专题08 圆锥曲线的方程（压轴题，30题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（湖南专用）

专题08 圆锥曲线的方程（压轴题，30题） 1．（23-24高二上·湖南·期末）已知F为抛物线的焦点，O为坐标原点，过点的直线与抛物线交于A，B两点，且满足． (1)求的值； (2)若，求直线AB的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据可得，设直线AB：，与抛物线的方程联立，写出韦达定理，代入即可求出； （2）将转化成向量运算进行处理，，利用向量的坐标运算表示出，抛物线的焦半径公式表示出，通过解方程即可求得直线AB的方程． 【详解】（1）显然直线的斜率不为0，设直线AB：，，， 联立，得， 显然，，， 则， 由可得，可得，得． （2）由（1）可知拋物线方程为，， 此时AB；，，． ， ． 由，解得， 因此直线AB的方程为，即． 2．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆的离心率为，过焦点且垂直于长轴的弦长为. (1)求椭圆的方程; (2)直线与椭圆交于、两点（点、点在轴的同侧），当时，求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出椭圆的通径长，根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）利用对称性可转化为，利用韦达定理和不等式求最值． 【详解】（1）解：将代入椭圆的方程得，解得， 由题意可得，解得， 因此，椭圆的方程为. （2）解：延长交E于点，由（1）可知， 设、，若直线与轴重合，则四边形不存在，不合乎题意， 设直线的方程为，由得， ，故． 设与的距离为，则四边形的面积为， ， 又因为 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故四边形面积的最大值为． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 3．（23-24高二上·湖南·期末）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于不同的两点、．当时，以线段为直径的圆过点． (1)求抛物线的方程； (2)若线段的中点在曲线上运动，求（其中为平面直角坐标系的原点）的面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，记点，由已知可得出以及点在抛物线上可求得的值，可得出点的坐标，再利用抛物线的定义结合可求得的值，即可得出抛物线的方程； （2）设直线的方程为，设点、，设线段的中点为，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出点的坐标，代入方程，可得出的值，再利用三角形的面积公式可求得面积的最小值. 【详解】（1）解：已知抛物线的焦点，设，记点， 则，， 因为以线段为直径的圆过点，则，① 又在抛物线上，所以，② 所以得，则， 又因为，且，解得， 因此，抛物线的方程为. （2）解：设直线的方程为，设点、，设线段的中点为， 由消并整理成， 在时，有，所以， 得． 又线段的中点在曲线， 所以得，解得，所以直线过定点． 则的面积为， 所以仅当时，即当直线垂直轴时，的面积最小，且最小值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 4．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知抛物线的焦点为为上一动点，为圆上一动点，的最小值为. (1)求的方程； (2)直线交于两点，交轴的正半轴于点，点与关于原点对称，且，求证为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先判断出当点，，，四点共线且点，在，中间时取得最小值，再解方程求出，即可求解； （2）设出直线方程，联立抛物线求出，，由解出，再由即可证明． 【详解】（1）由题得，当点，四点共线且点在中间时，取得最小值，    最小值为，又， 解得， 所以的方程为. （2）当直线的斜率为0时，显然不适合题意； 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为， 联立得， 则，所以，又， 所以，所以， 解得或（舍去）， 即，所以， 所以， 又， 所以为定值. 【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于难题．利用韦达定理化简，准确计算是解题的关键. 5．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，且左焦点到渐近线的距离为，直线经过且互相垂直（斜率都存在且不为0），与双曲线分别交于点和分别为的中点. (1)求双曲线的方程； (2)证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先由题给条件求得的值，进而得到双曲线的方程； （2）先利用设而不求的方法分别求得两点的坐标，求得直线的方程，进而得到直线过定点. 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为，所以， 左焦点到渐近线的距离为，所以，又， 联立得，解之得，所以双曲线的方程为. （2）设直线的方程为，令 联立，整理得，， 所以，所以， ，则， 设直线的方程为，令 联立，整理得， ， 所以，所以， ，则， 当，即时，直线的方程为. 当时， 直线的斜率为， 直线的方程为，即， 所以直线过点，又直线过点， 综上，直线过定点.    【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 6．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）已知双曲线，四点，，，中恰有三点在双曲线上. (1)求的方程； (2)设直线不经过点且与相交于两点，若直线与直线的斜率的和为证明：过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意代入相应的点运算求解即可； （2）设直线的方程以及的坐标，再根据题意结合韦达定理运算求解. 【详解】（1）易知双曲线关于轴对称，，关于轴对称，故，都在双曲线上， 若，，在双曲线上， 则，解得，不满足； 若，，在双曲线上， 则，解得，满足； 综上所述：双曲线的方程为. （2）设直线与直线的斜率分别为， 如果直线斜率不存在，则，不符合题设， 设直线：，，，， 联立，整理得， ，化简得：. 则，， 则， 整理得， 即， 化简得：，解得或， 当时，直线的方程为， 令时，，所以直线过定点， 又因为直线不经过点，不合题意； 当时，直线的方程为， 当时，，所以直线过定点； 综上所述：过定点.    