专题07 抛物线（两大题型优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（湖南专用）

专题07 抛物线（两大题型+优选提升题） 抛物线及其标准方程（7-8为多选） 1．（23-24高二上·湖南永州·期末）抛物线C：上的点与焦点F的距离是2，则（    ） A．1 B． C． D．2 2．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）抛物线的焦点坐标是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）若抛物线的焦点到直线的距离为，则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·湖南张家界·期末）抛物线的焦点到直线的距离等于（    ） A．1 B． C． D．4 5．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到该抛物线的准线的距离之和的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 6．（23-24高二上·湖南·期末）过抛物线的焦点的直线与抛物线C相交于A，B两点，若线段中点的坐标为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）给出如下四个命题正确的是（    ） A．方程表示的图形是圆 B．椭圆的离心率 C．抛物线的准线方程是 D．双曲线的渐近线方程是 8．（23-24高二上·湖南长沙·期末）直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，下列说法正确的是（    ） A．， B．直线的斜率为1时， C．的最小值为6 D．以为直径的圆与的准线相切 9．（23-24高二上·湖南张家界·期末）已知抛物线的准线方程为，则抛物线的标准方程为 . 10．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）已知双曲线 的右焦点与抛物线的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为． (1)求双曲线的方程； (2)经过点的直线与双曲线的右支交于，两点，与轴交于点，点关于原点的对称点为点，求的面积的取值范围． 抛物线的简单几何性质（12-15为多选） 11．（23-24高二上·湖南·期末）设为抛物线的焦点，点为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若，则（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二上·湖南·期末）已知抛物线，直线过的焦点，且与交于两点，则（    ） A．的准线方程为 B．线段的长度的最小值为4 C．存在唯一直线，使得为线段的中点 D．以线段为直径的圆与的准线相切 13．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知为抛物线的焦点，直线过点且与交于两点，为坐标原点，则（    ） A．的最小值为 B．以线段为直径的圆与的准线相离 C．的面积为定值 D． 14．（23-24高二上·湖南常德·期末）已知抛物线经过点，其焦点为，过点的直线与抛物线交于点，，设直线，的斜率分别为，，则（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知，是抛物线上两点，焦点为F，抛物线上一点到焦点的距离为，下列说法正确的是（    ） A． B．若，则直线恒过定点 C．若的外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的半径为 D．若，则直线的斜率为 16．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知抛物线的焦点为，过的直线与拋物线交于两点，（为坐标原点），则分别在点的抛物线的切线交点轨迹方程是 ． 17．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）已知动点到直线的距离比它到定点的距离多1 (1)求的方程； (2)若过点的直线与相交于A，B两点，且，求直线的方程． 18．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）已知动点到直线的距离比它到定点的距离多1，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)若过点的直线与相交于两点，且，求直线的方程. 19．（23-24高二上·湖南永州·期末）已知点A，B关于坐标原点O对称，，圆M过点A，B且与直线相切，记圆心M的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过曲线上的动点P作圆G：的切线，，交曲线于C，D两点，对任意的动点P，都有直线与圆G相切，求t的值． 