专题05 椭圆（四大题型优选提升题，50题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（湖南专用）

专题05 椭圆（四大题型+优选提升题，50题） 椭圆及其标准方程（8-9为多选） 1．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知椭圆C：的左右焦点分别为F1、F2，过左焦点F1，作直线交椭圆C于A、B两点，则三角形ABF2的周长为（       ） A．10 B．15 C．20 D．25 2．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·湖南·期末）阿基米德在其著作《关于圆锥体和球体》中给出了一个计算椭圆面积的方法：椭圆长半轴的长度、短半轴的长度和圆周率三者的乘积为该椭圆的面积.已知椭圆的面积为，，为椭圆C的两个焦点，P为椭圆C上任意一点.若，则椭圆C的焦距为(    ). A． B．2 C． D． 4．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知，是椭圆：的两个焦点，过点且斜率为的直线与交于，两点，则的周长为（    ） A．8 B． C． D．与有关 5．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，A为椭圆C的左顶点，以为直径的圆与椭圆C在第一、二象限的交点分别为M，N，若直线AM，AN的斜率之积为，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·湖南永州·期末）已知椭圆方程为，点在椭圆上，右焦点为F，过原点的直线与椭圆交于A，B两点，若，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·湖南·期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.如：与相关的代数问题可以转化为点与点之间距离的几何问题.结合上述观点，若实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）若为椭圆的方程，则的值可以为（    ） A．3 B．6 C．8 D．11 9．（23-24高二上·湖南永州·期末）已知点是椭圆：上一点，，是椭圆的左、右焦点，且的面积为4，则下列说法正确的是（     ） A．点的纵坐标为 B． C．的周长为 D．的内切圆半径为 10．（23-24高二上·湖南娄底·期末）已知椭圆的焦距为4，则的值为 . 11．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，且点位于第一象限，，则 ， . 12．（23-24高二上·湖南张家界·期末）已知椭圆C：的左右顶点分别为，，右焦点为，点在椭圆上. (1)求椭圆C的标准方程； (2)为椭圆上不与重合的任意一点，直线分别与直线相交于点，求证：. 13．（23-24高二上·湖南张家界·期末）已知椭圆的上顶点为，右顶点为，其中的面积为1（为原点），椭圆离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若不经过点的直线与椭圆交于，两点，且，求证：直线过定点． 14．（23-24高二上·湖南长沙·期末）设F，E分别是椭圆的左，右焦点，椭圆上存在点N，满足且的面积为20. (1)求b的值； (2)设点P的坐标为，直线过点P，与椭圆交于点A，B，线段的中点记为M.若是与的等比中项，求a的最小值，并求出此时直线l的方程. 15．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）（1）已知中心在坐标原点的椭圆过点和点，求此椭圆的标准方程； （2）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点(异于M，N)，△AF1B的周长为，且直线AM与AN的斜率之积为，求椭圆C的标准方程. 求椭圆的焦点、焦距（19-20为多选） 16．（23-24高二上·湖南怀化·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，且，点在上，线段与交于．则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高二上·湖南怀化·期末）已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 18．（23-24高二上·湖南长沙·期末）曲线与曲线（且）的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 19．（23-24高二上·湖南·期末）已知椭圆，则（    ） A．的焦点都在x轴上 B．的焦距相等 C．没有公共点 D．比更接近圆 20．（23-24高二上·湖南常德·期末）关于椭圆有以下结论，其中正确的有（    ） A．离心率为 B．长轴长是 C．焦距2 D．焦点坐标为 求椭圆的离心率或离心率范围（27为多选） 21．（23-24高二上·湖南长沙·期末）直线交椭圆于两点，为椭圆上异于的点，，的斜率分别为，且，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知斜率为2的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，为坐标原点，若的斜率为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知是椭圆的两个焦点，点在上，若使为直角三角形的点有8个，则的离心率的范围是（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知椭圆，O为坐标原点，直线l交椭圆于A，B两点，M为AB的中点.若直线l与OM的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高二上·湖南益阳·期末）若椭圆上存在点，使得到椭圆两个焦点的距离之比为，则称该椭圆为“倍径椭圆”.则“倍径椭圆”的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高二上·湖南·期末）6万多年一遇的紫金山—阿特拉斯彗星是中国科学院紫金山天文台发现的第8颗彗星，它于2024年10月12日最接近地球，在北半球可观测到.已知某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆，测得轨道的近日点（距太阳最近的点）距太阳中心0.6天文单位，远日点（距太阳最远的点）距太阳中心35天文单位，且近日点､远日点及太阳中心在同一条直线上，则该椭圆的离心率约是（    ） A．0.017 B．0.25 C．0.86 D．0.97 27．（23-24高二上·湖南·期末）已知F是椭圆的右焦点，直线与椭圆C交于A，B两点，M，N分别为，的中点，O为坐标原点，若，则椭圆C的离心率可能为（    ） A． B． C． D． 28．