【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法 （1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点； （2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 7．（23-24高二上·湖南常德·期末）动点P到定点的距离和它到直线l：的距离的比是常数，设点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)已知O为坐标原点，与x轴不垂直的直线l与曲线C交于A，B两点，若曲线C上存在点P，使得四边形为平行四边形，证明：的面积为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设点，得到方程，化简得到曲线C的方程； （2）设出直线l，联立曲线C的方程，得到两根之和，两根之积，由四边形为平行四边形得到，设，得到，代入椭圆方程中，得到，表达出和坐标原点到直线l的距离，求出的面积等于. 【详解】（1）设点，依题意可得， 化简得， 所以曲线C的方程为. （2）证明：设，，直线l：. 由，消去y得， 则， ，， 则， 因为四边形为平行四边形，所以. 设，则， 又因为，即，得， 所以 ， 因为坐标原点到直线l的距离， 所以的面积为， 所以的面积为定值.    【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 8．（23-24高二上·湖南·期末）椭圆的焦距为，点是椭圆上一点，过点的动直线与椭圆相交于两点. (1)求椭圆的方程； (2)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据焦距和点在椭圆上，得到方程组，求出，得到椭圆方程； （2）先考虑平行于轴时，得到点在轴上，可设的坐标为，再考虑当垂直于轴时，求出点的坐标为，再验证当不平行于轴且不垂直于轴时，也满足要求，得到答案. 【详解】（1）根据题意，，故， 又在椭圆上，故， 因为，解得， 故椭圆方程为； （2）当平行于轴时，设直线与椭圆相交于C，D两点， 如果存在点满足条件，则有，即， 所以点在轴上，可设的坐标为； 当垂直于轴时，设直线与椭圆相交于M，N两点，如果存在点满足条件， 则有，即，解得或， 所以若存在不同于点的定点满足条件，则点的坐标为； 当不平行于轴且不垂直于轴时，设直线方程为，     设，联立，消去，得， 因为直线恒过椭圆内定点，故恒成立， ，， 又因为点关于轴的对称点的坐标为， 又，， 则， 所以，则三点共线，所以； 综上：存在与点不同的定点，使恒成立，且. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中探究性问题解题策略： （1）先假设存在或结论成立，然后引进未知数，参数并建立有关未知数，参数的等量关系，若能求出相应的量，则表示存在或结论成立，否则表示不存在或结论不成立； （2）在假设存在或结论成立的前提下，利用特殊情况作出猜想，然后加以验证也可. 9．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）已知椭圆的上顶点、右焦点分别为为坐标原点，且是面积为2的等腰直角三角形. (1)求C的方程； (2)设A，B是C上的两个动点，且以为直径的圆经过点O，证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设，由题意列式求，进而可得椭圆的方程. （2）分两种情况：当直线l的斜率存在时，当直线l的斜率不存在时，直线的方程与椭圆的方程联立可得关于x的一元二次方程，由韦达定理可得，，再由，可得，进而得，再计算，即可得出答案. 【详解】（1）设， 由题意可得：，解得， 因此椭圆C的方程为. （2）当直线l的斜率存在时，设直线，，， 由消去y得， 由题意可知，则, 因为，所以， 即， ， 即 整理得. 而, 设h为原点到直线l的距离，则， 所以, 而，所以； 当直线l的斜率不存在时，设，则有， 不妨设，则， 代入椭圆方程得，所以， 所以. 综上所述，即为定值.    【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用设线法，设直线，再将其与椭圆方程联立得到韦达定理式，利用，从而找到之间的等式，最后利用点到直线的距离公式结合的等式即可证明为定值. 10．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知曲线上的动点满足，且. (1)求的方程； (2)已知直线与交于两点，过分别作的切线，若两切线交于点，且点在直线上，证明：经过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据双曲线的定义即可求解， （2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，即可根据相切得判别式为0，可得，进而可得坐标，根据两点坐标可得直线的方程，即可根据交点在直线化简求解. 【详解】（1）因为， 所以曲线是以为焦点，以2为实轴长的双曲线， 所以实半轴长，半焦距，虚半轴长， 所以曲线的方程为. （2）由题知切线斜率均存在，所以设过点所作的切线分别为， 由题意知且，由得， 因为与相切， 所以，且，整理得. 此时可得，即. 同理. 由得. 直线的斜率为， 所以的方程为， 令，得， 即经过定点. 【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法 （1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. （2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 技巧：若直线方程为,则直线过定点; 若直线方程为 (为定值),则直线过定点 11．（23-24高二上·湖南常德·期末）设双曲线的离心率为，且顶点到渐近线的距离为．已知直线过点，直线l与双曲线C的左、右两支的交点分别为M、N，直线l与双曲线C的渐近线的交点为P、Q，其中点Q在y轴的右侧．设、、的面积分别是、、． (1)求双曲线C的方程； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用双曲线的离心率与顶点到渐近线的距离，结合，即可求出的值； （2）将转化为，设出直线，联立直线与双曲线，即可利用斜率表示出的值，联立直线与渐近线方程表示出的值，则可表示出，结合斜率的取值范围即可求出的取值范围. 