专题06 双曲线（五大题型优选提升题，50题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（湖南专用）

专题06 双曲线（五大题型+优选提升题，50题） 双曲线及其标准方程（5-6为多选） 1．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，、分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上一点，若，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】利用双曲线的渐近线方程求出的值，求出的取值范围，结合双曲线的定义可求得的值. 【详解】双曲线的渐近线方程为，由题意可得，则， 因为，则，所以，， 设点，其中或， 则， 若点在双曲线的右支上，则，则， 当点在双曲线的左支上，则，则. 由双曲线的定义可知，解得（舍）或. 故选：D. 2．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知曲线的焦距为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆和双曲线的标准方程即可求解. 【详解】由题意知，该曲线的半焦距为， 若该曲线为椭圆， 则或， 可得(舍去)或， 若该曲线为双曲线， 则，可得(舍去)， 综上，. 故选：B 3．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）若方程表示曲线C，则下列说法正确的是（    ） A．若，则曲线C为椭圆 B．若曲线C为双曲线，则 C．曲线C不可能是圆 D．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则 【答案】D 【分析】根据椭圆，双曲线，圆以及焦点在x轴上的椭圆对方程结构的要求，建立不等式组求之即得. 【详解】对于A项，方程表示椭圆等价于，解得：，故A项错误； 对于B项，方程表示双曲线等价于，解得：或，故B项错误； 对于C项，方程表示圆，等价于解得：,故C项错误； 对于D项，方程表示焦点在x轴上的椭圆等价于，解得：，故D项正确. 故选：D. 4．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，，且，则的值为（    ） A． B．4 C．5 D．8 【答案】D 【分析】由三角形面积公式结合双曲线定义先求得，再结合勾股定理即可得解. 【详解】不妨设点在双曲线的左支，且，又，所以， 因为，且， 所以，解得， 所以， 在直角三角形中，由勾股定理有，解得. 故选：D. 5．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）已知曲线（    ） A．表示两条直线 B．表示圆 C．表示焦点在轴上的双曲线 D．表示焦点在轴上的椭圆 【答案】BCD 【分析】根据圆、双曲线、椭圆的标准方程逐项判断即可. 【详解】对于A，当时，曲线为表示焦点在轴上的双曲线，故A错误； 对于B，当时，曲线为表示圆，故B正确； 对于C，当时，曲线为表示焦点在轴上的双曲线，故C正确； 对于D，当时，，则曲线为表示焦点在轴上的椭圆，故D正确. 故选：BCD. 6．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知曲线，则（    ） A．若，则是圆，其半径为 B．若，则是两条平行于轴的直线 C．若，则是椭圆，其焦点在轴上 D．若，则是双曲线，其焦点在轴上 【答案】AD 【分析】由题意结合的取值，逐一对方程进行变形，结合方程表示相应圆锥曲线的条件逐一判断即可. 【详解】对于A，由题意若，则是圆，其半径为，故A正确； 对于B，若，则是两条平行于轴的直线，故B错误； 对于C，若，则是椭圆，其焦点在轴上，故C错误； 对于D，若，则是双曲线，其焦点在轴上，故D正确. 故选：AD. 7．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）如果双曲线右支上一点到左焦点的距离等于，则点到另一个焦点的距离为 . 【答案】2 【分析】借助双曲线定义即可得. 【详解】由双曲线定义可得， 又为右支上一点，故， 即. 故答案为：2. 8．（23-24高二上·湖南益阳·期末）双曲线的离心率，则 ． 【答案】12 【分析】根据双曲线方程可得：，再根据离心率求出，进而求解. 【详解】由双曲线可得：， 又因为双曲线的离心率，所以， 则， 故答案为：. 9．（23-24高二上·湖南益阳·期末）的坐标满足方程：，则M的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】由题意，结合双曲线的定义即可求解. 【详解】设，， 由于动点的轨迹方程为 则， 故点M到定点与到定点的距离差的绝对值为8， 则动点的轨迹是以为焦点的双曲线， 由于，，则， 故M的轨迹方程为：， 故答案为：. 10．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，渐近线方程是，点，且的面积为6． (1)求双曲线C的标准方程； (2)直线与双曲线C交于不同的两点P，Q，若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）根据题意，由条件结合双曲线的关系，列出方程，即可得到结果； （2）根据题意，设，，联立直线与椭圆方程结合韦达定理，由知，列出不等式即可得到结果. 【详解】（1）由题意得，① ，② ，③ 由①②③可得，， 双曲线C的标准方程是． （2） 由题意知直线l不过点A． 设，，线段PQ的中点为，连接AD 将与联立，消去y， 整理得， 由且，得，④ ，， ，． 由知，，又， ，化简得，⑤ 由④⑤，得或．由，得． 综上，实数m的取值范围是或． 已知方程求双曲线的渐近线（15-19为多选） 11．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知双曲线，则下列结论正确的是（    ） A．的实轴长为4 B．的焦距为10 C．的离心率 D．的渐近线方程为 【答案】B 【分析】根据双曲线，求得,再逐项判断. 【详解】解：因为双曲线，所以, 则，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，的渐近线方程为，故D错误， 故选：B 12．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的标准方程直接写出渐近线方程即可. 【详解】双曲线的渐近线方程是. 故选：B 13．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为.