专题08 三角形全等的五大基本模型（5大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（人教版）

专题08 三角形全等的五大基本模型 三角形全等之三垂直模型 1．（23-24八年级上·天津滨海新·期末）在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：，，的关系； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请写出新的结论并说明理由． 【答案】(1)，证明见解析 (2)不成立，，理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质和线段和差关系， （1）根据题意利用证明，则有，，结合即可证明结论； （2）根据题意利用证明，则有，，结合即可证明结论． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴，， ∴， 在与中， ∵， ∴； ∴，， ∵， ∴； （2）解：∵于D，于E． ∴， ∴，． ∴． 在和中， ∵， ∴． ∴，． ∴． 2．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系 问题情境： 如图1，三角形纸片中，，.将点C放在直线上，点A，B位于直线的同侧，过点A作于点D 初步探究： (1)在图1的直线上取点E，使，得到图2，猜想线段与的数量关系，并说明理由； (2)小颖又拿了一张三角形纸片继续进行拼图操作，其中，.小颖在图1的基础上，将三角形纸片的顶点P放在直线上，点M与点B重合，过点N作于点H.如图3，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由 【答案】(1) (2) 【知识点】垂线模型(全等三角形的辅助线问题)、根据三线合一证明 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型－垂直模型，熟记模型的构成以及结论是解题关键． （1）过点B作于点F，证得，根据“三线合一”可得，即可求解； （2）结合（1）的推理过程可得得，再证得即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 过点B作于点F，即， ， ，， . ， . . 在和中，， . . ，， . . （2）解：.理由如下： 过点B作于点F，∴， 由（1）可得：， . ， ，. ， . . 在和中，， . . 3．（23-24八年级上·重庆江津·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图，，，过点作于点，过点作交的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，进而得到＝______，＝______．（请完成填空）我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （2）①如图，，，，连接、，且于点，与直线交于点，求证：点是的中点； ②如图，若点为轴上一动点，点为轴上一动点，点的坐标为，是否存在以、、为顶点且以为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）存在，或 【知识点】全等三角形的性质、全等三角形综合问题、垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识； （1）由全等三角形的性质可得出答案； （2）过点作交于点，过点作交于点，证明，得出；同理可得：．得出，证明，由全等三角形的性质可得出； （3）分两种情况，由全等三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可知， ，， 故答案为：，； （2）证明：如图1，过点作交于点，过点作交于点， ，， ， ， 在和中， ， ， ； 同理可得：． ， ， 在和中， ， ， ， 点是的中点． （3）解：如图，当点在轴正半轴上时，由【模型呈现】可知， ，， ， ， ； 当点在轴负半轴上时，同理可得． 综上所述，点的坐标为或． 4．（22-23七年级下·广东深圳·期末）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题． 【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论； ， ， ∵，， ，， ， ， ∵ ， __________； ②，，则__________； 【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由； 【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接CE，则的面积为__________． 【答案】（1）①②；（2）结论，理由见解析；（3） 【知识点】全等三角形综合问题、垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）①根据两个三角形全等的判定定理，结合已知求证即可得到答案； ②由①中，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】解：（1）①， ， ∵，， ，， ， ， ∵，，， ∴； 故答案为： ②由①知， ， ∵，， ∴； 故答案为：； （2）结论：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； （3）延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 故答案为：． 5．（23-24七年级下·江西吉安·期末）如图，在中，，，为直线上一动点，连接．在直线的右侧作，且．    观察发现： （1）如图①，当点在线段上时，过点作的垂线，垂足为，判断线段与之间的关系，并说明理由； 探究迁移： （2）将如图①中的，连接，交直线于点，我们很容易发现．如图②，当点在线段的延长线上时，连接交直线于点，线段和线段之间的关系有没有变化？此时吗？说说理由． 拓展应用： （3）如图③，当点在线段的延长线上时，当，时，求和的面积． 【答案】（1）且；理由见解析；（2） 它们的关系没有变化，此时；理由见解析；（3）， 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等三角形综合问题 【分析】本题是全等综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是本题的关键． （1）先证明，根据全等三角形的性质可得，从而得出结论； （2）先证明，再证明，可证结论； （3）由（2）可得，和仍然成立，可得，，再得，可得结论． 【详解】（1） 且 在与中 , , （2） 它们的关系没有变化，此时， ， ， ， 在与中 ,, 在与中 （3） 由（2）可得，和仍然成立 三角形全等之一线三等角模型 1．（23-24七年级下·山东济南·期末）【模型呈现】 （1）如图1，，，于点，于点． 求证：． 【模型应用】 （2）如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． 