专题20 圆综合题（共40道）-2024-2025学年九年级数学上册期末复习高频考题专项训练（人教版）

专题20 圆综合题（共40道） 一、单选题 1．如图，为的直径，点M为半圆的中点，点P为另一半圆上一点（不与A、B重合），点I为的内心，于N，下列结论： ①；②；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】如图，连接，，，，由弧的中点结合圆周角定理可得，故①符合题意；证明，，设，点I为的内心，证明，可得，故②符合题意；当时，可得，与已知矛盾，故③不符合题意；过作于，作于，而为内心，可得，，由，把绕点顺时针旋转得到，证明三点共线，为等腰直角三角形，可得，进一步可得故④符合题意． 【详解】解：如图，连接，，，， ∵点M为半圆的中点， ∴， ∴，故①符合题意； ∵点M为半圆的中点， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴，， ∴，， 设，点I为的内心， ∴，，， ∴， ∴， ∴，故②符合题意； ∴， 当时， ， 解得：， ∴， ∵为圆上一个动点， ∴不一定为， ∴错误，故③不符合题意； 过作于，作于，而为内心， ∴，，，，四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， 由，把绕点顺时针旋转得到， ∴，，，， ∵， ∴， ∴三点共线，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴．故④符合题意； 故选C 【点睛】本题考查的是旋转的性质，圆周角定理的应用，弦，弧之间的关系，三角形的内心的性质，圆的内接四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 2．如图所示，是的直径，作，垂足为点D，连接，，点C为上一点，且，连接，交于点E，交于点F，现给出以下结论： ①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查圆的基本性质，解题的关键是掌握同弧或者等弧所对的圆周角相等，同弧或者等弧所对的圆心角是圆周角的一半，垂径定理，等腰三角形的性质，依次判断，即可． 【详解】∵， ∴，， ∴①，③正确； ∵是的直径， ∴， ∴②正确； ∵和是所对的圆周角， ∴， ∵， ∴是所对的圆心角， ∴， ∴④正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴⑤正确； ∴正确结论的个数有个． 故选：D． 3．如图，是的直径，，点是圆上不与，重合的点，平分，交于，平分，交于．有以下说法： ①点是定点；②的最大值为；③为的外心；④的最大值为．其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】此题考查了圆周角定理，勾股定理，角平分线的定义等知识，熟记圆周角定理是解题的关键．①在同圆或等圆中，根据圆周角相等，则弧相等可作判断；②先根据勾股定理得：，由完全平方公式：，展开可作判断；③证明，可作判断；④根据完全平方公式，代入可得：，开方可判断． 【详解】解：① 平分， ， ， 是的直径， 是半圆的中点，即点是定点；故①正确； ② 是的直径， ， ， ，， ， ， ， 的最大值为，故②正确； ③ ， ， 平分， 平分， ，， ，， ， ， 为的外心，故③正确； ④ ， ，即的最大值为，故④正确； 故选：D． 4．如图，是的直径，，点是圆上不与、重合的点，平分，交于，平分，交于点，与交于点．以下说法：①点是弧的中点；②；③；④若，则．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由平分可得，再由圆周角定理即可判断①；由①可得，由角平分线的定义、圆周角定理结合三角形外角的定义及性质证明，得到，即可判断②；令，则，此时，，，即，即可判断③；由，得，根据平分，得 ，从而利用直角三角形的两锐角互余得，即可判断④． 【详解】解： 平分， ， ∴， 点是的中点，故①正确，符合题意； ， ， ， ， 平分， ， ，， ， ， ，故②正确，符合题意； 是的直径， ， ∴， 令，则，此时，，，即，故③错误，不符合题意； ∵，， ∴， ∵， 平分， ∴ ， ∴， ∵， ∴，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有①②④，共个， 故选：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、圆周角定理、三角形外角的定义及性质、等腰三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 5．如图，直角梯形中，， ， ，过A，B，D三点的分别交，于点E，M，且，下列结论：①；②；③的直径为2；④ ．其中正确的结论是 (     ) A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】连接，，，，，由角所对的弦为直径，得到为圆的直径，再利用直径所对的圆周角为直角，得到为直角，利用三个角为直角的四边形为矩形得到为矩形，利用矩形的对边相等得到，而，等量代换得到，可得出M为的中点，即，故选项①正确；由与平行且相等，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，得到四边形为平行四边形，可得出，而，等量代换得到，由为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到为直角三角形，由与的长，利用勾股定理求出的长，设，则，在直角中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出的长，即为的长，确定出圆的直径，即可对于选项③作出判断；在直角中，由M为的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到与相等，都等于的一半，利用等弦所对的劣弧相等，得到，同时由，得到，等量代换得到，故选项②正确；在直角中，由与的长，利用勾股定理求出的长，即可对于选项④作出判断． 【详解】连接，，，，， ∵， ∴为圆的直径， ∴， ∴， ∴四边形矩形， ∴， 又∵， ∴，即；故选项①正确； ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又， ∴， ∵是直径， ∴，即， 又，， 根据勾股定理得：， 设，， 在中， 根据勾股定理得：，即， 解得：， ∴，故选项③错误； 在中，M是中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，故选项②正确； 在中，，， 根据勾股定理得：；故选项④正确； 则正确的选项为：①②④． 故选C． 【点睛】此题属于圆综合题，考查圆周角定理，圆心角、弦及弧之间的关系，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，矩形的判定与性质，以及平行四边形的判定与性质，利用了方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 6．如图，是的直径，，点是圆上不与，重合的点，平分，交于，平分，交于．有以下说法：①点是定点；②的最大值为；③为的外心；④的最大值为．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】此题考查了圆周角定理，勾股定理，角平分线的定义等知识，熟记圆周角定理是解题的关键． ①在同圆或等圆中，根据圆周角相等，则弧相等可作判断； ②先根据勾股定理得：，由完全平方公式：，展开可作判断； ③证明，可作判断； ④根据完全平方公式，代入可得：，开方可判断． 【详解】解：① 平分， ， ， 是的直径， 是半圆的中点，即点是定点； 故①正确； ② 是的直径， ， ， ，， ， ， ， 的最大值为； 故②正确； ③ ， ， 平分，平分， ，， ，， ， ， 为的外心， 故③正确； ④ ， ， 即的最大值为， 故④正确； 故选：D． 7．如图，在中，，半径为6的与相切于点，与交于点，连接，，．有下列结论：①平分；②；③若，扇形的面积为；④若，则．其中正确的是（） A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】连接，如图，根据切线的性质得到 ，则可判断，所以 ，从而得到，则可对①进行判断；根据平行线的性质得到，加上，则可对②进行判断；当 时，利用圆周角定理得到，然后扇形的面积公式可对③进行判断；当 时，利用圆周角定理得到，利用平分得到，然后证明和都是等边三角形，则可判断四边形为菱形，于是根据菱形的性质可对④进行判断． 