专题10 等比数列（四大题型，35题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（湖南专用）

专题10 等比数列（四大题型，35题） 等比数列的概念（8为多选） 1．（23-24高二上·湖南永州·期末）正项等比数列，，则（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质计算即可 【详解】在正项等比数列，， 所以，所以（舍去）. 故选：B. 2．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）在等比数列中，若，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】由等比数列的性质计算即可求得． 【详解】设的公比为，则， 所以，所以 故选：D. 3．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）数列是等比数列，，公比，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据可得解. 【详解】因为数列是等比数列，，公比，则. 故选：C. 4．（23-24高二上·湖南常德·期末）各项均为正数的等比数列中，若，则（    ） A．9 B．10 C．11 D． 【答案】B 【分析】利用等比数列的性质及对数运算性质计算即可. 【详解】在各项均为正数的等比数列中，， 因为， 所以 所以 ， 故选：B. 5．（23-24高二上·湖南益阳·期末）在等比数列中，，则前7项的积等于（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】由等比数列通项公式及下标和性质计算即可得. 【详解】结合题意：设该等比数列的公比为， 因为，所以，解得或（舍去）， 则该等比数列前7项的积为. 故选: D. 6．（23-24高二上·湖南长沙·期末）在等比数列中，已知，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得等比数列的公比，进而即可求得的值. 【详解】设等比数列的公比为q， ， ． 故选：A 7．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）设数列为等比数列，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件得到，再利用等比数列的通项公式，即可求出结果. 【详解】因为数列为等比数列，设公比为， 因为，，所以，得到， 又，当时，，当时，， 故选：D. 8．（23-24高二上·湖南·期末）设数列的前项和为，且（为常数），则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为等差数列，则 D．若为等比数列，则 【答案】ACD 【分析】首先由求出，根据各个选项的条件及等比等差数列的性质即可判断． 【详解】当时，； 当时，， 所以， 对于A，若，则， 故，则，故A选项正确； 对于B，若，则， 故，则，故B选项错误； 对于C，若为等差数列，则当时，是与无关的常数， 故只能有，即； 同时也是与无关的常数，且根据等差数列的定义可知，这两个常数是同一个数， 故， 所以，C选项正确； 对于D，若为等比数列，则当时，，这是一个与无关的常数； 同时也是与无关的常数，且根据等比数列的定义可知，这两个常数是同一个数， 故，得，故D选项正确， 故选：ACD． 9．（23-24高二上·湖南长沙·期末）著名的“汉洛塔”问题中，地面直立着三根柱子，在1号柱上从上至下、从小到大套着个中心带孔的圆盘，将一个柱子最上方的一个圆盘移动到另一个柱子，且保持每个柱子上较大的圆盘总在较小的圆盘下面，视为一次操作．设将个圆盘全部从1号柱子移动到3号柱子的最少操作数为，则 ， ．    【答案】 7 / 【分析】假设木桩1上原有个圆盘，要将这个圆盘全部按要求套到木桩3上，所需的最少次数为,则有如下操作：先将个圆盘从木桩1套到木桩2上，所需最少次数为，再将最大的圆盘从木桩1套到木桩3上，需要1次，最后将木桩2上的个圆盘全部套到木桩3上，所需的最少次数为，由此推出通项公式. 【详解】根据题意假设木桩1上原有个圆盘，要将这个圆盘全部按要求套到木桩3上，所需的最少次数为, 则有如下操作： 先将个圆盘从木桩1套到木桩2上，所需最少次数为， 再将最大的圆盘从木桩1套到木桩3上，需要1次， 最后将木桩2上的个圆盘全部套到木桩3上，所需的最少次数为， 则,, 即, 所以是以2为首项，1为公比的等比数列， 所以,. 故答案为: . 10．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）已知和的等比中项为B，则B = . 【答案】 【分析】由等比中项的定义结合二倍角的正弦公式可得. 【详解】由和的等比中项为B， 则， 故. 故答案为：. 11．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用与的关系式即可求解； （2）由（1）得出数列是以为首项，为公差的等差数列，然后利用公式求解即可. 【详解】（1）当时，，得， 当时，由得，， 两式相减得：， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，且. （2）由（1）知， 所以时，， 因此，数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以. 12．（23-24高二上·湖南·期末）已知数列满足，且对于任意m，，都有． (1)证明为等比数列，并求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）取，得到，得到是4为公比的等比数列，求出通项公式； （2）裂项相消得到，再进行求和即可. 【详解】（1）取，则由，得． 因为，所以，所以是以4为首项，4为公比的等比数列， 故． （2）由（1）可知， 则， 故． 13．（23-24高二上·湖南永州·期末）已知数列是递增的等差数列，，是与的等比中项， (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出公差，再根据等差数列的通项即可得解； （2）利用裂项相消法求解即可. 【详解】（1）设公差为， 因为是与的等比中项， 所以，即，解得（舍去）， 所以； （2）， 在， 所以 . 求等比数列前n项和（17为多选） 14．（23-24高二上·湖南永州·期末）各项均不为零的数列的前n项和为，，，，且，则的最小值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入关系式得到，分组求和得到表达式，利用基本不等式和二次函数性质求出最值. 