期末模拟测试卷02（一模）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

2024-2025年九年级数学上册期末模拟测试卷02（一模） 一、单选题 1．下列函数中属于二次函数的是 （      ） A． B． C． D． 2．如果两个相似三角形的面积比是，则它们对应边上的中线之比为（    ） A． B． C． D． 3．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，那么下列式子中正确的是（    ） A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cotA＝ 4．已知线段、、，求作第四比例线段，则以下正确的作图是（   ） A． B． C． D． 5．关于非零向量，，，下列选项中错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，都是单位向量，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 6．若关于x的一元二次方程没有实数根，则二次函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．若，则 ． 8．计算： ． 9．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+4的最高点坐标是 ． 10．如果的值是黄金分割数，那么的值为 ． 11．如图，相交于点O，添加一个条件 ，可以使． 12．已知点、在抛物线（c为常数）上，则 （填“＞”、“＝”或“＜”）． 13．某滑雪运动员沿着坡比的斜坡向下滑行了200米，则运动员下降的垂直高度为 米． 14．如图，已知和都是等边三角形，点D在边上，交于点F，如果，那么的长为 ． 15．如图，是一块余料，，现要把它加工成正方形零件，使得正方形的四个顶点，，，都在三角形的三边上，其中点，在边上，加工后正方形的边长为，则的面积为 ． 16．在Rt中，，于点D，已知，，则 ． 17．若抛物线y＝ax2+c与x轴交于点A（m，0），B（n，0），与y轴交于点C（0，c），则称△ABC为“抛物三角形”，特别地，当mnc＜0时，称△ABC为“正抛物三角形”；当mnc＞0时，称△ABC为倒抛物三角形，那么，当△ABC为倒抛物三角形时，a，c应分别满足条件 ． 18．如图，在中，，，，点、分别是边、上的点，且，将沿对折，若点恰好落到了的外部，则折痕的长度范围是 ． 三、解答题 19．计算：． 20．如图，已知平行四边形中，点M、N分别在边、上，对角线分别交、于点E、F，且 (1)求证：； (2)设，，用关于、的线性组合表示． 21．在直角坐标平面内，二次函数的图像经过点和点. (1)求这个二次函数的解析式； (2)将这个二次函数的图像向上平移，交轴于点，其纵坐标为，请用的代数式表示平移后函数图像顶点的坐标. 22．如图，A点、B点分别表示小岛码头、海岸码头的位置，离B点正东方向的处有一海岸瞭望塔C，又用经纬仪测出：点分别在点的北偏东处、在点的东北方向．（注：，结果精确到） (1)试求出小岛码头A点到海岸线的距离； (2)有一观光客轮从至方向沿直线航行，某瞭望员在处发现，客轮刚好在正北方向的处，当客轮航行至处时，发现点在的北偏东处，请求出点到点的距离； 23．如图，在梯形中，，，与对角线交于点，，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，如果，求证：． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，与y轴交于点C． (1)求这个抛物线的表达式； (2)如果点D是抛物线位于第三象限上一点，交x轴于点E，且E为的中点． ①求D点坐标； ②点P在x轴上，如果，求点P的坐标． 25．中，分别在上，，连接，作交于，交于交于． (1)如图1，． ①求的正弦值； ②若，求； (2)如图2，，连接，若四边形为梯形，请直接写出的长． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025年九年级数学上册期末模拟测试卷02（一模） 一、单选题 1．下列函数中属于二次函数的是 （      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义．根据形如的函数叫作二次函数可得答案． 【解析】解：A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； B、当时，不是二次函数，故此选项不符合题意； C、是二次函数，故此选项符合题意； D、分母含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．如果两个相似三角形的面积比是，则它们对应边上的中线之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应高线（中线，角平分线）的比等于相似比是解题关键． 由相似三角形的面积比等于相似比的平方先求出相似比，再根据相似三角形对应中线的比等于相似比即可解答． 【解析】两个相似三角形的面积之比为 相似比为 对应边上的中线的比为． 故选：C． 3．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，那么下列式子中正确的是（    ） A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cotA＝ 【答案】B 【分析】先利用勾股定理求出的长，然后根据锐角三角函数的定义对各选项分别进行计算，再利用排除法求解即可． 