专题04 圆的方程（四大题型，45题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（湖南专用）

专题04 圆的方程（四大题型，45题） 圆的标准方程 1．（23-24高二上·湖南·期末）若的三个顶点坐标分别为，，，则外接圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出线段的中点的坐标即得解. 【详解】解：由题得是直角三角形，且. 所以的外接圆的圆心就是线段的中点， 由中点坐标公式得. 故选：C 2．（23-24高二上·湖南常德·期末）若直线l：经过第二、三、四象限，则圆C：的圆心位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据题意，由条件可得，，结合圆心坐标即可得到结果. 【详解】因为l经过第二、三、四象限，所以，， 所以，故位于第二象限. 故选：B 3．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）点分别是函数图象上的点，若点关于原点对称，则称点是一对“关联点”．已知，则函数图象上的“关联点”有（    ）对 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】法一：根据题意将转化为关于的方程，根据方程解的个数作出判断即可；法二：将问题转化为函数图象的交点问题，根据图象作出判断即可. 【详解】法一：根据题意，设为，图象上的“关联点”，则，即， 设，则，解得或（舍去）， 由，得，且， 则方程有个不同实根，故函数，图象上的“关联点”有对， 故选：C. 法二：令，则，该方程表示圆心为，半径为的半圆（轴上方）， 先作出这个半圆和函数的图象，再将半圆旋转，由图象可知，满足条件的“关联点”有对， 故选：C. 4．（23-24高二上·湖南郴州·期末）德国数学家米勒曾提出最大视角问题：已知点是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当在何处时，最大？结论是：当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大.人们称这一命题为米勒定理.在平面直角坐标系内，已知，点是直线上一动点，当最大时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，设的外接圆的圆心为，得到，求得，得到圆心，再求得直线的方程，联立方程组，即可求解. 【详解】由点，可得线段的垂直平分线的方程为， 设的外接圆的圆心为，其中，且圆的半径为， 因为直线与圆相切，可得， 又由，所以， 解得或（舍去），即圆心， 又由，可得，解得， 则直线的方程为，即， 联立方程组，解得，即点的坐标为. 故选：C. 5．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）圆心在y轴，半径为1且过点的圆的标准方程为： 【答案】 【分析】根据给定条件，求出圆心坐标即可得解. 【详解】依题意，设圆心为，则，解得， 所以所求圆的标准方程是. 故答案为： 6．（23-24高二上·湖南·期末）曲线的周长为 . 【答案】 【分析】曲线围成的图形关于x轴，y轴对称，结合圆的方程运算求解. 【详解】当时，方程可化为， 此时，曲线是一个半径为的半圆， 由对称性可得曲线在各个象限内都是半径为的半圆， 故曲线的周长是4个半径为的半圆之和， 即. 故答案为：. 7．（23-24高二上·湖南怀化·期末）已知点，当四边形的周长最小时，过三点的圆的圆心坐标为 . 【答案】 【分析】利用两点间的距离公式得到，表示点当的距离之和，由最小时，M，E，F共线求得a，分别求得线段和线段的中垂线方程，求得交点即可. 【详解】解：因为的长度为定值， 则最小即可， 而， 表示点当的距离之和， 所以的最小值为，此时， 因为这三点共线，所以， 解得，此时， 线段的中垂线方程为，线段的中垂线方程为， 由，解得， 所以过三点的圆的圆心坐标为， 故答案为： 8．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）如图，已知是圆的弦，为的中点，且在弦上的射影为，则，该定理称为阿基米德折弦定理.在上述定理中，若已知，，点在直线下方，，则过点的圆的方程为 . 【答案】 【分析】根据几何关系，首先确定，即可确定圆的直径为，再根据对称关系求点的坐标，以及点的坐标，即可求圆的方程. 【详解】因为，所以， 因为，所以为直径，且. 设， 则，解得（舍去）或， 设，由，得，解得， 过点的圆，是以为直径的圆， 所以其圆心为，半径为 故答案为：. 9．（23-24高二上·湖南·期末）若圆的圆心在上，且圆与直线切于点． (1)求圆的标准方程； (2)已知点，，若为圆上任意一点，求的最大值并求出取得最大值时点的坐标． 【答案】(1) (2)最大值为53，的坐标为 【分析】（1）根据圆心在直线上，结合相切，即可求解圆心和半径， （2）方法一，利用三角换元，结合三角恒等变换以及三角函数的性质即可求解最值，方法二，利用坐标法可将问题转化为圆上的点到点距离的平方的最值，即可联立直线与圆的方程求解坐标． 