【详解】（1）由题意知双曲线的一条渐近线方程为， 离心率为，即①， 顶点到渐近线的距离为，由对称性不妨取顶点， 则②，又③， 联立①②③，解得：，， 所以双曲线C的方程为：. （2）由题意可得，直线的斜率存在， 设直线的方程为，设， 联立直线与双曲线C：，消得：， 则，解得：， 则， 则， 联立直线与渐近线：，解得：，， 所以 所以， 又因为，即， 所以， 所以 【点睛】关键点点睛：第二问中求面积比值的取值范围时，关键在于利用弦长公式，表示出，结合参数的取值范围，求出答案. 12．（23-24高二上·湖南·期末）对于椭圆，令，，那么在坐标系中，椭圆经伸缩变换得到了单位圆，在这样的伸缩变换中，有些几何关系保持不变，例如点、直线、曲线的位置关系以及点分线段的比等等；而有些几何量则等比例变化，例如任何封闭图形在变换后的面积变为原先的，由此我们可以借助圆的几何性质处理一些椭圆的问题． (1)在原坐标系中斜率为k的直线l，经过，的伸缩变换后斜率变为，求k与满足的关系； (2)设动点P在椭圆上，过点P作椭圆的切线，与椭圆交于点Q，R，再过点Q，R分别作椭圆的切线交于点S，求点S的轨迹方程； (3)点）在椭圆上，求椭圆上点B，C的坐标，使得△ABC的面积取最大值，并求出该最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设上两点的坐标为，，经伸缩变换后变为，，由题意可得，，可得； （2）作，的伸缩变换，椭圆变换得到了单位圆；椭圆变换得到了以原点为圆心的圆，P，Q，R，S变换得到，，，，可得轨迹方程为：，利用变换可得S的轨迹方程. （3）作，的伸缩变换，椭圆变换得到了单位圆，点A变换得到了，在单位圆内接三角形中，面积最大为内接正三角形，可求△ABC面积最大值为． 【详解】（1）设上两点的坐标为，； 经伸缩变换后变为，， 则；； ，；则． （2）作，的伸缩变换，椭圆变换得到了单位圆； 椭圆变换得到了以原点为圆心的圆； P，Q，R，S变换得到，，，． O，，均在中垂线上，则O，，共线． ，，则， 则，， 则轨迹方程为：， 代入，，则S轨迹方程为：． （3）作，的伸缩变换，椭圆变换得到了单位圆， 点A变换得到了， 即为，并设B，C变换得到了，． 熟知：在单位圆内接三角形中，面积最大为内接正三角形． 则，分别为绕O点逆时针和顺时针旋转120°得到． 则，坐标分别为，． 即为，， 即B、C坐标分别为，， 单位圆内接正三角形面积为，则△ABC面积为． 综上，所求B，C坐标分别为，或其交换，△ABC面积最大值为． 【点睛】方法点睛：本题考查伸缩变换，利用伸缩变换求轨迹方程，关键是了解变换前后的不变与变，利用变换后的几何关系求变换前的几何关系，考查化归与转化思想，运算求解的核心素养. 13．（23-24高二上·湖南·期末）如图，点在圆上运动且满足轴，垂足为点，点在线段上，且，动点的轨迹为． (1)求曲线的方程； (2)已知，过的动直线交曲线于两点（点在轴上方）分别为直线与轴的交点，是否存在实数使得？说明理由． 【答案】(1) (2)存在实数，理由见解析 【分析】（1）先利用得到点坐标关于点坐标的表示，再利用直接代入法即可求得点的轨迹方程； （2）设直线的方程为并与曲线的方程联立，化简写出根与系数关系，计算出，从而求得正确答案. 【详解】（1）设点的坐标为，点，由题意可知， 则由题可得，即， 点在圆上运动，， 即的轨迹方程为 （2）易知直线的斜率不为0，设方程为， 由，得， 设，则， 直线的方程，得， 直线的方程，得， 由此得，， 又因为，即， 所以， 所以存在实数，使得． 14．（23-24高二上·河南·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，点，且为等腰直角三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)设点为上的一个动点，求面积的最大值； (3)若直线与交于两点，且，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2) (3)证明见详解 【分析】（1）根据题意结合离心率列式求，即可得方程； （2）设，根据点到直线的距离结合三角函数分析可知：取到最大值，即可得面积最大值； （3）设直线：，，，根据向量夹角结合向量运算分析可得，进而可得，即可得定点. 【详解】（1）设椭圆的焦距为， 由题意可知：，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）可知：，则直线的斜率为，且， 可知直线：，即， 因为点为椭圆上的一个动点，设， 则点到直线的距离， 其中， 可知当时，取到最大值， 所以面积的最大值为. （3）由题意可知：直线的斜率存在，设直线：，，， 因为，则，即， 又因为点在椭圆上，则，即， 可得， 同理可得：， 且，， 可得，则， 整理可得， 显然，则，即， 可得直线：， 所以直线过定点. 【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法 （1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程（斜率存在）为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点； （2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 15．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）如图，已知椭圆（）的左，右顶点分别为，，椭圆的长轴长为4，椭圆上的点到焦点的最大距离为，为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)设过点的直线，与椭圆分别交于点，，其中，证明：直线过定点，并求出定点坐标； 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）由椭圆上的点到焦点的最大距离为计算即可得； （2）设出直线，的方程，分别联立曲线可得，两点坐标，结合两点坐标可得直线方程，即可得其所过定点. 【详解】（1）∵长轴长为4，∴，椭圆上的点到点的最大距离为， ∴，∴.∴，∴椭圆的方程为：； （2）由（1）得，， 直线，的方程分别为，， 由得， ∴，可得，∴， 由得， ∴，可得，∴， ∴， 直线的方程为：， 即， 可得直线过定点. 【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于设出两直线方程，从而联立曲线，表示出，两点坐标后可得直线方程，即可得其所过定点. 16．（23-24高二上·湖南永州·期末）已知椭圆过点，离心率为.不过原点的直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且. (1)证明：直线的斜率为定值； (2)求面积的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意求出椭圆方程，设，联立方程，利用韦达定理求出，再根据化简即可得出结论； （2）由（1）得，根据求出的范围，利用弦长公式求出，利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，列出面积的的表达式，进而可得出答案. 