【深入探究】 （3）如图3，，，，连接、，且于点，与直线交于点． ①求证； ②若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）①见解析； 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】（1）证明，即可得证； （2）同（1）法得到，，分割法求出图形面积即可； （3）①过点作于，过点作交的延长线于，易证，，得到，，再证明，即可得出结论； ②根据全等三角形的性质，求出的长，进而利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：（1）证明：， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ． （2）由模型呈现可知，，， ，，，， 则 ． （3）①过点作于，过点作交的延长线于． 图3 由【模型呈现】可知，，， ， ， ， ， 在和中， ， ． ②由①可知，，， ， ， ， ， 由①得 ， ， ， ， ． 2．（23-24七年级下·全国·期末）（1）如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，D、A、E三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，求与的面积之和． 【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）6 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，则，，； （2）同理（1）证明即可； （3）同理（2）可得，，则，设的底边上的高为，则的底边上的高为，，，由，可得，根据，求解作答即可． 【详解】（1）证明：直线，直线， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：结论成立；理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：同理（2）可得，， ∴， 设的底边上的高为，则的底边上的高为， ∴，， ， ∴， ∴， ∴与的面积之和为6． 3．（23-24八年级上·山东日照·期末）问题情境：如图①，在中，于点D． 可知：（不需要证明）； (1)特例探究：如图②，，射线在这个角的内部，点B、C在的边上，且于点F，于点D．证明：； (2)归纳证明：如图③，点B，C在的边上，点E，F在内部的射线上，分别是的外角．已知，．求证：； (3)拓展应用：如图④，在中，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为，则与的面积之和为 ．（直接写出结果） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)8 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）先运用直角三角形的两个锐角互余以及角的等量代换得，证明，即可作答． （2）先运用三角形的外角性质以及角的和差关系得出，证明，即可作答． （3）这运用等高算面积，则底的比就是它们的面积的比列式计算，再结合全等三角形的性质，即可作答． 本题考查了全等三角形的性质以及三角形的外角性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图： ∵， ∴ ∵ ∴ ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：如图： 易得， ∵ ∴ ∴， 在和中， ， ∴； （3）解：如图： ∵的面积为24，，且分别以为底来运算面积 ∴此时它们的高是相等的，即的面积是：， 由（2）可知，， ∴与的面积之和等于与的面积之和， 即等于的面积是8， 答案为：8． 4．（23-24七年级下·山西运城·期末）综合与实践 问题情境： 数学课上，同学们以等腰三角形为背景展开探究．在中，，直线过点，点是直线上两点． 独立思考： （1）如图1，当直线在的外部，满足时，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； 拓展探究： （2）如图2，当直线经过的内部，交于点，且，满足时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请写出线段，与之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当直线经过的内部，交于点，且，满足时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出线段与之间的数量关系． 【答案】（1），见解析；（2），见解析；（3）（1）中结论不成立．线段与之间的数量关系为 【知识点】全等三角形综合问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，三角形外角的定义，理解题意，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据三角形外角的性质及等量代换得出，再由全等三角形的判定和性质得出，，结合图形即可求解； （2）同（1）中方法类似，利用全等三角形判定和性质求解即可； （3）同（2）中方法类似，利用全等三角形判定和性质求解即可． 【详解】解：（1），理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）结论不成立，，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）结论不成立，，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 三角形全等之手拉手模型 1．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图1，已知和都是等腰三角形，点和点分别在和上，，易知和的数量关系是． (1)观察猜想 若，将绕点旋转到如图2所示的位置，连结和，猜想和的数量关系是，请说明理由；若延长和交于点，则______； (2)类比探究 若，将绕点旋转到如图3所示的位置，连结和交于点和的数量关系为______，则______； (3)拓展应用 如图3，在“类比探究”的条件下，已知，若连结和，则四边形的面积是______． 【答案】(1)理由见解析；60 (2)；90 (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）证明，，，根据三角形内角和，即可求解， （2）证明，，，根据三角形内角和，即可求解， （3）由，，得到，整理代入厚即可求解， 本题考查了，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】（1）解：长和交于点P， ∵，    即， 在和中，，，， ∴， ∴，， ∴ 故答案为：60； （2）解：∵，    即， 在和中，，，， ∴， ∴，， ∴ 故答案为：；90， （3）解：∵，， ∴， 故答案为：8． 2．（23-24七年级下·山西运城·期末）综合与实践 问题情境： 在和中，，，在内部，连接，延长交于点F，交于点G，设． 特例思考： （1）如图1，当时，试说明与之间的数量关系与位置关系； 一般猜想： （2）如图2，当时，请直接用含的代数式表示的度数； 深度探究： （3）如图3，在图2的基础上，在线段DB上截取，连接，求的度数．（用含的代数式表示） 【答案】（1）；（2）；（3）． 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，解题的关键是证明三角形全等： （1）证明，即可得出结果； （2）同法（1）即可得出结果； （3）同法（1）得到，进而得到，再证明，得到，，进而得到，再利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：（1）因为， 所以． 