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线上上存在一点满足，则椭圆的离心率的取值范围为 ． 29．（23-24高二上·湖南·期末）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，椭圆右准线上存在一点P满足，则椭圆的离心率的取值范围为 . 30．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）如图，直线与椭圆相交于两点，且的中点为； (1)求椭圆的离心率； (2)若直线与椭圆相交于两点，求证：四点在同一个圆上． 根据离心率求椭圆的标准方程 31．（23-24高二上·湖南株洲·期末）在平面直角坐标系中，椭圆C的中心在原点，焦点，在x轴上，离心率为，过的直线l交椭圆C于A，B两点，且的周长为16，则椭圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高二上·湖南张家界·期末）在直角坐标系中，已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率是，点P为椭圆短轴的一个端点，的面积是. (1)求椭圆的方程； (2)若动直线与椭圆交于两点，且恒有，是否存在一个以原点为圆心的定圆，使得动直线始终与定圆相切？若存在，求出圆的方程，若不存在，请说明理由. 33．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）已知椭圆的离心率，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点，与交于点，记的率分别为，试探究的关系，并证明. 34．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为. (1)求的方程； (2)设直线与交于两点，求的周长. 35．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知椭圆过点，离心率为，经过圆上一动点P作两条直线，它们分别与椭圆E恰有一个公共点，公共点分别记为A、B． (1)求椭圆E的标准方程； (2)求证：； (3)求面积的最大值． 36．（23-24高二上·湖南娄底·期末）已知椭圆 的离心率为 ，长轴长为 ， 为椭圆的右焦点. (1)求椭圆 的方程； (2)已知点 ， 是椭圆上的点，求 的最小值； (3)点 是以长轴为直径的圆 上一点，圆 在点 处的切线交直线 于点 ，求证：过点 且垂直于 的直线 过定点. 37．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）设椭圆：的离心率为，焦距为2，过右焦点的直线与椭圆交于A，两点，点，设直线与直线的斜率分别为，. (1)求椭圆的方程； (2)随着直线的变化，是否为定值？请说明理由. 38．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知椭圆C：的离心率为，左顶点坐标为． (1)求椭圆C的方程； (2)过点的直线l与椭圆C相交于M，N两点，设点，问：直线BM，BN的斜率之和是否为定值？若是，请求出该值；否则，请说明理由． 39．（23-24高二上·湖南张家界·期末）已知椭圆：的左､右焦点分别为，，离心率为，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆相交于，两点（A、B非椭圆顶点），求的最大值. 40．（23-24高二上·湖南·期末）已知椭圆经过点，离心率. (1)求椭圆C的方程； (2)设直线l不经过点且与C相交于A，B两点.若直线PA与直线PB的斜率的和为，证明：直线l过定点. 五、多选题 41．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，是上异于的一个动点.若，则下列说法正确的有（    ） A．椭圆的离心率为 B．若，则 C．直线的斜率与直线的斜率之积等于 D．符合条件的点有且仅有2个 六、填空题 42．（23-24高二上·湖南永州·期末）表示以点为中心的椭圆，如图所示，为椭圆C：的左焦点，Q为直线上的一点，P为椭圆C上的一点，以为边作正方形（F，P，A，B按逆时针排列），当P在椭圆上运动时，的最小值为 ． 七、解答题 43．（23-24高二上·湖南·期末）已知椭圆的离心率，且上的点到点的距离的最大值为. (1)求的方程； (2)过的直线与交于，记关于轴的对称点为. ①试证直线恒过定点； ②若在直线上的投影分别为，记的面积分别为，求的取值范围. 44．（23-24高二上·湖南张家界·期末）已知椭圆的离心率为，左､右顶点分别为，，且过点. (1)求的方程； (2)若，为上与点，均不重合的两个动点，且直线，的斜率分别为和. （i）若（为坐标原点），判断直线和的位置关系； （ii）证明：直线经过轴上的定点. 45．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知圆，圆动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设不经过点的直线与曲线相交于两点，直线与直线的斜率均存在且斜率之和为，直线是否过定点，若过定点，写出定点坐标． 46．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知椭圆，过椭圆上一动点引圆的两条切线为切点，直线与轴、轴分别交于点． (1)已知点坐标为，求直线的方程； (2)若圆的半径为2，且，过椭圆的右焦点作倾斜角不为0的动直线与椭圆交于两点，点在轴上，且为常数，求的面积的最大值． 47．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知中心在原点，长轴在轴上的椭圆的左右顶点分别为和，P为椭圆上的除左右顶点外的任一点，且，斜率之乘积为. (1)求椭圆的方程； (2)过分别作两条直线与椭圆交于点，点；线段的中点为，线段的中点为，若，求证：直线过定点. 48．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知椭圆的离心率为，过原点的直线l与椭圆C交于A，B两点，D，E，F为椭圆上不同于A，B的点，且，.当l的斜率为0时，的最大面积为2. (1)求椭圆C的标准方程； (2)的面积是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由. 49．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）已知是椭圆上的一点，为椭圆的左､右焦点，为其短轴的两个端点，是与的等差中项. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于点，与圆切于点，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 50．（23-24高二上·湖南·期末）已知为椭圆上一点，且点在第一象限，过点且与椭圆相切的直线为.    (1)若的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值，并求出该定值； (2)如图，分别是椭圆的过原点的弦，过四点分别作椭圆的切线，四条切线围成四边形，若，求四边形周长的最大值. 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 椭圆（四大题型+优选提升题，50题） 椭圆及其标准方程（8-9为多选） 1．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知椭圆C：的左右焦点分别为F1、F2，过左焦点F1，作直线交椭圆C于A、B两点，则三角形ABF2的周长为（       ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义求解即可 【详解】由题意椭圆的长轴为，由椭圆定义知 ∴ 故选：C 2．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将椭圆方程化成标准形式，根据焦点位置，列出不等式组，解之即得. 【详解】将椭圆方程变形为，因为焦点在轴上，所以，解得． 故选：B. 3．（23-24高二上·湖南·期末）阿基米德在其著作《关于圆锥体和球体》中给出了一个计算椭圆面积的方法：椭圆长半轴的长度、短半轴的长度和圆周率三者的乘积为该椭圆的面积.已知椭圆的面积为，，为椭圆C的两个焦点，P为椭圆C上任意一点.若，则椭圆C的焦距为(    ). A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】先通过，确定a的值，再通过椭圆的面积公式求出b，最后求出c，即可得到椭圆的焦距. 【详解】根据题意可得，则， 因为，所以，则， 所以椭圆C的焦距为： 故选：D. 4．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知，是椭圆：的两个焦点，过点且斜率为的直线与交于，两点，则的周长为（    ） A．8 B． C． D．与有关 【答案】C 【分析】根据椭圆定义求解焦点三角形周长. 【详解】由题意得：，即， 由椭圆的定义可得：，， 且， 所以的周长为 . 故选：C 5．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，A为椭圆C的左顶点，以为直径的圆与椭圆C在第一、二象限的交点分别为M，N，若直线AM，AN的斜率之积为，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出两点的坐标，根据已知条件列方程组，求得，从而求得椭圆的标准方程. 【详解】设，则， 依题意，， 解得， 所以椭圆的标准方程为. 故选：B    6．（23-24高二上·湖南永州·期末）已知椭圆方程为，点在椭圆上，右焦点为F，过原点的直线与椭圆交于A，B两点，若，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的性质可得，则椭圆方程可求. 【详解】由点在椭圆上得， 由椭圆的对称性可得，则， 故椭圆方程为. 故选：A. 7．（23-24高二上·湖南·期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.如：与相关的代数问题可以转化为点与点之间距离的几何问题.结合上述观点，若实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两点的距离公式和椭圆的定义可得点在椭圆上.继而有表示点与椭圆上一点所连直线的斜率，设该直线的方程为，由图可知，当直线与椭圆相切时，取得最值.联立椭圆与直线的方程，利用根的判别式可求得答案. 【详解】因为，可转化为点到点和点的距离之和为， 故点在椭圆上.表示点与椭圆上一点所连直线的斜率， 设该直线的方程为，由图可知，当直线与椭圆相切时，取得最值. 联立方程组整理得， ，解得或，故的取值范围是 故选：C. 8．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）若为椭圆的方程，则的值可以为（    ） A．3 B．6 C．8 D．11 【答案】AC 【分析】根据椭圆方程满足的关系，列不等式即可求解. 【详解】因为为椭圆的方程，所以解得或， 故选：AC 9．（23-24高二上·湖南永州·期末）已知点是椭圆：上一点，，是椭圆的左、右焦点，且的面积为4，则下列说法正确的是（     ） A．点的纵坐标为 B． C．的周长为 D．的内切圆半径为 【答案】BC 【分析】此题先算出椭圆的基本量，运用三角形面积公式即得；再利用点的坐标易于求得的边长，运用勾股定理逆定理即得； 根据椭圆的定义式可得的周长；最后利用面积相等即得内切圆半径. 【详解】依题意，不妨设点，由可得故， 则的面积为解得：， 对于A选项，由上分析知点的纵坐标为，故A项错误； 对于B选项，由 知，此时点为椭圆短轴顶点，故， 又由知，故B项正确； 对于C选项，因点在椭圆上，故有 于是的周长为故C项正确； 对于D选项，设的内切圆半径为，则由三角形面积相等可得： ，解之得： 故D项错误. 故选：BC. 10．（23-24高二上·湖南娄底·期末）已知椭圆的焦距为4，则的值为 . 【答案】9或1 【分析】 分焦点在轴和轴两种情况求解即可. 【详解】 当椭圆的焦点在轴上时，，即， 此时， 因为焦距为4，故，解得； 当椭圆的焦点在轴上时，，即， 此时， 因为焦距为4，故，解得. 故答案为：9或1. 11．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，且点位于第一象限，，则 ， . 【答案】 / / 【分析】根据焦点三角形的性质，结合椭圆定义以及勾股定理即可求解. 【详解】设，，由于点位于第一象限，所以, 由焦点，,则 有， , 解得，. 故答案为：，. 12．（23-24高二上·湖南张家界·期末）已知椭圆C：的左右顶点分别为，，右焦点为，点在椭圆上. (1)求椭圆C的标准方程； (2)为椭圆上不与重合的任意一点，直线分别与直线相交于点，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将点代入方程以及即可求解.（2）联立方程得 的坐标，进而根据向量数量积为0证明垂直关系. 【详解】（1）由题知：， 将点代入方程得：，解得， 椭圆C的标准方程为. （2）由(1)知，. 设，则， 直线的方程为， 令，则，即， 直线的方程为， 令，则，即 ，即. 13．（23-24高二上·湖南张家界·期末）已知椭圆的上顶点为，右顶点为，其中的面积为1（为原点），椭圆离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若不经过点的直线与椭圆交于，两点，且，求证：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】(1)根据的关系求椭圆方程； (2)利用韦达定理结合的坐标表示，即可求定点. 【详解】（1）由已知得：，，又， 解得：，， 故椭圆的方程为. （2）证明：当直线的斜率不存在时，不满足的条件． 