【详解】（1）由题意，解得， 所以椭圆的标准方程为， 设， 由得， ， ， 解得， 所以直线的斜率为定值； （2）由（1）得， 与椭圆方程联立得， 则， ， 点到直线的距离， 的面积， 令， 则， 令，解得，即在上单调递增， 令，解得或，即在和上单调递减， 又， 所以当时，取到最大值， 所以的面积得最大值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 17．（23-24高二上·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，已知三点，曲线C上任意一点满足：． (1)求曲线C的方程； (2)设点P是曲线C上的任意一点，过原点的直线L与曲线相交于M，N两点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为．试探究的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论； (3)设曲线C与y轴交于D、E两点，点在线段DE上，点P在曲线C上运动．若当点P的坐标为时，取得最小值，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)无关，证明见解析 (3) 【分析】（1） 结合向量运算得出轨迹方程； （2） 设点的坐标结合点差法证明定值； （3）应用两点间距离公式，消参结合参数范围求范围. 【详解】（1）由题意，，则， 由此可得，， 又，且， ∴， 化简整理得：，即为所求曲线C的方程． （2）因为过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称， 所以可设． ∴P，M，N在椭圆上，则①，②， ①﹣②，得． 又，， ∴， 因此，的值恒等于，与点P的位置和直线L的位置无关． （3）由于在椭圆C：上运动，可得且， ∵， ∴|| 由题意，点P的坐标为时，取得最小值， 即当时，取得最小值，而，故有，解之得． 又∵椭圆C与y轴交于D、E两点的坐标为，而点N在线段DE上，即， ∴，实数m的取值范围是． 【点睛】方法点睛：先设点的坐标再应用点差法证明斜率乘积为定值. 18．（23-24高二上·湖南·期末）已知椭圆经过点，且离心率为为坐标原点. (1)求的方程. (2)过点且不与轴重合的动直线与相交于两点，的中点为. （i）证明：直线与的斜率之积为定值； （ii）当的面积最大时，求直线的方程. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②或. . 【分析】（1）根据已知点在椭圆上及离心率列方程组求解可得椭圆方程； （2）设方程，直线与椭圆联立消去利用韦达定理和斜率公式证明直线与的斜率之积为定值；根据弦长公式和三角形面积公式求得直线斜率最后得到直线方程. 【详解】（1）由已知，得解得 故的方程为. （2） ①    由题可设. 将， 消去，得. 当，即时，有. 所以，即， 可得，所以，即直线与的斜率之积为定值. ②由（1）可知 又点到直线的距离， 所以的面积. 设，则， 当且仅当，即时等号成立，且满足. 所以当的面积最大时，直线的方程为或. 【点睛】关键点点睛：求解面积最值的关键点是换元设，把面积转换为的函数结合基本不等式计算最值即可，注意取等条件是否符合题意. 19．（23-24高二上·湖南株洲·期末）椭圆与椭圆：有相同的焦点，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)椭圆的右焦点为，设动直线与坐标轴不垂直，与椭圆交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数. ①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标； ②求面积的最大值. 【答案】(1) (2)①证明见解析，定点；② 【分析】（1）根据椭圆的焦点及椭圆过的点列方程求解即可； （2）①先联立方程组得出韦达定理再计算斜率和即可；②结合定点列出面积再换元得出面积的最大值. 【详解】（1）椭圆：的焦点坐标为， 所以椭圆的焦点坐标也为，即得焦距为， ∵椭圆过点， ∴， ∴，， ∴椭圆的标准方程为. （2）设直线：（）， 由，得， 设，，所以，， 所以 ， 因为直线和的斜率互为相反数， 所以，所以， 所以， 所以. 即，所以， 因为，所以，所以动直线恒过轴上的定点 ②由①知，， 且，即， 又 令，则， ∴ （当且仅当时取“＝”） ∴. 【点睛】关键点点睛：求面积最值的关键点是令换元得出再结合基本不等式计算即可得出最值. 20．（23-24高二上·湖南·期末）已知点，，动点满足直线与的斜率之积为．记的轨迹为曲线． (1)求的方程，并说明是什么曲线； (2)过坐标原点的直线交于，两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交于点． （ⅰ）证明：以为直径的圆必然经过点． （ⅱ）求的取值范围，并求当取得最小值时的直线的方程． 【答案】(1),曲线C是以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的椭圆 (2)（ⅰ）证明过程见解析（ⅱ），满足题意的直线的方程为 【分析】（1）分别求出直线AM与BM的斜率，由已知直线AM与BM的斜率之积为，可以得到等式，化简可以求出曲线C的方程，注意直线AM与BM有斜率的条件； （2）（i）设直线的斜率为，结合点的对称性及点在椭圆上，利用斜率关系即可证明即可； （ii）求出三点坐标，求出的长，得到比值表达式即可求解. 【详解】（1）直线的斜率为，直线的斜率为， 由题意可知：， 所以曲线C是以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的椭圆， 其方程为； （2）（i）依题意设， 直线的斜率为，则， 所以． 又，所以， 进而有，即以为直径的圆必然经过点． （ii）设， 则直线的方程为，联立，解得， 所以直线的方程为． 联立直线的方程和椭圆C的方程， 可得， 则， ， 因为，所以，当且仅当时，等号成立， 所以， 当取最小值时，直线的方程为. 【点睛】关键点点睛：第二问（ii）的关键是得到，由此即可得到目标表达式，从而顺利得解. 21．（23-24高二上·湖南·期末）在直角坐标系中，点，动点满足直线与的斜率之积为．记的轨迹为曲线． (1)求的方程，并说明是什么曲线； (2)过左焦点且与坐标轴不垂直的直线，与曲线相交于，两点，的中点为，直线与曲线相交于，两点．求四边形面积的取值范围． 【答案】(1)曲线是以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的椭圆，； (2)． 