【详解】（1） 设圆心，由于直线与圆相切于点，所以， 故，，所以圆的标准方程为 （2） 方法一：设， 则 ，其中，， 所以，当时，的最大值为53． 此时，，，，，所以． 方法二：设，则， ∴． 又，所以， 因为表示圆上的点到点距离的平方． 易得，的最大值为， 所以的最大值为53．此时，，和三点共线，且，位于两侧时， 直线方程， 联立直线与可得，解得或（舍去），则 故的坐标为．    10．（23-24高二上·湖南常德·期末）已知平面直角坐标系内三点. (1)若在圆M上，求圆M的方程； (2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据待定系数法即可求解， （2）根据斜率相等，结合两点斜率公式即可求解. （3）根据两点斜率公式，即可求解. 【详解】（1）设圆M的方程：， ∵在圆上， ∴，解得， ∴圆的方程为， （2）当点D在第一象限时，， 设，则，解得，故点； （3）可看作时是到的斜率，即， 当点E与点C重合时，直线的斜率最小，； 当点E与点A重合时，直线的斜率最大，； 故直线BE的斜率的取值范围为， 即的取值范围为 圆的一般方程（13-14为多选） 11．（23-24高二上·湖南张家界·期末）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点，的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点与两定点，的距离之比为时的阿波罗尼斯圆为．下面，我们来研究与此相关的一个问题：已知圆上的动点和定点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取点，推理证明得，把问题转化为求点M到定点B，N距离和的最小值作答. 【详解】如图，点M在圆上，取点，连接，有， 当点不共线时，，又，因此∽， 则有，当点共线时，有，则， 因此，当且仅当点M是线段BN与圆O的交点时取等号， 所以的最小值为. 故选：C 【点睛】方法点睛：圆及圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 12．（23-24高二上·湖南株洲·期末）圆的半径为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】将圆方程化为标准方程，可得半径． 【详解】圆变形为， 所以圆的半径为2． 故选：C． 13．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知圆的一般方程为，则（    ） A．圆的圆心为 B．圆经过原点 C．圆的半径为25 D．圆被轴截得的弦长为8 【答案】ABD 【分析】将圆的一般方程化为标准方程即可判断ABC，再利用弦长公式即可判断D. 【详解】由已知，圆的标准方程为， 所以圆心为，故A正确； 满足圆的方程，故B正确； 圆的半径为5，故C错误； 圆心到x轴的距离为3 圆被轴截得的弦长为，故D正确. 故选：ABD 14．（23-24高二上·湖南·期末）已知直线过定点则下列结论正确的是（    ） A．P的坐标为 B．当时，l在y轴上的截距为 C．若l与直线垂直，则 D．点P在圆的外部 【答案】ABD 【分析】根据直线过定点问题判断A，根据截距的定义判断B，根据直线垂直公式列方程求解判断C，根据点与圆的位置关系判断D． 【详解】对于A，由题意得直线，即， 由，解得，故A正确； 对于B，当时，直线l为，令，， 所以在y轴上的截距为，故B正确； 对于C，由，解得，故C错误； 对于D，因为，所以点P在圆的外部，故D正确. 故选：ABD 15．（23-24高二上·湖南常德·期末）已知动直线与圆恒有两个不同的交点、.设弦的中点为，当变化时，总存在定点使得为定值，则点的坐标 . 【答案】 【分析】求出直线经过的定点，再结合圆的性质确定点满足的几何关系即可得解. 【详解】直线恒过定点，显然点在圆内， 即直线与圆总相交，由为弦的中点，得， 因此点在以线段为直径的圆上（除点外），此圆圆心为，当点为时，的值恒为1， 所以点的坐标是. 故答案为： 16．（23-24高二上·湖南常德·期末）若方程表示圆，则m的取值范围为 . 【答案】 【分析】首先将圆的方程配方等价变形为，然后由方程表示圆的充要条件可知，解不等式即可. 【详解】首先将圆的方程配方变形为， 由题意若方程表示圆， 则当且仅当， 解得或，即m的取值范围为. 故答案为：. 17．（23-24高二上·湖南张家界·期末）已知直线：和圆：. (1)求圆C的圆心坐标和半径； (2)求经过圆的圆心且与直线垂直的直线方程. 【答案】(1)半径为2，圆心坐标为 (2) 【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，即可求解； （2）首先利用垂直关系设所求直线方程为，再代入圆心坐标，即可求解. 【详解】（1）圆可化为，则圆心为，半径为2； （2）设与直线垂直的直线的方程为 已求出圆的圆心坐标为， 又因为直线经过圆心，所以，即， 故所求直线方程为 18．（23-24高二上·湖南永州·期末）的顶点是，，． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求过点A，B，C的圆方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线的斜率，得到边上的高所在直线的斜率，点斜式求出直线方程，得到答案； （2）设出圆的一般方程，待定系数法进行求解. 