过作的一条渐近线的垂线，垂足为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线可得到渐近线方程，，然后利用点到直线的距离公式求得，接着在利用余弦定理即可求出答案 【详解】由双曲线可得，渐近线方程为，离心率为， 不妨取渐近线即，所以到渐近线的距离为， 在中，，所以，，即， 在中，即， 所以， 所以 故选：D 14．（23-24高二上·湖南·期末）若双曲线的离心率为，则直线与两条渐近线围成的三角形的面积为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线的离心率求出双曲线的渐近线的方程，再求出直线，与两条渐近线的交点坐标，由面积公式即可求出答案. 【详解】因为双曲线的离心率为， 所以，所以，所以渐近线的方程为， 所以直线即直线，与两条渐近线的交点坐标为， 所以直线与两条渐近线围成的三角形的面积为． 故选:C． 15．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知曲线，则（    ） A．曲线在第一象限为双曲线的一部分 B．曲线的图象关于原点对称 C．直线与曲线没有交点 D．存在过原点的直线与曲线有三个交点 【答案】AC 【分析】分，，和四种情况，得到曲线在各个象限上的曲线方程，得到答案. 【详解】当时，曲线，为焦点在轴上的双曲线的一部分，渐近线为， 当时，曲线，为焦点在轴的椭圆的一部分； 当时，曲线，为焦点在轴上的双曲线的一部分，渐近线为， 当时，曲线没有图象. 由图象可知，A正确，B错误，结合曲线的渐近线可知C正确，D错误. 故选：AC 16．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）已知双曲线C：经过点，并且它的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则下列结论正确的是（    ） A．的方程为 B．C的渐近线为 C．的离心率为 D．直线与只有一个公共点 【答案】ACD 【分析】由已知结合圆的弦长公式及点到直线的距离可知，，又点在双曲线上，求出双曲线的方程，再利用双曲线的性质依次判断各个选项. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 圆心到渐近线距离为， 则点到渐近线的距离为，于是，， 由，双曲线C化为，又点在双曲线上， 所以，所以，.所以双曲线方程为，故A正确； 由，所以C的渐近线为，故B错误； 双曲线C的离心率，故C正确； 联立，消去x得，因为，故D正确. 故选：ACD. 17．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知点P为双曲线的右支上一点，、为双曲线C的两条渐近线，过点P分别作，垂足依次为A、B，O为坐标原点，则（    ） A．为定值 B． C．若是直角三角形时，的周长是 D．若是正三角形时， 【答案】ABC 【分析】A选项，求出渐近线方程，设出，表达出，得到，利用三角形面积公式结合求出面积；B选项，由余弦定理求出，结合，得到B正确；C选项，得到或与重合，不妨令与重合，得到，结合，列出方程，得到，结合，求出，从而求出周长；D选项，分析得到点位于轴上，即，求出，利用三角形面积公式求出答案. 【详解】不妨令，，设，则， 则，， 由渐近线方程可知：， 所以，故， 故，A正确； 由余弦定理得：， 而， 故，， 故，B正确； 因为，若是直角三角形，故或， 所以或与重合， 不妨令与重合， ， 故，整理得：， 解得：， 因为，所以，故， 的周长是 ，C正确； 因为，若是正三角形，则， 由对称性可知：点位于轴上，即， 故，所以， 则，D错误. 故选：ABC 【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 18．（23-24高二上·湖南怀化·期末）设双曲线的左､右焦点分别为，点在的右支上，且不与的顶点重合．则下列命题中正确的是（    ） A．双曲线的两条渐近线的方程是 B．双曲线的离心率等于 C．若，则的面积等于4 D．若，则 【答案】BCD 【分析】本题根据双曲线的渐近线和离心率、三角形面积求法及余弦定理进行逐项分析即可求解. 【详解】由双曲线标准方程知，， A选项：知双曲线的渐近线方程为，故A错误； B选项：双曲线的离心率，故B正确； C选项：由双曲线定义知，若，则， 即，即，得， 所以，故C正确； D选项：若，则，．在中，由余弦定理， 得，故D正确； 故选：BCD 19．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知双曲线：，则下列选项中正确的是（    ） A．的焦点坐标为 B．的顶点坐标为 C．的离心率为 D．的焦点到渐近线的距离为3 【答案】BC 【分析】由题意可得，，，根据焦点在轴上，逐一判断即可. 【详解】由已知，双曲线的焦点在轴上，且，，则， 所以，，， 所以的焦点坐标为、，故A项错误； 顶点坐标为、，故B项正确； 离心率，所以C项正确； 渐近线方程为与， 焦点到渐近线的距离为，所以D项错误. 故选：BC. 20．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）双曲线的一条渐近线方程为 . 【答案】（或，答案不唯一） 【分析】根据双曲线渐近线方程的求法求得正确答案. 【详解】由得，，焦点在轴上，所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为：（或答案不唯一） 根据双曲线的渐近线求标准方程（22为多选） 21．（23-24高二上·湖南永州·期末）若双曲线：的虚轴长为8，渐近线方程为，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据虚轴、渐近线的定义求解. 【详解】由题可得解得，所以双曲线方程为， 故选:C. 22．（23-24高二上·湖南·期末）已知双曲线：的左，右焦点分别是，，渐近线方程为，点在双曲线上，点为双曲线右支上任一点，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．右焦点到渐近线的距离为6 C．过双曲线右焦点的直线与交于，两点，当时，直线有3条 D．若直线与双曲线的另一个交点为，为的中点，为原点，则直线与直线的斜率之积为9 【答案】BD 【分析】根据渐线以及可得双曲线的方程为，即可根据点到直线的距离公式以及双曲线的离心率公式求解AB,根据有斜率和无斜率，分别求解两种情况下的最短弦长，即可进行判断C，设点坐标，根据点差法即可由中点弦的斜率公式化简求解D. 【详解】因为渐近线方程为，所以可设双曲线：为：，又因为点在双曲线上，所以，从而双曲线：， 故，所以离心率为，故A错误； 由题可知右焦点为，所以点到渐近线的距离为，故B正确； 若轴，当时，将其代入得，则，所以与右支不可能有两个交点， 若与轴不垂直，与的左，右支交于，两点，因为，所以存在两条直线分别交左右两支各一点. 