当直线的斜率存在时，设的方程为， 联立，消去整理得：， ，得① 设，，则，② 由，得，又，， 所以③ 由②③得， 化简得，解得（舍），满足① 此时的方程为，故直线过定点． 14．（23-24高二上·湖南长沙·期末）设F，E分别是椭圆的左，右焦点，椭圆上存在点N，满足且的面积为20. (1)求b的值； (2)设点P的坐标为，直线过点P，与椭圆交于点A，B，线段的中点记为M.若是与的等比中项，求a的最小值，并求出此时直线l的方程. 【答案】(1) (2)a的最小值是7，或 【分析】（1）根据余弦定理以及椭圆定义得到焦点三角形中满足的边角关系，即可联立求解， （2）根据点点距离可求解,由向量的模长可得，结合等比中项即可得求解. 【详解】（1）设，根据题意得 ，解得, （2）由于是线段的中点，所以, 又, 因此故， 又因为是与的等比中项，所以 ，所以，—① 设，记， ， 同理， 所以，代入①，得. 整理，得，—② 由②得，因为， 所以a的最小值为7， 此时，即直线l的斜率为. 又点在椭圆内，于是两条直线均满足要求. 综上，a的最小值是7，此时直线l的方程为或. 【点睛】圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 15．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）（1）已知中心在坐标原点的椭圆过点和点，求此椭圆的标准方程； （2）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点(异于M，N)，△AF1B的周长为，且直线AM与AN的斜率之积为，求椭圆C的标准方程. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设椭圆的方程为，代入点和点，解出即可； （2）由椭圆的定义求出，设点，由直线AM与AN的斜率之积为－得到方程①，又由点在椭圆上得到方程②，联立解出即可； 【详解】（1）设椭圆的方程为， 因为点和点在椭圆上，所以，解得. 所以所求椭圆的标准方程为. （2）由的周长为，可知， 解得，则， 设点，由直线AM与AN的斜率之积为－，可得， 即．① 又，所以，② 由①②解得，所以椭圆C的标准方程为. 求椭圆的焦点、焦距（19-20为多选） 16．（23-24高二上·湖南怀化·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，且，点在上，线段与交于．则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由，可求得的坐标，结合已知，可求得直线的斜率. 【详解】由已知，上顶点为，， 由，知为上靠近的三等分点，， 所以直线的斜率， 故选：C 17．（23-24高二上·湖南怀化·期末）已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】B 【分析】根据焦点坐标确定，然后计算． 【详解】由题意，，∴，， 故选：B． 18．（23-24高二上·湖南长沙·期末）曲线与曲线（且）的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 【答案】C 【分析】分析可知两曲线都表示椭圆，求出两椭圆的长轴长、短轴长、焦距以及离心率，可得出合适的选项. 【详解】曲线表示焦点在轴上，长轴长为，短轴长为，离心率为，焦距为的椭圆． 曲线（且）表示焦点在轴上，长轴长为， 短轴长为，焦距为，离心率为的椭圆． 故选：C. 19．（23-24高二上·湖南·期末）已知椭圆，则（    ） A．的焦点都在x轴上 B．的焦距相等 C．没有公共点 D．比更接近圆 【答案】BCD 【分析】将椭圆变为标准方程，再根据椭圆的性质就可以判断每一个选项. 【详解】对于A，因为椭圆的标准方程为，所以的焦点在y上，所以A不正确； 对于B，因为椭圆的焦距为，椭圆的焦距为，所以B正确； 对于C，作出椭圆的图象，由图象可知，椭圆没有公共点，所以C正确； 对于D，因为椭圆的离心率为，的离心率为，所以，所以D正确. 故选：BCD. 20．（23-24高二上·湖南常德·期末）关于椭圆有以下结论，其中正确的有（    ） A．离心率为 B．长轴长是 C．焦距2 D．焦点坐标为 【答案】ACD 【分析】将椭圆方程化为标准方程，再由椭圆的几何性质可得选项. 【详解】将椭圆方程化为标准方程为 所以该椭圆的焦点在轴上，焦点坐标为，故焦距为2，故C、D正确； 因为所以长轴长是，故B错误， 因为，所以，离心率，故A正确. 故选：ACD 求椭圆的离心率或离心率范围（27为多选） 21．（23-24高二上·湖南长沙·期末）直线交椭圆于两点，为椭圆上异于的点，，的斜率分别为，且，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出点的坐标，结合椭圆方程及斜率坐标公式，利用离心率公式求解即可. 【详解】设点，则根据椭圆的对称性知点，显然， 由与，相减得， 整理得，而，于是， 所以，所以该椭圆的离心率为. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是熟练掌握圆锥曲线的点差法，从而得解. 22．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知斜率为2的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，为坐标原点，若的斜率为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法求解. 【详解】设，则，两式作差可得， 因为，又， 所以，所以的离心率为. 故选：D 23．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知是椭圆的两个焦点，点在上，若使为直角三角形的点有8个，则的离心率的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据为直角三角形分三类讨论，利用椭圆的对称性可分析出以点、和为直角顶点的点的个数；再利用余弦定理及判断一元二次方程根的个数的方法得出；最后根据离心率的求法及椭圆离心率的范围即可求解. 【详解】 为直角三角形，可分为以下三类讨论： 以点为直角顶点；以点为直角顶点；以点为直角顶点. 由椭圆的对称性可知：以点为直角顶点的点有两个；以点为直角顶点的点有两个， 则要使为直角三角形的点有8个，须使以点为直角顶点的直角三角形有4个. 由椭圆的对称性可得在轴上方有两个点满足以点为直角顶点. 则， 即， 所以，解得即， 所以， 又因为椭圆离心率， 所以. 故选：C. 24．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知椭圆，O为坐标原点，直线l交椭圆于A，B两点，M为AB的中点.若直线l与OM的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由点差法代入计算，可得，再由椭圆的离心率公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】设，，， 将A，B两点坐标代入椭圆C的方程可得，， 两式相减可得. 