【详解】解：连接，如图，∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分，所以①正确； 故②正确； 当时， ∴扇形的面积，所以③错误； 当时， ∴， ∵平分， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴四边形为菱形， ∴，所以④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和扇形面积的计算、等边三角形的性质“等边三角形三边相等，三个角都是”和判定，菱形的性质和判定，解题的关键是掌握切线的性质． 8．如图，是等边的外接圆，点D是弧上一动点（不与A，C重合），下列结论：①；②当最长时，；③；④当，时，；⑤当时，四边形最大面积是．其中一定正确的结论有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】由是等边三角形，及同弧所对圆周角相等可得，即可判断①正确；根据最长时，为直径，可判定②正确；在上取一点E，使，可得是等边三角形，从而，有，可判断③正确；过点A作于点，根据直角三角形的性质以及勾股定理，即可判断④是错误的；把绕点逆时针转，使得与重合，点与点是对应点，因为，则，再结合②，即可作答． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴，故①正确； 因为当最长时，则为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 在上取一点E，使，如图： ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； 由③知，则， 过点A作于点，如图所示： 在中，， 则， 因为 所以 在中，， ∵是等边三角形， ，故④是错误的； 把绕点逆时针转，使得与重合，点与点是对应点，如图所示： 因为， 所以是等边三角形， 易知 所以 则 要使四边形最大面积，则最大 此时为的直径 由②知， 则 所以 因为 所以在， 那么 则，故⑤是正确的； ∴正确的有①②③⑤，共4个， 故选：C． 【点睛】本题考查等边三角形及外接圆，涉及三角形全等的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识内容，解题的关键是正确作辅助线，构造三角形全等解决问题． 9．如图，点A，B在上，P为外一点，且，，连接OP，OP与相交于点C，与AB交于点D，连接，，有下列结论：①；②；③C为中点；④四边形为菱形；⑤O，A，B，P四点共圆，其中一定成立的有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由P为外一点，且，，可得，然后依据可证明，可判断①；进而可证明，可判断②，根据，得到，可判断③，要使得四边形为菱形，即必须成立，即必须成立，即必须成立，显然，只有当时，这些前提才成立，故可判断④，由直角三角形的性质可得到，，即，可判断⑤． 【详解】证明： ，， ， 在和中， ， ， ，故①一定成立； ， ， 在和中， ， ， ，即，故②一定成立； ， ，故③一定成立； 要使得四边形为菱形， ，即，即， 显然，只有当时，这些前提才成立，故④不一定成立； ，， ， O，A，B，P四点共圆，故⑤一定成立； 一定成立的有：①②③⑤， 故选：C． 【点睛】此题重点考查圆的有关概念和性质、切线的性质定理、切线长定理、等腰三角形的“三线合一”、勾股定理、四点共圆等知识，由切线长定理证明，平分是解题的关键． 10．如图，在的内接四边形中，，过点作的垂线交延长线于．则下列结论：①平分；②若点是中点，则平行于的某条角平分线；③若，，则；④若，，则，其中正确的有（   ） A．①③ B．①②④ C．②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据四边形是的内接四边形，得出，根据等边对等角以及同弧所对的圆周角相等可得，即可判断①，根据点是中点，得出，进而可得，则即可判断②，证明，得出，，进而根据勾股定理判断③④，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴ ∴，即平分，故①正确； ∵点是中点， ∴， ∴ ∴， 又∵， ∴， 如图所示，平分， ∴ ∴；故②正确； 如图所示，过点作于点， 由①可得平分， ∴， ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴ ∴， 在中，，故③不正确， 若，， ∴ ∴， 在中，，故④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，弧与弦的关系，同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 11．如图，已知是的两条切线，A，B为切点，线段交于点M．给出下列四种说法：①；②；③四边形有外接圆；④M是的内心．其中所有正确说法的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了切线长定理，三角形的内心以及全等三角形综合，由切线长定理即可判断①；证即可判断②；取的中点，连接，可得，即可判断③；连接，根据可得，结合可得，即可判断④． 【详解】解：∵是的两条切线， ∴，，故①正确； ∵， ∴， ∴关于对称， ∴，故②正确； 取的中点，连接，如图所示： 则， 即：， ∴以为圆心，为半径，则四点共圆，故③正确； 连接，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：平分； 同理可得：平分； ∴M是的内心．故④正确； 故选：D． 12．如图，点D是中边的中点，于E，以为直径的经过D，连接，有下列结论：①；②；③；④是的切线．其中正确的结论是（　　） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了圆的基本性质，切线的判定及性质，三角形中位线定理，线段垂直平分线的判定及性质等；由圆的基本性质得，即可判断①；连接，由线段中位线定理得，由平行线的性质得，即可判断④；由等腰三角形的性质得，由圆的基本性质得，由余角的性质，即可判断②；由线段垂直平分线的判定及性质得，即可判断③；掌握相关的判定方法及性质是解题的关键． 【详解】解：是⊙O直径， ， ， 故①正确； 连接，如图， 为中点，O为中点， 为的中位线， ， ， ， ， 为的切线， 故④正确； ， ， 为的直径， ， ， ， ， ， 故②正确； D为中点，且， 垂直平分， ， ， ， 故③正确； 则正确的结论为①②③④． 故选：D． 13．如图，为的直径延长线上的一点，与相切，切点为，点是上一点，连接．已知．下列结论：（1）与相切；（2）四边形是菱形；（3）；（4）弧弧．其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题主要考查了切线的判定与性质和全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质等知识，熟练利用全等三角形的判定与性质是解题关键． （1）利用切线的性质得出，进而得出，即可得出，得出答案即可； （2）利用（1）所求得出：，进而求出，即可得出答案； （3）利用全等三角形的判定得出，进而得出； （4）利用四边形是菱形，即可得到，弧弧． 【详解】解：（1）连接，， 与相切，切点为， ， 在和中， ， ， ， 与相切，故（1）正确； （2）由（1）得：， 在和中， ， ， ， ， 四边形是菱形，故（2）正确； （3）连接， ， ， 是直径， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的直径，不是直径， ， ，故（3）错误； （4）由（2）证得四边形是菱形， ， 弧弧， 故（4）正确；故选：C 14．如图所示，边长为4的正方形内接于⊙O，点E是上的一个动点（不与A、B重合），点F是上的一点，连接，分别与交于点G、H，且，有下列结论：①；②是等腰直角三角形；③四边形的面积不随点E位置的变化而变化；③周长的最小值为．其中正确的是（    ）    A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】解：如图，连接,由正方形知，可证，得，得，①正确；求证，证得，得，于是，是等腰直角三角形；②正确；求证，得，可得③正确；由知，，可证周长，④错误． 