综上可得：满足条件的直线有2条，故C错误； 设，，，则，，因为，在双曲线上，所以①，②，①②并整理得，因为，，所以，，故D正确. 故选：BD. 【点睛】1.求圆锥曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值． 2.解答直线与圆锥曲线相交的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 23．（23-24高二上·湖南·期末）若双曲线的右焦点在圆上，则该双曲线的渐近线方程为 . 【答案】/和 【分析】由题意可得双曲线的右焦点是圆与轴的一个交点，由此列方程可求出的值，从而可求出双曲线的渐近线方程 【详解】将代入，解得或. 因为，所以，解得， 故双曲线的渐近线方程为. 故答案为： 24．（23-24高二上·湖南湘潭·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若O为坐标原点，过的直线l交双曲线C于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据，，以及，求解即可； （2）设直线的方程为与椭圆联立，利用弦长公式表示，根据点到直线的距离公式求解高，即可根据三角形面积公式进行求解. 【详解】（1）由题意得：，，， 解得：，，， 双曲线的标准方程为． （2）由题意可知，直线的斜率一定存在， 设直线的方程为，，，，， 联立方程组，消去整理得， 则， 原点到直线的距离为 ， 所以， 解得或，故 或， 故直线方程为或 25．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，的一条渐近线方程为，且. (1)求的方程； (2)，为双曲线右支上两个不同的点，线段的中垂线过点，求直线的斜率的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助渐近线斜率结合、、间的关系计算即可得解； （2）设出直线方程与双曲线方程联立后，可得与有关一元二次方程，即可得与交点横坐标有关韦达定理，结合中垂线的性质计算可得所设直线方程的斜率与纵截距的具体关系，再利用、都在右支上，结合根的判别式计算即可得解. 【详解】（1）由题得，解得， 所以双曲线的方程为； （2）由题意可知直线AB斜率存在且， 设，设的中点为， 由，消去并整理得，， 则，即， ，， ， 于是点为，， 由中垂线性质知，所以，解得：， 由，在双曲线的右支上可得： ，， 则，，则， 又，即，整理得， 解得或，故，即. 综上可得，． 求双曲线的离心率或离心率取值范围（28-29为多选） 26．（23-24高二上·湖南·期末）如图，已知是双曲线的左､右焦点，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义和性质分析可得，进而可得，结合勾股定理运算求解. 【详解】延长与双曲线交于点， 因为，根据对称性可知， 设，则， 可得，即， 所以，则，， 即，可知， 在中，由勾股定理得， 即，解得. 故选：D.    【点睛】方法点睛：1．双曲线离心率(离心率范围)的求法 求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值； 2．焦点三角形的作用 在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来． 27．（23-24高二上·湖南湘潭·期末）已知双曲线的右焦点为，M是双曲线的左支上的一点，点，垂足为D，，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义得，，焦点三角形中由余弦定理可得进而由勾股定理里即可得，由齐次式即可求解. 【详解】设左焦点为,在直角中，， 设 则，，故在焦点三角形中， ，解得 ，由于，故舍去，只取 在直角中，，故， 化简得，进而，解得 或（舍去），故， 故选：D 28．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知曲线，则下列说法正确的为（    ） A．若该曲线是双曲线方程，则，或 B．若则该曲线为椭圆 C．若该曲线离心率为，则 D．若该曲线为焦点在y轴上双曲线，则离心率 【答案】AD 【分析】根据双曲线的结构特征求出m的范围，即可判断A；取即可排除B；分焦点在x轴上和在y轴上求解出m的值，即可判断C；根据焦点位置求出m的范围，然后表示出离心率求解即可判断D. 【详解】对于A，若该曲线是双曲线方程，则解得，或，A正确； 对于B，当时，曲线方程为，表示圆，B错误； 对于C，若该曲线离心率为，则曲线表示椭圆， 当焦点在x轴上时，，解得， 当焦点在y轴上时，，解得，C错误； 对于D，若该曲线为焦点在y轴上双曲线，则，解得， ， 因为，则，所以， 所以，D正确. 故选：AD 29．（23-24高二上·湖南·期末）以下关于圆锥曲线的四个命题中，真命题为（    ） A．设A，B为两个定点，为非零常数，若，则点P的轨迹是椭圆 B．过双曲线焦点的最短弦长为 C．椭圆与双曲线有相同的焦点 D．方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 【答案】CD 【分析】A选项，可举出反例；B选项，计算出通径长，若，则有，B错误；C选项，焦点均在轴上，且，故C正确；D选项，计算出两根，结合椭圆和双曲线离心率的范围得到答案. 【详解】A选项，若，此时点P的轨迹不是椭圆，A错误； B选项，设双曲线方程为， 当过双曲线焦点的直线与实轴垂直时，令，则，此时弦长为， 若，则有，此时最短弦长不为，B错误； C选项，椭圆与双曲线的焦点均在轴上，且， 故焦点相同，C正确； D选项，，解得或，由于， 故的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，D正确. 故选：CD 30．（23-24高二上·湖南长沙·期末）设点分别为双曲线的左、右焦点，点分别在双曲线的左、右支上，若，，且，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】由及数量积的运算律可得即，设，则，利用双曲线的定义及直角三角形可求得（不合题意舍去），然后求出，再用余弦定理得出关系求得离心率． 【详解】 ∵，∴共线，设，则， ，∴，∴， 结合双曲线定义得， ∴，整理得，则或， 若，则，，不满足，舍去， 若，则，，满足，，， ∴在中， 在中，由余弦定理得， 即，整理得， ∴． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是列出关于的齐次等式，解题方法是：对向量等式变形得出，设，由双曲线的定义和勾股定理得出，从而中除外，其它线段都可用表示，利用余弦定理建立的等式，求得离心率． 31．