又因为M为AB的中点，所以， 所以， 所以，， 又直线l与OM的斜率之积为， 所以，即， 所以椭圆C的离心率. 故选：D. 25．（23-24高二上·湖南益阳·期末）若椭圆上存在点，使得到椭圆两个焦点的距离之比为，则称该椭圆为“倍径椭圆”.则“倍径椭圆”的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件设出到椭圆两个焦点的距离，再利用椭圆的定义及椭圆上的点到焦点距离的最值即可求出结果. 【详解】由题可设点到椭圆两个焦点的距离之分别， 所以，得到， 又，所以，得到，故. 故选：C. 26．（23-24高二上·湖南·期末）6万多年一遇的紫金山—阿特拉斯彗星是中国科学院紫金山天文台发现的第8颗彗星，它于2024年10月12日最接近地球，在北半球可观测到.已知某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆，测得轨道的近日点（距太阳最近的点）距太阳中心0.6天文单位，远日点（距太阳最远的点）距太阳中心35天文单位，且近日点､远日点及太阳中心在同一条直线上，则该椭圆的离心率约是（    ） A．0.017 B．0.25 C．0.86 D．0.97 【答案】D 【分析】根据给定的信息，结合椭圆的概念特征，离心率公式列式计算即得. 【详解】解析设该椭圆的半焦距为，长半轴长为， 根据题意有，可得，， 所以离心率. 故选：D. 27．（23-24高二上·湖南·期末）已知F是椭圆的右焦点，直线与椭圆C交于A，B两点，M，N分别为，的中点，O为坐标原点，若，则椭圆C的离心率可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据题意，先画出图象，然后判断四边形为平行四边形，由可得，进而结合椭圆的定义与基本不等式可得有关的不等式，解不等式得到离心率的取值范围，从而逐项判断四个选项即可得到答案. 【详解】根据题意，图象如图所示： 设为椭圆C的左焦点，因为直线与椭圆C交于A，B两点， 所以由椭圆的对称性得，又， 于是四边形为平行四边形. 因为M，N分别为，的中点，是中点， 所以，， 平行四边中,， 在中， . 因为直线斜率存在，所以A，B两点不在y轴上，即， 又在中，， 所以，，即， 又，所以，即. 综上所述，； 因为，故A，C错误； ，即，故B正确； ，即，故D正确. 故选：BD． 28．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线上上存在一点满足，则椭圆的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由可得，又点在右准线上可得，解关于的一元二次不等式，结合即可求得结果. 【详解】取的中点Q，连接，如图所示， 则，所以， 所以，所以为等腰三角形， 即，且，所以， 又因为点在右准线上， 所以，即， 所以，即，解得或， 又，所以， 故答案为：. 29．（23-24高二上·湖南·期末）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，椭圆右准线上存在一点P满足，则椭圆的离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】由可得，又点在右准线上可得，解关于的一元二次不等式，结合即可求得结果. 【详解】取的中点Q，连接，如图所示，    则，所以， 所以，所以为等腰三角形，即，且， 所以， 又因为点在右准线上， 所以，即， 所以，即，解得或， 又，所以， 故答案为：. 30．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）如图，直线与椭圆相交于两点，且的中点为； (1)求椭圆的离心率； (2)若直线与椭圆相交于两点，求证：四点在同一个圆上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设，根据点差法求解即可； （2）设，联立与椭圆的方程，求得的中点，再联立与椭圆的方程，根据弦长公式求得，，并根据勾股定理证明即可 【详解】（1）设，则， 两式相减得： 因为 所以，所以 （2）设 由得 所以的中点为 所以 由得 所以 所以 由已知可得为的中垂线且 所以 所以四点在以为直径的圆上． 根据离心率求椭圆的标准方程 31．（23-24高二上·湖南株洲·期末）在平面直角坐标系中，椭圆C的中心在原点，焦点，在x轴上，离心率为，过的直线l交椭圆C于A，B两点，且的周长为16，则椭圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形周长得a，再由离心率得c，求出b，得椭圆方程. 【详解】的周长为，即，离心率为，故，，所以椭圆的方程为. 故选：D. 32．（23-24高二上·湖南张家界·期末）在直角坐标系中，已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率是，点P为椭圆短轴的一个端点，的面积是. (1)求椭圆的方程； (2)若动直线与椭圆交于两点，且恒有，是否存在一个以原点为圆心的定圆，使得动直线始终与定圆相切？若存在，求出圆的方程，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据离心率与三角形的面积公式得的值，进而得椭圆的方程. （2）讨论直线的斜率不存在，设其方程为，根据得，代入方程解得，进而求得；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，求得，再联立方程，运用判别式大于和韦达定理，以及向量数量积的坐标表示，结合恒成立思想，求得，即可判断存在定圆满足题意. 【详解】（1）依题意可得，，又， 解得， 所以椭圆方程为 （2）存在，其定圆的方程是.    设原点到直线的距离为， 当直线斜率不存在时，设直线的方程为， 由，可知为等腰直角三角形，则可设， ∴  ，即，此时， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， ∴  ，整理得， 联立方程，可得， 此时， ， ∴   即恒成立， 即恒成立，所以，即， 所以定圆的方程是； 综上，当时，存在定圆始终与直线相切，其方程是. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于借助，代入，并分解为. 33．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）已知椭圆的离心率，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点，与交于点，记的率分别为，试探究的关系，并证明. 【答案】(1)； (2)，证明见解析. 【分析】（1）由离心率、点在椭圆上及参数关系求参数，即可得椭圆方程； （2）设直线方程为，则，设，联立椭圆并应用韦达定理、斜率两点式求，即可证关系. 【详解】（1）由题意得，则，所以E的方程为； （2）的关系：. 