精品解析：重庆市育才中学校2024-2025学年高一上学期12月诊断性考试数学试题

高2027届高一（上）十二月诊断性考试 数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号： 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5mm黑色签字笔答题； 3．请在答题卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效； 4．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、损毁；考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，集合，则图中阴影部分表示集合为（ ） A. B. C. D. 2. 设命题，则p的否定为（ ） A B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 2022年秋，某京剧演员因疫情原因无法演出，在短视频平台开设自己的账号，不断直播京剧知识.初始直播时已有50名粉丝，经过x天后，粉丝人数满足关系式：，其中M，k为常数，若开播10天后有200名粉丝，则开播30天后预计该京剧演员在平台上的粉丝数量为（ ） A. 600 B. 800 C. 3200 D. 3400 8. 已知奇函数的定义域为，满足对任意，且，都有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 设a，b为实数，且，下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 的值域为 B. 的图象的对称中心为 C. 在区间上单调递减 D. 的解集为或 11. 已知函数（其中为自然对数的底数），则下列说法正确的有（ ） A. 是奇函数 B. C. 若方程有且仅有一个解，则a的取值范围是 D. 函数，若存在，使成立，则 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的最大值为_________． 13. 已知幂函数为偶函数在上单调递减，则解析式可以为_________写一个即可 14. 对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“完美旋转点”．已知函数，若函数的图象存在“完美旋转点”，则实数的取值范围是_______． 四、解答题：本题共5小题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算下列各式的值： （1）； （2）； （3）． 16. “守护碧水蓝天，共治污水之源”，重庆市某自来水厂决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，水厂拟安装一种新的污水净化设备．这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该水厂需缴纳的总水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该水厂的净水设备购置费与安装后需缴水费之和合计为（单位：万元）． （1）要使不超过11.2万元，求设备占地面积的取值范围； （2）设备占地面积为多少平方米时，的值最小，并求出此最小值． 17. 已知函数． （1）求函数的定义域； （2）判断奇偶性，并加以证明； （3）若，求实数m取值范围． 18. 函数对任意的实数a，b，都有，且当时，， （1）求值： （2）求证：是上的增函数； （3）若对任意的实数x，不等式都成立，求实数t的取值范围． 19. 已知函数（，且）过点． （1）求函数的解析式； （2）若函数为的反函数，且在上单调递增，求b的取值范围； （3）若函数，其中为奇函数，为偶函数，已知函数，对于任意，都存在，使得等式成立，求实数c的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高2027届高一（上）十二月诊断性考试 数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号： 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5mm黑色签字笔答题； 3．请在答题卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效； 4．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、损毁；考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据韦恩图得到阴影部分表示的集合为，利用集合的运算可得结果. 【详解】因为，，所以， 由韦恩图得，阴影部分表示的集合为. 故选：B. 2. 设命题，则p的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在命题直接写出命题的否定. 【详解】由命题， 可知命题的否定为：. 故选：B 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式，再根据充分条件和必要条件的定义即可判断. 【详解】对于不等式，可解得或. 所以可以推出，而不可以推出. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 已知，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数单调性与值域可得，再由对数函数的单调性与值域可得，由此可得结果. 【详解】，；又；； ，，. 故选：C 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合函数奇偶性及函数正负，借助排除法即可得. 详解】由题意可得，解得， 又，故为偶函数，故可排除A、C； 又时，，故可排除B，故D选项正确. 故选：D. 6. 设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复合函数“同增异减”的性质求得二次函数对称轴解不等式可得结果. 【详解】易知函数是由指数函数和二次函数复合而成的； 再由复合函数单调性可得，使二次函数区间上单调递减即可； 因此，可得. 故选：D 7. 2022年秋，某京剧演员因疫情原因无法演出，在短视频平台开设自己的账号，不断直播京剧知识.初始直播时已有50名粉丝，经过x天后，粉丝人数满足关系式：，其中M，k为常数，若开播10天后有200名粉丝，则开播30天后预计该京剧演员在平台上的粉丝数量为（ ） A. 600 B. 800 C. 3200 D. 3400 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题目中条件求出和，得的解析式，然后可求出的值即可得解. 【详解】根据题意，得解得 故. 当时，. 所以开播30天后预计该京剧演员在平台上的粉丝数量为. 故选：C. 8. 已知奇函数的定义域为，满足对任意，且，都有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，根据单调函数和奇偶函数的定义可知为偶函数且在上单调递增，利用函数的单调性好奇偶性解不等式即可. 【详解】设，则， 所以为偶函数. 对于，且，有， 设，则，得，即， 所以在上单调递增，则在上单调递减， 且，. 当时，由，得，解得； 当时，由，得，解得. 综上，不等式的解集为. 故选：B 【点睛】思路点睛：根据函数单调性求解函数不等式的思路如下： （1）先分析函数在指定区间上单调性； （2）根据函数单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域； （3）求解关于自变量的不等式，从而求解不等式的解集. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 设a，b为实数，且，下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】先得到，AB选项，利用作差法比较；CD选项，利用特殊值判断. 