又因为，， 所以 所以． 又因为， 所以． 所以． （2）同（1）可得：， ∴， ∵， ∴． （3）由（2），知． 同理（1），得． 所以． 又因为，， 所以． 所以，． 所以． 所以． 三角形全等之倍长中线模型 1．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，求证：． 【理解与运用】 （2）如图2，是的中线，若，求的取值范围； （3）如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析 【知识点】三角形三边关系的应用、根据三角形中线求长度、全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，涉及中点性质、三角形三边关系等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）延长至点，使，连接，如图所示，根据题意，由三角形全等的判定得到，从而根据全等三角形性质即可得证； （2）延长至点，使，连接，如图所示，由三角形全等的判定与性质得到，设，在中，由三边关系即可得到答案； （3）延长至点，使，连接，如图所示，得到，再由三角形全等的判定与性质得到，进而可确定，再由全等性质即可得证． 【详解】（1）证明：延长至点，使，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：延长至点，使，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， 在中，由三边关系可得，即， ∴； （3）证明：延长至点，使，连接，如图所示： ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 2．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围； （2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2），见解析；（3），见解析 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形三边关系的应用、全等三角形综合问题、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】（1）由已知得出，即为的一半，即可得出答案； （2）延长至点M，使，连接，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论； （3）延长交于点G，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论． 【详解】解：（1）如图①，延长到点E，使，连接， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： 延长至点M，使，连接，如图②所示． 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， 在中，由三角形的三边关系得： ， ∴； （3），理由如下： 如图③，延长交于点G， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ ． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，作辅助线—倍长中线法、全等三角形的判定与性质，角的关系等知识点，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键． 3．（23-24七年级下·陕西西安·期末）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围．    【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是___________． 【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，试说明：； 【问题拓展】（3）如图3，是的中线，过点分别向外作，使得，判断线段与的关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）；理由见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形三边关系的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． （1）延长到点，使，根据定理证明，可得结论； （2）延长到点F，使得，连接．证明，得出，得出，得出，即可证明结论． （3）延长，使，连接，证明，得出，，证明，得出，即可证明结论． 【详解】解：如图1，延长到点，使，    ∵是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ； （2）证明：如图，延长到点F，使得，连接．    ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∴， ，， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：；理由如下： 如图，延长，使，连接，    ∵为边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．（22-23七年级下·四川达州·期末）（1）阅读理解：    如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，这样就把，，集中在中，利用三角形三边的关系可判断线段的取值范围是　 　；则中线的取值范围是 　 　； （2）问题解决： 如图②，在中，是边的中点，于点，交于点，交于点，连接，此时：与的大小关系，并说明理由． （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，，，以为顶点作，边，分别交，于，两点，连接，此时：、与的数量关系 【答案】（1）；（2），见解析；（3） 【知识点】三角形三边关系的应用、全等三角形综合问题、全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】（1）延长到点使，再连接，证明，可得，再由三角形三角关系可得，； （2）延长至，使，连接，证明，可得，连接，可知是等腰三角形，则，在中，，即； （3）延长至使，连接，证明，可推导出，再证明，则，能推导出． 【详解】解：（1）延长到点使，再连接， ，，， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：，； （2）延长至，使，连接，   ，，， ， ， 连接， ，， 是等腰三角形， ， 在中，，即； （3）延长至使，连接，   ，， ， ，， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，三角形中线的定义，三角形三边关系是解题的关键． 三角形全等之截长补短模型 1．（23-24八年级上·福建南平期末）【问题背景】 如图1，在四边形中，，点E、F分别是边上的点，且，试探究图中线段之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连结，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____． 