【解析】解：，，， ， A、，故选项错误，不符合题意； B、，故选项正确，符合题意； C、，故选项错误，不符合题意； D、，故选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，解题的关键是熟记在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，余切为邻边比对边． 4．已知线段、、，求作第四比例线段，则以下正确的作图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，主要考查了第四比例线段的作法，要熟练掌握并灵活运用．根据比例线段的定义列出比例式，再根据平行线分线段成比例定理对各选项图形列出比例式即可得解． 【解析】解：∵线段x为线段a、b、c的第四比例线段， ∴， A、根据作图可知，故本选项错误； B、根据作图可知，故本选项错误； C、根据作图可知，故本选项错误； D、根据作图可知，故本选项正确． 故选：D． 5．关于非零向量，，，下列选项中错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，都是单位向量，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】根据向量的性质和向量模的求法进行分析，判断即可． 【解析】解：A、如果，那么，故该选项正确，不符合题意； B、如果，都是单位向量，那么，故该选项正确，不符合题意； C、如果，那么，故该选项正确，不符合题意； D、如果，那么，故该选项错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平面向量的相关概念及关系，需要考虑共线向量和非共线向量两种情况． 6．若关于x的一元二次方程没有实数根，则二次函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式及二次函数的图象的问题，解题的关键是根据一元二次方程的根的判别式确定k的取值范围，难度不大．首先根据一元二次方程没有实数根确定k的取值范围，然后根据二次函数的性质确定其图象的位置． 【解析】解：∵方程没有实数根， ∴， 解得：， ∴， ∴二次函数的图象开口向下，与y轴的交点在y轴正半轴，且关于y轴对称， 四个选项中，只有选项C符合， 故选：C． 二、填空题 7．若，则 ． 【答案】/0.6 【分析】根据可得：，代入运算求解即可． 【解析】∵， ∴， ∴把代入得： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了比例的性质，掌握比例的性质，正确计算是解题的关键． 8．计算： ． 【答案】/ 【分析】根据向量的运算法则可直接进行解答． 【解析】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平面向量的知识，熟悉向量的相关性质是解题的关键． 9．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+4的最高点坐标是 ． 【答案】 【分析】根据，顶点坐标是，可得答案． 【解析】解：抛物线为， 开口向下，则最高点坐标是顶点坐标， 顶点坐标． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质以及顶点式，解题的关键是准确理解顶点式． 10．如果的值是黄金分割数，那么的值为 ． 【答案】 【分析】根据黄金分割得到，再根据分式的性质在分式的分子中加上分母即可求出答案． 【解析】解：∵的值是黄金分割数， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 【点睛】此题考查了比例的性质，黄金分割定理，熟记黄金分割定理及比例的性质是解题的关键． 11．如图，相交于点O，添加一个条件 ，可以使． 【答案】 【分析】此题是开放题，解题时注意相似三角形的判定定理．此题的已知条件为，根据有两个角对应相等的三角形相似，可添加或；根据两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，可添加． 【解析】解：此题答案不唯一： ∵，要使使， ∴可添加：或或， 故答案为：或或． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定：有两个角对应相等的三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的三角形相似．解题时注意要认真分析． 12．已知点、在抛物线（c为常数）上，则 （填“＞”、“＝”或“＜”）． 【答案】 【分析】根据抛物线的表达式，求出对称轴，再根据二次函数的开口方向，对称性和增减性进行分析即可． 【解析】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上，则当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握当抛物线开口方向向上，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边，y随x的增大而增大性质，是关键． 13．某滑雪运动员沿着坡比的斜坡向下滑行了200米，则运动员下降的垂直高度为 米． 【答案】100 【分析】设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可． 【解析】解：设垂直高度下降了米，则水平前进了米． 根据勾股定理可得：． 解得， 即它距离地面的垂直高度下降了100米． 故答案为：100． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，难度不大，此题的关键是熟悉且会灵活应用公式：（坡度）垂直高度水平宽度，综合利用了勾股定理． 