20．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知抛物线上一点的横坐标为到抛物线的焦点的距离为2. (1)求抛物线的方程； (2)直线交抛物线于两点，为坐标原点，满足，求面积的最小值. 三、单选题 21．（23-24高二上·湖南长沙·期末）过拋物线上一动点作圆（r为常数且）的两条切线，切点分别为，若的最小值是，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 四、填空题 22．（23-24高二上·湖南·期末）已知为坐标原点，直线与抛物线交于，两点，且，点为点在直线上的射影，则点到直线的距离的最大值为 . 23．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知N为抛物线上的任意一点，M为圆上的一点，，则的最小值为 ． 24．（23-24高二上·湖南株洲·期末）已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是 ． 五、解答题 25．（23-24高二上·湖南·期末）若将任意平面向量绕其起点E沿逆时针方向旋转角，得到向量，则称点F绕点E逆时针方向旋转角得到点曲线是由椭圆在平面直角坐标系中绕原点O逆时针旋转所得的斜椭圆 (1)求椭圆C的标准方程. (2)已知M，N是椭圆C长轴的两个顶点，P，Q为椭圆C上异于M，N且关于y轴对称的两点.若直线MP与直线NQ交于点T，证明点T在某定曲线上，并求出该曲线的方程. (3)过椭圆C的上焦点作平行于x轴的直线m，交椭圆C于A，B两点，D是抛物线上不同于点A，B的动点.若直线DA与椭圆C的另一个交点为G，直线DB与椭圆C的另一个交点为H，试问直线HG是否过定点?若是，求该定点的坐标;若不是，请说明理由. 26．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知抛物线，过点的直线l交抛物线于A，B两点，抛物线在点A处的切线为，在点B处的切线为，直线与交于点M. (1)设直线，的斜率分别为，，证明：； (2)设线段AB的中点为N，求的取值范围. 27．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）已知抛物线的焦点为，点满足. (1)求的值及的方程； (2)若过点F的直线l交C于M，N两点，求的最小值及此时直线l的方程. 28．（23-24高二上·湖南长沙·期末）若点在抛物线. (1)求抛物线的方程； (2)过轴上点作两条相互垂直的直线与抛物线分别交于，，，，且，分别是线段，的中点，求面积的最小值. 29．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知的一个顶点为抛物线的顶点O，两点都在抛物线上，且. (1)求证：直线必过一定点； (2)求面积的最小值. 30．（23-24高二上·湖南·期末）已知抛物线：上一点到焦点的距离为2. (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线交抛物线于，两点，点，连接交抛物线于另一点，连接交抛物线于另一点，且与的面积之比为，求直线的方程. 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 抛物线（两大题型+优选提升题） 抛物线及其标准方程（7-8为多选） 1．（23-24高二上·湖南永州·期末）抛物线C：上的点与焦点F的距离是2，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】由抛物线的定义，列方程求解的值. 【详解】由抛物线的方程可得准线方程为， 根据抛物线定义有，可得. 故选：D 2．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）抛物线的焦点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的标准方程可得出该抛物线的焦点坐标. 【详解】对于抛物线，，则，，故该抛物线的焦点坐标为. 故选：C. 3．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）若抛物线的焦点到直线的距离为，则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点到直线的距离公式可得，即可由抛物线的准线方程求解. 【详解】由题意知的焦点坐标为()，则，解得（负值舍）， 所以的准线方程为，即. 故选：D 4．（23-24高二上·湖南张家界·期末）抛物线的焦点到直线的距离等于（    ） A．1 B． C． D．4 【答案】B 【分析】首先求焦点坐标，再求点到直线的距离. 【详解】抛物线的焦点为，焦点到直线的距离为. 故选：B 5．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到该抛物线的准线的距离之和的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，确定点与抛物线的位置关系，再借助抛物线定义求解即得. 