第02讲 相似三角形及平行线分线段成比例（3个知识点+4类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（人教版）

第02讲 相似三角形及平行线分线段成比例 课程标准 学习目标 ①相似三角形的定义 ②平行线分线段成比例 ③相似三角形的判定方法：平行定理 1. 掌握相似三角形的定义并能够判断相似三角形及相对的边与角。 2. 掌握平行线分线段成比例，并能够运用其熟练的解决相关题型。 3. 掌握平行定理判定相似三角形的方法，并能够熟练的运用其判定相似三角形。 知识点01 相似三角形的定义 1. 相似三角形的定义： 如果两个三角形的对应边的比 ，对应角 ，那么这两个三角形相似。 用符号“∽”来表示。读作相似于。 若△ABC相似于△DEF，A对应D，B对应E，C对应F。则表示为△ABC∽△EDF。对应边的比叫做这两个三角形的 。通常用k表示。 知识点02 平行线分线段比例 1. 平行线分线段成比例的基本事实： 如图，若两条直线被一组平行线所截，所得到的线段对应 。 若AB∥CD∥EF，则， ； ，等...（巧记：） 2. 平行线分线段成比例的应用： 平行于三角形一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，所得的对应线段成比例。 如上图：由DE∥BC，得，，。 【即学即练1】 1．如图，直线AD、BC交于点O，AB∥EF∥CD，若BO＝2，OE＝1，EC＝2，则的值为（　　） A． B． C． D． 【即学即练2】 2．如图，AD∥BE∥CF，若AB＝3，BC＝4，EF＝5，则DE的长度是（　　） A．3 B．4 C． D． 【即学即练3】 3．如图，△ABC，点D、E分别在边AB、BC上，下列选项中不能判定DE∥AC的是（　　） A． B． C． D． 【即学即练4】 4．如图，△ABC中，D、F在AB边上，E、G在AC边上，DE∥FG∥BC，且AD：DF：FB＝3：2：1，若AG＝15，则EC的长为　 　． 知识点03 相似三角形的判定——平行定理 1. 相似三角形的判定：平行定理： 平行于三角形一边的直线和其他两边或其他两边的延长线相交，所得的三角形与原三角形 。 【即学即练1】 5．如图，在平行四边形ABCD中，E是AB延长线上一点，连接DE，交AC于点G，交BC于点F，那么图中相似三角形（不含全等三角形）共有（　　） A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 题型01 根据平行线分线段成比例求线段 【典例1】如图，直线l1∥l2∥l3，另两条直线分别交l1，l2，l3于点A，B，C及点D，E，F，且AB＝3，DE＝4，EF＝2，则BC＝　 　． 【变式1】如图，两条直线AC和DF被三条平行线所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，若AB：BC＝2：3，DE＝3，则EF的长为（　　） A．4.5 B．5 C．6 D．8 【变式2】如图，△ABC中，DE∥BC，AD＝2，DB＝1，AE＝4，则AC的长度为（　　） A．2 B．6 C．3 D．4 【变式3】如图，已知直线a∥b∥c，若AB＝2，BC＝3，EF＝2.5，则DF＝（　　） A． B． C． D． 【变式4】如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段AB＝3，则线段BC的长是（　　） A． B． C．1 D． 题型02 根据平行线分线段成比例求比值 【典例1】在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，联结DE、DF，如果DE∥AC，DF∥AB，且AE：EB＝2：3，那么AF：FC的值是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD：DB＝3：1，则AE：AC＝（　　） A．3：1 B．3：4 C．3：5 D．2：3 【变式2】如图，在△ABC中，DE∥AB，且，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式3】如图，点O，F在直线AD上，点O，E在直线BC上，且AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则的值为（　　） A． B． C． D． 题型03 利用线段比判断两直线平行 【典例1】在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中，能判定DE∥BC的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如果点D、点E分别在△ABC的边AB和边AC上，那么下列能判定DE∥BC的比例式是（　　） A．AD：DB＝EC：AE B．DE：BC＝AD：AB C．BD：CE＝AB：AC D．AD：AC＝AE：AB 【变式2】在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD：BD＝1：2，那么下列条件中能够判断DE∥BC的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】如图：在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，根据下列给定的条件，不能判断DE与BC平行的是（　　） A． B． C． D． 