专题09 等差数列（六大题型优选提升题，55题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（湖南专用）

专题09 等差数列（六大题型+优选提升题，55题） 数列的概念（5-8为多选） 1．（23-24高二上·湖南永州·期末）设数列的前项和为，若，，则    （    ） A．27 B．64 C．81 D．128 【答案】C 【分析】利用题给条件即可依次求得的值. 【详解】数列的前项和为，， 则，， ， . 故选：C. 2．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）设是数列的前项和，若，则（    ） A．2 B．2022 C．1011 D．1010 【答案】C 【分析】推导出数列是以为周期的周期数列，由可得出，代值计算即可得解. 【详解】在数列中，，， 则，，， 以此类推可知，对任意的，，即数列是以为周期的周期数列， ， 所以. 故选：C. 3．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）在数列中，，，则等于（    ） A．2 B． C．－ D．－1 【答案】A 【分析】由数列的首项和递推式求得数列的前面几项，可推得数列的周期性，从而得解. 【详解】因为，， 所以， 故数列为周期性数列，每3项为一循环， 而 ，故. 故选：A. 4．（23-24高二上·湖南娄底·期末）《推背图》是唐朝贞观年间唐太宗李世民命天文学家李淳风和相士袁天罡推算大唐气运而作，此著作对后世诸多事件都进行了准确的预测推背图以天干地支的名称进行排列，共有60象，其中天干分别为甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支分别为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥该书第一象为“甲子”，第二象为“乙丑”，第三象为“丙寅”，一直排列到“癸酉”后，天干回到甲，重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支又回到子，即“丙子”，以此类推2023年是“癸卯”年，也是毛泽东同志诞辰130周年，那么据此推算，毛泽东同志诞辰的年份是（    ） A．癸已年 B．癸丑年 C．辛丑年 D．辛卯年 【答案】A 【分析】由数列的周期性推理即可得解. 【详解】依题意可知，天干的周期为10，地支的周期为12， 因为，所以毛泽东同志诞辰的年份的天干也是癸； 因为，所以毛泽东同志诞辰的年份的地支为巳， 所以毛泽东同志诞辰的年份是“癸巳年”. 故选：A. 5．（23-24高二上·湖南娄底·期末）下列有关数列的说法正确的是（    ） A．数列-2023,0,4与数列4,0,-2023是同一个数列 B．数列的通项公式为,则110是该数列的第10项 C．在数列中,第8个数是 D．数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为 【答案】BCD 【分析】根据数列概念即可得选项A正误;利用数列的通项公式等于110,计算出结果,即可得选项B的正误;根据数列的规律,即可得选项C、D的正误. 【详解】解:因为数列-2023,0,4的首项是-2023,而数列4,0,-2023的首项是4, 所以两个数列不是同一个,故选项A错误; 当时,解得:或(舍), 即110是该数列的第10项,故选项B正确; 因为数列可写为:, 所以第8个数是,故选项C正确; 因为 所以可以看做数列的一个通项公式,故选项D正确. 故选：BCD 6．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知数列的前5项依次如图所示，则的通项公式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据选项中的通项对前五项一一验证即可. 【详解】对于选项A：时，，，，，，满足题意，故A正确； 对于选项B：时，，，，，，满足题意，故B正确； 对于选项C：时，，，，，，满足题意，故C正确； 对于选项D：时，，不满足题意，故D错误； 故选：ABC. 7．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）已知是的前n项和，，，则（    ） A． B． C． D．是以3为周期的周期数列 【答案】ABD 【分析】根据递推公式求出数列的前几项，即可得出D项；根据周期性，即可判断A、C项；求出的值，结合周期性，即可得出B项. 【详解】由已知可得，，，，，， 所以，是以3为周期的周期数列. 对于A项，因为，所以，故A项正确； 对于B项，因为，所以，故B项正确； 对于C项，因为的周期为3， 所以，，， 所以，，故C项错误； 对于D项，由解析可知，是以3为周期的周期数列，故D项正确. 故选：ABD. 8．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知数列满足，则（    ） A．的最大值为1 B．若，则 C． D． 【答案】ABC 【分析】根据递推关系判断出数列的单调性即可判断A，由单调性及判断B，由递推关系可得，裂项相消法求出，再由单调性知，化简即可判断C，放缩法可判断D. 【详解】由，得， 又，，所以，， 所以，即数列为正项递减数列， 所以的最大值为，因为，所以，解得，故A正确； 由数列为正项递减数列，且可知时，，故B正确； 由知，，， ， 因为数列为正项递减数列，所以（当且仅当时取等号）， 所以，即，所以，即，故C正确； 因为，所以， 所以 ， 当时，不成立，故D错误. 故选：ABC 9．（23-24高二上·湖南永州·期末）已知数列满足：，，，则 ． 【答案】1或8 【分析】根据递推关系，对分奇偶即可逐项求解得. 【详解】①若为偶数，则由可得， 若为偶数，则由可得，进而或者，均满足要求， 若为奇数，则由可得，不符合要求，舍去， ②若为奇数，则由可得，不符合要求，舍去， 综上或， 故答案为：1或8 10．（23-24高二上·湖南娄底·期末）斐波那契数列在很多领域都有广泛应用，它是由如下递推公式给出的：，当时，．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意得到，结合，可推导出，然后利用累加法可得，即可求出结果. 