【详解】抛物线中，当时，，则点在抛物线外， 抛物线的焦点，准线，过作直线的垂线，垂足为，连接， 则，于是， 当且仅当点是线段与抛物线的交点时取等号， 所以点到点的距离与到该抛物线的准线的距离之和的最小值为. 故选：C 6．（23-24高二上·湖南·期末）过抛物线的焦点的直线与抛物线C相交于A，B两点，若线段中点的坐标为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】 利用点差法及中点与焦点坐标分别表示直线的斜率，可建立关于的方程，求解可得. 【详解】 设，，则， 两式作差得，， 当时，则中点坐标为焦点，不满足题意； 当时，得． 设线段中点，因为坐标，且过焦点， 所以， 则的斜率， 解得． 故选：A. 7．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）给出如下四个命题正确的是（    ） A．方程表示的图形是圆 B．椭圆的离心率 C．抛物线的准线方程是 D．双曲线的渐近线方程是 【答案】BC 【分析】对于A选项，配方得其表示点；对于B选项，求得再得，直接求解离心率；对于C选项，由抛物线标准方程即可判断；对于D选项，由方程得即可判断； 【详解】A选项，， 故，表示点，故A错误； B选项，由题知， 所以，所以离心率，故B正确； C选项，抛物线，准线方程是，故C正确； D选项，由双曲线方程，得，且焦点在轴上， 故渐近线方程是，故D错误. 故选：BC. 8．（23-24高二上·湖南长沙·期末）直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，下列说法正确的是（    ） A．， B．直线的斜率为1时， C．的最小值为6 D．以为直径的圆与的准线相切 【答案】AD 【分析】直线的方程可设为，与抛物线方程联立可得，, ,，从而可判断A；根据可判断BC；设线段的中点为，求出点到准线的距离,即可判断D. 【详解】依题意可知直线过抛物线的焦点,且直线的方程可设为,    将直线方程与抛物线方程联立可得， 因为，所以，, 所以, ，故A正确； , 当时,有最小值4，故C错误； 当直线的斜率为1时，则，故，故B错误； 设线段的中点为，则, 所以点到准线的距离为, 所以以为直径的圆与的准线相切,故D正确. 故选:AD. 9．（23-24高二上·湖南张家界·期末）已知抛物线的准线方程为，则抛物线的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据抛物线方程与准线的关系，列式求解. 【详解】设抛物线的标准方程为，由题意可知，， 得，所以抛物线的标准方程为. 故答案为： 10．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）已知双曲线 的右焦点与抛物线的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为． (1)求双曲线的方程； (2)经过点的直线与双曲线的右支交于，两点，与轴交于点，点关于原点的对称点为点，求的面积的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意得出的值，结合关系式即可求解； （2）由题知直线的斜率存在，设出直线方程，与双曲线联立，利用韦达定理得到，，然后表示出，根据直线与双曲线右支有两个交点，得到的范围，即可得出结果. 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为， 由题意得，， 又，解得， 所以双曲线的方程为：. （2）由题意知直线的斜率存在， 设直线方程为，得， 设， 联立，整理可得． 则，， ， 直线与双曲线右支有两个交点， ，即， 设， 则 ， ， 即的面积的取值范围是. 抛物线的简单几何性质（12-15为多选） 11．（23-24高二上·湖南·期末）设为抛物线的焦点，点为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，进而可得，由求解. 【详解】因为为抛物线的焦点，所以，所以抛物线的焦点的坐标为， 由抛物线定义可知2， 又，所以，解得，故， 所以为原点， 从而. 故选：D. 12．（23-24高二上·湖南·期末）已知抛物线，直线过的焦点，且与交于两点，则（    ） A．的准线方程为 B．线段的长度的最小值为4 C．存在唯一直线，使得为线段的中点 D．以线段为直径的圆与的准线相切 【答案】BCD 【分析】由抛物线方程就可求出准线方程，即可判断A；设直线的方程为，，联立方程，利用韦达定理求出，进而可求出，再逐一判断BCD即可. 【详解】对于A，抛物线的准线方程为，故A错误； 对于B，， 由题意可得直线的斜率不等于零，设方程为，， 联立，消得，， 则，所以， 所以，时取等号， 所以线段的长度的最小值为4，故B正确； 对于C，由B选项得线段的中点坐标为， 若点为线段的中点， 则，解得， 所以存在唯一直线，使得为线段的中点，故C正确； 对于D，由C选项知线段的中点坐标为， 则中点到准线的距离为， 所以以线段为直径的圆与的准线相切，故D正确. 