【详解】解：如图，连接, ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴①正确； ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴是等腰直角三角形；②正确； 如图，， ∴． ∴． ∴四边形的面积；故③正确； 由知，， ∴周长，④错误； 故选：A    【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理；添加辅助线构造全等三角形，从而得到相等线段、相等角是解题的关键． 15．如图，等腰内接于，直径，D是圆上一动点，连接，且交于点G．下列结论：①平分；②；③当时，四边形的周长最大；④当，四边形的面积为．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】证明，由圆周角定理以及三角形的外角性质即可证明①②正确；当时，四边形的周长最大，即可证明③正确；作，交延长线于M，证明，利用勾股定理以及三角形面积公式，可得四边形的面积，可得④错误，即可． 【详解】解：∵等腰内接于圆O，且为直径， ∴， ∴，即平分；故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴；故②正确； ∵为直径， ∴， ∵， ∵， ∴要使四边形的周长最大，要最大， ∴当时，四边形的周长最大， 此时，，故③正确； 作，交延长线于M， ∵， ∴， ∵A、C、B、D四点共圆， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ∵， ∴； ∵， ∴； ∵直径，，， ∴，， ∴， 四边形的面积为 ，故④错误； 综上，①②③正确； 故选：C 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质等知识点的综合运用，综合性比较强，难度偏大． 16．如图，已知是的直径，是的切线，D，B为切点，交于点E，的延长线交BC于点F，连接 ，给出以下四个结论：①；②E为的内心；③，其中正确的结论是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】如图所示，连接，先证明，得到，再由圆周角定理得到即可判断①；根据切线的性质和三角形内角和定理得到，进而推出则是的角平分线，同理可证得是的平分线，即可判断②；若若，则应有，应，进而推出而的度数不一定是60度，即可判断③． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ， ∵， ∴，即是的角平分线，同理可证得是的平分线， ∴E为的内心，故②正确； 若，则应有，应有， ∴， ∴ 而的度数不一定是60度，故③不正确； 因此正确的结论有：①②． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，内心的概念，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 17．如图，半径为1的⊙O的圆心是坐标原点，P为直线y＝－x＋2上一点，过点P作⊙O的切线，切点为A，连接OA，OP．下列结论：①当△OAP为等腰直角三角形时，点P坐标为（1，1）；②当∠AOP＝60°时，点P坐标为（2，0）；③△OAP面积最小值为；④∠APO≤45°．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】由勾股定理和30°直角三角形的特征求得OP的长，设P（a，-a+2）由两点距离公式建立方程求解可得结论①②；由OP的表达式结合二次函数的性质可得OP最小值，可得结论③；根据AP的长度范围，根据三角形外角的性质可得结论④； 【详解】解：①当△OAP为等腰直角三角形时，AO=AP=1，则OP=， ∵P点在直线y＝－x＋2上， ∴设P（a，-a+2），则， OP=，解得：a=1， ∴P（1，1）， 故①正确； ②当∠AOP＝60°时，∠APO=30°，则OP=2， 设P（a，-a+2），同理可得：OP=， 解得：a=0或a=2， ∴P（0，2）或P（2，0）， 故②错误； ③设P（a，-a+2），则OP=， ∵AP2=OP2-OA2=，∴AP的最小值为1， ∴△OAP面积最小值为×1×1=， 故③正确； ④如图，设AC=1，则∠ACO=45°， ∵AP≥1，∴∠APO≤∠ACO，∠APO≤45°， 故④正确； ∴①③④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的性质、一次函数解析式、两点距离公式、二次函数的性质等知识；掌握二次函数的性质是解题关键． 18．如图，等边△ABC内接于⊙O，D是上任一点（不与B、C重合），连接BD、CD，AD交BC于E，CF切⊙O于点C，AF⊥CF交⊙O于点G．下列结论：①∠ADC＝60°；②DB2＝DE•DA；③若AD＝2，则四边形ABDC的面积为；④若CF＝2，则图中阴影部分的面积为．正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】如图1，△ABC是等边三角形，则∠ABC＝60°，根据同弧所对的圆周角相等∠ADC＝∠ABC＝60°，所以判断①正确；如图1，可证明△DBE∽△DAC，则，所以DB•DC＝DE•DA，而DB与DC不一定相等，所以判断②错误；如图2，作AH⊥BD于点H，延长DB到点K，使BK＝CD，连接AK，先证明△ABK≌△ACD，可证明S四边形ABDC＝S△ADK，可以求得S△ADK＝，所以判断③正确；如图3，连接OA、OG、OC、GC，由CF切⊙O于点C得CF⊥OC，而AF⊥CF，所以AF∥OC，由圆周角定理可得∠AOC＝120°，则∠OAC＝∠OCA＝30°，于是∠CAG＝∠OCA＝30°，则∠COG＝2∠CAG＝60°，可证明△AOG和△COG都是等边三角形，则四边形OABC是菱形，因此OA∥CG，推导出S阴影＝S扇形COG，在Rt△CFG中根据勾股定理求出CG的长为4，则⊙O的半径为4，可求得S阴影＝S扇形COG＝＝，所以判断④正确，所以①③④这3个结论正确． 【详解】解：如图1，∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°， ∵等边△ABC内接于⊙O， ∴∠ADC＝∠ABC＝60°， 故①正确； ∵∠BDE＝∠ACB＝60°，∠ADC＝∠ABC＝60°， ∴∠BDE＝∠ADC， 又∠DBE＝∠DAC， ∴△DBE∽△DAC， ∴, ∴DB•DC＝DE•DA， ∵D是上任一点， ∴DB与DC不一定相等， ∴DB•DC与DB2也不一定相等， ∴DB2与DE•DA也不一定相等， 故②错误； 如图2，作AH⊥BD于点H，延长DB到点K，使BK＝CD，连接AK， ∵∠ABK+∠ABD＝180°，∠ACD+∠ABD＝180°， ∴∠ABK＝∠ACD， ∴AB＝AC， ∴△ABK≌△ACD（SAS）， ∴AK＝AD，S△ABK＝S△ACD， ∴DH＝KH＝DK， ∵∠AHD＝90°，∠ADH＝60°， ∴∠DAH＝30°， ∵AD＝2， ∴DH＝AD＝1， ∴DK＝2DH＝2，， ∴S△ADK＝， ∴S四边形ABDC＝S△ABD+S△ACD＝S△ABD+S△ABK＝S△ADK＝， 故③正确； 如图3，连接OA、OG、OC、GC，则OA＝OG＝OC， ∵CF切⊙O于点C， ∴CF⊥OC， ∵AF⊥CF， ∴AF∥OC， ∵∠AOC＝2∠ABC＝120°， ∴∠OAC＝∠OCA＝×（180°﹣120°）＝30°， ∴∠CAG＝∠OCA＝30°， ∴∠COG＝2∠CAG＝60°， ∴∠AOG＝60°， ∴△AOG和△COG都是等边三角形， ∴OA＝OC＝AG＝CG＝OG， ∴四边形OABC是菱形， ∴OA∥CG， ∴S△CAG＝S△COG， ∴S阴影＝S扇形COG， ∵∠OCF＝90°，∠OCG＝60°， ∴∠FCG＝30°， ∵∠F＝90°， ∴FG＝CG， ∵FG2+CF2＝CG2，CF＝， ∴（CG）2+（）2＝CG2， ∴CG＝4， ∴OC＝CG＝4， ∴S阴影＝S扇形COG＝＝， 故④正确， ∴①③④这3个结论正确， 故选C． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，圆切线的性质，圆周角定理，全等三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 19．如图，是等腰直角三角形，，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC、BC相切于点D、E，于AB分别相交于点G、H，且DG的延长线与CB的延长线交于点F，分析下列四个结论：①；②；③．