【详解】解：因为a，b为实数，且，所以， 则，即，故A正确； 则，即，故B正确； 当时，，故C错误； 当时，，故D错误； 故选：AB 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 的值域为 B. 的图象的对称中心为 C. 在区间上单调递减 D. 的解集为或 【答案】ABD 【解析】 【分析】分离常数法，利用反比例函数图象的平移变换可得AB项，由单调性性可判断出C项，解分式不等式即可判断D项. 【详解】， 函数的图象可看作函数向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到， 由于函数对称中心为，且值域为， 故函数的值域为，对称中心为， 所以A、B项都正确； 对于选项C，由的图象知在和单调递减，故C错误； 对于选项D，由得，移项得，，即，解得或，所以的解集为或，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数（其中为自然对数的底数），则下列说法正确的有（ ） A. 是奇函数 B. C. 若方程有且仅有一个解，则a的取值范围是 D. 函数，若存在，使成立，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A中，化简式子，利用奇偶性定义判断即可；选项B中，化简式子判断即可；选项C中，化简式子，把解的个数转化为与图象交点个数即可判断；选项D中，化简式子，根据单调性解不等式即可. 【详解】对于A选项，易知的定义域为， ，， 为奇函数，选项A正确； 对于B选项，，选项B错误； 对于C选项，，图象如图所示， 所以若方程有且仅有一个解，则a的取值范围是，选项C正确； 对于D选项，，在上单调递增， 若存在，使成立，即的最大值即可， ， 因为，，，即，故选项D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的最大值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由基本不等式求积的最大值. 【详解】， 由基本不等式可知， 当且仅当时等号成立，即的最大值为. 故答案为： 13. 已知幂函数为偶函数在上单调递减，则的解析式可以为_________写一个即可 【答案】 答案不唯一 【解析】 【分析】根据常见幂函数的性质即可求解. 【详解】因为幂函数  在  上单调递减，所以  ， 又因为  为偶函数， 所以 适合题意． 故答案为: 答案不唯一. 14. 对于函数，若存在，使，则称点与点是函数的一对“完美旋转点”．已知函数，若函数的图象存在“完美旋转点”，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，根据“完美旋转点”的定义知在有解，转化为求最值的问题，利用基本不等式求解即可. 【详解】设，则，，， 若函数的图象存在“完美旋转点”， 则根据“完美旋转点”的定义知在有解， 即在有解， 将上式整理得， 当且仅当，即时等号成立， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算下列各式的值： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据指数运算法则求解即可； （2）根据换底公式及对数运算法则求值； （3）结合指数运算法则和对数运算法则化简求值. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 16. “守护碧水蓝天，共治污水之源”，重庆市某自来水厂决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，水厂拟安装一种新的污水净化设备．这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该水厂需缴纳的总水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该水厂的净水设备购置费与安装后需缴水费之和合计为（单位：万元）． （1）要使不超过11.2万元，求设备占地面积的取值范围； （2）设备占地面积为多少平方米时，的值最小，并求出此最小值． 【答案】（1） （2）设备占地面积为25平方米时，的值最小，最小值为11万元. 【解析】 【分析】（1）由题意得，解不等式即可； （2）将变形为，再利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意得， 令，即， 整理得，即， 解得， 所以设备占地面积的取值范围为； 小问2详解】 ， 当且仅当，即，时等号成立， 所以设备占地面积为25平方米时，值最小，最小值为11万元. 17. 已知函数． （1）求函数的定义域； （2）判断奇偶性，并加以证明； （3）若，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）偶函数，证明见解析 （3）或. 【解析】 【分析】（1）由且求解； （2）利用函数奇偶性的定义证明即可； （3）将转化为求解即可. 【小问1详解】 由题意得：且， 解得，所以函数的定义域为； 【小问2详解】 因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为偶函数； 【小问3详解】 ， 则，化简得 且， 解得或， 故实数m的取值范围为或. 18. 函数对任意的实数a，b，都有，且当时，， （1）求的值： （2）求证：是上的增函数； （3）若对任意的实数x，不等式都成立，求实数t的取值范围． 【答案】（1）2 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题中条件，令，即可求出结果； （2）设且，取，，根据题中条件，作差比较，根据单调性的定义，即可证明结论成立； （3）由（1）（2），将不等式化为，求出的最大值，即可得出结果. 【小问1详解】 因为函数对任意的实数a，b，都有， 令，则，所以； 【小问2详解】 设且，取，， 则，即， 由于当时，，因为，所以， 即， 由增函数的定义可知是上的增函数； 【小问3详解】 不等式等价于， 由（2）可知是上的增函数， 故上恒成立， 下面求函数的最大值： 令，，其对称轴为， 故有：当时， 函数递增，函数递增，故函数递增； 当时，函数递增，函数递减， 故函数递减； 因此，函数在时有最大值，即所求范围为. 【点睛】方法点睛：定义法判定函数在区间上的单调性的一般步骤： 1.取值：任取，，规定， 2.作差：计算； 3.定号：确定的正负； 4.得出结论：根据同增异减得出结论. 19. 已知函数（，且）过点． （1）求函数的解析式； （2）若函数为的反函数，且在上单调递增，求b的取值范围； （3）若函数，其中为奇函数，为偶函数，已知函数，对于任意，都存在，使得等式成立，求实数c的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把点代入解析式即可得到结果. （2）利用反函数的概念求出的解析式，根据复合函数的单调性可求参数b的取值范围. （3）根据条件求出与的解析式，把问题转化在上恒成立，利用换元法分离参数结合基本不等式即可得到结果. 【小问1详解】 ∵函数过点， ∴，解得，故函数解析式为. 【小问2详解】 ∵函数为的反函数，∴，在上为增函数， ∵在上单调递增， ∴在上单调递增，且当时，， ∵对称轴为直线，∴，解得， ∴b的取值范围为. 【小问3详解】 ∵， ∴， ∵为奇函数，为偶函数，∴， ∴，. ∵，，∴， ∵对于任意，都存在，使得等式成立， ∴在上恒成立， ∵在上为增函数，在上为减函数，∴在上为增函数. 令，则， 问题转化为在上恒成立，∴恒成立，即， ∵，当且仅当，即时等号成立， ∴，即，∴， ∴实数c的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：解决第（3）问的关键是把问题转化为在上恒成立，令，则，分离参数可得在上恒成立，利用基本不等式可得结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$