题型04 判断相似三角形的对数 【典例1】如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，则图中共有（　　）对相似三角形 A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】如图，平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于点F、G，则图中相似三角形（相似比不是1）共有（　　）对． A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AD、BC上，且EF∥CD，G为边AD延长线上一点，连接BG，则图中与△ABG相似的三角形有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 1．如图，M是平行四边形ABCD的对角线BD上一点，AM的延长线交BC于点E，交DC的延长线于点F，图中相似三角形有（　　） A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 2．小明想要得到与△ABC相似的三角形，于是他用剪刀沿着图中虚线将△ABC剪开，虚线与边BC平行，如图所示，则他判定剪下的三角形（阴影部分）与△ABC相似的依据是（　　） A．两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 B．三边成比例的两个三角形相似 C．平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 D．相似三角形的三个角分别相等 3．如图，已知直线a∥b∥c，分别交直线m，n于点B，C，E，A，D，F，直线m，n相交于点H，下列结论中错误的是（　　） A． B． C． D． 4．如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点P表示的数是（　　） A． B．2 C． D．5 5．如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB＝4，BC＝2，DE＝3，则EF的长为（　　） A． B．2 C． D．3 6．一架梯子的示意图如图所示，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1∥EE1，且AB＝BC＝CD＝DE．为了使梯子更加稳固，在A、E1之间加绑一条安全绳（线段AE1）分别交BB1、CC1、DD1于点F、G、H．量得AF＝0.4米，则安全绳（线段AE1）的长为（　　） A．0.8米 B．1.2米 C．1.6米 D．1.8米 7．如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF分别与l1、l2、l3相交于点A、B、C和D、E、F．如果AB＝1，EF＝3，那么下列各式中，正确的是（　　） A．BC：DE＝3 B．BC：DE＝1：3 C．BC•DE＝3 D． 8．如图，已知直线a∥b∥c，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C，直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F，若，DF＝21，则EF＝（　　） A．9 B．12 C．15 D．18 9．如图，嘉嘉测量池塘两岸A，B两点间的距离，先在AB的延长线上选定点C，测得BC＝3m，再选一点D，连接AD，CD，作BE∥AD，交CD于点E，测得CD＝10m，DE＝6m，则AB＝（　　） A．4m B．5m C．4.5m D．3.5m 10．如图，正六边形ABCDEF外作正方形DEGH，连接AH交DE于点O，则等于（　　） A．3 B． C．2 D． 11．如图，AC、BD交于点O，连接AB、CD，若要使△AOB∽△COD，可以添加条件 　 　．（只需写出一个条件即可） 12．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段BC＝3，则线段AB的长是 　 ． 13．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AD：AB＝2：3，AC＝4，如果DE∥BC，那么AE的长为 　 　． 14．如图，点E、F分别在线段AB、CD上，AD∥EF∥BC，AE＝2，BE＝4，CF＝6，那么DF＝ 　 　． 15．如图，点D、E在△ABC的边AB、AC上，且DE∥BC，过点A作AF∥BC，分别交∠AED、∠ACB的平分线于点F、G．若BD＝2AD，CG平分线段BD，则FG：BC＝　 　． 16．如图，点E，G在△ABC的边AB，AC上，连接EG，点D为△ABC外一点，连接AD，CD，点F在AD上，连接GF，EG∥BC，GF∥DC，AE＝3，EB＝2，AF＝6，求AD的值． 17．如图，点D，E，F分别是边AB，BC，AC上的点，已知DE∥AC，DF∥BC，AF＝6cm，FC＝9cm，CE＝4cm，求BE的长． 18．如图，已知点D，E分别在边AB，AC上，BE，CD交于点O，，AB＝7，DB＝4，BC＝9，CD＝10．求DE，CO的长． 19．