【详解】由已知得，且， 所以， ，， ， 累加整理可得， 又因为， 即是该数列的第项， 所以. 故答案为： 等差数列的概念（15为多选） 11．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）已知公差不为0的等差数列满足，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】首先根据公差不为0的等差数列满足，结合等差数列的下标和定理得出，再利用基本不等式“1”的妙用即可求解． 【详解】由题可知，，则，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为1， 故选：B． 12．（23-24高二上·湖南湘西·期末）《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于家畜偷吃禾苗的问题.假设有羊、骡子、马、牛吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求羊的主人、骡子的主人、马的主人、牛的主人共赔偿12斗粟.羊的主人说：“羊吃得最少，羊和骡子吃的禾苗总数只有马和牛吃的禾苗总数的一半.”骡子的主人说：“骡子吃的禾苗只有羊和马吃的禾苗总数的一半.”马的主人说：“马吃的禾苗只有骡子和牛吃的禾苗总数的一半.”若按照此比率偿还，则羊的主人应赔偿的粟的斗数为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据题意设羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次为，由题意得通过等差中项可判断羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次成等差数列，，列出相关等式解求首项即可； 【详解】设羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次为，由题意得 通过等差中项可判断羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次成等差数列， 设该数列为，公差为，则．由题意得 即解得 故选：B. 13．（23-24高二上·湖南·期末）在数列中，已知，，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】通过取倒数的方法，证得数列是等差数列，求得，进而求出，解决问题即可. 【详解】由，，取倒数得：， 则是以为首项，为公差的等差数列． 所以，所以； 由于，故． 故选：C. 14．（23-24高二上·湖南长沙·期末）在等差数列中，若，，则的公差为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】根据等差数列的定义，列出方程，解之即可. 【详解】设的公差为， 则， 解得． 故选：B． 15．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）已知各项均为正数的等差数列单调递增，且，则（　　） A．公差的取值范围是 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由,,且，可判断A，由等差数列的性质可判断BD，由作差法可判断C. 【详解】解：由题意得,,， 所以，解得，所以，故A错误； 由，故B正确； 由，故，C选项正确； 由等差数列性质，，故D正确. 故选：BCD 16．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知数列满足：．若，则数列的前项和 . 【答案】 【分析】根据给定的递推公式，利用构造法求出，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】数列中，由，得， 因此数列是以为首项，1为公差的等差数列，，即， 于是， 所以. 故答案为： 17．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知等差数列中，，，若在数列每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第项为 ． 【答案】 【分析】先计算出等差数列的公差，进而得到新的等差数列的公差，从而求出的通项公式，求出新数列的第项. 【详解】设等差数列的公差为，则， 在数列每相邻两项之间插入三个数，则新的等差数列的公差为， 故新数列的首项为，故通项公式为， 故. 故答案为：31 18．（23-24高二上·湖南永州·期末）设数列的前项之积为，且满足． (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)记，证明：． 【答案】(1)证明见解析，； (2)证明见解析 【分析】（1）法一：根据，得到，变形后得到，证明出结论，并求出通项公式； 法二：由题目条件得到，得到以3为首项，以2为公差的等差数列，求出，进而求出，并证明出数列是等差数列； （2）利用放缩法得到，裂项相消法求和，得到. 【详解】（1）方法一：当，得， 当时，① ② 两式相除可得： 即，又， 故， 变形为：， 因为，所以是以为首项，1为公差的等比数列． 所以 化简可得 法二：因为，， 所以 即 令，则， 所以以3为首项，以2为公差的等差数列， 所以，即， 所以． 又因为满足上式， 所以， 所以，故， 故数列是等差数列． （2） 因为， 所以 19．（23-24高二上·湖南长沙·期末）记为数列的前n项和，已知的公差为的等差数列. (1)求的通项公式； (2)证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用题意建立等式求出，然后利用，求出通项即可； （2）先将放大为，然后裂项求和即可. 【详解】（1）因为，所以， 又因为是公差为的等差数列，所以， 所以. 当时，时，也满足上式. 所以的通项公式是； （2）当时，，不等式成立； 当时， . 20．