专题5.1 认识方程（五大题型总结）（压轴题专项讲练）-2024-2025学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列（北师大版2024）

专题5.1 认识方程（五大题型总结） 【题型一：方程的判断】 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）下列各式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ．其中是方程的有（    ） A．①②④⑤ B．①②⑤⑦⑧ C．①④⑦⑧ D．8 个都是 2．（2024七年级上·江苏·专题练习）下列式子中，方程的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤； A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2024七年级上·江苏·专题练习）下列关于x的方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，整式方程有 ． 【题型二：列方程】 4．（23-24七年级上·吉林·期中）列等式表示“的4倍与5的和等于30”： ． 5．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）把一些图书分给某班学生，如果每人分3本，则余20本；如果每人分4本，则缺25本．设有名学生，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）如图，在编写数学谜题时，“口”内要求填写同一个数字，若设“口”内的数字为，则可列出方程 ． 【题型三：方程的解】 7．（23-24七年级上·贵州毕节·期末）下列方程中，解是的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知关于的方程的解是，求的值． 9．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）已知关于的方程，当，为何值时： （1）方程有唯一解； （2）方程有无数个解； （3）方程无解． 10．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知是关于的方程的解，满足关系式，求的值． 11．（23-24七年级上·贵州贵阳·期末）有一列方程： 第1个方程是，解为； 第2个方程是，解为； 第3个方程是，解为； 第4个方程是，解为； …… 根据以上规律，若第n个方程的解为，则a的值为（    ） A．41 B．42 C．43 D．44 【题型四：一元一次方程的定义】 12．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24七年级上·天津和平·期中）关于的一元一次方程的解为，则的值为 ． 14．（23-24七年级上·全国·单元测试）若关于的方程是一元一次方程，则的值为 ． 15．（2024七年级上·北京·专题练习）已知是非零整数，关于的方程是一元一次方程，求的值． 16．（23-24七年级上·四川成都·期末）已知关于的方程为一元一次方程，且该方程的解与关于的方程的解相同． （1）求、的值； （2）在（1）的条件下，若关于的方程有无数解，求，的值． 【题型五：等式的性质】 17．（23-24七年级上·广东汕头·期末）下列说法正确的有（　　） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则；⑥若，则；⑦若，则．． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 18．（23-24七年级上·天津·期中）下列说法错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 19．（2024七年级上·江苏·专题练习）已知〇、△、口分别代表不同物体，用天平比较它们的质量，如图所示．根据砝码显示的质量，求〇 g，□= g． 20．（24-25七年级上·全国·课后作业）利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（c为常数）的形式： （1）； （2）； （3）； （4） 21．（2024七年级上·全国·专题练习）利用等式的基本性质将方程化为的形式． （1） （2） （3） （4） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.1 认识方程（五大题型总结） 【题型一：方程的判断】 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）下列各式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ．其中是方程的有（    ） A．①②④⑤ B．①②⑤⑦⑧ C．①④⑦⑧ D．8 个都是 【思路点拨】 本题考查方程的定义，根据含有未知数的等式，叫做方程，进行判断即可。 【解题过程】 解：①符合方程的定义，故本小题正确； ②不含有未知数，不是方程，故本小题错误； ③不是等式，故本小题错误； ④符合方程的定义，故本小题正确； ⑤不是等式，故本小题错误； ⑥不是等式，故本小题错误． ⑦符合方程的定义，故本小题正确； ⑧ 符合方程的定义，故本小题正确． 故选C． 2．（2024七年级上·江苏·专题练习）下列式子中，方程的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤； A．2 B．3 C．4 D．5 【思路点拨】 本题考查方程的定义，掌握含有未知数的等式叫做方程是解题的关键． 根据方程的定义求解即可． 【解题过程】 解：①中不含有未知数，不是方程； ②不是等式，不是方程； ③、④符合方程的定义； ⑤是代数式，不是等式，不是方程； 综上，方程有2个． 故本题选：A． 3．（2024七年级上·江苏·专题练习）下列关于x的方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，整式方程有 ． 