故选：BCD. 13．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知为抛物线的焦点，直线过点且与交于两点，为坐标原点，则（    ） A．的最小值为 B．以线段为直径的圆与的准线相离 C．的面积为定值 D． 【答案】BD 【分析】对于A，由抛物线定义验证即可；对于B，由抛物线定义结合三角形三边关系即可判断；对于C，的面积为，由此即可判断；对于D，由韦达定理结合直线垂直的代数判定即可验证. 【详解】 设. 对于A，若，则与坐标原点重合，直线为轴，与不可能有两个交点，故A错误； 对于B，如图，设的中点为，过分别向准线引垂线，垂足分别为，则， 因此以线段为直径的圆与的准线相离，故B正确； 对于C，的面积为为定值，显然不是定值，故C错误； 对于D，由题意，直线斜率不为0，设直线的方程为，联立与，得， 从而根据根与系数的关系得此时， 因此，故D正确. 故选：BD. 【点睛】关键点睛：判断C选项的关键是由表达式并结合图形，判断B选项的关键是结合抛物线的定义以及三角形三边关系. 14．（23-24高二上·湖南常德·期末）已知抛物线经过点，其焦点为，过点的直线与抛物线交于点，，设直线，的斜率分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由点坐标代入求出，即可求出抛物线方程与焦点坐标，设直线，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据数量积的坐标表示判断B，根据斜率公式判断C，根据焦点弦公式判断D. 【详解】因为抛物线经过点，所以，解得，故A错误； 所以抛物线方程为，则焦点， 设直线，则，消去整理得， 则，所以，， 则， ， 所以，，所以，故B错误； ，故C正确； 所以，故D正确； 故选：CD 15．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知，是抛物线上两点，焦点为F，抛物线上一点到焦点的距离为，下列说法正确的是（    ） A． B．若，则直线恒过定点 C．若的外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的半径为 D．若，则直线的斜率为 【答案】AD 【分析】根据抛物线定义可对A项判断；设出直线方程，然后与抛物线联立，利用韦达定理可对B、C项判断.利用数型结合及，即可求解判断D项. 【详解】对于A：根据抛物线的定义知，得，故A选项正确； 对于B：设，，因为直线斜率必存在， 设直线的方程为，代入得，， 所以，，所以， 解得，所以直线恒过定点，故B选项错误； 对于C：的外接圆与抛物线的准线相切，，， 因为外接圆的圆心为各边垂直平分线的交点， 从而可得外接圆圆心的纵坐标为，又与抛物线准线相切， 所以得外接圆半径为，故C选项错误；    对于D：因为，所以直线过焦点，且， 设直线的倾斜角为，由抛物线性质知的斜率为互为相反数的两个值， 如图，过，分别向准线作垂线，，过向作垂线， 设，则，，，， ，，， 根据对称性可得，故D选项正确. 故选：AD. 16．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知抛物线的焦点为，过的直线与拋物线交于两点，（为坐标原点），则分别在点的抛物线的切线交点轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】由标准方程表示出焦点坐标，设出直线方程与交点坐标，联立方程，写出韦达定理，利用数量积可得，进而求切线方程和交点坐标，根据交点坐标分析轨迹分析. 【详解】由题意可得，设， 显然直线的斜率存在，则可设为， 联立可得，消去可得， 则，可得，， 则 ， 因为，， 由可得， 由，解得. 此时抛物线，即，可得， 可知在点处的切线斜率存在，设切线方程为， 联立方程，消去y得， 可得，解得， 则切线方程为，即， 同理可得在点处的切线方程为， 联立方程，解得， 即交点坐标为，可知所求轨迹方程为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：与相交有关的向量问题的解决方法 在解决直线与圆锥曲线相交，所得弦端点的有关的向量问题时，一般需利用相应的知识，将该关系转化为端点坐标满足的数量关系，再将其用横(纵)坐标的方程表示，从而得到参数满足的数量关系，进而求解． 17．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）已知动点到直线的距离比它到定点的距离多1 (1)求的方程； (2)若过点的直线与相交于A，B两点，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由抛物线的定义理解动点轨迹，即可写出动点轨迹方程； (2)设出直线方程，代入抛物线方程，消元后得出韦达定理，由题设等式解得的值，检验即得 【详解】（1）因为动点到直线的距离比它到定点 所以动点到直线的距离等于它到定点 则动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 故Γ的方程为； （2）设直线的方程为，，， 联立，消去x并整理得， 此时，由韦达定理得，， 又因，所以，则， 代入，得， 解之得 当时，直线l的方程为；与只有一个交点所以不符合 当时，直线l的方程． 