14．如图，已知和都是等边三角形，点D在边上，交于点F，如果，那么的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，依据，，即可判定，进而得出，求得，即可得到的长． 【解析】解：解：∵和都是等边三角形，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 故答案为：． 15．如图，是一块余料，，现要把它加工成正方形零件，使得正方形的四个顶点，，，都在三角形的三边上，其中点，在边上，加工后正方形的边长为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质．首先根据正方形的性质可知，可证，根据相似三角形对应边成比例可以得到，从而求出的长度，然后于根据三角形的面积公式计算求出结果． 【解析】解：如下图所示，过点作交于点， 四边形是正方形， ，， ， ， ，， ， ， 解得：， ， 故答案为： ． 16．在Rt中，，于点D，已知，，则 ． 【答案】8 【分析】此题考查了解直角三角形，正切函数的定义，先在中，求出，再证出．再根据求出，进而求出结论． 【解析】解：∵， ∴， ∵在中，，， ， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ， 故答案为：8． 17．若抛物线y＝ax2+c与x轴交于点A（m，0），B（n，0），与y轴交于点C（0，c），则称△ABC为“抛物三角形”，特别地，当mnc＜0时，称△ABC为“正抛物三角形”；当mnc＞0时，称△ABC为倒抛物三角形，那么，当△ABC为倒抛物三角形时，a，c应分别满足条件 ． 【答案】a<0，c>0 【分析】根据m、n关于y轴对称，则mn<0，则c的符号即可确定，然后根据抛物线与x轴有交点，则可以确定开口方向，从而确定a的符号． 【解析】∵抛物线y=ax2+c的对称轴是y轴， ∴A（m，0）、B（n，0）关于y轴对称， ∴mn<0， 又∵mnc<0， ∴c>0，即抛物线与y轴的正半轴相交， 又∵抛物线y=ax2+c与x轴交于点A（m，0）、B（n，0）， ∴函数开口向下， ∴a<0． 故答案是：a<0，c>0． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，正确确定二次函数的开口方向是本题的关键． 18．如图，在中，，，，点、分别是边、上的点，且，将沿对折，若点恰好落到了的外部，则折痕的长度范围是 ． 【答案】 【分析】把沿对折，当点恰好落在的点处，与相交于点，根据折叠的性质得到，，证明，同理可得，于是可得的长，然后根据勾股定理计算的长，由正切的定义可得和的长，计算的长，再计算当与重合时的长，从而得结论． 【解析】解：把沿对折，当点恰好落在的点处，与相交于点，如图1， ，， ，， ， 而， ， ， 同理可得， ， ， 在中，，，， ， ， 在中，，即， ， 在中，，即， ， ； 如图2，当与重合时，，即， ， ， 折痕的长度范围是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理和锐角三角函数． 三、解答题 19．计算：． 【答案】 【分析】先进行绝对值的化简，代入特殊角的三角函数值运算，然后合并． 【解析】解：原式=， =， = 【点睛】本题考查了绝对值的性质，特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 20．如图，已知平行四边形中，点M、N分别在边、上，对角线分别交、于点E、F，且 (1)求证：； (2)设，，用关于、的线性组合表示． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，平面向量的计算等相关知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）由平行四边形的性质可得，，所以∽，则同理可得，根据相似三角形的判定得到，即可得到结论； （2）由向量的差可知，，可得所以 ，由此可得结论． 【解析】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴, 同理可得：, ∴, 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：， ， 由（1）知， ∴, ∴, 又∵， ∴， ， ． 21．在直角坐标平面内，二次函数的图像经过点和点. (1)求这个二次函数的解析式； (2)将这个二次函数的图像向上平移，交轴于点，其纵坐标为，请用的代数式表示平移后函数图像顶点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）先求出平移前的顶点坐标和与y轴的交点坐标，再确定平移的距离，即可求解． 【解析】（1）将点和点代入解析式得到： ， ∴， ∴这个二次函数的解析式为； （2）∵， ∴该图象的顶点为，与y轴的交点为， 将这个二次函数的图像向上平移，交轴于点，其纵坐标为， 则函数图象向上平移了m个单位， ∴平移后顶点M的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式和抛物线的平移，解题关键是牢记待定系数法的解法步骤和图象的平移规律． 22．如图，A点、B点分别表示小岛码头、海岸码头的位置，离B点正东方向的处有一海岸瞭望塔C，又用经纬仪测出：点分别在点的北偏东处、在点的东北方向．（注：，结果精确到） (1)试求出小岛码头A点到海岸线的距离； (2)有一观光客轮从至方向沿直线航行，某瞭望员在处发现，客轮刚好在正北方向的处，当客轮航行至处时，发现点在的北偏东处，请求出点到点的距离； 【答案】(1)小岛码头点到海岸线的距离约为 (2)点到点的距离约为 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用； （1）根据题意可得，，，然后由列式计算即可； （2）过C作于N，先求出，再解直角三角形求出，然后根据含直角三角形的性质得出答案． 