（23-24高二上·湖南·期末）如图，椭圆与双曲线有公共焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为两曲线的一个公共点，且为的内心，三点共线，且轴上点满足，则的最小值为 ；的最小值为 . 【答案】 / 【分析】根据椭圆和双曲线的定义可得，进而根据余弦定理，结合离心率公式可得，即可利用基本不等式求解空1，根据内心的性质，结合椭圆定义和双曲线定义可得，，进而根据基本不等式乘“1”法即可求解. 【详解】由题意得椭圆与双曲线的焦距为， 椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，不妨设点在双曲线的右支上， 由双曲线的定义：，由椭圆的定义：， 可得：，又，由余弦定理得： ， 即 整理得：，所以：； 则，当且仅当时取等号. 为的内心，所以为的角平分线， 由于,则有， 同理：，所以，所以， 即， 因为，所以，故， 为的内心，三点共线， 即为的角平分线， 延长射线，连接，由点向作垂线，垂足分别为， ， ，即为的角平分线. ， 即为的角平分线， 则有，又， 所以，即， 因为，所以，故， 所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为. 故答案为：， 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用. 32．（23-24高二上·湖南·期末）已知双曲线的焦距为4，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】根据双曲线方程，得到焦距为 ，再由求解， 即可得出结果. 【详解】因为双曲线的焦距为4， 所以，解得， 又. 故答案为： 【点睛】本题主要考查由双曲线的焦距求参数的问题，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型. 33．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）已知双曲线的右焦点为，点在双曲线上，且关于原点对称.若的面积为，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】设双曲线的左焦点为，连，可得四边形为矩形，然后结合双曲线的定义，三角形的面积和勾股定理列方程组可求出的关系，从而可求出离心率. 【详解】设双曲线的左焦点为，连， 因为 所以四边形为矩形.      不妨设点在双曲线的右支上，设，则 由①得： 所以，即， 所以，所以离心率. 故答案为： 34．（23-24高二上·湖南永州·期末）已知双曲线的左、右顶点分别为、，是在第一象限的图象上的点，记，，，若，则双曲线的离心率 ． 【答案】 【分析】设点，则，，且，分析可得，，，根据可求得双曲线的离心率的值. 【详解】设点，则，，且，可得，易知点、， 所以，，， 则，， ， 所以，， 所以，，则，可得. 因此，双曲线的离心率为. 故答案为：. 35．（23-24高二上·湖南·期末）已知椭圆与双曲线的焦距之比为． (1)求椭圆和双曲线的离心率； (2)设双曲线的右焦点为F，过F作轴交双曲线于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆的左、右顶点，与椭圆交于另一点Q，O为坐标原点，证明：． 【答案】(1)椭圆的离心率为，双曲线的离心率为 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意结合椭圆、双曲线的方程与性质运算求解； （2）由（1）可知，联立方程求点的坐标，结合斜率公式分析证明. 【详解】（1）椭圆的焦距，双曲线的焦距， 则，整理得， 从而，， 故椭圆的离心率，双曲线的离心率． （2）由（1）可知，椭圆， 因为，所以直线的方程为． 联立方程组，整理得， 则，则， 可得，即， 因为，，， 则，， 故．    【点睛】方法点睛：与弦端点相关问题的解法 解决与弦端点有关的向量关系、位置关系等问题的一般方法，就是将其转化为端点的坐标关系，再根据联立消元后的一元二次方程根与系数的大小关系，构建方程(组)求解． 根据a、b、c齐次式关系求渐近线方程 36．（23-24高二上·湖南怀化·期末）由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品，若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的值，可得出双曲线的渐近线方程. 【详解】由已知可得， 因此，该双曲线的渐近线方程为. 故选：B. 37．（23-24高二上·湖南永州·期末）双曲线C：的左焦点为，点，直线与C的两条渐近线分别交于两点，且，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出直线的方程，再与渐近线联立，求得点的坐标，再根据求出点的坐标，再根据点在直线上，求得的关系式，即可得解. 【详解】双曲线C：的渐近线方程为， 因为，所以在线段上， 故为直线与的交点，为直线与的交点， ，则直线的方程为， 联立，解得， 设， 由，得， 所以，解得，即 因为点在直线上， 所以， 化简得， 所以， 所以C的渐近线方程为. 故选：B.    38．（23-24高二上·湖南·期末）已知双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为，则的渐近线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点到直线的距离公式可得双曲线的上焦点到其渐近线的距离为，则，再结合双曲线的渐近线方程即可得答案. 【详解】设的半焦距为，则， 根据对称性，可知的上焦点到其渐近线的距离为， 所以，所以的渐近线的斜率为. 故选：A. 39．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知双曲线的右焦点为，过点且斜率为3的直线与双曲线分别交于两点，若是线段的中点，且，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】写出直线的方程，与双曲线方程联立，结合韦达定理求得的坐标，利用，列出方程得出的关系，进而得渐近线方程. 【详解】直线方程为， 与联立得， 设，则， ， 则，即， ∵，∴， 整理得，即 令，则，得，解得， 所以，即， 则双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 40．（23-24高二上·湖南·期末）已知双曲线的左，右焦点为，离心率为. (1)求双曲线C的渐近线方程； (2)过作斜率为k的直线l分别交双曲线的两条渐近线于A，B两点，若，求k的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由离心率可得双曲线的渐近线方程； （2）设，则的中点为，由，可得，然后的方程与双曲线的渐近线方程联立，利用韦达定理可得答案. 