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知数列各项均为正数，且，. (1)求的通项公式； (2)设，求是数列的前项和，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简已知等式可求得，知数列为等差数列，由等差数列通项公式可求得结果； （2）由（1）可得，分别在为偶数和为奇数的情况下，采用并项求和方法和求得，综合两种情况可得结果. 【详解】（1）由得：， 又，， ，数列是以为首项，为公差的等差数列， . （2）由（1）得：； 当为偶数时，； 当为奇数时，； 综上所述：. 等差数列前n项和（24-29为多选） 21．（23-24高二上·湖南长沙·期末）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了高阶等差数列的概念.如数列1，3，6，10，后前两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有二阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（    ） A．174 B．184 C．188 D．190 【答案】A 【分析】先列出数列的递推公式，用“累加法”求出数列的通项公式，再求数列的指定项. 【详解】设此数列为，则，，，…，， 所以 ， 所以. 故选：A 22．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）小方是一名文学爱好者，他想利用业余时间阅读《红楼梦》和《三国演义》，假设他读完这两本书共需40个小时，第1天他读了10分钟，从第2天起，他阅读的时间比前一天增加10分钟，恰好阅读完这两本书的时间为（    ） A．第20天 B．第21天 C．第22天 D．第23天 【答案】C 【分析】利用等差数列定义及前n项和公式得前n天阅读总时间为，再列不等式求恰好阅读完这两本书的时间. 【详解】由题设，每天阅读时间是首项、公差都为10的等差数列， 所以前n天阅读总时间为分钟， 令，则，， 又开口向上且对称轴为，即上递增， ，，， 所以恰好阅读完这两本书的时间为第22天. 故选：C 23．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知等差数列的前项和，公差为，且，则（    ） A．0 B．1011 C．1012 D．2024 【答案】C 【分析】利用向量三点共线得，再利用等差数列求和公式及下角标性质求解得答案. 【详解】因为，，所以A,B,C三点共线，且， 故. 故选：C 24．（23-24高二上·湖南长沙·期末）设公差小于0的数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D．当且仅当时，取最大值 【答案】BC 【分析】根据等差数列性质可推出，即可判断A；判断等差数列为单调递减数列，结合等差数列性质可判断B；根据等差数列前n项和公式以及等差数列性质判断C；判断数列的各项正负情况结合单调性，即可判断D. 【详解】选项A，公差小于0的数列的前项和为，， ，，即，则，故A错误； 选项B，∵公差，∴等差数列为单调递减数列，结合A分析及下标和性质， 有，，即，故B正确； 选项C，，故C正确； 选项D，∵等差数列为递减数列，， ，，……，，，，……， 最大值为或，故D错误. 故选：BC. 25．（23-24高二上·湖南永州·期末）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排的形状，把数分成许多类，如图1，图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，如图2，图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数为数列，正方形数为数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用观察归纳法，结合等差数列前n项和公式求出，再逐项判断即得. 【详解】依题意，，，AD正确； ，，B错误； ，，C正确. 故选：ACD 26．（23-24高二上·湖南·期末）等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A．的公差为1 B．的公差为2 C． D． 【答案】ACD 【分析】 列出方程组，求出等差数列的公差和首项，判断A，B；根据等差数列通项公式以及前n项和公式即可判断C，D. 【详解】 设的公差为d，由，，得， 解得，故A正确，B错误； ，，C，D正确. 故选：ACD 27．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知均是公差不为0的等差数列，且，记的前项和分别为，则（    ） A． B． C．为递增数列 D． 【答案】AD 【分析】根据等差数列的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，由，得，故A正确； 对于B，设的公差分别为，均不为0， 所以，即， 所以，所以， 所以无法确定的通项公式，故B错误； 对于C，由B，不妨取，因此， 则为递减数列，故C错误； 对于D，因为， 所以，故D正确. 故选：AD 28．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知数列中，，且对任意的，都有，则下列选项正确的是（    ） A．的值随n的变化而变化 B． C．若m，n，，，则 D．为递增数列 【答案】BD 【分析】令，可得，从而可判断A；根据等差数列的求和公式可判断D；根据等差数列的性质可判断BC. 【详解】数列中，已知，且对于任意的，都有， 令时，， 故,为常数，故A错误； 则数列是以1为首项，2为公差的等差数列，， ，， 所以为递增数列，故D正确； 因为，（m，n，）， 由等差数列的性质可得，,故B正确，C错误. 故选:BD. 29．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则（    ） A． B． C． D．当时，取到最大值 【答案】ACD 【分析】利用条件，得到，从而得出，可判断出选项A正确；再逐一对选项BCD分析判断即可得出结果. 