故直线l的方程为． 18．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）已知动点到直线的距离比它到定点的距离多1，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)若过点的直线与相交于两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线的定义理解动点轨迹，即可写出动点轨迹方程； （2）设出直线方程，代入抛物线方程，消元后得出韦达定理，由题设等式解得的值，检验即得. 【详解】（1）由动点到直线的距离比它到定点的距离多1， 知动点到直线的距离等于它到定点的距离， 故动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 故的方程为：. （2） 如图，由题意可设直线， 代入，消去得：. 显然有，设， 则. 由，知. 得或， 解得. 当时，直线经过原点，显然不合题意； 当时，直线，符合题意； 综上，所求直线的方程为：. 19．（23-24高二上·湖南永州·期末）已知点A，B关于坐标原点O对称，，圆M过点A，B且与直线相切，记圆心M的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过曲线上的动点P作圆G：的切线，，交曲线于C，D两点，对任意的动点P，都有直线与圆G相切，求t的值． 【答案】(1)； (2)2. 【分析】（1）根据给定条件，利用圆的性质探求关系等式，再列出方程化简即得. （2）设，切线，取求出值，再由任意点求出直线方程，并证明与圆相切即可得解. 【详解】（1）设点，由圆M过点A，B，得，又圆M与直线相切， 则，连接，而是的中点，于是， 因此，化简得， 所以曲线的方程为. （2）由（1）设，过点作圆的切线， 令，则切线，由对称性得直线，则，解得， 下面证明在任意情况下直线必与圆相切， 由直线与圆相切，得，切线的斜率分别为， 整理得，，， 又切线与曲线相交于，， 由消去y得， 显然是方程，即的两个根， 于是，即，又是方程， 即的两个根，于是，即， 显然直线，即， 而， 即， 所直线，即， 圆心到直线的距离， 所以直线必与圆相切，即. 【点睛】关键点睛：本题从特殊情况入手，求出值，再就一般情况证明直线为圆的切线是解题的关键． 20．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知抛物线上一点的横坐标为到抛物线的焦点的距离为2. (1)求抛物线的方程； (2)直线交抛物线于两点，为坐标原点，满足，求面积的最小值. 【答案】(1) (2)32 【分析】 （1）根据抛物线的定义，结合题目中的方程，表示出点的坐标，并建立方程，可得答案； （2）设出直线方程，并联立方程，写出韦达定理，根据题目中的等式，求得参数，利用两点距离公式以及点到直线距离公式，结合三角形面积公式整理函数解析式，可得答案. 【详解】（1）令，因为到抛物线的焦点的距离为2，所以， 代入得：，且，解得， 故求抛物线的方程为： （2）令直线的方程为：. 联立直线与抛物线的方程得：，消去可得： ，由题意可得， 故. 因为，所以，又，则， 解得，显然恒成立. 得直线的方程为：. ， 原点到直线的距离， 所以面积， 当时，面积的最小值为32. 三、单选题 21．（23-24高二上·湖南长沙·期末）过拋物线上一动点作圆（r为常数且）的两条切线，切点分别为，若的最小值是，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】设，利用圆的切线性质，借助图形的面积把表示为的函数，再求出函数的最小值即可. 【详解】设，则，圆的圆心，半径为， 由切圆于点，得， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 可知的最小值为，整理可得，解得或， 因为，所以，即. 故选：A. 【点睛】思路点睛：本题考查圆和抛物线综合问题，具体思路如下： （1）当四边形对角线互相垂直时，四边形面积等于对角线乘积的一半. （2）根据圆的切线垂直于过切点的半径，可把四边形面积转化为两个全等三角形面积的和. （3）设，利用圆的切线性质，借助图形的面积把表示为的函数，求出函数的最小值，利用等量关系即可得到结果. 四、填空题 22．（23-24高二上·湖南·期末）已知为坐标原点，直线与抛物线交于，两点，且，点为点在直线上的射影，则点到直线的距离的最大值为 . 【答案】8 【分析】设直线方程，联立直线与抛物线方程，得到，，由得，从而求出直线方程，分和两种情况进行求解即可. 【详解】由题可知直线斜率存在，设直线，，， 联立方程：，整理得：，， ，. ， 得或（舍）.