证明：由题意得，直线的斜率一定存在， 设直线方程为，则，设， 联立直线与椭圆方程，整理得， 因为直线过右焦点，故直线与椭圆恒有两个交点， 所以， ，，， ， 综上，得证. 34．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为. (1)求的方程； (2)设直线与交于两点，求的周长. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）易知，再由离心率求解； （2）联立方程易得，再由对称性得到求解. 【详解】（1）解：由题意知的半焦距， 因为离心率，所以， ， 所以的方程为. （2）联立方程得解得 所以. 由对称性可知， 所以的周长为. 35．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知椭圆过点，离心率为，经过圆上一动点P作两条直线，它们分别与椭圆E恰有一个公共点，公共点分别记为A、B． (1)求椭圆E的标准方程； (2)求证：； (3)求面积的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）把点的坐标代入椭圆，结合离心率求出椭圆方程； （2）设P点坐标，分类讨论直线斜率是否存在，联立椭圆，求出两直线斜率关系，即证垂直； （3）先求出特殊位置时的面积，再设，的直线与椭圆联立，求出坐标，进一步求出直线AB方程，与椭圆联立，韦达定理，求弦长和面积，最后利用对勾函数求最值. 【详解】（1）由椭圆E的离心率，∴， 又椭圆E过点，∴，解得，则， 故椭圆E的标准方程为 （2）设P点坐标为，依题意、的斜率不能同时不存在或同为0． ①若、中的斜率有一个不存在时（，的斜率有一个不存在时，另一个为0，若有一个为0时，则另一个不存在），不妨设的斜率不存在， 则直线的方程为，∴， 则另一条直线的方程为，此时． ②若、斜率存在且不为0时，设过P点的方程为，代入方程 得：， ∴， 整理得：（*）且，又， ∴，方程（*）的两个根即为、的斜率， ∴，即． 综上：． （3）同（2）设及， ①当或时，； ②当时，，斜率存在且不为0，设方程为：， 联立椭圆E消去y并整理得：， ∴， 化简得：，解得：，又， 故，∴直线的方程为：，即， 同理可得的方程为：．又在直线、上， 则，∴直线的方程为：． 由，消去y整理可得：， 又，所以，， ∴，． ∴．又点O到直线的距离， ∴ ， ∵，且，∴或， ∴或， 故． 综上可知，面积的最大值为． 36．（23-24高二上·湖南娄底·期末）已知椭圆 的离心率为 ，长轴长为 ， 为椭圆的右焦点. (1)求椭圆 的方程； (2)已知点 ， 是椭圆上的点，求 的最小值； (3)点 是以长轴为直径的圆 上一点，圆 在点 处的切线交直线 于点 ，求证：过点 且垂直于 的直线 过定点. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由长轴长得，再由离心率得，然后求出得椭圆方程； （2）用三角换元法，设，，由数量积的坐标运算把数量积表示为的三角函数形式，利用三角函数的性质、二次函数性质可得最小值； （3）设 ，，则 ，由圆切线性质得出，按和分类讨论得出直线的方程，根据刚才和关系式可得直线所过定点坐标． 【详解】（1）由题意得 解得 ，， 所以 ，则椭圆 的方程为 . （2）由 是椭圆 上的动点， 可设 ，， 则 ，， 所以 , 因为 ， 所以当 时， 取得最小值，最小值为 ， （3）由题意知，圆 的方程为 ， 设 ，，则 ， 由 ，得 ， 即 ， 即 ， 因为 ，所以 ， 当 时，，直线 的方程为 ，直线 过椭圆的右焦点 ， 当 时，直线 的方程为 ， 即 ，即 ， 直线 过椭圆的右焦点 ， 综上所述，直线 过椭圆 的右焦点 . 【点睛】方法点睛：直线过定点问题，一般设出动点坐标（或其他参数），由动点坐标（参数）表示出动直线方程，再结合动点坐标（参数）满足的性质观察直线方程得出定点坐标． 37．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）设椭圆：的离心率为，焦距为2，过右焦点的直线与椭圆交于A，两点，点，设直线与直线的斜率分别为，. (1)求椭圆的方程； (2)随着直线的变化，是否为定值？请说明理由. 【答案】(1) (2)是定值，理由见解析 【分析】（1）根据焦距，求得c值，根据离心率，求得a值，根据a，b，c的关系，可得，即可得答案. （2）当直线l斜率为0，即为x轴时，分析可得；当直线l斜率不为0时，设直线的方程为：，，，将直线与椭圆联立，可得关于y的一元二次方程，利用韦达定理，可得、表达式，根据斜率公式，化简整理，即可得证. 【详解】（1）因为焦距，所以， 因为离心率，所以， 所以， 所以椭圆的方程为. （2）当直线l斜率为0，即为x轴时， 则，所以； 当直线l斜率不为0时，设直线的方程为：，，， 将直线l与椭圆联立，消x整理得， 所以，， 所以，， 所以. 综上所述：为定值0. 38．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知椭圆C：的离心率为，左顶点坐标为． (1)求椭圆C的方程； (2)过点的直线l与椭圆C相交于M，N两点，设点，问：直线BM，BN的斜率之和是否为定值？若是，请求出该值；否则，请说明理由． 【答案】(1) (2)为定值，定值为-2 【分析】（1）由题意，先求得a值，根据离心率，可得c值，根据a，b，c的关系，可得的值，即可得答案. （2）当直线l斜率存在时，设直线l：，与椭圆联立，根据韦达定理，可得的表达式，根据斜率公式，求得的表达式，化简整理，即可得答案；当直线l的斜率不存在时，直线l：，所以，化简计算，可得为定值，即可得答案. 【详解】（1）由题意得 又，所以 所以， 所以椭圆C：． （2）当直线l斜率存在时，设直线l：，（其中），，， 联立，消y可得， 则，解得或， ， 所以 （定值） 当直线l的斜率不存在时，直线l：，则M，N关于x轴对称，所以， 所以， 综上可得（定值） 39．（23-24高二上·湖南张家界·期末）已知椭圆：的左､右焦点分别为，，离心率为，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆相交于，两点（A、B非椭圆顶点），求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率和点在椭圆上建立方程，结合，然后解出方程即可 （2）设直线的斜率为，联立直线与椭圆的方程，然后利用韦达定理表示出，两点的坐标关系，并表示出为直线斜率的函数，然后求出的最大值 【详解】（1）由椭圆过点，则有： 由可得： 解得： 则椭圆的方程为： （2）由（1）得，，已知直线不过椭圆长轴顶点 则直线的斜率不为，设直线的方程为： 设，，联立直线方程和椭圆方程 整理可得： 故是恒成立的 根据韦达定理可得：， 则有： 由，可得： 所以的最大值为： 40．（23-24高二上·湖南·期末）已知椭圆经过点，离心率. (1)求椭圆C的方程； (2)设直线l不经过点且与C相交于A，B两点.若直线PA与直线PB的斜率的和为，证明：直线l过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）点的坐标代入方程，结合离心率椭圆基本量关系，可得解. （2）设，代入椭圆方程，运用韦达定理及斜率关系找到的关系即可. 