【详解】因为，所以，得到，所以，故选项A正确； 选项B，又，，所以，故选项B错误； 选项C，，故选项C正确； 选项D，因为，，所以当时，取到最大值，故选项D正确. 故选：ACD. 30．（23-24高二上·湖南永州·期末）已知等差数列的前项和为，且，，则 ． 【答案】 【分析】结合题意及等差数列前项和公式列出方程，再利用等差数列的求和公式计算即可. 【详解】结合题意：因为，， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 等差数列前n项和的基本量计算 31．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知等差数列的公差不为，其前项和为，且，，当取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设等差数列的公差为，由可得出，然后解不等式，可得出当取得最小值时对应的的值. 【详解】设等差数列的公差为，由可得， 整理可得，所以，， 令，即，解得， 因此，当取最小值时，. 故选：C. 32．（23-24高二上·湖南常德·期末）在4和67之间插入一个项的等差数列后，组成一个项的新等差数列，且新等差数列的所有项之和等于781，则的值为 . 【答案】20 【分析】根据题设条件，建立方程，由此能求出的值. 【详解】由等差数列的求和公式可知： 新等差数列的所有项之和，解得. 故答案为：20. 33．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知公差为3的等差数列的前项和为，且． (1)求： (2)若，记，求的值． 【答案】(1) (2)30 【分析】（1）直接根据等差数列及其前项和的基本量的计算得首项，由此即可得解. （2）由题意得，由分组求和法即可得解. 【详解】（1）因为公差为3的等差数列的前项和为，且， 所以，解得， 所以. （2）由题意， 所以. 34．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知等差数列的前n项和为，，，数列满足，. (1)求数列和的通项公式； (2)设数列满足：，（），若不等式（）恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由，利用数列通项与前n项和的关系求得；再由求解； （2）由，利用错位相减法及累加法求得，然后由恒成立求解. 【详解】（1）由已知得，∴，又，，所以， ∴，∴数列的通项公式； 由条件得，，∴，即数列是公比为2的等比数列， ∴. （2），设数列的前项和为，则， ∴， ∴ ∴， 由得， 累加得， 即， ∴， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴. 35．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）记为等差数列的前项和，已知. (1)求公差及数列的通项公式； (2)求，并求的最小值及取得最小值时的值. 【答案】(1)， (2)，的最小值为，此时或5 【分析】（1）根据等差数列的前项和公式，即可求得的值，从而可得数列的通项公式； （2）求得等差数列的前项和，根据二次函数的性质及为正整数，即可求得的最小值及取得最小值时的值. 【详解】（1）在等差数列中，因为，所以，则， 所以； （2） ∵，又为正整数 ∴或5时，的最小值为. 由Sn求通项公式（36为多选） 36．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知数列的前项和为，数列的前项和为，若对一切都有恒成立，则整数的可能值为（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】CD 【分析】根据可求出数列的通项公式，即可得的通项公式，利用裂项法求得，根据恒成立，求出m的范围，即可求得答案. 【详解】由题意知数列的前项和为， 故当时，； 当时，， 也适合该式，故， 则， 故， 由于对一切都有恒成立， 故，结合选项知整数的可能值为1，2， 故选：CD 37．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）数列的前项和，则该数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】由可求得数列的通项公式. 【详解】当时，； 当时，. 不满足. 所以，. 故答案为：. 38．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足，则 . 【答案】2024 【分析】根据的关系，分是否等于1讨论即可. 【详解】由于数列的各项均为正数，即， 当时，，即， 当时，由，可得，两式相减得， 又， 为一个以2为首项，2为公差的等差数列，. 故答案为：2024. 39．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知数列的前n项和，. (1)证明：数列是等差数列； (2)已知，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】（1）根据求出数列的通项公式即可证明数列是等差数列. （2）利用裂项相消的方法求数列的前n项和即可. 【详解】（1），，① 当时，； 当时，. 由得. 当时，满足上式， 数列的通项公式为，. ，为常数， 数列是等差数列. （2）由知， 数列的前n项和为 ，. 40．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知数列的前项和为，点在直线上． (1)求数列的前项和，以及数列通项公式； (2)若数列满足：，设数列的前项和为，求的最小值． 【答案】(1)，， (2)-15 【分析】（1）根据题意得到，根据得到通项公式. （2），根据通项的正负确定最值，计算得到答案. 【详解】（1），则， 当时，；当时，； 而，∴，. （2），当时，，当时，， 故. 求等差数列前n项和的最值（41-43为多选） 41．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）已知数列的前项和，以下说法正确的是（    ） A．数列是等差数列 B．当且仅当时，取最小值 C．若，则 D．