故直线， 当时，点，点到直线的距离为； 当时，直线，又直线，消去整理得：， 即此时点的轨迹方程为，（或者利用直线过定点结合，得出点的轨迹为以为直径的圆）， 点到直线距离的最大值为， 综合可知点到直线的距离的最大值为8. 故答案为：8. 23．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知N为抛物线上的任意一点，M为圆上的一点，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意画出示意图，由图中几何关系取线段中点，中点，连接，可证得所以，即，可得，即可将转化为，然后根据当、、三点不共线时，，当、、三点共线时，，将问题转化为的最小值即为的最小值，再根据两点间距离公式求出的最小值即可. 【详解】 根据题意可得抛物线与圆都关于轴对称，且圆的圆心坐标为，半径为. 因为，圆下方与轴交点坐标为， 取线段中点，中点，可得，连接，画出示意图如上图所示. 因为、分别为和的中点， 所以，，所以， 又因为，， 所以，所以， 因为，所以， 所以， 当且仅当、、三点共线时取到等号，此时点为线段与圆的交点. 所以的最小值即为的最小值. 因为N为抛物线上的任意一点，设，， 因为， 则， 当时，， 即的最小值为. 故答案为：. 24．（23-24高二上·湖南株洲·期末）已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是 ． 【答案】12 【分析】先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及可求出，进而求出直线在轴上的截距，最后将面积之和表示出来，利用基本不等式求最值，即可得到结果． 【详解】由题意可知：， 设直线的方程为：，点， 直线与x轴的交点为， 联立方程，消去x得， 根据韦达定理有， 因为，所以，解得或， 由点在该抛物线上且位于轴的两侧，可知， 所以，故，此时，即， 不妨设点A在轴上方，则，，且， 则 , 当且仅当，即时，等号成立， 所以与面积之和的最小值是. 故答案为：12．    五、解答题 25．（23-24高二上·湖南·期末）若将任意平面向量绕其起点E沿逆时针方向旋转角，得到向量，则称点F绕点E逆时针方向旋转角得到点曲线是由椭圆在平面直角坐标系中绕原点O逆时针旋转所得的斜椭圆 (1)求椭圆C的标准方程. (2)已知M，N是椭圆C长轴的两个顶点，P，Q为椭圆C上异于M，N且关于y轴对称的两点.若直线MP与直线NQ交于点T，证明点T在某定曲线上，并求出该曲线的方程. (3)过椭圆C的上焦点作平行于x轴的直线m，交椭圆C于A，B两点，D是抛物线上不同于点A，B的动点.若直线DA与椭圆C的另一个交点为G，直线DB与椭圆C的另一个交点为H，试问直线HG是否过定点?若是，求该定点的坐标;若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析， (3)直线GH过定点 【分析】（1）方法一：设椭圆C上任意一点坐标，根据新定义，旋转后求得新的点坐标，该点在斜椭圆上，代入化简即可得解；方法二：旋转后，斜椭圆的对称轴为和，对称轴与曲线的交点之间的距离分别为椭圆C的长轴长和短轴长，联立方程求出交点坐标，利用两点间距离公式，分别可以求得和从而得解. （2）不妨设，设，，则利于向量法进行求解. （3）不妨设，设，，，，得出AG及BH的方程，联立方程组，进而得出定点. 【详解】（1）（方法一） 设为椭圆C上任意一点，则为斜椭圆上一点， 则， 化简得，故椭圆C的标准方程为 方法二 由得或, 由得或， 椭圆C的长轴长为，得， 椭圆C的短轴长为，得 故椭圆C的标准方程为 （2）根据椭圆的对称性，不妨设，，设，，则， ，，由P，M，T三点共线，得， ，， 由Q，N，T三点共线，得，则， 因为，所以，即， 故点T在某定曲线上，该定曲线的方程为 （3）根据椭圆的对称性，不妨设， 设，，，， 直线AG的方程为，直线BH的方程为 由得， 所以，得，则 同理可得， 由对称性知，若过定点，则定点在y轴上. 取，则，， 则直线GH的方程为，得定点为； 下面证明直线GH过定点 因为，， 所以，所以直线GH过定点. 【点睛】关键点点睛：第（1）小问的关键是理解旋转前后哪些量变化，哪些量没有变从而可以得解；第（2）小问的关键是借助向量和三点共线联立等式关系，从而出方程；第（3）小问的关键是巧令，然后写出直线方程，联立后借助韦达定理求出另一个交点中的坐标，写出直线HG的方程，从而求出定点. 26．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知抛物线，过点的直线l交抛物线于A，B两点，抛物线在点A处的切线为，在点B处的切线为，直线与交于点M. (1)设直线，的斜率分别为，，证明：； (2)设线段AB的中点为N，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设切线方程，分别用点的横坐标表示，联立直线l与抛物线的方程，结合韦达定理，可得结果； （2）联立直线方程求点M坐标，由中点坐标公式可得点坐标，从而得到，再由弦长公式可得，由的表达式求取值范围即可. 