【详解】（1）设，则， 又，所以，得， 所以双曲线的渐近线方程为. （2）由已知直线的倾斜角不是直角，， 设，则的中点为， ， 由，可知，所以， 即， 因为的方程为，双曲线的渐近线方程可写为， 由消去y，得， 所以，， 所以，因为，所以，即. 六、单选题 41．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，．点A在上，点在轴上，，，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记，分别用m表示出，在中由勾股定理可得，在中由三角函数定义可得，再在中利用余弦定理列齐次式，然后可得离心率. 【详解】因为，所以三点共线， 又，所以为直角三角形， 记，则， 由双曲线定义和对称性可得， 则有，即， 解得或（舍去）. 记，则， 在中，由余弦定理得， 整理得，得. 故选：B 【点睛】双曲线过焦点的三角形问题，关键是充分利用双曲线定义，结合余弦定理、勾股定理得到关于a、b、c的齐次式，然后可求离心率. 42．（23-24高二上·湖南长沙·期末）双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于，两点（其中点在第一象限）．设，的内切圆半径为，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设、分别为，的内心，为双曲线的右顶点，利用双曲线定义及内心性质可得，同理可得，设直线的倾斜角为，由均在双曲线右支结合渐近线斜率可得，则通过化简讨论范围即可. 【详解】对于双曲线，则，，， 设、分别为，的内心，为双曲线的右顶点，则， 设的内切圆在上的切点分别为， 则， 由， 得， ∴，即与重合，又x轴，故，同理可得， 则，，， 设直线的倾斜角为， ∵、均在双曲线右支，则或， 即或，则， ∵， 则 ， 当时，； 当，， 因为，所以， 所以，则， 即， 综上，的取值范围是，即的取值范围是. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出内切圆与的切点为双曲线的右顶点，从而得到，再将其转化为关于直线的倾斜角的三角函数. 七、多选题 43．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，P是C上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．C的渐近线方程为 B．若直线与双曲线C有交点，则 C．点P到C的两条渐近线的距离之积为 D．当点P与A，B两点不重合时，直线PA，PB的斜率之积为2 【答案】AC 【分析】由双曲线的渐近线方程可判断A，通过对比直线与双曲线的渐近线斜率之间的关系可求解B，结合点到直线的距离公式可求C，PA，PB的斜率相乘后，结合双曲线方程化简可得定值，则D可判断. 【详解】双曲线，则， 对于A，C的渐近线方程为，A正确； 对于B，由双曲线的渐近线方程为可知， 若直线与双曲线C有交点，则，B错误； 对于C，设点，则， 点P到C的两条渐近线的距离之积为，C正确； 对于D，易得，，设，则， 所以直线PA，PB的斜率之积为，D错误． 故选：AC. 44．（23-24高二上·湖南·期末）双曲线的光学性质为：，是双曲线的左､右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过（如图1）；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分（如图2）.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.若双曲线的方程为，则下列结论正确的是（    ） A．射线所在直线的斜率为，则 B．当时，的面积为 C．当时，若，则双曲线的离心率为 D．存在点，使双曲线在点处的切线经过原点 【答案】ABC 【分析】利用直线与双曲线的位置关系判断A，利用双曲线的定义求解焦点三角形面积判断B，构造齐次方程求解离心率判断C，利用反证法判断D即可. 【详解】因为双曲线的方程为，所以渐近线方程为， 对于A选项，因为直线与双曲线有两个交点，所以，故A正确； 对于B选项，由双曲线的定义知，， 若，则 因为， 所以， 解得， 所以的面积为，故B正确； 对于C选项，当时，因为， ，，， 所以，求得，故C正确； 对于D选项，假设双曲线在点处的切线经过原点，因为平分， 由角分线定理知，，所以， 又，所以假设不成立，故D错误； 故选：ABC. 八、解答题 45．（23-24高二上·湖南·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，短轴长为2. (1)求E的方程. (2)若为上一点，求的取值范围. (3)判断上是否存在不同的三点，使得线段（为坐标原点）的中点与的中点重合于直线上一点.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)或. 【分析】（1）由已知求得即可得； （2）设，得，代入后可求得取值范围； （3）设直线的方程为，直线方程代入椭圆方程整理后可得，求出中点的坐标，再求得点坐标，代入椭圆方程得的关系式，结合韦达定理中，可求得得直线方程．也可设点，得，代入椭圆方程求得，从而得点坐标，利用是中点（把坐标代入椭圆方程相减）求得直线斜率后可得直线方程． 【详解】（1）因为，所以， 因为的短轴长为2，所以， 所以的方程为. （2）设，则， 易知， 所以 . 因为，所以， 所以的取值范围是. （3）方法一：由题意得直线的斜率存在，设直线的方程为， 由得， 所以，即， . 因为的中点为，所以，① . 因为点为线段的中点，所以， 将点的坐标代入，得，与①式联立， 解得或均满足， 所以直线的方程为或， 即，或. 方法二：设点，则，由题意知直线的斜率存在，所以. 将点坐标代入的方程，得，解得，所以. 若与的中点重合，则. 由点在上，得两式相减，得， 整理可得. 当点坐标为时，， 当点坐标为时，， 所以直线的方程为或， 即或. 【点睛】方法点睛：已知椭圆的弦中点坐标，设弦两端点坐标为，代入椭圆方程有，两式相减得： ，时，，即为弦所在直线斜率． 46．（23-24高二上·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，利用公式①（其中为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母表示. (1)如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵A； (2)在平面直角坐标系中，求双曲线通过二阶矩阵进行线性变换后得到的双曲线方程； (3)已知由（2）得到的双曲线，上顶点为，直线与双曲线的两支分别交于两点（在第一象限），与轴交于点.设直线的倾斜角分别为，求证：为定值. 