【详解】因为， 所以，将代入， 得， 所以，又， 所以, ； 故 ， 又因为， 所以，由，，即， 因为，所以， 当且仅当时等号成立， 所以, 又,， 所以当时，最小， 所以， 即时，有最小值． 故选：D 【点睛】关键点点睛：利用递推关系得到，并利用分组求和得到关于的函数关系是本题关键. 15．（23-24高二上·湖南·期末）如图，三角形蜘蛛网是由一些正三角形环绕而成的图形，每个正三角形的顶点都是其外接正三角形各边的中点．现有17米长的铁丝材料用来制作一个网格数最多的三角形蜘蛛网，若该三角形蜘蛛网中最大的正三角形的边长为3米，则最小的正三角形的边长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】 根据题意，构造正三角形周长满足的等比数列，结合等比数列前项和公式及指数不等式进行求解. 【详解】 由题可知，该三角形蜘蛛网中三角形的周长从大到小是以9为首项，为公比的等比数列. 设最小的正三角形的边长为米， 则，则，即，得， 故最小的正三角形的边长为米. 故选：B. 16．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知等比数列中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】数列是首项为，公比为的等比数列，然后可算出答案. 【详解】因为，则， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 则. 故选：B 17．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知等比数列公比为q，前n项和为，且满足，则（    ） A． B． C．，，成等比数列 D． 【答案】ABD 【分析】根据得到A正确，根据等比数列公式计算得到BD正确，计算，C错误，得到答案. 【详解】对选项A：，即，则，正确； 对选项B：，正确； 对选项C： ， 所以，即，，不成等比数列，错误； 对选项D：，正确； 故选：ABD 18．（23-24高二上·湖南张家界·期末）已知数列是递增数列，其前项和满足. (1)证明：是等差数列； (2)记，数列的前项和为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据退一相减法，结合等差数列定义可证； （2）根据等差数列可得与，再利用分组求和的方程求得. 【详解】（1）当时，，解得， 当时，，则， 即，即 又数列为递增数列， 所以，故， 即， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列； （2）由（1）得， 所以， 则 . 19．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）已知数列满足，，． (1)求证：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)记，求证：对任意，． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）利用构造法即可得证；再利用等比数列的通项公式即可得解； （2）利用放缩法与等比数列的求和公式即可得证. 【详解】（1）因为，， 所以， 又，则， 所以以4为首项，4为公比的等比数列， 故，即. （2）由（1）得， 所以 ， 又，所以， 综上所述，. 20．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）已知是等差数列，且公差，其前项和为，并满足成等比数列，数列前项和为，且满足 (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据已知，利用等差、等比数列前n项和、通项公式求基本量，即可得的通项公式； （2）利用关系及等比数列定义写出通项公式，进而得，应用错位相减法、等比数列前n项和求. 【详解】（1）在等差数列中，即，整理①， 成等比数列，所以，整理②， 由①②得，故. （2）对于数列：当时，，解得， 当时，由，可得， 两式相减，得，整理得， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，则. 由上，③， 则④， ③-④得， 所以. 21．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）（1）已知等差数列满足，求的通项公式； （2）已知等比数列的公比，且，求的前项和. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）借助等差数列的性质计算即可得； （2）借助等比数列的性质及前项和公式计算即可得. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则， 所以，解得， 所以； （2）因为等比数列的公比，且， 所以，所以， 所以. 22．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式： (2)设，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由的关系结合等差数列定义即可求解. （2）首项由错位相减法得，结合它的单调性即可得证. 【详解】（1）由题意，所以， 两式相减得，，即， 所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以数列的通项公式为. （2）证明：由题意， 所以数列的前项和为，且， 两式相减得， 所以 ， 而，且，所以单调递增， 所以， 综上所述，. 23．（23-24高二上·湖南永州·期末）已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解公差和首项，进而可求通项， （2）根据分组求和，结合等差数列以及等比数列的求和公式即可求解. 【详解】（1）设数列的首项为，公差为，由题意得, 解得：， 所以 （2）因为 所以 ． 等比数列前n项和的基本量计算 24．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知等比数列的公比为，前项和为.若，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】C 【分析】由等比数列前项和列出与，两式相比即可解出答案；或根据等比数列前项和的性质得，，成等比数列，且公比为，即可列式，代入值即可解出答案. 【详解】法一：因为等比数列的公比为， 则，， 所以，解得. 法二：根据等比数列前项和的性质得，，成等比数列，且公比为， 所以，即，解得.. 故选：C 25．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）设等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等比数列的前项和公式，列式求解. 