若，则n的最小值为12 【答案】BCD 【分析】对于A，根据与之间的关系，求得数列的通项公式，可得答案；对于B，整理的解析式，根据二次函数的性质，可得答案；对于C，由题意，建立方程，可得答案；对于D，由题意，建立不等式，结合二次函数的性质，可得答案. 【详解】当时，；当时，； 则，，由，故A错误； ，所以当且仅当时取最小值，故B正确； 若，则，故，故C正确； 令，由，则， 即当时，，而当时，，所以若，则的最小值为12，故D正确. 故选：BCD. 42．（23-24高二上·湖南张家界·期末）数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列是等差数列 C．当时， D．当或4时，取得最大值 【答案】ABD 【分析】利用的关系式可求得，即可判断AB正确，由数列单调性即可判断C错误，再由前项和的函数性质可判断D正确. 【详解】由可得，当时，， 两式相减即， 即时， 又当时，符合， 所以可得，即可得AB正确； 易知数列为递减数列，当时，，所以C错误； 由利用二次函数性质以及可得， 当或4时，取得最大值. 故选：ABD 43．（23-24高二上·湖南·期末）已知数列的前项和为，若，，则（    ） A． B．数列是递增数列 C．数列中的最小项为 D．、、成等差数列 【答案】AB 【分析】根据等差数列的定义求出数列的通项公式，再结合等差数列通项公式与前项和的关系逐一判断选项即可得到答案. 【详解】因为，所以，所以数列是公差为1的等差数列， 因为，所以， 所以，故A正确； 因为，所以是递增数列，故B正确； 因为，，，，即时，， 所以数列中的最小项为或，故C错误； 当时，，，，显然不是等差数列，故D错误. 故选：AB 44．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知数列是等差数列，是的前n项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2)-57 【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式列方程组求出即可得， （2）由通项公式可求得当时，，从而可得当时，取到最小值，进而可求出其最小值 【详解】（1）设数列的公差为d， 则，解得，所以. （2）令，解得，所以当时，. 故当时，取到最小值，为. 45．（23-24高二上·湖南·期末）等差数列满足，，前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知条件列方程组求出，，从而可求出其通项公式； （2）由通项公式可知数列有前7项和最大，从而可求得结果. 【详解】（1）设首项为，公差为， 因为等差数列满足，， 所以，解得， 所以； （2）因为当时，，当时，， 所以的最大值为， 因为， 所以. 七、多选题 46．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知数列前项和为，，则下列结论成立的有（    ） A．数列为等差数列 B．数列的前100项和为10000 C．若，则 D．若，则的最小值为8 【答案】AB 【分析】先利用，求出，可判断选项A，C，化简，由等差数列的前项和求解，判断B；裂项相消法求和，判断D. 【详解】对于A，因为， 当时，， 当时，，符合上式， 所以，选项A正确； 对于B，根据已知，则数列是以1为首项，以2为公差的等差数列， 所以前100项和为，选项B正确； 对于C，因为，所以， 所以， 由，得，解得，选项C错误； 对于D，因为， 所以， 所以 ， 解得，选项D错误. 故选：AB 八、填空题 47．（23-24高二上·湖南长沙·期末）设等差数列{}的各项均为整数，首项，且对任意正整数，总存在正整数，使得，则这样的数列{}的个数为 . 【答案】3 【分析】由条件知，得到，又由等差数列的求和公式，求得，得出为等差数列中的项，进而利用为整数，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 由条件知(是某个正整数)，则， 即，因此必有，且， 而对任意正整数，可得 ， 即的表示式满足等差数列的通项公式的结构， 又为一奇一偶，即为整数，所以为等差数列中的项， 因为等差数列{}的各项均为整数， 所以只要且）为整数，那么就是中的一项， 易知：可取，即，对应可得到3个满足条件的等差数列. 故答案为:3. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键是把等差数列的前项和公式转化为等差数列的通项公式形式，以及合理应用整除的性质求解，着重考查了分析问题和转化化归的能力. 48．（23-24高二上·湖南·期末）已知数列的前n项和为，数列是首项为，公差为的等差数列.表示不超过x的最大整数，如，则数列的前35项和为 . 【答案】397 【分析】利用数列的通项公式与前n项和的关系可得，利用数列的新定义可得数列的各项，即求. 【详解】由题可得， 所以， 当时，， 当时，， 又也适合上式， ∴， 令， 则，，，，，，，…，，，， 所以，，，，，，，…，，，， 所以数列前35项的和为 . 故答案为：397. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据新定义的特点，分析数列各项，使问题得到解决. 49．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）在数列中，，且点在直线上，则数列的前项和公式为 . 【答案】 【分析】根据条件得到，即数列是以，的等差数列，再利用等差数列的前项和公式，即可求解. 【详解】因为点在直线上， 则，得到，又， 所以数列是以，的等差数列，得到， 故答案为：. 50．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）记为等差数列的前项和，若，，则 . 【答案】2 【分析】根据等式可得等差数列的公差，再由前项和公式计算可得结果. 【详解】设等差数列的公差为， 由等差数列定义可得， 由等差数列前项和公式可得，； 所以. 故答案为：2 51．（23-24高二上·湖南长沙·期末）若数列满足（，d为常数），则称数列为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是 . 