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）设，,运用线性变换概念，结合和角公式计算即可； （2）运用变换概念，找出变换前后的关系式，计算即可； （3）设直线的方程，与曲线联立，借助韦达定理.得到两根之和和积，取，进而得到直线方程，直线方程与双曲线方程联立可得，.求出；当时，设的斜率分别为，结合前面韦达定理的结论，求出.求出，再讨论斜率不存在的时候即可 . 【详解】（1）设，，则，，， 故， ， 所以坐标变换公式为， 所以对应的二阶矩阵A为 （2）设曲线上任意一点变换后所得点坐标为. 即， 得，则，所求曲线方程为； （3） ①直线斜率存在时，可设直线的方程为， 设， 由，得， 所以，，且， 当时，取，，所以直线方程为：， 直线方程与双曲线方程联立可得，解得或， 所以，.所以，所以，可得； 当时，设的斜率分别为， ，， 所以， ， 所以. 因为在第一象限，所以，所以，所以. ②直线斜率不存在时，可得， 可得，， 所以，同理可得. 综上可得，为定值.得证. 47．（23-24高二上·湖南·期末）已知椭圆，左､右焦点分别为，短轴的其中一个端点为，长轴端点为，且是面积为的等边三角形.    (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若双曲线以为焦点，以为顶点，点为椭圆与双曲线的一个交点，求的面积； (3)如图，直线与椭圆有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于两点.当点运动时，求点的轨迹方程. 【答案】(1)椭圆 的方程为 , 离心率 . (2) (3) 【分析】（1）根据为等边三角形得到关系，求出其方程，再利用离心率公式即可； （2）写出双曲线方程，联立椭圆方程即可得到，再计算面积即可； （3）联立椭圆方程与直线方程，根据相切得到，再求出点坐标，最后消元即可. 【详解】（1）是面积为的等边三角形，， 椭圆的方程为，离心率. （2）由题意得双曲线中的，则， 所以双曲线方程为， 联立椭圆方程解得:，即， .    （3）由题易知，则联立， 得， ，即， 设为，则， 直线，令，解得，则， 令，则，则， . 则点的轨迹方程为. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是联立直线方程与椭圆方程，根据判别式为0得到，再根据直线垂直得到直线方程，从而得到坐标，即得到的坐标，最后消元即可得到轨迹方程. 48．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）已知双曲线的离心率为2，右顶点为，过左焦点的直线交于，两点． (1)求双曲线的方程； (2)证明：以为直径的圆过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据所给条件求出、，即可求出，从而得解； （2）设，，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，表示出以为直径的圆的方程，根据对称性，定点坐标在轴上，令求出，即可得解. 【详解】（1）由题意可得，解得，， 双曲线的方程为. （2）由（1）知， 设，，， 由，消去整理得， ， ，， ， ， 以为直径的圆方程：， ， 由对称性知以为直径的圆必过轴上的定点， 令， ， ， 对恒成立， ， ∴以为直径的圆过定点. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 49．（23-24高二上·湖南常德·期末）已知双曲线过点，且离心率为. (1)求双曲线的标准方程； (2)设过点且斜率不为0的直线与双曲线的左右两支交于，两点.问：在轴上是否存在定点，使直线的斜率与的斜率的积为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，该定点为. 【分析】（1）根据题意，设，求得，得到双曲线的方程可化为，将点在双曲线上，求得，即可求解； （2）假设存在点，设直线的方程为，联立方程组，求得，化简得到，当，得到为定值，即可求解. 【详解】（1）由题意，双曲线的离心率为，可得， 设，则，所以， 所以双曲线的方程可化为， 因为点在双曲线上，所以，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）设，假设存在点， 易知直线的斜率存在，且不为0，设其方程为， 联立双曲线方程与直线方程，得，消去并整理， 得， 则， 且， 因为 ， ， 所以当，即时，或 ， 故存在定点，使直线与的斜率之积为定值． 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 50．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上． (1)求的方程； (2)过作两条相互垂直的直线和，与的右支分别交，两点和，两点，求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设双曲线，依题意可得，解得即可； （2）设直线，，求得，联立方程组，利用弦长公式，求得，，得到，令，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）设双曲线，则，解得， 所以双曲线的方程为. （2）根据题意，直线，的斜率都存在且不为0， 设直线，，其中， 双曲线的渐近线为， 因为，均与的右支有两个交点，所以，，所以， 将的方程与联立，可得， 设，则，， 所以 ， 用替换，可得， 所以． 令，所以， 则， 当，即时，等号成立， 故四边形面积的最小值为． 【点睛】解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围. 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 双曲线（五大题型+优选提升题，50题） 双曲线及其标准方程（5-6为多选） 1．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，、分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上一点，若，则（    ） A． B． C．或 D． 2．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知曲线的焦距为，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）若方程表示曲线C，则下列说法正确的是（    ） A．若，则曲线C为椭圆 B．若曲线C为双曲线，则 C．曲线C不可能是圆 D．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则 4．