【分析】（1）用把点满足的条件表示出来，列出方程，化简即可.注意：要注明取值范围. （2）设直线的方程，代入椭圆方程，消去，得到关于的 一元二次方程，利用韦达定理得到，，求出弦长即中点，进而写出直线，与椭圆方程联立，得到点的坐标，利用点到直线的距离公式表示点到直线的距离，表示出四边形的面积，根据二次函数的性质，可确定四边形面积的取值范围. 【详解】（1）直线的斜率为， 直线的斜率为， 由题意可知：， 所以曲线是以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的椭圆， 其方程为； （2）如图：    法一：直线的斜率存在且不为0，设， 联立，整理得恒成立， 且，则， 则，即， 直线的方程为，与，联立得， 设点到直线的距离分别为， 则， 四边形面积 ， 又，所以，故四边形面积的取值范围为. 法二：易知直线的斜率存在且不为0，设， 代入点得，相减得， 整理得①； 联立，得，所以． ； 设，由①得，直线方程为， 联立，解之得，即． 设点到直线的距离分别为， 则，， . 所以四边形的面积， 又，所以， 所以，故四边形面积的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：本题第2问，求四边形面积的取值范围，先利用对角线把四边形分割成两个三角形，利用弦长公式求出的长，在结合点到直线的距离求三角形的高，表示出四边形的面积. 22．（23-24高二上·湖南·期末）如图，轴垂足为点，点在的延长线上，且.当点在圆上运动时，点的轨迹方程为.    (1)求点的轨迹的方程； (2)当时，点的轨迹方程记为. （i）若动点为轨迹外一点，且点到轨迹的两条切线互相垂直，记点的轨迹方程记为，试判断与圆是否存在交点？若存在，求出交点的坐标；若不存在，请说明理由； （ii）轨迹的左右顶点分别记为，圆上有一动点，在轴上方，，直线交轨迹于点，连接，，设直线，的斜率存在且分别为，，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）没有交点，理由见详解；（ii） 【分析】（1）设，可得，代入圆即可得结果； （2）根据题意可得的方程为.（i）可知圆在椭圆内，即可得结果；（ⅱ）设，联立方程求得，可得，即可得结果. 【详解】（1）设， 因为，则， 又因为点在圆上，则， 所以点的轨迹的方程为. （2）若，则的方程为，即， （i）与圆没有交点，理由如下： 由题意可知：圆在椭圆内（有且仅有两个交点）， 但动点为轨迹外一点，所以与圆没有交点； （ⅱ）由题意可知：，    设，则直线， 联立方程，消去y可得， 则，可得， 则， 令，解得， 由题意可知， 因为，则， 又因为，可得， 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中范围问题的方法 一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线 上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的转化． 23．（23-24高二上·湖南·期末）已知椭圆C：过点（－2，0）且离心率为．若斜率为k（）且不过原点的直线l交椭圆于A、B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于G、交直线于点D（－2，m），且，过O作直线AB的垂线，垂足为Q．（其中：点O为坐标原点） (1)求椭圆C的方程． (2)证明：存在点P，使|PQ|为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出，利用离心率求出，进而求出，求出椭圆方程；（2）先求出直线l恒过定点，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到点P，其坐标是. 【详解】（1）∵且，∴椭圆方程为 （2）设AB直线方程：．点 联立得 ， 所以AB中点． 所以直线OE为，所以 又联立，可求得： ∵， ∴，解得：． ∴直线过定点 ∵△OHQ为直角三角形，取OH的中点P ∴（为定值） ∴存在满足题意的点P，其坐标是 【点睛】圆锥曲线求满足一定条件的定点问题，难度比较大，要充分利用题干中的条件来进行求解，比如这道题中要再求出直线过定点后，结合直角三角形来寻找斜边中线，对于学生基础知识扎实，对知识运用的灵活性要求高. 24．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知点为椭圆C的右焦点，P为椭圆上一点，且（O为坐标原点），. (1)求椭圆C的标准方程； (2)经过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，求弦的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用椭圆定义求得椭圆的即可解决； （2）经过点的直线l分为斜率不存在和存在两种情况，分别去求弦，再去求其取值范围即可. 【详解】（1）由题意得.记左焦点为， ，则，， 解得.由椭圆定义得：， 则，所以椭圆C的方程为：. （2）①当直线l的斜率不存在时，. ②当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则l的方程为. 联立椭圆与直线的方程 （由于点在椭圆内，∴成立）， 且，， 令，则，，， 由得， 综上所述，弦的取值范围为. 【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 25．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知点在椭圆C：（）上，椭圆C的左､右焦点分别为F1，F2，的面积为. (1)求椭圆C的方程； (2)设点A，B在椭圆C上，直线PA，PB均与圆O：（）相切，试判断直线AB是否过定点，并证明你的结论. 【答案】(1) (2)过定点，证明见解析 【分析】（1）结合题意，可得关于的方程，解之可得椭圆C的方程； （2）先由直线与圆相切可得，再联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理分别求出，，，，代入可得的关系式，进而可得直线AB过定点. 【详解】（1）由题知，，的面积等于， 所以，解得，所以椭圆的方程为. （2）设直线的方程为，直线的方程为， 由题知，所以， 所以，同理，， 所以是方程的两根，所以. 设，设直线的方程为， 将代入，得， 所以，① ② 所以，③ ，④ 又因为，⑤ 将①②③④代入⑤，化简得， 所以，所以， 若，则直线，此时过点，舍去. 若，则直线，此时恒过点， 所以直线过定点. 【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 26．