【解析】（1）解：过A作于M， 由题意得：，，， ∴，， ∴， 解得：， 经经验，是原方程的解，且符合题意， 答：小岛码头点到海岸线的距离约为； （2）解：如图所示，过C作于N， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：点到点的距离约为． 23．如图，在梯形中，，，与对角线交于点，，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，如果，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）由，得四边形是平行四边形，由得，得到，同理得，进而由得到，即可求证； （）连接，与交于点，证明得到，进而由，，，可得，据此即可求证； 本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【解析】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∵， ∴ ∴四边形是菱形； （2）证明：连接，与交于点，如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，与y轴交于点C． (1)求这个抛物线的表达式； (2)如果点D是抛物线位于第三象限上一点，交x轴于点E，且E为的中点． ①求D点坐标； ②点P在x轴上，如果，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①，②或 【分析】（1）将点和代入，求出a和b的值即可； （2）①先求出点C的坐标，设点D的坐标为，根据点E为的中点可求出t的值，即可求出点D的坐标；②分两种情况进行讨论，当点P在点A左侧时和当点P在点A右侧时，画出辅助线，构建全等三角形，根据全等三角形对应边相等即可进行解答． 【解析】（1）解：将点和代入得： ，解得， ∴这个抛物线的表达式为：； （2）①把代入得：， ∴， ∵D是抛物线位于第三象限上一点， ∴设点D的坐标为，， ∵点E在x轴上，且E为的中点， ∴，解得：，（舍）， ∴， ∴点D的坐标为； ②∵点E为的中点，，， ∴， 当点P在点A左侧时，延长交x轴于点F， 设直线的表达式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为， 把代入得：，解得：， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点P在点A右侧时，延长交x轴于点F，连接， 同理可得：，， ∴， ∵，， ∴轴，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴， 综上：点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式和一次函数解析式、全等三角形的形的性质，注意图形与坐标之间的联系，巧妙的依据已知条件构建全等三角形是解题关键． 25．中，分别在上，，连接，作交于，交于交于． (1)如图1，． ①求的正弦值； ②若，求； (2)如图2，，连接，若四边形为梯形，请直接写出的长． 【答案】(1)①；② (2)或． 【分析】（1）①过点D作交于H，于G，先证明，再证明得到，进一步证明，得到，则由三线合一定理得到，则，由勾股定理得到，则；②设，则，先证明，得到，再证明，得到；如图所示，过点O作于T，证明，得到；根据，得到，则，，进而得到，解得，则； （2）如图所示，过点D作于H，证明是等腰直角三角形，得到，再证明，得到是等腰直角三角形，则，；设，则，，由勾股定理得，解得 则，；当时，证明，得到，设，可得；再证明，得到，则，进一步证明，得到，则，进而证明；过点E、N分别作的垂线，垂足分别为G、K，由等面积法求出；则；设，则，由勾股定理得，解得，则；证明，推出，设，同理可证明是等腰直角三角形，则，进而可得，解得，则；进而可证明；过点O作交延长线于T，则是等腰直角三角形，则，，由勾股定理可得，则；如图所示，当时，则，可证明，由上面可知，，则． 【解析】（1）解：①如图所示，过点D作交于H，于G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）； 如图所示，过点O作于T， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点D作于H， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）； ∴，； 如图所示，当时， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点E、N分别作的垂线，垂足分别为G、K， ∵， ∴； ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 同理可证明是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点O作交延长线于T，则是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当时，则， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由上面可知，， ∴； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造直角三角形和相似三角形是解题的关键． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$