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F． （1）如果AB＝6，BC＝8，DF＝21，求DE的长； （2）如果DE：DF＝2：5，AD＝9，CF＝14，求BE的长． 20．如图，已知直线l1，l2，l3分别截直线l4于点A，B，C，截直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3． （1）如果AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DE的长； （2）如果DE：EF＝2：3，AC＝25，求AB的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 相似三角形及平行线分线段成比例 课程标准 学习目标 ①相似三角形的定义 ②平行线分线段成比例 ③相似三角形的判定方法：平行定理 1. 掌握相似三角形的定义并能够判断相似三角形及相对的边与角。 2. 掌握平行线分线段成比例，并能够运用其熟练的解决相关题型。 3. 掌握平行定理判定相似三角形的方法，并能够熟练的运用其判定相似三角形。 知识点01 相似三角形的定义 1. 相似三角形的定义： 如果两个三角形的对应边的比 相等 ，对应角 相等 ，那么这两个三角形相似。 用符号“∽”来表示。读作相似于。 若△ABC相似于△DEF，A对应D，B对应E，C对应F。则表示为△ABC∽△EDF。对应边的比叫做这两个三角形的 相似比 。通常用k表示。 知识点02 平行线分线段比例 1. 平行线分线段成比例的基本事实： 如图，若两条直线被一组平行线所截，所得到的线段对应 成比例 。 若AB∥CD∥EF，则， ； ，等...（巧记：） 2. 平行线分线段成比例的应用： 平行于三角形一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，所得的对应线段成比例。 如上图：由DE∥BC，得，，。 【即学即练1】 1．如图，直线AD、BC交于点O，AB∥EF∥CD，若BO＝2，OE＝1，EC＝2，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】由线段的和差可得BE＝3，再根据平行线等分线段定理可得即可解答． 【解答】解：∵BO＝2，OE＝1， ∴BE＝BO+OE＝2+1＝3， ∵AB∥EF∥CD， ∴＝＝． 故选：A． 【即学即练2】 2．如图，AD∥BE∥CF，若AB＝3，BC＝4，EF＝5，则DE的长度是（　　） A．3 B．4 C． D． 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式求解即可． 【解答】解：∵AD∥BE∥CF，AB＝3，BC＝4，EF＝5， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【即学即练3】 3．如图，△ABC，点D、E分别在边AB、BC上，下列选项中不能判定DE∥AC的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平行线的性质可以判定A、B、D分别成立，C的条件不能平行． 【解答】解：如图，∵当时， △ADE与△ABC不一定相似， ∴∠ADE不一定等于∠B， ∴不能判定DE∥AC， 故选：B． 【即学即练4】 4．如图，△ABC中，D、F在AB边上，E、G在AC边上，DE∥FG∥BC，且AD：DF：FB＝3：2：1，若AG＝15，则EC的长为　9　． 【分析】根据平行线分线段成比例定理和已知条件得出AD：DF：FB＝AE：EG：GC＝3：2：1，设AE＝3x，EG＝2x，GC＝x，根据AG＝15得出方程3x+2x＝15，求出x，再求出答案即可． 【解答】解：∵DE∥FG∥BC， ∴AD：DF：FB＝AE：EG：GC， ∵AD：DF：FB＝3：2：1， ∴AE：EG：GC＝3：2：1， 设AE＝3x，EG＝2x，GC＝x， ∵AG＝15， ∴3x+2x＝15， 解得：x＝3， 即AE＝9，EG＝6，GC＝3， ∴EC＝EG+GC＝6+3＝9， 故答案为：9． 知识点03 相似三角形的判定——平行定理 1. 相似三角形的判定：平行定理： 平行于三角形一边的直线和其他两边或其他两边的延长线相交，所得的三角形与原三角形 相似 。 【即学即练1】 5．如图，在平行四边形ABCD中，E是AB延长线上一点，连接DE，交AC于点G，交BC于点F，那么图中相似三角形（不含全等三角形）共有（　　） A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 【分析】根据相似三角形的判定定理进行解答即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠EBF＝∠EAD，∠EFB＝∠EDA， ∴△EFB∽△EAD； 同理可得，△FGC∽△DGA，△EBF∽△DCF，△GAE∽△GCD，△ADE∽△CDF． 故选：B． 题型01 根据平行线分线段成比例求线段 【典例1】如图，直线l1∥l2∥l3，另两条直线分别交l1，l2，l3于点A，B，C及点D，E，F，且AB＝3，DE＝4，EF＝2，则BC＝　　． 【分析】根据平行线分线段成比例定理列式计算即可得解． 【解答】解：∵l1∥l2∥l3， ∴＝， ∵AB＝3，DE＝4，EF＝2， ∴＝， 解得BC＝． 故答案为：． 