（23-24高二上·湖南长沙·期末）设椭圆的左右焦点，分别是双曲线的左右顶点，且椭圆的右顶点到双曲线的渐近线的距离为. (1)求椭圆的方程； (2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在，圆的方程为，的取值范围是 【分析】（1）根据题意得到，及双曲线的渐近线方程，利用点到直线距离公式求出，从而求出，得到椭圆方程； （2）先考虑直线的斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立，得到两根之和，两根之积，由得到，由向量垂直得到向量数量积为0，代入两根之和，两根之积得到，得到或，从而得到原点到直线的距离，即圆的半径，得到圆的方程，验证直线的斜率不存在时，也满足要求，从而得到圆的方程为，再由弦长公式求出，换元后得到，结合求出的取值范围，考虑直线的斜率不存在时，的长，得到答案. 【详解】（1）由题意得：， 故， 双曲线渐的近线方程为， 故椭圆右顶点到双曲线渐近线距离为， 因为，解得：， 故， 所以椭圆方程为； （2）当直线的斜率存在时，设直线为， 联立与，得： ， 由得：， 设， 则， 因为，所以， 其中 ， 整理得：， 将代入中，解得：， 又，解得：，综上：或， 原点到直线的距离为， 则存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且， 该圆的半径即为，故圆的方程为， 当直线斜率不存在时，此时直线的方程为， 与椭圆的两个交点为，或，， 此时，满足要求， 经验证，此时圆上的切线在轴上的截距满足或， 综上：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且； ， 将代入上式， 令，则， 因为，则， 所以， 因为，所以， 故当时，取得最大值，最大值为， 又， 当直线的斜率不存在时，此时， 综上：的取值范围为. 【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 27．（23-24高二上·湖南·期末）已知曲线，当变化时得到一系列的椭圆，我们把它称为“椭圆群”． (1)求“2-1椭圆群”中椭圆的离心率； (2)若“椭圆群”中的两个椭圆、对应的t分别为、，且，则称、为“和谐椭圆对”．已知、为“和谐椭圆对”，P是上的任意一点，过点P作的切线交于A、B两点，Q为上异于A、B的任意一点，且满足，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；否则，说明理由． 【答案】(1) (2)是定值， 【分析】（1）写出“椭圆群”的方程，根据离心率公式计算离心率； （2）先讨论切线斜率不存在时，由切线方程得点坐标，两点坐标，代入向量关系计算，当切线斜率存在时，设直线方程为，由直线与椭圆相切，利用判别式得关系式，直线方程与椭圆方程联立，消元后应用韦达定理得（设），利用向量关系表示出点坐标，代入椭圆方程，交把韦达定理的结果代入其中化简即可得，综合之即得． 【详解】（1）由题意可知：“椭圆群”的方程为：， ∴，∴． （2）由题意得，；， ①当直线斜率不存在时，直线， 若，则， 又，所以， 代入中，得，即； 若，同理可得． ②当直线斜率存在时，设直线，，， 由，得， 由可得：， 即：． ∴， 化简得：， 由可得：， 即：， ∴，， ， ∴， 因为点Q在椭圆上，所以，， 整理，得， 又∵，在上，∴， ∴而：， 所以，即． 综上所述，为定值，且． 【点睛】方法点睛：直线与椭圆的关系，一般可设直线方程为（可根据具体直线引入相应参数，参数个数越少越好），直线方程与椭圆方程联立消元得一元二次方程，如果直线与椭圆相切，则由判别式为0得参数关系，如果直线与椭圆相切，设交点为，由韦达定理得（也可以是）把此结果代入题中其它条件进行化简变形可得． 28．（23-24高二上·湖南株洲·期末）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，过椭圆右焦点且斜率为1的直线交椭圆于两点，满足与共线． (1)求椭圆的离心率； (2)当椭圆的焦距为2时，设为椭圆上任意一点，且，求点到原点的最大距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点、，将直线的方程代入椭圆的方程，列出韦达定理求出的坐标，利用与共线，可得出关于、的关系可解得椭圆的离心率； （2）设，由可得出，由点在椭圆上可得出，利用韦达定理可计算得出，再由不等式可计算得出的最大值即可. 【详解】（1）设椭圆方程为，，则直线的方程为， 联立，消去并整理得， 设点、，由韦达定理可得，， 由，， 由与共线，得， 又，，， ，即，可得， 所以，椭圆的离心率为；        （2）证明：由（1）知，又椭圆的焦距为2， 所以椭圆方程． 联立，消去并整理得， 由韦达定理可得，， ， 设，由得， 所以. 在椭圆上，， ． ， 而， ， ，当时取等号， ， 点到原点距离为， 故点到原点的最大距离. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、，； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 29．（23-24高二上·湖南长沙·期末）如图，设P是上的动点，点D是点P在x轴上的投影，Q点满足（）． (1)当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹C的方程； (2)若，设点，A关于原点的对称点为B，直线l过点且与曲线C交于点M和点N，设直线AM与直线BN交于点T，设直线AM的斜率为，直线BN的斜率为． （i）求证：为定值； （ii）求证：存在两条定直线、，使得点T到直线、的距离之积为定值． 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【分析】（1）设出点的坐标，利用给定的向量关系，借助坐标代换法求出轨迹方程. （2）（i）求出曲线C的方程，并分别与直线方程联立，求出点的坐标，利用向量共线计算即得；（ii）由（i）的结论求出点的轨迹方程，借助反比例函数图象确定直线、即可计算得解. 【详解】（1）设点，则，， 由，得，，由P是上的动点，得， 即有，整理得， 所以点Q的轨迹C的方程为. （2）（i）当时，由（1）知，曲线C的方程为，显然点，在曲线C上， 设，直线方程为，直线方程为， 由，消去y得， 则，， 由，消去y得， 则，， 令点为，，而点共线， 即有，， 整理得， ， 化简得，即， 观察图形知，直线的斜率同号，即，于是，即， 所以为定值为定值3. （ii）设，则，由（i）知， 即，整理得， 显然函数的图象是函数的图象向右平移2个单位，再向下平移4个单位而得， 函数的图象是以x轴、y轴为渐近线的双曲线， 因此函数的图象，即点的轨迹是以直线为渐近线的双曲线， 此双曲线上任意点到直线的距离分别为， 显然，令直线分别为， 所以存在两条定直线、，使得点T到直线、的距离之积为定值. 