【详解】设等比数列的首项为，公比为，由条件可知，， ，解得：， . 故选：A 26．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）已知数列是等比数列，若，，，则等于（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】代入等比数列求和公式求解. 【详解】由题意知，得， 故选：B 27．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）已知等比数列的前n项和为，且，则（    ） A．20 B．30 C．40 D．50 【答案】B 【分析】利用等比数列的前n项和公式即可求解. 【详解】设等比数列的首项为，公比为，则 ，由得 ， 即，解得或（舍）， 且代入①得，则， 所以. 故选：B. 28．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知数列满足：，其前项和为，若，则 . 【答案】1 【分析】根据等比数列的定义，得到数列是公比为等比数列，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】由数列满足，知，否则，与矛盾， 所以数列为等比数列，且公比为， 又由，解得. 故答案为：1. 29．（23-24高二上·湖南郴州·期末）各项均为正数的等比数列的前n项和为，满足，，则 . 【答案】 【分析】利用等比数列的通项公式和前项和公式，即可得到答案. 【详解】由题意各项均为正数的等比数列得： ， 故答案为： 前n项和与通项关系（30为多选） 30．（23-24高二上·湖南株洲·期末）已知数列的前项和为，，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C．数列是等比数列 D．数列的前项和为 【答案】ACD 【分析】根据转化到，进而可知数列是以为首项，公比为的等比数列，并写出通项公式及求和公式，即可判断选项正误. 【详解】解：，① ，② 两式作差得：，， ，，即， ，. 数列是以为首项，公比为的等比数列， 则，. 由上述内容可知，选项A，C正确. 当时，，则选项B错误. ，，， 数列是首项为的等比数列. 则数列的前项和为，则选项D正确. 故选：ACD. 31．（23-24高二上·湖南·期末）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，可得，利用当时，可得，进而求出数列的通项公式； （2）求得，根据等比数列的求和公式求得结果. 【详解】（1）依题意，当时，由，可知， 由，可得两式相减可知，，即， 因此时，， 即 （2）由（1）可知，，当时，， 因此也适合，， 故， 故的前项和 32．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求，并求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）由，利用数列通项和前n项和的关系求解； （2）由（1）得到，再利用等差数列前n项和公式和错位相减法求解. 【详解】（1）解：由题意得，① 当时，；当时，； 当时，，② ①一②得， 当时，，也适合上式，所以，所以， 两式相减得， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以. （2）由（1）可得， ， 设，③ ，④ ③一④得， ，又， . 33．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）已知数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，再结合等比数列的定义，即可求出结果； （2）由（1）可知，再利用错位相减法，即可求出结果. 【详解】（1）解：因为，当时，，解得 当时，， 所以， 即. 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列. 故. （2）解：由（1）知，则， 所以① ②， ①-②得 . 所以数列的前项和 34．（23-24高二上·湖南株洲·期末）已知数列的前项和为，且，，数列满足，，其中. (1)求数列和的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用公式，即可求数列的通项公式，利用累乘法求数列的通项公式；（2）由（1）可知，再根据错位相减法求和. 【详解】（1）当时，，所以， 当时，由，得， 所以，所以， 因为，所以对都有， 故数列是以1为首项，4为公比的等比数列，所以的通项公式为； 由，得， 故时，，，，…，，. 以上个式子相乘得，. 故，验证也符合上式，所以. （2）由，结合（1）可得. 所以 ， 两式相减得 ， 所以. 35．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知数列的首项为1，且. (1)求数列的通项公式； (2)若为前项的和，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，利用数列的通项和前n项和的关系求解； （2）由（1）得，进而得到，再利用错位相减法求解. 【详解】（1）解：因为， 所以. 两式作差得， 整理得. 令，得，故对任意都成立. 所以的首项为1，故，所以是公比为2的等比数列. 所以的通项公式是. （2）由（1）得， 所以. 所以. 又， 作差得， ， . 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 等比数列（四大题型，35题） 等比数列的概念（8为多选） 1．（23-24高二上·湖南永州·期末）正项等比数列，，则（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 2．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）在等比数列中，若，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 3．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）数列是等比数列，，公比，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·湖南常德·期末）各项均为正数的等比数列中，若，则（    ） A．9 B．10 C．11 D． 5．（23-24高二上·湖南益阳·期末）在等比数列中，，则前7项的积等于（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．