【变式1】如图，两条直线AC和DF被三条平行线所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，若AB：BC＝2：3，DE＝3，则EF的长为（　　） A．4.5 B．5 C．6 D．8 【分析】根据平行线分线段成比例得到，又由DE＝3，即可得到答案． 【解答】解：∵AD∥BE∥CF，AB：BC＝2：3，DE＝3， ∴， ∴， ∴EF＝＝4.5， 故选：A． 【变式2】如图，△ABC中，DE∥BC，AD＝2，DB＝1，AE＝4，则AC的长度为（　　） A．2 B．6 C．3 D．4 【分析】利用平行线分线段成比例定理即可解决问题． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴， 又∵AD＝2，DB＝1，AE＝4， ∴， ∴EC＝2， ∴AC＝AE+EC＝4+2＝6． 故选：B． 【变式3】如图，已知直线a∥b∥c，若AB＝2，BC＝3，EF＝2.5，则DF＝（　　） A． B． C． D． 【分析】利用平行线分线段成比例定理求解． 【解答】解：∵a∥b∥c，AB＝2，BC＝3，EF＝2.5， ∴，即， 解得：， ∴， 故选：C． 【变式4】如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段AB＝3，则线段BC的长是（　　） A． B． C．1 D． 【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【解答】解：∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的， ∴＝， ∵AB＝3， ∴BC＝1． 故选：C． 题型02 根据平行线分线段成比例求比值 【典例1】在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，联结DE、DF，如果DE∥AC，DF∥AB，且AE：EB＝2：3，那么AF：FC的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】由DE∥AC，得到CD：DB＝2：3，再由DF∥AB，根据平行线分线段成比例定理即可求解． 【解答】解：在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，DE∥AC，DF∥AB，AE：EB＝2：3，如图， ∴CD：DB＝AE：EB＝2：3， ∴DB：CD＝3：2， ∴AF：FC＝DB：CD＝3：2＝， 故选：C． 【变式1】如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD：DB＝3：1，则AE：AC＝（　　） A．3：1 B．3：4 C．3：5 D．2：3 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到＝＝，然后根据比例的性质求AE：AC的值． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴＝＝， ∴＝＝． 故选：B． 【变式2】如图，在△ABC中，DE∥AB，且，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【解答】解：∵＝， ∴＝， ∵DE∥AB， ∴＝＝， 故选：A． 【变式3】如图，点O，F在直线AD上，点O，E在直线BC上，且AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算，得到答案． 【解答】解：∵AO＝2，OF＝1， ∴AF＝2+1＝3， ∵AB∥EF∥CD， ∴＝＝， 故选：A． 题型03 利用线段比判断两直线平行 【典例1】在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中，能判定DE∥BC的是（　　） A． B． C． D． 【分析】如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可． 【解答】解：如图， A．＝，不能判定DE∥BC，故该选项不符合题意； B．∵＝，∴＝，∴DE∥BC，故该选项符合题意； C．＝，不能判定DE∥BC，故该选项不符合题意； D．＝，不能判定DE∥BC，故该选项不符合题意． 故选：B． 【变式1】如果点D、点E分别在△ABC的边AB和边AC上，那么下列能判定DE∥BC的比例式是（　　） A．AD：DB＝EC：AE B．DE：BC＝AD：AB C．BD：CE＝AB：AC D．AD：AC＝AE：AB 【分析】由AD：DB＝AE：EC，BD：AB＝CE：AC与AB：AC＝AD：AE，根据平行线分线段成比例定理，均可判定DE∥BC，然后利用排除法即可求得答案． 【解答】解：A、∵AD：DB＝AE：EC，∴DE∥BC，故本选项不能判定DE∥BC； B、由DE：BC＝AD：AB，不能判定DE∥BC；故本选项不能判定DE∥BC； C、∵BD：CE＝AB：AC，∴BD：AB＝CE：AC，∴DE∥BC，故本选项能判定DE∥BC； D、∵AB：AC＝AD：AE，∴AB：AD＝AC：AE，∴DE∥BC，故本选项不能判定DE∥BC． 故选：C． 【变式2】在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD：BD＝1：2，那么下列条件中能够判断DE∥BC的是（　　） A． B． C． D． 