【点睛】方法点睛：（1）引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；（2）特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 30．（23-24高二上·湖南·期末）阅读材料并解决如下问题：Bézier曲线是计算机图形学及其相关领域中重要的参数曲线之一.法国数学家DeCasteljau对Bézier曲线进行了图形化应用的测试，提出了DeCasteljau算法：已知三个定点，根据对应的一定比例，使用递推画法，可以画出抛物线.反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应边成比例的结论.已知抛物线上的动点到焦点距离的最小值为. (1)求的方程及其焦点坐标和准线方程； (2)如图，是上的三点，过三点的三条切线分别两两交于点，若，求的值. 【答案】(1)抛物线的标准方程为，其焦点坐标为，准线方程为 (2)1 【分析】（1）根据题意可得，求出，即可得的方程及其焦点坐标和准线方程； （2）设，抛物线上过点的切线方程为，联立方程，根据求出，进而可求得抛物线上过点的切线方程，同理可求得抛物线上过点的切线方程，两两联立，可以求得交点的纵坐标，再分别求出，再根据即可得解. 【详解】（1）因为抛物线上的点到焦点距离的最小值为， 转化为到准线距离的最小值为，所以，所以， 因此抛物线的标准方程为，其焦点坐标为，准线方程为； （2）设， 则抛物线上过点的切线方程为， 将切线方程与抛物线方程联立，得： 联立，消去，整理得， 所以，从而有， 所以抛物线上过点的切线方程为， 同理可得抛物线上过点的切线方程分别为， 两两联立，可以求得交点的纵坐标分别为 ， 则， 同理可得，即， 当时，，故，即， 因此. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 圆锥曲线的方程（压轴题，30题） 1．（23-24高二上·湖南·期末）已知F为抛物线的焦点，O为坐标原点，过点的直线与抛物线交于A，B两点，且满足． (1)求的值； (2)若，求直线AB的方程． 2．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆的离心率为，过焦点且垂直于长轴的弦长为. (1)求椭圆的方程; (2)直线与椭圆交于、两点（点、点在轴的同侧），当时，求四边形面积的最大值. 3．（23-24高二上·湖南·期末）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于不同的两点、．当时，以线段为直径的圆过点． (1)求抛物线的方程； (2)若线段的中点在曲线上运动，求（其中为平面直角坐标系的原点）的面积的最小值． 4．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知抛物线的焦点为为上一动点，为圆上一动点，的最小值为. (1)求的方程； (2)直线交于两点，交轴的正半轴于点，点与关于原点对称，且，求证为定值. 5．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，且左焦点到渐近线的距离为，直线经过且互相垂直（斜率都存在且不为0），与双曲线分别交于点和分别为的中点. (1)求双曲线的方程； (2)证明：直线过定点. 6．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）已知双曲线，四点，，，中恰有三点在双曲线上. (1)求的方程； (2)设直线不经过点且与相交于两点，若直线与直线的斜率的和为证明：过定点. 7．（23-24高二上·湖南常德·期末）动点P到定点的距离和它到直线l：的距离的比是常数，设点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)已知O为坐标原点，与x轴不垂直的直线l与曲线C交于A，B两点，若曲线C上存在点P，使得四边形为平行四边形，证明：的面积为定值. 8．（23-24高二上·湖南·期末）椭圆的焦距为，点是椭圆上一点，过点的动直线与椭圆相交于两点. (1)求椭圆的方程； (2)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 9．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）已知椭圆的上顶点、右焦点分别为为坐标原点，且是面积为2的等腰直角三角形. (1)求C的方程； (2)设A，B是C上的两个动点，且以为直径的圆经过点O，证明：为定值. 10．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知曲线上的动点满足，且. (1)求的方程； (2)已知直线与交于两点，过分别作的切线，若两切线交于点，且点在直线上，证明：经过定点. 11．（23-24高二上·湖南常德·期末）设双曲线的离心率为，且顶点到渐近线的距离为．已知直线过点，直线l与双曲线C的左、右两支的交点分别为M、N，直线l与双曲线C的渐近线的交点为P、Q，其中点Q在y轴的右侧．设、、的面积分别是、、． (1)求双曲线C的方程； (2)求的取值范围． 12．（23-24高二上·湖南·期末）对于椭圆，令，，那么在坐标系中，椭圆经伸缩变换得到了单位圆，在这样的伸缩变换中，有些几何关系保持不变，例如点、直线、曲线的位置关系以及点分线段的比等等；而有些几何量则等比例变化，例如任何封闭图形在变换后的面积变为原先的，由此我们可以借助圆的几何性质处理一些椭圆的问题． (1)在原坐标系中斜率为k的直线l，经过，的伸缩变换后斜率变为，求k与满足的关系； (2)设动点P在椭圆上，过点P作椭圆的切线，与椭圆交于点Q，R，再过点Q，R分别作椭圆的切线交于点S，求点S的轨迹方程； (3)点）在椭圆上，求椭圆上点B，C的坐标，使得△ABC的面积取最大值，并求出该最大值． 13．（23-24高二上·湖南·期末）如图，点在圆上运动且满足轴，垂足为点，点在线段上，且，动点的轨迹为． (1)求曲线的方程； (2)已知，过的动直线交曲线于两点（点在轴上方）分别为直线与轴的交点，是否存在实数使得？说明理由． 14．（23-24高二上·河南·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，点，且为等腰直角三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)设点为上的一个动点，求面积的最大值； (3)若直线与交于两点，且，证明：直线过定点. 15．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）如图，已知椭圆（）的左，右顶点分别为，，椭圆的长轴长为4，椭圆上的点到焦点的最大距离为，为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)设过点的直线，与椭圆分别交于点，，其中，证明：直线过定点，并求出定点坐标； 16．