【思路点拨】 本题考查了整式方程的定义，判断一个方程是否为整式方程，要看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．根据整式方程的定义：分母中不含未知数的方程叫做整式方程进行判断． 【解题过程】 解：②0，③，④，⑥的分母中不含未知数，是整式方程；①和⑤分母中含未知数，是分式方程． 故答案为：②③④⑥． 【题型二：列方程】 4．（23-24七年级上·吉林·期中）列等式表示“的4倍与5的和等于30”： ． 【思路点拨】 本题主要考查了列方程，的4倍与5的和表示为，据此建立方程即可． 【解题过程】 解：列等式表示“的4倍与5的和等于30”：． 故答案为： 5．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）把一些图书分给某班学生，如果每人分3本，则余20本；如果每人分4本，则缺25本．设有名学生，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 根据图书的数量不变，列出等量关系式，即可求解， 本题考查了列方程，解题的关系式：根据图书数量不变，列出等量关系式． 【解题过程】 解：根据题意得：， 故选：． 6．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）如图，在编写数学谜题时，“口”内要求填写同一个数字，若设“口”内的数字为，则可列出方程 ． 【思路点拨】 根据题意可知，第一个乘数可以表示为，积可以表示为，由此列出方程即可． 【解题过程】 解：由题意得：， 故答案为：． 【题型三：方程的解】 7．（23-24七年级上·贵州毕节·期末）下列方程中，解是的是（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了方程的解，将分别代入选项方程，能使等式成立的即为正确答案，理解一元一次方程解的定义是解题的关键． 【解题过程】 解：、把代入方程得，左边右边， ∴不是方程解，该选项不合题意； 、把代入方程得，左边右边， ∴不是方程解，该选项不合题意； 、把代入方程得，左边，右边，左边右边， ∴不是方程解，该选项不合题意； 、把代入方程得，左边，右边，左边右边， ∴是方程解，该选项符合题意； 故选：． 8．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知关于的方程的解是，求的值． 【思路点拨】 本题考查了解的定义以及代数式求值，掌握解的定义是解答本题的关键． 将代入，解出，再将代入计算即可求解． 【解题过程】 解：将代入，得：， 解得：， ． 9．（23-24七年级下·吉林长春·阶段练习）已知关于的方程，当，为何值时： （1）方程有唯一解； （2）方程有无数个解； （3）方程无解． 【思路点拨】 此题考查了方程的解； （1）方程移项合并，根据有唯一解确定出条件即可； （2）根据方程有无数解确定出条件即可； （3）根据方程无解确定出条件即可． 【解题过程】 （1）解：∵ ∴ ∴当时，即，方程有唯一解 （2）∵方程有无数个解， ∴，即 （3）∵方程无解， ∴， ∴ 10．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知是关于的方程的解，满足关系式，求的值． 【思路点拨】 本题考查了方程的解，代数式求值，把代入方程求出的值，再代入关系式求出，进而把的值代入代数式计算即可求解，掌握方程解的定义是解题的关键． 【解题过程】 解：将代入方程中得， ， 解得， 将代入关系式中得，， ， 解得， ． 11．（23-24七年级上·贵州贵阳·期末）有一列方程： 第1个方程是，解为； 第2个方程是，解为； 第3个方程是，解为； 第4个方程是，解为； …… 根据以上规律，若第n个方程的解为，则a的值为（    ） A．41 B．42 C．43 D．44 【思路点拨】 本题主要考查了数字的变化类，先根据已知条件中的方程，找出规律，求出第个方程和方程的解，列出关于的方程，求出，从而求出即可．解题关键是根据已知条件找出规律． 【解题过程】 解：观察已知条件中的方程可知：第n个方程为：， 方程的解为：， ∵第n个方程的解为， ∴，即：， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 【题型四：一元一次方程的定义】 12．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了一元一次方程，根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是次的整式方程叫做一元一次方程即可判断求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【解题过程】 解：、方程含有两个未知数，不是一元一次方程，该选项不合题意； 、方程是一元一次方程，该选项符合题意； 、方程中未知数的最高次数是，不是一元一次方程，该选项不合题意； 、方程的右边不是整式，不是一元一次方程，该选项不合题意； 故选：． 13．（23-24七年级上·天津和平·期中）关于的一元一次方程的解为，则的值为 ． 【思路点拨】 根据解一元一次方程的定义求得的值，根据方程的解满足方程，把解代入方程，可得关于的一元一次方程，解方程可得答案． 【解题过程】 解：方程是关于的一元一次方程， ， 解得， 关于的一元一次方程的解为， ， 解得， ， 故答案为：1． 14．（23-24七年级上·全国·单元测试）若关于的方程是一元一次方程，则的值为 ． 【思路点拨】 本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．根据一元一次方程的一般形式即可判定有种情况，分别讨论①当且时，②当且时，③当时是否满足该方程为一元一次方程即可． 【解题过程】 解：关于的方程是一元一次方程， 可考虑三种情况， ①当且时， 即且， 则，解得：， 此时，故排除； ②当且时， 即且， ，符合条件； ③当即时， ，符合条件； 综上：的值为或， 故答案为：或． 15．