【分析】可先假设DE∥BC，由平行得出其对应线段成比例，进而可得出结论． 【解答】解：如图， 可假设DE∥BC，则可得＝＝，＝＝， 但若只有＝＝，并不能得出线段DE∥BC． 故选：D． 【变式3】如图：在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，根据下列给定的条件，不能判断DE与BC平行的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平行线分线段成比例定理的逆定理，即“三条直线被两条直线所截，如果截得的对应线段成比例，那么三条直线平行”，进行分析判断即可． 【解答】解：∵，∴DE∥BC，A不合题意； ∵，∴DE∥BC，B不合题意； ∵，∴DE∥BC，C不合题意； ，不能判断DE与BC平行，D符合题意； 故选：D． 题型04 判断相似三角形的对数 【典例1】如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，则图中共有（　　）对相似三角形 A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】先根据DE∥BC、DF∥AC可知△ADE∽△ABC，△DBF∽△ABC，即△ADE∽△DBF，再根据DE∥BC、DF∥AC可得∠DEF＝∠EFC，∠DFE＝∠FEC，即△DEF∽△CFE，然后统计即可解答． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∵DF∥AC， ∴△DBF∽△ABC， ∵△ADE∽△ABC， ∴△ADE∽△DBF， ∵DE∥BC，DF∥AC， ∴∠DEF＝∠EFC，∠DFE＝∠FEC， ∴△DEF∽△CFE， 综上所述，图中共有4对相似三角形． 故选：C． 【变式1】如图，平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于点F、G，则图中相似三角形（相似比不是1）共有（　　）对． A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】由AD∥BC，可证明△AEF∽△BEC，△DFG∽△BCG，由AB∥DC，可证明△AEF∽△DCF，△BEG∽△DCG，由∠E＝∠DCF，∠BCE＝∠DFC，△BEC∽△DCF，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∵AF∥BC， ∴△AEF∽△BEC， ∴DF∥BC， ∴△DFG∽△BCG， ∵AE∥DC， ∴△AEF∽△DCF， ∵BE∥DC， ∴△BEG∽△DCG， ∵∠E＝∠DCF，∠BCE＝∠DFC， ∴△BEC∽△DCF， ∴图中相似比不是1的相似三角形共有5对， 故选：C． 【变式2】如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AD、BC上，且EF∥CD，G为边AD延长线上一点，连接BG，则图中与△ABG相似的三角形有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】先利用平行四边形的性质得到CD∥AB，AD∥BC，则根据平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可判断△DGM∽△AGB，△DGM∽△CBM，再利用EF∥CD可判断△DGM∽△EGN，△CBM∽△FBN，然后根据相似的传递性可得到答案． 【解答】解：如图， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴CD∥AB，AD∥BC， ∴△DGM∽△AGB，△DGM∽△CBM， ∵EF∥CD， ∴△DGM∽△EGN，△CBM∽△FBN， ∴△DGM∽△AGB∽△FBN∽△CBM∽△EGN． 故选：D． 1．如图，M是平行四边形ABCD的对角线BD上一点，AM的延长线交BC于点E，交DC的延长线于点F，图中相似三角形有（　　） A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得AD∥BC，AB∥CD，从而得到△AMD∽△EMB，△EFC∽△AFD，△ABE∽△FCE，△ABM∽△FDM，则△ABE∽△FDA，可得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠ABD＝∠BDC，∠ADB＝∠DBC， ∴△ABD∽△CDB， ∵AD∥BC， ∴△AMD∽△EMB，△EFC∽△AFD， ∵AB∥CD， ∴△ABE∽△FCE，△ABM∽△FDM， ∴△ABE∽△FDA， ∴相似三角形共有6对， 故选：A． 2．小明想要得到与△ABC相似的三角形，于是他用剪刀沿着图中虚线将△ABC剪开，虚线与边BC平行，如图所示，则他判定剪下的三角形（阴影部分）与△ABC相似的依据是（　　） A．两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 B．三边成比例的两个三角形相似 C．平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 D．相似三角形的三个角分别相等 【分析】根据平行于三角形一边的直线截其他两边所得三角形与原三角形相似，即可求解． 