其中正确的结论个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】C 【分析】连接OD、OE，根据切线的性质得到∠ODC=∠OEC=90°，OE=OD，据等腰直角三角形的性质得到∠C=90°，∠A=45°，得到四边形DCEO是正方形，求得OD=AD=AC=，于是得到HG=2OD=3；故①正确；求得∠EOB=45°，得到∠ODG=135°，得到∠OGD=∠ODG=22.5°，根据等腰三角形的性质得到BG=BF，故②正确；根据角平分线的判定定理得到O在∠ACB的角平分线上，根据等腰三角形的性质得到O是AB中点，求得AD=CD=OD=OE=，得到OG=，根据勾股定理得到AB=AC=，于是得到AH=BG=，故③正确． 【详解】解：连接OD、OE， ∵⊙O与AC、BC切于点D． E， ∴∠ODC=∠OEC=90°，OE=OD， 又∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠C=90°,∠A=45°， ∴四边形DCEO是正方形， ∴OD∥BC，OE=OD，OD⊥AC， ∴△ADO是等腰直角三角形， ∴OD=AD=AC=， ∴HG=2OD=3；故①正确； ∵AC=BC, ∴∠A=∠ABC=45°， ∴∠EOB=45°， ∴∠ODG=135°， ∵OD=OG， ∴∠OGD=∠ODG=22.5°， ∴∠BGF=22.5°， ∵∠BGF+∠F=∠ABC=45°， ∴∠F=22.5°， ∴BG=BF，故②正确； ∵OE=OD， ∴O在∠ACB的角平分线上， ∴O是AB中点， ∴AD=CD， 又∵AC=3， ∴AD=CD=OD=OE=， ∴OG=， 又∵AB=AC=， ∴OB=， ∴BG=OB−OG=， 同理AH=BG=，故③正确； 故选C． 【点睛】此题考查等腰直角三角形、切线的性质，解题关键在于正确的作辅助线． 20．如图， 已知正方形ABCD中， 连结AC， 在AC上截取AE=AD， 作的外接圆交AB于点F， 连结DF交AC于点M， 连结EF．下列选项正确的是（    ） ①DG=AF；②AM=EC；③∠EFB=∠AFD；④ A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】①如图（见解析），先根据正方形的性质可得，再根据圆周角定理可得DF为外接圆的直径，从而可得，然后根据矩形的判定与性质即可得；②先根据等腰三角形的性质可得，从而可得，再根据圆周角定理可得，从而可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得；③先根据圆内接四边形的性质可得，从而可得，再根据圆周角定理可得，由此即可得；④先根据圆周角定理可得，从而可得，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据正方形的性质可得，由此即可得． 【详解】四边形ABCD是正方形， ， 为外接圆的直径， ， 四边形ADGF是矩形， ，则结论①正确； ， ， ， 由圆周角定理得：， ， ， 在和中，， ， ，则结论②正确； 由圆内接四边形的性质得：， ， ， 由圆周角定理得：， ，则结论③正确； 由圆周角定理得：， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ， 四边形ABCD是正方形， ， ， 又， ，则结论④错误； 综上，结论正确的是①②③， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握各定理与性质，并正确找出全等三角形是解题关键． 二、填空题 21．如图，已知中，，过作的垂线交外接圆于点，与交于点，为弦的中点，连接并延长分别交、于点，连接．则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） ①； ②点与点关于对称； ③； ④． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，余角性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的定义，勾股定理，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，连接，设与交于点，过作于，连接，由线段垂直平分线的判定和性质可判断①；证明，得到，再根据可判断②；证明得到，由可得，根据不一定与相等即可判断③；证明四边形为矩形可得，由三角形中位线可得，即可得，即可判断④；正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，设与交于点，过作于，连接，如图， ∵， ∴在的垂直平分线上， ∵， ∴在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴和关于对称，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵不一定与相等，故③错误； ∵是中点， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 即，故④正确； 故答案为：①②④． 22．如图，点在以为直径的半圆上，，，点在线段上运动，点与点关于对称，于点，并交的延长线于点．下列结论正确的 ．（填序号） ；当时，点恰好落在弧上；当与半圆相切时，；当点从点运动到点时，线段扫过的面积是． 【答案】 【分析】由点与点关于对称可得，再根据即可证到；连接，证明，，，是等边三角形即可，连接，，易证是等边三角形，，根据含角的直角三角形的性质求出长，首先根据对称性确定线段扫过的图形，然后探究出该图形与的关系，就可求出线段扫过的面积． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点与点关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，故正确， 连接，如图所示： ∵点与点关于对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴点与点重合， 即：与重合， ∴， ∴点恰好落在弧上，故正确， 连接，，如图所示： ∵与半圆相切， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∵点与点关于对称， ∴， ∴， ∴，故错误， ∵点与点关于对称，点与点关于对称， ∴当点从点运动到点时，点的运动路径与关于对称，点的运动路径与关于对称， ∴扫过的图形面积就是图中和面积， ∴， ， ∴扫过的面积为，故错误， 综上正确， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，切线的性质，轴对称的性质，含角的直角三角形判定和性质，求图形面积等知识，熟练掌握几何图形的性质和判定是解题的关键． 23．如图，的直径为10，弦为6， 的平分线交于点 D， 与 交于点 E．下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号是 ． 【答案】①、② 【分析】根据圆周角定理可得出，根据勾股定理可求出，根据圆周角定理可得，则得出，然后在中根据勾股定理可求出，即可判断①、③；根据三角形外角的性质以及圆周角定理可判断②；过D作于M，于N，证明是正方形，得出，，证明，得出，则可求，即可求解． 【详解】解：∵的直径为10， ∴， 又弦为6， ∴， ∵ 的平分线交于点 D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∵，，， ∴， 故②正确； ∵，， ∴， 故③错误； 过D作于M，于N， 又 ∴四边形为矩形， ∵平分，，， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，， ∵A、C、B、D在上， ∴， 又， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④不正确， 故答案为①、②． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形求解是解题的关键． 24．如图，四边形内接于，为 的直径，，连接，过点D作，，垂足分别为E，F，则下列结论正确的是 ． ①；②；③与相切；④若，，则． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了圆周角定理，全等三角形的性质与判定，切线的判定，熟练掌握以上性质是解题关键． 根据已知条件得出，根据圆内接四边形得出，进而得出，根据圆周角定理即可判断①，不能确定，即可判断②，证明得出，根据三线合一得出，进而根据是直径，得出，结合已知条件即可判断③，证明， ，得出，，进而即可求解． 【详解】如图，连接， ∵， ， ∴， ∵， ∴， 四边形内接于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 故①正确， ∵不能确定， ∴不一定成立，故②错误， 如图，连接， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴与相切，故③正确， ∵， ， ， ∴． ∴， ， 在和中， ∵， ， ∴， ∴ ∵， ， ∴， 故④正确 故答案为：①③④． 25．如图，为的直径，，交于点D，交于点E，，下面给出了五个结论：①；②；③；④劣弧是劣弧的2倍；⑤．其中正确结论的序号为 ． 【答案】①②④ 【分析】根据圆周角定理，等腰三角形的性质(等边对等角)，直径对的圆周角是直角等知识，逐条进行分析判断即可． 此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、弧与圆心角的关系等知识．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，掌握数形结合思想的应用． 【详解】解：如图，连接． ∵为的直径， ∴， 又∵， ∴平分，且， ∴． 故①②正确； ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故③错误； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故④正确； ∵中， 是斜边，是直角边， ∴， ∵， ∴． 故⑤错误． 综上，正确的结论为：①②④． 故答案为：①②④． 26．如图，四边形是的内接四边形，，将绕点旋转至，则下列结论：①平分；②点A，，在同一条直线上；③若，则；④若，则，其中一定正确的是 （填序号）． 【答案】①②④ 【分析】根据圆周角、弦、弧之间的关系即可判断①；根据旋转的性质和圆内接四边形的性质即可判断②；先求出，由旋转可知，，进一步得到，，作于点H，则，则，进一步得到，则，即可判断③；在截取，连接，证明是等边三角形，得到，由四边形是的内接四边形即可得，即可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴平分， 故①正确； ∵将绕点旋转至， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴点A，，在同一条直线上； 故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由旋转可知，， ∴，， ∴，， 作于点H，则，    ∴， ∴， ∴， 故③错误； 在截取，连接，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故④正确， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、旋转的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆内接四边形的性质和添加适当的辅助线是解答此题的关键． 27．如图，以的边为直径的恰好过的中点，过点作于点，连接，，有下列结论：①；②；③；④是的切线；⑤．其中正确结论的序号是 ．    【答案】①②③④⑤ 【分析】三角形的中位线定理，判断①；圆周角定理和中点，得到是的中垂线，得到，判断②③；根据，得到，判断④；等角的余角相等，判断⑤． 【详解】解：∵为的中点，为的中点， ∴为的中位线， ∴，故①正确； ∵为的直径， ∴， ∵为的中点， ∴为线段的中垂线， ∴ ∴，故②③正确； ∵， ∴， 又为的半径， ∴是的切线；故④正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，故⑤正确； 综上：正确的是①②③④⑤； 故答案为：①②③④⑤． 【点睛】本题考查三角形的中位线定理，中垂线的判定和性质，圆周角定理，切线的判定和性质．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 28．如图，已知：点在上，，下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确命题的代号是 ．    【答案】①②③④ 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．本题先证明，可判断①，由圆周角定理可判断②，④，由弧，弦之间的关系可判断③，由圆的内接四边形的性质可判断⑤，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵圆周角和圆心角都对着， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵圆周角和都对着， ∴，故④正确； 延长交于M，连接，    ∵D、C、A、M四点共圆， ∴， ∵， ∴，故⑤错误； 故答案为：①②③④． 29．如图，四边形内接于，为的直径，，连接，过点作，，垂足分别为点、点，则下列结论正确的是 ．①；②；③与相切；④若，，则． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了圆周角定理，全等三角形的性质与判定，切线的判定，根据已知条件得出，根据圆内接四边形得出，进而得出，根据圆周角定理即可判断①，不能确定，即可判断②，证明得出，根据三线合一得出，进而根据是直径，得出，结合已知条件即可判断③，证明，，得出，，进而即可求解． 【详解】如图，连接， ，， ， ， ， 四边形内接于， ， ， ， ，， ，故①正确， 不能确定， 不一定成立，故②错误， 如图，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， 是直径， ， 即， ， ， ， 与相切，故③正确， ，，， ， ，， ∵，， ∴， ， ，， ，故④正确． 故答案为：①③④． 30．如图，的直径的长为8，P是上一动点，的角平分线交于点Q，点I为的内心，连接，下列结论：①点Q是定点；②的最大值为8；③的长为定值；④的最大值为16．其中正确的结论是 （把正确结论的序号都填上）． 【答案】①②③ 【分析】连接，由题意易得，然后可得①，根据圆中直径最大可判定②，由内心可知，然后根据三角形外角的定义及圆周角定理可进行排除③，过点P作于点D，进而可得，最后可得出选项． 【详解】解：连接，如图所示： ∵为的直径， ∴， ∵的角平分线交于点Q，点I为的内心， ∴， ∴，且是等腰直角三角形， ∴，即点Q是定点，故①正确； 由圆中最长的弦是直径可知的最大值为8，故②正确； ∵，且， ∴， ∴，即的长为定值，故③正确； 过点P作于点D， ∴， 当的值为最大，则的值为最大，即的值为最大， ∴当是半径时，即为， ∴的最大值为；故④错误； 综上所述：正确的有①②③； 故答案为①②③． 【点睛】本题主要考查三角形的内心、圆周角定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握三角形的内心、圆周角定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 31．如图，在中，AB为定弦，C，D为圆上动点，记弦AB所对的圆心角度数是，弦CD所对的圆心角度数是．若，则 ①； ②若，则； ③若B为弧AD的中点，则； ④． 上述选项中正确的是 ．（填写所有正确选项的序号） 【答案】①②④． 【分析】根据圆等弧对等角、等腰三角形的性质、勾股定理逐项判断即可． 【详解】 ①∵， ∴ ∴ 故①正确； ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴ 根据特殊三角函数可得 ∴， 故②正确； ③延长CO，交圆于点E ∵B为弧AD的中点， ∴ ∵ ∴ 假设，根据等腰三角形得性质可得 ∴ 只有当才能成立， 故③不一定正确； ④延长CO，交圆于点E，连接DE ∵， ∴， ∴， ∵CE是直径 ∴ 根据勾股定理可得 ∴ 故④正确 故答案为：①②④． 【点睛】此题考查了圆的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，解题的关键熟悉圆的性质并会应用． 32．