【答案】100 【分析】根据题设易知正项数列为等差数列，公差为，应用等差数列前n项和公式得，应用基本不等式求最大值. 【详解】由题意，正项数列为“调和数列”，则（为常数）， 所以正项数列为等差数列，公差为， 则，则， 则（当且仅当时等号成立）， 所以的最大值是100. 故答案为：100 52．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）数列和都是等差数列，且，，则的前100项和为： . 【答案】11000 【分析】利用等差数列的前n项和公式求解. 【详解】因为数列和都是等差数列， 则与均为常数， 故为常数， 所以数列是等差数列， 又因为，，，则， 所以数列的前100项和为 ， 故答案为：11000. 九、解答题 53．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知是数列的前项和，若. (1)求证：数列为等差数列； (2)若，数列的前项和为. （ⅰ）求取最大值时的值； （ⅱ）若是偶数，且，求. 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）根据题设可得，利用的关系得，进而有，即可证结论； （2）（ⅰ）应用分组求和、等差数列前n项和公式求，根据二次函数性质确定最大值对应的n；（ⅱ）应用分组求和得，利用等差数列前n项和公式求结果. 【详解】（1）因为，所以是为首项，以为公差的等差数列， 所以，即①，则②， 由②-①，得，即， 所以，即，所以数列为等差数列. （2）（i）由题意及（1），在等差数列中，故. 则，故当时取最大值. （ii） . 54．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）定义：对于一个无穷数列，如果存在常数，对于任意给定的正数，总存在正整数，使得对于任意大于的正整数，都有.则称常数为数列的极限，记作.根据上述定义，完成以下问题： (1)若，，判断数列和是否存在极限；如果存在，请写出它的极限（不需要证明）； (2)已知数列的前项和为，，数列是公差为的等差数列； ①求数列的通项公式； ②若.证明： 【答案】(1)数列存在极限，极限为；数列不存在极限 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）根据题设定义，即可判断出结果； （2）①根据条件得到，利用与间的关系，得到，再利用累积法，即可求出结果；②利用①中结果，得到，再根据题设定义，即可求出结果. 【详解】（1）数列存在极限，因为当时，，所以， 数列不存在极限，因为当时，，， 所以数列不存在极限， （2）①因为，所以，得到①， 当时，②， 由①②，得到，整理得到， 所以，得到， 又，所以当时，，又，满足， 所以数列的通项公式为. ②由（1）可知， 对于任意给定的正数，由于，所以等价于 取不大于的最大整数为， 令，则当时，恒成立，所以恒成立， 所以. 55．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知数列的前项和为，，，且. (1)证明：数列是等差数列. (2)求的通项公式. (3)若，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据条件，利用等差数列的定义证明所给数列是等差数列. （2）根据（1）的结论，转化成由与的关系求通项公式. （3）利用裂项求和法求，再比较与的大小. 【详解】（1）证明：将两边同时除以，得． 当时，， 所以是以1为首项，为公差的等差数列． （2）由（1）得，则．① 当时，．② ①-②，得，整理得， 则， 也符合，所以． （3）证明：由（2）得， 所以 因为，所以 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 等差数列（六大题型+优选提升题，55题） 数列的概念（5-8为多选） 1．（23-24高二上·湖南永州·期末）设数列的前项和为，若，，则    （    ） A．27 B．64 C．81 D．128 2．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）设是数列的前项和，若，则（    ） A．2 B．2022 C．1011 D．1010 3．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）在数列中，，，则等于（    ） A．2 B． C．－ D．－1 4．（23-24高二上·湖南娄底·期末）《推背图》是唐朝贞观年间唐太宗李世民命天文学家李淳风和相士袁天罡推算大唐气运而作，此著作对后世诸多事件都进行了准确的预测推背图以天干地支的名称进行排列，共有60象，其中天干分别为甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支分别为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥该书第一象为“甲子”，第二象为“乙丑”，第三象为“丙寅”，一直排列到“癸酉”后，天干回到甲，重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支又回到子，即“丙子”，以此类推2023年是“癸卯”年，也是毛泽东同志诞辰130周年，那么据此推算，毛泽东同志诞辰的年份是（    ） A．癸已年 B．癸丑年 C．辛丑年 D．辛卯年 5．（23-24高二上·湖南娄底·期末）下列有关数列的说法正确的是（    ） A．数列-2023,0,4与数列4,0,-2023是同一个数列 B．数列的通项公式为,则110是该数列的第10项 C．在数列中,第8个数是 D．数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为 6．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知数列的前5项依次如图所示，则的通项公式可能为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）已知是的前n项和，，，则（    ） A． B． C． D．是以3为周期的周期数列 8．