【解答】解：由题意，判断的依据是：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 故选：C． 3．如图，已知直线a∥b∥c，分别交直线m，n于点B，C，E，A，D，F，直线m，n相交于点H，下列结论中错误的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【解答】解：已知直线a∥b∥c，分别交直线m，n于点B，C，E，A，D，F， ∴，，，， ∴选项A、B、C正确，不符合题意；D错误，符合题意； 故选：D． 4．如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点P表示的数是（　　） A． B．2 C． D．5 【分析】设P点表示的数为x，则根据平行线分线段成比例可得分式方程再进行检验，符合题意即可解答． 【解答】解：设P点表示的数为x，则根据平行线分线段成比例可得： 解， 解得， 经检验，是分式方程的解且符合实际意义， 即P点表示的数为． 故选：C． 5．如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB＝4，BC＝2，DE＝3，则EF的长为（　　） A． B．2 C． D．3 【分析】利用平行线分线段成比例，即可求出EF的长． 【解答】解：∵AD∥BE∥CF， ∴＝， ∵AB＝4，BC＝2，DE＝3， ∴＝， ∴EF＝． 故选：A． 6．一架梯子的示意图如图所示，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1∥EE1，且AB＝BC＝CD＝DE．为了使梯子更加稳固，在A、E1之间加绑一条安全绳（线段AE1）分别交BB1、CC1、DD1于点F、G、H．量得AF＝0.4米，则安全绳（线段AE1）的长为（　　） A．0.8米 B．1.2米 C．1.6米 D．1.8米 【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可得到答案． 【解答】解：∵AA1∥BB1∥CC1∥DD1， ∴＝， ∵AB＝BC＝CD＝DE， ∴＝， ∵AE＝0.4， ∴＝， ∴AE1＝1.6（米）． 故选：C． 7．如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF分别与l1、l2、l3相交于点A、B、C和D、E、F．如果AB＝1，EF＝3，那么下列各式中，正确的是（　　） A．BC：DE＝3 B．BC：DE＝1：3 C．BC•DE＝3 D． 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出＝，代入求出即可． 【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，AB＝1，EF＝3， ∴＝， ∴＝， ∴BC•DE＝3， 故选：C． 8．如图，已知直线a∥b∥c，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C，直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F，若，DF＝21，则EF＝（　　） A．9 B．12 C．15 D．18 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【解答】解：∵a∥b∥c， ∴＝，即＝， 解得：DE＝9， 则EF＝DF＝DE＝21﹣9＝12， 故选：B． 9．如图，嘉嘉测量池塘两岸A，B两点间的距离，先在AB的延长线上选定点C，测得BC＝3m，再选一点D，连接AD，CD，作BE∥AD，交CD于点E，测得CD＝10m，DE＝6m，则AB＝（　　） A．4m B．5m C．4.5m D．3.5m 【分析】由平行线分线段成比例定理推出BC：AB＝CE：DE，代入有关数据即可求出AB的长． 【解答】解：∵CD＝10m，DE＝6m， ∴CE＝CD﹣DE＝4（m）， ∵BE∥AD， ∴BC：AB＝CE：DE， ∵BC＝3m， ∴3：AB＝4：6， ∴AB＝4.5m． 故选：C． 10．如图，正六边形ABCDEF外作正方形DEGH，连接AH交DE于点O，则等于（　　） A．3 B． C．2 D． 【分析】连接BD，如图所示：由正六边形和正方形的性质得：B、D、H三点共线，设正六边形的边长为a，则AB＝BC＝CD＝DE＝a，解直角三角形求出BD，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【解答】解：连接BD，如图所示： 由正六边形和正方形的性质得：B、D、H三点共线， 设正六边形的边长为a，则AB＝BC＝CD＝DE＝a， ∵在△BCD中，BC＝CD＝a，∠BCD＝120°， ∴BD＝a． ∵OD∥AB， ∴＝＝＝， 故选：B． 11．如图，AC、BD交于点O，连接AB、CD，若要使△AOB∽△COD，可以添加条件 　∠A＝∠C（答案不唯一）　．（只需写出一个条件即可） 【分析】由相似三角形的判定方法可求解． 【解答】解：添加∠A＝∠C，且∠AOB＝∠COD， ∴△AOB∽△COD， 故答案为：∠A＝∠C（答案不唯一）． 12．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段BC＝3，则线段AB的长是 　9　． 