【详解】（1）直线的斜率为，故边上的高所在直线的斜率为， 故边上的高所在直线的方程为，即； （2）设圆的方程为， 将，，代入得 ，解得， 故圆的方程为. 19．（23-24高二上·湖南·期末）已知四边形的三个顶点，，． (1)求过A，B，C三点的圆的方程． (2)设线段上靠近点A的三等分点为E，过E的直线l平分四边形的面积．若四边形为平行四边形，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）方法一：根据斜率分析可知，结合直角三角形的外接圆的性质分析求解；方法二：设圆的一般方程，代入A，B，C三点运算求解即可； （2）利用向量关系求得.方法一：根据题意可知直线l过线段的中点，再利用直线的两点式方程运算求解；方法二：设l与相交于点，可知，利用向量关系求得点，再利用直线的两点式方程运算求解. 【详解】（1） 方法一：因为，，， 则，， 由，得， 则过A，B，C三点的圆的圆心为线段的中点， 半径， 所以过A，B，C三点的圆的方程为； 方法二：设过A，B，C三点的圆的方程为， 则，解得， 故过A，B，C三点的圆的方程为，即. （2） 设， 由题意可得：，， 因为线段上靠近点A的三等分点为E，则， 则，解得，即． 方法一：直线l平分四边形的面积，可知直线l过线段的中点， 所以直线l的方程为，整理得； 方法二：设l与相交于点，则， 由直线l平分四边形的面积，可得， 则，解得，即， 所以直线l的方程为，整理得. 20．（23-24高二上·湖南·期末）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius）在《平面轨迹》一书中，研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下著名结果：平面内到两个定点距离之比为（且）的点的轨迹为圆，此圆称为阿波罗尼斯圆. (1)已知两定点，，若动点满足，求点的轨迹方程； (2)已知，是圆上任意一点，在平面上是否存在点，使得恒成立?若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在，点 【分析】（1）设，根据列方程，化简求得的轨迹方程. （2）假设存在满足条件，设，根据已知条件列方程组，求得，进而确定正确答案. 【详解】（1）设，则由可得， 即，整理得点的轨迹方程为：； （2）假设存在满足条件，即有， 设，整理可得①， 又因为点在圆上，则②， 将②代入①可得， 由题可得，解得，， 所以， 故存在点满足条件. 【点睛】求动点轨迹方程的具体步骤如下：建立适当的坐标系，设出动点的坐标，写出点的集合，列出方程，化简方程为最简形式，检验.这些步骤是求动点轨迹方程的一般步骤，根据不同的题目和条件，可能需要进行适当的调整和变化. 直线与圆的位置关系（26-28为多选） 21．（23-24高二上·湖南长沙·期末）直线，圆．则直线被圆所截得的弦长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，可得直线过圆心,从而可求解. 【详解】圆的标准方程为,直线过圆心, 所以直线被圆所截得的弦长等于直径长度4. 故选:B． 22．（23-24高二上·湖南长沙·期末）是圆上恰有两个点到直线的距离等于的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】首先计算圆心到直线的距离，再结合直线与圆的位置关系，以及充分，必要条件的定义，即可求解. 【详解】若，则圆心到直线的距离， 则圆上恰有两个点到直线的距离等于， 反过来，若圆上恰有两个点到直线的距离等于， 则，即或，不一定， 所以是圆上恰有两个点到直线的距离等于的充分不必要条件. 故选：A 23．（23-24高二上·湖南益阳·期末）若直线上存在点，过点作圆的两条切线，为切点，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可求得P点轨迹为，根据题意可知直线与有交点，由直线和圆的位置关系即可求得k的取值范围. 【详解】如下图所示，已知圆心，半径    设，令，则， 因为，所以，即， 所以，即， 所以满足条件的P点轨迹为，又点P在直线上， 所以直线与有交点，即， 解得，即或，所以． 故选：B 24．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知在圆外，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上皆有可能 【答案】A 【分析】由几何法圆心到直线的距离与半径的大小比较可得. 【详解】由题意圆的圆心，半径， 由在圆外，得， 则圆心到直线的距离， 故直线与圆相交. 故选：A. 25．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知圆，直线，l与圆C相交于A、B两点，当弦长最短时，直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知：直线过定点，且点在圆内，可知当时，弦长最短，结合垂直关系分析求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心，半径， 直线，可知直线过定点，斜率为， 因为，则点在圆内， 可知当时，弦长最短， 又因为，可知直线的斜率，即， 所以直线l的方程为，即. 