（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高二上·湖南郴州·期末）下列选项正确的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 14．（23-24高二上·湖南湘潭·期末）已知在一次降雨过程中，某地降雨量y（单位：）与时间t（单位：）的函数关系可近似表示为，则在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为 . 15．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）写出过点与曲线相切的一条直线的方程： . 16．（23-24高二上·湖南湘潭·期末）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 导数的四则运算法则 17．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）已知函数在处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高二上·湖南长沙·期末）函数在点处切线方程为（    ） A． B． C． D． 19．（23-24高二上·湖南·期末）已知函数，若，则 . 20．（23-24高二上·湖南湘潭·期末）若一直线与曲线和曲线相切于同一点，则的值为 . 21．（23-24高二上·湖南长沙·期末）曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率,表明曲线偏离直线的程度,曲率越大,表示曲线的弯曲程度越大,工程规划中常需要计算曲率,如高铁的弯道设计.曲线在点曲率的计算公式是,其中是的导函数.则曲线上点的曲率的最大值是 . 22．（23-24高二上·湖南张家界·期末）设函数的图象与轴相交于点，则该曲线在点处的切线方程为 ． 23．（23-24高二上·湖南郴州·期末）函数的图象在处的切线方程为 . 24．（23-24高二上·湖南长沙·期末）记函数的导函数为．若，则 ． 25．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）已知点和点是曲线上的两点，且点的横坐标是，点的纵坐标是，求： (1)割线的斜率； (2)在点处的切线方程. 26．（23-24高二上·湖南·期末）已知函数的图象经过点，且在点A处的切线与直线垂直． (1)求a，b的值； (2)求经过点且与曲线相切的切线方程． 简单复合函数的导数（27-33为多选） 27．（23-24高二上·湖南湘潭·期末）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 28．（23-24高二上·湖南·期末）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 29．（23-24高二上·湖南·期末）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的极值点为 C．的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到 D．若，则 30．（23-24高二上·湖南·期末）已知函数，设函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，若为奇函数，则 B．当时，若在区间上单调递减，则的取值范围是 C．当时，若在处取得最大值为，则 D．若将的图象向左平移个单位长度所得的图象与的图象的所有对称轴均相同，则 31．（23-24高二上·江苏南京·期末）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D．，则 32．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）下列求导正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 33．（23-24高二上·湖南·期末）下列结论正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 34．（23-24高二上·湖南怀化·期末）已知是方程的一个根，则 . 35．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知，为正实数，直线与曲线相切，则的最小值是 . 五、单选题 36．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了公式，（其中，，，），现用上述公式求的值，下列选项中与该值最接近的是（ ） A． B． C． D． 37．（23-24高二上·湖南·期末）若函数及其导函数满足，且，则（   ） A． B． C． D． 38．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知曲线在处的切线恰好与曲线相切，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 六、多选题 39．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若关于直线对称，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 七、填空题 40．（23-24高二上·湖南娄底·期末）已知直线与曲线相切于点，且与曲线相切于点，则 . 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$