【探索延伸】 如图2，若在四边形中，，点E、F分别是边上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【答案】【问题背景】；【探索延伸】仍然成立，理由见解析 【知识点】全等三角形综合问题、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构建全等三角形是解题的关键． 问题背景：先利用“”判断得到，，再证明，接着根据“”判断，所以，从而得到； 探索延伸：结论仍然成立，证明方法与（1）相同． 【详解】问题背景：，证明如下： 如下图，延长到点，使得，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； 探索延伸：结论仍然成立，理由如下： 如下图，延长到点，使得，连接，    ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．（22-23八年级上·贵州毕节·期末）如图①，在四边形中，，点E，F分别是边，上的点，且，求线段之间的数量关系．小明提供了这样的思路：延长到点G，使，连接．    (1)根据小明的思路，请直接写出线段之间的数量关系：___________； (2)如图②，在四边形中，，点E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立说明理由． (3)如图③，在四边形中，，点E，F分别是边延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)（1）中的结论仍然成立，理由见解析 (3)结论不成立，应当是，理由见解析 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线． （1）如图中，延长到，使，连接．利用全等三角形的性质解决问题即可． （2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，如图中，延长至M，使，连接．只不过证明三角形和全等中，证明时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此与（1）的结果完全一样． （3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在上截取，使，连接．根据（1）的证法，我们可得出，那么．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的． 【详解】（1）解：如图中，延长到G，使，连接，   ，， ． ． ． ． 又， ， ， ． ． 故答案为：； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 证明：如图中，延长至M，使，连接．   ，， ， 在与中， ， ． ． ， ． ，即． 在与中， ， ． ，即， ． （3）解：结论不成立，应当是． 证明：如图中，在上截取，使，连接．   ，， ． 在与中 ， ． ． ． ． ， ∴． ， ， ． 3．（23-24七年级下·四川达州·期末）在数学活动课上，李老师给出以下题目条件：在四边形中，，点E、F分别是直线上的一点，并且．请同学们在原条件不变的情况下添加条件，开展探究活动． 【初步探索】 （1）“兴趣”小组做了如下探究：如图1，若，延长到点G，使．连接，再证明，由此可得出，，之间的数量关系为________； 【灵活运用】 （2）“实践”小组提出问题：如图2，若，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由； 【延伸拓展】 （3）“奋进”小组在“实践”小组的基础上，提出问题：如图3，若，点E、F分别在线段的延长线上，连接，且仍然满足．请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）成立，理由见解析 （3），证明见解析 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）延长到点，使，连接，则，从而得出，证明得出，证明得出，即可证明； （2）延长到点，使，连接，则，从而得到，证明得出，证明得出，即可证明； （3）延长到点，使，连接，则，证明得出，证明得出，从而得到，即可得解． 【详解】解：（1）如图，延长到点，使，连接，则， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）成立， 理由：如图，延长到点，使，连接，则， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）， 证明：如图，延长到点，使，连接， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了同角的补角相等、全等三角形的判定与性质等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线构造三角形全等是解此题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 三角形全等的五大基本模型 三角形全等之三垂直模型 1．（23-24八年级上·天津滨海新·期末）在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：，，的关系； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请写出新的结论并说明理由． 2．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系 问题情境： 如图1，三角形纸片中，，.将点C放在直线上，点A，B位于直线的同侧，过点A作于点D 初步探究： (1)在图1的直线上取点E，使，得到图2，猜想线段与的数量关系，并说明理由； (2)小颖又拿了一张三角形纸片继续进行拼图操作，其中，.小颖在图1的基础上，将三角形纸片的顶点P放在直线上，点M与点B重合，过点N作于点H.如图3，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由 3．（23-24八年级上·重庆江津·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图，，，过点作于点，过点作交的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，进而得到＝______，＝______．（请完成填空）我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （2）①如图，，，，连接、，且于点，与直线交于点，求证：点是的中点； ②如图，若点为轴上一动点，点为轴上一动点，点的坐标为，是否存在以、、为顶点且以为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（22-23七年级下·广东深圳·期末）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题． 【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论； ， ， ∵，， ，， ， ， ∵ ， __________； ②，，则__________； 【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由； 【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接CE，则的面积为__________． 