故选：C. 26．（23-24高二上·湖南长沙·期末）在平面上，动点与两定点满足（且），则的轨迹是个圆，这个圆称作为阿波罗尼斯圆.已知动点与两定点满足，记的轨迹为圆.则下列结论正确的是（    ） A．圆方程为： B．过点作圆的切线，则切线长是 C．过点作圆的切线，则切线方程为 D．直线与圆相交于两点，则的最小值是 【答案】ABD 【分析】利用距离关系列式求解方程判断A，利用切线长定理求解判断B，利用切线性质求出斜率，代入点斜式即可求出切线方程判断C，先求出直线恒过定点，再利用几何性质结合弦长公式求解判断D. 【详解】对于A，由题意点，， 因为，所以，即， 所以动点M的轨迹圆C的方程为，正确； 对于B，由选项A知圆心，半径，设切点为D， 所以，则，因为， 所以，即过点作圆的切线，切线长是，正确； 对于C，因为，所以点在圆上，因为， 所以过点的切线斜率为， 所以切线方程为，即，错误； 对于D，由，可得， 联立，解得，即该直线恒过定点，因为， 所以点在圆内，由图知，当轴时，此时， 有最小值是，正确. 故选：ABD 27．（23-24高二上·湖南常德·期末）已知圆，直线，点在直线上运动，直线，分别与圆切于点，.则下列说法正确的是（    ） A．最短为 B．最短时，弦所在直线方程为 C．存在点，使得 D．直线过定点为 【答案】ABD 【分析】确定当时，最小，即可求得的最小值，判断A；结合A的分析，设出的方程，求出弦心距，利用点到直线的距离公式求出参数，即可判断B；假设存在点，使得，求出此时，和M到直线l的最短距离比较，即可判断C；求出切点弦的方程，结合点在直线上运动，求出所过定点，判断D. 【详解】由题意知，圆的半径为，且，， 故, 即当最小时，最短，当时，最小， 最小值为，故的最小值为，A正确； 当最短时，，故的斜率为-1， 又，故的斜率为1，设其方程为， 由于此时，，故， 所以M到的距离为. 则有，解得或， 由于，结合图形可知二者之间的距离应小于， 当时，和间的距离为， 时，的方程为和间的距离为， 故最短时，弦所在直线方程为，B正确； 假设存在点，使得，则， 此时为等腰直角三角形，则，结合， 则为等腰直角三角形，而，故， 由于M到直线l的最短距离为，故不存在点，使得，C错误； 设，由于直线，分别与圆相切， 故直线，的方程分别为， 将代入，即， 可得的方程为， 由于，即，故 即，由于，故令， 即直线过定点为，D正确， 故选：ABD 【点睛】难点点睛：本题综合考查了直线和圆相切的问题，涉及最值、定点以及切点弦方程问题，综合性较强，难点在于选项D的判断，解答时要注意根据圆的切线方程，推出切点弦方程，进而求解直线过定点问题. 28．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知圆，则（    ） A．圆的圆心是 B．圆关于轴对称 C．圆上的点到原点的最大距离为3 D．直线与圆有两个交点 【答案】AC 【分析】由题意圆心为，它在轴上，由此即可判断AB；最大距离为圆心距加半径由此即可判断C；由圆心到直线的距离和半径比较大小即可判断. 【详解】由题意圆的圆心为，它在轴上，所以圆关于轴对称，故A对B错； 半径为， 圆心到原点的距离为，所以圆上的点到原点的最大距离为，故C对； 对于D，圆心到直线的距离满足，所以直线与圆没有交点，故D错. 故选：AC. 29．（23-24高二上·湖南永州·期末）已知点，，若在直线l：上至少存在3个不同的点P，使得为直角三角形，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】当时，三点共线，构不成三角形，故．是直角三角形，由直径对的圆周角是直角，知直线和以为直径的圆有公共点即可，由此能求出实数的取值范围． 【详解】当时，三点共线，构不成三角，故， 如图所示，是直角三角形，有三种情况： 当是直角顶点时，直线上有唯一点点满足条件； 当是直角顶点时，直线上有唯一点满足条件； 当是直角顶点时，此时至少有一个点满足条件． 由直径对的圆周角是直角，知直线和以为直径的圆有公共点即可， 以为直径的圆为，圆心为，半径， 所以，解得，且， ∴实数的取值范围是． 故答案为：． 30．（23-24高二上·湖南·期末）若直线与圆交于两点，当最小时，劣弧的长为 . 【答案】 【分析】先求出直线过定点的坐标，再求出圆的圆心和半径，当时取得最小值，最后求出劣弧的长. 【详解】直线可化为， 则当且，即且时，等式恒成立，所以直线恒过定点， 圆的圆心为，半径， 当时，取得最小值，且最小值为， 此时弦长所对的圆心角为，所以劣弧的长为. 故答案为： 31．（23-24高二上·湖南·期末）若直线是圆的一条对称轴，则点与该圆上任意一点的距离的最小值为 ． 【答案】1 【分析】 利用圆关于直线对称可知该直线过圆心，可得，再利用定点到圆上点距离的最值的求法即可求得结果. 【详解】 由题可知，该圆的圆心为，直线过圆心， 则，解得， 则该圆的方程转化为，该圆圆心为，半径为， 易知圆心与的距离为， 故点与该圆上任意一点的距离的最小值为． 