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知数列满足，则（    ） A．的最大值为1 B．若，则 C． D． 9．（23-24高二上·湖南永州·期末）已知数列满足：，，，则 ． 10．（23-24高二上·湖南娄底·期末）斐波那契数列在很多领域都有广泛应用，它是由如下递推公式给出的：，当时，．若，则的值为 ． 等差数列的概念（15为多选） 11．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）已知公差不为0的等差数列满足，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 12．（23-24高二上·湖南湘西·期末）《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于家畜偷吃禾苗的问题.假设有羊、骡子、马、牛吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求羊的主人、骡子的主人、马的主人、牛的主人共赔偿12斗粟.羊的主人说：“羊吃得最少，羊和骡子吃的禾苗总数只有马和牛吃的禾苗总数的一半.”骡子的主人说：“骡子吃的禾苗只有羊和马吃的禾苗总数的一半.”马的主人说：“马吃的禾苗只有骡子和牛吃的禾苗总数的一半.”若按照此比率偿还，则羊的主人应赔偿的粟的斗数为（    ） A．1 B． C．2 D． 13．（23-24高二上·湖南·期末）在数列中，已知，，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 14．（23-24高二上·湖南长沙·期末）在等差数列中，若，，则的公差为（    ） A． B．2 C． D．3 15．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）已知各项均为正数的等差数列单调递增，且，则（　　） A．公差的取值范围是 B． C． D． 16．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知数列满足：．若，则数列的前项和 . 17．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知等差数列中，，，若在数列每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第项为 ． 18．（23-24高二上·湖南永州·期末）设数列的前项之积为，且满足． (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)记，证明：． 19．（23-24高二上·湖南长沙·期末）记为数列的前n项和，已知的公差为的等差数列. (1)求的通项公式； (2)证明：. 20．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知数列各项均为正数，且，. (1)求的通项公式； (2)设，求是数列的前项和，求. 等差数列前n项和（24-29为多选） 21．（23-24高二上·湖南长沙·期末）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了高阶等差数列的概念.如数列1，3，6，10，后前两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有二阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（    ） A．174 B．184 C．188 D．190 22．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）小方是一名文学爱好者，他想利用业余时间阅读《红楼梦》和《三国演义》，假设他读完这两本书共需40个小时，第1天他读了10分钟，从第2天起，他阅读的时间比前一天增加10分钟，恰好阅读完这两本书的时间为（    ） A．第20天 B．第21天 C．第22天 D．第23天 23．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知等差数列的前项和，公差为，且，则（    ） A．0 B．1011 C．1012 D．2024 24．（23-24高二上·湖南长沙·期末）设公差小于0的数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D．当且仅当时，取最大值 25．（23-24高二上·湖南永州·期末）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排的形状，把数分成许多类，如图1，图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，如图2，图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数为数列，正方形数为数列，则（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高二上·湖南·期末）等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A．的公差为1 B．的公差为2 C． D． 27．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知均是公差不为0的等差数列，且，记的前项和分别为，则（    ） A． B． C．为递增数列 D． 28．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知数列中，，且对任意的，都有，则下列选项正确的是（    ） A．的值随n的变化而变化 B． C．若m，n，，，则 D．为递增数列 29．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则（    ） A． B． C． D．当时，取到最大值 30．（23-24高二上·湖南永州·期末）已知等差数列的前项和为，且，，则 ． 等差数列前n项和的基本量计算 31．