【详解】（1）由，， 椭圆C的方程可化为：， 又，在C上，所以，解得. 故C的方程为. （2）设直线PA与直线PB的斜率分别为，， 如果l与x轴垂直，设l：，由题设知，且， 可得A，B的坐标分别为，. 则，得，不符合题设. 从而可设，设，， 将代入，得， 由题设可知. 则，. 而 . 由题设，故. 即. 解得，代入，解得， 此时，即. 所以l过定点. 五、多选题 41．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，是上异于的一个动点.若，则下列说法正确的有（    ） A．椭圆的离心率为 B．若，则 C．直线的斜率与直线的斜率之积等于 D．符合条件的点有且仅有2个 【答案】AC 【分析】根据得到与的关系从而求得离心率，通过解直角三角形判断B选项，通过设点的坐标，表示出两条直线的斜率判断C选项，结合圆上的点的特点，判断D选项. 【详解】A选项，，，因为即， 解得，所以离心率，故A正确； B选项，若，连接， 在中，由勾股定理得，又因为点在椭圆上，所以， 所以，又由，解得， 所以，故B错误； C选项，设，， 则，，， 又因为点在椭圆上，所以，因为，所以， 从而，所以，故C正确； D选项，因为，所以点在以为直径的圆上，半径为， 又因为，所以该圆与椭圆无交点，所以同时在圆上和在椭圆上的点不存在，即没有符合条件的点，故D错误. 故选：AC. 六、填空题 42．（23-24高二上·湖南永州·期末）表示以点为中心的椭圆，如图所示，为椭圆C：的左焦点，Q为直线上的一点，P为椭圆C上的一点，以为边作正方形（F，P，A，B按逆时针排列），当P在椭圆上运动时，的最小值为 ． 【答案】 【分析】通过旋转变换得点的轨迹方程，当过点的椭圆的切线与已知直线平行时，可能取最小值，由此即可得解. 【详解】由题意将椭圆逆时针旋转得到：为动点的轨迹方程， 设与已知直线平行的直线为：，联立得， ，化简得，， 相切时满足：， 两平行直线最短距离即为所求. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：通过旋转变换得点方程，结合直线与椭圆的位置关系即可顺利得解. 七、解答题 43．（23-24高二上·湖南·期末）已知椭圆的离心率，且上的点到点的距离的最大值为. (1)求的方程； (2)过的直线与交于，记关于轴的对称点为. ①试证直线恒过定点； ②若在直线上的投影分别为，记的面积分别为，求的取值范围. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②. 【分析】（1）根据椭圆的离心率及距离的最大值，列出方程组求解即得. （2）（i）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用斜率坐标公式，结合韦达定理推理即得； （ii）由（i）的信息，借助三角形面积建立函数关系，再利用函数的单调性求出最大值. 【详解】（1）由的离心率，则， ，设上的点， 则， ， ①当，即时，的最大值为， 由，则， 又，所以，所以此时椭圆的方程为 ②当，即时，的最大值为， 由， 即，解得，不合题意. 综上可知，的方程为. （2）①当直线斜率存在时，设直线的方程为， ，则， 由得， ，即 ， 直线方程为， 当时， ， 故直线恒过定点. 当直线斜率不存在时，直线方程为也过. 故直线恒过定点. ②由题意知，此时的斜率一定存在. ， 由及， 所以 ， 因为，令， 所以在上单调递增. 故的取值范围为. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答. 44．（23-24高二上·湖南张家界·期末）已知椭圆的离心率为，左､右顶点分别为，，且过点. (1)求的方程； (2)若，为上与点，均不重合的两个动点，且直线，的斜率分别为和. （i）若（为坐标原点），判断直线和的位置关系； （ii）证明：直线经过轴上的定点. 【答案】(1) (2)（i）垂直；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据椭圆离心率可得，再代入点可得椭圆方程； （2）（i）设点，可得，可得点坐标，进而确定，并判断位置关系；（ii）设直线方程，联立直线与椭圆，结合韦达定理，可证直线过定点. 【详解】（1）由已知设椭圆方程为， 又椭圆离心率为，即， 所以椭圆方程为， 又椭圆过点， 所以，则，， 所以椭圆方程为； （2）（i）设，则， 又，， 因为，所以， 即， 解得，则， 即，， 所以， 即直线和垂直； （ii）由椭圆的对称性可知当时，，不成立， 所以直线与轴不平行，设，且，， 联立直线与椭圆， 得，， 则，， 又，即， 即， 即， 化简可得， 则或， 又当时，，， 又因为直线不过点，所以,所以，无解， 综上所述，，直线方程为， 所以恒过轴上的定点. 【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 45．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知圆，圆动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设不经过点的直线与曲线相交于两点，直线与直线的斜率均存在且斜率之和为，直线是否过定点，若过定点，写出定点坐标． 【答案】(1)； (2)直线过定点. 【分析】（1）由圆，可知圆心为，半径为1，圆，圆心为，半径为3．设动圆的半径为，根据动圆与圆外切并与圆内切，可得，由椭圆的定义即可求解； （2）①当直线斜率存在时,设直线:，设，与椭圆方程联立可得，根据，可得，代入，可得，可求直线所过的定点.同理，当直线斜率不存在时,设直线:,且，根据求出即可得直线所过的定点，综合即可求解. 【详解】（1）设动圆的半径为， 因为动圆与圆外切,所以. 因为动圆于圆外切,所以, 则, 由椭圆的定义可知,曲线是以为左、右焦点，长轴长为4的椭圆. 设椭圆方程为, 则，故, 所以曲线的方程为. （2）①当直线斜率存在时,设直线:， 联立，消去可得, 则，化简得. 设，则. 由题意知，因为, 所以, 所以, 所以, 即, ， 即， 即. 因为，所以，即， 所以直线的方程为， 所以直线过定点. ②当直线斜率不存在时，设直线:，且, 则点. 所以 ,解得, 所以直线的方程为，也过定点. 综上所述, 直线过定点. 【点睛】方法点睛:圆锥曲线中定点问题的两种解法: （1）引进参数法:先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点； （2）特殊到一般法:先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 46．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知椭圆，过椭圆上一动点引圆的两条切线为切点，直线与轴、轴分别交于点． (1)已知点坐标为，求直线的方程； (2)若圆的半径为2，且，过椭圆的右焦点作倾斜角不为0的动直线与椭圆交于两点，点在轴上，且为常数，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，求出，求出，求出切线的方程，同理求出切线的方程即可求出直线的方程； （2）由（1）得出点和点的坐标，代入得到椭圆的方程，设出直线的方程，联立直线与椭圆的方程写出韦达定理，设，求出，根据为定值求出，求出焦点坐标，根据即可求出的面积的最大值. 