【详解】（1）由题意知，直线l的斜率存在， 设点，，直线l的方程为， 由得， ，，. 由，得切点，， 则切线的方程为，代入，得， 所以，解得， 同理，得切线的斜率， 所以. （2）由（1）可得， 故，. 由（1）得， 可化为，① 同理得，② 由①②，得，，即， 则. ， 所以. 由，，得，故， 即的取值范围为. 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 27．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）已知抛物线的焦点为，点满足. (1)求的值及的方程； (2)若过点F的直线l交C于M，N两点，求的最小值及此时直线l的方程. 【答案】(1)； (2)最小值为； 【分析】（1）根据抛物线的定义计算即可； （2）根据韦达定理及二次函数最值计算即可. 【详解】（1）因为抛物线的焦点为，则， 又点满足，则， 即，解得， 所以的方程为. （2）设点，，抛物线的焦点坐标为，， 当直线l的斜率等于0时，不存在两个交点，不符合题意； 当直线l的斜率不等于0时，不妨设过抛物线焦点的直线l的方程为：； 联立，消去x得：， 易得，由韦达定理得，， 易知， 故 ． 所以当时，取得最小值为， 此时直线l的方程为，即． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 28．（23-24高二上·湖南长沙·期末）若点在抛物线. (1)求抛物线的方程； (2)过轴上点作两条相互垂直的直线与抛物线分别交于，，，，且，分别是线段，的中点，求面积的最小值. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）将点代入方程计算即可得； （2）设出直线，结合韦达定理表示出各点坐标，结合题目条件表示出面积，借助基本不等式解决最值问题. 【详解】（1）将代入，即有，故或（舍去）， 故的方程为； （2） 设，由题意可得直线、斜率存在， 故可设直线、方程分别为，， 由两直线互相垂直，故， 设、、、四点坐标分别为、、、， 联立直线与方程，有，消去，有， ，，， 同理可得，， 则，， 故，同理可得， 则， 同理可得， 由、互相垂直，故， 故 ， 当且仅当时等号成立， 故的最小值为4. 29．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知的一个顶点为抛物线的顶点O，两点都在抛物线上，且. (1)求证：直线必过一定点； (2)求面积的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由于，设所在的直线的方程为，则直线的方程为，分别与抛物线方程组方程组解得点坐标，由直线方程可写出定点，要注意直线斜率不存在时情况； （2）由（1）知直线过定点，可设直线的方程为，与抛物线组方程组，由韦达定理与面积公式，可求得面积最小值． 【详解】（1）由题设可知直线的斜率都存在且不等于， 设所在的直线的方程为， 则直线的方程为， 由，解得或，即点的坐标为， 同理可求得， ∴当，即时，直线的方程为， 化简并整理，得， 当时，恒有，此时直线过定点， 当，即时，直线的方程为，过点， 综上直线过定点； （2）由于直线过定点，且直线的斜率不等于零， 则可设直线的方程为，， 由，消去并整理得， ∴，， 于是， ∴当时，的面积取得最小值为. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 30．（23-24高二上·湖南·期末）已知抛物线：上一点到焦点的距离为2. (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线交抛物线于，两点，点，连接交抛物线于另一点，连接交抛物线于另一点，且与的面积之比为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】 （1）根据抛物线的定义结合题意列方程可求出，从而可求得抛物线的方程； （2）设直线的方程为，，，将直线方程代入抛物线方程化简，然后利用根与系数的关系，表示出直线的方程代入抛物线方程化简利用根与系数的关系可表示出点的横坐标，同理可表示出点的横坐标，再由化简可求出的值，从而可求出直线的方程. 【详解】（1） 由题可知焦点的坐标为， 所以由抛物线的定义可知， 即，所以抛物线的方程为. （2） 易知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为， ，， 由，得， 则，即或，. 因为，所以， 所以直线的方程为， 由，得， 设，则，得， 设，同理可得， 则 ， 得，， 故直线的方程为或.    【点睛】 关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线中的三角形面积问题，解题的关键是分别表示出直线的方程，代入抛物线方程中化简利用根与系数的关系，表示出点的坐标，再根据列方程可求了直线的斜率，考查计算能力，属于较难题. 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$