故答案为：1 32．（23-24高二上·湖南常德·期末）求圆心在上，与轴相切，且被直线截得弦长为的圆的方程. 【答案】或 【分析】设出圆心坐标，根据圆与轴相切求得半径，进而求出弦心距，弦长，解方程求得圆心坐标，即可求圆的方程. 【详解】解：由已知设圆心为，与轴相切则， 圆心到直线的距离， 又圆被直线截得弦长为，故有， 解得，所以圆心为或，半径 圆的方程为或 33．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知圆经过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程. (2)为圆内一点，弦恰好被点平分，求直线的方程，并判断为钝角三角形､直角三角形还是锐角三角形？ 【答案】(1) (2)，直角三角形 【分析】（1）法一：假设圆的标准方程，代入已知条件即可求解圆的方程；法二：根据圆的性质可得圆心在的垂直平分线上，又因为圆心在直线上，所以可以求出圆心坐标，从而得到半径，得到答案；法三：假设圆的一般方程，代入已知条件进行求解圆的方程；法四：通过直线假设圆的圆心，利用圆心到两点的距离等于半径也可求解. （2）根据垂径定理得到对应得到的斜率，代入点得到的方程，利用三边关系进行三角形形状的判断. 【详解】（1）方法一：设圆的标准方程为 因为圆心在直线上，所以① 又在圆上，代入圆方程得： ②， ③， 由①②③解得： 故圆的标准方程为：. 方法二：设线段的中点为，则. 直线的斜率为 因此的垂直平分线方程为：，即.① 又圆心在直线上，② 由①②解得：圆心. 圆的半径 故圆的标准方程为：. 方法三：设圆的一般方程为： 圆心坐标为，代入得：① 点在圆上：②， ③. 由①②③解得：. 故圆的一般方程为： 方法四：由已知可设圆心坐标为由可得 ，解得 所以圆心. 圆的半径 故圆的标准方程为：. （2）由垂径定理可知：， 所以的直线方程为：，即 圆心到直线距离， 所以， 为直角三角形. 34．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知圆经过点． (1)求的值； (2)过原点的直线与圆交于两点，，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点代入圆的方程计算即可得； （2）设出直线，结合弦长，利用垂径定理计算即可得. 【详解】（1）将点代入圆的方程，可得， 即，即，故或， 又，故； （2）由，故， 圆心为，半径为， 又直线过原点，当直线斜率不存在时，直线方程为， 代入圆方程，可得，解得或， 此时有，不符合要求； 当直线斜率存在时，设直线方程为， 则圆心到直线的距离为， 由垂径定理可得， 故有， 即，整理可得， 即，故或， 综上所述，或， 故直线方程为或. 35．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知圆经过和两点，且与轴的正半轴相切. (1)求圆的方程； (2)若圆与圆关于直线对称，求圆的方程. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）首先设圆的标准方程，再代入条件，即可求解； （2）首先求圆的圆心关于直线的对称点，即求圆的方程. 【详解】（1）根据题意设圆的方程为，其中. 将两点的坐标代入方程得， 解得. 因此圆的标准方程为； （2）因为圆与圆关于对称，所以两个圆的圆心关于对称，半径相等. 由（1）知圆的圆心为，设圆的圆心坐标为， 则， 解得：，，即 所以圆的方程为. 圆与圆的位置关系（38-41为多选） 36．（23-24高二上·湖南永州·期末）已知，，是圆：上的动点，则外接圆的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意确定圆：和圆， 有公共点，结合圆与圆的位置关系列出不等式可求解. 【详解】中点横坐标为，所以外接圆的圆心在上， 设圆心为，则半径为， 圆心距， 圆， 又因为在圆上，所以圆与圆有公共点， 所以， 显然成立， 两边同时平方可得， ，所以， 所以所以 当且仅当解得时取得等号， 所以周长的最小值为， 故选:C. 37．（23-24高二上·湖南郴州·期末）与两圆和都相切的直线有（    ）条 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据圆的标准方程确定两圆的圆心坐标和半径，由圆与圆的位置即可求解. 【详解】由题意知，， 所以圆心距, 所以两圆相离，公切线有4条. 故选：D. 38．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知圆，则下列命题正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．直线与圆相交所得的弦长为8 C．圆与圆有三条公切线. D．圆上恰有三个点到直线的距离为，则或 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合圆的标准方程，以及直线与圆的位置关系，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由圆，可化为， 可得圆心，半径为，所以A正确； 对于B中，由圆心到直线的距离为， 则相交弦长为，所以B正确； 对于C中，由圆，可得圆心，半径， 可得，且，则， 所以圆与圆相交，可得两圆有两条公共切线，所以C错误； 对于D中，由圆上恰有三个点到直线的距离为， 则满足圆心到直线的距离为，即， 解得或，所以D正确. 