（23-24高二上·湖南永州·期末）已知椭圆过点，离心率为.不过原点的直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且. (1)证明：直线的斜率为定值； (2)求面积的最大值. 17．（23-24高二上·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，已知三点，曲线C上任意一点满足：． (1)求曲线C的方程； (2)设点P是曲线C上的任意一点，过原点的直线L与曲线相交于M，N两点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为．试探究的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论； (3)设曲线C与y轴交于D、E两点，点在线段DE上，点P在曲线C上运动．若当点P的坐标为时，取得最小值，求实数m的取值范围． 18．（23-24高二上·湖南·期末）已知椭圆经过点，且离心率为为坐标原点. (1)求的方程. (2)过点且不与轴重合的动直线与相交于两点，的中点为. （i）证明：直线与的斜率之积为定值； （ii）当的面积最大时，求直线的方程. 19．（23-24高二上·湖南株洲·期末）椭圆与椭圆：有相同的焦点，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)椭圆的右焦点为，设动直线与坐标轴不垂直，与椭圆交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数. ①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标； ②求面积的最大值. 20．（23-24高二上·湖南·期末）已知点，，动点满足直线与的斜率之积为．记的轨迹为曲线． (1)求的方程，并说明是什么曲线； (2)过坐标原点的直线交于，两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交于点． （ⅰ）证明：以为直径的圆必然经过点． （ⅱ）求的取值范围，并求当取得最小值时的直线的方程． 21．（23-24高二上·湖南·期末）在直角坐标系中，点，动点满足直线与的斜率之积为．记的轨迹为曲线． (1)求的方程，并说明是什么曲线； (2)过左焦点且与坐标轴不垂直的直线，与曲线相交于，两点，的中点为，直线与曲线相交于，两点．求四边形面积的取值范围． 22．（23-24高二上·湖南·期末）如图，轴垂足为点，点在的延长线上，且.当点在圆上运动时，点的轨迹方程为.    (1)求点的轨迹的方程； (2)当时，点的轨迹方程记为. （i）若动点为轨迹外一点，且点到轨迹的两条切线互相垂直，记点的轨迹方程记为，试判断与圆是否存在交点？若存在，求出交点的坐标；若不存在，请说明理由； （ii）轨迹的左右顶点分别记为，圆上有一动点，在轴上方，，直线交轨迹于点，连接，，设直线，的斜率存在且分别为，，若，求的取值范围. 23．（23-24高二上·湖南·期末）已知椭圆C：过点（－2，0）且离心率为．若斜率为k（）且不过原点的直线l交椭圆于A、B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于G、交直线于点D（－2，m），且，过O作直线AB的垂线，垂足为Q．（其中：点O为坐标原点） (1)求椭圆C的方程． (2)证明：存在点P，使|PQ|为定值． 24．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知点为椭圆C的右焦点，P为椭圆上一点，且（O为坐标原点），. (1)求椭圆C的标准方程； (2)经过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，求弦的取值范围. 25．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知点在椭圆C：（）上，椭圆C的左､右焦点分别为F1，F2，的面积为. (1)求椭圆C的方程； (2)设点A，B在椭圆C上，直线PA，PB均与圆O：（）相切，试判断直线AB是否过定点，并证明你的结论. 26．（23-24高二上·湖南长沙·期末）设椭圆的左右焦点，分别是双曲线的左右顶点，且椭圆的右顶点到双曲线的渐近线的距离为. (1)求椭圆的方程； (2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在，说明理由. 27．（23-24高二上·湖南·期末）已知曲线，当变化时得到一系列的椭圆，我们把它称为“椭圆群”． (1)求“2-1椭圆群”中椭圆的离心率； (2)若“椭圆群”中的两个椭圆、对应的t分别为、，且，则称、为“和谐椭圆对”．已知、为“和谐椭圆对”，P是上的任意一点，过点P作的切线交于A、B两点，Q为上异于A、B的任意一点，且满足，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；否则，说明理由． 28．（23-24高二上·湖南株洲·期末）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，过椭圆右焦点且斜率为1的直线交椭圆于两点，满足与共线． (1)求椭圆的离心率； (2)当椭圆的焦距为2时，设为椭圆上任意一点，且，求点到原点的最大距离． 29．（23-24高二上·湖南长沙·期末）如图，设P是上的动点，点D是点P在x轴上的投影，Q点满足（）． (1)当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹C的方程； (2)若，设点，A关于原点的对称点为B，直线l过点且与曲线C交于点M和点N，设直线AM与直线BN交于点T，设直线AM的斜率为，直线BN的斜率为． （i）求证：为定值； （ii）求证：存在两条定直线、，使得点T到直线、的距离之积为定值． 30．（23-24高二上·湖南·期末）阅读材料并解决如下问题：Bézier曲线是计算机图形学及其相关领域中重要的参数曲线之一.法国数学家DeCasteljau对Bézier曲线进行了图形化应用的测试，提出了DeCasteljau算法：已知三个定点，根据对应的一定比例，使用递推画法，可以画出抛物线.反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应边成比例的结论.已知抛物线上的动点到焦点距离的最小值为. (1)求的方程及其焦点坐标和准线方程； (2)如图，是上的三点，过三点的三条切线分别两两交于点，若，求的值. 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$