5．（23-24七年级下·江西吉安·期末）如图，在中，，，为直线上一动点，连接．在直线的右侧作，且．    观察发现： （1）如图①，当点在线段上时，过点作的垂线，垂足为，判断线段与之间的关系，并说明理由； 探究迁移： （2）将如图①中的，连接，交直线于点，我们很容易发现．如图②，当点在线段的延长线上时，连接交直线于点，线段和线段之间的关系有没有变化？此时吗？说说理由． 拓展应用： （3）如图③，当点在线段的延长线上时，当，时，求和的面积． 三角形全等之一线三等角模型 1．（23-24七年级下·山东济南·期末）【模型呈现】 （1）如图1，，，于点，于点． 求证：． 【模型应用】 （2）如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． 【深入探究】 （3）如图3，，，，连接、，且于点，与直线交于点． ①求证； ②若，，求的面积． 2．（23-24七年级下·全国·期末）（1）如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，D、A、E三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，求与的面积之和． 3．（23-24八年级上·山东日照·期末）问题情境：如图①，在中，于点D． 可知：（不需要证明）； (1)特例探究：如图②，，射线在这个角的内部，点B、C在的边上，且于点F，于点D．证明：； (2)归纳证明：如图③，点B，C在的边上，点E，F在内部的射线上，分别是的外角．已知，．求证：； (3)拓展应用：如图④，在中，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为，则与的面积之和为 ．（直接写出结果） 4．（23-24七年级下·山西运城·期末）综合与实践 问题情境： 数学课上，同学们以等腰三角形为背景展开探究．在中，，直线过点，点是直线上两点． 独立思考： （1）如图1，当直线在的外部，满足时，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； 拓展探究： （2）如图2，当直线经过的内部，交于点，且，满足时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请写出线段，与之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当直线经过的内部，交于点，且，满足时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出线段与之间的数量关系． 三角形全等之手拉手模型 1．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图1，已知和都是等腰三角形，点和点分别在和上，，易知和的数量关系是． (1)观察猜想 若，将绕点旋转到如图2所示的位置，连结和，猜想和的数量关系是，请说明理由；若延长和交于点，则______； (2)类比探究 若，将绕点旋转到如图3所示的位置，连结和交于点和的数量关系为______，则______； (3)拓展应用 如图3，在“类比探究”的条件下，已知，若连结和，则四边形的面积是______． 2．（23-24七年级下·山西运城·期末）综合与实践 问题情境： 在和中，，，在内部，连接，延长交于点F，交于点G，设． 特例思考： （1）如图1，当时，试说明与之间的数量关系与位置关系； 一般猜想： （2）如图2，当时，请直接用含的代数式表示的度数； 深度探究： （3）如图3，在图2的基础上，在线段DB上截取，连接，求的度数．（用含的代数式表示） 三角形全等之倍长中线模型 1．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，求证：． 【理解与运用】 （2）如图2，是的中线，若，求的取值范围； （3）如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：． 2．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围； （2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 3．（23-24七年级下·陕西西安·期末）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围．    【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是___________． 【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，试说明：； 【问题拓展】（3）如图3，是的中线，过点分别向外作，使得，判断线段与的关系，并说明理由． 4．（22-23七年级下·四川达州·期末）（1）阅读理解：    如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，这样就把，，集中在中，利用三角形三边的关系可判断线段的取值范围是　 　；则中线的取值范围是 　 　； （2）问题解决： 如图②，在中，是边的中点，于点，交于点，交于点，连接，此时：与的大小关系，并说明理由． （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，，，以为顶点作，边，分别交，于，两点，连接，此时：、与的数量关系 三角形全等之截长补短模型 1．（23-24八年级上·福建南平期末）【问题背景】 如图1，在四边形中，，点E、F分别是边上的点，且，试探究图中线段之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连结，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____． 【探索延伸】 如图2，若在四边形中，，点E、F分别是边上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 2．（22-23八年级上·贵州毕节·期末）如图①，在四边形中，，点E，F分别是边，上的点，且，求线段之间的数量关系．小明提供了这样的思路：延长到点G，使，连接．    (1)根据小明的思路，请直接写出线段之间的数量关系：___________； (2)如图②，在四边形中，，点E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立说明理由． (3)如图③，在四边形中，，点E，F分别是边延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 3．（23-24七年级下·四川达州·期末）在数学活动课上，李老师给出以下题目条件：在四边形中，，点E、F分别是直线上的一点，并且．请同学们在原条件不变的情况下添加条件，开展探究活动． 【初步探索】 （1）“兴趣”小组做了如下探究：如图1，若，延长到点G，使．连接，再证明，由此可得出，，之间的数量关系为________； 【灵活运用】 （2）“实践”小组提出问题：如图2，若，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由； 【延伸拓展】 （3）“奋进”小组在“实践”小组的基础上，提出问题：如图3，若，点E、F分别在线段的延长线上，连接，且仍然满足．请写出与的数量关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$