故选：ABD. 39．（23-24高二上·湖南湘潭·期末）已知直线，是圆上的一点，则（    ） A．直线过定点 B．圆C的半径是 C．点P可能在圆上 D．点P到直线的最大距离是 【答案】ACD 【分析】根据直线过定点、圆、直线和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】直线可化为， 由，解得，故直线过定点，A选项正确. 圆可化为， 所以圆心，半径，所以B选项错误. 圆的圆心为，半径为， ，所以圆与圆外切， 所以点可能在圆上，C选项正确. ，所以点P到直线的最大距离是，D选项正确. 故选：ACD 40．（23-24高二上·湖南·期末）已知圆和圆，分别是圆，圆上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．圆与圆有四条公切线 B．的取值范围是 C．是圆与圆的一条公切线 D．过点作圆的两条切线，切点分别为，则存在点，使得 【答案】ABD 【分析】对于A，根据两圆心之间的距离与半径和的比较，确定两圆的位置关系，可得答案； 对于B，根据圆外离的基本性质，可得答案； 对于C，根据公切线与圆心连线的位置关系以及距离，建立方程，可得答案； 对于D，根据直线与圆相切的性质，可得答案. 【详解】对于选项A，由题意可得，圆的圆心为，半径，圆的圆心，半径， 因为两圆圆心距，所以两圆外离，有四条公切线，A正确； 对于B选项，的最大值等于，最小值为，B正确； 对于C选项，显然直线与直线平行， 因为两圆的半径相等，则外公切线与圆心连线平行，由直线， 设直线为，则两平行线间的距离为2，即，故，故C不正确； 对于D选项，易知当时，四边形为正方形，故当时，，故D正确， 故选：ABD. 41．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）若圆和圆的交点为、，则（    ） A．公共弦所在直线的方程为 B．线段的中垂线方程为 C．公共弦的长为 D．与和都相切的两条直线交于点 【答案】ABD 【分析】将两圆方程作差可得出公共弦的方程，可判断A选项；分析可知直线垂直平分线段，求出直线的方程，可判断B选项；求出，可判断C选项；利用三角形相似求出两圆公切线的交点的坐标，可判断D选项. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 则，所以，， 所以，圆、相交， 对于A选项，将两圆方程作差可得，即公共弦所在直线的方程为，A对； 对于B选项，由圆的几何性质可知，直线垂直平分线段， 所以，线段的中垂线所在直线的方程为，B对； 对于C选项，圆心到直线的距离为， 所以，，C错； 对于D选项，设两切线交于点，由圆的对称性可知，点在直线上， 设两切线分别切圆于、两点，分别切圆于点、， 连接、，由切线的几何性质可知，， 又因为，故， 设点，则，所以，，解得，即点， 因此，与和都相切的两条直线交于点，D对. 故选：ABD. 42．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）已知点是圆的动点，直线上存在两点，使得能成立，则线段长度的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据几何的思路得到当以为直径的圆与圆内切,且时,线段长度最小,然后求即可. 【详解】由圆得圆心,半径. 因为直线上存在两点，使得恒成立， 则以为直径的圆包含圆， 当长度最小时，两圆内切， 设中点为，则此时, 所以. 故答案为： 43．（23-24高二上·湖南长沙·期末）圆与圆的公共弦长等于 . 【答案】 【分析】两圆相减得出公共弦所在直线方程，再根据勾股定理计算公共弦长 【详解】联立,得公共弦所在直线方程为. 圆心到距离 所以公共弦长为 故答案为： 44．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）圆与圆外切，则实数 ． 【答案】9 【分析】由题意分别求两圆的圆心和半径，根据两圆外切可得，代入运算求解． 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，则 根据题意可得：，即，∴ 故答案为：9． 45．（23-24高二上·湖南张家界·期末）已知两圆，． (1)取何值时两圆外切？ (2)当时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长． 【答案】(1) (2)两圆的公共弦所在直线的方程为，两圆的公共弦的长为 【分析】（1）两圆相外切，则两圆圆心距为两圆半径之和，据此可得答案； （2）将两圆方程相减，可得公共弦所在直线方程，后可得弦长所在直线与圆圆心距离，后可得弦长. 【详解】（1）因为圆的标准方程为， 所以两圆的圆心分别为，，半径分别为，. 当两圆外切时，圆心距为半径之和，则，结合， 解得； （2）当时，圆的一般方程为 两圆一般方程相减得：， 所以两圆的公共弦所在直线的方程为 圆圆心到的距离为 故两圆的公共弦的长为． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 圆的方程（四大题型，45题） 圆的标准方程 1．（23-24高二上·湖南·期末）若的三个顶点坐标分别为，，，则外接圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·湖南常德·期末）若直线l：经过第二、三、四象限，则圆C：的圆心位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）点分别是函数图象上的点，若点关于原点对称，则称点是一对“关联点”．已知，则函数图象上的“关联点”有（    ）对 A． B． C． D． 4．（23-24高二上·湖南郴州·期末）德国数学家米勒曾提出最大视角问题：已知点是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当在何处时，最大？结论是：当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大.人们称这一命题为米勒定理.在平面直角坐标系内，已知，点是直线上一动点，当最大时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）圆心在y轴，半径为1且过点的圆的标准方程为： 6．（23-24高二上·湖南·期末）曲线的周长为 . 7．（23-24高二上·湖南怀化·期末）已知点，当四边形的周长最小时，过三点的圆的圆心坐标为 . 8．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）如图，已知是圆的弦，为的中点，且在弦上的射影为，则，该定理称为阿基米德折弦定理.在上述定理中，若已知，，点在直线下方，，则过点的圆的方程为 . 9．（23-24高二上·湖南·期末）若圆的圆心在上，且圆与直线切于点． (1)求圆的标准方程； (2)已知点，，若为圆上任意一点，求的最大值并求出取得最大值时点的坐标．    10．（23-24高二上·湖南常德·期末）已知平面直角坐标系内三点. (1)若在圆M上，求圆M的方程； (2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围. 圆的一般方程（13-14为多选） 11．（23-24高二上·湖南张家界·期末）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点，的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点与两定点，的距离之比为时的阿波罗尼斯圆为．下面，我们来研究与此相关的一个问题：已知圆上的动点和定点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二上·湖南株洲·期末）圆的半径为（    ） A．1 B． C．2 D．4 13．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知圆的一般方程为，则（    ） A．圆的圆心为 B．圆经过原点 C．圆的半径为25 D．圆被轴截得的弦长为8 14．（23-24高二上·湖南·期末）已知直线过定点则下列结论正确的是（    ） A．P的坐标为 B．当时，l在y轴上的截距为 C．若l与直线垂直，则 D．点P在圆的外部 15．（23-24高二上·湖南常德·期末）已知动直线与圆恒有两个不同的交点、.设弦的中点为，当变化时，总存在定点使得为定值，则点的坐标 . 16．（23-24高二上·湖南常德·期末）若方程表示圆，则m的取值范围为 . 17．（23-24高二上·湖南张家界·期末）已知直线：和圆：. (1)求圆C的圆心坐标和半径； (2)求经过圆的圆心且与直线垂直的直线方程. 18．（23-24高二上·湖南永州·期末）的顶点是，，． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求过点A，B，C的圆方程． 19．（23-24高二上·湖南·期末）已知四边形的三个顶点，，． (1)求过A，B，C三点的圆的方程． (2)设线段上靠近点A的三等分点为E，过E的直线l平分四边形的面积．若四边形为平行四边形，求直线l的方程． 20．（23-24高二上·湖南·期末）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius）在《平面轨迹》一书中，研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下著名结果：平面内到两个定点距离之比为（且）的点的轨迹为圆，此圆称为阿波罗尼斯圆. (1)已知两定点，，若动点满足，求点的轨迹方程； (2)已知，是圆上任意一点，在平面上是否存在点，使得恒成立?若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由. 直线与圆的位置关系（26-28为多选） 21．（23-24高二上·湖南长沙·期末）直线，圆．则直线被圆所截得的弦长为（    ） A．2 B．4 C． D． 22．