【分析】过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【解答】解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E， ∴，即， 解得：AB＝9， 故答案为：9． 13．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AD：AB＝2：3，AC＝4，如果DE∥BC，那么AE的长为 　　． 【分析】根据DE∥BC，可得，从而可得答案． 【解答】解：如图， ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵AD：AB＝2：3， ∴， ∵AC＝4， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，点E、F分别在线段AB、CD上，AD∥EF∥BC，AE＝2，BE＝4，CF＝6，那么DF＝ 　3　． 【分析】连接AC，延长FE交AC于点H，然后由题意易得，然后问题可求解． 【解答】解：连接AC，延长FE交AC于点H， 点E、F分别在线段AB、CD上，AD∥EF∥BC，平行线截线段成比例可得： ， ∵AE＝2，BE＝4，CF＝6， ∴， ∴DF＝3； 故答案为：3． 15．如图，点D、E在△ABC的边AB、AC上，且DE∥BC，过点A作AF∥BC，分别交∠AED、∠ACB的平分线于点F、G．若BD＝2AD，CG平分线段BD，则FG：BC＝　　． 【分析】设CG、AB交于点H，结合BD＝2AD可得BH＝DH＝AD；由平行线分线段成比例定理可得，即有AG＝2BC，再证明EF∥CG，进一步可得，易知AF＝23BC，可得，即可获得答案． 【解答】解：如下图，设CG、AB交于点H， ∵BD＝2AD，CG平分线段BD， ∴， ∵AF∥BC， ∴， ∴AG＝2BC， ∵DE∥BC， ∴， ∵EF平分∠AED，CG平分∠ACB， ∴， ∴∠AEF＝∠ACG， ∴EF∥CG， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16．如图，点E，G在△ABC的边AB，AC上，连接EG，点D为△ABC外一点，连接AD，CD，点F在AD上，连接GF，EG∥BC，GF∥DC，AE＝3，EB＝2，AF＝6，求AD的值． 【分析】由EG∥BC，GF∥DC得到，，再代入数据即可求出FD＝4，继而可求AD． 【解答】解：∵EG∥BC，GF∥DC， ∴，， ∴， ∴FD＝4， ∵AF＝6， ∴AD＝AF+FD＝10． 17．如图，点D，E，F分别是边AB，BC，AC上的点，已知DE∥AC，DF∥BC，AF＝6cm，FC＝9cm，CE＝4cm，求BE的长． 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【解答】解：∵DF∥BC， ∴＝， ∵DE∥AC， ∴＝， ∴＝， ∵AF＝6cm，FC＝9cm，CE＝4cm， ∴＝， 解得：BE＝6， 答：BE的长为6cm． 18．如图，已知点D，E分别在边AB，AC上，BE，CD交于点O，，AB＝7，DB＝4，BC＝9，CD＝10．求DE，CO的长． 【分析】先求得AD＝AB﹣DB＝7﹣4＝3，再根据求得；由求得． 【解答】解：∵AB＝7，DB＝4，BC＝9，CD＝10， ∴AD＝AB﹣DB＝3， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 答：DE的长为，CO的长为7． 19．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F． （1）如果AB＝6，BC＝8，DF＝21，求DE的长； （2）如果DE：DF＝2：5，AD＝9，CF＝14，求BE的长． 【分析】（1）根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例可得，再由AB＝6，BC＝8，DF＝21即可求出DE的长． （2）过点D作DG∥AC，交BE于点H，交CF于点G，运用比例关系求出HE及HB的长，然后即可得出BE的长． 【解答】解：（1）∵AD∥BE∥CF， ∴， ∵AB＝6，BC＝8，DF＝21， ∴， ∴DE＝9． （2）过点D作DG∥AC，交BE于点H，交CF于点G， 则CG＝BH＝AD＝9， ∴GF＝14﹣9＝5， ∵HE∥GF， ∴， ∵DE：DF＝2：5，GF＝5， ∴， ∴HE＝2， ∴BE＝9+2＝11． 20．如图，已知直线l1，l2，l3分别截直线l4于点A，B，C，截直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3． （1）如果AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DE的长； （2）如果DE：EF＝2：3，AC＝25，求AB的长． 【分析】（1）由平行线分线段成比例定理得到，代入已知线段长度即可得到DE的长； （2）由平行线分线段成比例定理得到，由DE：EF＝2：3得到，即，即可得到AB的长， 【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3， ∴， ∵AB＝4，BC＝8，EF＝12， ∴， 解得：DE＝6； （2）∵l1∥l2∥l3， ∴， ∵， ∴， 解得：AB＝10． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$