（2024七年级上·北京·专题练习）已知是非零整数，关于的方程是一元一次方程，求的值． 【思路点拨】 本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．分情况讨论，（1），，（2），，根据一元一次方程的定义求得、的值． 【解题过程】 解：分两种情况： （1），， 当时，，此时； 当时，，此时； （2），， 解得，，； 当时，，即； 当时，由原方程，得，不符合题意． 16．（23-24七年级上·四川成都·期末）已知关于的方程为一元一次方程，且该方程的解与关于的方程的解相同． （1）求、的值； （2）在（1）的条件下，若关于的方程有无数解，求，的值． 【思路点拨】 （1）根据题意利用一元一次方程的定义即可求出a的值，根据两个方程同解可得b的值； （2）由题意直接把a和b的值代入方程求出方程的解，根据方程有无数解的条件列式可得m ，n的值． 【解题过程】 （1）解：∵关于的方程为一元一次方程， ∴，解得：， 当，方程为，解得：， 又∵两个方程同解， ∴，解得：. （2）解：把，代入， 可得：，变形得：， ∵关于的方程有无数解，即与y的取值无关， ∴， ∴或，. 【题型五：等式的性质】 17．（23-24七年级上·广东汕头·期末）下列说法正确的有（　　） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则；⑥若，则；⑦若，则．． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【思路点拨】 本题考查了等式的性质，能熟记等式的性质是解此题的关键，注意：等式的性质1：等式的两边都加或减同一个数或式子，等式仍成立，等式的性质2：等式两边都乘同一个数或式子，等式仍成立，等式的两边都除以同一个不等于0的数或式子，等式仍成立．根据等式的性质逐个判断即可． 【解题过程】 解：， 等式两边都乘，得，故①正确； 当时，由不能推出，故②错误； ， 等式两边都乘，得，故③正确； 当时，由不能推出，故④错误； 不论为何值，， 由能推出，故⑤正确； 当时，由不能推出，故⑥错误； 当，时，但，故⑦错误； 即正确的个数是3， 故选：B 18．（23-24七年级上·天津·期中）下列说法错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【思路点拨】 本题考查了等式的基本性质，根据等式的基本性质逐项判断即可求解，掌握等式的基本性质是解题的关键． 【解题过程】 解：、∵，根据等式的基本性质：“等式两边同时除以同一个不为的数，两边仍然相等”可得， ∴正确，不符合题意； 、∵，当时，根据等式的基本性质：“等式两边同时除以同一个不为的数，两边仍然相等”，可得；当时，，可得， ∴或， ∴错误，符合题意； 、∵，根据等式的基本性质：“等式两边减去同一个数，两边仍然相等”，可得， ∴正确，不符合题意； 、∵，根据等式的基本性质：“等式两边乘以同一个数，两边仍然相等”，可得， ∴正确，不符合题意； 故选：． 19．（2024七年级上·江苏·专题练习）已知〇、△、口分别代表不同物体，用天平比较它们的质量，如图所示．根据砝码显示的质量，求〇 g，□= g． 【思路点拨】 本题考查了等式的性质，熟悉掌握并能灵活运用相关知识是解题的关键． 设1个〇重g，1个□重g，1个△重g，利用代数式可表达出，，，运算求解即可． 【解题过程】 解：设1个〇重g，1个□重g，1个△重g． 由题意可得：，，． 根据等式的基本性质2，将的两边同除以2，得， 将的两边同除以5，得， 将和代入，得， 根据等式的基本性质1，将两边同时减，得， 根据等式的基本性质2，将两边同时除以，得， 将代入，得， 〇g，□g． 故答案为：，． 20．（24-25七年级上·全国·课后作业）利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（c为常数）的形式： （1）； （2）； （3）； （4） 【思路点拨】 本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键 （1）等式两边同时除以即可得到答案； （2）等式两边同时减去，之后等式两边同时减去，最后等式两边同时除以即可得到答案； （3）等式两边同时加上，之后等式两边同时加上，最后等式两边同时除以即可得到答案； （4）等式两边同时减去，之后等式两边同时减去得，最后等式两边同时除以即可得到答案． 【解题过程】 （1）解：等式两边同时除以得，； （2）解：等式两边同时减去得，， 等式两边同时减去得，， 等式两边同时除以得，； （3）解：等式两边同时加上得，， 等式两边同时加上得，， 等式两边同时除以得，； （4）解：等式两边同时减去得，， 等式两边同时减去得，， 等式两边同时除以得，． 21．（2024七年级上·全国·专题练习）利用等式的基本性质将方程化为的形式． （1） （2） （3） （4） 【思路点拨】 本题考查的是方程的解法，等式的基本性质的应用； （1）先化简方程，再根据等式的性质，方程两边同时减去7，再同时减去，最后同时除以2即可； （2）先按照比例的基本性质变为，再化简方程，最后根据等式的性质，方程两边同时乘以3，再同时减去2即可； （3）运用乘法分配律化为，然后根据等式的性质，在方程两边同时减去60，再在方程两边同时减去，最后在方程两边同时除以即可； （4）根据等式的性质，在方程两边同时乘6，再在方程两边同时加12，再在方程两边同时减去x，最后在方程两边同时除以5即可． 【解题过程】 （1）解：， 化简，得， 两边同时减去7，得， 即， 两边同时减去，得， 即， 两边同时除以2，得， 即； （2）解：， ∴， 即， 两边同时乘3，得， 即， 两边同时减去2，得， 即； （3）解： 化简，得， 两边同时减去60，得， 即， 两边同时减去，得 即， 两边同时除以，得， 即； （4）解：， 两边同时乘以6，得， 化简，得， 两边同时加上12，得， 两边同时减去x，得， 两边同时除以5，得． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 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