（23-24高二上·湖南长沙·期末）是圆上恰有两个点到直线的距离等于的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 23．（23-24高二上·湖南益阳·期末）若直线上存在点，过点作圆的两条切线，为切点，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知在圆外，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上皆有可能 25．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知圆，直线，l与圆C相交于A、B两点，当弦长最短时，直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高二上·湖南长沙·期末）在平面上，动点与两定点满足（且），则的轨迹是个圆，这个圆称作为阿波罗尼斯圆.已知动点与两定点满足，记的轨迹为圆.则下列结论正确的是（    ） A．圆方程为： B．过点作圆的切线，则切线长是 C．过点作圆的切线，则切线方程为 D．直线与圆相交于两点，则的最小值是 27．（23-24高二上·湖南常德·期末）已知圆，直线，点在直线上运动，直线，分别与圆切于点，.则下列说法正确的是（    ） A．最短为 B．最短时，弦所在直线方程为 C．存在点，使得 D．直线过定点为 28．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知圆，则（    ） A．圆的圆心是 B．圆关于轴对称 C．圆上的点到原点的最大距离为3 D．直线与圆有两个交点 29．（23-24高二上·湖南永州·期末）已知点，，若在直线l：上至少存在3个不同的点P，使得为直角三角形，则实数a的取值范围为 ． 30．（23-24高二上·湖南·期末）若直线与圆交于两点，当最小时，劣弧的长为 . 31．（23-24高二上·湖南·期末）若直线是圆的一条对称轴，则点与该圆上任意一点的距离的最小值为 ． 32．（23-24高二上·湖南常德·期末）求圆心在上，与轴相切，且被直线截得弦长为的圆的方程. 33．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知圆经过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程. (2)为圆内一点，弦恰好被点平分，求直线的方程，并判断为钝角三角形､直角三角形还是锐角三角形？ 34．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知圆经过点． (1)求的值； (2)过原点的直线与圆交于两点，，求直线的方程． 35．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知圆经过和两点，且与轴的正半轴相切. (1)求圆的方程； (2)若圆与圆关于直线对称，求圆的方程. 圆与圆的位置关系（38-41为多选） 36．（23-24高二上·湖南永州·期末）已知，，是圆：上的动点，则外接圆的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 37．（23-24高二上·湖南郴州·期末）与两圆和都相切的直线有（    ）条 A．1 B．2 C．3 D．4 38．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知圆，则下列命题正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．直线与圆相交所得的弦长为8 C．圆与圆有三条公切线. D．圆上恰有三个点到直线的距离为，则或 39．（23-24高二上·湖南湘潭·期末）已知直线，是圆上的一点，则（    ） A．直线过定点 B．圆C的半径是 C．点P可能在圆上 D．点P到直线的最大距离是 40．（23-24高二上·湖南·期末）已知圆和圆，分别是圆，圆上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．圆与圆有四条公切线 B．的取值范围是 C．是圆与圆的一条公切线 D．过点作圆的两条切线，切点分别为，则存在点，使得 41．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）若圆和圆的交点为、，则（    ） A．公共弦所在直线的方程为 B．线段的中垂线方程为 C．公共弦的长为 D．与和都相切的两条直线交于点 42．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）已知点是圆的动点，直线上存在两点，使得能成立，则线段长度的最小值是 ． 43．（23-24高二上·湖南长沙·期末）圆与圆的公共弦长等于 . 44．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）圆与圆外切，则实数 ． 45．（23-24高二上·湖南张家界·期末）已知两圆，． (1)取何值时两圆外切？ (2)当时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$