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，，且，则的值为（    ） A． B．4 C．5 D．8 5．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）已知曲线（    ） A．表示两条直线 B．表示圆 C．表示焦点在轴上的双曲线 D．表示焦点在轴上的椭圆 6．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知曲线，则（    ） A．若，则是圆，其半径为 B．若，则是两条平行于轴的直线 C．若，则是椭圆，其焦点在轴上 D．若，则是双曲线，其焦点在轴上 7．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）如果双曲线右支上一点到左焦点的距离等于，则点到另一个焦点的距离为 . 8．（23-24高二上·湖南益阳·期末）双曲线的离心率，则 ． 9．（23-24高二上·湖南益阳·期末）的坐标满足方程：，则M的轨迹方程为 . 10．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，渐近线方程是，点，且的面积为6． (1)求双曲线C的标准方程； (2)直线与双曲线C交于不同的两点P，Q，若，求实数m的取值范围． 已知方程求双曲线的渐近线（15-19为多选） 11．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知双曲线，则下列结论正确的是（    ） A．的实轴长为4 B．的焦距为10 C．的离心率 D．的渐近线方程为 12．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为.过作的一条渐近线的垂线，垂足为，则（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二上·湖南·期末）若双曲线的离心率为，则直线与两条渐近线围成的三角形的面积为（    ） A． B．4 C． D． 15．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知曲线，则（    ） A．曲线在第一象限为双曲线的一部分 B．曲线的图象关于原点对称 C．直线与曲线没有交点 D．存在过原点的直线与曲线有三个交点 16．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）已知双曲线C：经过点，并且它的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则下列结论正确的是（    ） A．的方程为 B．C的渐近线为 C．的离心率为 D．直线与只有一个公共点 17．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知点P为双曲线的右支上一点，、为双曲线C的两条渐近线，过点P分别作，垂足依次为A、B，O为坐标原点，则（    ） A．为定值 B． C．若是直角三角形时，的周长是 D．若是正三角形时， 18．（23-24高二上·湖南怀化·期末）设双曲线的左､右焦点分别为，点在的右支上，且不与的顶点重合．则下列命题中正确的是（    ） A．双曲线的两条渐近线的方程是 B．双曲线的离心率等于 C．若，则的面积等于4 D．若，则 19．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知双曲线：，则下列选项中正确的是（    ） A．的焦点坐标为 B．的顶点坐标为 C．的离心率为 D．的焦点到渐近线的距离为3 20．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）双曲线的一条渐近线方程为 . 根据双曲线的渐近线求标准方程（22为多选） 21．（23-24高二上·湖南永州·期末）若双曲线：的虚轴长为8，渐近线方程为，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高二上·湖南·期末）已知双曲线：的左，右焦点分别是，，渐近线方程为，点在双曲线上，点为双曲线右支上任一点，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．右焦点到渐近线的距离为6 C．过双曲线右焦点的直线与交于，两点，当时，直线有3条 D．若直线与双曲线的另一个交点为，为的中点，为原点，则直线与直线的斜率之积为9 23．（23-24高二上·湖南·期末）若双曲线的右焦点在圆上，则该双曲线的渐近线方程为 . 24．（23-24高二上·湖南湘潭·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若O为坐标原点，过的直线l交双曲线C于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程. 25．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，的一条渐近线方程为，且. (1)求的方程； (2)，为双曲线右支上两个不同的点，线段的中垂线过点，求直线的斜率的取值范围. 求双曲线的离心率或离心率取值范围（28-29为多选） 26．（23-24高二上·湖南·期末）如图，已知是双曲线的左､右焦点，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为（    ）    A． B． C． D． 27．（23-24高二上·湖南湘潭·期末）已知双曲线的右焦点为，M是双曲线的左支上的一点，点，垂足为D，，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 28．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知曲线，则下列说法正确的为（    ） A．若该曲线是双曲线方程，则，或 B．若则该曲线为椭圆 C．若该曲线离心率为，则 D．若该曲线为焦点在y轴上双曲线，则离心率 29．（23-24高二上·湖南·期末）以下关于圆锥曲线的四个命题中，真命题为（    ） A．设A，B为两个定点，为非零常数，若，则点P的轨迹是椭圆 B．过双曲线焦点的最短弦长为 C．椭圆与双曲线有相同的焦点 D．方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 30．（23-24高二上·湖南长沙·期末）设点分别为双曲线的左、右焦点，点分别在双曲线的左、右支上，若，，且，则双曲线的离心率为 ． 31．（23-24高二上·湖南·期末）如图，椭圆与双曲线有公共焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为两曲线的一个公共点，且为的内心，三点共线，且轴上点满足，则的最小值为 ；的最小值为 . 