【详解】（1）如图，    设，，所以， 所以，所以切线的方程为， 因为，所以切线的方程为， 同理可得切线的方程为， 因为点即在直线也在直线上， 所以直线的方程为； （2）如图， 由题意得：，由（1）易得，， 代入得， 因为，所以， 因为点为动点，所以，所以， 所以椭圆方程为，设直线， 联立得， 所以，， 设，所以 ， 因为为定值，所以， 所以，所以，由椭圆方程易得焦点， 所以 ，令，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的面积的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于得出点和点的坐标，代入得到椭圆的方程，设出直线的方程，联立直线与椭圆的方程写出韦达定理，设，求出，根据为定值求出. 47．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知中心在原点，长轴在轴上的椭圆的左右顶点分别为和，P为椭圆上的除左右顶点外的任一点，且，斜率之乘积为. (1)求椭圆的方程； (2)过分别作两条直线与椭圆交于点，点；线段的中点为，线段的中点为，若，求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设椭圆方程为，根据，斜率之乘积为，列式，求出b，即可得答案； （2）解法一：讨论直线斜率是否存情况，存在时，设直线，并联立椭圆方程，可得出根与系数的关系式，结合，可得，代入根与系数的关系式，化简，可得参数之间的关系，即可证明结论； 解法二：设，，，利用点差法推出，讨论直线斜率是否存情况，存在时，设直线，并联立椭圆方程，可得出根与系数的关系式，代入，化简，可得参数之间的关系，即可证明结论； 【详解】（1）由题意，设椭圆方程为. 设，则， ， 所以椭圆方程为. （2）解法1：①当直线的斜率存在时，设直线， 与椭圆方程联立得，， 需满足；    设，，则，， ，， ，， 即，， 即， 即， 即，， 或， 当时，直线过左顶点，不合题意，舍去； 当时，满足， 此时直线：经过定点. ②当直线斜率不存在时，设，，则，， 由得，， 解方程组，得，此时直线过， 综合①②可知，直线过. 解法2：设，，， 则，，，即， 同理，，又，得， 直线的斜率存在时，设直线，代入椭圆方程， 得， ，，需满足， ，， ， ， 即，， 或， 当时，直线过右顶点，不合题意，舍去； 当时，满足， 此时直线：经过定点. ②当直线斜率不存在时，设，，则，， 由得，， 解方程组，得，此时直线过， 综合①②可知，直线过. 【点睛】难点点睛：本题考查了椭圆方程的求解以及直线和椭圆的位置关系中直线过定点问题，解答是要联立方程利用根与系数的关系进行化简，难点就在于化简过程较为复杂，计算量较大，需要十分细心. 48．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知椭圆的离心率为，过原点的直线l与椭圆C交于A，B两点，D，E，F为椭圆上不同于A，B的点，且，.当l的斜率为0时，的最大面积为2. (1)求椭圆C的标准方程； (2)的面积是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由. 【答案】(1) (2)是定值1 【分析】（1）根据点D取上、下顶点时，的面积取到最大值为2，再结合离心率求出，即可得解； （2）设，，，由点在椭圆上可求出，进而可求得，再分直线EF的斜率是否存在，当直线EF的斜率存在，设，联立方程，利用韦达定理求出两根之和和两根之积，再结合的值求出的关系，进而可得出结论. 【详解】（1）当l的斜率为0时，点D取上、下顶点时， 的面积取到最大值为2，即， 又，解得，， 所以椭圆C的标准方程为； （2）设，，， 则①，②， 得，即， 当时，， 即，所以， 若直线EF的斜率不存在，则E，F两点关于x轴对称， 不妨设，，， 与椭圆方程联立得或， ， 若直线EF的斜率存在，设， 与联立得， 设，， ，，， 由， 得， 将，代入整理得， 由，得， 所以 ， 点O到直线EF的距离， 则， 当时，直线AD的斜率不存在，由椭圆的对称性可知直线BD的斜率为0， 此时点E为椭圆的上、下顶点，点F为椭圆的左、右顶点，， 同理，当时，， 综上，的面积为定值1. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 49．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）已知是椭圆上的一点，为椭圆的左､右焦点，为其短轴的两个端点，是与的等差中项. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于点，与圆切于点，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)为定值， 【分析】（1）由椭圆定义得到，结合在椭圆上，得到方程组，求出，得到椭圆方程； （2）考虑直线的斜率不存在和存在两种情况，设出直线方程，与椭圆方程联立，计算出，从而得到为定值. 【详解】（1）将点代入椭圆方程得①， 由题意可知：， 由椭圆定义可知②， 由①②得. 椭圆的方程为. （2）当直线的斜率不存在时，不妨取直线的方程为：， ， ∵， 在Rt中，. 当直线的斜率存在时，设的方程为：.   直线与圆相切，.即. 由得， . 从而在Rt中，. 由①②得，为定值. 【点睛】方法点睛： 定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定 50．（23-24高二上·湖南·期末）已知为椭圆上一点，且点在第一象限，过点且与椭圆相切的直线为.    (1)若的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值，并求出该定值； (2)如图，分别是椭圆的过原点的弦，过四点分别作椭圆的切线，四条切线围成四边形，若，求四边形周长的最大值. 【答案】(1)证明见解析；； (2). 【分析】（1）设点P的坐标及直线l的方程，与椭圆的方程联立，利用推理求解作答. （2）利用（1）的结论，结合已知可得四边形是矩形，借助对称性求出该矩形一组邻边长，再利用均值不等式求解作答. 【详解】（1）设，设，其中， 由消去y并整理得，， 依题意，得， 即，即， ，而，即， 即，即，所以. （2）由（1）知，，则，而， 即有，则，又分别是椭圆的过原点的弦， 同理，因此四边形为矩形， 由（1）知，直线的方程为，则， 显然与关于原点对称，因此直线的方程为， 直线的距离为， 由与垂直，得直线的斜率，同理得直线的距离为， ， ，因此，当且仅当时等号成立， 因此矩形的周长的最大值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$