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知等差数列的公差不为，其前项和为，且，，当取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高二上·湖南常德·期末）在4和67之间插入一个项的等差数列后，组成一个项的新等差数列，且新等差数列的所有项之和等于781，则的值为 . 33．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知公差为3的等差数列的前项和为，且． (1)求： (2)若，记，求的值． 34．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知等差数列的前n项和为，，，数列满足，. (1)求数列和的通项公式； (2)设数列满足：，（），若不等式（）恒成立，求实数的取值范围. 35．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）记为等差数列的前项和，已知. (1)求公差及数列的通项公式； (2)求，并求的最小值及取得最小值时的值. 由Sn求通项公式（36为多选） 36．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知数列的前项和为，数列的前项和为，若对一切都有恒成立，则整数的可能值为（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 37．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）数列的前项和，则该数列的通项公式为 . 38．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足，则 . 39．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知数列的前n项和，. (1)证明：数列是等差数列； (2)已知，求数列的前n项和. 40．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知数列的前项和为，点在直线上． (1)求数列的前项和，以及数列通项公式； (2)若数列满足：，设数列的前项和为，求的最小值． 求等差数列前n项和的最值（41-43为多选） 41．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）已知数列的前项和，以下说法正确的是（    ） A．数列是等差数列 B．当且仅当时，取最小值 C．若，则 D．若，则n的最小值为12 42．（23-24高二上·湖南张家界·期末）数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列是等差数列 C．当时， D．当或4时，取得最大值 43．（23-24高二上·湖南·期末）已知数列的前项和为，若，，则（    ） A． B．数列是递增数列 C．数列中的最小项为 D．、、成等差数列 44．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知数列是等差数列，是的前n项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)求的最小值. 45．（23-24高二上·湖南·期末）等差数列满足，，前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)求的最大值. 七、多选题 46．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知数列前项和为，，则下列结论成立的有（    ） A．数列为等差数列 B．数列的前100项和为10000 C．若，则 D．若，则的最小值为8 八、填空题 47．（23-24高二上·湖南长沙·期末）设等差数列{}的各项均为整数，首项，且对任意正整数，总存在正整数，使得，则这样的数列{}的个数为 . 48．（23-24高二上·湖南·期末）已知数列的前n项和为，数列是首项为，公差为的等差数列.表示不超过x的最大整数，如，则数列的前35项和为 . 49．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）在数列中，，且点在直线上，则数列的前项和公式为 . 50．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）记为等差数列的前项和，若，，则 . 51．（23-24高二上·湖南长沙·期末）若数列满足（，d为常数），则称数列为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是 . 52．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）数列和都是等差数列，且，，则的前100项和为： . 九、解答题 53．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知是数列的前项和，若. (1)求证：数列为等差数列； (2)若，数列的前项和为. （ⅰ）求取最大值时的值； （ⅱ）若是偶数，且，求. 54．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）定义：对于一个无穷数列，如果存在常数，对于任意给定的正数，总存在正整数，使得对于任意大于的正整数，都有.则称常数为数列的极限，记作.根据上述定义，完成以下问题： (1)若，，判断数列和是否存在极限；如果存在，请写出它的极限（不需要证明）； (2)已知数列的前项和为，，数列是公差为的等差数列； ①求数列的通项公式； ②若.证明： 55．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知数列的前项和为，，，且. (1)证明：数列是等差数列. (2)求的通项公式. (3)若，数列的前项和为，证明：. 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$