如图，为的直径，，、分别交于点、，于点，于点，，下列结论：；；；；上述结论中正确的是 填上所有正确结论的序号 【答案】①②③④ 【分析】先利用等腰三角形的性质求出、的度数，即可求的度数，根据垂径定理即可判断①③，再运用弧、弦、圆心角的关系即可判断②④. 【详解】解：如图，连接， ∵为的直径，， ∴， ∵，， ∴， ∴，，故①正确， ∵， ∴，故②正确， ∴， ∵， ∴ ∴，故④正确 ∵ ∴ ∵ ∴，故③正确， 在中，， ∵， ∴，故⑤不正确， 故答案为：①②③④ 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，垂径定理，三角形内角和定理，圆心角，弦，弧的关系．构造合适的辅助线是解题的关键． 33．如图，等腰中，，用尺规按（1）到（4）的步骤操作：（1）以O为圆心，为半径画圆：（2）在上任取一点C（不与重合），连接；（3）作的垂线平分线交于点；（4）作的垂直平分线交于点，交于；则下列结论： ①顺次连接四点必能得到矩形； ②连接，当时，； ③当时，点到点的距离为； ④上存在唯一的点，使得； 其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】① 【分析】根据圆的直径相等且互相平分，判定四边形MENF是矩形即可判断①；根据题意作出图形可得当时，与的长有关，即可判断②，当时，点到点的距离的长有关，即可判断③，可得根据，判断点不唯一，即可判断④ 【详解】解：顺次连接四点必能得到矩形， ∵，且与互相平分， ∴四边形是矩形，故①正确； 连接，当时， ∵ ∴； ∴与的长有关，而的长未知，故②错误， 如图，当时，点到点的距离为，点的位置不固定，故③错误 ∵， 当时，， ∴点是的中点， 此时，若有不同的，就有不同的， ∴点C不唯一，故④错误． 故答案为：①． 【点睛】本题考查了基本作图，矩形的判定，垂径定理，弧中点，解决问题的关键是熟练线段垂直平分线的作法，矩形的判定定理，垂径定理． ． 34．如图，边长为4的正方形内接于，点E是上的一个动点（不与A、B重合），点F是上的一点，连接，分别与交于点G、H，且，有下列结论：①；②一定是等腰三角形；③四边形的面积随点E位置的变化而变化；④周长的最小值为．其中正确的是 ．（把所有正确结论的序号填上） 【答案】①②④ 【分析】①连接，，，，利用互余关系及同圆中相等圆心角所对的弧相等，得到，则可得，可以判断①； ②根据可证，根据全等三角形的性质得到，则可得到是等腰直角三角形，可以判断②； ③由，则这两个三角形的面积相等，可求得四边形的面积始终等于的面积，可以判断③； ④根据，可知，则，由是等腰直角三角形及根据勾股定理得到，则的周长为：，由垂线段最短可以求得的最小值，从而可以判断④． 【详解】连接，，，，如图， ∵四边形是正方形， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 故①正确； ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 故②正确； ∵， ∴， ∴， 而的面积是固定不变的， 故③错误； ∵， ∴， ∴， 即， 在等腰中，， ∴， 则当最小时，的周长最小， 由垂线段最短知，当时，最小，且最小值为2， 即的周长最小值为， 故④正确； 综上，正确的序号为①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题是圆的综合题，关键是熟练掌握全等三角彤的判定和性质，相等的圆心角所对的弧相等，等弦对等弧，等腰直角三角形的判定，勾股定理，面积的计算，正方形的性质，垂线段最短，综合性较强，有一定的难度． 35．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝8，∠ABC＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于BC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F，下列结论： ①CE＝CF；②∠E＝30°；③线段EF的最小值为2；④当AD＝2时，EF与半圆相切．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①④/④① 【分析】①由点E与点D关于AC对称可得CE=CD，再根据DF⊥DE即可证到CE=CF； ②根据点D在线段AB上运动，仅当时，； ③根据“点到直线之间，垂线段最短”可得CD⊥AB时CD最小，由于EF=2CD，求出CD的最小值就可求出EF的最小值； ④连接OC，易证△AOC是等边三角形，AD=OD，根据等腰三角形的“三线合一”可求出∠ACD，进而可求出∠ECO=90°，从而得到EF与半圆相切． 【详解】解：①连接CD，如图1所示． ∵点E与点D关于AC对称， ∴CE=CD． ∴∠E=∠CDE． ∵DF⊥DE， ∴∠EDF=90°． ∴∠E+∠F=90°，∠CDE+∠CDF=90°． ∴∠F=∠CDF． ∴CD=CF． ∴CE=CD=CF． ∴结论“CE=CF”正确． ②当CD⊥AB时，如图2所示． 由①可得∠E+∠F=90°，∠CDE+∠CDF=90°． 当时， ； 故②不正确； ③∵AB是半圆的直径， ∴∠ACB=90°． ∵AB=8，∠CBA=30°， ∴∠CAB=60°，AC=4，BC=4． ∵CD⊥AB，∠CBA=30°， ∴CD=BC=2． 根据“点到直线之间，垂线段最短”可得： 点D在线段AB上运动时，CD的最小值为2． ∵CE=CD=CF， ∴EF=2CD． ∴线段EF的最小值为4． ∴结论“线段EF的最小值为2”错误． ④当AD=2时，连接OC，如图3所示． ∵OA=OC，∠CAB=60°， ∴△OAC是等边三角形． ∴CA=CO，∠ACO=60°． ∵AO=4，AD=2， ∴DO=2． ∴AD=DO，， ∴∠ACD=∠OCD=30°． ∵，由②可得 ∴ ∵ ∴ ∴OC⊥EF． ∵EF经过半径OC的外端，且OC⊥EF， ∴EF与半圆相切． ∴结论“EF与半圆相切”正确； 故答案为：①④． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、切线的判定、轴对称的性质、垂线段最短等知识，关键是根据轴对称的性质和等边三角形的判定与性质进行分析． 36．如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的半圆O交AC于D，交AB于E，连接BD，CE交于点F，经过点E作EG⊥BC于G，交BD于H，过点E作EM⊥AC于M．则下列结论：①BE＝EM；②∠ECA＝∠BEG；③EH＝BF；④EM是⊙O的切线．其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号） 【答案】②③④ 【分析】利用直径所对的圆周角是直角，以及三线合一定理得到BE＝AE，根据直角三角形的性质判断①错误；根据垂径定理可以证得OE⊥BD，然后证明，即可证得：BD⊥OE，则依据切线的判定定理可以证得④EM是⊙O的切线；利用EG是直角三角形的斜边上的高线，则∠BEG＝∠ECM，结合∠BCE＝∠ACE即可证得②∠ECA＝∠BEG；根据等角对等边，可以证得EH＝BH，EG＝FG即可求证③EH＝BF． 【详解】解：∵BC为⊙O直径， ∴∠BEC＝90°，即BE⊥EC， 又∵AC＝BC， ∴AE＝BE， ∵EM⊥AC， ∴EM＜AE， ∴BE＞EM， 故①错误； 连接OE． ∵由以上证明过程得到CE是等腰△ABC的中垂线，则∠BCE＝∠ECA，故∠BCE＝∠DCE， ∴， ∴OE⊥BD， ∵BC是直径， ∴BD⊥AC 又∵EM⊥AC， ∴， ∴EM⊥OE， ∴EM是切线． 故④正确； ∵在直角△EBC中，EG⊥BC，∠BEC=90°， ∴， ∴∠ECG＝∠BEG， 又∵∠BCE＝∠ECA，即∠ECG＝∠ECA ∴∠ECA＝∠BEG． 故②正确； ∵∠EBD＝∠ECD（同弧所对的圆周角相等），∠BEG＝∠ECA（已证）， ∴∠EBH＝∠BEH， ∴BH＝EH， ∵∠BEG+∠GEC＝∠EBD+∠EFB＝90°， ∴∠HEF＝∠HFE， ∴EH＝FH， ∴EH＝FH＝BH＝BF，即EH＝BF． 故③正确． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了圆的综合题．其中涉及到了切线的性质、三线合一定理、圆周角定理、垂径定理等知识点；熟练掌握等腰三角形的性质和圆周角定理，并能进行推理论证是解决问题的关键． 37．如图，在⊙O中，AB为直径，于点E，点F为⊙O上一点，点D关于CF的对称点G恰好在直径AB上，连接CG，DG，AF，DB．