（23-24高二上·湖南长沙·期末）在等比数列中，已知，那么等于（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）设数列为等比数列，若，，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·湖南·期末）设数列的前项和为，且（为常数），则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为等差数列，则 D．若为等比数列，则 9．（23-24高二上·湖南长沙·期末）著名的“汉洛塔”问题中，地面直立着三根柱子，在1号柱上从上至下、从小到大套着个中心带孔的圆盘，将一个柱子最上方的一个圆盘移动到另一个柱子，且保持每个柱子上较大的圆盘总在较小的圆盘下面，视为一次操作．设将个圆盘全部从1号柱子移动到3号柱子的最少操作数为，则 ， ．    10．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）已知和的等比中项为B，则B = . 11．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 12．（23-24高二上·湖南·期末）已知数列满足，且对于任意m，，都有． (1)证明为等比数列，并求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 13．（23-24高二上·湖南永州·期末）已知数列是递增的等差数列，，是与的等比中项， (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 求等比数列前n项和（17为多选） 14．（23-24高二上·湖南永州·期末）各项均不为零的数列的前n项和为，，，，且，则的最小值等于（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高二上·湖南·期末）如图，三角形蜘蛛网是由一些正三角形环绕而成的图形，每个正三角形的顶点都是其外接正三角形各边的中点．现有17米长的铁丝材料用来制作一个网格数最多的三角形蜘蛛网，若该三角形蜘蛛网中最大的正三角形的边长为3米，则最小的正三角形的边长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 16．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知等比数列中，若，则（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知等比数列公比为q，前n项和为，且满足，则（    ） A． B． C．，，成等比数列 D． 18．（23-24高二上·湖南张家界·期末）已知数列是递增数列，其前项和满足. (1)证明：是等差数列； (2)记，数列的前项和为，求. 19．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）已知数列满足，，． (1)求证：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)记，求证：对任意，． 20．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）已知是等差数列，且公差，其前项和为，并满足成等比数列，数列前项和为，且满足 (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求 21．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）（1）已知等差数列满足，求的通项公式； （2）已知等比数列的公比，且，求的前项和. 22．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式： (2)设，数列的前项和为，求证：． 23．（23-24高二上·湖南永州·期末）已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 等比数列前n项和的基本量计算 24．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知等比数列的公比为，前项和为.若，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 25．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）设等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）已知数列是等比数列，若，，，则等于（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 27．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）已知等比数列的前n项和为，且，则（    ） A．20 B．30 C．40 D．50 28．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知数列满足：，其前项和为，若，则 . 29．（23-24高二上·湖南郴州·期末）各项均为正数的等比数列的前n项和为，满足，，则 . 前n项和与通项关系（30为多选） 30．（23-24高二上·湖南株洲·期末）已知数列的前项和为，，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C．数列是等比数列 D．数列的前项和为 31．（23-24高二上·湖南·期末）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 32．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求，并求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 33．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）已知数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 34．（23-24高二上·湖南株洲·期末）已知数列的前项和为，且，，数列满足，，其中. (1)求数列和的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 35．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知数列的首项为1，且. (1)求数列的通项公式； (2)若为前项的和，求. 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$