32．（23-24高二上·湖南·期末）已知双曲线的焦距为4，则双曲线的离心率为 . 33．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）已知双曲线的右焦点为，点在双曲线上，且关于原点对称.若的面积为，则双曲线的离心率为 . 34．（23-24高二上·湖南永州·期末）已知双曲线的左、右顶点分别为、，是在第一象限的图象上的点，记，，，若，则双曲线的离心率 ． 35．（23-24高二上·湖南·期末）已知椭圆与双曲线的焦距之比为． (1)求椭圆和双曲线的离心率； (2)设双曲线的右焦点为F，过F作轴交双曲线于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆的左、右顶点，与椭圆交于另一点Q，O为坐标原点，证明：． 根据a、b、c齐次式关系求渐近线方程 36．（23-24高二上·湖南怀化·期末）由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品，若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 37．（23-24高二上·湖南永州·期末）双曲线C：的左焦点为，点，直线与C的两条渐近线分别交于两点，且，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 38．（23-24高二上·湖南·期末）已知双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为，则的渐近线的斜率为（    ） A． B． C． D． 39．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知双曲线的右焦点为，过点且斜率为3的直线与双曲线分别交于两点，若是线段的中点，且，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 40．（23-24高二上·湖南·期末）已知双曲线的左，右焦点为，离心率为. (1)求双曲线C的渐近线方程； (2)过作斜率为k的直线l分别交双曲线的两条渐近线于A，B两点，若，求k的值. 六、单选题 41．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，．点A在上，点在轴上，，，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 42．（23-24高二上·湖南长沙·期末）双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于，两点（其中点在第一象限）．设，的内切圆半径为，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 七、多选题 43．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，P是C上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．C的渐近线方程为 B．若直线与双曲线C有交点，则 C．点P到C的两条渐近线的距离之积为 D．当点P与A，B两点不重合时，直线PA，PB的斜率之积为2 44．（23-24高二上·湖南·期末）双曲线的光学性质为：，是双曲线的左､右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过（如图1）；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分（如图2）.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.若双曲线的方程为，则下列结论正确的是（    ） A．射线所在直线的斜率为，则 B．当时，的面积为 C．当时，若，则双曲线的离心率为 D．存在点，使双曲线在点处的切线经过原点 八、解答题 45．（23-24高二上·湖南·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，短轴长为2. (1)求E的方程. (2)若为上一点，求的取值范围. (3)判断上是否存在不同的三点，使得线段（为坐标原点）的中点与的中点重合于直线上一点.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 46．（23-24高二上·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，利用公式①（其中为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母表示. (1)如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵A； (2)在平面直角坐标系中，求双曲线通过二阶矩阵进行线性变换后得到的双曲线方程； (3)已知由（2）得到的双曲线，上顶点为，直线与双曲线的两支分别交于两点（在第一象限），与轴交于点.设直线的倾斜角分别为，求证：为定值. 47．（23-24高二上·湖南·期末）已知椭圆，左､右焦点分别为，短轴的其中一个端点为，长轴端点为，且是面积为的等边三角形.    (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若双曲线以为焦点，以为顶点，点为椭圆与双曲线的一个交点，求的面积； (3)如图，直线与椭圆有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于两点.当点运动时，求点的轨迹方程. 48．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）已知双曲线的离心率为2，右顶点为，过左焦点的直线交于，两点． (1)求双曲线的方程； (2)证明：以为直径的圆过定点． 49．（23-24高二上·湖南常德·期末）已知双曲线过点，且离心率为. (1)求双曲线的标准方程； (2)设过点且斜率不为0的直线与双曲线的左右两支交于，两点.问：在轴上是否存在定点，使直线的斜率与的斜率的积为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由. 50．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上． (1)求的方程； (2)过作两条相互垂直的直线和，与的右支分别交，两点和，两点，求四边形面积的最小值． 6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$