则下列结论正确的是 （写出所有正确结论的序号）． ①；②为等边三角形；③若⊙O的半径为2，则弧CD的长为；④若，，则． 【答案】①②/②① 【分析】由垂径定理可得CE= DE，AC= AD，由圆周角定理可得∠ACD=∠AFC，故①正确；由垂直平分线的性质可得GC=GD，由轴对称的性质可得GC = GD= CD，可得△GCD是等边三角形，故②正确；由等边三角形的性质可得∠COD> 60°，由弧长公式可求弧CD的长，故③错误；设AE = 5x，BE= x，由勾股定理可求x= 1，由直角三角形的性质可求GE=，故④错误，即可求解． 【详解】∵AB为圆O直径，CD⊥AB， ∴CE= DE，， ∴∠ACD=∠AFC， 故①正确； ∵CE= DE，AB⊥CD， ∴GC = GD， ∵点D关于CF的对称点G恰好在直径AB上， ∴GC = CD， ∴GC =GD= CD， ∴△GCD是等边三角形， 故②正确； 连接CO，DO， ∵ΔGCD是等边三角形， ∴∠CGD = 60°， ∴∠COD > 60°， ∴弧CD的长， 故③错误； ∵AB为直径，CD⊥AB， ∴， ∴BC = BD =， ∵， ∴设AE = 5x，BE = x， ∴AB = 6x， ∴OB = OC = 3x，OE = 2x， 在RtΔOCE中，， 在RtΔBCE，， ∴5x2 +x2 = 6， ∴x=1（负值舍去）， ∴CE =， ∵ΔGCD是等边三角形，GE⊥CD， ∴∠CGE = 30°， ∴GE=CE=， 故④错误， 故答案为：①②． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，灵活运用性质解决问题是解题的关键． 38．如图，在半径为5的中，弦，为上一动点，将沿弦翻折至，延长交于点，为的中点，连接，．现给出以下结论： ①；②；③；④的最小值为1， 其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）． 【答案】①②④ 【分析】①②根据折叠的性质得出AD=AB，结合圆周角定理则可求出AD=AE；③假设∠ADC=2∠AED，推出△AED是等边三角形，进而推出∠ABC为120°，为定值，这与∠ABC是变角相矛盾；④作OM⊥AC于M，并延长交⊙O于G，连接FM、OC，先根据垂径定理求出OM的长，然后根据直角三角形斜边中线的性质求出FM长，最后根据三角形三边的关系得出OF≥FM-OM，则可解决问题． 【详解】解：①②∵△ADC是由△ABC折叠而来， ∴AD=AB，∠ACD=∠ACB， 又∵∠ACD和∠ACB所对的弦是AE和AB， ∴AE=AB， ∴AD=AE， 故①②正确； ③由②得AD=AE， ∴∠AED=∠ADE， 假设∠ADC=2∠AED， ∵∠ADC=∠AED+∠DAE， ∴∠AED=∠DAE， ∴∠AED=∠DAE=∠ADE， ∴△AED是等边三角形， ∴∠ADC=180°-∠EDA=120°， ∴∠ABC=∠ADC=120°，是定值， 而B点是动点，A、C两点固定， 则∠ABC是变化的， ∴两者矛盾，故③错误； ④如图，作OM⊥AC于M，并延长交⊙O于G，连接FM、OC， ∴ ， ∴ ， 由②得AD=AE，F为ED的中点， ∴AF⊥ED， ∴ ， ∵OF≥FM-OM=4-3=1， 当O、F、M三点共线时，OF最小， 这时OF=1， 故④正确； 综上，正确的是①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，三角形三边的关系，直角三角形斜边中线的性质和等腰三角形的性质，熟练运用几何的各种知识，根据条件作出辅助线是解题的关键． 39．如图，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为上一点，且，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论：①AD=BD；②∠MAN=90°；③；④∠ACM+∠ANM=∠MOB；⑤AE=MF．其中正确结论的是 （请填上正确的序号） 【答案】①②③④⑤ 【分析】根据MN是直径可判断②正确；根据AB⊥MN，由垂径定理得出①③正确；结合①③得出④正确；结合②④得出⑤正确即可． 【详解】解：∵MN是⊙O的直径，AB⊥MN， ∴， ， ，所以①②③正确； ∵ ， ∴ ， ∴，所以④正确； ∵ ， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴，所以⑤正确． 故答案为：①②③④⑤ 【点睛】此题主要考查了圆的相关性质，解题时利用垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的性质及互余两角的关系，逐步判断即可．解题中关键是要把弧、角、弦之间等量关系的转换应用到位． 40．如图所示，内接于，且圆心在外部，交于点．则以下结论中：①；②；③平分；④；所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③/③① 【分析】根据在同一个圆中，同弦对应的圆周角相等，即可判断①；取交点为，得，得出，根据根据垂径定理可得：，即可判断 ②；证明出，即可判断③；取的交点于，只能证明出即可判断出④． 【详解】解：根据在同一个圆中，同弦对应的圆周角相等，即， ，故①正确； ，取交点为， 即， 为的斜边， ， 根据垂径定理可得：， ，故②错误； ， ， ， ， 平分，故③正确； 如图，取的交点于， 由前面可得：， ， 不一定能推出，故④错误； 故答案为：①③． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题20 圆综合题（共40道） 一、单选题 1．如图，为的直径，点M为半圆的中点，点P为另一半圆上一点（不与A、B重合），点I为的内心，于N，下列结论： ①；②；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图所示，是的直径，作，垂足为点D，连接，，点C为上一点，且，连接，交于点E，交于点F，现给出以下结论： ①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，是的直径，，点是圆上不与，重合的点，平分，交于，平分，交于．有以下说法： ①点是定点；②的最大值为；③为的外心；④的最大值为．其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，是的直径，，点是圆上不与、重合的点，平分，交于，平分，交于点，与交于点．以下说法：①点是弧的中点；②；③；④若，则．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，直角梯形中，， ， ，过A，B，D三点的分别交，于点E，M，且，下列结论：①；②；③的直径为2；④ ．其中正确的结论是 (     ) A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 6．如图，是的直径，，点是圆上不与，重合的点，平分，交于，平分，交于．有以下说法：①点是定点；②的最大值为；③为的外心；④的最大值为．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，在中，，半径为6的与相切于点，与交于点，连接，，．有下列结论：①平分；②；③若，扇形的面积为；④若，则．其中正确的是（） A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②④ 8．如图，是等边的外接圆，点D是弧上一动点（不与A，C重合），下列结论：①；②当最长时，；③；④当，时，；⑤当时，四边形最大面积是．其中一定正确的结论有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．如图，点A，B在上，P为外一点，且，，连接OP，OP与相交于点C，与AB交于点D，连接，，有下列结论：①；②；③C为中点；④四边形为菱形；⑤O，A，B，P四点共圆，其中一定成立的有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 10．如图，在的内接四边形中，，过点作的垂线交延长线于．则下列结论：①平分；②若点是中点，则平行于的某条角平分线；③若，，则；④若，，则，其中正确的有（   ） A．①③ B．①②④ C．②④ D．①②③④ 11．如图，已知是的两条切线，A，B为切点，线段交于点M．给出下列四种说法：①；②；③四边形有外接圆；④M是的内心．其中所有正确说法的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．如图，点D是中边的中点，于E，以为直径的经过D，连接，有下列结论：①；②；③；④是的切线．其中正确的结论是（　　） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④ 13．如图，为的直径延长线上的一点，与相切，切点为，点是上一点，连接．已知．下列结论：（1）与相切；（2）四边形是菱形；（3）；（4）弧弧．其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．如图所示，边长为4的正方形内接于⊙O，点E是上的一个动点（不与A、B重合），点F是上的一点，连接，分别与交于点G、H，且，有下列结论：①；②是等腰直角三角形；③四边形的面积不随点E位置的变化而变化；③周长的最小值为．其中正确的是（    ）    A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 15．如图，等腰内接于，直径，D是圆上一动点，连接，且交于点G．下列结论：①平分；②；③当时，四边形的周长最大；④当，四边形的面积为．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 16．如图，已知是的直径，是的切线，D，B为切点，交于点E，的延长线交BC于点F，连接 ，给出以下四个结论：①；②E为的内心；③，其中正确的结论是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 17．如图，半径为1的⊙O的圆心是坐标原点，P为直线y＝－x＋2上一点，过点P作⊙O的切线，切点为A，连接OA，OP．下列结论：①当△OAP为等腰直角三角形时，点P坐标为（1，1）；②当∠AOP＝60°时，点P坐标为（2，0）；③△OAP面积最小值为；④∠APO≤45°．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 18．如图，等边△ABC内接于⊙O，D是上任一点（不与B、C重合），连接BD、CD，AD交BC于E，CF切⊙O于点C，AF⊥CF交⊙O于点G．下列结论：①∠ADC＝60°；②DB2＝DE•DA；③若AD＝2，则四边形ABDC的面积为；④若CF＝2，则图中阴影部分的面积为．正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．如图，是等腰直角三角形，，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC、BC相切于点D、E，于AB分别相交于点G、H，且DG的延长线与CB的延长线交于点F，分析下列四个结论：①；②；③．其中正确的结论个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 20．如图， 已知正方形ABCD中， 连结AC， 在AC上截取AE=AD， 作的外接圆交AB于点F， 连结DF交AC于点M， 连结EF．下列选项正确的是（    ） ①DG=AF；②AM=EC；③∠EFB=∠AFD；④ A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题 21．如图，已知中，，过作的垂线交外接圆于点，与交于点，为弦的中点，连接并延长分别交、于点，连接．则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） ①； ②点与点关于对称； ③； ④． 22．如图，点在以为直径的半圆上，，，点在线段上运动，点与点关于对称，于点，并交的延长线于点．下列结论正确的 ．（填序号） ；当时，点恰好落在弧上；当与半圆相切时，；当点从点运动到点时，线段扫过的面积是． 23．如图，的直径为10，弦为6， 的平分线交于点 D， 与 交于点 E．下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号是 ． 24．如图，四边形内接于，为 的直径，，连接，过点D作，，垂足分别为E，F，则下列结论正确的是 ． ①；②；③与相切；④若，，则． 25．如图，为的直径，，交于点D，交于点E，，下面给出了五个结论：①；②；③；④劣弧是劣弧的2倍；⑤．其中正确结论的序号为 ． 26．如图，四边形是的内接四边形，，将绕点旋转至，则下列结论：①平分；②点A，，在同一条直线上；③若，则；④若，则，其中一定正确的是 （填序号）． 27．如图，以的边为直径的恰好过的中点，过点作于点，连接，，有下列结论：①；②；③；④是的切线；⑤．其中正确结论的序号是 ．    28．如图，已知：点在上，，下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确命题的代号是 ．    29．如图，四边形内接于，为的直径，，连接，过点作，，垂足分别为点、点，则下列结论正确的是 ．①；②；③与相切；④若，，则． 30．如图，的直径的长为8，P是上一动点，的角平分线交于点Q，点I为的内心，连接，下列结论：①点Q是定点；②的最大值为8；③的长为定值；④的最大值为16．其中正确的结论是 （把正确结论的序号都填上）． 31．如图，在中，AB为定弦，C，D为圆上动点，记弦AB所对的圆心角度数是，弦CD所对的圆心角度数是．若，则 ①； ②若，则； ③若B为弧AD的中点，则； ④． 上述选项中正确的是 ．（填写所有正确选项的序号） 32．如图，为的直径，，、分别交于点、，于点，于点，，下列结论：；；；；上述结论中正确的是 填上所有正确结论的序号 33．如图，等腰中，，用尺规按（1）到（4）的步骤操作：（1）以O为圆心，为半径画圆：（2）在上任取一点C（不与重合），连接；（3）作的垂线平分线交于点；（4）作的垂直平分线交于点，交于；则下列结论： ①顺次连接四点必能得到矩形； ②连接，当时，； ③当时，点到点的距离为； ④上存在唯一的点，使得； 其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 34．如图，边长为4的正方形内接于，点E是上的一个动点（不与A、B重合），点F是上的一点，连接，分别与交于点G、H，且，有下列结论：①；②一定是等腰三角形；③四边形的面积随点E位置的变化而变化；④周长的最小值为．其中正确的是 ．（把所有正确结论的序号填上） 35．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝8，∠ABC＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于BC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F，下列结论： ①CE＝CF；②∠E＝30°；③线段EF的最小值为2；④当AD＝2时，EF与半圆相切．其中正确结论的序号是 ． 36．如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的半圆O交AC于D，交AB于E，连接BD，CE交于点F，经过点E作EG⊥BC于G，交BD于H，过点E作EM⊥AC于M．则下列结论：①BE＝EM；②∠ECA＝∠BEG；③EH＝BF；④EM是⊙O的切线．其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号） 37．如图，在⊙O中，AB为直径，于点E，点F为⊙O上一点，点D关于CF的对称点G恰好在直径AB上，连接CG，DG，AF，DB．则下列结论正确的是 （写出所有正确结论的序号）． ①；②为等边三角形；③若⊙O的半径为2，则弧CD的长为；④若，，则． 38．如图，在半径为5的中，弦，为上一动点，将沿弦翻折至，延长交于点，为的中点，连接，．现给出以下结论： ①；②；③；④的最小值为1， 其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）． 39．如图，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为上一点，且，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论：①AD=BD；②∠MAN=90°；③；④∠ACM+∠ANM=∠MOB；⑤AE=MF．其中正确结论的是 （请填上正确的序号） 40．如图所示，内接于，且圆心在外部，交于点．则以下结论中：①；②；③平分；④；所有正确结论的序号是 ． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$